反常积分的审敛法

第五章定积分及其应用本节主要内容：1、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法2、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法一、回顾定积分定义与计算()()011,1lim ()d ()d lim ()(()[,],,.,()[,].,,,,[,],,.)niii ba nbi i ai f x f x x f x x f x f x f x dx x y f x a b f x a b a b a b λλξξ→=→=∆=∆=∑⎰∑⎰设函数在上有界按照分割、求和、取极限的做法得若此极限存在则称此极限值为函数在上的定积分记为即为、定积分其中称为被积函数称积分表达式叫做积分变量为积分区间为积分下限为积分上限几何定义：曲线：由()[],,.[,][,][,]()d (1),,.d (2)0()d ()()()()d ()(),,()d ()d ,babbbaaab c aaf x x a x b x S f x x f x f x k f xg x x k f x x g x x k a c b f x x f x x a b a b a b λλλ>===+=+≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰及轴围成的曲边梯形面积为存在定理：若上连续，或者在上只有有限个第一类间断点，则上的定积分存在可积2、在性质线性性质 其中为任意常数可加性 在 若则[][][]()d ,()0()d 0,(),()(),()d ()2()d ()d (), ()().(3),,.1(4),bcbab baabbaaf x x a b f x f x x a b a b f xg x a M f x x g x dxf x x f x xf x b m b f m a x +≥≥<≤≤≤-≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰保号性 在上如果则推上则推论在区间上的最大值论如果在区间估值定理与最小值， 设分别函数则是()[][][][]d ()(),, ()d ()()3)(5) ,, (),() (d (),()=().baba xa x Mb a f x a b a b f x x f b a f x a b F x f t t f x a b F x f x ξξ≤-=-='⎰⎰⎰定积分牛中值定理如果函数在上连续则在内至少有一个 使得、定积分与不定积分的关系原函数存在定理：若在上连续，则是在上的一个原函数.显然由此得[][]()(),(), ()d ()()()bba a F x f x ab f x a b f x x F x F b F a ==-⎰顿莱布尼茨公式：若是在上的一个原函数，在上连续，则()()()41()d ()()()2()[,](t)()[,](),(),()d ((t)(t))dt 2()d ()()()()du()bba a ba b b ba aaf x x F x F b F a f x a b x t a b f x x f u x v x u x v x v x x u βαϕϕαβϕαϕβϕϕ==-'='==='=⎰⎰⎰⎰⎰、定积分的计算牛顿莱布尼茨公式： 换元积分法：在上连续，单值，在上连续，又则分部积分法：- ，其中[]()()()0202(),(), ()[()()];0,() ().2(),()()()()();()aaa aa aT TA T T AA nT Ax v x a b f x dx f x f x dx f x f x dx f x dx f x f x T f x dx f x dx f x dx f x dx --+-+'=+-⎧⎪=⎨⎪⎩===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上连续5、常用的定积分公式：1是奇函数2是偶函数3如果是以为周期的周期函数，则()()02202200220()().4cos sin 1;1331,2422cos sin .13421,2535()(sin )(cos );(sin )(sin 2T n n n f x dx n N xdx xdx n n n n n xdx xdx n n n n n f x f x dx f x dx xf x dx f x πππππππππ∈==--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在为正偶数为大于1的设函数[0，1]奇数上连续，正0).dx π⎰例1已知211,22()11,2x xe x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，计算212(1)f x dx -⎰.例2证明以下结论：（1）2200()(sin )(cos );f x f x dx f x dx ππ=⎰⎰设函数在[0，1]上连续，（2）2201331,2422cos sin 13421,253n n n n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇数二、无穷区间上的有界函数的反常积分（无穷积分）1、定义1设函数f (x )在区间[a ,+∞)上连续,取b >a .如果极限dx x f ba b )(lim⎰+∞→存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分,记作dx x f a )(⎰+∞,即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛. 如果上述极限不存在,函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地,可定义反常积分dx x f b)(⎰∞-和dx x f )(⎰+∞∞-.2、计算:如果F (x )是f (x )的原函数,则ba b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.即简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a -==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰.例3（1）计算反常积分⎰+∞-0dt te pt(p 是常数,且p >0).（2）讨论反常积分dx x p a 1⎰+∞(a >0)的敛散性.3、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法()[,)(0.)()0lim (),.1,0()1,0()p x a af x a a f x x f x l p l f x dx p l f x dx →+∞+∞+∞+∞>≥=>≤<+∞≤<≤+∞⎰⎰极设函数在区间上连续，且满足则有(1)当时，无穷限反常积分收敛； (限审敛法：2)当时，无穷限反常积分发散例4讨论下列反常积分的敛散性（1）1+∞⎰（2）32211xdx x+∞+⎰三、有限区间上的无界函数的反常积分（瑕积分）1、定义2设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,而在点a 的右邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在,则称此极限为函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点:如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数f (x )的瑕点,也称为无界定义2'设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,点a 为f (x )的瑕点.函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.类似地,函数f (x )在[a ,b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.在[a ,c )⋃(c ,b ](c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f btct ta ct ba )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.2、反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数,则有bt at btat ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=.简记形式:（1）当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰;（2）b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x ba ba -==-→⎰.（3）当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx cx bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰.例5（1）计算反常积分⎰-adx xa 0221.（2）讨论反常积分⎰-ba q a x dx)(的敛散性.3、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法1.()(,]()0.lim ()(),0,0()1,0()p x babaf x a b f x x a f x l p l f x dx p l f x dx →+∞≥-=<<≤<+∞≥<≤+∞⎰⎰设函数在区间上连续，且满足则有（1）当极时，瑕积分收敛；（2）瑕限审敛法：当时，积分发散例6讨论下列反常积分的敛散性（1）31ln dxx⎰（2）1201()k <⎰椭圆积分（3）101dx x ⎰。

反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（FFTLL）是一种有效的用于快速求解非线性和复杂问题的工程数学方法。

有着持续发展的历史，它被广泛应用于解决各种复杂问题，在工程上取得了巨大的成功。

一、FFTLL的历史
反常积分极限审敛法（FFTLL）最初由1960年代的S.U.N.E.T.公司开发。

它被认为是最早应用于快速求解复杂问题的方法之一。

此方法依靠积分来解决复杂系统和分析，使积分理论可以应用于工程设计和操作。

在此方法完成之前，快速求解复杂问题的能力基本上依赖于分析和研究者的计算能力。

二、FFTLL的工作原理
反常积分极限审敛法（FFTLL）所采用的基本原理是“逆特征转换”，这是一种用于复杂系统的仿真的数学技术。

在这种方法中，采样的系统被模拟出来，并从系统的控制前提进行分析，比如函数，极限和求解问题。

该方法用于求解复杂问题，尤其是非线性系统，使用简单的算法，通过反运算来求解问题。

三、FFTLL的应用
FFTLL由于其计算简单及计算效率高的特点，已经被广泛应用于各种领域上，如机械设计、精密加工、控制系统、飞行器设计、太空探索等领域。

此外，它的应用也不断拓展，其中最有趣的应用是在惯性导航系统中，它可以被普遍应用于求解非线性控制系统相关问题。

四、FFTLL的优缺点
FFTLL技术被认为是求解一些复杂问题最有效的方法之一，它可以快速准确的求解一些复杂的问题。

另一方面，它也有一些优点，比如操作简单，程序实用，计算效率高，是一种经济高效的解决方法。

而FFTLL存在的一个缺点就是由于其反特征转换的机制，它往往只能进行有限数量的反复积分来模拟系统，这在一定程度上会限制它的模拟精度。

反常积分审敛法
反常积分审敛法是一种研究微分方程未知函数的求解方法，它通过将未知函数一次积分拆分成一系列已知函数的求积数来求解这些未知函数，从而实现未知函数的求解。

反常积分审敛法是一种重要的求解微分方程未知函数的经典方法，是近代数学家们普遍采用的重要解析方法。

二、基本原理
反常积分审敛法以未知函数为准绳，以不变量的积分为目的，将相关的微分方程的一次积分拆分为一系列未知函数的求积数，从而将未知函数求解的原问题转化为反常积分审敛法的求解问题，即估计其积分常数，从而得到未知数。

三、过程步骤
反常积分审敛法的求解过程由以下几步构成：
（1）确定求解方程的形式。

将微分方程按照一般的习惯和规则统一化，常用的形式为普通微分方程和关联微分方程，常用的积分参数为时间t、位置x和其他形式的变量；
（2）写出相关的微分方程，根据其中的量确定求解的未知函数；
（3）确定积分常数的估值法，通常采用隐式函数定理方法；
（4）运用反常积分审敛法计算出未知积分常数，得到未知函数的解；
（5）验证此解是否正确，如果不正确，可重新根据估值法计算，直到未知函数的解得到正确验证。

四、应用实例
反常积分审敛法在实际问题中应用广泛，如在简谐振荡问题中，使用反常积分审敛法可以得出简谐振荡器的解析解；在光学干涉中，可以用反常积分审敛法求出空间干涉图；在流体动力学等研究中，可以使用反常积分审敛法计算粘性系数；在抛物线和椭圆等圆周率的研究中，可以使用反常积分审敛法求出对应的参数。

五、结论
反常积分审敛法是一种重要的求解复杂微分方程未知函数的解
析方法，它采用一次积分拆分的方式，将未知函数的求解问题转化成求函数积分常数的问题，解决了微分方程求解的一类重要问题，具有重要的实际意义。

反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。

本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。

一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。

对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)⁡〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。

二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。

常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。

2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)⁡(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。

3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)⁡S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。

数学二考反常积分的审敛法吗
在数学二考试中，我们学习了反常积分的概念和相关的定义，其中包括无穷积分和间断点积分。

但是在计算反常积分的过程中，有时候会遇到无法直接求解的情况，这时候就需要使用审敛法来判断反常积分的敛散性。

审敛法是一种用于判断反常积分敛散性的方法，它主要是通过对反常积分的比较或对比较项的积分进行判断。

具体来说，如果反常积分的比较项收敛，则反常积分也收敛；反之，如果比较项发散，则反常积分也发散。

审敛法的应用范围非常广泛，包括但不限于以下几种情况：当反常积分中含有无穷区间或者无限间断点时，当反常积分被限定在某一区间内时，以及当反常积分中含有复杂函数形式时。

总的来说，审敛法是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解反常积分的敛散性，同时也可以提高我们在数学二考试中的成绩。

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反常积分比较审敛法的极限形式反常积分比较审敛法的极限形式，这个话题一听就有点深奥，但咱们可以把它变得轻松些。

想象一下，你在一条河边钓鱼，水流得飞快，鱼也在水中自由自在地游来游去。

你得想办法才能捕到那些鱼儿。

这就像我们在数学中面对积分问题，尤其是那些反常积分，它们有时候就像那条难抓的鱼，藏得很深。

说到反常积分，嘿，那可不是普通的积分，简单来说就是积分的上下限可能是无穷大，或者被积函数在某些点上不太好处理。

别担心，咱们可以用比较审敛法来帮忙，听起来很复杂，但其实就像在菜市场挑菜一样。

你得有个标准，看看这些菜是不是新鲜。

反常积分也一样，咱们需要找一个好朋友来比较一下，看看它们的行为是否靠谱。

比较审敛法是怎么回事呢？想象你有两条鱼，一条是鲤鱼，另一条是金鱼。

你想知道鲤鱼的体重，如果金鱼比你想象的重，那么鲤鱼也可能重。

简单吧？在数学里，如果一个反常积分比另一个已知收敛的积分小，那么我们就可以大胆地推测，这个反常积分也是收敛的，哈哈，这就是比较审敛法的精髓了。

说到极限形式，那就更有趣了。

当我们讨论极限的时候，就像是看到了一种可能性。

反常积分的极限形式让我们看到了积分的深层性质。

这就像是透过水面，看到水下的世界。

虽然水面平静，但水下却可能暗流涌动。

极限形式帮助我们更清楚地理解这些暗流，让我们能在复杂的数学中找到一条明路。

数学和生活是有很多相似之处的。

我们总是在追求某种“极限”，无论是工作、学习，还是生活中的点滴。

每个人都在努力，拼尽全力去实现自己的目标。

说到这里，有个成语“事半功倍”，正好适用在这里。

反常积分的比较审敛法，就像是找到了一条捷径，让我们在处理积分的时候，少走了不少弯路。

不能忽视的还有一些小细节。

就像我们在挑选新鲜的鱼时，得仔细看看鱼的颜色和气味，积分中也有一些需要我们留意的地方。

积分的某些部分可能会让你感到意外，像是个潜伏的危险。

对此，我们必须得有一定的判断能力，才能确保我们的结论是准确的。

这也是为什么我们需要通过反常积分比较审敛法来确保我们的选择是明智的。

两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。

判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。

下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。

一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。

主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。

1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。

二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。

主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。

1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。

反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。

第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。

第四，题目声明的反常点。

第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。

第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。

那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。

(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。

(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。

第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。

第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。