2021届新高考数学二轮复习易错题04 导数及其应用(原卷word版)
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专题04导数及其应用易错点一:忽略切点所在位置及求导简化形式(导数的概念及应用)一、导数的概念和几何性质1.概念函数()f x 在0x x 处瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x yx x,我们称它为函数 y f x 在0x x 处的导数,记作0()f x 或0x x y.诠释:①增量x 可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.0x 的意义:x 与0之间距离要多近有多近,即|0|x 可以小于给定的任意小的正数;②当0x 时,y 在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与00()()f x x f x y x x无限接近;③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率,即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x.2.几何意义函数()y f x 在0x x 处的导数0()f x 的几何意义即为函数()y f x 在点00()P x y ,处的切线的斜率.3.物理意义函数)(t s s 在点0t 处的导数)(0t s 是物体在0t 时刻的瞬时速度v ,即)(0t s v ;)(t v v 在点0t 的导数)(0t v 是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ,即)(0t v a .二、导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数()f x c (c 为常数)()0f x()a f x x ()a Q 1()a f x ax ()x f x a (01)a a ,()ln x f x a a()log (01)a f x x a a ,1()ln f x x a()xf x e ()xf x e ()ln f x x 1()f x x()sin f x x ()cos f x x ()cos f x x()sin f x x2.导数的四则运算法则(1)函数和差求导法则:[()()]()()f x g x f x g x ;(2)函数积的求导法则:[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ;(3)函数商的求导法则:()0g x ,则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x .3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x 的导数和函数()y f u ,()u g x 的导数间关系为x u x y y u :应用1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x 的计算:函数()y f x 在点00(())A x f x ,处的切线方程为000()()()y f x f x x x ,抓住关键000()()y f x k f x.应用2.过点的切线方程设切点为00()P x y ,,则斜率0()k f x ,过切点的切线方程为:000()()y y f x x x ,又因为切线方程过点()A m n ,,所以000()()n y f x m x 然后解出0x 的值.(0x 有几个值,就有几条切线)注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.易错提醒:1.求函数导数的总原则:先化简解析式,再求导.注意以下几点:连乘形式则先展开化为多项式形式,再求导;三角形式,先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;分式形式,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;复合函数,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元2.利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下三点:(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率,即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.(2)切点既在曲线上,又在切线上,切线还有可能和曲线有其它的公共点.(3)曲线 y f x =“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别:曲线 y f x =在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点,若切线斜率存在,切线斜率为 0k f x =,是唯一的一条切线;曲线y f x =过点00(,)P x y 的切线,是指切线经过点P ,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.3.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.4.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.由图象,知要使直线y a 与只需a<0或2e14 a .综上,若 0f x 有两个不等的实根,则变式2.已知函数 lnf x则200000ln 12y ax x ax x,解得0x a 故当12e a时, g x h x ,即2e1.已知函数 ln f x x 与 g x 的图象关于直线y x 对称,直线l 与 1,e 1x g x h x 的图象均相切,则l8.已知函数f x(1)若12a ,求曲线(2)讨论f x的单调性;(3)当0a 时,若对任意实数【答案】(1)y x1.求可导函数单调区间的一般步骤第一步:确定函数()f x 的定义域;第二步:求()f x ,令()0f x ,解此方程,求出它在定义域内的一切实数;第三步:把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和()0f x 的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间;第四步:确定()f x 在各小区间内的符号,根据()f x 的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注意①使()0f x 的离散点不影响函数的单调性,即当()f x 在某个区间内离散点处为零,在其余点处均为正(或负)时,()f x 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如,在(,) 上,3()f x x ,当0x 时,()0f x ;当0x 时,()0f x ,而显然3()f x x 在(,) 上是单调递增函数.②若函数()y f x 在区间(,)a b 上单调递增,则()0f x (()f x 不恒为0),反之不成立.因为()0f x ,即()0f x 或()0f x ,当()0f x 时,函数()y f x 在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x 时,()f x 在这个区间为常值函数;同理,若函数()y f x 在区间(,)a b 上单调递减,则()0f x (()f x 不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零,是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论:()0f x ()f x 单调递增;()f x 单调递增()0f x ;()0f x ()f x 单调递减;()f x 单调递减()0f x .技巧:1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路第一步:由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知 0f x ( 0f x )在区间[],a b 上恒成立列出不等式;第二步:利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题;第三步:对等号单独检验,检验参数的取值能否使 f x 在整个区间恒等于0,若 f x 恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有 0f x =,则参数可取这个值.易错提醒:一:研究单调性问题1.函数的单调性函数单调性的判定方法:设函数()y f x 在某个区间内可导,如果()0f x ,则()y f x 为增函数;如果()0f x ,则()y f x 为减函数.2.已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增,则在该区间上有()0f x 恒成立(但不恒等于0);反之,要满足()0f x ,才能得出()f x 在某个区间上单调递增;②若()f x 在某个区间上单调递减,则在该区间上有()0f x 恒成立(但不恒等于0);反之,要满足()0f x ,才能得出()f x 在某个区间上单调递减.二:讨论单调区间问题类型一:不含参数单调性讨论(1)求导化简定义域(化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间);(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x 轴位置关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论);(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负);(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断,则观察导函数零点);(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导);求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导.(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段);类型二:含参数单调性讨论(1)求导化简定义域(化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的区间);(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负);然后再求有效根;(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系);(5)导数图像定区间。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题学能测试试题一、导数及其应用多选题1.已知函数()21xx x f x e+-=,则下列结论正确的是( ) A .函数()f x 存在两个不同的零点 B .函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时,方程()f x k =有且只有两个实根D .若[),x t ∈+∞时,()2max 5f x e=,则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数,利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象,最后直接判断选项. 【详解】对于A .2()010f x x x =⇒+-=,解得152x -±=,所以A 正确; 对于B .22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-', 当()0f x '>时,12x -<<,当()0f x '<时,1x <-或2x >,所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间,(1,2)-是函数的单调递增区间, 所以(1)f -是函数的极小值,(2)f 是函数的极大值,所以B 正确.对于C .当x →+∞时,0y →,根据B 可知,函数的最小值是(1)f e -=-,再根据单调性可知,当0e k -<<时,方程()f x k =有且只有两个实根,所以C 正确;对于D :由图象可知,t 的最大值是2,所以D 不正确. 故选:ABC.【点睛】易错点点睛:本题考查了导数分析函数的单调性,极值点,以及函数的图象,首先求函数的导数,令导数为0,判断零点两侧的正负,得到函数的单调性,本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间,但当x →+∞时,0y →,所以图象是无限接近轴,如果这里判断错了,那选项容易判断错了.2.关于函数()sin x f x e a x =+,(,)x π∈-+∞,下列说法正确的是( ) A .当1a =时,()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=; B .当1a =时,()f x 存在唯一极小值点0x ,且()010f x -<<; C .对任意0a >,()f x 在(,)π-+∞上均存在零点; D .存在0a <,()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时,()sin x f x e x =+,求出(),(0),(0)f x f f '',得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程,即可判断选项A ;求出()0,()0f x f x ''><的解,确定()f x 单调区间,进而求出()f x 极值点个数,以及极值范围,可判断选项B ;令()sin 0xf x e a x =+=,当0a ≠时,分离参数可得1sin x x a e -=,设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞,求出()g x 的极值最值,即可判断选项C ,D 的真假.【详解】A.当1a =时,()sin x f x e x =+,所以()cos x f x e x '=+,0(0)cos 02f e '=+=,0(0)01f e =+=,所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=,故正确;B. 因为()sin 0x f x e x ''=->,所以()'f x 单调递增,又()202f π'-=>,3344332()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭,又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭,即342e π>,则3()04f π'-<,所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得0()0f x '=,即 00cos 0x e x +=,则在()0,x π-上()0f x '<,在()0,x +∞上,()0f x '>,所以()f x 存在唯一极小值点0x,因为000000()sin sin cos 24xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭,03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()021,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,故正确; C.令()sin 0x f x e a x =+=,当0a ≠时,可得1sin x xa e-=,设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞,则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==,令()0g x '=,解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<,当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时,()0g x '>,所以当524x k ππ=+,,1k Z k ∈≥-时,()g x 取得极小值,即35,,...44x ππ=-,()g x 取得极小值,又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上,()g x 递减,所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭,所以当24x k ππ=+,,0k Z k ∈≥时, ()g x 取得极大值,即9,,...44x ππ=,()g x 取得极大值,又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,所以(),x π∈-+∞时,()3442g x e π≤≤341e a π-<,即4a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点,故C 错误; D.当412ae π-=,即4a e π=时,1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点,所以存在0a <,()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点,故D 正确; 故选:ABD 【点睛】方法点睛:用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.3.对于定义域为R 的函数()f x ,()'f x 为()f x 的导函数,若同时满足:①()00f =;②当x ∈R 且0x ≠时,都有()0xf x '>;③当120x x <<且12x x =时,都有()()12f x f x <,则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是( )A .21()xx f x ee x =--B .2()1xf x e x =+- C .31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D .42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质,利用导数的方法,分别讨论四个函数是否满足三个条件,即可得到所求结论. 【详解】条件①()00f =;由选项可得:001(0)00f e e =--=,02(0)010f e =+-=,03(0)10f e =-=,4()ln(10)0f x =-=,即ABCD 都符合;条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩,或0()0x f x <⎧⎨'<⎩; 即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增;对于21()xx f x ee x =--,则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-',由0x >可得,()()120(1)1x xf x e e '-=+>,即函数1()f x 单调递增;由0x <可得,()()120(1)1xxf x ee '-=+<,即函数1()f x 单调递减;满足条件②;对于2()1xf x e x =+-,则2()10x f x e =+>'显然恒成立,所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增,不满足条件②;对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩,当0x <时,3()f x x =-显然单调递减;当0x ≥时,3()1x f x e =-显然单调递增;满足条件②;对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩,当0x ≤时,4()ln(1)f x x =-显然单调递减;当0x >时,4()2f x x =显然单调递增,满足条件②; 因此ACD 满足条件②;条件③当120x x <<且12x x =时,12x x -=,都有()()12f x f x <,即()()()()21220f x f x f x f x -=-->,对于21()xx f x ee x =--,()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-,因为222x x e e -+≥=,当且仅当22x x e e -=,即20x =时,等号成立, 又20x >,所以222x x e e -+>, 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--,0x >,所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立, 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增,所以()()00g x g >=,即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->,所以()()1211f x f x >满足条件③;对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩,()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+,令()1xh x e x =--,0x >,则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立,所以()()00h x h >=,则()()23231210xf x f x e x --=>-,即()()3231f x f x >满足条件③; 对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩,()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+,令()()2ln 1u x x x =-+,0x >, 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立,所以()()00u x u >=, 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>,即()()1442f x f x >满足条件③; 综上,ACD 选项是“偏对称函数”, 故选:ACD. 【点睛】 思路点睛:求解此类函数新定义问题时,需要结合函数新定义的概念及性质,结合函数基本性质,利用导数的方法,通过研究函数单调性,值域等,逐项判断,即可求解.(有时也需要构造新的函数,进行求解.)4.已知函数()1ln f x x x x=-+,给出下列四个结论,其中正确的是( ) A .曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B .()f x 恰有2个零点C .()f x 既有最大值,又有最小值D .若120x x >且()()120f x f x +=,则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误,然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误,最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,根据函数单调性即可证得121=x x ,D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞,当0x >时,()1ln f x x x x=-+,()2221111x x f x x x x -+-'=--=;当0x <时,1ln f x x x x,()2221111x x f x x x x -+-'=--=, A 项:1ln 1110f,22111131f,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ,即33y x =--,A 错误;B 项:当0x >时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,当0x <时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,因为()10f -=,()10f =,所以函数()f x 恰有2个零点,B 正确; C 项:由函数()f x 的单调性易知,C 错误; D 项:当1>0x 、20x >时, 因为()()120f x f x +=, 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x , 因为()f x 在()0,∞+上为减函数,所以121x x =,120x x >, 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立,D 正确, 故选:BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用,考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性,导函数值即切线斜率,若导函数值大于0,则函数是增函数,若导函数值小于0,则函数是减函数,考查函数方程思想,考查运算能力,是难题.5.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,其导函数()f x '满足()1f x x'<,且()11f =,则下列结论正确的是( ) A .()2f e > B .10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C .()1,x e ∀∈,()2f x <D .1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭, ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-,求导得:'1()()0F x f x x'=-<,可得函数的单调性,再结合(1)1f =,可得(1)1F =,对选项进行一一判断,即可得答案;【详解】令()()ln F x f x x =-,∴'1()()0F x f x x'=-<, ()F x ∴在(0,)+∞单调递减, (1)1f =,(1)(1)1F f ∴==,对A ,()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<,故A 错误; 以B ,111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 正确; 对C ,(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<,()1ln f x x ∴<+,(1.),ln (0,1)x e x ∈∈, 1ln (1,2)x ∴+∈,()2f x ∴<,故C 正确;对D ,111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭,1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭,1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭,故D 正确; 故选:BCD. 【点睛】根据条件构造函数,再利用导数的工具性研究函数的性质,是求解此类抽象函数问题的关键.6.对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ,若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足:①1x D ∀∈,()f x kx b ≤+,②2x D ∀∈,()g x kx b ≥+,则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=,()1x g x e -=,则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是( )A .y x =B .12y x =-C .3ex y =D .1122y x =- 【答案】AB【分析】根据隔离直线的定义,函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方,()y g x =的图象总在隔离直线的上方,并且可以有公共点,结合函数的图象和函数的单调性,以及直线的特征,逐项判定,即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义,函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方,()y g x =的图象总在隔离直线的上方,并且可以有公共点, 由函数()ln x f x x =,可得()21ln xf x x-'=, 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,因为()10f =,()11f '=,此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-, 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方; 又由函数()1x g x e-=,可得()1e0x g x -'=>,()g x 单调递增,因为()()111g g '==,所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-,即y x =, 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方,根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象,如图所示,直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线,这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件,所以A ,B 都符合; 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y , 根据导数的几何意义,可得切线的斜率为021ln x k x -=, 又由斜002000ln 0y x k x x -==-,可得002100ln 1ln x x x x -=,解得0x =,所以12k e ==,可得切线方程为2x y e =, 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交,故C 不符合; 由直线1122y x =-过点()1,0,斜率为12,曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1,明显不满足,排除D. 故选:AB.【点睛】对于函数的新定义试题:(1)认真审题,正确理解函数的新定义,合理转化;(2)根据隔离直线的定义,转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方,()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断,其中正确的是( ) A .当0k >时,有3个零点 B .当0k <时,有2个零点 C .当0k >时,有4个零点 D .当0k <时,有1个零点【答案】CD 【分析】令y =0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,利用换元法将函数分解为f (x )=t 和f (t )=﹣1,作出函数f (x )的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦,得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,设f (x )=t ,则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f (t )=﹣1,①若k >0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有两个根其中t 2<0,0<t 1<1,由f (x )=t 2<0,此时x 有两解,由f (x )=t 1∈(0,1)知此时x 有两解,此时共有4个解, 即函数y =f [f (x )]+1有4个零点.②若k <0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有一个根t 1,其中0<t 1<1,由f (x )=t 1∈(0,1),此时x 只有1个解,即函数y =f [f (x )]+1有1个零点. 故选:CD .【点睛】本题考查分段函数的应用,考查复合函数的零点的判断,利用换元法和数形结合是解决本题的关键,属于难题.8.已知函数1()2ln f x x x=+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,()()*1N n n a f a n +=∈,则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是( )A .21a a <B .1n a >C .100100S <D .112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A .计算出2a 的值,与1a 比较大小并判断是否正确;B .利用导数分析()f x 的最小值,由此判断出1n a >是否正确;C .根据n a 与1的大小关系进行判断;D .构造函数()()1ln 11h x x x x =+->,分析其单调性和最值,由此确定出1ln 10nn a a +->,将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>,再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项,3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=,A 正确;B 选项,因为222121()x f x x x x='-=-,所以当1x >时,()0f x '>,所以()f x 单增,所以()(1)1f x f >=,因为121a =>,所以()11n n a f a +=>,所以1n a >,B 正确; C 选项,因为1n a >,所以100100S >,C 错误;D 选项,令1()ln 1(1)h x x x x =+->,22111()0x h x x x x-='=->, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()(1)0h x h >=,所以1ln 10nna a +->,则22ln 20n n a a +->,所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭,即112n n a a ++>, 所以112n n n a a a ++>,所以D 错误.故选:AB.【点睛】易错点睛:本题主要考查导数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问题;(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的转化.。
专题04 导数的概念与应用【自主热身,归纳提炼】 1、曲线y =x -cos x 在点⎝⎛⎭⎪⎫π2,π2处的切线方程为________.【答案】2x -y -π2=0【解析】:因为y ′=1+sin x ,所以k 切=2,所以所求切线方程为y -π2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2,即2x -y -π2=0.2、在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y =ln x 在x =e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax -y +3=0垂直,则实数a 的值为________. 【答案】-e【解析】:因为y ′=1x ,所以曲线y =ln x 在x =e 处的切线的斜率k =y ′x =e =1e .又该切线与直线ax -y +3=0垂直,所以a ·1e=-1,所以a =-e.3、若曲线C 1:y =ax 3-6x 2+12x 与曲线C 2:y =e x在x =1处的两条切线互相垂直,则实数a 的值为________. 【答案】-13e【解析】:因为y ′=3ax 2-12x +12,y ′=e x,所以两条曲线在x =1处的切线斜率分别为k 1=3a ,k 2=e ,即k 1·k 2=-1,即3a e =-1,所以a =-13e.4、在平面直角坐标系xOy 中,记曲线y =2x -mx(x ∈R ,m ≠-2)在x =1处的切线为直线l .若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12,则实数m 的值为________. 【答案】-3或-4【解析】:y ′=2+m x2,y ′x =1=2+m ,所以直线l 的方程为y -(2-m )=(2+m )(x -1),即y =(2+m )x -2m .令x =0,得y =-2m ;令y =0,x =2m m +2.由题意得2m m +2-2m =12,解得m =-3或m =-4. 5、设f (x )=4x 3+mx 2+(m -3)x +n (m ,n ∈R )是R 上的单调增函数,则实数m 的值为________. 【答案】6【解析】:因为f ′(x )=12x 2+2mx +(m -3),又函数f (x )是R 上的单调增函数,所以12x 2+2mx +(m -3)≥0在R 上恒成立,所以(2m )2-4×12(m -3)≤0,整理得m 2-12m +36≤0,即(m -6)2≤0.又因为(m -6)2≥0,所以(m -6)2=0,所以m =6.6、已知函数若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围为 . 【答案】(5,0) 【解析】由,所以,,所以,()f x 在[]01,上单调递增,即至多有一个交点,要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个 不同的交点,即500m m +>⎧⎨<⎩,从而可得m ∈(-5,0).7、已知点A (1,1)和B (-1,-3)在曲线C :y =ax 3+bx 2+d (a ,b ,d 均为常数)上.若曲线C 在点A ,B 处的切线互相平行,则a 3+b 2+d =________. 【答案】:7【解析】 由题意得y ′=3ax 2+2bx ,因为k 1=k 2,所以3a +2b =3a -2b ,即b =0.又a +d =1,d -a =-3,所以d =-1,a =2,即a 3+b 2+d =7.8、已知函数f (x )=ln x -mx(m ∈R )在区间[1,e]上取得最小值4,则m =________. 【答案】:-3e9、 曲线f (x )=f ′1e ·e x-f (0)x +12x 2在点(1,f (1))处的切线方程为________________.【答案】:y =e x -12【解析】:因为f ′(x )=f ′1e·e x -f (0)+x ,故有⎩⎪⎨⎪⎧f 0=f ′1e ,f ′1=f ′1-f 0+1,即⎩⎪⎨⎪⎧f 0=1,f ′1=e ,原函数表达式可化为f (x )=e x-x +12x 2,从而f (1)=e -12,所以所求切线方程为y -⎝ ⎛⎭⎪⎫e -12=e(x -1),即y =e x -12.应注意“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别,前者表示此点即为切点,后者表示此点不一定是切点,过此点可能存在两条或多条切线.10、已知函数在3x =-时取得极值,则a 的值等于 .【答案】:3 【解析】,根据题意'(3)0f -=,解得3a =,经检验满足题意,所以a 的值等于3.11.已知三次函数在(,)x ∈-∞+∞是增函数,则m 的取值范围是 . 【答案】:24m ≤≤ 【解析】 ,由题意得恒成立,∴,∴24m ≤≤.12、 若函数在开区间2(6)a a -, 既有最大值又有最小值,则实数a 的取值范围是 .【答案】:{2}.【解析】 :函数()g x 在1x =处取得极小值(1)2g =-,在1x =-处取得极大值(1)2g -=,又因为函数在开区间2(6)a a -, 内既有最大值又有最小值,所以即a 的取值范围是{2}.【问题探究,开拓思维】例1、若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线,则实数b 的值是 . 【答案】:1【解析】: 设切点的横坐标为0x ,由曲线x y e x =+,得1x y e '=+,所以依题意切线的斜率为,得00x =,所以切点为(0,1),又因为切线2y x b =+过切点(0,1),故有120b =⨯+,解得1b =.(3) 当a =1时,记h (x )=f (x )·g (x ),是否存在整数λ,使得关于x 的不等式2λ≥h (x )有解?若存在,请求出λ的最小值;若不存在,请说明理由. (参考数据:ln2≈0.693 1,ln3≈1.098 6)思路分析 第(2)问,由于问题中含有参变量a ,因此,函数的单调性及单调区间就随着a 的变化而变化,因此,就需要对参数a 进行讨论,要讨论时,注意讨论的标准的确定方式:一是导函数是何种函数;二是导函数的零点是否在定义域内;三是导函数的零点的大小关系如何.第(3)问,注意到2λ≥h (x )有解等价于h (x )min ≤2λ,因此,问题归结为求函数h (x )的最小值,在研究h (x )的最小值时,要注意它的极值点是无法求解的,因此,通过利用极值点所满足的条件来进行消去ln x 来解决问题.另一方面,我们还可以通过观察,来猜测λ的最小值为0,下面来证明当λ≤-1时2λ≥h (x )不成立,即h (x )>-2则可. 【解析】:(1) 当a =2时,方程g (e x )=0即为2e x+1e x -3=0,去分母,得2(e x )2-3e x +1=0,解得e x =1或e x=12,(2分)故所求方程的根为x =0或x =-ln2.(4分)综上所述,当a <0时,φ(x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0,a -1a ; 当0≤a ≤1时,φ(x )的单调递增区间为(0,+∞); 当a >1时,φ(x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫a -1a ,+∞ .(10分) (3) 解法1 当a =1时,g (x )=x -3,h (x )=(x -3)ln x ,所以h ′(x )=ln x +1-3x 单调递增,h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32=ln 32+1-2<0,h ′(2)=ln2+1-32>0,所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2,使得h ′(x 0)=0,即ln x 0+1-3x 0=0,(12分)当x ∈(0,x 0)时,h ′(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,h ′(x )>0,所以h (x )min =h (x 0)=(x 0-3)ln x 0=(x 0-3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0-1=-x 0-32x 0=6-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+9x 0.记函数r (x )=6-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +9x ,则r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2上单调递增,(14分) 所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<h (x 0)<r (2),即h (x 0)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12,由2λ≥-32,且λ为整数,得λ≥0,所以存在整数λ满足题意,且λ的最小值为0.(16分) 解法2 当a =1时,g (x )=x -3,所以h (x )=(x -3)ln x , 由h (1)=0,得当λ=0时,不等式2λ≥h (x )有解,(12分)下证:当λ≤-1时,h (x )>2λ恒成立,即证(x -3)ln x >-2恒成立. 显然当x ∈(0,1]∪[3,+∞)时,不等式恒成立, 只需证明当x ∈(1,3)时,(x -3)ln x >-2恒成立. 即证明ln x +2x -3<0.令m (x )=ln x +2x -3, 所以m ′(x )=1x-2x -32=x 2-8x +9x x -32,由m ′(x )=0,得x =4-7,(14分) 当x ∈(1,4-7)时,m ′(x )>0;当x ∈(4-7,3)时,m ′(x )<0. 所以m (x )max =m (4-7)=ln(4-7)-7+13<ln(4-2)-2+13=ln2-1<0. 所以当λ≤-1时,h (x )>2λ恒成立.综上所述,存在整数λ满足题意,且λ的最小值为0.(16分)解后反思: 研究恒成立问题、存在性问题,其本质就是研究相关函数的最值问题,这样就可以让问题的研究目标具体化.同时,在研究此类问题时,经常可以采用从特殊到一般的方式来帮助我们进行思考.。
努力的你,未来可期!易错点04—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.(1)当a e =时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.【易错警示】易错点1.误解导函数与单调区间的关系【例1】()f x '是()f x 在区间[,]a b 的导函数,则“在区间(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在该区间内单调递增”的________条件.易错点2 .误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【例2】 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,求,a b 的值.易错点3.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】 已知函数f (x )的导函数()x f '的图像如左图所示,那么函数()x f 的图像最有可能的是易错点4 .遗忘复合函数求导公式【例4】函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为 .易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线x x x f 32)(3-=,过点(0,32)M 作曲线()f x 的切线,求切线方程.易错点6.混淆极值与最值是两个不同的概念致错【例6】求函数x x x x f +-=232)(在[-3,3]上的最值.易错点7.用错恒成立的条件【例7】 已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时,()f x ≥0恒成立,求的取值范围.【变式练习】1.若函数3()f x ax x =-在R 上为减函数,求实数的取值范围.2.函数()y f x =的导函数()f x '的图象如右图所示,则函数()y f x =的图象可能是( )3.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =的解析式;4.(2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学)已知函数()(2)xf x e a x =-+. (1)当1a =时,讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.5.(2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学)已知函数2()e xf x ax x =+-. (1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥12x3+1,求a 的取值范围.【真题演练】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ,处的切线方程为 A .21y x =-- B .21y x =-+ C .23y x =-D .21y x =+2.【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为 A .y =2x +1 B .y =2x +12C .y =12x +1D .y =12x +123.【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =,用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论: ①在[]12,t t 这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在2t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在3t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中,在[]10,t 的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是____________________.4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围. 5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =.(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性;(2)证明:()f x ≤; (3)设*n ∈N ,证明:2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤.6.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点(12,f (12))处的切线与y 轴垂直. (1)求B .(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1.7.【2020年高考天津】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ,()f x '为()f x 的导函数.(Ⅰ)当6k =时, (i )求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(ii )求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值; (Ⅱ)当3k ≥-时,求证:对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 8.【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程; (Ⅱ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求()S t 的最小值.9.【2020年高考浙江】已知12a <≤,函数()e x f x x a =--,其中e=2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)证明:函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点; (Ⅱ)记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点,证明:0x ≤≤; (ⅱ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--.10.【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米. (1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点)..桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O E '为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低?11.【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+,,,,求h (x )的表达式; (2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞,,,,求k 的取值范围;(3)若()422342() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤,,[], D m n =⊆⎡⎣,求证:n m -≤.12.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.(1)当e a =时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.。
2021年高考数学复习资料―函数导数部分错题精选2021年高考数学复习资料―函数、导数部分错题精选一、多项选择题:1、已知函数y?f?x?,x??a,b?,那么集合?x,y?y?f?x?,x??a,bx,y?x?2中元素的个数为()a、 1b。
0c。
1或0d 1或22、已知函数f?x?的定义域为[0,1],值域为[1,2],则函数f?x?2?的定义域和值域分别是()a、 [0,1],[1,2]B.[2,3],[3,4]C.[2,-1],[1,2]D.[1,2],[3,4]3。
如果0<a<1,B<1,那么函数y?斧头?B的图像不能通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、将函数f?x??2x的图象向左平移一个单位得到图象c1,再将c1向上平移一个单位得图象c2,作出c2关于直线y?x对称的图象c3,则c3对应的函数的解析式为()a.y?log2?x?1??1b.y?log2?x?1??1c.y?log2?x?1??1d.y?log2?x?1??15.已知函数f?十、log1?2.十、在其域内单调递减,那么函数g?十、loga1?X2单a调减区间是()A.0 b。
??1,0? C0天。
?0,1? 6.功能y?xcosx?其中SiNx是递增函数()a.33?5??,?b.??,2??c.?,?d.?2?,3??22 22 x、 X1和f?x1?>Fx2那么以下结论必须是正确的(x2,?),?,2222is7、设f?x??xna.x1>x2b.x1+x2>0c.x1<x2d.x1>x28、方程x?log2x?2和x?log3x?2的根分别是?、?,则有()a.<? b、什么?c、?=?d、不确定?和大小第1页版权所有@中国高考志愿填报门户9.如果?x的方程是x2吗??K2.十、k2?3k?5.0(k?R)的两个实根,然后22的最大值等于()50摄氏度。
18d。
199b10。
高考数学二轮复习数学导数及其应用多选题的专项培优易错试卷练习题含答案一、导数及其应用多选题1.已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A 、B 两点,则( )A .f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B .∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C .函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D .∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法,在f (x )与g (x )取两点求距离,即可判断出A 选项的正误;解方程12()(2)m f lnm g e-''=,可判断出B 选项的正误;利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性,结合极值的符号可判断出C 选项的正误;设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ,())g n ,求出两切线的方程,得出方程组,判断方程组是否有公共解,即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q,则||2PQ =,而2ln 2<+(注ln 20.7≈),故A 选项不正确; ()x f x e =,1()22x g x ln =+,则()x f x e '=,1()g x x'=,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=, 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=,令12()(2)m f lnm g e-''=,即1212m m e-=,即1221m me -=,则12m =满足方程1221m me -=,m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线,B 选项正确;构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-,可得1()x F x e x'=-,函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数,由于1()20F e '<,F '(1)10e =->,则存在1(,1)2t ∈,使得1()0tF t e t'=-=,可得t lnt =-,当0x t <<时,()0F x '<;当x t >时,()0F x '>.∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>, ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点,C 选项正确;设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ,())g n ,则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-,即(1)y mx m lnm =+-, 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-, ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=,令1()(1)22G x x x lnx ln =--++,则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-, 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数,G '(1)10=>,1(2)202G ln '=-<, 则存在(1,2)s ∈,使得1()0G s lns s'=-=,且1s s e =.当0x s <<时,()0G x '>,当x s >时,()0G x '<.∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数,5(2)02G =>,17(8)20202G ln =-<, 由零点存 定理知,函数()y G x =在(2,)+∞上有零点, 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解. m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线.故选:BCD . 【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及函数的最值、零点以及切线问题,计算量较大,考查了转化思想和数形结合思想,属难题.2.在湖边,我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链,这就是悬链线(Catenary ),其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,其中a 为非零常数,在此坐标平面上,过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ,则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为( )(注:[]x 表示不大于x 的最大整数)A .2-B .1-C .1D .2【答案】AC 【分析】求出导数,表示出切线,令0x t a=,可得()()110t tt e t e --++=,构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++,可得()h x 是偶函数,利用导数求出单调性,结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<,即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅,()2x x aae ef x --'∴=,∴切线斜率002x x aae ek --=,()0002x x aae ef x a -+=⋅,则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-,直线过原点,()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=,则可得()()110t tt e t e --++=, 令()()()11xxh x x e x e -=-++,则t 是()h x 的零点,()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=,()h x ∴是偶函数,()()x x h x x e e -'=-+,当0x >时,()0h x '<,()h x 单调递减,()1120h e -=>,()22230h e e -=-+<,()h x ∴在()1,2存在零点t ,由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点,且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点,021x a ∴-<<-或012xa<<,02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选:AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线,利用导数研究函数的零点,解题的关键是将题目转化为令0x t a=,()()110t t t e t e --++=,求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3.若存在常数k 和b ,使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足:()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()22x f x =(x ∈R ),()12g x x =(0x <),()ln h x e x =,(e 为自然对数的底数),则( )A .()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B .()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”,且b 的最小值为2- C .()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”,且k 的取值范围是[]2,1-D .()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”,方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A :令()()()m x f x g x =-,利用导数可确定()m x 单调性,进而作出判断; 对于B 和C :利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围,进而作出判断;对于选项D :根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点,可假设隔离直线为2e y kx =-;可得到222x ekx ≥-,再利用恒成立得出k 的值,最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-,进而作出判断. 【详解】对于A ,()()()2122x m x f x g x x =-=-, ()322121022x m x x x x +'∴=+=>,当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0m x '>,()m x ∴单调递增,故A 错误;对于B ,C ,设()f x ,()g x 的隔离直线为y kx b =+,22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立,即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立, 所以21480k b ∆=+≤,所以0b ≤,又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立,即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立,因为0b ≤,所以0k ≤且21480b k ∆=+≤,所以22k b ≤-且22b k ≤-,4248k b b ≤≤-,解得20k -≤≤,同理20b -≤≤, 所以b 的最小值为2-,k 的取值范围是[]2,0-, 故B 正确,C 错误; 对于D ,函数()f x 和()h x的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为(2e y k x -=,即2e y kx =-,则222x ekx ≥-(x ∈R),得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立,则()24420k e ∆=-≤,解得k =,此时隔离直线方程为:2ey =-,下面证明()2e h x ≤-, 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--(0x >),则()x G x x'=,当x =()0G x '=;当0x <<()0G x '<;当x >()0G x '>;∴当x =()G x 取到极小值,也是最小值,即()0min G x G==,()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立,即()2eh x ≤-,∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-,D 正确. 故选:BD . 【点睛】关键点睛:本题考查导数中的新定义问题的求解;解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义,将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题,属于难题.4.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有( ) A .a e =B .()f x 在区间()1,e 单调递增C .1x =是()f x 的极大值点D .()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点,转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,即ln ln x ax a=只有一个正根.利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质,可得a e =,判断A ,然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质,求出()'f x ,令()0f x '=,利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ,并证明出()'f x 的正负,得()f x 的单调性,极值最值.判断BCD .【详解】()f x 只有一个零点,即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,x a a x =,取对数得ln ln x a a x =,即ln ln x ax a=只有一个正根. 设ln ()xh x x =,则21ln ()x h x x-'=,当0x e <<时,()0h x '>,()h x 递增,0x →时,()h x →-∞,x e >时,()0h x '<,()h x 递减,此时()0h x >,max 1()()h x h e e==. ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根.则ln 1a a e =或ln 0a a<,解得a e =或0a <,又∵1a >,∴a e =.A 正确;()x e f x e x =-,1()x e f x e ex -'=-,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.设()(1)ln 1p x e x x =--+,1()1e p x x-'=-,当01x e <<-时,()0p x '>,()p x 递增,1x e >-时,()0p x '<,()p x 递减,(1)p e -是极大值,又(1)()0p p e ==, 所以()p x 有且只有两个零点,01x <<或x e >时,()0p x <,即(1)ln 1e x x -<-,11e x x e --<,1e x ex e -<,()0f x '>,同理1x e <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增,在(1,)e 上递减,所以极小值为()0f e =,极大值为(1)f ,又(0)1f =,所以()f e 是最小值.B 错,CD 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考用导数研究函数的零点,极值,单调性.解题关键是确定()'f x 的零点时,利用零点定义解方程,1()0xe f x e ex-'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.5.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,其导函数()f x '满足()1f x x'<,且()11f =,则下列结论正确的是( ) A .()2f e > B .10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C .()1,x e ∀∈,()2f x <D .1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭, ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-,求导得:'1()()0F x f x x'=-<,可得函数的单调性,再结合(1)1f =,可得(1)1F =,对选项进行一一判断,即可得答案;【详解】令()()ln F x f x x =-,∴'1()()0F x f x x'=-<, ()F x ∴在(0,)+∞单调递减, (1)1f =,(1)(1)1F f ∴==,对A ,()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<,故A 错误; 以B ,111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 正确; 对C ,(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<,()1ln f x x ∴<+,(1.),ln (0,1)x e x ∈∈, 1ln (1,2)x ∴+∈,()2f x ∴<,故C 正确;对D ,111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭,1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭,1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭,故D 正确; 故选:BCD. 【点睛】根据条件构造函数,再利用导数的工具性研究函数的性质,是求解此类抽象函数问题的关键.6.已知()2sin x f x x x π=--.( )A .()f x 的零点个数为4B .()f x 的极值点个数为3C .x 轴为曲线()y f x =的切线D .若()12()f x f x =,则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=,分别画出21xy π=-和cos y x =的图像,从而得到函数的单调性和极值,再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--,令()0f x '=,得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像,如图所示:由图知:21cos xx π-=有三个解,即()0f x '=有三个解,分别为0,2π,π. 所以(),0x ∈-∞,()21cos 0xf x x π'=-->,()f x 为增函数,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()21cos 0x f x x π'=--<,()f x 为减函数,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()21cos 0x f x x π'=-->,()f x 为增函数,(),x π∈+∞,()21cos 0xf x x π'=--<,()f x 为减函数.所以当0x =时,()f x 取得极大值为0,当2x π=时,()f x 取得极小值为14π-,当x π=时,()f x 取得极大值为0,所以函数()f x 有两个零点,三个极值点,A 错误,B 正确.因为函数()f x 的极大值为0,所以x 轴为曲线()y f x =的切线,故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数,0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数, 所以存在1x ,2x 满足1202x x π<<<,且()()12f x f x =,显然122x x π+<,故D 错误.故选:BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用,考查利用导数研究函数的零点,极值点和切线,属于难题.7.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断,其中正确的是( ) A .当0k >时,有3个零点 B .当0k <时,有2个零点 C .当0k >时,有4个零点 D .当0k <时,有1个零点【答案】CD 【分析】令y =0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,利用换元法将函数分解为f (x )=t 和f (t )=﹣1,作出函数f (x )的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦,得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,设f (x )=t ,则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f (t )=﹣1,①若k >0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有两个根其中t 2<0,0<t 1<1,由f (x )=t 2<0,此时x 有两解,由f (x )=t 1∈(0,1)知此时x 有两解,此时共有4个解, 即函数y =f [f (x )]+1有4个零点.②若k <0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有一个根t 1,其中0<t 1<1,由f (x )=t 1∈(0,1),此时x 只有1个解,即函数y =f [f (x )]+1有1个零点. 故选:CD .【点睛】本题考查分段函数的应用,考查复合函数的零点的判断,利用换元法和数形结合是解决本题的关键,属于难题.8.已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ,且12x x <,则下列结论不正确的是( ) A .10m e<<B .21x x -的值随m 的增大而减小C .101x <<D .2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,利用导数分析函数()g x 的单调性与极值,数形结合可判断ACD 选项的正误;任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<,利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-,可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =,可得ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,定义域为()0,∞+,()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时, ()0g x '>,此时函数()g x 单调递增; 当x e >时,()0g x '<,此时函数()g x 单调递减. 所以,()()max 1g x g e e==,如下图所示:由图象可知,当10m e <<时,直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点,A 选项正确; 当1x >时,()0g x >,由图象可得11x e <<,2x e >,C 选项错误,D 选项正确; 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增,且()()11g g ξη<,11ξη∴<;函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减,且()()22g g ξη<,22ξη∴>.由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-,则2121ξξηη->-.所以,21x x -的值随m 的增大而减小,B 选项正确.故选:C.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中,可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件,并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用.另外还可作出函数()y g x =的大致图象,直观判定曲线交点个数,但应注意严谨性,进行必要的论证.。
一、导数及其应用多选题1.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>(其中()f x '是函数()f x 的导函数),则下列不等式中不成立的是( )A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D.63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =,结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而可判断ABD 选项,由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>, 所以构造函数()()cos f x g x x =,则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>,∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增,32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,6636cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对于AB,4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝,故AB 错误; 对于C ,()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭,()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 错误;对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确; 故选:ABC. 【点睛】关键点点睛:本题考查了利用导数研究函数的单调性,解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=,利用导数研究函数的单调性,从而比较大小,考查学生的逻辑推理能力与转化思想,属于较难题.2.函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <,则下列结论正确的是( ) A .230b ac ->B .()f x 在区间()12,x x 上单调递减C .若()10af x <,则()f x 只有一个零点D .存在0x ,使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误;取0a <,利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误;分0a >、0a <两种情况讨论,分析函数()f x 的单调性,结合图象可判断C 选项的正误;计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称,可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠,则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项,由题意可知,关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根,则24120b ac ∆=->,可得230b ac ->,A 选项正确;对于B 选项,当0a <时,且当()12,x x x ∈时,()0f x '>,此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增,B 选项错误;对于C 选项,当0a >时,由()0f x '>,可得1x x <或2x x >;由()0f x '<,可得12x x x <<.所以,函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞,单调递减区间为()12,x x , 由()10af x <,可得()10<f x ,此时,函数()f x 的极大值为()10<f x ,极小值为()2f x ,且()()210f x f x <<,如下图所示:由图可知,此时函数()f x 有且只有一个零点,且零点在区间()2,x +∞内; 当0a <时,由()0f x '<,可得1x x <或2x x >;由()0f x '>,可得12x x x <<. 所以,函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞,单调递增区间为()12,x x , 由()10af x <,可得()10f x >,此时,函数()f x 的极小值为()10f x >,极大值为()2f x ,且()()210f x f x >>,如下图所示:由图可知,此时函数()f x 有且只有一个零点,且零点在区间()2,x +∞内,C 选项正确;对于D 选项,由题意可知,1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根, 由韦达定理可得1223bx x a +=-,123c x x a=, ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++,取3bt a=-,则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称, 1223bx x a+=-,()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭,D 选项正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3.下列不等式正确的有( )A 2ln 3<B .ln π<C .15<D .3ln 2e <【答案】CD 【分析】构造函数()ln xf x x=,利用导数分析其单调性,然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =,则()21ln xf x x-'=,令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>,即ln 22>22ln ln 3>=,故A 错误;②ff >>,所以可得ln π>B 错误;③(4)f f >ln 4ln 242>=,即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<,故C 正确;④()f f e <ln e e <3ln 21e<,即3ln 22e <所以3eln 2<,故D 正确; 故选:CD 【点睛】关键点点睛:本题考查的是构造函数,利用导数判断函数的单调性,解题的关键是函数的构造和自变量的选择.4.已知:()f x 是奇函数,当0x >时,()'()1f x f x ->,(1)3f =,则( )A .(4)(3)f ef >B .2(4)(2)f e f ->-C .3(4)41f e >-D .2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦,令()()+1x f x g x e =,判断出函数()g x 在0x >时单调递增,由此得()()4>3g g ,化简可判断A ;()()4>2g g ,化简并利用()f x 是奇函数,可判断B ;()()4>1g g ,化简可判断C ;由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-,可判断D.【详解】 因为当0x >时,()'()1fx f x ->,所以()'()10f x f x -->,即()[]'()+10xf x f e x ->,所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦, 令()()+1xf xg x e=,则当0x >时,()'>0g x ,函数()g x 单调递增, 所以()()4>3g g ,即43(4)+1(3)+1>f f e e ,化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-,故A 正确;()()4>2g g ,即42(4)+1(2)+1>f f e e ,化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-, 所以2(4)(2)e f f -<-,又()f x 是奇函数,所以2(4)(2)e f f -<-,故B 不正确;()()4>1g g ,即4(4)+1(1)+1>f f e e,又(1)3f =,化简得3(4)41f e >-,故C 正确; 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-,所以2(4)41f e -<--,又()f x 是奇函数,所以2(4)41f e -<--,故D 正确, 故选:ACD. 【点睛】关键点点睛:解决本题中令有导函数的不等式,关键在于构造出某个函数的导函数,得出所构造的函数的单调性,从而可比较函数值的大小关系.5.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: (i )直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切;(ii )曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是( )A .直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B .直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C .直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D .直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数,求出曲线C 在点P 处的切线方程,再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足(ii ),由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项,由3y x =,可得23y x '=,则00x y ='=,所以,曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =,当0x >时,0y >;当0x <时,0y <,满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧, A 选项正确;对于B 选项,由()21y x =+,可得()21y x '=+,则10x y =-'=,而直线:1l x =-的斜率不存在,所以,直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切,B 选项错误;对于C 选项,由sin y x =,可得cos y x '=,则01x y ='=,所以,曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =,设()sin x x x f -=,则()1cos 0f x x '=-≥,所以,函数()f x 为R 上的增函数, 当0x <时,()()00f x f <=,即sin x x <; 当0x >时,()()00f x f >=,即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧,C 选项正确; 对于D 选项,由sin tan cos xy x x ==,可得21cos y x'=,01x y ='=,所以,曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =,当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,设()tan g x x x =-,则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤',所以,函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时,()()00g x g >=,即tan x x >;当02x π<<时,()()00g x g <=,即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧,D 选项正确. 故选:ACD. 【点睛】关键点点睛:本题考查导数新定义,解题的关键就是理解新定义,并把新定义进行转化,一是求切线方程,二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系,从而得出结论.6.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,其导函数()f x '满足()1f x x'<,且()11f =,则下列结论正确的是( ) A .()2f e >B .10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C .()1,x e ∀∈,()2f x <D .1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭, ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-,求导得:'1()()0F x f x x'=-<,可得函数的单调性,再结合(1)1f =,可得(1)1F =,对选项进行一一判断,即可得答案;【详解】令()()ln F x f x x =-,∴'1()()0F x f x x'=-<, ()F x ∴在(0,)+∞单调递减, (1)1f =,(1)(1)1F f ∴==,对A ,()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<,故A 错误; 以B ,111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 正确; 对C ,(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<,()1ln f x x ∴<+,(1.),ln (0,1)x e x ∈∈, 1ln (1,2)x ∴+∈,()2f x ∴<,故C 正确;对D ,111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭,1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭,1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭,故D 正确; 故选:BCD. 【点睛】根据条件构造函数,再利用导数的工具性研究函数的性质,是求解此类抽象函数问题的关键.7.在单位圆O :221x y +=上任取一点()P x y ,,圆O 与x 轴正向的交点是A ,将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ,若x ,y 关于θ的表达式分别为()x fθ=,()y g θ=,则下列说法正确的是( )A .()x fθ=是偶函数,()y g θ=是奇函数;B .()x f θ=在()0,π上为减函数,()y g θ=在()0,π上为增函数;C .()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,上恒成立;D .函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=,sin y θ=,根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ;根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,再利用三角函数求值域可判断C ;对于D ,2cos sin2t θθ=+,先对函数t 求导,从而可知函数t 的单调性,进而可得当1sin 2θ=,cos 2θ=时,函数t 取得最大值,结合正弦的二倍角公式,代入进行运算即可得解. 【详解】由题意,根据三角函数的定义可知,x cos θ=,y sin θ=, 对于A ,函数()cos fθθ=是偶函数,()sin g θθ=是奇函数,故A 正确;对于B ,由正弦,余弦函数的基本性质可知,函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数,函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数,在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,故B 错误; 对于C ,当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦,时,3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭,故C 正确;对于D ,函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+,求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+, 令0t '>,则11sin 2θ-<<;令0t '<,则1sin 12θ<<, ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,当6πθ=即1sin 2θ=,cos 2θ=时,函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=,cos 1θ=时,212012t =⨯+⨯⨯=,所以函数()()22t f g θθ=+,故D 正确.故选:ACD.【点睛】方法点睛:考查三角函数的值域时,常用的方法:(1)将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+,再利用三角函数性质求值域; (2)利用导数研究三角函数的单调区间,从而求出函数的最值.8.已知函数()e sin xf x a x =+,则下列说法正确的是( )A .当1a =-时,()f x 在0,单调递增B .当1a =-时,()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C .当1a =时,()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,且()010f x -<<D .对任意0a >,()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点,分别对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】对于A ,当1a =-时,()e sin xf x x =-,()e cos xf x x '=-,因为()0,x ∈+∞时,e 1,cos 1xx >≤,即0fx,所以()f x 在0,上单调递增,故A 正确;对于B ,当1a =-时,()e sin xf x x =-,()e cos xf x x '=-,则()00e sin01f =-=,()00e cos00f '=-=,即切点为0,1,切线斜率为0,故切线方程为1y =,故B 错误;对于C ,当1a =时,()e sin xf x x =+,()e cos xf x x '+=,()e sin xf x x '=-',当()π,0x ∈-时,sin 0x <,e 0x >,则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立,即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增,又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>,3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+,因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝,所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝,所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立,所以()f x 在()0π,x -上单调递减,在()0,0x 上单调递增,即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,由()000e cos 0xf x x +'==,可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭,因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-,故C 正确;对于选项D ,()e sin xf x a x =+,()π,x ∈-+∞,令()e sin 0xf x a x =+=,得1sin ex xa -=, ()sin ex xg x =,()π,x ∈-+∞,则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==, 令0g x ,得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ,令0g x,得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递减, 令0g x,得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递增, 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时,()g x 取得极小值,极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z , 在()g x 的极小值中,3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小,当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时,()g x 单调递减,所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,当3π411a--<-时,即3π40a -<<时,函数()g x 与1=-y a无交点,即()f x 在()π,-+∞不存在零点,故D 错误.故选:AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值,及切线方程的求法,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.9.已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断,其中正确的是( ) A .当0k >时,有3个零点 B .当0k <时,有2个零点 C .当0k >时,有4个零点 D .当0k <时,有1个零点【答案】CD 【分析】令y =0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,利用换元法将函数分解为f (x )=t 和f (t )=﹣1,作出函数f (x )的图象,利用数形结合即可得到结论. 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦,得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦,设f (x )=t ,则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f (t )=﹣1,①若k >0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有两个根其中t 2<0,0<t 1<1,由f (x )=t 2<0,此时x 有两解,由f (x )=t 1∈(0,1)知此时x 有两解,此时共有4个解, 即函数y =f [f (x )]+1有4个零点.②若k <0,作出函数f (x )的图象如图:∵f (t )=﹣1,∴此时方程f (t )=﹣1有一个根t 1,其中0<t 1<1,由f (x )=t 1∈(0,1),此时x 只有1个解,即函数y =f [f (x )]+1有1个零点. 故选:CD .【点睛】本题考查分段函数的应用,考查复合函数的零点的判断,利用换元法和数形结合是解决本题的关键,属于难题.10.(多选题)已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩,,,函数()()g x xf x =,下列选项正确的是( )A .点(0,0)是函数()f x 的零点B .12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈,使12()()f x f x >C .函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D .若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ;利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性,求出各段上的值域即可判断B ;利用导数求出函数的最值即可判断C ;利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ,0是函数()f x 的零点,零点不是一个点,所以A 错误. 对于选项B ,当1x <时,()(1)xf x x e '=+,可得, 当1x <-时,()f x 单调递减; 当11x -<<时,()f x 单调递增; 所以,当01x <<时, 0()<<f x e ,当1x >时,4(3)()x e x f x x-'=, 当13x <<时,()f x 单调递减; 当3x >时,()f x 单调递增;()y f x =图像所以,当13x <<时, 3()27e f x e << ,综上可得,选项B 正确;对于选项C ,min 1()(1)f x f e=-=-,选项C 正确. 对于选项D ,关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点,且0x ≠,22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时,/2()(2)=+xg x e x x ,当x 变化时,'()g x ,()g x 的变化情况如下:x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=,极小值(0)0g =,当1≥x 时,3(2)'()e x g x x -=当x 变化时,'()g x ,()g x 的变化情况如下: x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2 (2)4eg=,()y g x=图像综上可得,22424<<eae或2a e>,a的取值范围是222e e,(,)e82⎛⎫+∞⎪⎝⎭,D不正确.故选:BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,利用导数研究方程的根,考查了转化与化归的思想,属于难题.。
2021年高考数学二轮复习 第四讲 导数及其应用一、选择题1.函数y =12x2-ln x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1] B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)解析:∵y=12x2-ln x ,∴y ′=x -1x,由y′≤0,解得-1≤x ≤1,又x >0,∴0<x≤1.故选B.答案:B2.设P 为曲线C :y =x2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4,则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12 B .[-1,0] C .[0,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1解析:设P(x0,y0),∵y ′=2x +2,∴曲线C 在点P 处的切线斜率为2x0+2.又切线倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4, ∴斜率范围是[0,1].即2x0+2∈[0,1],∴x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12. 答案:A3.若f(x)=-12x2+bln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( )A .[-1,+∞) B.(-1,+∞)C .(-∞,-1]D .(-∞,-1)解析:∵f′(x)=-x2-2x +b x +2=-(x +1)2+b +1x +2. 则由已知f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,∴1+b≤0.∴b ≤-1.答案:C4.(xx·湖南卷)若0<x1<x2<1,则( )A .ex2-ex1>ln x2-ln x1B .ex1-ex2<ln x2-ln x1C .x2ex1>x1ex2D .x2ex1<x1ex2解析:设函数f(x)=ex -ln x 且g(x)=ex x ,对函数求导可得f′(x)=ex -1x,g ′(x)=(x -1)ex x2,因为x∈(0,1),所以f′(x)符号不确定且g′(x)<0,所以函数f(x)单调性不确定,函数g(x)在(0,1)上单调递减,则g(x1)>g(x2)⇒ex1x1>ex2x2⇒x2ex1>x1ex2,所以选项C 是正确的.故选C.答案:C5.(xx·江西卷)在同一直角坐标系中,函数y =ax2-x +a 2与y =a2x3-2ax2+x +a(a∈R)的图象不可能的是( )解析:当a =0时,两函数图象为D 所示,当a≠0时,对函数y =a2x3-2ax2+x +a ,令y′=3a2x2-4ax +1=0得:x =1a 或x =13a ,y =ax2-x +a 2的对称轴为x =12a.当a <0时,由1a <12a <13a 知B 不对,当a >0时,由1a >12a >13a知A ,C 正确. 答案:B6.设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f ′(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π) 且x≠π2时,⎝⎛⎭⎪⎫x -π2f ′(x)>0,则函数y =f(x)-sin x 在[-2π,2π] 上的零点个数为( )A .2个B .4个C .5个D .8个解析:由当x∈(0,π) 且x≠π2时 ,⎝⎛⎭⎪⎫x -π2f ′(x)>0, 知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2时,f ′(x)<0,f(x)为减函数;x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,f ′(x)>0,f(x)为增函数.又x∈[0,π]时,0<f(x)<1,在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y =sin x 和y =f(x)草图(如下图),由图知y =f(x)-sin x 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.答案:B7.函数y =f(x)在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,3 内可导,其图象如图所示,记y =f(x)的导函数为y =f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,1∪[2,3)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43,83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,12∪[1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,43答案:A二、填空题8.若曲线y =kx +ln x 在点(1,k)处的切线平行于x 轴,则k =________.答案:-19.曲线y =x3+3x2+6x -1的切线中,斜率最小的切线方程为______________________.解析:y′=3x2+6x +6=3(x +1)2+3≥3.当x =-1时,y ′min =3;当x =-1时,y =-5.∴切线方程为y +5=3(x +1),即3x -y -2=0.答案:3x -y -2=0三、解答题10.已知函数f(x)=2x3+ax 与g(x)=bx2+c 的图象都过点P(2,0),且在点P 处有相同的切线.(1)求实数a ,b ,c 的值;(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间,并指出函数F(x)在该区间上的单调性.解析:(1)因为函数f(x)=2x3+ax 与g(x)=bx2+c 的图象都过点P(2,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧2×23+2a =0,4b +c =0.得a =-8,4b +c =0. 故f(x)=2x3-8x ,f ′(x)=6x2-8.又当x =2时,f ′(x)=16,又g′(x)=2bx ,所以2b×2=16,得b =4,c =-16.所以a =-8,b =4,c =-16.(2)因为F(x)=2x3+4x2-8x -16,所以F′(x)=6x2+8x -8.由F′(x)>0,得x <-2或x >23; 由F′(x)<0,得-2<x <23. 所以,当x∈(-∞,-2)时,F(x)是增函数;当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞时,F(x)也是增函数; 当x∈⎝⎛⎭⎪⎫-2,23时,F(x)是减函数.11.(xx·广东卷)已知函数f(x)=13x3+x2+ax +1(a ∈R). (1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a <0时,试讨论是否存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,使得f(x0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解析:(1)f′(x)=x2+2x +a ,方程x2+2x +a =0的判别式为Δ=4-4a ,①当a≥1时,Δ≤0,则f′(x)≥0,此时f(x)在R 上是增函数;②当a <1时,方程x2+2x +a =0两根分别为x1=-1-1-a ,x2=-1+1-a , 解不等式x2+2x +a >0,解得x <-1-1-a 或x >-1+1-a ,解不等式x2+2x +a <0,解得-1-1-a <x <-1+1-a ,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-1-a)和(-1+1-a ,+∞), 单调递减区间为(-1-1-a ,-1+1-a);综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).当a <1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-1-a)和(-1+1-a ,+∞), 单调递减区间为(-1-1-a ,-1+1-a).(2)f(x0)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=13x30+x20+ax0+1-13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫123-⎝ ⎛⎭⎪⎫122-a·12-1 =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x30-⎝ ⎛⎭⎪⎫123+⎣⎢⎡⎦⎥⎤x20-⎝ ⎛⎭⎪⎫122+a ⎝⎛⎭⎪⎫x0-12 =13⎝⎛⎭⎪⎫x0-12⎝ ⎛⎭⎪⎫x20+x02+14+⎝ ⎛⎭⎪⎫x0-12· (x0+12)+a ⎝⎛⎭⎪⎫x0-12=⎝⎛⎭⎪⎫x0-12⎝ ⎛⎭⎪⎫x203+x06+112+x0+12+a =112⎝⎛⎭⎪⎫x0-12(4x20+14x0+7+12a), 若存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,使得f(x0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,必须4x20+14x0+7+12a =0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上有解. ∵a <0,∴Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,方程的两根为x1′=-14-221-48a 8=-7-21-48a 4, x2′=-14+221-48a 8=-7+21-48a 4, ∵x0>0,∴x0=x2′=-7+21-48a 4, 依题意,0<-7+21-48a 4<1, 即7<21-48a <11, ∴49<21-48a <121,即-2512<a <-712, 又由-7+21-48a 4=12得a =-54, 故欲使满足题意的x0存在,则a≠-54, 所以,当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-2512,-54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-54,-712时,存在唯一x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1满足f(x0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-2512∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫-712,0时,不存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1满足f(x0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 34240 85C0 藀39152 98F0 飰26203 665B 晛}40129 9CC1 鳁30753 7821 砡}l:22354 5752 坒22631 5867 塧.36557 8ECD 軍40407 9DD7 鷗。
2021年高考数学二轮复习导数及其应用专题训练(含解析)一、选择题1.函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( )A.1 B.2C.0 D.1 2解析由题意知f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故f(5)+f′(5)=2.故选B.答案B2.函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )解析x<0时,f(x)为增函数,所以导函数在x<0时大于零;x>0时,原函数先增后减再增,所以导函数先大于零再小于零之后又大于零.故选D.答案 D3.(理)(xx·山东淄博一模)若函数f (x )的导函数在区间(a ,b )上的图象关于直线x =a +b2对称,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )A .①④B .②④C .②③D .③④解析 因为函数y =f (x )的导函数在区间(a ,b )上的图象关于直线x =a +b2对称,即导函数要么图象无增减性,要么在直线x =a +b2两侧单调性相反.由图①得,在a 处切线斜率最小,在b 处切线斜率最大,故导函数图象不关于直线x =a +b2对称,故①不成立;由图②得,在a 处切线斜率最大,在b 处切线斜率最小,故导函数图象不关于直线x =a +b2对称,故②不成立;由图③得,原函数为一次函数,其导函数为常数函数,故导函数图象关于直线x =a +b2对称,③成立;由图④得,原函数有一对称中心,在直线x =a +b2与原函数图象的交点处,故导函数图象关于直线x =a +b2对称,④成立;所以满足要求的有③④,故选D.答案 D3.(文)函数f (x )=3x 2+ln x -2x 的极值点的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .无数个解析 函数定义域为(0,+∞), 且f ′(x )=6x +1x -2=6x 2-2x +1x,由于x >0,g (x )=6x 2-2x +1中Δ=-20<0, ∴g (x )>0恒成立, 故f ′(x )>0恒成立,即f (x )在定义域上单调递增,无极值点. 答案 A4.(xx·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率是( )A .2B .1C .3D .-2解析 由f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8两边求导得,f ′(x )=2f ′(2-x )×(-1)-2x +8.令x =1得f ′(1)=2f ′(1)×(-1)-2+8⇒f ′(1)=2,∴k =2.答案 A5.(xx·云南昆明一模)已知函数f (x )=ln x +1ln x,则下列结论中正确的是( ) A .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是增函数 B .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是减函数 C .∀x >0,且x ≠1,f (x )≥2D .∃x 0>0,f (x )在(x 0,+∞)上是增函数解析 由已知f ′(x )=1x -1x ln 2x =ln 2x -1x ln 2x (x >0,且x ≠1),令f ′(x )=0,得x =e 或x =1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e,1∪(1,e)时,f ′(x )<0;当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0.故x =1e和x =e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点,故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e,1和(1,e)内单调递减,所以A 、B 错;当0<x <1时,ln x <0,f (x )<0,故C 错;若x 0≥e,f (x )在(x 0,+∞)上是增函数,D 正确.答案 D6.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )-f (x )≤0,对任意正数a ,b ,若a <b ,则必有( )A .af (b )≤bf (a )B .bf (a )≤af (b )C .af (a )≤f (b )D .bf (b )≤f (a )解析 设F (x )=f x x ,则F ′(x )=xf ′x -f xx 2≤0, 故F (x )=f xx为减函数. 由0<a <b ,有f a a ≥f bb⇒af (b )≤bf (a ),故选A. 答案 A 二、填空题7.(理)(xx·广东卷)曲线y =e -5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.解析 y ′=-5e-5x,∴y ′|x =0=-5,∴所求切线方程为y -3=-5x ,即5x +y -3=0.答案 5x +y -3=07.(文)已知函数f (x )=x e x,则f ′(x )=________;函数f (x )的图象在点(0,f (0))处的切线方程为________.解析 ∵f ′(x )=1·e x +x ·e x =(1+x )e x;f ′(0)=1,f (0)=0,因此f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y -0=x -0,即y =x .答案 (1+x )e xy =x8.若点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为________. 解析 过点P 作y =x -2的平行直线,且与曲线y =x 2-ln x 相切. 设P (x 0,x 20-ln x 0),则有k =y ′|x =x 0=2x 0-1x 0.∴2x 0-1x 0=1.∴x 0=1或x 0=-12(舍去).∴P (1,1),∴d =|1-1-2|1+1= 2. 答案29.已知函数f (x )=x 3+2bx 2+cx +1有两个极值点x 1,x 2,且x 1∈[-2,-1],x 2∈[1,2],则f (-1)的取值范围是________.解析 由于f ′(x )=3x 2+4bx +c ,据题意方程3x 2+4bx +c =0有两个根x 1,x 2,且x 1∈[-2,-1],x 2∈[1,2],令g (x )=3x 2+4bx +c ,结合二次函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧g -2=12-8b +c ≥0,g -1=3-4b +c ≤0,g 1=3+4b +c ≤0,g2=12+8b +c ≥0,此即为关于点(b ,c )的线性约束条件,作出其对应的平面区域,f (-1)=2b -c ,问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (-1)=2b -c 的最值问题,由线性规划易知3≤f (-1)≤12.答案 [3,12] 三、解答题10.已知函数f (x )=4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1,x ∈R ,其中t ∈R . (1)当t =1时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)t ≠0时,求f (x )的单调区间.解 (1)当t =1时,f (x )=4x 3+3x 2-6x ,f (0)=0,f ′(x )=12x 2+6x -6,f ′(0)=-6, 所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =-6x . (2)f ′(x )=12x 2+6tx -6t 2.令f ′(x )=0,解得x =-t 或x =t2.因为t ≠0,以下分两种情况讨论:①若t <0,则t2<-t .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2,(-t ,+∞);f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-t .②若t >0,则-t <t2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )的单调递增区间是(-∞,-t ),⎝ ⎛⎭⎪⎫2,+∞;f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-t ,t 2.11.(理)(xx·福建卷)已知函数f (x )=e x-ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x. 解 (1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x-a . 又f ′(0)=1-a =-1,得a =2. 所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x-2. 令f ′(x )=0,得x =ln2.当x <ln2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >ln2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以当x =ln2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f (x )无极大值. (2)令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x-2x . 由(1)得g ′(x )=f (x )≥f (ln2)>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 因此,当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x.(3)①若c≥1,则e x≤c e x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>0时,x2<c e x.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.②若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<c e x成立,只要e x>kx2成立.而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h′(x)=1-2x=x-2x,所以当x>2时,h′(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.11.(文)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.(1)求b的值;(2)求f(2)的取值范围.解(1)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=-3x2+2ax+b.∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,∴当x=0时,f(x)取得极小值,即f′(0)=0.∴b=0.(2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.∵f′(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=2a 3.∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,∴x 2=2a3>1,即a >32.∴f (2)=-8+4a +(1-a )=3a -7>-52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,+∞. B 级——能力提高组1.(理)(xx·江西卷)若f (x )=x 2+2⎠⎛01f(x)d x ,则⎠⎛01f(x)d x =( )A .-1B .-13C .13D .1解析 直接求解定积分,再利用方程思想求解. ∵f(x)=x 2+2⎠⎛01f(x)d x ,∴⎠⎛01f(x)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3+2x ⎠⎛01f x d x ⎪⎪ 1=13+2⎠⎛01f(x)d x , ∴⎠⎛01f(x)d x =-13.答案 B 1.(文)(理)2.(xx·中原名校二模)已知函数g(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a≠0)的导函数为f(x),且a +2b +3c =0,f(0)·f(1)>0,设x 1,x 2是方程f(x)=0的两根,则|x 1-x 2|的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,23B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,49C .⎝ ⎛⎭⎪⎫13,23 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫19,49 解析 因为f(x)=3ax 2+2bx +c ,所以f(0)f(1)=c(3a +2b +c)=c(2a -2c)>0,0<c a<1,又|x 1-x 2|=Δ|3a|=2b 2-3ac |3a|=|a -3c||3a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪13-c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,23.答案 A2.(理)(xx·中原名校二模)已知函数g(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a≠0)的导函数为f(x),且a +2b +3c =0,f(0)·f(1)>0,设x 1,x 2是方程f(x)=0的两根,则|x 1-x 2|的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,23B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,49C .⎝⎛⎭⎪⎫13,23D .⎝⎛⎭⎪⎫19,49解析 因为f(x)=3ax 2+2bx +c ,所以f(0)f(1)=c(3a +2b +c)=c(2a -2c)>0,0<c a<1,又|x 1-x 2|=Δ|3a|=2b 2-3ac |3a|=|a -3c||3a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪13-c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,23.答案 A2.(文)已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ,其导函数y =f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的是________. ①当x =32时函数取得极小值;②f(x )有两个极值点; ③当x =2时函数取得极小值; ④当x =1时函数取得极大值.解析 从图象上可以看到:当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x =2时函数取得极小值,当x =1时函数取得极大值.只有①不正确.答案 ①3.(理)(xx·课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=e x-e -x-2x. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b 的最大值; (3)已知1.414 2<2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001). 解 (1)f′(x)=e x+e -x-2≥0,等号仅当x =0时成立.所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e 2x-e -2x-4b(e x -e -x)+(8b -4)x ,g′(x)=2[e 2x+e-2x-2b(e x+e -x )+(4b -2)]=2(e x+e -x-2)(e x+e -x-2b +2).①当b≤2时,g′(x)≥0,等号仅当x =0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;②当b>2时,若x 满足2<e x+e -x<2b -2,即0<x<ln (b -1+b 2-2b)时g′(x)<0.而g(0)=0,因此当0<x≤ln (b -1+b 2-2b)时,g(x)<0.综上,b 的最大值为2.(3)由(2)知,g(ln 2)=32-22b +2(2b -1)ln 2.当b =2时,g(ln 2)=32-42+6ln 2>0,ln 2>82-312>0.692 8;当b =324+1时,ln (b -1+b 2-2b)=ln 2, g(ln 2)=-32-22+(32+2)ln 2<0,ln 2<18+228<0.693 4. 所以ln 2的近似值为0.693.3.(文)(xx·课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.(1)求a ;(2)证明:当k<1时,曲线y =f(x)与直线y =kx -2只有一个交点. 解 (1)f′(x)=3x 2-6x +a ,f′(0)=a. 曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线方程为y =ax +2. 由题设得-2a =-2,所以a =1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x 3-3x 2+x +2. 设g(x)=f(x)-kx +2=x 3-3x 2+(1-k)x +4. 由题设知1-k>0.当x≤0时,g′(x)=3x 2-6x +1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k -1<0,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x>0时,令h(x)=x 3-3x 2+4, 则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.20226 4F02 伂31220 79F4 秴]38002 9472 鑲39341 99AD 馭30496 7720 眠24691 6073 恳 "35323 89FB 觻 26755 6883 梃35769 8BB9 讹]7。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题难题检测试题一、导数及其应用多选题1.关于函数()2ln f x x x=+,下列判断正确的是( )A .2x =是()f x 的极大值点B .函数yf xx 有且只有1个零点C .存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立D .对任意两个正实数1x ,2x ,且21x x >,若()()12f x f x =,则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ,利用导数研究函数()f x 的极值点即可; 对于B ,利用导数判断函数y f xx 的单调性,再利用零点存在性定理即得结论;对于C ,参变分离得到22ln xk x x <+,构造函数()22ln x g x x x=+,利用导数判断函数()g x 的最小值的情况;对于D ,利用()f x 的单调性,由()()12f x f x =得到1202x x <<<,令()211x t t x =>,由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=,所以要证124x x +>,即证2224ln 0t t t -->,构造函数即得. 【详解】A :函数()f x 的定义域为0,,()22212x f x x x x-'=-+=,当()0,2x ∈时,0f x,()f x 单调递减,当()2,x ∈+∞时,0fx,()f x 单调递增,所以2x =是()f x 的极小值点,故A 错误.B :()2ln y f x x x x x=-=+-,22221210x x y x x x -+'=-+-=-<,所以函数在0,上单调递减.又()112ln1110f -=+-=>,()221ln 22ln 210f -=+-=-<,所以函数yf xx 有且只有1个零点,故B 正确.C :若()f x kx >,即2ln x kx x +>,则22ln x k x x <+.令()22ln x g x x x=+,则()34ln x x xg x x-+-'=.令()4ln h x x x x =-+-,则()ln h x x '=-,当()0,1∈x 时,()0h x '>,()h x 单调递增,当()1,∈+∞x 时,()0h x '<,()h x 单调递减,所以()()130h x h ≤=-<,所以0g x ,所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减,函数无最小值,所以不存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立,故C 错误. D :因为()f x 在()0,2上单调递减,在2,上单调递增,∴2x =是()f x 的极小值点.∵对任意两个正实数1x ,2x ,且21x x >,若()()12f x f x =,则1202x x <<<. 令()211x t t x =>,则21x tx =,由()()12f x f x =,得121222ln ln x x x x +=+, ∴211222ln ln x x x x -=-,即()2121212ln x x x x x x -=,即()11121ln t x t x tx -=⋅,解得()121ln t x t t -=,()2121ln t t x tx t t-==,所以21222ln t x x t t-+=.故要证124x x +>,需证1240x x +->,需证22240ln t t t -->,需证2224ln 0ln t t tt t-->. ∵211x t x =>,则ln 0t t >, ∴证2224ln 0t t t -->.令()()2224ln 1H t t t t t =-->,()()44ln 41H t t t t '=-->,()()()414401t H t t t t-''=-=>>,所以()H t '在1,上是增函数.因为1t →时,()0H t '→,则()0H t '>,所以()H t 在1,上是增函数.因为1t →时,()0H t →,则()0H t >,所以2224ln 0ln t t tt t-->, ∴124x x +>,故D 正确. 故选:BD . 【点睛】关键点点睛:利用导数研究函数的单调性、极值点,结合零点存在性定理判断A 、B 的正误;应用参变分离,构造函数,并结合导数判断函数的最值;由函数单调性,应用换元法并构造函数,结合分析法、导数证明D 选项结论.2.对于函数2ln ()xf x x =,下列说法正确的有( ) A .()f x在x =12eB .()f x 有两个不同的零点 C.(2)f f f <<D .若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解,则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间,进一步求出函数的极值可判断A ;利用函数的单调性和函数值的范围判断B ;利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ;利用不等式有解问题的应用判断D . 【详解】函数2ln ()x f x x =,所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x ⨯-⨯-'==>, 令()0f x '=,即2ln 1x =,解得x =当0x <<()0f x '>,故()f x在上为单调递增函数.当x >()0f x '<,故()f x在)+∞上为单调递减函数.所以()f x在x =12f e=,故A 正确;当0x <<()0f x '>,()f x在上为单调递增函数,因为()10f =,所以函数()f x在上有唯一零点,当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立,即函数()f x在)+∞上没有零点, 综上,()f x 有唯一零点,故B 错误.由于当x >()0f x '<,()f x在)+∞上为单调递减函数,因为2>>>(2)f f f <<,故C 正确;由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解,故221ln 1()x k f x x x +<+=有解, 所以2ln 1()max x k x +<,设2ln 1()x g x x +=,则32ln 1()x g x x --'=,令()0g x '=,解得x =当x >()0f x '<,故()f x在)+∞上为单调递减函数.当0x <<时,()0f x '>,故()f x在上为单调递增函数.所以()22max e eg x g e ==-=. 故2ek <,故D 正确. 故选:ACD . 【点睛】方法点睛:本题通过对多个命题真假的判断,综合考查导数的应用,这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.3.已知函数()1ln f x x x x=-+,()()1ln x x x x g --=,则下列结论正确的是( ) A .()g x 存在唯一极值点0x ,且()01,2x ∈ B .()f x 恰有3个零点C .当1k <时,函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D .若120x x >且()()120f x f x +=,则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数,结合零点的存在性定,可判定A 正确;利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞,(0,)+∞单调递减,进而得到函数 ()f x 只有2个零点,可判定B 不正确;由()g x kx =,转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数,可判定C 正确;由()()120f x f x +=,化简得到 ()121()f x f x =,结合单调性,可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=,可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>,则()2110g x x x''=--<,所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数,又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<, 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点,所以A 正确; 由函数()1ln f x x x x=-+, 当0x >时,()1ln f x x x x=-+,可得 ()221x x f x x -+-'=,因为22131()024x x x -+-=---<,所以 ()0f x '<,函数()f x 在(0,)+∞单调递减;又由()10f =,所以函数在(0,)+∞上只有一个零点, 当0x <时,()1ln()f x x x x =--+,可得 ()221x x f x x -+-'=,因为22131()024x x x -+-=---<,所以 ()0f x '<,函数()f x 在(,0)-∞单调递减;又由()10f -=,所以函数在(,0)-∞上只有一个零点, 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点,所以B 不正确; 令()g x kx =,即()1ln x x x kx --=,即 ()1ln (1)x x k x -=-, 设()()1ln x x x ϕ-=, ()(1)m x k x =-, 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-,则 ()2110x x xϕ''=+>,所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增, 又由()01ϕ'=,可得当(0,1)x ∈时, ()0x ϕ'<,函数()x ϕ单调递减, 当(1,)x ∈+∞时,()0x ϕ'>,函数 ()x ϕ单调递增, 当1x =时,函数()x ϕ取得最小值,最小值为()10ϕ=, 又由()(1)m x k x =-,因为1k <,则 10k ->,且过原点的直线,结合图象,即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点,所以C 正确;由120x x >,若120,0x x >>时,因为 ()()120f x f x +=,可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()121()f x f x =,因为()f x 在(0,)+∞单调递减,所以 121x x =,即121=x x , 同理可知,若120,0x x <<时,可得121=x x ,所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略:1、分类参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从()f x 中分离参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围;2、分类讨论法:一般命题情境为没有固定的区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合函数的单调性,先确定参数分类标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各个小范围并在一起,即可为所求参数的范围.4.设函数()ln f x x x =,()212g x x =,给定下列命题,其中正确的是( ) A .若方程()f x k =有两个不同的实数根,则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭; B .若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根,则0k <;C .若120x x >>,总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立,则m 1≥;D .若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点,则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值,且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点,即可判断A 选项;易知1x =不是该方程的根,当1x ≠时,将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点,利用导数研究函数的单调性和极值,从而可推出结果,即可判断B 选项;当120x x >>时,将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立,即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数,通过构造新函数以及利用导数求出单调区间,即可求出m 的范围,即可判断C 选项;2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点,根据导数的符号列出不等式并求解,即可判断D 选项. 【详解】解:对于A ,()f x 的定义域(0,)+∞,()ln 1f x x '=+, 令()0f x '>,有ln 1x >-,即1x e>, 可知()f x 在1(0,)e 单调递减,在1+e∞(,)单调递增,所以极小值等于最小值, min 11()()f x f e e∴==-,且当0x →时()0f x →,又(1)0f =,从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根,即()y f x =与y k =有两个不同的交点,所以1(,0)k e∈-,故A 正确; 对于B ,易知1x =不是该方程的根,当1x ≠时,()0f x ≠,方程2()kf x x =有且只有一个实数根,等价于y k =和ln xy x=只有一个交点, 2ln 1(ln )-'=x y x ,又0x >且1x ≠,令0y '>,即ln 1x >,有x e >, 知ln xy x=在0,1()和1e (,)单减,在+e ∞(,)上单增, 1x =是一条渐近线,极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ,故B 错误;对于C ,当120x x >>时,[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立, 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立, 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数, 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立,即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立, 令ln 1()x r x x +=,则2ln ()xr x x -'=,令()0r x '>得ln 0x <,有01x <<,从而()r x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减, 则max ()(1)1r x r ==,于是m 1≥,故C 正确;对于D ,2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点, 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根, 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根, 由C 可知,021a <<,即102a <<,则D 正确. 故选:ACD.【点睛】关键点点睛:本题考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性和极值,以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围,解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题,解题时注意利用数形结合,考查转化思想和运算能力.5.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有( )A .a e =B .()f x 在区间()1,e 单调递增C .1x =是()f x 的极大值点D .()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点,转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,即ln ln x ax a=只有一个正根.利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质,可得a e =,判断A ,然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质,求出()'f x ,令()0f x '=,利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ,并证明出()'f x 的正负,得()f x 的单调性,极值最值.判断BCD .【详解】()f x 只有一个零点,即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,x a a x =,取对数得ln ln x a a x =,即ln ln x ax a=只有一个正根. 设ln ()xh x x =,则21ln ()x h x x-'=,当0x e <<时,()0h x '>,()h x 递增,0x →时,()h x →-∞,x e >时,()0h x '<,()h x 递减,此时()0h x >,max 1()()h x h e e==. ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根.则ln 1a a e =或ln 0a a<,解得a e =或0a <,又∵1a >,∴a e =.A 正确;()x e f x e x =-,1()x e f x e ex -'=-,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.设()(1)ln 1p x e x x =--+,1()1e p x x-'=-,当01x e <<-时,()0p x '>,()p x 递增,1x e >-时,()0p x '<,()p x 递减,(1)p e -是极大值,又(1)()0p p e ==, 所以()p x 有且只有两个零点,01x <<或x e >时,()0p x <,即(1)ln 1e x x -<-,11e x x e --<,1e x ex e -<,()0f x '>,同理1x e <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增,在(1,)e 上递减,所以极小值为()0f e =,极大值为(1)f ,又(0)1f =,所以()f e 是最小值.B 错,CD 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考用导数研究函数的零点,极值,单调性.解题关键是确定()'f x 的零点时,利用零点定义解方程,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.6.已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点,则a 的可能取值是( ) A .1- B .0 C .1 D .2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数,讨论a 的范围,结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解:∵函数()()()221x f x x e a x =-+-, ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+,①若0a =,那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=,函数()f x 只有唯一的零点2,不合题意; ②若0a >,那么20x e a +>恒成立, 当1x <时,()0f x '<,此时函数为减函数; 当1x >时,()0f x '>,此时函数为增函数; 此时当1x =时,函数()f x 取极小值e -,由()20f a =>,可得:函数()f x 在1x >存在一个零点; 当1x <时,x e e <,210x -<-<,∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--,令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ,2t ,且12t t <, 则当1x t <,或2x t >时,()()()2110f x a x e x e >-+-->, 故函数()f x 在1x <存在一个零点;即函数()f x 在R 上存在两个零点,满足题意; ③若02ea -<<,则()ln 2ln 1a e -<=, 当()ln 2x a <-时,()1ln 21ln 10x a e -<--<-=,()ln 2220a x e a e a -+<+=,即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,当()ln 21a x -<<时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立,故()f x 单调递减,当1x >时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=, 即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,故当()ln 2x a =-时,函数取极大值,由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得:函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意; ④若2ea =-,则()ln 21a -=, 当()1ln 2x a <=-时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+<+=, 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,当1x >时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=, 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,故函数()f x 在R 上单调递增,函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意;⑤若2ea <-,则()ln 2ln 1a e ->=, 当1x <时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+<+=, 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,当()1ln 2x a <<-时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+<+=, 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立,故()f x 单调递减,当()ln 2x a >-时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=, 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,故当1x =时,函数取极大值,由()10f e =-<得:函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意; 综上所述,a 的取值范围为()0,∞+, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,属于较难题.7.设函数()ln x f x x=,()ln g x x x =,下列命题,正确的是( ) A .函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减B .不等关系33e e ππππ<<<成立C .若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立,则1a ≥ D .若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点,则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误;由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系,可判断B 选项的正误;分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数,利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围,可判断C 选项的正误;分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根,数形结合求出m 的取值范围,可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+,则()21ln x f x x-'=. 由()0f x '>,可得0x e <<,由()0f x '>,可得x e >.所以,函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减,A 选项正确;对于B 选项,由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减,且4e π>>, 所以,()()4ff π>,即ln ln 44ππ>,又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>, 所以,ln ln 4143ππ>>,整理可得3e ππ>,B 选项错误; 对于C 选项,若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立, 可得()()22112222g x ax g x ax ->-,构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-, 则()()12s x s x >,即函数()s x 为()0,∞+上的减函数,()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 令()1ln x t x x +=,其中0x >,()2ln x t x x'=-.当01x <<时,()0t x '>,此时函数()t x 单调递增;当1x >时,()0t x '<,此时函数()t x 单调递减. 所以,()()max 11t x t ==,1a ∴≥,C 选项正确;对于D 选项,()()22ln h x g x mx x x mx =-=-,则()1ln 2h x x mx '=+-, 由于函数()h x 有两个极值点,令()0h x '=,可得1ln 2x m x+=, 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点,当1x e>时,()0t x >,如下图所示:当021m <<时,即当102m <<时,函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点. 所以,实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,D 选项错误. 故选:AC.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8.下列命题正确的有( )A .已知0,0a b >>且1a b +=,则1222a b -<<B .34a b ==a b ab+= C .323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D .过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点,则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围;利用指对数互化,结合对数的运算法求a b ab+;利用导数确定零点关系,结合原函数式计算极值之和即可;由直线与3y x x =-有三个交点,即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项,由条件知1b a =-且01a <<,所以21(1,1)a b a -=-∈-,即1222a b -<<;B 选项,34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=; C 选项,2361y x x '=--中>0∆且开口向上,所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-,即12,x x 为y 两个极值点, 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-; D 选项,令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点,即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点,所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩,解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选:ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质,利用导数研究极值,由函数交点情况求参数范围,属于难题.。
高三数学易错导数及其应用多选题 易错题提优专项训练一、导数及其应用多选题1.函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <,则下列结论正确的是( ) A .230b ac ->B .()f x 在区间()12,x x 上单调递减C .若()10af x <,则()f x 只有一个零点D .存在0x ,使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误;取0a <,利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误;分0a >、0a <两种情况讨论,分析函数()f x 的单调性,结合图象可判断C 选项的正误;计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称,可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠,则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项,由题意可知,关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根,则24120b ac ∆=->,可得230b ac ->,A 选项正确;对于B 选项,当0a <时,且当()12,x x x ∈时,()0f x '>,此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增,B 选项错误;对于C 选项,当0a >时,由()0f x '>,可得1x x <或2x x >;由()0f x '<,可得12x x x <<.所以,函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞,单调递减区间为()12,x x , 由()10af x <,可得()10<f x ,此时,函数()f x 的极大值为()10<f x ,极小值为()2f x ,且()()210f x f x <<,如下图所示:由图可知,此时函数()f x 有且只有一个零点,且零点在区间()2,x +∞内; 当0a <时,由()0f x '<,可得1x x <或2x x >;由()0f x '>,可得12x x x <<. 所以,函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞,单调递增区间为()12,x x , 由()10af x <,可得()10f x >,此时,函数()f x 的极小值为()10f x >,极大值为()2f x ,且()()210f x f x >>,如下图所示:由图可知,此时函数()f x 有且只有一个零点,且零点在区间()2,x +∞内,C 选项正确;对于D 选项,由题意可知,1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根, 由韦达定理可得1223bx x a +=-,123c x x a=, ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++,取3bt a=-,则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以,函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称, 1223bx x a+=-,()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭,D 选项正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2.在湖边,我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链,这就是悬链线(Catenary ),其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,其中a 为非零常数,在此坐标平面上,过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ,则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为( )(注:[]x 表示不大于x 的最大整数)A .2-B .1-C .1D .2【答案】AC 【分析】求出导数,表示出切线,令0x t a=,可得()()110t tt e t e --++=,构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++,可得()h x 是偶函数,利用导数求出单调性,结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<,即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅,()2x x aae ef x --'∴=,∴切线斜率002x x aae ek --=,()0002x x aae ef x a -+=⋅,则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-,直线过原点,()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=,则可得()()110t tt e t e --++=, 令()()()11xxh x x e x e -=-++,则t 是()h x 的零点,()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=,()h x ∴是偶函数,()()x x h x x e e -'=-+,当0x >时,()0h x '<,()h x 单调递减,()1120h e -=>,()22230h e e -=-+<,()h x ∴在()1,2存在零点t ,由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点,且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点,021x a ∴-<<-或012xa<<, 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选:AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线,利用导数研究函数的零点,解题的关键是将题目转化为令0x t a=,()()110t t t e t e --++=,求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3.定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ,且()()f x f x x'<,则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞,其中12x x ≠,则下列不等式中一定成立的有( )A .()()()1212f x x f x f x +<+B .()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C .()1122(1)x x f f <D .()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=,由()()f x f x x '<有()0g x '<,即()g x 在(0,)+∞上单调递减,根据各选项的不等式,结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知:()()0xf x f x x'-<, 令()()f x g x x =,则()()()20xf x f x g x x'-='<, ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减,即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时,2112()()x f x x f x <;当120x x -<时,2112()()x f x x f x >; A :121()()g x x g x +<,122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+,212212()()x f x x f x x x +<+,所以()()()1212f x x f x f x +<+; B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立,整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+;C :由121x >,所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=,整理得()1122(1)x x f f <; D :令121=x x 且121x x >>时,211x x =,12111()()()()g x g x f x f x =,12()(1)(1)g x x g f ==,有121()()g x x g x >,122()()g x x g x <,所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选:ABC 【点睛】思路点睛:由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<, 1、构造函数:()()f x g x x =,即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性:由已知()0g x '<,即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性,转化变形选项中的函数不等式,证明是否成立.4.已知函数()1ln f x x x x=-+,给出下列四个结论,其中正确的是( ) A .曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B .()f x 恰有2个零点C .()f x 既有最大值,又有最小值D .若120x x >且()()120f x f x +=,则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误,然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误,最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据函数单调性即可证得121=x x ,D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞, 当0x >时,()1ln f x x x x=-+,()2221111x x f x x x x -+-'=--=; 当0x <时,1ln f x x x x,()2221111x x f x x x x -+-'=--=, A 项:1ln 1110f,22111131f,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ,即33y x =--,A 错误;B 项:当0x >时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,当0x <时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,因为()10f -=,()10f =,所以函数()f x 恰有2个零点,B 正确; C 项:由函数()f x 的单调性易知,C 错误; D 项:当1>0x 、20x >时, 因为()()120f x f x +=, 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x , 因为()f x 在()0,∞+上为减函数,所以121x x =,120x x >, 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立,D 正确, 故选:BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用,考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性,导函数值即切线斜率,若导函数值大于0,则函数是增函数,若导函数值小于0,则函数是减函数,考查函数方程思想,考查运算能力,是难题.5.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有( ) A .a e =B .()f x 在区间()1,e 单调递增C .1x =是()f x 的极大值点D .()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点,转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,即ln ln x ax a=只有一个正根.利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质,可得a e =,判断A ,然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质,求出()'f x ,令()0f x '=,利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ,并证明出()'f x 的正负,得()f x 的单调性,极值最值.判断BCD .【详解】()f x 只有一个零点,即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,x a a x =,取对数得ln ln x a a x =,即ln ln x ax a=只有一个正根. 设ln ()xh x x =,则21ln ()x h x x-'=,当0x e <<时,()0h x '>,()h x 递增,0x →时,()h x →-∞,x e >时,()0h x '<,()h x 递减,此时()0h x >,max 1()()h x h e e==. ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根.则ln 1a a e =或ln 0a a<,解得a e =或0a <,又∵1a >,∴a e =.A 正确;()x e f x e x =-,1()x e f x e ex -'=-,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.设()(1)ln 1p x e x x =--+,1()1e p x x-'=-,当01x e <<-时,()0p x '>,()p x 递增,1x e >-时,()0p x '<,()p x 递减,(1)p e -是极大值,又(1)()0p p e ==, 所以()p x 有且只有两个零点,01x <<或x e >时,()0p x <,即(1)ln 1e x x -<-,11e x x e --<,1e x ex e -<,()0f x '>,同理1x e <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增,在(1,)e 上递减,所以极小值为()0f e =,极大值为(1)f ,又(0)1f =,所以()f e 是最小值.B 错,CD 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考用导数研究函数的零点,极值,单调性.解题关键是确定()'f x 的零点时,利用零点定义解方程,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.6.已知函数()sin xf x x=,(]0,x π∈,则下列结论正确的有( ) A .()f x 在区间(]0,π上单调递减B .若120x x π<<≤,则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C .()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D .若函数()()cos g x xg x x '=+,且()1g π=-,()g x 在(]0,π上单调递减 【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数,然后对四个选项进行逐一分析解答即可, 对于选项A :当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,可得()0f x '<,可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得()0f x '<,可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,最后作出判断; 对于选项B :由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >,可得1212sin sin x x x x >,进而作出判断; 对于选项C :由三角函数线可知sin x x <,所以sin 1x x x x <=,sin ()0f πππ==,进而作出判断;对于选项D :()()()sin g x g x xg x x ''''=+-,可得()()sin xg x f x x''==,然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性,可得()()0g x g π''≤=,进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性,最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=, (]0,x π∈, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 0x >,由三角函数线可知tan x x <, 所以sin cos xx x<,即cos sin x x x <,所以cos sin 0x x x -<, 所以()0f x '<,所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 0x ≤,sin 0x ≥,所以cos sin 0x x x -<,()0f x '<, 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()f x 在区间(]0,π上单调递减,故选项A 正确; 当120x x π<<≤时,()()12f x f x >, 所以1212sin sin x x x x >,即1221sin sin x x x x ⋅<⋅,故选项B 错误;由三角函数线可知sin x x <,所以sin 1x x x x <=,sin ()0f πππ==, 所以当(]0,x π∈时,()[)0,1f x ∈,故选项C 正确;对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得: 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-,所以()()sin xg x f x x''==,所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1, 所以()0g x ''≥,()g x '在区间(]0,π上单调递增,因为()0g π'=, 从而()()0g x g π''≤=,所以函数()g x 在(]0,π上单调递减,故选项D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:本题考查导数的综合应用,对于函数()sin xf x x=的性质,可先求出其导数,然后结合三角函数线的知识确定导数的符号,进而确定函数的单调性和极值,最后作出判断,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于中档题.7.已知函数()e sin xf x a x =+,则下列说法正确的是( )A .当1a =-时,()f x 在0,单调递增B .当1a =-时,()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C .当1a =时,()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,且()010f x -<<D .对任意0a >,()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点,分别对四个选项逐个分析,可选出答案. 【详解】对于A ,当1a =-时,()e sin xf x x =-,()e cos xf x x '=-,因为()0,x ∈+∞时,e 1,cos 1xx >≤,即0fx,所以()f x 在0,上单调递增,故A 正确;对于B ,当1a =-时,()e sin xf x x =-,()e cos xf x x '=-,则()00e sin01f =-=,()00e cos00f '=-=,即切点为0,1,切线斜率为0,故切线方程为1y =,故B 错误;对于C ,当1a =时,()e sin x f x x =+,()e cos x f x x '+=,()e sin xf x x '=-', 当()π,0x ∈-时,sin 0x <,e 0x >,则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立,即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增, 又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>,3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+,因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝,所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝,所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得()00f x '=成立, 所以()f x 在()0π,x -上单调递减,在()0,0x 上单调递增,即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ,由()000e cos 0xf x x +'==,可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭, 因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭,则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-,故C 正确; 对于选项D ,()e sin xf x a x =+,()π,x ∈-+∞, 令()e sin 0x f x a x =+=,得1sin ex x a -=, ()sin e x x g x =,()π,x ∈-+∞,则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==, 令0g x ,得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z , 令0g x ,得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递减,令0g x ,得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ,此时函数()g x 单调递增, 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时,()g x 取得极小值,极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ,在()g x 的极小值中,3π4sin3π45π5π42π4e g g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小, 当3ππ,4x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时,()g x 单调递减,所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144e g --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,当3π411a --<-时,即3π40a -<<时,函数()g x 与1=-y a无交点,即()f x 在()π,-+∞不存在零点,故D 错误.故选:AC.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值,及切线方程的求法,考查学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.8.已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点,则a 的可能取值是( ) A .1-B .0C .1D .2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数,讨论a 的范围,结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解:∵函数()()()221x f x x e a x =-+-,∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+, ①若0a =,那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=, 函数()f x 只有唯一的零点2,不合题意;②若0a >,那么20x e a +>恒成立,当1x <时,()0f x '<,此时函数为减函数;当1x >时,()0f x '>,此时函数为增函数;此时当1x =时,函数()f x 取极小值e -,由()20f a =>,可得:函数()f x 在1x >存在一个零点;当1x <时,x e e <,210x -<-<,∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--,令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ,2t ,且12t t <, 则当1x t <,或2x t >时,()()()2110f x a x e x e >-+-->, 故函数()f x 在1x <存在一个零点;即函数()f x 在R 上存在两个零点,满足题意;③若02e a -<<,则()ln 2ln 1a e -<=, 当()ln 2x a <-时,()1ln 21ln 10x a e -<--<-=,()ln 2220a x e a e a -+<+=,即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增, 当()ln 21a x -<<时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立,故()f x 单调递减,当1x >时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增, 故当()ln 2x a =-时,函数取极大值,由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得:函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意;④若2e a =-,则()ln 21a -=, 当()1ln 2x a <=-时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+<+=,即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增, 当1x >时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增, 故函数()f x 在R 上单调递增,函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意;⑤若 2e a <-,则()ln 2ln 1a e ->=, 当1x <时,10x -<,()ln 2220a x e a e a -+<+=,即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增, 当()1ln 2x a <<-时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+<+=, 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立,故()f x 单调递减, 当()ln 2x a >-时,10x ->,()ln 2220a x e a e a -+>+=,即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立,故()f x 单调递增,故当1x =时,函数取极大值,由()10f e =-<得:函数()f x 在R 上至多存在一个零点,不合题意; 综上所述,a 的取值范围为()0,∞+,故选:CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,属于较难题.。
2021年高中数学导数及其应用多选题专题复习附答案一、导数及其应用多选题1.已知0a >,0b >,下列说法错误的是( )A .若1a b a b ⋅=,则2a b +≥B .若23a b e a e b +=+,则a b >C .()ln ln a a b a b -≥-恒成立D .2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简,通过构造函数的方法,结合函数图象,说明A 错误;对B 不等式放缩22a b e a e b +>+,通过构造函数的方法,由函数的单调性,即可证明B 正确;对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ,通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立,可得C 正确;D 求出ln -a a b b e 的最大值,当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号,故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =,()()0∴+=f a f b由图可知,当1+→b 时,存在0+→a ,使()()0f a f b += 此时1+→a b ,故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增,a b ∴>,B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ,ln 1∴≥-a bb a,C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =;min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e;所以2ln -≤a a b b e e ,当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号,D 错误.故选:AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,转化的数学思想和数形结合的数学思想,属于难题.2.已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>(其中()f x '是函数()f x 的导函数),则下列不等式中不成立的是( )A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D.63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =,结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而可判断ABD 选项,由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>, 所以构造函数()()cos f x g x x =,则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>,∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增,32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,6636cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,对于AB ,4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝,故AB 错误;对于C ,()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭,()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 错误;对于D 263f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确; 故选:ABC. 【点睛】关键点点睛:本题考查了利用导数研究函数的单调性,解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=,利用导数研究函数的单调性,从而比较大小,考查学生的逻辑推理能力与转化思想,属于较难题.3.已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R ),则下列结论正确的是( ).A .函数()f x 一定存在极大值和极小值B .若函数()f x 在1()x -∞,、2()x ,+∞上是增函数,则21x x -≥ C .函数()f x 的图像是中心对称图形D .函数()f x 的图像在点00())(x f x ,(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-=',再根据极值点与导数的关系,判断AB 选项;证明()()2()333a a af x f x f -++--=-,判断选项C ;令0a c ==,求切线与()f x 的交点个数,判断D 选项.【详解】A 选项,2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立,故()0f x '=必有两个不等实根,不妨设为1x 、2x ,且12x x <,令()0f x '>,得1x x <或2x x >,令()0f x '<,得12x x x <<,∴函数()f x 在12()x x ,上单调递减,在1()x -∞,和2()x ,+∞上单调递增, ∴当1x x =时,函数()f x 取得极大值,当2x x =时,函数()f x 取得极小值,A 对, B 选项,令2()3210f x x ax =+-=',则1223ax x +=-,1213x x ⋅=-,易知12x x <,∴213x x -==≥,B对, C 选项,易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --,,又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-,∴()()2()333a a af x f x f -++--=-, ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --,成中心对称,C 对,D 选项,令0a c ==得3()f x x x =-,()f x 在(0)0,处切线方程为y x =-, 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解, 即()f x 在(0)0,处切线与()f x 图像有唯一公共点,D 错, 故选:ABC . 【点睛】方法点睛:解决函数极值、最值综合问题的策略:1、求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小;2、求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论;3、函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4.已知2()ln f x x x =,2()()f x g x x'=,()'f x 是()f x 的导函数,则下列结论正确的是( )A .()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.B .()g x 在(0,)+∞上两个零点C .当120x x e <<< 时,221212()()()m x x f x f x -<-恒成立,则32m ≥D .若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点,则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ,由()0f x '>确定增区间,判断A ,然后可得()g x ,再利用导数确定()g x 的单调性与极值,结合零点存在定理得零点个数,判断B ,构造函数2()()x f x mx ϕ=-,由()ϕx 在(0,)e 上递减,求得m 范围,判断C ,利用导数研究()h x 的单调性与极值点,得a 的范围,判断D .【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>,令()0f x '>,得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>,故A 正确2ln 1()x g x x+=, 212ln ()x g x x -'=,令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<,()0g x '<得120x e <<, 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数.当x →时,()g x →-∞;当x →+∞时,()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点,故B 错.记2()()x f x mx ϕ=-,则()ϕx 在(0,)e 上为减函数,()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥. 故C 正确.2()()ln h x f x ax x x ax =-=-,()(2ln 1)h x x x a =+'-,设()(2ln 1)H x x x =+,()h x 只有一个极值点, ()h x '0=只有一个解,即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点.()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+,()H x '在(0,)+∞上为增函数,令()0H x '=,得320x e -=,当0(0,)x x ∈时,()0H x '<;当0(,)x x ∈+∞时,()0H x '>.()H x ∴在0(0,)x 上为减函数,在0(,)x +∞上为增函数,332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,0(0,)x x ∈时,322ln 12ln 120x e -+<+=-<,即()0H x <,且0x →时,()0H x →,又x →+∞时,()H x →+∞,因此()H x 的大致图象如下(不含原点):直线y a =与它只有一个交点,则0a ≥.故D 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考查用导数研究函数的性质,解题关键是由导数确定函数的单调性,得出函数的极值,对于零点问题,需要结合零点存在定理才能确定零点个数.注意数形结合思想的应用.5.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.Brouwer )简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ,存在一个点0x ,使得()00f x x =,那么我们称该函数为“不动点”函数,而称0x 为该函数的一个不动点,依据不动点理论,下列说法正确的是( )A .函数()sin f x x =有3个不动点B .函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C .若定义在R 上的奇函数()f x ,其图像上存在有限个不动点,则不动点个数是奇数D .若函数()f x =[0,1]上存在不动点,则实数a 满足l a e ≤≤(e 为自然对数的底数) 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义,结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-,()1cos 0g x x '=-≥, 因此()g x 在R 上单调递增,而(0)0g =, 所以()g x 在R 有且仅有一个零点, 即()f x 有且仅有一个“不动点”,A 错误;0a ≠,20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根,所以()f x 至多有两个“不动点”,B 正确;()f x 为定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数,显然0x =是()f x 的一个“不动点”,其它的“不动点”都关于原点对称,个数和为偶数, 因此()f x 一定有奇数个“不动点”,C 正确;因为()f x 在[0,1]存在“不动点”,则()f x x =在[0,1]有解,x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解,令2()xm x e x x =+-,()12x m x e x '=+-,令()12x n x e x '=+-,()20x n x e '=-=,ln 2x =,()n x 在(0,ln 2)单调递减,在(ln 2,1)单调递增,∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->, ∴()0m x '>在[0,1]恒成立,∴()m x 在[0,1]单调递增,min ()(0)1m x m ==,max ()(1)m x m e ==,∴1a e ≤≤,D 正确,. 故选:BCD 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.6.某同学对函数()sin e ex xxf x -=-进行研究后,得出以下结论,其中正确的是( )A .函数()y f x =的图象关于原点对称B .对定义域中的任意实数x 的值,恒有()1f x <成立C .函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点,且每相邻两交点的距离相等D .对任意常数0m >,存在常数b a m >>,使函数()y f x =在[]a b ,上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ;由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-,即sin 0x x e e x --->,构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->,求导判断单调性,进而求得最值即可判断选项B ;函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0,πk (k Z ∈,且)0k ≠,可判断选项C ;求导分析()0f x '≤时成立的情况,即可判断选项D. 【详解】对于选项A :函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠,且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--,所以()f x 为偶函数,即函数()y f x =的图象关于y 轴对称,故A 选项错误; 对于选项B :由A 选项可知()f x 为偶函数,所以当0x >时,0x x e e -->,所以()sin 1x xx f x e e -=<-,可得到sin x x x e e -<-,即sin 0x xe e x --->,可设()sin 0x x h x e e x x -=-->,,()cos x x h x e e x -'=+±,因为2x x e e -+>,所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>,所以()h x 在()0+∞,上单调递增,所以()()00h x h >=,即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立,故选项B 正确;对于选项C :函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠,,且,交点()0π-,与()0π,间的距离为2π,其余任意相邻两点的距离为π,故C 选项错误; 对于选项D :()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤,可化为e x (cos x -sin x )()cos sin 0xex x --+≤,不等式两边同除以x e -得,()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+,当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭,,cos sin 0x x -<,cos sin 0x x +>,区间长度为12π>,所以对于任意常数m >0,存在常数b >a >m ,32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭,,,()k Z ∈,使函数()y f x =在[]a b ,上单调递减,故D 选项正确;故选:BD 【点睛】思路点睛:利用导数研究函数()f x 的最值的步骤: ①写定义域,对函数()f x 求导()'f x ;②在定义域内,解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性; ③利用单调性判断极值点,比较极值和端点值得到最值即可.7.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,其导函数()f x '满足()1f x x'<,且()11f =,则下列结论正确的是( ) A .()2f e > B .10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C .()1,x e ∀∈,()2f x <D .1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭, ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-,求导得:'1()()0F x f x x'=-<,可得函数的单调性,再结合(1)1f =,可得(1)1F =,对选项进行一一判断,即可得答案;【详解】令()()ln F x f x x =-,∴'1()()0F x f x x'=-<, ()F x ∴在(0,)+∞单调递减, (1)1f =,(1)(1)1F f ∴==,对A ,()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<,故A 错误; 以B ,111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故B 正确; 对C ,(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<,()1ln f x x ∴<+,(1.),ln (0,1)x e x ∈∈, 1ln (1,2)x ∴+∈,()2f x ∴<,故C 正确;对D ,111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭,1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭,1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭,故D 正确; 故选:BCD. 【点睛】根据条件构造函数,再利用导数的工具性研究函数的性质,是求解此类抽象函数问题的关键.8.已知函数()sin xf x x=,(]0,x π∈,则下列结论正确的有( ) A .()f x 在区间(]0,π上单调递减B .若120x x π<<≤,则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C .()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D .若函数()()cos g x xg x x '=+,且()1g π=-,()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数,然后对四个选项进行逐一分析解答即可, 对于选项A :当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,可得()0f x '<,可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可得()0f x '<,可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,最后作出判断; 对于选项B :由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >,可得1212sin sin x x x x >,进而作出判断; 对于选项C :由三角函数线可知sin x x <,所以sin 1x x x x <=,sin ()0f πππ==,进而作出判断;对于选项D :()()()sin g x g x xg x x ''''=+-,可得()()sin xg x f x x''==,然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性,可得()()0g x g π''≤=,进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性,最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=, (]0,x π∈,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 0x >,由三角函数线可知tan x x <, 所以sin cos xx x<,即cos sin x x x <,所以cos sin 0x x x -<, 所以()0f x '<,所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 0x ≤,sin 0x ≥,所以cos sin 0x x x -<,()0f x '<, 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减,故选项A 正确; 当120x x π<<≤时,()()12f x f x >,所以1212sin sin x x x x >,即1221sin sin x x x x ⋅<⋅,故选项B 错误; 由三角函数线可知sin x x <,所以sin 1x x x x <=,sin ()0f πππ==, 所以当(]0,x π∈时,()[)0,1f x ∈,故选项C 正确;对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得: 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-,所以()()sin xg x f x x''==,所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1, 所以()0g x ''≥,()g x '在区间(]0,π上单调递增,因为()0g π'=, 从而()()0g x g π''≤=,所以函数()g x 在(]0,π上单调递减,故选项D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:本题考查导数的综合应用,对于函数()sin xf x x=的性质,可先求出其导数,然后结合三角函数线的知识确定导数的符号,进而确定函数的单调性和极值,最后作出判断,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于中档题.9.已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ,且12x x <,则下列结论不正确的是( ) A .10m e<<B .21x x -的值随m 的增大而减小C .101x <<D .2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,利用导数分析函数()g x 的单调性与极值,数形结合可判断ACD 选项的正误;任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<,利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-,可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =,可得ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,定义域为()0,∞+,()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时, ()0g x '>,此时函数()g x 单调递增; 当x e >时,()0g x '<,此时函数()g x 单调递减. 所以,()()max 1g x g e e==,如下图所示:由图象可知,当10m e <<时,直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点,A 选项正确;当1x >时,()0g x >,由图象可得11x e <<,2x e >,C 选项错误,D 选项正确; 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增,且()()11g g ξη<,11ξη∴<; 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减,且()()22g g ξη<,22ξη∴>.由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-,则2121ξξηη->-. 所以,21x x -的值随m 的增大而减小,B 选项正确. 故选:C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中,可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件,并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用.另外还可作出函数()y g x =的大致图象,直观判定曲线交点个数,但应注意严谨性,进行必要的论证.10.关于函数()sin x f x e a x =+,(),x π∈-+∞,下列结论正确的有( ) A .当1a =时,()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B .当1a =时,()f x 存在惟一极小值点0x C .对任意0a >,()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D .存在0a <,()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证,选项A ,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程;选项B ,通过导数求出函数极值并判断极值范围,选项C 、D ,通过构造函数,将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A :当1a =时,()sin xf x e x =+,(),x π∈-+∞,所以(0)1f =,故切点为()0,1,()cos x f x e x '=+,所以切线斜(0)2k f '==,故直线方程为()120y x -=-,即切线方程为:210x y -+=,故选项A 正确; 对于B :当1a =时,()sin xf x e x =+,(),x π∈-+∞,()cos x f x e x '=+,()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立,所以()f x '单调递增,又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭,334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭,使得()00f x '=, 即00cos 0xe x +=,则在()0,x π-上,()0f x '<,()f x 单调递减,在()0,x +∞上,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以存在惟一极小值点0x ,故选项B 正确;对于 C 、D :()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞,令()sin 0xf x e a x =+=得:1sin x x a e-=, 则令sin ()xxF x e =,(),x π∈-+∞,)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==,令()0F x '=,得:4x k ππ=+,1k ≥-,k Z ∈,由函数)4y x π=-图象性质知:52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->,sin ()x x F x e =单调递减,52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<,sin ()x x F x e =单调递增,所以当524x k ππ=+,1k ≥-,k Z ∈时,()F x 取得极小值, 即当35,,44x ππ=-时,()F x 取得极小值, 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<,即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭,sin ()xx F x e =单调递减,所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭, 所以24x k ππ=+,0k ≥,k Z ∈时,()F x 取得极大值,即当944x ππ=、, 时,()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<,即()442F x F e π⎛⎫≤=⎪⎝⎭当(),x π∈-+∞时,344()22e F x e ππ-≤≤,所以当3412e a π-<-,即4a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点,所以选项C 不正确;当3412e a π-=-时,即4a e π=时,1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点,即存在0a <,()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点, 故选项D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题,属于较难题.。
易错点04 导数及其应用
【典例分析】
(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.
(1)当a e =时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.
【易错警示】
易错点1.误解导函数与单调区间的关系
【例1】()f x '是()f x 在区间[,]a b 的导函数,则“在区间(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在该区间内单调递增”的________条件.
易错点2 .误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【例2】 函数322
()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,求,a b 的值.
易错点3.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【例3】 已知函数f (x )的导函数()x f '的图像如左图所示,那么函数()x f 的图像最有可能的是
易错点4 .遗忘复合函数求导公式
【例4】函数
1cos x y x e -=⋅ 的导数为 .
易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错
【例5】已知曲线x x x f 32)(3
-=,过点(0,32)M 作曲线()f x 的切线,求切线方程.
易错点6.混淆极值与最值是两个不同的概念致错
【例6】求函数x x x x f +-=2
32)(在[-3,3]上的最值.
易错点7.用错恒成立的条件
【例7】 已知函数2
()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时,()f x ≥0恒成立,求的取值范围.
【变式练习】
1.若函数3
()f x ax x =-在R 上为减函数,求实数的取值范围.
2.函数()y f x =的导函数()f x '的图象如右图所示,则函数()y f x =的图象可能是( )
3.已知函数d ax bx x x f +++=2
3
)(的图象过点P (0,2),
且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =的解析式;
4.(2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学)已知函数
()(2)x
f x e a x =-+. (1)当1a =时,讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.
5.(2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学)已知函数2
()e x
f x ax x =+-. (1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;
(2)当x ≥0时,f (x )≥1
2x3+1,求a 的取值范围.
【真题演练】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1
(1))f ,处的切线方程为 A .21y x =--
B .21y x =-+
C .23y x =-
D .21y x =+
2.【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=
1
5
都相切,则l 的方程为 A .y =2x +1 B .y =2x +
12
C .y =
12
x +1 D .y =
12x +12
3.【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =,用()()
f b f a b a
--
-的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期
内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论:
①在
[]12,t t 这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在2t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在3t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中,在[]10,t 的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是____________________.
4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2
()e x f x ax x =+-.
(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;
(2)当x ≥0时,f (x )≥
12
x 3
+1,求a 的取值范围. 5.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2
() sin sin2f x x x =.
(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:()f x ≤
; (3)设*
n ∈N ,证明:2
2
2
2
sin sin 2sin 4sin 234
n
n n
x x x
x ≤.
6.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点(12,f (1
2
))处的切线与y 轴垂直.
(1)求B .
(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1.
7.【2020年高考天津】已知函数3
()ln ()f x x k x k =+∈R ,()f x '为()f x 的导函数.
(Ⅰ)当6k =时,
(i )求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;
(ii )求函数9
()()()g x f x f x x
'=-+
的单调区间和极值; (Ⅰ)当3k ≥-时,求证:对任意的12,[1,)x x ∈+∞,且12x x >,有
()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-. 8.【2020年高考北京】已知函数2
()12f x x =-.
(Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程;
(Ⅰ)设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ,求
()S t 的最小值.
9.【2020年高考浙江】已知12a <≤,函数()e x f x x a =--,其中e=2.71828…是自然对数
的底数.
(Ⅰ)证明:函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点;
(Ⅰ)记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点,证明:
(Ⅰ)0x ≤≤;
(Ⅰ)00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--.
10.【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:
谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式2
1140
h a =
;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3
216800
h b b =-
+.已知点B 到OO '的距离为40米. (1)求桥AB 的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ,且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点)..桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k >0),问O E
'为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低?
11.【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在
区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.
(1)若()()22
2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+,,,
,求h (x )的表达式; (2)若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞,,,
,求k 的取值范围;
(3)若()
422342
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<,,,
[]
, D m n =⊆⎡
⎣,
求证:n m -
12.【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1
()e ln ln x f x a x a -=-+.
a 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角
(1)当e
形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.。