2020年江西省九江市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,4)2. 已知复数z 满足z⋅i3+4i =4−3i ，|z|=( )A. 3B. 4C. 5D. 253. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 1+12a 2，a 3=14，则a 1=( )A. −12B. 1C. −13D. 144. 已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A(x 0,y 0)是抛物线C 上一点，|AF|=54x 0，则x 0=( )A. 1B. 2C. 4D. 85. 将函数g(x)=|x +π4|cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)在[−π,π]上的图象大致为( )A.B.C.D.6. 若a <0，则下列不等式成立的是( )A. 2a >(12)a>(0.2)a B. (12)a>(0.2)a >2a C. (0.2)a >(12)a>2a D. 2a >(0.2)a >(12)a7. 已知(1−2x)2020=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯…+a 2020x 2020(x ∈R)，则a12+a222+⋯…+a202022020的值为( )A. 1B. 0C. −1D. 28.如下图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角C−BF−D的正切值为()A. B. C. D.9.已知圆x2+y2=13a2与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支交于A，B两点，且直线AB过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. 310.某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的()A. 概率为35B. 频率为35C. 频率为6D. 概率接近3511.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为()．A. √3−π2B. √3−2π3C. 2√3−π2D. 2√3−2π312.对于函数f(x)=x|x|+px+q现给出四个命题，其中所有正确的命题序号是()①q=0时，f(x)为奇函数；②y=f(x)的图象关于(0,q)对称；③p=0，q>0，f(x)有且只有一个零点；④f(x)至多有2个零点．A. ①④B. ①②③C. ②③D. ①②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若单位向量a⃗,b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=√2，则向量a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值为______．14.若x，y满足约束条件{x≥−2x+y≥0x−y+2≤0则z=x−2y的最大值为______．15.若正四棱锥P−ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a5+a6的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC =b+ca+b．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求4sinB−cosC的取值范围．18.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC,CC1的中点．(1)求证：平面AEB⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−A1的余弦值．19.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率为√22，过F2的直线l与C交于A，B两点，且△AF1B的周长为4√2．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为P，证明：当l的斜率为13，点P在以AB为直径的圆上．20.设函数f(x)=1−a2x2+ax−lnx(a∈R)．(Ⅰ)当a=3，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)当a>1，讨论函数f(x)的单调性．21.共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一．某市为研究单车用户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下：不小于 40 岁小于 40 岁合计单车用户121830非单车用户383270合计5050100(1)从独立性检验角度分析，能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关；(2)将此样本的频率做为概率，从该市单车用户中随机抽取3人，记不小于40岁的单车用户的人数为ξ的分布列与数学期望．下面临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是y=xtanα(π2<α<π)，曲线C1的参数方程是{x=1+cosφy=sinφ(φ为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．(Ⅰ)求直线l及曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l与曲线C1交于O、M两点，直线l与曲线C2交于O、N两点，求|MN|的最大值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x 2−2x −3≤0}={x|−1≤x ≤3}， B ={x|0<x <4}，∴A ∩B ={x|0<x ≤3}=(0,3]． 故选：C ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题，把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 解：由z =(4−3i )(3+4i)i，∴z =24+7i i=7−24i ，∴|z|=25， 故选D ．3.答案：B解析：本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题 由题意可得{a 1(1+q +q 2)=a 1+12a 1qa 3=a 1q 2=14，解得即可 解：由S 3=a 1+12a 2，a 3=14，设公比为q ， ∴{a 1(1+q +q 2)=a 1+12a 1q a 3=a 1q 2=14，解得q=12，a1=1，故选：B．4.答案：A解析：本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)，∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=54x0，∴54x0=x0+14，解得x0=1．故选：A．5.答案：D解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得f(x)=g(x−π4)=|x|cos2(x−π4)=|x|sin2x及f(−x)=|−x|sin(−2x)=−|x|sin2x=−f(x)，结合图象及特殊点进行判断即可．解：由题意得f(x)=g(x−π4)=|x|cos2(x−π4)=|x|sin2x，f(−x)=|−x|sin(−2x)=−|x|sin2x=−f(x)，即f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A、C，f(π)=πsin2π=0，排除B．故选D．6.答案：C解析：本题主要考查了不等式的大小比较，指数函数，幂函数，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据指数函数和幂函数的性质即可判断，或者利用特殊值法． 解：∵a <0，假设a =−1，∴(12)−1=2，(0.2)−1=5，2a =−2， ∴(0.2)a >(12)a >2a ，故选C ．7.答案：C解析：解：因为(1−2x)2020=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯…+a 2020x 2020(x ∈R)， 令x =0可得a 0=1； 令x =12可得：a 0+a 12+a 222+⋯…+a 202022020=(1−2×12)2020=0；故a12+a222+⋯…+a202022020=0−a 0=−1；故选：C ．令x =0可得：a 0=1；令x =12可得：0=a 0+a 12+a 222+⋯…+a 202022020；即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，可以简便的求出答案，属于基础题．8.答案：D解析：本题主要考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ＢＣＦ，平面ＢＦＤ的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角Ｃ−ＢＦ−Ｄ的正切值． 解析：解：如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连接OF ． 因为底面ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ， O 为AC 的中点，又F 是PC 的中点， 所以OF//AP ， 又因为PA ⊥面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ， 所以OB ，OC ，OF 两两垂直．以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ．设PA =AD =AC =1，则BD =√3，所以O(0,0，0)，B(√32,0，0)，F(0,0，12)，C(0,12,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,0)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDF 的一个法向量， 由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,0)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0，−12)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面BCF 的一个法向量， 则{n ⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y =0n ⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12z =0，令x =1，可得平面BCF 的一个法向量为n ⃗ =(1,√3,√3). 所以cos 〈n ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√3212×√1+3+3=√217， 所以sin 〈n ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=2√77， 所以tan 〈n ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=2√33． 故二面角C −BF −D 的正切值为2√33． 故选Ｄ．9.答案：C解析：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题．由已知条件推导出13a 2=c 2+b 4a2，从而得到e 4−e 2−12=0，由此能求出双曲线的离心率．解：如图所示：∵圆x2+y2=13a2与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支交于A，B两点，且直线AB过双曲线的右焦点，由圆和双曲线的对称性可知，x A=x B=c=√a2+b2，且AB垂直x轴，∴|OA|=√13a，|OF2|=c，|AF2|=b2a，∠AF2O=90°，由勾股定理可知13a2=c2+b4a2，又∵b2=c2−a2，∴12a4=c4−a2c2，∴e4−e2−12=0，解得e2=4或e2=−3(舍)，∴e=2．故选：C．10.答案：B解析：本题主要考查频率的定义以及频率与概率的区别，属于基础题．抛掷硬币的总数为10，事件A的频数为6，求出A的频率即可．解：事件A的频率为610=35，概率为12，故选B．11.答案：A 解析：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，，故选A．12.答案：C解析：本题考查命题的真假判断和应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．①若f(x)为奇函数，则f(0)=q=0，反之若q=0，f(x)=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于(0,0)对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f(x)=x|x|+ px+q的图象，易得f(x)的图象关于点(0,q)对称；③当p=0，q>0时，x>0时，方程f(x)=0的无解，x<0时，(x)=0的解为x=−√p；④q=0，p=−1时方程f(x)=0的解为x=0或x=1或x=−1，即方程f(x)=0有3个零点．解：①若f(x)为奇函数，则f(0)=q=0，反之若q=0，f(x)=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于(0,0)对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f(x)=x|x|+px+q图象，易得f(x)的图象关于点(0,q)对称．所以②正确．③当p=0，q>0时，x>0时，方程f(x)=0的无解，x<0时，f(x)=0的解为x=−√p，故③正确．④q=0，p=−1时方程f(x)=0的解为x=0或x=1或x=−1，即方程f(x)=0有3个零点，故④不正确．故选：B．13.答案：34解析：设向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．解：∵|2a⃗−b⃗ |=√2，∴(2a⃗−b⃗ )2=2，∵a⃗,b⃗ 为单位向量，即4a⃗⃗⃗⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=2，∴4−4cosθ+1=2，∴cosθ=3．4．故答案为：3414.答案：−3解析：解：由x ，y 满足约束条件{x ≥−2x +y ≥0x −y +2≤0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2， 由图可知，当直线y =12x −z 2过点A(−1,1)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为−3．故答案为：−3．画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：3−√52πa 2解析：解：如图，M ，N 为AD ，BC 的中点，E ，F 为切点，则OE =OF =r ，EN =NF =a2，PE =a ，PN =√52a ， ∴OP =a −r ，PF =√52a −12a =√5−12a ， 在△OFP 中，(a −r)2=r 2+(√5−12a)2， 得r =√5−14a ，∴内切球表面积为4πr2=4π×(√5−14a)2=3−√52πa2，故答案为：3−√52πa2．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，属于中档题．16.答案：152解析：本题考查数列的前n项和的应用，属基础题．根据前n项和的概念得到a5+a6=S6−S4，将n=6和n=4代入公式即可求值．解：a5+a6=S6−S4=63−43=152．故答案为：152．17.答案：解：(Ⅰ)∵sinA−sinBsinC =b+ca+b，∴a−bc =b+ca+b，即b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵A为三角形中的角，∴A=2π3.(Ⅱ)因为4sinB−cosC=4sinB−cos(π3−B)=4sinB−(12cosB+√32sinB)=8−√32sinB−12cosB=√17−4√3sin(B−φ)，其中tanφ=8+√361，因为：0<B<π3;0<φ<π6∴sin(−φ)<sin(B−φ)<sin(π3−φ)即12√17−4√3<sin(B−φ)<√32×8−√32√17−4√3−1212√17−4√3所以，4sinB−cosC∈(−12,2√3−1).解析：本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．(Ⅰ)由已知及正弦定理化简可得a−bc =b+ca+b，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =−12，即可求A．(Ⅱ)化简可得：4sinB−cosC=√17−4√3sin(B−φ)，其中tanφ=8+√361，由sin(B−φ)的范围，即可解得4sinB−cosC的取值范围．18.答案：(1)证明：∵AB=BC=CA，D是AC的中点，∴BD⊥AC，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又∵平面AA1C1C∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，又AE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AE，又∵在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，∴tan∠A1DA=2，tan∠AEC=2，∴∠A1DA=∠AEC，∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90°，∴A1D⊥AE，又A1D∩BD=D，A1D、BD⊂平面A1BD，∴AE⊥平面A1BD，又AE⊂平面AEB，∴平面AEB⊥平面A1BD．(2)解：取A1C1中点F，以D为坐标原点，DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系D−xyz，则D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，A 1(2,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)，A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,√3)， 设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 设平面A 1BE 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2a −b +√3c =0BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a −b −√3c =0，令b =1，则n ⃗ =(−2,1，−√3)， 设二面角D −BE −A 1的平面角为θ，观察可知θ为锐角，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=14， 故二面角D −BE −A 1的余弦值为14．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥AE ，由角的转换得A 1D ⊥AE ，从而AE ⊥平面A 1BD ，由此能证明面AEB ⊥面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以D 为坐标原点，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBE 的一个法向量和平面A 1BE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角D −BE −A 1的余弦值． 19.答案：解：(1)△AF 1B 的周长等于：|AF 1|+|AB|+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 2|+|BF 1|=4a ，∴4a =4√2，从而a =√2，∵e =c a =√22，∴c =1，即b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)由(1)得P(0,1)，F 2(1,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，依题意，l 的方程为x =3y +1，将l 的方程代入C 并整理，可得11y 2+6y −1=0，∴y 1+y 2=−611，y 1y 2=−111，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1) =(3y 1+1)(3y 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=10y 1y 2+2(y 1+y 2)+2=0，∴PA ⊥PB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上.解析：本题考查了椭圆的概念及其标准方程、直线与椭圆的位置关系．(1)由题意可知△AF 1B 的周长等于|AF 1|+|AB|+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 2|+|BF 1|=4a ，所以4a =4√2，进而根据离心率求出c ，最后求出椭圆方程；(2)由(1)得P(0,1)，F 2(1,0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，依题意，l 的方程为x =3y +1，将l 的方程代入C 并整理，可得11y 2+6y −1=0，再求出y 1+y 2和y 1y 2的值，再计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后可证出结论．20.答案：解：(Ⅰ)当a =3时，f(x)=−x 2+3x −lnx(x >0)．f′(x)=−2x +3−1x =−(2x−1)(x−1)x 2， 当12<x <1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当0<x <12或x >1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)极大值=f(1)=2，f(x)极小值=f(12)=54+ln2； (Ⅱ)当a >1时，f′(x)=(1−a)(x−1a−1)(x−1)x ， 当a =2时，f′(x)=−(x−1)2x ≤0，函数f(x)在x >0时单调递减； 当1<a <2时，1a−1>1，令f′(x)<0，解得0<x <1或x >1a−1，此时函数f(x)单调递减；令f′(x)>0，解得1<x <1a−1，此时函数f(x)单调递增．当a >2时，0<1a−1<1，令f′(x)<0，解得0<x <1a−1或x >1，此时函数f(x)单调递减； 令f′(x)>0，解得1a−1<x <1，此时函数f(x)单调递增．综上可得：当1<a <2时，f(x)在x ∈(0,1)或(1a−1,+∞)单调递减；f(x)在(1,1a−1)上单调递增． 当a =2时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．当a >2时，f(x)在(0,1a−1)或(1,+∞)上)单调递减；函数f(x)(1a−1,1)上单调递增．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 21.答案：解：(1)∵K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=100×(12×32−38×18)250×50×30×70≈1.714<2.706，∴不能有90%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关．(2)由题意，单车用户中，不小于40岁的概率为0.4，小于40岁的概率为0.6，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则p (ξ=0)=0.63=0.216，p (ξ=1)=C 31×0.4×0.62=0.432，p (ξ=2)=C 32×0.42×0.6=0.288，P (ξ=3)=0.43=0.064，∴ξ的分布列为：∴E(ξ)=3×0.4=1.2．解析：本题主要考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列和期望的知识点．(1)根据公式和列联表计算出K2即可得出结论；(2)先写出ξ的取值，再求出ξ的取值对应的概率，即可得出分布列和期望．22.答案：解：(Ⅰ)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=xtanα(π2<α<π)得tanθ=tanα，∴直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R,π2<α<π)．∵曲线C1的参数方程是{x=1+cosφy=sinφ(φ为参数)，∴曲线C1的普通方程是(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0，∴曲线C1的极坐标方程是ρ=2cosθ．(Ⅱ)将θ=α(ρ∈R,π2<α<π)分别代入曲线C1和C2的极坐标方程，则|OM|=−2cosα，|ON|= 2sinα，∴|MN|=2sinα−2cosα=2√2sin(α−π4).∵π2<α<π，∴当α=3π4，sin(α−π4)取最大值1，∴|MN|的最大值为2√2．解析：(Ⅰ)由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线的极坐标方程，利用同角三角函数的平方关系xi 消去参数可得曲线C的普通方程，再由互化公式化为极坐标方程；(Ⅱ)将θ=α分别代入曲线C1和C2的极坐标方程，得到|OM|=−2cosα，|ON|=2sinα，由此可把|MN|表示为α的三角函数，化为y一个角的正弦函数即可qi求得最大值．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x+1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2， 解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1，当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号，可得函数f(x)的最小值为1，则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
