金识源专版高中数学第三章函数的应用章末小结习题新人教A版必修1

高中数学第三章函数的应用测评新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章函数的应用测评新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章函数的应用测评新人教A版必修1的全部内容。

第三章函数的应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用二分法求出函数零点的是（）解析：由二分法的定义易知选A。

答案:A2.已知函数f（x)=2x—b的零点为x0，且x0∈（—1，1),则b的取值范围是（)A.（-2,2）B。

(—1，1)C。

D.(—1，0)解析:解方程f（x)=2x—b=0，得x0=,所以∈(—1，1）,即b∈（-2,2).答案:A3.已知函数f(x)=e x—x2，则在下列区间内，函数必有零点的是(）A.(—2,-1）B。

(-1，0)C。

(0,1）D。

(1,2）解析：f(-2）=—4〈0,f(—1)=—1<0,f（0)=e0=1〉0，f(1)=e-1〉0,f(2)=e2-4>0.∵f（-1)·f(0）<0,∴f(x）在区间(—1，0）内必有零点。

答案：B4。

下列给出的四个函数f(x）的图象中能使函数y=f(x）—1没有零点的是(）解析:把y=f（x）的图象向下平移一个单位长度后,只有C中的图象满足y=f(x）—1与x轴无交点。

答案：C5.已知一根蜡烛长为20 cm，若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位:cm）与燃烧时间t（单位：小时)的函数关系用图象表示为（）解析：本题结合函数图象考查一次函数模型.由题意得h=20—5t（0≤t≤4),故选B。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 -3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 -3.1.2函数的表示法(1) ....................................................................................... - 10 -3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 19 -3.2函数的基本性质................................................................................................... - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 26 -3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 32 -3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 42 -3.3幂函数 .................................................................................................................. - 51 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 60 - 3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念内容标准学科素养1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型．数学抽象数学建模数学推理2.学习用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域.授课提示：对应学生用书第30页[教材提炼]知识点一函数的概念预习教材，思考问题y＝x中x与y的对应关系，和y＝x2x中x与y的对应关系相同吗？知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)[自主检测]1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是()答案：D2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝() A．－1B．0 C．1 D．2 答案：C3．函数f(x)＝14－x的定义域是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)答案：A4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁U A用区间表示为________．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)授课提示：对应学生用书第31页探究一函数关系的判断[例1](1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值[解析]按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．[答案] A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()[解析]任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．[答案] D1．判断一个对应是否是函数的方法2．根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：对选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意，故选C. 答案：C探究二 求函数的定义域 [例2] (1)函数y ＝21－1－x的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1](3)函数y ＝(x ＋1)0|x |－x 的定义域是( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜0，且x ≠－1}D ．{x |x ≠0，且x ≠－1}(4)已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为________．[解析] (1)由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠0.故选B.(2)由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.(3)∵⎩⎨⎧ x ＋1≠0，|x |－x ＞0，∴⎩⎨⎧ x ≠－1，|x |＞x ，∴⎩⎨⎧x ≠－1，x ＜0.故选C.(4)由题意知0＜y ＜10，即0＜10－2x ＜10，解得0＜x ＜5.又底边长y 与腰长x 应满足2x ＞y ，即4x ＞10，x ＞52.综上，52＜x ＜5.[答案] (1)B (2)A (3)C (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式． (3)一般地，形如y ＝f (x )，则f (x )≥0， 形如y ＝1f (x )，则f (x )≠0， 形如y ＝(f (x ))0，则f (x )≠0.1．下列函数中，与函数y ＝13x 3有相同定义域的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝3x 3解析：函数y ＝13x 3＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，与选项B 中的函数是相等函数，其定义域相同．答案：B2．y ＝x －1·1－x 的定义域为________．解析：⎩⎨⎧x －1≥0，1－x ≥0⇒x ＝1，所以函数的定义域为{1}．答案：{1}探究三 求函数值问题[例3] [教材P 65例2拓展探究] (1)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (f (－3))的值． [解析] ∵f (－3)＝－1. ∴f (f (－3))＝f (－1)＝－1＋3＋1－1＋2＝2＋1. (2)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，求f (x －1)的定义域． [解析] 法一：f (x －1)＝x －1＋3＋1x －1＋2＝x ＋2＋1x ＋1∴⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x ＋1≠0， ∴⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－1. 定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．法二：∵f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}， ∴f (x －1)的定义域为x －1≥－3且x －1≠－2. 即{x |x ≥－2且x ≠－1}．(3)若函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2，设g (x )＝x 2－3，求f [g (x )]．[解析] 首先g (x )≥－3，且g (x )≠－2， 即x 2－3≥－3且x 2－3≠－2， ∴x ≠±1.∴f [g (x )]＝g (x )＋3＋1g (x )＋2＝x 2＋1x 2－1＝|x |＋1x 2－1.∴f [g (x )]＝|x |＋1x 2－1(x ≠±1)．函数求值的方法及关注点(1)方法：①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．授课提示：对应学生用书第32页一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题►数学抽象、逻辑推理所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．1．定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．[典例](1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．[解析](1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，所以－1≤2x －1＜1.故f (x )的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x ＜1. 解得0＜x ≤23，所以f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.2．求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] f (1)＝f (1＋0)＝f (1)＋f (0)＋2×1×0＝f (1)＋f (0)，得f (0)＝0；又f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋2－2＝f (－1)，得f (－1)＝0；f (－2)＝f (－1－1)＝2f (－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；f (－3)＝f (－2－1)＝f (－2)＋f (－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6. [答案] C点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式． 二、求定义域时盲目化简[典例] 求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．[解析] 要使函数有意义，须⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，得x ≤1且x ≠－1定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y ＝x ＋1－1－x ，求定义域更简单.1－x ≥0得x ≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．3.1.2函数的表示法(1)内容标准学科素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．直观想象、逻辑推理数学抽象2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.授课提示：对应学生用书第33页[教材提炼]知识点函数的三种表示方法预习教材，思考问题比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？知识梳理解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．这三种方法是常用的函数表示法．[自主检测]1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝1x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x2答案：C3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案：1授课提示：对应学生用书第33页探究一列表法表示函数[例1](1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价(元)0.50.50.5111 1.5 1.5 1.5(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.x 0＜x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜20y＝f(x)46810(3)如表：x 12 3f(x)231x 12 3g(x)32 1则方程g(f(x))＝x[解析](1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．[答案](1)1.5(2){1,2,3,5}(3){3}列表法表示函数的相关问题的解法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．1．在本例(3)条件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．解析：f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如表所示：x 12 3f(g(x))13 2g(f(x))21 3不等式f(g(x))＞g(f(x))2．若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.x 123 4y 432 1定义域为________答案：{1,2,3,4}{4,3,2,1}探究二函数的图象及应用[例2](1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．[答案] A(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．[解析]①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x ＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，画出此函数的图象，如图所示：②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围→函数的定义域上下看范围→函数的值域左右看变化→函数值随x的变化情况1.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃.令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是()解析：依题设当t ＝12时，C (t )＝10，排除D ；由年平均气温为10 ℃知C (t )不会都在10 ℃以下，排除B ；依题图知在t ∈[0,6]内，Q (t )的图象关于(3,0)中心对称，因此C (6)＝0，排除C ，故选A.答案：A2．已知函数为y ＝x 2－2x ，x ∈[－1,2)，试画出此函数的图象．解析：y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1. 当x ＝－1时，y ＝3； 当x ＝0时，y ＝0； 当x ＝1时，y ＝－1； 当x ＝2时，y ＝0.如图开口向上的部分抛物线段． 探究三 求函数解析式[例3] (1)(待定系数法)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )． [解析] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， ∴k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25. ∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253.∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253.(2)换元法(或配凑法)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[解析] 法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)(方程组法)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． [解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ∴由①②得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .求函数解析式的方法提醒：换元法要注意新元“t ”的取值范围，否则易弄错函数定义域.1．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x B.1＋xx －1C.1－x1＋xD.2x x ＋1解析：令t ＝1－x 1＋x ，解得x ＝1－t1＋t， 代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t 1＋t ，∴f (x )＝1－x1＋x. 答案：C2．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ， ①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x ， ②∴①×2－②得 3f (x )＝6x －3x ， ∴f (x )＝2x －1x . 答案：2x －1x授课提示：对应学生用书第35页一、一“图”胜万言——函数图象的应用►直观想象[典例] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析] 法一：由f (x )的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得⎩⎨⎧d ＝0，a ＋b ＋c ＝0，8a ＋4b ＋2c ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝－3a ，c ＝2a ，d ＝0.∴f (x )＝ax 3－3ax 2＋2ax . 又由图象知f (－1)＜0，∴－a －3a －2a ＜0⇒a ＞0，则b ＝－3a ＜0. 故选A.法二：由三次函数f (x )的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .又∵f (3)＞0，得6a ＞0⇒a ＞0， ∴b ＝－3a ＜0.故选A. [答案] A二、忽视新元的范围 [典例] 已知f (x 2＋1)＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式． [解析] 设t ＝x 2＋1， ∴t ≥1， ∴x 2＝t －1，∴f (t )＝t －1＋1t ， ∴f (x )＝x ＋1x －1(x ≥1)．纠错心得 此题用换元法或配凑法求出f (x )后，易丢定义域的证明(x ≥1)．3.1.2 函数的表示法(2)内 容 标 准学 科 素 养 1.通过具体实例，了解分段函数的概念． 数学抽象 2.能画出简单分段函数的图象.直观想象授课提示：对应学生用书第35页[教材提炼]知识点 分段函数 预习教材，思考问题函数y ＝|x |在x ≥0与x ＜0时的解析式相同吗？知识梳理 如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．[自主检测]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x ＜－1，x －1，x ＞1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案：C2．若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0且f (x )＝1，则x ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C3．函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数，则其定义域为________，值域为________．答案：R {0,1}4．函数y ＝|x －1|的图象关于直线________对称． 答案：x ＝1授课提示：对应学生用书第35页探究一 分段函数的定义域、值域及求值问题[例1] [教材P 68例6拓展探究](1)若已知函数M (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1＜x ≤0，(x ＋1)2，x ＞0.求①M (－3)，②M (2)，③M [M (0)]，④f [M (－3)]，⑤F [M (a )]． [解析] ①当x ＝－3时，M (－3)＝(－3＋1)2＝4. ②当x ＝2时，M (2)＝(2＋1)2＝9. ③∵M (0)＝1，∴M [M (0)]＝M (1)＝(1＋1)2＝4. ④∵f (x )＝x ＋1，∴f [M (－3)]＝f (4)＝4＋1＝5. ⑤当a ≤－1时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.当－1＜a ≤0时，M (a )＝a ＋1，∴f [M (a )]＝(a ＋1)＋1＝a ＋2. 当a ＞0时，M (a )＝(a ＋1)2， ∴f [M (a )]＝(a ＋1)2＋1.综上，f [M (a )]＝⎩⎨⎧(a ＋1)2＋1， a ≤－1，a ＋2， －1＜a ≤0，(a ＋1)2＋1， a ＞0.(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )、g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f (x )，g (x ).求m (x )的解析式，并求m (x )的值域．[解析] 由(x ＋1)2＝x ＋1得x ＝－1或x ＝0，即函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象相交于两点(－1,0)和(0,1)． 结合f (x )与g (x )的图象得出 m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1，(x ＋1)2，－1＜x ≤0，x ＋1， x ＞0，如图，值域为R .1．分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 3．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．探究二 求分段函数解析式[例2] 如图①，在边长为6的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．[解析] (1)按照题意，根据x 的变化，写出分段函数的解析式． 当点P 在线段BC 上移动时，即0＜x ≤6，BP ＝x ， 于是S △APB ＝12AB ·BP ＝12×6×x ＝3x ；当点P 在线段CD 上移动时，即6＜x ≤12，S △APB ＝12AB ·BC ＝12×6×6＝18； 当点P 在线段DA 上移动时，即12＜x ＜18，S △APB ＝12AB ·P A ＝12×6×(18－x )＝54－3x .于是y ＝⎩⎨⎧3x ，0＜x ≤6，18，6＜x ≤12，54－3x ，12＜x ＜18.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图②所示．求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x 的分段区间及分段点．(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别写出其在各区间内的函数表达式．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋3， x ∈[－2，0)，－12x ＋3， x ∈[0，2)，2， x ∈[2，4).探究三 分段函数与方程、不等式[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.[解析] 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)． 当x 0＞2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或x 0＝4. [答案] －6或4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜43x ，x ≥4，，若f (a )＜－3，则a 的取值范围是________．[解析] 当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解．所以a 的取值范围是(－∞，－3)． [答案] (－∞，－3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．将本例(1)改为：若f (x )＞8，求x 的范围． 解析：当⎩⎨⎧ x ≤2，x 2＋2＞8得⎩⎨⎧x ≤2，x 2＞6，∴x ＜－ 6. 当⎩⎨⎧x ＞2，2x ＞8， ∴x ＞4.∴x 的范围为(－∞，－6)∪(4，＋∞).授课提示：对应学生用书第36页一、形分而神不分——分段函数问题的求解方法►直观想象、逻辑推理 分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体．[典例] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ＞1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2. 因为f (1－a )＝f (1＋a )， 所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1 所以a ＝－32(舍去)． 综上所述，a ＝－34. [答案] －34 二、不分类讨论致错[典例] 若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，－1≤x ≤2，x －3，2＜x ≤5，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4[解析] 当－1≤x ≤2时，由f (x )＝1得， 3－x 2＝1，所以x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当2＜x ≤5时，由f (x )＝1得，x －3＝1，所以x ＝4. 综上，f (x )＝1的解是x ＝2或x ＝4. [答案] C纠错心得 解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x 范围的并集，求值时要重视x 的取值范围．如本例当－1≤x ≤2时，求出x ＝2或x ＝－2，通过检验应舍去x ＝－ 2.3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值(1)内 容 标 准学 科 素 养 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性． 直观想象 数学抽象 逻辑推理2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义．3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第37页[教材提炼]知识点 函数的单调递增、单调递减 预习教材，思考问题对于函数f (x )＝x 2，如何用符号语言描述？ 知识梳理 (1)定义域为I 的函数f (x )的增减性(2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．③如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[自主检测]1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A．0B．1C．2 D．4解析：只有①是增函数．答案：B2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．答案：D3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |答案：B4．函数y ＝|x －1|的增区间为________． 答案：[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第37页探究一 由函数图象求函数的单调区间[例1] 作出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并指出它的单调区间． [解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x |＋3 ＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0－(x ＋1)2＋4，x <0. 作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．将本例函数改为f (x )＝|x 2＋2x －3|，求f (x )的单调区间． 解析：令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二 函数单调性的证明或判断[例2] [教材P 79例3拓展探究]根据定义证明y ＝x ＋1x 在(0,1)上是单调递减． [证明] ∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，有 y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．由于0＜x 1＜1,0＜x 2＜1. ∴0＜x 1x 2＜1. ∴x 1x 2－1＜0. 又由x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0， ∴x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)＞0，∴y 1＞y 2，∴函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三 利用单调性求参数[例3] 已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－－12a ≥2，解得0＜a ≤14.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 1)－f (x 2)＜0(或f (x 1)－f (x 2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．若函数f (x )＝⎩⎨⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是________．解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0]上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b2×(－1)≥0，0≤b －1，∴1≤b ≤2，即实数b 的取值范围是[1,2]．授课提示：对应学生用书第38页一、单调性定义的拓展及规律 1.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )是增函数．2.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )是减函数．3．f (x )在区间A 上是单调函数，则k ＞0时，kf (x )的单调性不变；k ＜0时，则相反．4．f (x )，g (x )在区间A 上同单调，则f (x )＋g (x )的单调性不变．5．若f (x )在区间A 上是单调函数，则1f (x )的单调性相反，2nf (x )(f (x )＞0)、2n －1f (x )(n ∈N *)的单调性相同．6．图象关于轴(与x 轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同．[典例] 1.判定函数y ＝x 2－2x ＋x －1的单调性，并求单调区间．[解析] 定义域为x ≥1，函数y 1＝x 2－2x ，y 2＝x －1均为增函数，则y ＝x 2－2x＋x－1也为增函数，则y＝x2－2x＋x－1的增区间为[1，＋∞)．2．定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2∈R，(x1≠x2)有f(x2)－f(x1)x2－x1＜0，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)[解析]由题意知，f(x)在R上为减函数．由题意知，a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故选D.[答案] D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误[典例]若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a 的取值范围．[解析]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，所以1－a＝4，解得a＝－3.故实数a的取值范围是{－3}．纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．3.2.1单调性与最大(小)值(2)义．逻辑推理、数学运算2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页[教材提炼]知识点函数的最值预习教材，思考问题(1)函数f(x)＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标[自主检测]1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3、0B ．3、1C ．3、无最小值D ．3、－2答案：C3．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一 利用图象法求函数的最值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (0≤x ≤2)，2x －1(x ＞2)，求函数f (x )的最大值、最小值．[解析] 作出f (x )的图象如图：由图象可知，当x ＝2时，f (x )取最大值为2；当x ＝12时，f (x )取最小值为－14. 所以f (x )的最大值为2，最小值为－14.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])的图象(如图所示)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2)＝2，y min＝f(6)＝2 5.探究二利用单调性求最值[例2]求函数f(x)＝x2＋9－x，x∈[－4,0]的最大值和最小值．[解析]设x1，x2是[－4,0]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋9－x1－x22＋9＋x2＝(x1－x2)(x1＋x2)x21＋9＋x22＋9＋x2－x1.∵－4≤x1＜x2≤0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－4,0]上是减函数．∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．已知函数f(x)＝2xx＋1，x∈[－3，－2]，求f(x)的最大值和最小值．[解析]法一：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2x1(x2＋1)－2x2(x1＋1) (x1＋1)(x2＋1)＝2(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).由于－3≤x1＜x2≤－2，则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．所以函数y＝2xx＋1，x∈[－3，－2]是增函数．又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)＝2xx＋1＝2(x＋1)－2x＋1＝2＋－2x＋1，所以f(x)图象的对称中心是(－1,2)，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，图象如图：由图象可知f (x )在[－3，－2]的值域为[3,4]，最小值为f (－3)＝3，最大值为f (－2)＝4.探究三 二次函数的最值问题[例3] [教材P 80例4拓展探究] (1)已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3. ①当x ∈[－2,0]时，求f (x )的最值； ②当x ∈[－2,3]时，求f (x )的最值； ③当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．[解析] f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，开口向上． ①当x ∈[－2,0]时，f (x )在[－2,0]上是单调递减的， 故当x ＝－2时，f (x )有最大值f (－2)＝11； 当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝3.②当x ∈[－2,3]时，f (x )在[－2,3]上先递减后递增， 故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝2. 又|－2－1|＞|3－1|，所以f (x )的最大值为f (－2)＝11.③a.当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增， 所以当x ＝t 时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋3.b ．当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时， f (x )在区间[t ，t ＋1]上先递减后递增，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，此时g (t )＝f (1)＝2. c ．当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (t )在[t ，t ＋1]上单调递减， 所以当x ＝t ＋1时，f (x )取得最小值， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋2，综上得，g (t )＝⎩⎨⎧t 2－2t ＋3，t ＞1，2，0≤t ≤1，t 2＋2，t ＜0.(2)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .①当a<0时，由图可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当1≤a≤2时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a>2时，由图可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四 利用单调性比较大小、解不等式[例4] (1)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )．试比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．[解析] 由题意知，f (x )的对称轴为x ＝2， 故f (1)＝f (3)． ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数． ∴f (2)＜f (3)＜f (4)， 即f (2)＜f (1)＜f (4)．(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，解得0＜a ＜1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)， ∴1－a ＞2a －1，即a ＜23.② 由①②可知，0＜a ＜23， 即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.1．利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f (x )在区间D 上为增函数，则对x 1，x 2∈D ，x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)．(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x 的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．2．利用函数单调性解不等式 与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)；当x 1＞x 2时，f (x 1)＞f (x 2)；(2)逆向结论：若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2.当y ＝f (x )在给定区间上是减函数时，也有相应的结论．已知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，∴⎩⎨⎧x >0，2x －3>0，x >2x －3，解得32<x <3.授课提示：对应学生用书第41页一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x 1，x 2(x 1＜x 2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题．注意：若给出的是和型[f (x ＋y )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)，f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f [(x 1－x 2)＋x 2]；若给出的是积型[f (xy )＝…]抽象函数，判定符号时的变形为f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)．[典例] 已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，。

第三章 函数概念与性质1.函数的概念 .................................................................................................................. - 1 -2.函数的表示法............................................................................................................... - 5 -3.分段函数 .................................................................................................................... - 10 -4.函数的单调性............................................................................................................. - 15 -5.函数的最大(小)值 ...................................................................................................... - 20 -6.奇偶性的概念............................................................................................................. - 26 -7.奇偶性的应用............................................................................................................. - 30 -8.幂函数 ........................................................................................................................ - 35 -9.函数的应用(一) .......................................................................................................... - 41 - 章末综合测验................................................................................................................ - 47 -1.函数的概念一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.1aB ．3aC ．aD ．3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ，故选D.]2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．]4．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.]5．下列四组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由题意知3a －1>a ，则a >12.]7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. －56 [由f (t )＝6，得11＋t ＝6，即t ＝－56.] 8．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．(0,2)[由题意知⎩⎨⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎨⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．]三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(2)f (x )＝x ＋30|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎨⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎨⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎨⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎨⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知f (x )＝x 2－4x ＋2. (1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值． [解] (1)f (2)＝22－4×2＋2＝－2，f (a )＝a 2－4a ＋2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋2＝a 2－2a －1. (2)f (x )＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2≥－2， ∴f (x )的值域为[－2，＋∞)． (3)g (3)＝3＋1＝4，∴f (g (3))＝f (4)＝42－4×4＋2＝2.11．(多选题)下列函数满足f (2x )＝2f (x )的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝－xABD[对于A.f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x －|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．] 12．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有( ) A．6个B．8个C．9个D．10个C[因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]13．若函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域为R，则实数k的值为________．0[函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2＜0，不等式不成立．所以实数k的值为0.]14．(一题两空)函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为________f(x))的x的值是________．1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，f (g (x ))<g (f (x ))，不合题意；当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (x ))>g (f (x ))，符合题意；当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，f (g (x ))<g (f (x ))，不合题意．] 15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值．[解] ∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1.(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.2.函数的表示法一、选择题1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4})D [题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2，1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x1 2 3f (x ) 2 3 0A ．3B ．2C ．1D ．0B [由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD ．1x－1B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.]5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有 ⎩⎨⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b－－a ＋b＝1.解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y ＝f(x)－1没有零点的是( )解析： 把y ＝f(x)的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f(x)－1与x 轴无交点．答案： C2．下列函数中，在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析： y ＝log 12x 是单调减函数；函数y ＝x 2－12在区间(－1，1)内先减后增；函数y ＝－x 3是减函数；函数y ＝2x －1单调递增，且有零点x ＝0.答案： B3．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R)的部分对应值如下表：由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是( )A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：∵f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，∴f(－3)·f(－1)<0.∵f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴f(2)·f(4)<0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．答案： A4．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：设原有荒漠化土地面积为a，由题意，得y＝a(1＋10.4%)x.故其图象应如D项中图所示，选D.答案： D5．已知函数f(x)＝e x－x2，则下列区间上，函数必有零点的是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：∵f(－2)＝1e2－4<0，f(－1)＝1e－1<0，f(0)＝e0＝1>0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2－4>0，f(－1)·f(0)<0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点．答案： B6．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析： 代入数据检验，注意函数值． 答案： B7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x<240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x ，0<x<240，x ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋50x －30 000≥0，0<x<240，x ∈N.解得150≤x<240且x ∈N.故生产者不亏本时的最低产量为150台．答案： C8．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1<v2)，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，C是AB的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D.再根据v1<v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A分析正确．答案： A9．已知0<a<1，则方程a|x|＝|log a x|的实根个数为( )A．2 B．3C．4 D．与a的值有关解析：设y1＝a|x|，y2＝|log a x|，分别作出它们的图象，如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|log a x|有两个实根，故选A.。

函数的应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下函数在区间(0，2)上必有零点的是( ) A ．y ＝x －3 B ．y ＝2xC ．y ＝x 3D ．y ＝lg x【解析】 画出A 、B 、C 、D 四个选项的函数图象可知，只有D 选项中y ＝lg x 在区间(0，2)上有零点．【答案】 D2．已知函数f (x )＝a x－2(a ＞0，a ≠1)，f (x 0)＝0且x 0∈(0，1)，则( ) A ．a ＝2 B ．1＜a ＜2 C ．a ＞2D ．a ≥2【解析】 ∵x 0∈(0，1)，∴f (0)·f (1)＜0， 即(1－2)(a －2)＜0，∴a ＞2. 【答案】 C3．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32或x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【解析】 ∵f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.【答案】 C4．根据表中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【解析】 设f (x )＝e x－(x ＋2)，则由题设知f (1)＝－0.28＜0，f (2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1，2)内．故选C.【答案】 C图15．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图1所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的( )【解析】 由函数图象知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B.【答案】 B6．(2014·桂林高一检测)已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．a <α<β<bC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b【解析】 ∵α，β是函数f (x )的两个零点， ∴f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间． 故选C.【答案】 C7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.所以函数有两个零点．故选C.【答案】 C8．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，10)C ．(10，100)D ．(100，＋∞)【解析】 ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是(1，10)，故选B.【答案】 B9．已知a 是函数f (x )的一个零点，且x 1＜a ＜x 2，则( ) A ．f (x 1)·f (x 2)＞0 B ．f (x 1)·f (x 2)＜0 C ．f (x 1)·f (x 2)≥0D ．以上都不对【解析】 定理的逆定理不成立，故f (x 1)f (x 2)的值不确定． 【答案】 D图210．如图2，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )【解析】 设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.【答案】 C11．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＞0 C ．0≤k ＜1D ．k ＜0【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k 的图象，如图所示．若f (x )有两个零点，则必有－k ＞0，即k ＜0.【答案】 D12．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关【解析】设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别做出它们的图象如右图所示，由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点个数是________．【解析】 分别作出y 1＝ln(x ＋1)和y 2＝2x的图象，观察两函数图象交点的个数即得答案．【答案】 214．已知函数y ＝log 14x 与y ＝kx 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，那么k 的值为________．【解析】 当x ＝2时，y ＝log 142＝－12，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12在y ＝kx 上， ∴k ＝－14.【答案】 －1415．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2，4)上的实数根的近似值时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，故f (2)·f (3)＜0，则下一个有根区间是(2，3)．【答案】 (2，3)16．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.【解析】 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1，x ∈（0，3]，9＋（x －3）×2.15，x ∈（3，8]，9＋5×2.15＋（x －8）×2.85，x ∈（8，＋∞），令f (x )＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x －8)×2.85＝22.6(x >8)，解得x ＝9. 【答案】 9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2014·福州高一检测)若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围．【解】 因为二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－（－1）2－2a ＋4a ＋1>0，－32＋2a ×3＋4a ＋1>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，10a －8>0，解得a >45.18．(本小题满分12分)(2014·宿迁高一检测)已知函数f (x )＝2|x －1|－x ＋1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象． (2)根据函数f (x )的图象回答下列问题： ①求函数f (x )的单调区间； ②求函数f (x )的值域；③求关于x 的方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数． (回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤)图3【解】 (1)当x －1≥0时，f (x )＝2(x －1)－x ＋1＝x －1， 当x －1＜0时，f (x )＝2(1－x )－x ＋1＝3－3x .(2)①函数f (x )的单调递增区间为[1，＋∞)； 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]； ②函数f (x )的值域为[0；＋∞)；③方程f (x )＝2在区间[0，2]上解的个数为1.19．(本小题满分12分)旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式； (2)旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】 (1)设旅游团人数为x ，飞机票价格为y 元．当30＜x ≤75时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1200.故所求函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900（1≤x ≤30，x ∈N ），－10x ＋1200（30＜x ≤75，x ∈N ）.(2)设利润函数为f (x )，则f (x )＝y ·x －15000＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000（1≤x ≤30，x ∈N ），－10x 2＋1200x －15000（30＜x ≤75，x ∈N ）. 当1≤x ≤30时，f (x )max ＝f (30)＝12000； 当30＜x ≤75时，f (x )max ＝f (60)＝21000＞12000. 故旅游团的人数为60时，旅游社可获得最大利润．20．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出资金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？【解】 (1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.15x ，0≤x ≤10，1.5＋2log 5（x －9），x ＞10.(2)由题意知1.5＋2log 5(x －9)＝5.5， 2log 5(x －9)＝4， log 5(x －9)＝2， ∴x －9＝52， 解得x ＝34.所以，老江的销售利润是34万元．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2. (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0，1]时，求函数f (x )的值域． 【解】 (1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3，0)，(2，0)， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0， 即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，∴a ＝－3， ∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是[12，18]．22．(本小题满分12分)(2014·成都高一检测)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P (t )＝P 0e－kt(P 0，t 均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值．(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间．(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4＝－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)【解】 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e－5k，解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t ，当P ＝40%P 0时， 有0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t ，解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×（－0.11）＝4.600.11≈42.故污染物减少到40%至少需要42小时．。

【金版学案】2015-2016高中数学第三章函数的应用本章小结新人教A版必修1一、零点1．零点定义：对于函数y＝f(x)，我们把使得方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．特别关注：零点不是点，而是实数.2．函数零点与方程根之间的等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．特别关注：正确理解函数零点存在性定理.若函数y＝f(x)图象在[a，b]上是连续的，A．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？对B．f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内有零点？不一定C．f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点？不一定D．y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0?不一定得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间有零点的其中一种方法，不是唯一方法，且不能确定零点的个数有多少．(2)不能由存在性定理的结论反推出条件．4．判断函数零点个数的求法：方法一，解对应方程的实根；方法二，画出函数图象，图象与x轴的交点个数即为函数的零点个数；方法三，对于超越方程，则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数．方法四，若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理，判断出原函数只有一个零点．二、二分法1．二分法定义：对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．利用二分法求近似解的解题步骤：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)· f(c)<0，则令b＝c[此时零点x0∈(a, c)]；③若f(c)· f(b)<0，则令a＝c[此时零点x0∈(c, b)]．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．三、函数模型及应用1．几类不同增长的函数模型．(1)一次函数模型：y＝ax＋b；(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指数函数模型：y＝a x(a>0，且a≠1)；(4)对数函数模型：y＝log a x(a>0，且a≠1)；(5)幂函数模型：y＝xα；(6)分段函数模型．2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较．(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)，增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．因此总存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.(2)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(0<a <1)，y ＝log a x (0<a <1)和y ＝x n(n <0)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝log a x (0<a <1)的衰减速度比y ＝x n(n <0)和y ＝a x(0<a <1)的衰减得快．因此总存在一个x 0，当x > x 0时，就有log a x <x n<a x.3．解决应用问题的基本步骤：(1)实际应用题 → 明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系；(2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解； (3)阅读、分析、联想、转化、抽象； (4)建立数学模型； (5)运用数学知识作为工具； (6)解答数学问题； (7)解决实际问题(作答)．1．函数零点存在性定理：若函数y ＝f (x )的零点在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．2．求曲线和x 轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根．例1 已知函数f (x )＝3x－x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1，0]内有没有实数根？为什么？ 解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0，f (0)＝30－0＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1，0]内有实数根．►跟踪训练1．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)1．解析：令g (x )＝x 3－22－x，则有g (0)＜0，g (1)＜0，g (2)＞0，g (3)＞0，g (4)＞0.故函数g (x )的零点所在区间为(1，2)．故选B.答案：B2．已知f ()x ＝2＋log 3x ()1≤x ≤9，判断函数g ()x ＝f 2()x ＋f ()x 2有无零点，并说明理由．2．解析：∵log 3x 在区间[1，9]上为增函数，且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)．∴1≤x 2≤9. ∴1≤x ≤3.故g (x )的定义域为[1，3]． g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝4＋4log 3x ＋(log 3x )2＋2＋log 3x 2＝6＋6log 3x ＋(log 3x )2.在区间[1，3]上，g (x )也为增函数． 所以g (x )＞g (1)＝6，所以g (x )无零点．1．对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤： (1)确定初始区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε. (2)求区间(a ，b )的中点x 1(将a ＋b2称为区间[a ，b ]的中点)．(3)计算f (x 1)：①若f (x 1)＝0，则x 1是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1[此时零点x 0∈(a ，x 1)]； ③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1[此时零点x 0∈(x 1，b )]．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)步骤．例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.1). 解析：由于f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， ∴f (x )在区间[1，1.5]上存在零点， 取区间[1，1.5]作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：端(中)点 坐标中点函数值 符号零点所 在区间|a n －b n |[]1，1.5 0.5 1.25f (1.25)＜0[]1.25，1.50.251.375f(1.375)＞0[]1.25，1.3750.1251.312 5f(1.312 5)＜0[]1.312 5，1.3750.062 5∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.312 5，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3.►跟踪训练3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x 0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.0638.010.556…y＝x20.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的( )A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)解析：由f(0.6)＝1.516－0.36＞0，f(1.0)＝2.0－1.0＞0，故排除A；由f(1.4)＝2.639－1.96＞0，f(1.8)＝3.482－3.24＞0，故排除B；由f(1.8)＝3.482－3.24＞0，f(2.2)＝4.595－4.84＜0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8，2.2)，故选C.答案：C在没有给出具体模型的问题中，要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．例3 某县2005—2010年财政收入情况如下：年份200520062007200820092010 收入/万元25 89930 50437 99748 89866 80085 000(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2011年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．解析：(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如下图所示，其中年份第一年为2005年，第二年为2006年，其他依次类推．通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较： 模型一：设f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1 )， 将A 、B 、C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b ＝2.59，f （2）＝a 2＋b ＝3.05，f （3）＝a 3＋b ＝3.80⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≈1.35，b ≈1.25. ∴f (x )＝1.35x＋1.25.计算得f (4)≈4.57，f (5)≈5.73，f (6)≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20.模型二：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ≥1)， 将A 、B 、C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝a ＋b ＋c ＝2.59，g （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3.05，g （3）＝9a ＋3b ＋c ＝3.80⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.145，b ＝0.025，c ＝2.42.∴g (x )＝0.145x 2＋0.025x ＋2.42.计算得g (4)≈4.84，g (5)≈6. 17，g (6)≈7.79， 它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71.对两个函数模型进行对比，发现g (x )与实际的误差较小， 所以用函数模型g (x )＝0.145x 2＋0.025x ＋2.42 (x ≥1)较好．(2)设年财政收入平均增长率为a ，由2005年和2010年财政收入，则有 2．59(1＋a )5＝8.5，解得a ≈26.83%.从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：h (x )＝2.59(1＋26.83%)x －1.用g (x )和h (x )分别预测2011年的财政收入是：g (7)＝9.7(亿元)，h (7)＝10.78(亿元)．从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择g (x )模型比较稳妥．点评：在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．►跟踪训练4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？解析：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如下图所示．根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以y ＝ ab x(b ＞0，b ≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型．把点(70，7.90)、(160，47.25)代入函数以y ＝ ab x中，得⎩⎪⎨⎪⎧ab 70＝7.90，ab 160＝47.25.使用计算器可求得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈2，b ≈1.02.所以，函数模型为y ＝ 2×1.02x.用计算器验证其他点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．再将x ＝175代入函数式y ＝ 2×1.02x，即y ＝ 2×1．02175，用计算器求得y ≈63.98.因为7863.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想例4 二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1＜2，x 2＞2，如图所示，则a 的取值X 围是( )A ．a ＜1或a ＞5B ．a ＜12C ．a ＜－12或a ＞5D ．－12＜a ＜1解析：由题意可得f (2)＜0，即4＋(a －3)×2＋1＜0，解得a ＜12.答案：B ►跟踪训练5．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )＝0的两根(α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A ．α＜a ＜b ＜βB ．α＜a ＜β＜bC ．a ＜α＜b ＜βD ．a ＜α＜β＜b 解析：a ，b 是方程g (x )＝(x －a )(x －b )＝0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象(如下图所示)，知α＜a ＜b ＜β.故选A.答案：A6．函数f (x )＝x 2－4|x |＋5－m 恰有三个零点，则实数m 的取值集合为____． 解析：函数f (x )＝x 2－4|x |＋5－m 恰有3个零点，等价于函数y 1＝x 2－4|x |＋5与y 2＝m 的图象恰有3个公共点(如下图)，知m ＝5.答案：{5}二、函数与方程思想例5 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7米内追上汽车B ．人可在10米内追上汽车C ．人追不上汽车，其距离最近为5米D ．人追不上汽车，其距离最近为7米解析：若经t 秒人刚好追上汽车，则s ＋25＝6 t ，由s ＝12t 2得12t 2－6t ＋25＝0⇒t 2－12t ＋50＝0. 因为Δ＜0，所以人追不上汽车． 考虑距离差d ＝()s ＋25－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，故当t ＝6时，d 有最小值7 , 即人与汽车最少相距7米，故选D. 答案：D ►跟踪训练7．函数f (x )＝a |x |－x －a 恰有两个零点，则实数a 的取值X 围是：________________. 解析：函数f (x )＝a |x |－x －a 恰有2个零点等价于函数y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象恰有2个公共点．画出y ＝a |x |与y ＝x ＋a 的图象如下：情形1：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1⇒a >1.情形2：⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a <－1⇒a <－1.答案：{} |a a >1或a <－18．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0时，该种汽车的使用年数为________年(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．解析： 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.90，于是0.50μ0＝μ0(e －λ)t ⇒12＝(0.90)t，两边取常用对数，lg 12＝t2lg 0.90，解得t ＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 0－0.045 8＝13.1.答案：13三、分类讨论思想例6 如下图，三个机器人M 1，M 2，M 3和检测台M 位于一条直线上．三个机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测，送检程序规定：当M 1把零件送达M 处时，M 2即刻自动出发送检，当M 2把零件送达M 处时，M 3即刻自动出发送检．设M 2的送检速度为v ，且送检速度是M 1的2倍、M 3的3倍．(1)求三台机器人M 1，M 2，M 3把各自生产的零件送达检测台M 处的时间总和；(2)现要求M 1，M 2，M 3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M 在该直线上的位置(M 与M 1，M 2，M 3均不能重合)．解析：借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化．(1)由题设条件知，检测台M 的位置坐标为0，机器人与检测台的距离分别为2，1，3. 故机器人M 1，M 2，M 3按程序把各自的生产零件送达检测台M 处的时间总和为y ＝212v ＋1v ＋313v ＝14v.(2)设x 为检测台M 的位置坐标，则机器人M 1，M 2，M 3与检测台M 的距离分别为|x －(－2)|，|x －1|和|x －3|，于是机器人送交检测台M 的时间的总和为y ＝|x －（－2）|12v ＋|x －1|v ＋|x －3|13v＝1v(2|x ＋2|＋|x －1|＋3|x －3|)．只要求f (x )＝2|x ＋2|＋|x －1|＋3|x －3|取最小值．∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋6，x <－2，－2x ＋14，－2≤x <1，12，1≤x ≤3，6x －6，x >3.由其图象可知，x ∈[1，3]时，所对应的f (x )均取最小值12，即送检时间总和最短为12v. 依题意，检测台M 与M 1，M 2，M 3均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人M 2与M 3之间的任何位置(不含M 2、M 3的位置)，都能使各机器人M 1，M 2，M 3的送检时间总和最短．►跟踪训练9．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，某某数m 的取值X 围．解析：(1)当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3与x 轴只有1个交点，此时函数f (x )只有1个零点．(2)当m ≠0时，要使得f (x )＝mx 2－2x ＋3只有1个零点，则Δ＝(－2)2－4×3×m ＝0，此时m ＝13.综上所述，当m ＝0或m ＝13时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有1个零点．一、关系分析法即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法． 例7 进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价为多少时所获得的利润最大？分析：题中显示“利润最大”的语句，因此，应从构造利润的函数关系入手．(利润＝销售额－成本)解析：设销售价为90＋x 元时利润为y ，此时销售数量为400－20x . ∴y ＝(90＋x )(400－20x )－(400－20x )×80 ＝－20(x －5)2＋4 500， ∴当x ＝5时，y max ＝4 500(元)．故销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4 500元． ►跟踪训练10．某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测知，当售出这种产品t 百件时，若0＜t ＜5，则销售所得的收入为5t －12t 2万元；若t ＞5，则销售收入为18t ＋232万元．(1)若该公司这种产品的年产量为x 百件时(x >0)，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为当年产量x 的函数；(2)当年产量为多大时，当年公司所得利润最大？解析：(1)当0<x ≤5时，f (x )＝5x －0.5x 2－(0.5＋0.25x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5；当x ＞5时，f (x )＝18x ＋232－(0.5＋0.25x )＝－0.125x ＋11.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋4.75x －0.5，0＜x ≤5，－0.125x ＋11，x ＞5.(2)当0＜x ≤5时，f (x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5＝－0.5(x －4.75)2＋10.781 25， ∴当x ＝4.75时，f (x )max ＝10.781 25.当x ＞5时，f (x )＝－0.125x ＋11＜－0.125×5＋11＝10.375＜10.781 25， ∴当年产量为4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大为10.781 25万元． 二、列表分析法即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法． ►例题分析例8 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A 地10台，B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙地调运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数关系式； (2)若总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立．由甲、乙两地调运至A 地、B 地的机器台数及运费如下表所示：即y ＝200(x ＋43)(0≤x ≤6，x ∈Z)． (2)由y ≤9 000，解得x ≤2. ∵x ∈Z ，0≤x ≤6，∴x ＝0，1，2.故共有三种调运方案．(3)由一次函数的单调性可知，当x ＝0时，总运费最低，y min ＝8 600(元)．即从乙地调6台给B 地，甲地调10台给A 地、调2台给B 地的调运方案的运费最低，最低运费为8 600元．►跟踪训练11．某厂为了尽快解决职工住房困难问题，鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：解析：当0＜x ＜1 000时，y ＝x ； 当1 000≤x ＜2 000时，y ＝1 000＋(x －1 000)(1－5%)＝0.95x ＋50；当2 000≤x ＜3 000时，y ＝1 000＋1 000(1－5%)＋(x －2 000)(1－10%)＝0.9x ＋150； 当x ≥3 000时，y ＝1 000＋1 000(1－5%)＋1 000(1－10%)＋(x －3 000)(1－15%)＝0.85x ＋300.因此y 与x 的关系可用分段函数表示如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1 000，0.95x ＋50，1 000≤x <2 000，0.9x ＋150，2 000≤x <3 000，0.85x ＋300，x ≥3 000.。

函数模型的应用实例一、选择题1．下图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系，用下列哪个函数模型拟合最好？图3­2­7A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2【解析】 结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选A.【答案】 A2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图3­2­8所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )图3­2­8A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元 【解析】 设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300， ∴y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300. ∴营销人员没有销售量时的收入是300元． 【答案】 B3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下表：( ) A ．200 B ．220 C ．240 D ．260【解析】 由表中数据可以看出，n 与t 的函数关系式为n ＝2t 20，令n ＝1 000，则2t20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故答案应选A.【答案】 A4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y，故y ＝log 1.104x (x ≥1)．函数为对数函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.【答案】 D 二、填空题5．(2014·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.301 0)．【解析】 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．【答案】 46．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如下图3­2­9表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．图3­2­9【解析】 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x （0≤x ≤30），2 （30＜x ＜40），110x －2 （40≤x ≤60）.【答案】 y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x （0≤x ≤30），2 （30＜x ＜40），110x －2 （40≤x ≤60）.7．(2014·宿迁高一检测)如图3­2­10所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝13，BC ＝3，在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF ，且AE ＝AH ＝CG ＝CF ＝x ，则x ＝________时，四边形EFGH 的面积最大，最大面积为________．图3­2­10【解析】 设四边形EFGH 的面积为S ，则S ＝13×3－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋12（13－x ）（3－x ）＝－2x 2＋16x ＝－2(x －4)2＋32，x ∈(0，3]． 因为S ＝－2(x －4)2＋32在(0，3]上是增函数， 所以当x ＝3时，S 有最大值为30. 【答案】 3 30 三、解答题8．(2014·茂名高一检测)“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t ＝5log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫N B (B 为常数)，N (单位：字)表示某一英文词汇量水平，t (单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间．(1)已知某人练习达到40个词汇量时需要10天，求该人的学习曲线解析式． (2)他学习几天能掌握160个词汇量？(3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何？【解】 (1)把t ＝10，N ＝40代入t ＝5log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫N B ，得10＝5log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫40B ，解得B ＝10.所以t ＝5log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫N 10(N ＞0)．(2)当N ＝160时，t ＝5log 2⎝⎛⎭⎪⎫16010＝5log 216＝20(天)．(3)当t ＞30时，5log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫N 10＞30，解得N ＞640.所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个．9．某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图3­2­11所示的曲线．图3­2­11(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．【解】 (1)由题图得，当t ∈[0，1]时，函数的解析式为y ＝kt ，将M (1，4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，将点(3，1)代入得a ＝3，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，（0≤t ≤1），⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，（t ＞1）.(2)由f (t )≥0.25， 解得116≤t ≤5.∴服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝41516个小时．[能力提升层次]1．(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ＜10，x ∈N ，2x ＋10，10≤x ＜100，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130【解析】 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．【答案】 C3．(2014·温州高一检测)某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图可知a 的值等于________．(取lg 2＝0.3进行计算)图3­2­12【解析】 由记录的部分数据可知x ＝1.6×1019时，y ＝5.0， x ＝3.2×1019时，y ＝5.2.所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b ① 5．2＝a lg (3.2×1019)＋b ②②－①得0.2＝a lg 3.2×10191.6×1019，0.2＝a lg2.所以a ＝0.2lg 2＝0.20.3＝23.【答案】 234．设在海拔x m 处大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y ＝C e kx，其中C ，k 是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为1.01×105Pa ，1 000m 高空的大气压强为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．【解】 将x ＝0，y ＝1.01×105，x ＝1 000，y ＝0.90×105分别代入y ＝C e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝C e k ·0，0.90×105＝C e 1 000k ，即⎩⎪⎨⎪⎧C ＝1.01×105，0.90×105＝C e 1 000k . 将C ＝1.01×105代入0.90×105＝C e 1 000k，得0．90×105＝1.01×105e1 000k，即0.9＝1.01e 1 000k.两边取以e 为底的对数(自然对数)， 得k ＝11 000ln 0.91.01≈－1.15×10－4，所以y ＝1.01×105×e －1.15×10－4x .将x ＝600代入，得y ＝1.01×105×e －1.15×10－4×600≈0.943×105. 答：在600m 高空的大气压强约为0.943×105Pa.。

必修一好题源第三章函数的应用一、函数与方程【教材原题】课本88页例题1例1求函数f(x)=ln x+2x-6的零点个数．:解：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下f(x－4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 )由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．【高考题或模拟题】1．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表x 12345 6f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]【答案】C【解析】因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．2.(2013·湛江模拟)设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．分析：画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．【解析】设f(x)＝x3－(12)x－2，则x0是函数f(x)的零点．在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象，如图所示．∵f(1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f(2)＝8－(12)0＝7＞0，∴f(1)f(2)＜0，∴x0∈(1,2)．【答案】(1,2)3.(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3分析：先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．【解析】因为f′(x)＝2x ln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．【答案】B4.(2013·德州调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.【答案】(－2,0)5.(2012·上海高考)方程4x－2x+1－3＝0的解是_____．【解析】法一：原方程4x－2x+1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，∴2x－3＝0，即x＝log3.2法二:令t＝2x，则t＞0，原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)，即2x＝3，∴x＝log3.23【答案】log2对比分析：1.考查知识点：书本题与2012·长沙模拟、2013·湛江模拟、2012·天津高考、2013·德州调研、2012·上海高考考查函数的零点、方程的根的问题；书本题与2012·天津高考考查零点个数问题；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查利用函数零点的存在性定理和数形结合法判断零点所在区间；2013·德州调研考查知零点求参数；2012·上海高考考查函数的零点与方程根的联系．2．考查的方式:书本题是解答题;2012·长沙模拟、2012·天津高考考题是以选择题形式出现；2013·湛江模拟、2013·德州调研、2012·上海高考是填空题．3．命题的思路：书本题与2012·天津高考考查零点个数的判断方法；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查考查学生对确定函数零点所在区间的方法的掌握情况；2012·上海高考、2013·德州调研考查学生解方程的能力．4．进一步挖掘的价值：从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．二、函数模型及其应用1.一次函数与二次函数模型【教材原题】课本104页例5例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶． 解：设在进价基础上增加x 元后，日均经营利润为y 元，则有日均销售量为 48040(1)52040x x --=-（桶）.而0,520400,013x x x >-><<且即,22(52040)2004052020040( 6.5)1490 y x x x x x=--=-+-=--+,6.5x y∴=当时，有最大值.∴只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【高考题或模拟题】(2013·聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－1160(x－40)2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？分析：计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．【解析】在实施规划前，由题设P＝－1160(x－40)2＋100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万元)，又由题设P＝－1160(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，利润P＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5－150＝2 7758(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为：W 2＝[－1160(x－40)2＋100]×5＋(－159160x2＋1192x)×5＝－5(x－30)2＋4950.当x＝30时，(W2)max＝4950(万元)．从而10年的总利润为2 7758＋4950(万元)．∵2 7758＋4950＞1000，故该规划方案有极大实施价值．对比分析：1.考查知识点：书本题与2013城模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题与2013聊城模拟都是二次函数模型，把实际问题转化为二次函数求最值问题．2．考查的方式:书本题与2013聊城模拟都是解答题．3．命题的思路：书本题与2013聊城模拟考查学生建模能力，考查学生对二次函数的最值的求解方法的掌握程度，及对实际问题的处理能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对二次函数模应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．2.指数函数模型【教材原题】课本105页例6例6：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型,使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图60708090100110120130140150160170180根据图的分布特点,设y=a·b x这一函数来近似刻画其关系;取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得：70160 7.9.47.25.a ba b ⎧=⎪⎨=⎪⎩用计算器得：a»2,b»1.02这样就得到函数模型：y=2´1.02x(2)将x=175代入y=2´1.02x，得y=2´1.02175用计算器得：y»63.98由于78¸63.98»1.22>1.2,所以这个男生偏胖．【高考题或模拟题】(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【解】(1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1),则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.解得11011()2x=-.(2)设经过m，则a(1－x)m，即1102 11 ()()22m=，m 10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，310211()(),22n≥n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．对比分析：1.考查知识点：书本题与2013·广州模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题考查建立指数函数模型的方法；2013广州模拟考查指数函数模型的应用，与增长率、不等式相结合进行考查．2．考查的方式:书本题与2013广州模拟都是解答题．3．命题的思路：书本题与2013广州模拟考查学生建模能力，考查学生对指数函数模型建立，及对实际问题的处理能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对指数函数模型应用问题的考查，指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；题型选择、填空、解答题都有，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．3.分段函数模型【教材原题】课本102页例3例3一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象解(1)阴影部分的面积为501801901751651360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)根据图形可得：502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,45,t t t t s t t t t t t +≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩ 这个函数的图像如下图所示：【高考题或模拟题】(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：908070605040302010vt辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[分析] (1)利用待定系数法求解，同时注意函数v (x )是分段函数；(2)在求解当20≤x ≤200时，f (x )的最大值时，可巧妙使用均值等式，从而起到减少运算时间的功效．[解析] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎨⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧ 60，0≤x ＜20，13200－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎨⎧ 60x ，0≤x ＜20，13x 200－x ， 20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x +200－x 2]2＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．对比分析：1.考查知识点：书本题与2011湖北高考考查的知识点是分段函数模型；书本题考查根据实际问题求分段函数解析式，由解析式做分段函数的图像；2011湖北高考考查待定系数法求分段函数的解析式及分段函数最值的求解．2．考查的方式:书本题、2011湖北高考都是解答题．3．命题的思路：书本题与2011湖北高考考查学生建模能力，作图能力，对细节处理能力（要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值），考查学生分析问题、解决问题的能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对分段函数模型应用问题的考查，更多地以社会生活实际和生产实际为背景来命制题目，其创意新颖而不失公平性，设问角度独特，常利用函数、方程、不等式等有关知识为解题工具，解题方法灵活．能很好的考查学生的阅读理解能力和分析问题解决问题的能力，仍是今后高考的一个重要考向．题型选择、填空、解答题都有．。