Algebraic invariants of five qubits

有关数学的理论很多人一看到数学公式和符号就烦。

作为一门严格枯燥的学科，数学却有时候能给我们展现另类的美。

有些数学理论用让我们觉得不可思议的结论来震撼着我们的心灵，让我们的思维方式得以升华——原来还可以这样！1. 四色理论如果要在地图上区分中国的省份，要求相邻省份颜色不能相同。

你认为你至少需要多少种颜色？你可能想象不到，只有4种颜色就够了。

四色理论首先是由francis guthrie于1852年发现的，当时他琢磨着在地图上把英格兰的每个国家都涂上颜色。

当时可即没有网络，也没有各种工具可以使用，他能做的就是不停的尝试。

经过一段时间的摸索，他惊奇地发现他最多只需要4种颜色就能保证相邻边界的国家之间具有不同的颜色。

当时他就在想，这个理论是不是对任意形状的地图都是正确的，这个数学猜想被他提出之后，很久都没有被证明。

1976年即大约一个世纪之后，kennethappel和wolfgang haken最终证明了这个数学理论的正确性。

他们的证明相当复杂，并部分依赖于计算机（感兴趣的可以去搜索一下）。

他们的最中结论就是对于任何行政地图，只要4种颜色就能保证相领的行政区域之间颜色不同。

2. brouwer不动点定理不动点理论来子数学的一个分支，拓扑数学。

这个理论是由luitzen brouwer发现的。

这个理论的具体严格表述是非常复杂的，也很难理解。

但是在现实生活中，我们却能发现该理论的很多影射。

例如我们把一副画完全复制了一遍，就拿《蒙娜丽莎》这幅画为例吧。

我们把这幅画完完整整地复制了下来。

现在我们可以对这个复制品做任何的动作，例如我们可以把这幅复制品放大，缩小，甚至揉得皱皱巴巴。

不动点理论告诉我们，如果我们把这幅进行了蹂躏的复制品放到原画之上，那么至少有一点是和原画是完全重叠的。

这个重合的点可以是蒙娜丽莎的眼睛，她的微笑，头发等等，但是这个点必定也必须存在。

不动点理论也适用于三维空间。

假设我们有一杯水，我们拿一把勺子，随意搅拌。

X]`XGh Gp GProblem S olvingOld and New Problems for Mathematical OlympiadsGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG Panagiote LigourasX]`XGGhsnliyhpjGGpulx|hsp{plz GG GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGProblem S olvingOld and New Problems for Mathematical OlympiadsPanagiote LigourasVia Col di Lana, 3370011 Alberobello (Ba)1691 Algebraic InequalitiesThe book starts with a collection by Aassila M., Andreescu T., Barbeau E. J., Beckenbach E., Bourgade P., Bulajich Manfrino R., Cirtoaje V., Dorrei H., Dospinescu G., Enescu B., Engel A., Feng Z., Gomez Ortega J.A., Hardy G.H., Klamkin M., Kolev E., Lascu M., Larson L., Littlewood J.E., Mitrinovic D., Mushkarov O., Negut A., Nikolov N., Panaitopol L., Pham Kim Hung, Pòlya G., Rabinowitz , reiman I., Shawyer B.L.R., Stergiou B., Soulami T., Todev R., Xiong Bin and of many other friends. Its intention is to bring together, in the successive editions, all significant algebraic inequalities. This will also be done by finding out the author, year in which it was created and grade of difficulty on a scale of 1 to 5 (banal, easy, medium, requiring effort and difficult).We haven’t classified the problems according to the techniques used to solve them, or by their difficulty, in order to avoid limiting the creativity and freedom of the person solving them.In writing this book, the website www.mathlinks.ro has been very useful. It is created and maintained by Dr Valentin Vornicu, who is totally dedicated to all the kinds of mathematics that help in preparing for national mathematics competitions and the International Mathematics Olympics.On the website’s forum, these mathematical inequalities can be discussed much further. Alternative solutions can be suggested, along with new problems that may help to develop the knowledge of friends visiting the website. This also provides an opportunity to underline the importance of mathematics as a discipline, for the development of men and also of society. The problems that are marked t=329751 or similar are present on the forum of the website www.mathlinks.ro.GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1691 Algebraic InequalitiesPreface......................................................................pg.5 Contents (7)Part IProblems with 1 variable (11)Problems with 2variables (11)Problems with 3variables (11)Problems with 4variables (11)Problems with 5variables (11)Problems with 6variables (11)Problems with n> 6variables (11)Problems with find the maximum value (33)Problems with find the minimum value (33)Part IIGlossary (159)Notations (165)Bibliography (169)Further reading (171)Index (173)GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1691 Algebraic InequalitiesPart I GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a be real number(a R). Prove that:11) 2,0 ) 2,0a a ab a aa at! dLet a be non-negative real number (0a t). Prove that:52332a a atTitu Andreescu, 2004Let a be non-negative real number (0a t). Prove that:2245121a a atPanagiote Ligouras, 2009Let a be non-negative real number (0a t). Prove that:33232111a a atLet a be non-negative real number (0a t). Prove that:3334241111,0a a a a at tPanagiote Ligouras, 2009Let a be non-negative real number (0a t). Prove that:443422111a a at1691 Algebraic Inequalities GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG911, 804a §t !!¨©Gazeta Matematica, 2002Let a be real number (a R )such that11a. Prove that:3d The Mathscope,n.216.3Let a be positive real number(0a !). Prove that:3211a a t tCRUX,35(4),p.254, 2009Let a be non-negative real number (0at ). Prove that:2a d The Mathscope,n.332.5Let a be non-negative real number (0at ). Prove that:21a d Panagiote Ligouras,Mathlinks, 2009Leta be real number such that 2a t. Prove that:4a d Panagiote Ligouras,Mathlinks, 20091691 Algebraic Inequalities GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG P r o b l e m s w i t h 2 v a r i a bl e sLet a ,b be non-negative real numbers (,0a b t ). Prove that:a b t Let a ,b be real numbers (,a b R ). Prove that:222ab abt Let ,0a b t . Prove that:33a b aba b t Let ,0a b t . Prove that:4422a b ab ab t Let ,0a b t . Prove that:553322a b ab a b a b a bt t Let ,a b R . Prove that: 24a b ab t1691 Algebraic Inequalities GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet ,0a b !. Prove that:222a b a b a b tLet ,0a b !. Prove that:221112a ba b a b §·d ¨¸ ©¹Let ,0a b !. Prove that:4ab a b a b dLet ,0a b !. Prove that:411a b a bdLet ,0a b !such that 1a b . Prove that:2211252a b a b §·§· t ¨¸¨¸©¹©¹Let ,0a bt and *n N . Prove that:a b t1691 Algebraic Inequalities GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet ,*a b R . Prove that:22223333232342323a b b a a ba b b a d The Mathscope,n 285.2Let ,0a b !. Prove that:42241a b ab a b a b t Russia, 1995Let ,0a b !and 1k t . Prove that:22221a kb b ka a b a k ab b b ka a kb t MathLinks,t=255035, 2009Let ,0, 1a b ab !. Prove that:1, ,0a b a b t !Let,0, 2a ba b !. Prove that:dLet 2,0, , 2, , 1, a b m N m r R rm ab r ! t t . Prove that:112111m m ma b r t Arkady Alt, CRUX,34(2),n.3319, 20081691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet ,0a b !. Prove that:3322a b a b ab t Norman Schaumberger, N.Y.S.M.T.J.,n.153, 1984Let ,0a b !. Prove that:1b a a b !Kàlmàn Szabò, T.M.G., n. 67.H, 1983Let ,a b R such that ,1a b . Prove that:1ab a b! PARABOLA, Q591, 1984Let ,0a b t . Prove that:22111111aba btLet0,1x y d d. Prove that:11xy tLet ,0ab !. Prove that:,0a b t!Czech and Slovakia, 20001691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet 1, ,0a b a b d !. Prove that:332211120a b a babt Cao Minh QuangLet 1, ,0ab a b !. Prove that:33111a b b at Le Thanh HaiLet ,1a b t . Prove that:2238a b ab a b §· t ¨¸¨¸ ©¹Yugoslavia, 1991Let 3,1,2x y ªº«»¬¼. Prove that:22x y t Moldova, 2001Let n be a positive integer, and let x and y be a positive real numbers such that 1n n x y . Prove that2244111111111n n k kkk k k x y x y xy§·§· ! ¨¸¨¸¨¸¨¸ ©¹©¹¦¦IMO Shortlist 20071691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGP r o b l e m s w i t h 3 v a r i a bl e sLet a ,b , andc be positive real numbers such that 2221a b c . Prove that:222111a b c a b ctSefket Arslanagic, CRUX,n.2738Let a ,b , and c be positive real numbers such that0,,1a b c and1ab bc ca . Prove that:222111a b c a b ctLet a ,b , and c be positive real numbers such that 0,,1a b c and1ab bc ca . Prove that:22222231114111abc a b c a b c a b c §·t¨¸¨¸©¹Let a ,b , and c be real numbers such that 1ab bc ca and 1,,1a b c . Prove that:22229211cyca b a b t¦MathLinks, t=259913, 20091691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGFor positive real numbers a ,b , and c with 1a b c , show that1112111a b c b c a a b c a b c §·d ¨¸ ©¹You need not state when equality holds.14th Japanese MO, 2004a)If a ,b and c are three real numbers, all different from 1, such that1abc , then prove that2222221111a b c a b ct .b)Prove that equality is achieved for infinity many triples of rationalnumbers a ,b and c .Walther Janous, IMO Shortlist, 2008&EXCALIBUR,13(3),2008Let a ,b , and c be positive real numbers such that ,,1a b c !. Prove that:44422248111a b c b c at13(4)&13(5),2008Let a ,b , and c be positive real numbers such that ,,1a b c !and ab bc ca abc . Prove that:44422244444454111c a a b b c a b ct Let a ,b , and c be non-negative real numbers such that 1a b c . Prove that:1112731118ab bc ca d d Sefket Arslanagic, CRUX,n.27861691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b ,c be non-negative real numbers, no two of which are zero. Prove that3332222222222221222222a b c a b cab ac bc ba ca cbdVasile Cirtoaje, MathLinks, 2005If a ,b ,c are non-negative real numbers, then222222222222222a bc b ca c ab a b c a b c a b ct Nguyen Anh Tuan, MathLinks, 2005Leta ,b ,c be non-negative reals and let p ,q be positive reals. Prove that222202cyca bc q abc ªº «»t «» «»¬¼¦Panagiote Ligouras, 2009If a,b ,care non-negative real numbers, then2220t Nguyen Anh Tuan, MathLinks, 2005Let a ,b ,c be non-negative real numbers, no two of which are zero. Prove that2222221116222a bcb cac aba b c ab bc cat1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b ,c be positive reals such that 3 . Prove that2222221222a b c b ac ba ctLet a ,b ,c be positive reals such that 3a b c . Prove that2223331, 3222a b c a b c b ac ba ctLet a ,b ,c be non-negative real numbers, no two of which are zero. Then2222222221222222a b c b bc c c ca a a ab bt Vasile CirtoajeLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that3332222223222222a b c a b c a ab b b bc c c ca atNguyen Viet AnhLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that1222a b ca b b c c ad Gazeta Matematic ă, 2000Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that1113222a b b c c a a b ct1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGShow that for all positive reals a ,b ,c ,3332223222a b b c c a a c b a c b §·§·§· t ¨¸¨¸¨¸ ©¹©¹©¹MOP, 2004Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that32224a b c a b c a b c a b c tLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that32224a b c a b c a b c a b c dM&Y-9, 2004Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that2224ab ca bc a b ca b c a b c a b c dM&Y-3, 2005Given three variables a ,b and c satisfying the following equality2223339a b c a b cand ,,a b c R , prove that12224ab bc ca a b c a b c a b c tLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that32224ab c ca b bc a a b c a b c a b c a b c d1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that222222122222c ab b ac a bc a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b §·d ¨¸¨¸ ©¹MathLinks, t=259342,2009Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that222222b c a c a b a b c a b ca b ca b ctMathLinks, t=259361, 2009Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that92228a b c b c a b c c a b c a a b c a b a b c tLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that32224a ab b bc c c a b c a b c c a b c a a b c a btLet a ,b ,c be positive real numbers. Prove that2222cycab a c b c abc a b c a b c a b c t¦MathLinks, t=259603, 2009Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that32224a b a b c a c a c b c a b c c a b c a a b c a b t D. Olteanu,Gazeta Matematic ă1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that2221111222a a ab b b bc c c ca a b b c c at MathLinks, t=258676, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that2221121121124222a a ab a b b b bc b c c c ca c a a b b c c a tMathLinks, t=307913, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that22222222243222ac ab b ab bc c bc ca a c b a c b atPanagiote Ligouras,MathLinks, t=307910, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that2221212122222a c a ab bcb a b bc cac b c ca aba b b c c at Panagiote Ligouras,ML,t=313583, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that22221232cyca c a ab bc a b c ab bc ca a b ªº «» t «» ¬¼¦Panagiote Ligouras,MathLinks, t=258695, 20091691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222422232cyccyca b ab a c c b c b t¦¦Panagiote Ligouras,MathLinks, t=320116, 2009Let a ,b , and c be three arbitrary real numbers. Prove that222222111117222a b c a b b c c atPham Kim HungLet a ,b , and c be positive real numbers such that 2221a b c . Then22231212125a b c bc ca ab tt=248249, 2008Let a ,b ,c be non-negative real numbers such that 3ab c.Prove thattPham Kim HungLet a ,b ,c be non-negative real numbers. Prove that1tPham Kim Hung & Vo Quoc Ba CanLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that1d Bin Zhao, Mathematical Reflections,n. O32, 20061691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be non-negative numbers such that 0ab bc ac z .Then22265444a b c a b b ca c ab bc ac c aba bcb catLet a ,b , and c be positive real numbers such that 3a b c . Prove that23cyctLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222111a b c abca b ctLet a ,b ,c be positive real numbers such that 3a b c . Prove that222222111a b c a b ct2006Suppose that a ,b , and c are positive reals satisfying 2221a b c .Prove that33322221113a b c abca b ctHo-joo Lee, CRUX,n.2532Let a ,b ,c be positive real numbers such that 1a b c . Prove that22211128127abc ab c §· t ¨¸©¹Walther Janous,CRUX,Klamkin-021691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222222229944ab bc ca a b c a b c a b c c b a b c a a b c §· t¨¸©¹Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that22222222222210313a b c a b c ab bc caab bc ca b c a a b c tML, t=320792, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that22222212018a b c abca b b c c a b c a tML t=293216, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that22222219232a b c a b b c a §· t ¨¸¨¸©¹Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222222312362a b c a b b c a §· t t ¨¸¨¸©¹Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222222333a b c a b c b c a b c ad1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that22232111c a ba b b c c atLet x ,y , and z be positive real numbers. Prove that22222222222229222x z z y y xxy yz zx z x y xyz x y y z z x §·§·§· t ¨¸¨¸¨¸¨¸©¹©¹ ©¹Panagiote Ligouras, MathLinks, t=310024, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1a b c . Prove that92221111112a b c §·§·§· t ¨¸¨¸¨¸©¹©¹©¹Let a ,b , and c be non-negative real numbers such that 3ab bc ca .Prove that22211132111a b c t Vasile Cirtoaje, MathLinks, 2005If ,,1a b c d and 1a b c . Prove that2221112710111a b cd& Gabriel DospinescuLet a ,b, and c be positive real numbers such that 2221a b c.Then222234111a b c b c atHellenic-IMO-TST, 20021691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive reals such that 1ab bc ca . Prove that22212316111abbcca a b c b c a b c a a b c a b c ªº§·d«»¨¸ ©¹¬¼MathLinks,t=259357, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers with 3ab bc ca . Prove that22232111ab bccac a btTitu Zvonaru,Mathematical Mayhem,34(4) M299, 2008Let a ,b , and c be positive real numbers such that 3a b c .Prove that22222232111a b c b c atn. 2994Let a ,b , and c be positive real numbers such that 3a b c .Prove that2221113111a b c b c atLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1a b c .Prove that22222211172111a b c b c adMathLinks, t=260118, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1ab bc ca .Prove that22222211132111a b c a b cdGazeta Matematic ă, 20031691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers.Prove that22232333111116max ,111cyc cyccyca bc a abc a b a a a a b ­½ §· °°t ¨¸®¾¨¸ °°©¹¯¿¦¦Mihàly Bencze, CRUX,34(4)n.3349, 2008Let a ,b, and c be positive real numbers such that a b cabc. Then32dEXCALIBUR,6(2)&6(3),2001Let r be a real number, 01r d , and let a ,b, and c be positive real numbers such that3abc r. Prove thatdArkady Alt, CRUX,34(3),n.3329, 2008Let a ,b, and c be positive reals such that 1ab bcca. Prove that32dLet a ,b , andc be positive real numbers such that a bc abc. Thend1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be non-negative reals such that 3ab bc ca . Prove that2221111222a b cdLet a ,b , and c be non-negative reals such that 1abc . Prove that2227676761222a b c a b ct Vasile Cirtoaje, MathLinks, t=245046, 2008Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2221112222ab bc caa bcb cac abtVasile Cirtoaje, MathLinks, 2005Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222221222a b c a bcb cac abt Romania, 1997Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2221222bc ca aba bcb cac abd Romania, 1997Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222222221222a bc b ca c ab a bcb cac abt Panagiote Ligouras, MathLinks, t=310029, 20091691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , andc be positive realnumbers. Prove thatdHo Phu Thai & Da Nang, Mathematical Reflections,n. O39, 2007Prove that for all non-negative real numbers a,b ,c, we havet Pham Kim HungLet a ,b , and c be non-negative real numbers. Prove that222222a bc a b c ab bc caa bcb cac abdMathLinks, t=224981, 2008Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2221112222a b c a b c ab bc caa bcb cac abdPanagiote Ligouras, ML, t=322098, 2010Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove or disprove that211122cycaa b c ab bc caa bcd¦Panagiote Ligouras, MathLinks, t=251776, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222111333a b cdRomania, 20031691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that3332222221444a b c a ab b b bc c c ca at José Luis Dìaz-Barrero, SSMJ, n.5054, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc d . Prove that22232a b c b bc ca at35(2),n.3421, 2009Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that22222221119a ab b b bc c c ca a a b ctDWHPDWLFă-B, 9, 2000Let a ,b ,and c be positive real numbers such that 3a b c . Prove that2222221111abca ab b b bc c c ca adLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222222223a b c a b cb a ab bc bbc c a cca atLet a ,b , and c be positive real numbers such that 3a b c . Prove that2222222222a bb cc ab a ab bc bbc ca cca at Panagiote Ligouras, ML, t=322100, 20101691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that2222222a b c b c a c a b b bc cc ca aa ab btLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that2222222222a bcb cac ab b bc c c ca a a ab bt Vasile Cirtoaje, ML, 2005Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that2222222222323235a bcb cac ab b bc c c ca a a ab btLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222222225252527a bcb cac ab b bc cc ca aa ab bt Panagiote Ligouras, ML, t=322104, 2010Let a ,b , and c be positive real numbers and p ,q >0. Prove that222222222pa qbc pb qca pc qab p qb bc cc ca aa ab bt Panagiote Ligouras, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that2222222222222222224333133ab bc ca a b c b c a c a b a ab b b bc c c ca a a b cdPanagiote Ligouras, MathLinks, t=322515, 20101691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that33333322222223a b b c c a a b c a ab b b bc c c ca atLet a ,b ,c be positive real numbers and k > 0. Prove that33333322222213ka b kb c kc a k a b c a ab b b bc c c ca atPanagiote Ligouras, 2009Let a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that3333332222222a b b c c a a ab b b bc c c ca atLet a ,b , and c be positive real numbers such that 3a b c . Prove that3332222221a b c a ab b b bc c c ca atLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Prove that3332222221a b c a ab b b bc c c ca at2009(2)n. 5054Let a ,b ,c be positive real numbers such that 1abc and k > 0. Prove that3333332222221ka b kb c kc a k a ab b b bc c c ca at Panagiote Ligouras, 20091691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a,b , and cbe positive real numbers. Prove thattLe Trung KienIf a ,b ,c>0, prove thatMurray S. Klamkin, CRUX n. 805Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that222222222111152b c c a a b a b c ab ac catLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that222222211110b c c a a b a b ctLet a ,b , and c be positive real numbers such that 2a b c . Prove that22222211152b c c a a btLet a ,b ,c be non-negative real numbers. Prove that22222222211168ab bc ca a b b c c a a b ctPham Kim Hung1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers such that 1abc . Then3332222221512abca b c a b b c c a dLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222222111a b b c c a a b ca b b c c adLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222222185585585510a b b c c a a b c b c a c a b a b c b c a c a b b c c a a b §·t¨¸¨¸ ©¹If 0c b a t t !, then222222223acbacba b c b c a a b b c c a §·d ¨¸©¹Panagiote Ligouras, MathLinks,t=322519, 2010Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that2222222226a abc b a b c c a b c b cc aa btLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that22222222232a b c a b c a b c b c c a a btVasile Cirtoaje, ML,t=259748, 20091691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a ,b , and c be positive real numbers. Prove that33333322222222212a b c a b c a b b c c a b c a §·d ¨¸¨¸ ©¹Let a ,b , and c be positive real numbers. Prove that222222cyc cyccyccyca ab a a b bc b b c b §·§·§·§· ¨¸¨¸¨¸¨¸t ¨¸¨¸¨¸¨¸ ©¹©¹©¹©¹¦¦t=251794, 2009Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that22222222222292a bcb ac c ab b c c a a btLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that22222222216161610a bcb ac c ab b c c a a btVasile Cirtoaje, ML, 2005Let a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Prove that22222232ab bc ca bc ca ab ca ab bc b c c a a btLet a ,b ,c be non-negative reals, no two of which are zero. Then2222224444ab bc ca bc ca ab ca ab bc b c c a a bt1691 Algebraic InequalitiesGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGLet a,b ,cbe non-negative reals, no two of which are zero. Prove that3t Vo Quoc Ba Can & Vu Dinh QuyLet a ,b ,c be positive realnumbers. Prove that2t Vo Quoc Ba Can, CRUX 35(4)n.3419, 2009Let a ,b ,cbe positive realnumbers. Prove that8cyc t ¦Panagiote Ligouras, 2009Let a ,b ,c be positive real numbers. Prove that2222a b c abcdRomania, local MO, 1988Let a,b ,cbe non-negative reals, no two of which are zero. Prove thattPham Huu Duc, Mathematical Reflections, n S27, 2006。

algebra universalis 代数什么是代数？代数是数学中的一门基础学科，研究运算规则的一般性质和它们之间的关系。

代数的主要研究对象是数、符号和运算，通过定义和推导运算规则来研究和描述这些对象之间的关系。

代数可以分为不同的分支，如线性代数、抽象代数、群论等。

什么是代数万有性质？在代数研究中，常会遇到一些基本概念和通用性质，这些概念和性质普遍适用于各个代数分支。

这些性质被称为代数万有性质，也叫代数结构的万有性质。

代数万有性质具体包括哪些？代数万有性质主要包括封闭性、结合律、交换律、单位元、逆元、分配律等。

什么是封闭性？封闭性是代数中的一个重要概念，它指的是在某个集合内进行特定运算后的结果仍然属于这个集合。

比如在实数集合中进行加法运算，任意两个实数相加的结果仍然是一个实数，所以实数集合在加法运算下满足封闭性。

什么是结合律？结合律是代数中的一个性质，它指的是在进行某个特定运算时，不论运算的顺序如何，最终的结果都是相同的。

比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a、b和c，满足结合律的性质是：(a + b) + c = a + (b + c)。

什么是交换律？交换律是代数中的一个性质，它指的是在进行某个特定运算时，两个元素进行运算的顺序不影响最终的结果。

比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a和b，满足交换律的性质是：a + b = b + a。

什么是单位元？单位元是代数中的一个重要概念，它指的是在特定运算下，存在一个运算单位使得该运算对任意元素运算后的结果与单位元相等。

比如在实数集合中进行乘法运算，单位元是1，因为对于任意实数a，a乘以1的结果始终等于a。

什么是逆元？逆元是代数中的一个重要概念，它指的是在特定运算下，存在一个运算单位使得该运算对任意元素都有一个逆元素，使得两者进行运算后的结果等于单位元。

比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a，存在一个逆元素-b，使得a + (-b) = 0。

abel范畴中的短五引理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数学领域中，范畴论是一种研究抽象数学结构及其之间关系的工具。

Abel范畴作为范畴论的一个重要分支，在群、环、向量空间等代数结构上有着广泛的应用。

本文将讨论Abel范畴中的短五引理，该引理在代数结构中起到了重要的作用。

1.2 文章结构本文共分为五个部分进行讨论。

引言部分将对文章进行概述，并简要介绍文章内容和结构；接下来，我们将详细探讨Abel范畴中的短五引理，包括其定义与背景、意义和应用以及证明方法；然后，我们将解释说明短五引理的概念与特点，包括解释Abel范畴的基本概念、短五引理在Abel范畴中的作用和表现形式，并介绍其他相关引理和定理；进而，我们将概述已知结果和未解决问题，总结评述已有关于短五引理的主要结果，并探讨目前仍存在争议或未解决的问题，并提供研究方法和技巧建议以及相关资源推荐；最后，我们将进行结论与展望，对短五引理所取得的成果进行总结和评价，并展望未来的研究方向和可能的拓展。

1.3 目的本文旨在全面介绍Abel范畴中的短五引理，解释其概念、特点和应用，总结已有的相关结果并评价其作用，同时探讨目前仍存在争议或未解决的问题。

通过该文章，读者可以对Abel范畴中的短五引理有一个深入全面的了解，并为进一步深入研究提供参考和指导。

2. Abel范畴中的短五引理：2.1 短五引理的定义与背景短五引理是在Abel范畴中关于正合列的重要定理。

在数学领域中，Abel范畴是一类满足一定条件且具有加法和乘法运算的对象组成的范畴。

短五引理主要描述了这种范畴中的正合列（exact sequence）性质。

正合列是指一个由对象和态射构成的序列，其中态射之间的像（image）等于下一个对象的核（kernel）。

换言之，在正合列中，每个对象都是前一个对象像和后一个对象核之间的连接点。

2.2 短五引理的意义和应用短五引理在代数学、同调代数以及其他相关领域具有广泛应用。

形数研究的历史古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：“万物皆数”，数是万物之“本””，只有通过数字才能对自然现象进行解释。

从毕达哥拉斯那个年代开始，古希腊的数学家们就对一些形数进行过研究。

左图上面的一行是一些三角形数，下面的一行是四角形数，或者叫正方形数。

对于我们来说，数字是抽象概念，而事物是实际存在的。

但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派还并未完全做到。

毕达哥拉斯派与形数在毕达哥拉斯派看来，数字是点或微粒。

他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。

如左下图的五边形数和右下图的六边形数。

虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。

他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。

有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛劳斯(Philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解……。

”一.num=△+△+△1796年7月10日,数学家高斯在日记中写道：ErPHKA!num=△+△+△。

这里ErPHKA是希腊文“发现”或“找到”的意思，高斯的引用了当年阿基米德发现浮力定理时说的话，可见他兴奋心情。

高斯到底发现了什么?什么使他如此兴奋?原来他找到了“自然数可表示为三个三角形数之和”的证明（num为数的缩写，△表示三角形数）。

据说此前法国数学家费马曾猜测：每个自然数皆可用k个k 角形数和表示。

对于四角形数的问题,我们稍后再谈1831年法国数学家柯西在巴黎科学院宣读了他的论文,论文给出自然数皆可用k个k角形数和表示的证明。

二.自然数表为四角形数问题早在公元3世纪前后，数学家丢番图曾猜测自然数皆可用四个四角形数（即完全平方数和）表示。

其实，许多自然数只须用两个完全平方数和便可表示（如5=12+22，8=22+22等等)，但有些不行（像3，6，7等等），是费马首先认识到质数（除2之外）皆有4k+1或4k+3形状，而后他发现了：4k+1型质数皆可表为两完全平方数和形式(双平方和定理)。

数学四大悖论数学是一门充满了美感和逻辑性的学科，但在这个领域中也存在着一些看似矛盾、荒诞的悖论。

以下是数学四大悖论：1.罗素悖论罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）于1901年提出的。

他构思了一个集合，这个集合包含所有不包含自身的集合。

根据传统的集合论，这个集合应该是存在的。

但当我们试图将这个集合是否包含自身这一要素套入其中时，会陷入一个矛盾的局面：如果这个集合不包含自身，那么它应该包含在这个集合中；但如果它包含自身，那么它又不可能包含在这个集合中，因为它包含了一个包含自身的集合。

这就是罗素悖论。

2.贝尔悖论贝尔悖论是由美国逻辑学家诺尔曼·L·贝尔（Norman L. Geisler）提出的。

这个悖论涉及了一个涉及到无限序列的问题。

假设有一个无限序列A1,A2,A3…，这个序列中所有的数字都是0或1。

接下来，我们可以构建一个新的序列B，它的第n位是A(n+1)的相反数。

比如，如果A序列是0,1,0,1…那么B序列就是1,0,1,0…接下来，我们来讨论一个问题：在这个新序列B中，有没有一个长度为n的子序列与A相同？如果存在，那么根据B的定义，这个子序列中的每一位都与A的相应位不同，所以这个子序列在B中不可能出现。

但是，如果不存在这样的子序列，那么B序列就不可能与A序列相反，因为每个长度为n的子序列都会在B序列中出现。

3.高斯悖论高斯悖论是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1796年提出的。

这个问题涉及到一个三元数列：1,-1,1,-1…。

我们可以将这个数列进行逐项相乘得到一个新的数列：1,-1,-1,1,1,-1,-1,1…。

如果我们将每个数取绝对值并相加，就可以得到一个数列：1,1,1,1,1,1,1,1…但这与原来的数列被称为奇异级数，因为它相加得到的和是无限大，但我们的答案确是一个有限的数。

数学上的悖论
数学上有很多著名的悖论，以下是其中一些示例：
1. 赛兹悖论（Russell's paradox）：由英国数学家伯特兰·罗素提出的悖论，涉及到集合论中的自指问题。

简而言之，它证明了不存在一个包含所有不包含自己的集合的集合。

2. 卡塔兰数悖论：卡塔兰数是组合数学中的一种数列，用于描述许多组合问题。

然而，当使用相关的递归公式进行计算时，很容易出现负数结果，这与卡塔兰数的定义相矛盾。

3. 第二哥德尔不完备性定理：哥德尔于1931年提出的两个不完备性定理表明，任何基于自然数的形式理论都存在无法被证明或证伪的命题。

这意味着在数学领域中，总会存在无法确定真伪的命题，从而引发了对数学基础和形式系统的思考。

这些悖论都挑战了数学体系的完备性、一致性或者自指性，进一步推动了数学基础研究的发展。

西尔韦特不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述西尔韦特（Chebyshev）不等式是概率论中一种重要的不等式，被广泛应用于统计学和概率论的各个领域。

它建立了两个随机变量之间的关系，并且在实际问题中具有很强的指导意义。

西尔韦特不等式最早由俄国数学家彼得·勃劳界斯（Pafnuty L'vovich Chebyshev）于19世纪提出，他的研究成果在概率论和数学统计学的发展中起到了重要的推动作用。

该不等式在数学领域中也被称为马尔可夫不等式。

本文将对西尔韦特不等式的定义、原理以及证明方法进行介绍，并且将探讨它在实际问题中的应用。

通过阅读本文，读者将能够深入理解西尔韦特不等式，并且学会如何应用这一强大的工具解决实际问题。

在第2部分，我们将详细介绍西尔韦特不等式的定义和原理。

我们将探讨这种不等式背后的思想和概念，并且解释它在概率和统计学中的重要性。

在第3部分，我们将介绍证明西尔韦特不等式的三种方法。

这些证明方法将帮助读者更好地理解不等式的本质，并且能够运用这些方法来证明其他的不等式。

在第4部分，我们将探讨西尔韦特不等式在实际问题中的应用。

我们将给出几个具体案例，展示西尔韦特不等式在概率和统计学中的广泛应用。

最后，在第5部分，我们将给出本文的总结和结论。

我们将总结西尔韦特不等式的重要性，并展望它在未来的进一步发展和应用。

通过阅读本文，读者将会对西尔韦特不等式有一个清晰的理解，了解它在概率和统计学中的应用，并且能够有效地运用它来解决实际问题。

同时，本文也为读者进一步深入研究相关领域提供了基础知识和参考资料。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和讲解：第2部分将介绍西尔韦特不等式的定义和原理。

在2.1节中，将详细介绍西尔韦特不等式的定义，明确其数学表达形式和含义。

2.2节将深入探讨西尔韦特不等式的原理，解释其背后的数学原理和推导过程。

最后，在2.3节将展示西尔韦特不等式在实际问题中的应用。

2500年前，毕达哥拉斯指“万物皆数”去解释2500 年前，毕达哥拉斯指出“万物皆数”这一观念，他认为宇宙中的一切物体可以用于抽象数字来描述。

这个观念渊源于古希腊数学家和哲学家，可以说是世界上有史以来最伟大的数学理论之一。

今天，这一观念仍随着独一无二的信念和宗旨受到充分的肯定。

毕达哥拉斯持有的“万物皆数”的观点，是数学中诸范畴的根本，是比现在加入的所有数学规范还要更早的。

他认为，空间和时间及其它元素，比如数字、几何形体和数学公式，都是以数字而存在的。

而且，他认为，这些数字也被称之为整数和浮点数，可以描述客观世界的几何的性质以及它的全部运动。

他的假设受到了许多数学家的认可，随着他们的不断探索和思考，关于这一观念的讨论有所展开。

在公元前的500年，《埃涅阿斯元素》一书的出版，把数学思想的研究发展至高峰。

《埃涅阿斯元素》中提出了定矩形定理，其中包括对对称图形中每一边之间的等度量，以及圆周角到度数的转换形式。

它为后来欧几里德几何所延伸，还用十进位和坐标系统使椭圆方程，三角函数和其他的几何规律，可以用几何的方式表示出来。

《埃涅阿斯元素》的另一个有趣的观点是，人们可以把它当作一种可以分析数值的概念，而数学术语中的“自由”也暗指，我们可以用这一系统来研究更多的事物。

例如，一些几何定理是由若干“埃涅阿斯元素”构成的，其中包括定义圆周率π、圆形面积和圆锥体体积的公式。

毕达哥拉斯也认为，圆论中定义的圆周角就是一个数量，这个数量可以通过度数转换的形式进行操作。

此外，毕达哥拉斯还认为，数学概念可以用来描述一切现象，他们之间的关系可以用等式和方程描绘出来，而“万物皆数”的概念也可以余用于推导此类数学概念。

这不仅佐证了毕达哥拉斯的“万物皆数”观点，还可以运用到目前的逻辑数学和统计分析，例如，膨胀和紧缩、热力学和概率学等程序。

毕达哥拉斯认为，把客观事物与抽象数量做联系，可以用来揭示客观事物的引进法则，这也就是我们现在把他的“万物皆数”观念作为一个基础理论，从而获得了巨大的进步。

伟烈亚力所介绍的外国数学史知识在数学发展的历程中，伟烈亚力是一位不可或缺的杰出人物。

他不仅在数学领域取得了卓越的成就，还致力于传播和推动外国数学史的发展。

本文将介绍伟烈亚力所的外国数学史，探讨古代数学、中世纪数学和近代数学的发展概况及其重要知识点，并分析数学思想的发展历程。

在外国数学史的发展过程中，古代数学、中世纪数学和近代数学都取得了显著的成就。

在古代数学阶段，欧几里得、阿基米德等希腊数学家们的贡献最为突出。

他们建立了严密的逻辑思维体系，为数学发展奠定了坚实的基础。

中世纪数学则以阿拉伯数学为代表，花剌子密的《代数学》等作品流传至今。

近代数学则从17世纪开始蓬勃发展，涌现出牛顿、莱布尼茨等众多伟大的数学家。

在这些数学发展阶段中，伟烈亚力特别了几个重要知识点。

首先是古希腊数学家欧几里得，他的《几何原本》成为了数学史上最具影响力的著作之一。

欧几里得将几何学整理成一套严密的公理化体系，为后世的数学发展提供了重要的参考。

另外，中国数学家祖冲之的圆周率计算成果也令人瞩目，成为了人类计算圆周率的历史巅峰。

近代数学中，高斯的《算术研究》则对数论领域做出了卓越的贡献。

在数学思想方面，外国数学思想的发展历程同样值得我们。

逻辑思维和公理化体系是外国数学思想的两大核心。

古希腊数学家们最早运用逻辑思维来研究数学问题，而公理化体系则成为了他们组织和管理数学知识的重要工具。

在外国数学思想的发展过程中，数量关系和空间认识也是两个关键的领域。

通过以上分析，我们可以深刻感受到外国数学史的重要性和价值。

伟烈亚力作为一位杰出的数学家和数学史研究者，不仅数学发展的历史背景，还致力于传播和推动外国数学史的发展。

他的努力为我们认识和理解外国数学史提供了宝贵的视角和启示。

总结来说，伟烈亚力所介绍的外国数学史知识为我们呈现了一个丰富多彩的数学发展历程。

从古代数学的逻辑思维体系到近代数学的公理化框架，外国数学家们不断探索和突破，为人类文明的发展做出了卓越的贡献。

斯特劳哈尔数范围-概述说明以及解释1.引言1.1 概述斯特劳哈尔数是一种与整数分解有关的数学概念，在数论领域具有重要的应用价值。

斯特劳哈尔数范围是指在给定范围内包含的斯特劳哈尔数的集合。

通过研究斯特劳哈尔数的范围，我们可以深入了解其特性和应用，从而更好地理解数论中的相关理论。

本文将介绍斯特劳哈尔数的定义、特点和应用，探讨其在数学领域中的重要性，并希望能为读者对斯特劳哈尔数的理解提供一定的帮助。

1.2 文章结构文章结构部分主要是介绍本文的结构和内容安排。

首先会简要说一下整篇文章的大纲和各个部分的内容概述，引导读者对文章整体有一个清晰的了解。

然后会详细介绍每个章节的内容，包括对该部分主题的详细讨论和分析，以及相关的实例和案例，最后会总结各个章节的要点，为结论部分做铺垫。

文章结构部分的目的是帮助读者更好地理解整篇文章的组织结构，有助于读者更好地掌握文章的主旨和重点内容。

1.3 目的本文的主要目的是介绍斯特劳哈尔数的范围及其在数学领域中的重要性。

通过对斯特劳哈尔数的定义和特点进行详细的讨论，我们将探讨其在数学理论和实际应用中的作用。

同时，我们还将对斯特劳哈尔数的应用领域进行深入探讨，展示其在实际生活中的重要性。

通过本文的阐述，读者将对斯特劳哈尔数有一个更加全面和深入的理解，从而有助于他们在相关领域的学习和研究工作。

2.正文2.1 什么是斯特劳哈尔数：斯特劳哈尔数（Strohalm numbers），又称为斯特劳哈尔序列，是一个数学概念，其中的数列以斯特劳哈尔数命名。

斯特劳哈尔数是一个递归定义的数列，其第一个数是1，然后按照以下规则生成后续的数：对于任意一个数n，如果n没有在数列中出现过，则下一个数是n的平方根，如果n已经在数列中出现过，则下一个数是n的平方。

换句话说，斯特劳哈尔数列以非负整数1开始，并根据上述规则生成后续的数。

斯特劳哈尔数的定义相当简单直观，但由于其独特的生成规则，导致了对其性质和行为的深入研究。

历史上的三次数学危机日期:2009-12-06 点击数:47【第一次数学危机的简介】从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。

这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。

他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。

他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。

数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。

毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。

他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。

这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

不可通约性的发现引起第一次数学危机。

有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。

不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。

不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。

整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。

从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。

即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。

比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。

至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。

亨格福德代数学
亨格福德代数学（Hungerford algebra）是指由美国数学家Thomas W. Hungerford于20世纪70年代发展起来的一种抽象代数理论。

亨格福德代数学主要研究抽象代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的映射和关系。

它是现代代数学的一个重要分支，并在数学教育中具有广泛的应用。

亨格福德代数学的主要研究内容包括：
1. 群论：研究群的性质、群的同态和同构、子群、正规子群等。

2. 环论：研究环的性质、环的同态和同构、理想、素理想等。

3. 域论：研究域的性质、域的扩张、域的同态和同构等。

4. 模论：研究模的性质、模的同态和同构、子模、直和分解等。

亨格福德代数学的研究方法主要是通过定义和证明代数结构的性质和关系，利用抽象代数的基本概念和定理进行推理和证明。

它在代数学的其他分支中有广泛的应用，如数论、代数几何、拓扑学等。

亨格福德代数学的研究成果对于推动现代数学的发展和应用具有重要意义，对于培养学生的抽象思维能力和数学推理能力也具有重要作用。