中考数学几何模型第二十七节:二次函数线段和周长最值问题468.二次函数三角形周长最小值(初三)x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,已知抛物线y=14x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是()点M的坐标为(3,3),P是抛物线y=14A.3B.4C.5D.6469.二次函数线段最大值(初三)如图,二次函数y=axx2+bx+c的图象过0(0,0)、A(1,0)、B(32,32)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解析式;(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作PQ⊥x轴,交直线CD于Q,当线段PQ的长最大时,求点P 的坐标.470.二次函数三角形周长最小值(初三)如图,抛物线的顶点为A(h,―1),与y轴交于点B(0,―12),点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)已知直线1是过点C(0,―3)且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点P(m,n)到直线1的距离为d,求证: PF=d;(3)已知坐标平面内的点D(4,3),请在抛物线上找一点Q,使△DFQ的周长最小,并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.471.二次函数三角形相似造桥选址周长最小值问题(初三)如图,已知二次函数的图象与x轴交于A和B(―3,0)两点,与y轴交于C(0,-3),对称轴为直线x=―1,直线y=―2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.(1)求抛物线的解析式和m的值;(2)在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由;(3)直线y=1上有M、N两点(M在N的左侧),且MN=2,若将线段MN在直线y=1上平移,当它移动到某一位置时,四边形MEFN的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).答案468.【解】△PMF周长=FM+FP+MP,∵F(0,2)、M(3,3),∴由两点距离公式可得:FM =2,为定值只有当FP +MP 取最小值时,△PMF 周长最小.∵FP =FD ∴FP +MP =PD +MP,当MPD 三点共线,且垂直x 轴时,有最小值,过点M 作ME ⊥x 轴于点E,ME 是FP+MP 的最小值,∵M(3,3),∴ME =3,∴△PMF 周长的最小值=FM +ME =3+2=5.故选:C.469.【解】(1)将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0a +b +c =032=94a +32b +c ,解得{a =233b =―233c =0故抛物线的表达式为:y =233x 2-233x;(2)由点B 的坐标(32,32)知,直线BO 的倾斜角为30∘,即∠BOA =30∘,∵BO ⊥AD,则∠BOA +∠BOC =90∘,∠BOC +∠OCA =90∘,∴∠OCA =∠BOA =30∘,则CD 与x 轴的夹角为60∘,故设CD 的表达式为:y =-3x +b,而OB 中点的坐标为(34,34),将该点坐标代入CD 表达式并解得:b =3,故直线CD 的表达式为:y =-3x +3;(3)设点P (x,233x 2-233x ),则点Q(x,-3x +3),则PQ =-3x +3-(233x 2-233x )=-233x 2-33x +3=-233(x +14)2+25324,∵-233<0,故PQ 有最大值,此时点P 的坐标为(-14,25324).470.(1)【解】由题意抛物线的顶点A(2,-1),可以假设抛物线的解析式为y =a(x -2)2-1,∵抛物线经过B (0,-12),∴-12=4a -1,∴a =18∴抛物线的解析式为y =18(x -2)2-1.(2)证明:如图1,过点P 作PJ ⊥AF 于J.∵P(m,n),∴n =18(m -2)2-1=18m 2-12m -12,∴P (m,18m 2-12m -12),∴d =18m 2-12m -12-(-3)=18m 2-12m +52,∵F(2,1),∴PF =PJ 2+PF 2=164m 4-18m 3+78m 2-52m +254,∵d 2=164m 4-18m 3+78m 2-52m +254,PF 2=164m 4-18m 3+78m 2-52m +254,,∴d 2=PF 2,∴PF =d.(3)如图2,过点Q 作QH ⊥直线l 于H,过点D 作DN ⊥直线l ⋅N.∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,∴DF是定值=22+22=22,∴DQ+QF的值最小时,△DFQ的周长最小,由(2)可知QF=QH,∴DQ+QF=DQ+QH,根据垂线段最短可知,当D,Q,H共线时,DQ+QH的值最小,此时点H与N重合,点Q在线段DN上,∴DQ+QH的最小值,即为DN的值等于6,∴△DFQ的周长的最小值为22+6,此时Q(4,-12).471.【解】(1)∵抛物线的对称轴x=-1,与x轴的交点为A,B(-3,0),∴A(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),把C(0,-3)代入得到,a=1,∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.∵直线y=-2x+m经过点A(1,0),∴0=-2+m,∴m=2.(2)如图1中,存在两种情况:∵直线AF的解析式为y=-2x+2,直线交y轴于D,与抛物线交于点E,∴D(0,2),由{y =-2x +2y =-x 2+2x -3,解得:{x =1y =0即点A,或{x =-5y =12,∴E(-5,12),①.过点E 作EP ⊥y 轴于P.∵∠EPD =∠AOD =90∘,∠EDP =∠ODA,∴△EDP ∽△ADO,∴P(0,12).②.过点E 作EP '⊥DE 交y 轴于P ',同法可证,△PDE ∽△ADO,∴∠P '=∠DAO,∴tan ∠P '=tan ∠DAO,∴EP PP '=OD OA ,∴5PP '=21,∴PP '=2.5,∴P '(0,14.5)综上所述,满足条件的点P 的坐标为(0,12)或(0,14.5)(3)∵E,F 为定点,∴线段EF 的长为定值,又∵MN =2,∴当EM +FN 的和最小时,四边形MEFN 的周长最小,如图2中,画出直线y =1,将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于直线y =1的对称点E ',连接E 'F '与直线y =1交于点M,过点F 作FN//E 'F '交直线y =1于点N,由作图可知,EM =E 'M,FN =F 'M,∵E ',M,F '三点共线,∴EM +FN =E 'M +F 'M =E 'F ',此时EM +FN 的值最小,∵点F 为直线y =-2x +2与x =-1的交点,∴F(-1,4),∴F '(-3,4),∵E(-5,12),∴E '(-5,-10),如图,延长FF'交线段EE'于H,∵FF'/直线y=1,∴FH⊥EE',在Rt△HEF中,FH=4,EH=8EF=FH2+EH2=45,同理,在Rt△E'F'H中,E'F'=102,∴四边形MEFN的周长的最小值=ME+FN+EF+MN=E'F'+EF+MN=102+45+2.。
