2019年中考试题分类汇编一知识点08 分式(PDF解析版)

2019-2020 年中考数学真题分类汇编（ 150 套） 分式专题一、选择题1．（ 2011 云南红河哈尼族彝族自治州）使分式1 有意义的 x 的取值是3 xA.x ≠0B. x≠± 3C. x≠- 3D. x≠3【答案】 D2．（ 2011 湖北随州） 化简： 1x 13) 的结果是（）(3 x 2 ) ( xx 1A ． 2B ．2C ．2D ．x4x 1 x3x 1【答案】 B3．（ 2011 福建三明） 当分式1 没有意义时， x 的值是x2（ ）A ． 2B ．1C ． 0D ．— 2【答案】 A4．（ 2011 山东淄博） 以下运算正确的选项是（ A ） ab1 （ B ）mn m na b baab a b（ C ） b b 1 1（ D ）2 a b 1aaaa b a 2 b 2a b【答案】 D5．（ 2011 云南玉溪）若分式b 2 1的值为 0，则 b 的值是b 2 -2b-3A. 1B. -1C.± 1D. 2【答案】 A6．（ 2011 内蒙古包头） 化简x 2 4 2 xx ，其结果是（）x 24x 4 x2x2A ．8B ．8C ．88 x 222D ．xxx 2【答案】 D7．（ 2011 江苏苏州） 化简a1 a1的结果是A ．1a a 2．1B． aC． a － 1D1aa【答案】 C8．（ 2011 山东威海） 化简bb 的结果是aa 2aA ． a 1B ． a 1C ． ab 1D ． ab b【答案】 B9．（ 2011 浙江嘉兴） 若分式 3x6的值为0，则（▲）2x 1（ A ） x 2（ B ） x1（ C ） x1 （ D ） x 222【答案】 D10．（ 2011 浙江绍兴） 化简 11 , 可得 ( )x 1x 1A.2 B.2C. 2xD.2 x1x 21x 2 1x 21x 2 【答案】 B11．（ 2011 山东聊城）使分式 2x1没心义的 x 的值是（ ）2x 1A ． x =1 B ． x =1C ． x1 D ． x12222【答案】 B12．（ 2011 四川南充） 计算 1x 结果是（）．1xx1（D ） x （ A ） 0（ B ）1（ C ）－ 1【答案】 C13．（ 2011 黄冈） 化简： (1x 1 ) ( x 3) 的结果是（ ）x 3x 2 1A ． 2B ．2C ．x 2 D ．x4x 13x 1【答案】 Ba 2b 2的结果是14．（ 2011 河北） 化简aa bbA ．a2b2． ab． a b．1BCD【答案】 B15．（ 2011 湖南株洲） 若分式2 有意义 ，则 x 的取值范围是x 5 ．．．A ． x 5B ． x5C ． x 5D ． x5【答案】 A16．（ 2011 湖北荆州） 分式 x21 的值为０，则x1A. ．ｘ＝－１ B ．ｘ＝１C．ｘ＝±１D．ｘ＝０【答案】 B17．（ 2011 福建泉州南安） 要使分式1 有意义，则 x 应满足的条件是（ ）．x 1A．x 1B．x1 C ．x 0 D ．x 1【答案】 B18．（ 2011 广西柳州）若分式2有意义，则x 的取值范围是x3A ．x≠3B． x=3C． x＜3D． x＞3【答案】 A二、填空题1．（ 2011 四川凉山）已知：x24x 4 与| y 1 |互为相反数，则式子x y(x y)y x的值等于。

分式与分式方程一、选择题1. （ 2018?广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠１B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选A．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．2. （ 2018?广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．10考点：分式的混合运算；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意求出所求式子的最小值即可．解答：解：得到x＞0，得到=x+≥２=6，则原式的最小值为6．故选 C点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．3．（2018?温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠２B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．4.（2018?毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1 D．±1考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．解答：解：由x2﹣1=0，得x=±1．当x=1时，x﹣1=0，故x=1不合题意；当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．故选C．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．5.（2018?孝感，第6题3分）分式方程的解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．（2018·浙江金华，第5题4分）在式子11,,x2,x3x2x3中，x可以取2和3的是【】A．1x2B．1x3C．x2 D．x3【答案】C．【解析】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子11,x2x3，7. （2018?湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8.（2018?呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（）A．?=B．=a3C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6考点：分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3?=3，故本选项错误；B、原式=|a|3，故本选项错误；C、原式=÷=?=，故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键9.（2018?德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二.填空题1. （ 2018?安徽省,第13题5分）方程=3的解是x= 6 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2. （ 2018?福建泉州，第10题4分）计算：+= 1 ．考点：分式的加减法分析：根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．解答：解：原式==1，故答案为：1．点评：本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．3.（2018·云南昆明，第13题3分）要使分式101x 有意义，则x 的取值范围是 .考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可以求出x 的取值范围．解答：解：由分式有意义的条件得：10x 10x 故填10x．点评：本题考查了分式有意义的条件：分母不为0.4．（2018·浙江金华，第12题4分）分式方程312x1的解是▲ ．【答案】x 2.【解析】5．（2018?浙江宁波，第14题4分）方程=的根x= ﹣1 ．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6. （2018?益阳，第10题，4分）分式方程=的解为x=﹣9 ．考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7. （2018?泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3 ．考点：分式的化简求值．分析：将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．解答：解：∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=﹣3ab，∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键．8．（2019年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．解：原式=?=?=x﹣1．故答案为：x﹣1点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三.解答题1. （ 2018?广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=?（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2. （ 2018?广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．3. （ 2018?珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. （ 2018?广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值.专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=ab（a+1）？=ab，当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. （ 2018?广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．考点：分式方程的应用．分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得=+10，解得 x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．6. （ 2018?广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，当x=﹣1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(2019年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=?=，当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018?新疆，第17题8分）解分式方程：+=1．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．9．（2019年云南省，第15题5分）化简求值：?（），其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?=x+1，当x=时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2019年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分式方程的应用．分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×２可得方程．解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得 x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．11．（2018?舟山，第18题6分）解方程：=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．12.（2019年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．13.（2018?毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程－因式分解法分析：先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2=0的解，代入求值即可．解答：解：解a2+a﹣2=0得a1=1，a2=﹣2，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a=﹣2，∴原式=÷=?=，∴原式===﹣．点评：本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．14.（2018?武汉，第17题6分）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.（2018?襄阳，第13题3分）计算：÷= ．考点：分式的乘除法专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=?=．故答案为：点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.（2018?襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？考点：分式方程的应用专题：应用题．分析：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．解答：解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．17.（2018?邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（﹣）?（x﹣1），其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?（x﹣1）=，当x=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2018?四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用专题：应用题．分析：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．解答：解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，由题意，得：20（+）+20×=1，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）设李老师要工作y 分钟，由题意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y ≥25．答：李老师至少要工作25分钟．点评：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．19.（2018·云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：1)11(22aa a，其中3a .考点：分式的化简求值。

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

2. 分 式一、 选择题1. (2019·常州)若代数式x ＋1x －3有意义，则实数x 的取值范围是( ) A. x ＝－1B. x ＝3C. x ≠－1D. x ≠32. (2019·扬州)分式13－x可变形为( )A. 13＋xB. －13＋xC. 1x －3D. －1x －33. (2019·江西)计算1a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2的结果为( ) A. a B. －a C. －1a 3D. 1a 34. (2019·湖州)计算a －1a ＋1a 的结果是( )A. 1B. 12 C. aD. 1a5. (2019·天津)计算2a a ＋1＋2a ＋1的结果是( )A. 2B. 2a ＋2C. 1D.4a a ＋16. (2019·陇南)下面的计算过程中，开始出现错误的是( )第6题A. ①B. ②C. ③D. ④7. (2019·临沂)计算a 2a －1－a －1的结果是( )A. －1a －1B.1a －1C. －2a －1a －1D.2a －1a －18. (2019· 河北)如图，若x 为正整数，则表示（x ＋2）2x 2＋4x ＋4－1x ＋1的值的点落在( )第8题A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④9. (2019·北京)如果m ＋n ＝1，那么代数式(2m ＋n m 2－mn ＋1m)(m 2－n 2)的值为( )A. －3B. －1C. 1D. 3二、 填空题10. (2019·泰州)若分式12x －1有意义，则x 的取值范围是________． 11. (2019·北京)若分式x －1x 的值为0，则x 的值是________．12. (2019· 贵阳)若分式x 2－2xx 的值为0，则x 的值是________．13. (2019·新疆)计算：a 2a －b －b 2a －b ＝________.14. (2019·山西)化简2x x －1－x1－x 的结果是________．15. (2019·吉林)计算：y 2x 2·xy ＝________. 16. (2019·武汉)计算2a a 2－16－1a －4的结果是________．17. (2019·绥化)当a ＝2 018时，代数式(a a ＋1－1a ＋1)÷a －1（a ＋1）2的值是________．三、 解答题18. (2019·徐州)计算：x 2－16x ＋4÷2x －84x .19.(2019·大连)计算：2a －1÷2a －4a 2－1＋12－a. 20.(2019·陕西)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ＋2＋8a a 2－4÷a ＋2a 2－2a . 21.(2019·青岛)化简：m －n m ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2m －2n . 22.(2019·宜昌)已知x ≠y ，y ＝－x ＋8，求代数式x 2x －y ＋y 2y －x的值．23.(2019·杭州)化简：4x x 2－4－2x －2－1.圆圆的解答过程如下：4x x 2－4－2x －2－1＝4x －2(x ＋2)－(x 2－4)＝－x 2＋2x.圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．24.(2019·广州)已知P ＝2a a 2－b 2－1a ＋b(a ≠±b)．(1) 化简P ；(2) 若点(a ，b)在一次函数y ＝x －2的图象上，求P 的值． 25.(2019·宿迁)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1÷2a a 2－1，其中a ＝－2.26.(2019·福建)先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x ＝2＋1. 27.(2019·深圳)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2÷x －1x 2＋4x ＋4，再将x ＝－1代入求值． 28.(2019·广东)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫xx －2－1x －2÷x 2－x x 2－4，其中x ＝ 2.29. (2019·河南)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－1÷x 2－2xx 2－4x ＋4，其中x ＝ 3. 30.(2019·南通)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4m ＋4m ÷m ＋2m 2，其中m ＝2－2. 31.(2019·苏州)先化简，再求值：x －3x 2＋6x ＋9÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6x ＋3，其中x ＝2－3. 32.(2019·泰安)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －9＋25a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－4a －1a ＋1，其中a ＝ 2. 33. (2019·长沙)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1－1a －1÷a 2＋4a ＋4a 2－a ，其中a ＝3.34.(2019· 宿迁)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋3y x 2－y 2＋2x y 2－x 2÷x3（x －y ），其中x ＝33，y ＝12.35.(2019·成都)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x ＋3÷x 2－2x ＋12x ＋6，其中x ＝2＋1.36. (2019·鄂州)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x 2－4x ＋4－4x －2÷x －4x 2－4，再从－1，2，3，4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．37.(2019·安顺)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －3÷x 2－1x 2－6x ＋9，再从不等式组⎩⎨⎧－2x<4，3x<2x ＋4的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．38.(2019·大庆)已知ab ＝1，b ＝2a －1，求代数式1a －2b 的值．39.(2019·本溪)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－4a 2－4a ＋4－12－a ÷2a 2－2a ，其中a 满足a 2＋3a －2＝0.40.(2019·菏泽)先化简，再求值：1x －y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋y －1÷1y 2－x 2，其中x ＝y ＋2 019. 41.(2018·曲靖)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b －b a 2－b 2÷a 2－ab a 2－2ab ＋b 2，其中a ，b 满足a ＋b －12＝0.42.(2018·烟台)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋2x －2÷x ＋1x 2－4x ＋4，其中x 满足x 2－2x－5＝0.2. 分 式一、 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D二、 10. x ≠12 11. 1 12. 2 13. a ＋b 14. 3x x －115. 12x16. 1a ＋4 17. 2 019三、 18. 原式＝（x ＋4）（x －4）x ＋4÷2（x －4）4x ＝(x －4)·2xx －4＝2x19. 原式＝2a －1·（a －1）（a ＋1）2（a －2）－1a －2＝a ＋1a －2－1a －2＝aa －220. 原式＝（a －2）2＋8a （a ＋2）（a －2）·a （a －2）a ＋2＝（a ＋2）2（a ＋2）（a －2）·a （a －2）a ＋2＝a21. 原式＝m －n m ÷m 2＋n 2－2mn m ＝m －n m ·m （m －n ）2＝1m －n22. 原式＝x 2x －y －y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y.当y ＝－x ＋8时，原式＝x ＋(－x ＋8)＝823. 圆圆的解答不正确．正确的答案：4x x 2－4－2x －2－1＝4x（x －2）（x ＋2）－2（x ＋2）（x －2）（x ＋2）－（x －2）（x ＋2）（x －2）（x ＋2）＝4x －2x －4－x 2＋4（x －2）（x ＋2）＝2x －x 2（x －2）（x ＋2）＝－xx ＋224. (1) P ＝2a a 2－b 2－1a ＋b ＝2a（a ＋b ）（a －b ）－a －b （a ＋b ）（a －b ）＝2a －a ＋b （a ＋b ）（a －b ）＝1a －b (2) ∵ 点(a ，b)在一次函数y ＝x －2的图象上，∴ b＝a － 2.∴ a －b ＝ 2.∴ P ＝2225. 原式＝a a －1·（a ＋1）（a －1）2a ＝a ＋12.当a ＝－2时，原式＝－2＋12＝－1226. 原式＝(x －1)÷x 2－2x ＋1x ＝(x －1)·x （x －1）2＝xx －1.当x ＝2＋1时，原式＝2＋12＋1－1＝1＋2227. 原式＝x －1x ＋2·（x ＋2）2x －1＝x ＋2.将x ＝－1代入，得原式＝－1＋2＝128. 原式＝x －1x －2·（x ＋2）（x －2）x （x －1）＝x ＋2x .当x ＝2时，原式＝2＋22＝1＋229. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－x －2x －2÷x （x －2）（x －2）2＝3x －2·x －2x ＝3x .当x ＝3时，原式＝33＝ 330. 原式＝m 2＋4m ＋4m ·m 2m ＋2＝（m ＋2）2m ·m 2m ＋2＝m 2＋2m.当m ＝2－2时，原式＝m 2＋2m ＝m(m ＋2)＝(2－2)×2＝2－2 231. 原式＝x －3（x ＋3）2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋3－6x ＋3＝x －3（x ＋3）2÷x －3x ＋3＝x －3（x ＋3）2·x ＋3x －3＝1x ＋3.当x ＝2－3时，原式＝12－3＋3＝22 32. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－8a －9a ＋1＋25a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a ＋1－4a －1a ＋1＝a 2－8a ＋16a ＋1÷a 2－4aa ＋1＝（a －4）2a ＋1·a ＋1a （a －4）＝a －4a .当a ＝2时，原式＝2－42＝1－2 233. 原式＝a ＋2a －1·a （a －1）（a ＋2）2＝a a ＋2.当a ＝3时，原式＝33＋2＝3534. 原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2÷x3（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）·3（x －y ）x ＝9x .当x ＝33，y ＝12时，原式＝933＝ 335. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋3－4x ＋3·2（x ＋3）（x －1）2＝x －1x ＋3·2（x ＋3）（x －1）2＝2x －1.当x ＝2＋1时，原式＝22＋1－1＝ 236. 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （x －2）（x －2）2－4x －2÷x －4x 2－4＝(x x －2－4x －2)÷x －4x 2－4＝x －4x －2·（x －2）（x ＋2）x －4＝x ＋2.∵ x －2≠0，x －4≠0，x 2－4≠0，∴ x ≠2，x ≠4且x ≠－2.∴ 当x ＝－1时，原式＝－1＋2＝1(或当x ＝3时，原式＝3＋2＝5)37. 原式＝x －3＋2x －3·（x －3）2（x ＋1）（x －1）＝x －3x ＋1.解不等式组⎩⎨⎧－2x<4，3x<2x ＋4，得－2＜x ＜4.∴ 其整数解为－1，0，1，2，3.∵ 要使原分式有意义，∴ x 可取0，2.∴当x ＝0 时，原式＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫或当x ＝2 时，原式＝－13 38. ∵ ab ＝1，b ＝2a －1，∴ b －2a ＝－1.∴ 1a －2b ＝b －2a ab ＝－11 ＝－139. 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋1a －2·a （a －2）2＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝a ＋3a －2·a （a －2）2 ＝a （a ＋3）2 ＝a 2＋3a2.∵ a 2＋3a －2＝0，∴ a 2＋3a ＝2.∴原式＝22＝140. 原式＝1x －y ·2y －（x ＋y ）x ＋y·(y ＋x)(y －x) ＝－(2y －x －y)＝x －y.∵ x ＝y ＋2 019，∴ 原式＝y ＋2 019－y ＝2 01941. 原式＝a ＋b －b （a ＋b ）（a －b ）·（a －b ）2a （a －b ）＝1a ＋b .∵ a ＋b －12＝0，∴ a ＋b ＝12.∴ 原式＝242. 原式＝x －2＋x 2＋2x －2·（x －2）2x ＋1＝x （x ＋1）x －2·（x －2）2x ＋1＝x(x －2)＝x 2－2x.∵ x 2－2x －5＝0，∴ x 2－2x ＝5.∴ 原式＝5。

专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。

（分类）第3讲分式知识点1 分式有意义、值为零的条件知识点2 分式的基本性质知识点3 分式的运算及化简求值（除解答题）知识点1 分式有意义、值为零的条件（2019 长沙）13．（3分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥5．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．（2019 贵港）答案：（2019 贵州）（2019 云南）10.有意义，则x的取值范围为A．x≤0B．x≥-1C．x≥0D．x≤-1（2019 绥化）答案：（2019 贺州）答案：（2019 常州）答案：D（2019 北京）答案：（2019 宁波）答案：B（2019 衡阳）答案：A（2019 泰州）答案：8．若分式121-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】x≠21.【解析】试题分析：求分式中的x 取值范围，就是求分式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使121-x 在实数范围内有意义，必须2x －1≠0， ∴x≠21. 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，，掌握分式有意义，分母不为0这一条件，是解决本题的关键．知识点2 分式的基本性质 （2019 郴州）10．若32x y x +=，则y x= ．知识点3 分式的运算及化简求值（除解答题） （2019 枣庄）答案：（2019 衡阳）答案：（2019 衢州）（2019 天津）答案：A（2019 临沂）答案：9.计算211aaa---的正确结果是A.11a--B.11a-C.211aa---D.211aa--（2019 湖州）答案：A（2019 陇南）答案：（2019 江西）答案：B（2019 怀化）答案：（2019 扬州）【答案】：故选B .（2019 兰州）答案：（2019 武汉）答案：13．计算411622---a a a的结果是___________（2019 河北）（2019 山西）（2019 新疆）（2019 北京）答案：（2019 眉山）答案：B7．化简（a ﹣ab 2）÷a b a -的结果是（ ）A ．a ﹣bB ．a +bC ．ba -1D ．ba +1 （2019 绥化）答案：2019（2019吉林）（2019 包头）答案：（2019 巴彦淖尔）答案：（2019 云南）2.分解因式:x 2-2x +1 = ．。

⎩ 分式与分式方程一、选择题1. （2018•四川巴中，第 4 题 3 分）要使式子有意义，则 m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ． m ≥﹣1C ． m ＞﹣1 且 m ≠1D ． m ≥﹣1 且 m ≠1考点：二次根式及分式的意义．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 解答：根据题意得：，解得：m ≥﹣1 且 m ≠1．故选 D ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．2. （2018•ft东潍坊，第 5 题 3 分）若代数式2有意义，则实数 x 的取值范围是()A .x ≥一 1B ．x ≥一 1 且 x ≠3C ．x >－lD ．x >－1 且 x ≠3考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．⎧x + 1 ≥ 0解答：根据题意得： ⎨x - 3 ≠ 0解得 x≥－1 且 x≠3．故选 B ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 3.（2018 ft 东济南，第 7 题，3 分）化简m -1 ÷ m m -1m2 的结果是 A ． mm -1【解析】 ÷ m -1 = 1B ．m m -1 ⨯ m 2C ． m -1= m ，故选 A ．1D ．m -1m m 2 m m -14. （2018•浙江杭州，第 7 题，3 分）若（ +）•w =1，则 w =（ ）A ．a +2（a ≠﹣2）B ．﹣a +2（a ≠2）C ．a ﹣2（a ≠2）D ．﹣a ﹣2（a ≠﹣2）考 分式的混合运算点： 专 计算题． 题：分 原式变形后，计算即可确定出 W ．析： 解答：解：根据题意得：W = = =﹣（a +2）=﹣a ﹣2．故选：D ．点 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 评： 5. （2018•ft 东淄博,第 2 题 4 分）方程﹣=0 解是（ ）A.x= B ．x= C ．x= D ． x=﹣1x + 1考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x+3﹣7x=0，解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．故选 B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式6.（2018•ft东临沂,第6题3分）当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：分式的化简求值．分析：通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．解答：解：原式= ÷= •= ，当a=2 时，原式==﹣．故选 D．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．7.（2018•ft东临沂,第8 题3 分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单陶笛与用4500 购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程分析：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，根据用 2700 元购买 A 型陶笛与用 4500 购买 B 型陶笛的数量相同，列方程即可．解答：解：设 A 型陶笛的单价为 x 元，则 B 型陶笛的单价为（x+20）元，由题意得，=．故选 D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．8.（2018•四川凉ft州，第8题，4分）分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3D．任意实数考点：分式的值为零的条件分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答：解：依题意，得|x|﹣3=0且x+3≠0，解得，x=3．故选：A．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．（2018•福建福州,第8题4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是【】A．600 =450 B．600 =450 C．600 =450 D．600 =450x + 50 x x - 50 x x x + 50 x x -502．（ 20，结果是（）．（A）（B）（C）（D）【考点】分式、因式分解【分析】【答案】B二、填空题1.（2018•上海，第8题4分）函数y=的定义域是x≠1．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分母不等于 0 列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2.（2018•四川巴中，第 12 题 3 分）若分式方程﹣=2 有增根，则这个增根是．考点：分式方程的增根．分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，求出 x 的值，代入整式方程即可求出m 的值．解答：根据分式方程有增根，得到 x﹣1=0，即 x=1，则方程的增根为 x=1．故答案为：x=1点评：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3.（2018•ft东烟台，第14 题3 分）在函数中，自变量 x 的取值范围是．考点：二次根式及分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0 且x+2≠0，解得：x≤1 且x≠﹣2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．4．（2018•湖南怀化，第12题，3分）分式方程=的解为x=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，移项合并得：4x=4，解得：x=1，经检验 x=1 是分式方程的解．故答案为：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5.（2018ft东济南，第19题，3分）若代数式1和x - 232x +1的值相等，则x =．【解析】解方程 1 =x - 232x +1，的x = 7 ，应填 7．6.（2018•遵义13．（4分））计算：+的结果是﹣1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式= ﹣==﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．.7.(2018•年ft东东营,第15题4分)如果实数x，y满足方程组，那么代数式（+2）÷的值为 1 ．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= •（x+y）=xy+2x+2y，方程组，解得：，当 x=3，y=﹣1 时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.（2018•江苏盐城,第13题3分）化简：﹣=1．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式==1．故答案为：1．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.（2018•四川宜宾，第10题，3分）分式方程﹣=1的解是x=﹣1.5．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，整理得：x2+2x﹣1=x2﹣4，移项合并得：2x=﹣3解得：x=﹣1.5，经检验x=﹣1.5是分式方程的解．故答案为：x=﹣1.5点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．（2018•四川南充，第11题，3分）分式方程=0的解是．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3 经检验 x=﹣3 是分式方程的解．故答案为：x=﹣3点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11.（2018•四川凉ft州，第25题，5分）关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是a＞﹣1．考点：分式方程的解分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．解答：解：=﹣1，解得 x=，=﹣1 的解是正数，a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．点评：本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出 a 的取值范围．12．（2018•四川内江，第22题，6分）已知+=3，则代数式的值为﹣．考点：分式的化简求值分析：根据+ =3，得出 a+2b=6ab，再把 ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出答案．解答：解：∵+=3，∴a+2b=6a b，∴a b=（a+2b），把 ab 代入原式====﹣，故答案为﹣．点评：本题考查了分式的化简求值，要注意把 ab 看作整体，整体代入才可以．13．（2018•甘肃白银、临夏,第12题4分）化简：=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解答：解：+= ﹣==x+2．故答案为：x+2．点评：本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．14．（2018•广州,第 13 题 3 分）代数式有意义时，应满足的条件为．【考点】分式成立的意义，绝对值的考察【分析】由题意知分母不能为0，即，则【答案】三、解答题1.（2018•上海，第20题10分）解方程：﹣=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：（x+1）2﹣2=x﹣1，整理得：x2+x=0，即 x（x+1）=0，解得：x=0 或 x=﹣1，经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的解为 x=0．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2.（2018•四川巴中，第23题5分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．考点：分式的化简，一元二次的解法，分式的意义．分析：通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．解答：原式= ÷= ÷= •=﹣，解方程x2﹣4x+3=0得，（x﹣1）（x﹣3）=0，x1=1，x2=3．当 x=1 时，原式无意义；当 x=3 时，原式=﹣=﹣．点评：本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式的值有意义．3.（2018•ft东威海，第21题9分）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260 个，其中甲粽子比乙种粽子少用100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？考点：分式方程的应用分析：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，根据甲粽子比乙种粽子少用 100 元，可得甲粽子用了 300 元，乙粽子 400 元，根据共购 进甲、乙两种粽子 260 个，列方程求解．解答：解：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元， 由题意得，+=260，解得：x =2.5，经检验：x =2.5 是原分式方程的解， （1+20%）x=3， 则买甲粽子为：=100 个，乙粽子为：=160 个．答：乙种粽子的单价是 2.5 元，甲、乙两种粽子各购买 100 个、160个． 点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程求解．4. （2018•ft 东枣庄，第 19 题 4 分）（2）化简：（ ﹣ ）÷ ．考点： 分式的混合运算 专题： 计算题． 分析： （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= •（x ﹣1）=• （x ﹣1）=﹣ ．点评：此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．5. （2018•ft 东烟台，第 19 题 6 分）先化简，再求值：÷（x ﹣），其中 x 为数据 0，﹣1，﹣3，1，2的极差．考点：分式的化简，极差．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果， 求出数据的极差确定出 x ，代入计算即可求出值．解答：原式=÷=•=，当 x=2﹣（﹣3）=5 时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. （2018•ft东烟台，第 23 题 8 分）ft 地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆销售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%．（1） 今年 A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2） 该车计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A ，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：考点：分式方程 的应用，一次函数的 应用.分析： （1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；A 型车B 型车 进货价格（元） 1100 1400销售价格（元） 今年的销售价格 2000（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值．解答：（1）设今年 A 型车每辆售价 x 元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得，解得：x=1600．经检验，x=1600 是元方程的根．答：今年 A 型车每辆售价 1600 元；（2）设今年新进 A 行车 a 辆，则 B 型车（60﹣x）辆，获利 y 元，由题意，得y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），y=﹣100a+36000．∵B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40 辆．∴当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．7.（2018•湖南张家界，第18题，6分）先化简，再求值：（1﹣）+，其中a=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •= ，当 a= 时，原式= =1+ ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018•湖南张家界，第22题，8分）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获补贴 500 元．若同样用 11 万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多 20%，可建立方程，解出即可．解答：解：设该款空调补贴前的售价为每台 x 元，由题意，得：×（1+20%）=，解得：x=3000．经检验得：x=3000 是原方程的根．答：该款空调补贴前的售价为每台 3000 元．点评：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9. （2018•江西抚州，第 16 题，5 分）先化简： x - 3x - 4 x -1 ÷ x - 2x -1 ，再任选一个你喜欢的数 x 代入求值. ⎛ x 2 - x 3x - 4 ⎫ x -1 x 2 - 4x + 4 x -1 ( x - 2)2解析：原式= - x -1 x -1 ⎪x - 2 = x -1 ⋅ = x - 2 x - 2 = x - 2取 x = 10 ⎝ ⎭代入，原式=8 (注： x 不能取 1 和 2）10．（2018•ft 东聊城，第 18 题，7 分）解分式方程：+=﹣1．考点：解分式方程．分析：解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答：解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x 2，去括号得：﹣x 2﹣4x ﹣4+16=4﹣x 2， 解得：x=2，经检验 x=2 是增根，分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 11. (2019 年贵州黔东南 18．（8 分）)先化简，再求值：÷﹣，其中 x =﹣4．考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式= • ﹣=﹣=，当 x=﹣4 时，原式==．点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.（2018•十堰 17．（6 分）） 化简：（x 2﹣2x ）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 解答：解：原式=x （x ﹣2）•=x ．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13.（2018•十堰 19．（6 分）） 甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要 40 分钟完工；若甲、乙共同整理 20 分钟后，乙需再单独整理 30 分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？考点：分式方程的应用．分析：将总的工作量看作单位 1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可． 解答：解：设乙单独整理 x 分钟完工，根据题意得：+=1，（解得 x=100，经检验 x=100 是原分式方程的解．答：乙单独整理 100 分钟完工．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．14.（2018•娄底21．（8分））先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷= •=，不等式 2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为 1，2，3，4，当 x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.（2018•娄底24．（8分））娄底到长沙的距离约为180k m，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为x k m/h，则小轿车的速度为1.5x k m/h，由题意得﹣=1解得 x=60，则1.5x=90，答：大货车速度为60k m/h，则小轿车的速度为90k m/h．（2）180﹣60×1=120k m答：当小刘出发时，小张离长沙还有 120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．16.(2019年湖北咸宁17．（8分）)（1）计算：（﹣2）2+4×2﹣1﹣|﹣8|；（2）化简：﹣．考点：实数的运算；分式的加减法；负整数指数幂．分析：（1）本题涉及负整指数幂、乘方、绝对值化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据分式的性质，可化成同分母的分式，根据分式的加减，可得答案．1 2 ( )解答： 解：（1）原式=4+2﹣8=﹣2；（2）原式= ．点评： 本题考查了实数的运算，本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类 题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 17. ( ( 2019 年河南) 16.8 分）先化简，再求值：x 2 -1 ÷⎛ x 2 +1 ⎫ x 2 - x 2 + ，其中 x= －1 x ⎝ ⎭ (x +1)(x -1) 解：原式= x x -1 x +1 x ÷ 2x + x 2 +1 x …………………4 分 = x 1= x +1 (x +1)2…………………………………………………………………6 分当 x= －1 时，原式= 2 = = ................................................ 8 分 218.（2018•江苏苏州,第 21 题 5 分）先化简，再求值： ，其中． 考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可． 解答： 解：=÷（ + ） =÷ =× =， 把 ，代入原式= = = = ．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．19．（2018•江苏苏州,第 22 题 6 分）解分式方程：+=3．考点：解分式方程 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x ﹣2=3x ﹣3，2 2 1 2 -1+1 ⎪解得：x=，经检验 x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20.（2018•ft东淄博,第18题5分）计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式约分即可得到结果．解答：解：原式= •= ．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.（2018•江苏徐州,第24题8分）几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．考点：分式方程的应用．分析：设票价为 x 元，根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为：，根据小伙伴的人数不变，列方程求解．解答：解：设票价为 x 元，由题意得，= +2，解得：x=60，则小伙伴的人数为：=8．答：小伙伴们的人数为8 人．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.（2018•江苏盐城,第19题4分）（2）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（2）去分母得：3x+3=2x﹣2，解得：x=﹣5，经检验 x=﹣5 是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程．23.(2018•年ft东东营,第23题8分)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在 40 天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2 倍，若甲、乙两工程队合作只需 10 天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．考点：一次函数的应用；分式方程的应用．分析：（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．解答：解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天，由题意得=解得：x=15，经检验，x=15 是原分式方程的解，2x=30答：甲工程队单独完成此项工程需 15 天，乙工程队单独完成此项工程需 30 天．（2）方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15=67.5万元；方案二：由乙工程队单独完成需要2.5×30=75万元；方案三：由甲乙两队合作完成4.5×10+2.5×10=70万元．所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．点评：本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24.（2018•江苏徐州,第19题5分）（2）计算：（a+）÷（1+）．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（2）原式= ÷= •=a﹣1．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．25.（2018•四川遂宁，第18题，7分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式= •= •= ，当x= ﹣1 时，原式= ．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（2018•四川宜宾，第 17 题，10 分）（1）计算：|﹣2|﹣（﹣）0+（）﹣1（2）化简：（﹣）•．考点：实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）分别根据0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式= •= •= •=2a+12．点评：本题考查的是实数的运算，熟知 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．27．（2018•四川凉ft州，第19 题，6 分）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中 a2+3a﹣1=0．考点：分式的化简求值分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式= ÷•=，当 a2+3a﹣1=0，即 a2+3a=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2018•四川泸州，第18题，6分）计算（﹣）÷．考点：分式的混合运算．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．解答：解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），。

分式与二次根式命题趋势分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为12分左右。

预计2023年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。

知识梳理1、分式1)分式的定义(1)一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．(2)分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB =0．2)分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为A B =A ⋅C B ⋅C (C ≠0)或A B =A ÷CB ÷C (C ≠0)，其中A ，B ，C 均为整式．3)约分及约分法则(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．4)最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5)通分及通分法则(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．(2)通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积)；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．6)最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7)分式的运算(1)分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：a b ±c b =a ±cb．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bcbd．(2)分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：a b ⋅cd=a ⋅cb ⋅d．(3)分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示：a b ÷c d =ab⋅d c =a ⋅d b ⋅c ．(4)分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：a b n =a nb n (n 为正整数，b ≠0)．(5)分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．2、二次根式1)二次根式的有关概念(1)二次根式的概念：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2)二次根式的性质(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a )2=a (a ≥0)； (3)a 2=a =a (a >0)0(a =0)-a (a <0) ；3)二次根式的运算(1)二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．(2)二次根式的乘除乘法法则：a ⋅b =ab (a ≥0,b ≥0)；除法法则：a b=a b(a ≥0,b >0)．(3)二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．重点考向考向1分式的有关概念1.分式的三要素：(1)形如AB的式子；(2)A ,B 均为整式；(3)分母B 中含有字母．2.分式的意义：(1)有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即B ≠0．(2)无意义的条件是分母为0．(3)分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例引领1.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ，1π，2x 2+4，x 2-23，1x ，x +1x +2中，属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是2x 2+4，1x ，x +1x +2，∴分式有3个，故选：B ．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．2.(2022·浙江湖州·中考真题)当a =1时，分式a +1a的值是．【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可．【详解】解：当a =1时，a +1a =1+11=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．3.(2023·河南·中考模拟)下列说法错误的是()A.当x ≠3时，分式4x +5x -3有意义 B.当x =1时，分式x +1x -1无意义C.不论a 取何值，分式a 2+1a2都有意义 D.当x =1时，分式x -1x +1的值为0【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A 选项当x -3≠0，即x ≠3时，分式4x +5x -3有意义，故A 正确；B 选项当x -1=0，即x =1时，分式x +1x -1无意义，故B 正确；C 选项当a 2≠0，即a ≠0时，分式a 2+1a 2有意义，故C 错误；D 选项当x -1=0，且x +1≠0即x =1时，分式x -1x +1的值为0，故D 正确.故选C .【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.变式拓展1.(2022·湖北黄冈·中考真题)若分式2x -1有意义，则x 的取值范围是．【答案】x ≠1【分析】根据分式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵分式2x -1有意义，∴x -1≠0，解得x ≠1．故答案为：x ≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．2.(2022·广西·中考真题)当x =时，分式2xx +2的值为零．【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可．【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0，故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．3.(2023·绵阳市·中考模拟)下列关于分式的判断，正确的是()A.当x =2时，x +1x -2的值为零B.无论x 为何值，4x 2+3的值总为正数C.无论x 为何值，3x +1不可能得整数值D.当x =3时，x -33无意义【答案】B【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．【详解】解：A 、当x =2时，分母x -2=0，分式无意义，故A 错误；B 、分母中x 2+3≥3，因而第二个式子一定成立，故B 正确；C 、当x +1=1或-1时，3x +1的值是整数，故C 错误；D 、x -33不是分式，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．考向2分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：(1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；(2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例引领1.(2020·河北中考真题)若a ≠b ，则下列分式化简正确的是()A.a +2b +2=abB.a -2b -2=abC.a 2b2=ab D.12a 12b =ab【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a ≠b ，∴a +2b +2≠a b ，选项A 错误；a -2b -2≠ab，选项B 错误；a 2b 2≠a b ，选项C 错误；12a 12b =a b ，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．2.(2022·广东·一模)如果把分式2yx +y中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值()A.不变B.缩小为原来的12C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍【答案】A【分析】依题意，分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，利用分式的基本性质化简即可．【详解】分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，得：2×2y 2x +2y =4y 2(x +y )=2yx +y 化简后的结果和原式相同，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．变式拓展1.(2022·河北·三模)下列各式从左到右的变形中，不正确的是()A.-23a =-23aB.-b -6a =b6aC.3a -4b =-3a4bD.--8a 3b =8a-3b【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：A 、-23a =-23a ，故本选项不符合题意；B 、-b -6a =b6a，故本选项不符合题意；C 、3a -4b =-3a 4b ，故本选项不符合题意；D 、--8a 3b =8a 3b ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．2.(2022·浙江·一模)若把分式1x +1y中的x ,y 同时扩大2倍，则分式的值()A.是原来的2倍B.是原来的12C.是原来的14D.不变【答案】B【分析】根据分式的加法进行计算，再把x ,y 同时扩大2倍，观察分式值变化即可．【详解】解：1x +1y =x +y xy ，x ,y 同时扩大2倍得2x +2y 2x ×2y =2(x +y )4xy =12×x +y xy，分式的值是原来的12，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．考向3分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例引领1.(2022·江苏·二模)分式m 2m -2n 和3nm -n的最简公分母为．【答案】2(m -n )【分析】利用最简公分母的定义求解，分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )，故最简公分母是2(m -n )即是本题答案．【详解】解：∵分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )．∴它们的最简公分母是2(m -n )．故答案为：2(m -n )．【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．2.(2022·上海崇明·二模)化简：xx 2-2x=．【答案】1x -2【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：x x 2-2x=x x (x -2)=1x -2．故答案为：1x -2．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3.(2022·广西·二模)关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确()A.x +1x 2-1约分的结果是1x B.分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x -1C.2xx2约分的结果是1D.化简x 2x 2-1-1x 2-1的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A 与C ；根据确定最简公分母的方法判断B ；根据分式减法法则计算，即可判断D ．【详解】A 、x +1x 2-1=1x -1，故本选项错误；B 、分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x 2-1，故本选项错误；C 、2x x 2=2x ，故本选项错误；D 、x 2x 2-1-1x 2-1=1，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.变式拓展1.(2023·河北·一模)要把分式32a 2b 与a -bab 2c通分，分式的最简公分母是()A.2a 2b 2cB.2a 3b 3C.2a 3b 3cD.6a 3b 3c【答案】A【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，a 2与a 的最高次幂是a 2，b 与b 2的最高次幂是b 2，对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式，∴公分母为：2a 2b 2c ．故选择：A ．【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．2.(2023·河北滦州·一模)下列分式化简结果为ab的是()A.a +2b +2B.a -2b -2C.a +ab +bD.a ×ab ×b【答案】C【分析】根据分式的化简逐个判断即可.【详解】A .a +2b +2≠a b ，故选项A 错误；B .a -2b -2≠ab，故选项B 错误；C .a +a b +b =2a 2b =a b ，故选项C 正确；D .a ×a b ×b =a 2b 2≠a b ，故选项D 错误；故选：C .【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3.(2022·上海·二模)计算：1a -1b=．【答案】b -aab【分析】将式子通分计算即可．【详解】1a -1b =b ab -a ab =b -aab【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．考向4分式的运算(1)分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．(2)分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解(在分解因式时注意不要出现符号错误)，然后找出其中的公因式，并把公因式约去．(3)分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．(4)分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例引领1.(2022·广西玉林·中考真题)若x 是非负整数，则表示2x x +2-x 2-4(x +2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A.①B.②C.③D.①或②【答案】B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．【详解】解：2x x +2-x 2-4(x +2)2=2x x +2 x +2 2-x 2-4(x +2)2=2x 2+4x -x 2+4x +2 2=x +2 2(x +2)2=1；故选B ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．2.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)先化简，再求值：3x x -2-x x +2÷xx 2-4，在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】2x +8，10．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．【详解】解：原式=3x x +2 -x x -2 x -2 x +2⋅x 2-4x =2x x +4 x -2 x +2⋅x -2 x +2x =2(x +4)=2x +8当x =-2，0，2时，分式无意义当x =1时，原式=10．【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．3.(2022·山东聊城·中考真题)先化简，再求值：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2，其中a =2sin45°+12-1．【答案】a a -2，2+1【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2=a +2 a -2 a ×a a -22-2a -2=a +2a -2-2a -2=aa -2，∵a =2sin45°+12-1=2×22+2=2+2，代入得：原式=2+22+2-2=2+1；故答案为：aa -2；2+1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．变式拓展1.(2022·山东威海·中考真题)试卷上一个正确的式子1a +b +1a -b ÷★=2a +b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为()A.aa -bB.a -b aC.a a +bD.4a a 2-b 2【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：1a +b +1a -b ÷★=2a +b a -b +a +b a +b a -b÷★=2a +b ★=2a a +b a -b÷2a +b =aa -b ，故选A ．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022·江苏扬州·中考真题)计算：(1)2cos45°+π-3 0-8(2)2m -1+1÷2m +2m 2-2m +1【答案】(1)1-2(2)m -12【分析】(1)根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；(2)先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；【详解】(1)解：原式=2×22+1-22=1-2．(2)解：原式=2m -1+m -1m -1 ⋅m -1 22m +1 =m +1m -1⋅m -1 22m +1 =m -12．【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．3.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简，再求值：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1，其中a =9+|-2|-12-1．【答案】a -2a +2，15．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1=(a +1)2-5-2a a +1÷(a +2)2a +1=a2-4 a+1⋅a+1(a+2)2=(a+2)(a-2)a+1⋅a+1(a+2)2=a-2a+2，当a=9+|-2|-12-1=3+2-2=3时，原式=3-23+2=15．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．考向5二次根式的概念与性质1.二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例引领1.(2022·广东广州·中考真题)代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x<-1D.x≤-1【答案】B【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：由题意可知：x+1>0，∴x>-1，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．2.(2022·河北·中考真题)下列正确的是()A.4+9=2+3B.4×9=2×3C.94=32D. 4.9=0.7【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D. 4.9≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3.(2022·四川遂宁·中考真题)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2 =．【答案】2【分析】利用数轴可得出-1<a<0，1<b<2，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：-1<a<0，1<b<2，则a+1>0,b-1>0,a-b<0∴a+1-b-12+a-b2=|a+1|-|b-1|+|a-b|=a+1-(b-1)-(a-b)=a+1-b +1-a+b=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．变式拓展1.(2020·山东济宁市·中考真题)下列各式是最简二次根式的是()A.13B.12C.a2D.53【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、13是最简二次根式，故选项正确；B、12=23，不是最简二次根式，故选项错误；C、a2=a ，不是最简二次根式，故选项错误；D、53=153，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.(2022·四川南充·中考真题)若8-x为整数，x为正整数，则x的值是．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8-x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8-x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8-x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．3.(2022·山东聊城·中考真题)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为()A.0.4×102m/sB.0.8×102m/sC.4×102m/sD.8×102m/s【答案】D【分析】把a=5×105m/s2，s=0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102m/s，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．考向6二次根式的运算1.二次根式的运算(1)二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．(2)二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．(3)二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)．2.比较分式与二次根式的大小(1)分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；(2)二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例引领1.(2022·湖北武汉·中考真题)下列各式计算正确的是()A.2+3=5B.43-33=1C.2×3=6D.12÷2=6【答案】C【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．【详解】解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；B、43-33=3原计算错误，该选项不符合题意；C、2×3=6正确，该选项符合题意；D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2.(2022·重庆·中考真题)估计3×(23+5)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间【答案】B【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9<15<16，从而判定即可．【详解】3×(23+5)=6+15，∵9<15<16，∴3<15<4，∴9<6+15<10，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．3.(2022·上海·中考真题)计算：|-3|-13-12+23-1-1212【答案】1-3【分析】原式分别化简|-3|=3，1 3-12=3，23-1=3+1，1212=23，再进行合并即可得到答案．【详解】解：|-3|-13-12+23-1-1212=3-3+3+1-23=1-3【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．变式拓展1.(2022·贵州毕节·中考真题)计算8+|-2|×cos45°的结果，正确的是()A.2B.32C.22+3D.22+2【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解：8+|-2|×cos45°=22+2×22=22+2=32．故选：B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.(2021·湖南常德市·中考真题)计算：5+12-1⋅5+12=()A.0B.1C.2D.5-12【答案】C 【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：5+12-1 ⋅5+12=5-12⋅5+12=5-12=2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．3.(2022·内蒙古通辽·中考真题)计算：2⋅6+41-3 sin60°-12-1．【答案】4【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式=23+43-1 ×32-2=23+6-23-2=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．考向7二次根式与分式中的探究规律问题典例引领1.(2022·湖南常德·中考真题)我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，⋯，6+6+6+⋯+6+6+3=3n 个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足b +b +b +⋯+b +b +a =a n 个根号时，称a ,b 为一组完美方根数对．如上面3,6 是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12 是完美方根数对；②9,91 是完美方根数对；③若a ,380 是完美方根数对，则a =20；④若x ,y 是完美方根数对，则点P x ,y 在抛物线y =x 2-x 上．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：∵12+4=4，∴4,12 是完美方根数对；故①正确；∵91+9=10≠9∴9,91 不是完美方根数对；故②不正确；若a ,380 是完美方根数对，则380+a =a 即a 2=380+a 解得a =20或a =-19∵a 是正整数则a =20故③正确；若x ,y 是完美方根数对，则y +x =x ∴y +x =x 2,即y =x 2-x 故④正确故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．2.(2022·四川眉山·中考真题)将一组数2，2，6，22，⋯，42，按下列方式进行排列：2，2，6，22；10，23，14，4；⋯若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2∴27的位置记为(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．3.(2022·四川达州·中考真题)人们把5-12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+2 1+b2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：∵a=5-12，b=5+12，∴ab=5-12×5+12=1，∵S1=11+a +11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=100∴S1+S2+⋯+S100=1+2+⋯⋯+100=5050故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．变式拓展1.(2022·河南驻马店·模拟预测)斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n(n为正整数)个数a n可表示为15[1+52n-1-52 n，且连续三个数a n-1，a n，a n+1之间存在以下关系a n-1+a n=a n+1(n≥2)．①第1个数a1=1；②第2个数：a2=2；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第2017项的值是1．以上说法正确的有．(请把你认为正确的序号全都填上去)【答案】①②④【分析】将n=1和n=2代入15[1+52n-1-52 n即可求得a1和a2，再按照a n-1+a n=a n+1可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列'中的每一项除以4所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第2017项的值．【详解】①a1=151+52-1-52=15×5=1，故正确；②a2=15[1+522-1-52 2=15×5=1，故错误；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21，故正确；④1，1，2，3，5，8，13，21除以4所得的余数分别是1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，⋯，2017÷6=336⋯1，故在新数列中，第2017项的值是1，故正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．2.(2021·四川眉山市·中考真题)观察下列等式：x 1=1+112+122=32=1+11×2；x 2=1+122+132=76=1+12×3；x 3=1+132+142=1312=1+13×4；⋯⋯根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=．【答案】-12016【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1+1n 2+1(n +1)2，等式右边为1与1n (n +1)的和；利用这个结论得到原式=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021，然后把12化为1-12，16化为12-13，12015×2016化为12015-12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】解：由题意可知，1+1n 2+1(n +1)2=1+1n (n +1)，x 2020=1+12020×2021x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021=2020+1-12+12-13+⋯+12015-12016-2021=2020+1-12016-2021=-12016．故答案为：-12016．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．热点必刷1.(2022·黑龙江绥化·中考真题)若式子x +1+x -2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x >-1B.x ≥-1C.x ≥-1且x ≠0D.x ≤-1且x ≠0【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．2.(2022·广西桂林·中考真题)化简12的结果是()A.23 B.3C.22D.2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．【详解】解：12=4×3=22×3=23，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．。

2019年中考数学真题汇编:分式一、选择题1. (2019山东滨州)下列运算：①a2•a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B2. (2019天津)计算的结果为（）A. 1B. 3C.D.【答案】C3.(2019甘肃凉州)若分式的值为0，则的值是（）A. 2或-2B. 2C. -2D. 0【答案】A4.函数中，自变量x的取值范围是（）。

A. x≠0B. x＜1C. x＞1D. x≠1【答案】D5.若分式的值为0，则的值是（）A. 2B. 0C. -2D. -5【答案】A6.若分式的值为0，则x的值是（）A. 3B.C. 3或D. 0【答案】A二、填空题7.要使分式有意义，则的取值范围是________．【答案】 28.要使分式有意义，x的取值应满足________。

【答案】x≠19.使得代数式有意义的的取值范围是________．【答案】10.若分式的值为0，则x的值为________．【答案】-3三、解答题11.先化简，再求值：，其中.【答案】原式= = ，当时，原式= 。

12.计算：（1）（2）【答案】（1）解：原式= =（2）解：原式===13.先化简，再求值：，其中.【答案】解：原式∵x=2，∴= .14.先化简，再求值：（－）÷ ，其中x满足x2－2x－2=0.【答案】解：原式= ，= ，= ，∵x2-2x-2=0，∴x2=2x+2，∴= .15.计算：.【答案】解：原式== ﹒．16.先化简,再求值: ,其中是不等式组的整数解.【答案】解：原式= • ﹣= ﹣= ，不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，当x=4时，原式= ．.17.先化简，再求值：（xy2+x2y）× ，其中x=π0﹣（）﹣1，y=2sin45°﹣．【答案】解：原式=xy（x+y）• =x﹣y，当x=1﹣2=﹣1，y= ﹣2 =﹣时，原式= ﹣118.计算.【答案】解：19.已知（1）化简T。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-分式、最简分式、最简公分母的概念注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017重庆江津区，2，4分〕以下式子是分式的是〔〕A 、2xB 、1x x + C 、2x y + D 、x π考点：分式的定义。

分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母那么是分式，如果不含有字母那么不是分式、 解答：解：∵2x ，2xy +，x π的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式、1x x +分母中含有字母，因此是分式、应选B 、点评：此题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以x π不是分式，是整式、2.〔2017四川眉山，7，3分〕化简mm n m n -÷-2)(的结果是〔〕 A 、﹣m ﹣1 B 、﹣m+1C 、﹣mn+m D 、﹣mn ﹣n考点：分式的乘除法。

专题：探究型。

分析：根据分式乘法及除法的运算法那么进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘、解答：解：原式=1)1()(+-=-⋅-m nm m m n 、 应选B 、点评：此题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分、3、〔2017•南充，8，3分〕假设分式12x x -+的值为零，那么x 的值是〔〕A 、0B 、1C 、﹣1D 、﹣2考点：分式的值为零的条件。

专题：计算题。

分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，那么可得x ﹣1=0且x+2≠0，从而解决问题、解答：解：∵x ﹣1=0且x+2≠0，∴x=1、应选B 、点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点、.4.2017四川遂宁，2，4分〕以下分式是最简分式的〔〕 Ａ、b a a 232B 、a a a 32-C 、22b a b a ++D 、222b a aba -- 考点：最简分式；分式的基本性质；约分。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017江苏淮安，6，3分〕某地区连续5天的最高气温〔单位：℃〕分别是30,33,24,29,24.这组数据的中位数是〔〕A.29B.28C.24D.9考点：中位数。

专题：计算题。

分析：求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数、解答：解：数据排序为：24、24、29、30、33，∴中位数为29，应选A、点评：注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数、如果数据有奇数个，那么正中间的数字即为所求；如果是偶数个，那么找中间两位数的平均数、2.〔2017盐城，7，3分〕某市6月上旬前5天的最高气温如下〔单位：℃〕：28，29，31，29，32、对这组数据，以下说法正确的选项是〔〕A.平均数为30B.众数为29C.中位数为31D.极差为5考点：方差；算术平均数；中位数；众数.专题：计算题.分析：分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可、解答：解：x=29.8，∵数据29出现两次最多，∴众数为29，中位数为29，极差为：32﹣28=4、故B、点评：此题考查了平均数、中位数及众数的定义，特别是求中位数时候应先排序、3.〔2017江苏苏州，5，3分〕有一组数椐：3，4，5，6，6，那么以下四个结论中正确的选项是〔〕A、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6B、这組数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5C、这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5D、这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6考点：众数；算术平均数；中位数、专题：计算题、分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于众数可由数据中出现次数最多的数写出；对于中位数，因为题中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数〔或最中间的两个数〕即可，此题是最中间的一个数、解答：解：一组数椐：3，4，5，6，6的平均数=〔3+4+5+6+6〕÷5=24÷5=4.8、6出现的次数最多，故众数是6、按从小到大的顺序排列，最中间的一个数是5，故中位数为：5、应选C、点评：此题考查平均数、中位数和众数的概念、一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据〔或中间两数据的平均数〕叫做中位数、A 、40＜m ≤50B 、50＜m ≤60C 、60＜m ≤70D 、m ＞70考点：中位数。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-反比例函数意义，比例系数k 的几何意义注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.如果反比例函数〔k 是常数，k ≠0〕的图象经过点〔-1，2〕，那么这个函数的解析式是y=-、考点：待定系数法求反比例函数解析式、 专题：待定系数法、分析：根据图象过〔-1，2〕可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等、 解答：解：把〔-1，2〕代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=-，故答案为：y=-，点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点、 2.〔2017江苏扬州，6，3分〕某反比例函数的图象经过点〔-1,6〕，那么以下各点中，此函数图象也经过的点是〔〕A.〔-3,2〕B.〔3,2〕C.〔2，3〕D.〔6,1〕 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。

专题：函数思想。

分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是〔﹣1〕×6=﹣6的，就在此函数图象上、 解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：〔﹣1〕×6=﹣6，∴以下四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项；A 、〔﹣3〕×2=6，故本选项正确；B 、3×2=6，故本选项错误；C 、2×3=6，故本选项错误；D 、6×1=6，故本选项错误； 应选A 、 点评：此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数、3.〔2017重庆江津区，6，4分〕如图，A 是反比例函数k y x的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABC 的面积是3，那么k 的值是〔〕A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6 考点：反比例函数系数k 的几何意义。

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k |、解答：解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k |＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0， 那么k ＝6、 应选C 、点评：此题主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为12|k |，是经常考查的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义、 4.〔2017•吉林〕反比例函数的图象如下图，那么k 的值可能是〔〕A 、﹣1B 、C 、1D 、2 考点：反比例函数的图象。

2.（2019·达州）a是不为1的有理数，我们把1为11（-1）2A.5B.-13.（2019·眉山）化简 a-⎪÷的结果是a⎭aa-bD．4.（2019·天津）计算2a一、选择题2．（2019·江西）计算11÷(-a a2知识点08分式)的结果为（）A.aB.-aC.-11D. a3a32．（2019·衡阳）如果分式1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（x+1A.x≠－1B.x＞－1C.全体实数D.x＝－1 8．（2019·陇南）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（））A．①B．②C．③D．④1.(2019·聊城)如果分式x-1x+1的值为0,那么x的值为A.－1B.1C.－1或1D.1或01称为a的差倒数，如2的差倒数为1-a1-2=-1，-1的差倒数1=，已知a=5，a是a差倒数，a是a差倒数，a是a差倒数，以此类推……，a 1213243（）44C. D.435⎛b2⎫a-b⎝2019的值是A．a-b B．a+b C．12+的结果等于a+1a+11 a+bA.2B.2a+2C.1D.4a a+15.（2019·湖州）计算a-1+1，正确的结果是（）a aA．1B．11C．a D．2a⎪⎪4 2 7. （2019·重庆 A 卷）若关于 x 的一元一次不等式组 ⎨ 的解集是 x ≤ a ，且关于 y 的分式方程⎪ < x + 2 - = 1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）1. （2019·怀化）计算： x • 6.(2019·宁波) 若分式 1 x - 2有意义,则 x 的取值范围是A.x>2B.x ≠2C.x ≠0D.x ≠－2⎧ 11 x - (4a - 2) ≤ 3x - 1 ⎪⎩ 22 y - a y - 4y - 1 1 - yA ．0B ．1C ．4D ．6二、填空题8．(2019·泰州) 若分式 1 2 x - 1有意义,则 x 的取值范围是______.11．（2019·山西）化简 2 x x -x - 1 1 - x的结果是________.16．（2019·衡阳）计算： 1 1＋ ＝ ．x -1 1 - x13．（2019·武汉） 计算2aa 2 -16 - 1 的结果是___________．a - 41- =．x -1 x -12. （2019·滨州）观察下列一组数：a 1＝ ，a 2＝ ，a 3＝ ，a 4＝，a 5＝ ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 a n ＝____________．（用含 n 的式子表示）3. （2019·衢州） 计算： 三、解答题1 2+ = . a a19．（2019 山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（（n ﹣3）2＝0．﹣ ）÷（ ﹣ ）（ + +2），其中 +18.（2019·遂宁）先化简，再求值 a 2 - 2ab + b 2 a 2 - ab 2÷ -a 2 -b 2 a a + b，其中 a,b 满足（ a - 2) 2 + b + 1 = 0化简： 4x( )- - 1 = 4x - 2(x + 2) - x2 - 421 ．（ 2019 山东滨州， 21， 10 分） 先化简，再求值：（－ ）÷ ，其中 x 是不等式组的整数解．17．（2019·嘉兴）小明解答“先化简，再求值：+ ，其中 x ＝+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．17. （2019 浙江省杭州市，17，6 分）(本题满分 6 分)2 - -1x 2 - 4 x - 2圆圆的解答如下： 4x 2x 2 - 4 x - 2= - x 2 + 2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.) ÷ 元／千克，用含有 m 、n 、a 、b 的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价 x 、 x .比较 x 、 x 的大小，（19．（2019 山东烟台，19，6 分）7 2 x 2 - 8x先化简 ( x + 3 -，再从 0≤x ≤4 中选一个适合的整数代入求值．x - 3 x - 326．（2019 江苏盐城卷，26，12）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的 菜，两人每次买菜的单价相同，例如：（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价． 均价＝总金额÷总质量） 【数学思考】设甲每次买质量为 m 千克的菜，乙每次买金额为 n 元的菜，两次的单价分别是 a 元／千克、b甲乙甲乙并说明理由.【知识迁移】某船在相距为 s 的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为 v 所需时间为 t ： 1如果水流速度为 p 时（p ＜v ），船顺水航行速度为（v +p ），逆水航行速度为（v-p ），所需时间为 t 请借鉴上2面的研究经验，比较 t 、 t 的大小，并说明理由.12m - n m 2 + n 216．（2019·青岛）化简： ÷（ -2n ）m mx-1x-3）÷（－1）．21．（2019·苏州）先化简，再求值：x-3⎪，其中x=2-3.÷ 1-20．（2019·株洲）先化简，再求值：a2-a a+11-，其中a＝．(a-1)2a219．（2019·常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（－x2+x x2-12x2+x+1 x2-x20．（2019·长沙）先化简，再求值：(a+31a2+4a+4-)÷a-1a-1a2-a，其中a=3．⎛6⎫x2+6x+9⎝x+3⎭18．（2019·淮安）先化简，再求值：a2-42÷(1-)，其中a=5.a a2. (2019·台州) 先化简,再求值： 3x+ - ⎪ ，其中 a = 2 - 1， b = 2 + 1 ⎛ 5a + 3b 8b ⎫ 1 ⎪ ÷ 2 ⎝ a - a b 2 - a 2 ⎭ a 2b - ab 21. （2019·重庆 B 卷）计算：（2）m -1+ 2m - 6 ÷ 3 1- ,其中 x ＝ .x 2 - 2x + 1 x 2 - 2x + 1 220．（2019·娄底）先化简，再求值：a 2 - 2ab + b 2 ⎛ 1 1 ⎫ a - b ⎝ b a ⎭17．（2019·黄冈）先化简，再求值.2+ ，其中a ＝2，b ＝1.2m + 2÷m 2 - 9 m + 3 .x 2 - 2 x + 1 x 2 - x2. （2019·乐山）化简： .x 2 - 1 x + 1x 2 - y 2 1÷+ 1⎪ ,其中,x 为整数且满足不等式组 ⎨ 6.(2019·泰安)先化简,再求值: a - 9 + ⎪ ÷ a - 1 - ⎪ ,其中,a ＝ 2 .7. (2019·聊城)计算：1 - ⎪ ÷3. （2019·达州）先化简：（ x - 2 x -1 4 - x- ) ÷ ， 再选取 一个适当的 x 的值代入求值.x 2 + 2x x 2 + 4x + 4 x4. (2019·巴中)已知实数 x,y 满足 x - 3 +y 2－4y+4＝0,求代数式赘 xy x 2 - 2xy + y 2xx 2 y - xy 2的值.5. (2019·枣庄)先化简,再求值: x 2 ⎛ 1 ⎫ ⎧ x - 1 > 1x 2 - 1 ⎝ x - 1 ⎭ ⎩5 - 2x ≥ -2.⎛ 25 ⎫ ⎛ 4a - 1 ⎫ ⎝a + 1 ⎭ ⎝ a + 1 ⎭⎛ 16 ⎫ a + 3 + ⎝ a + 3 a 2 - 9 ⎭ a 2 - 6a + 9 .x-4)÷20．（2019·益阳）化简：(x2+4x2-42x.8.（2019·滨州）先化简，再求值：（－）÷，其中x是不等式组数解．的整【解析】1（-=-==B.1C.－1或12.（2019·达州）a是不为1的有理数，我们把1为11（-1）2一、选择题2．（2019·江西）计算11÷(-a a2知识点08分式)的结果为（）A.aB.-aC.-11D.a3a3【答案】B11÷(-)=⋅(-a2)=-a.a a2a2．（2019·衡阳）如果分式1x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≠－1B.x＞－1C.全体实数D.x＝－1【答案】A．【解析】由分式1在实数范围内有意义，得x＋1≠0，所以x≠－1故选A．x+18．2019·陇南）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）A．①B．②C．③D．④【答案】Bx y x(x+y)y(x-y)x2+xy-xy+y2x2+y2【解题过程】，故第②步出现问x-y x+y(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)x2-y2题，故选：B．1.(2019·聊城)如果分式x-1x+1的值为0,那么x的值为A.－1 D.1或0【答案】B【解析】要想使分式的值为零,应使分子为零,即|x|－1＝0,分母不为零,即x+1≠0,∴x＝1,故选B.1称为a的差倒数，如2的差倒数为1-a1-2=-1，-1的差倒数1=，已知a=5，a是a差倒数，a是a差倒数，a是a差倒数，以此类推……，a1213243（）2019的值是B.5 B.-144C. D.435【答案】D【解析】∵a=5，a是a的差倒数，121∴a=11-54，1-1-根据规律可得a以5，-12019=4，55.3.（2019·眉山）化简 a-⎪÷的结果是a⎭aa-bD．4.（2019·天津）计算2a【解析】∵a-111 =-2∵a是a的差倒数，a是a的差倒数，3243∴a=314=1（-）54，∴a=1445=5，44为周期进行循环，因为2019=673×3，所以an⎛b2⎫a-b⎝A．a-b B．a+b C．1【答案】B1 a+b【解析】原式=a2-b2a⨯a a-b=a+b，故选B.2+的结果等于a+1a+1A.2B.2a+2C.1D.4a a+1【答案】A【解析】先同分母分式计算，分母不变把分子相加减；再把公因式（a+1)进行约分,故选A.5.（2019·湖州）计算a-1+1，正确的结果是（）a aA．1B．11C．a D．2a【答案】A．a-1+1a+＝＝＝1，∴选A．a a a a⎪⎪4 2 7. （2019·重庆 A 卷）若关于 x 的一元一次不等式组 ⎨ 的解集是 x ≤ a ，且关于 y 的分式方程⎪ < x + 2 - = 1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）【解析】原不等式组可化为 ⎨，而它的解集是 x ≤ a ，从而 a ＜5；对于分式方程两边同乘以 y －1，得 2y －a x < 5⎪⎪ 2 ≥ 0＋y －4＝y －1，解得 y ＝ ．而原方程有非负整数解，故 ⎨ 且 为整数，从而在 a ≥－3 且 a ≠⎪≠ 1 a + 3 有意义,需要使 2x －1≠0,所以 x ≠ .【解析】 - = =6.(2019·宁波) 若分式 1 x - 2有意义,则 x 的取值范围是A.x>2B.x ≠2C.x ≠0D.x ≠－2【答案】B【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即 x －2≠0,∴x ≠2,故选 B.⎧ 11 x - (4a - 2) ≤ 3x - 1 ⎪⎩ 22 y - a y - 4y - 1 1 - yA ．0B ．1C ．4D ．6【答案】B ．⎧ x ≤ a⎩⎧ a + 3 a + 3 a + 32 2 ⎪⎩ 2－1 且 a ＜5 的整数中，a 的值只能取－3、1，3 这三个数，它们的和为 1，因此选 B ．二、填空题8．(2019·泰州) 若分式【答案】x ≠ 121 2 x - 1有意义,则 x 的取值范围是______.【解析】要使分式 1 12 x - 1 211．（2019·山西）化简 2 x x -x - 1 1 - x的结果是________.【答案】 3xx - 1 2x x 2x + x 3xx - 1 1 - x x - 1 x - 1 .16．（2019·衡阳）计算： 【答案】11 1＋ ＝ ． x -1 1 - x【解析】 x 1 x 1 x -1＋ ＝ － ＝ ＝1，故答案为 1．x -1 1 - x x -1 x -1 x -113．（2019·武汉） 计算 2a a 2 -16 -1 a - 4的结果是___________．【答案】1a + 4【解析】原式＝2a(a+4（a-4）(a+4（a-4）＝)(a+4（a-4）＝)(a+4（a-4）（a+4）．))以第n个数a n=·(2n+1)2(2n+1)22（••a+42a-a-4a-41 -＝1.（2019·怀化）计算：【答案】1.x1-=．x-1x-1【解析】x1x-1-==1. x-1x-1x-1故答案为1.2.（2019·滨州）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝____________．（用含n的式子表示）【答案】n(n+1) 2(2n+1)【解析】这组分数的分子分别为1，3=2+1，6=3+2+1，10=4+3+2+1，15=5+4+3+2+1，…，则第n个数的分子为n(n+1)2；分母分别为3=2+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…，则第n个数的分母是2n+1，所n(n+1)1n(n+1)=．3.（2019·衢州）计算：1+=.a a【答案】3 a【解析】由同分式加法法则得三、解答题123+=.a a a19．2019山东省德州市，19，8）先化简，再求值：（（n﹣3）2＝0．【解题过程】（﹣）÷（﹣）（+﹣）÷（﹣）（++2），其中+ +2）＝÷•解： 原式 = ⨯ - - （a + b （a - b ） aa +b = a + b a - b a + b = a + b （ ＝ • • ＝﹣ ．∵+（n ﹣3）2＝0．∴m +1＝0，n ﹣3＝0，∴m ＝﹣1，n ＝3．∴﹣∴原式的值为 ．＝﹣ ＝ ．18. （2019·遂宁）先化简，再求值 a 2 - 2ab + b 2 a 2 - ab 2÷ -a 2 -b 2 a a + b，其中 a,b 满足（ a - 2) 2 + b + 1 = 0(a - b )2 a(a - b ) 2 a - b 1 2 1÷ - )∵（ a - 2) 2 + b + 1 = 0 ∴a=2,b=-1,∴原式=-121 ．（ 2019 山东滨州， 21， 10 分） 先化简，再求值：（ － ）÷ ，其中 x 是不等式组的整数解．【解题过程】解：原式＝[－ ]•＝•＝，………………………………………………………………………………5 分解不等式组，得 1≤x ＜3，…………………………………………………………7 分则不等式组的整数解为 1、2．……………………………………………………8 分当 x=1 时，原式无意义；…………………………………………………………9 分当 x ＝2，∴原式＝ ．……………………………………………………………10 分17． 2019·嘉兴）小明解答“先化简，再求值：+ ，其中 x ＝+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．+ = = ，当 x = 3 + 1 时，原式= = . 化简： 4x( )- - 1 = 4x - 2(x + 2) - x2 - 4 =⎢ -) ⨯ ) ÷ ⎦解：步骤①②有误.原式=x - 1 2 x + 1 1 1 3( x + 1)(x - 1) ( x + 1)(x - 1) ( x + 1)(x - 1) x - 1 3 317. （2019 浙江省杭州市，17，6 分）(本题满分 6 分)2 - -1x 2 - 4 x - 2圆圆的解答如下： 4x 2x 2 - 4 x - 2= - x 2 + 2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 【解题过程】圆圆的解答错误，正确解法：- -1= - -== =- ．19．（2019 山东烟台，19，6 分）7 2 x 2 - 8x先化简 ( x + 3 - ，再从 0≤x ≤4 中选一个适合的整数代入求值．x - 3 x - 3【解题过程】7 2 x 2 - 8x( x + 3 -) ÷x - 3 x - 3⎡ ( x + 3)(x - 3)7 ⎤ x - 3 ⎣ x - 3 x - 3 ⎥ 2 x 2 - 8x= =( x + 4)( x - 4) x - 3 ⨯ x - 3 2 x ( x - 4)x + 4 2 x因为⎨2x2-8x≠0，所以x不能取0，3，4，考虑到0≤x≤4中选一个整数，故x只能取1或2，⎪2x≠0（2）根据“均价＝总金额÷总质量”，x＝（3+2）÷（1+1）＝2.5；x=（3+3）÷（1+1.5）＝2.4.（；x=（n+n）÷（+）＝.2a b a+b2stv,2v+p v-p,v-(v+p+v-p)=v(v+p)(v-p)v(v+p)(v-p)＜0⎧x-3≠0⎪⎩①当x=1时，原式=1+45=2⨯12②当x=2时，原式=2+43=2⨯22（注意：①与②只写一种即可）26．（2019江苏盐城卷，26，12）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：（1）完成上表；（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．均价＝总金额÷总质量）【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元／千克、b元／千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价x、x.比较x、x的大小，甲乙甲乙并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v所需时间为t：1如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v-p），所需时间为t请借鉴上2面的研究经验，比较t、t的大小，并说明理由.12【解题过程】解：（1）2, 1.5.根据“均价＝总金额÷总质量”.菜价2元/千克，买1千克菜就是2元；3元钱能买1.5千克菜.甲乙【数学思考】x＝（am+bm）÷（m+m）＝甲a+b n n2ab乙【知识迁移】t-t12＜0，理由如下：t1=s s=+t-t12=2s s s2s(v+p)(v-p)+sv(v-p)+sv(v+p)-2sp2=即 1 ＜ t .m （ 2 (a - 1)2 a a-1 a a(a - 1) a(a - 1）a x - 1 x - 3）÷（ －1）．（ x (x + 1)(x - 1) x (x + 1)(x - 1) x 2 - x x + 1 x (x - 1) 1x (x + 1)(x - 1) (x + 1)2 (x + 1)2 中，得原式＝ (3 + 1)2 ＝ （ a + 2 a(a -1) 1 1 121．（2019·苏州） 先化简，再求值： x - 3 ⎪ ，其中 x = 2 - 3 . ÷ 1 - (x + 3)2÷t 2m - n m 2 + n 216．（2019·青岛）化简： ÷（ -2n ）m m【解题过程】解：原式=m - n 1· =m (m - n )2 m - n20． 2019·株洲）先化简，再求值： a 2 - a a + 1 1- ，其中 a ＝ ．(a - 1)2 a 21 （a-1) a + 1 a a + 1 a2 - (a - 1)(a + 1)1 【解题过程】a ＝ = - = - = =，1当 a ＝ 2 时，上式= -4.19． 2019·常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（－ x 2 + x x 2 - 12x 2 + x + 1 x 2 - x(x - 1)2 x (x - 3) 2x 2 + x + 1 - x 2 + x【解题过程】解：原式＝（ － ）÷＝ · ＝(x + 1)2取 x ＝3 代入1 1 1 1620． 2019·长沙）先化简，再求值： ( a + 3 1 a 2 + 4a + 4 - ) ÷a -1 a -1 a 2 - a，其中 a =3．【解题过程】原式= a -1 (a+ 2)2 a+ 23 +2 5⨯ = ，当 a =3 时，原式= = .⎛6 ⎫ x 2 + 6x + 9 ⎝x + 3 ⎭解：原式=x - 3x - 3 x - 3 x + 3 1= ⨯ = ，x + 3 (x + 3)2 x - 3 x + 3当 x = 2 - 3 时，原式=1 2 - 3 + 3 = 1 2 = 2 2.18．2019·淮安）先化简，再求值：a2-42÷(1-)，其中a=5.a a【解题过程】解：a2-42a2-4a2a2-4a-2÷(1-)=÷(-)=÷a a a a a a a（2.(2019·台州)先化简,再求值：3xx2-2x+1(x-1)2x-13(x-1)+ -⎪，其中a=2-1，b=2+1（＝a2-2ab+b2a-b+a-b⎝⎭（⎝a-a2+⎪÷1a2-a2·ab（a+b）=5ab，m2-9÷m2-9÷(m+3)(m-3)÷2(m+1)a2-4a(a+2)(a-2)a=⋅=⋅a a-2a a-2=a+2.31-,其中x＝.x2-2x+1x2-2x+12解：原式＝3x-33==3,当x＝时,原式＝x-1＝－6.20．2019·娄底）先化简，再求值：解：∵a=2-1，b=2+1，a2-2ab+b2⎛11⎫a-b⎝b a⎭∴a-b=(2-1)-(2+1)=-2，ab=(2-1)(2+1)=1⎛11⎫a-b+ b-a⎪=(a-b)2ab=a-b+a-b ab=-2+-2 1=-4 17．2019·黄冈）先化简，再求值.⎛5a+3b28b⎫b2-a2⎭a2b-ab2，其中a＝2，b＝1.【解题过程】原式＝5a-5b 当a＝2，b＝1时，原式＝221.（2019·重庆B卷）计算：（2）m-1+2m-62m+2m+3.解：m-1+2m-62m+2m+3=m-1+2(m-3)m+3=m-1+2(m-3) (m+3)(m-3)=m-1+1m+1m+32(m+1)÷ = 解：原式=⎢⎡ x - 2 ( x + 2)2 ⎥⎦ 4 - x= x - 4 9. 2 2 x 2 - y 2 1赘 1xy (x - y ) x x 3÷+ 1⎪ ,其中,x 为整数且满足不等式组 ⎨ (x + 1)(x - 1) x - 1 (x + 1)(x - 1) x x + 1 =(m +1)(m - 1) + 1m + 1==m 2 -1+1 m +1m 2 m + 1 .x 2 - 2 x + 1 x 2 - x2. （2019·乐山）化简： .x 2 - 1 x + 1( x - 1) 2 x( x -1) ( x - 1) x + 11 解：原式 = ÷ ×= . ( x + 1)( x - 1) x + 1 ( x + 1) x( x - 1) x3. （2019·达州）先化简：（ x - 2 x -1 4 - x- ) ÷ ， 再选取 一个适当的 x 的值代入求值.x 2 + 2x x 2 + 4x + 4 x⎣ x( x + 2) x - 1 ⎤ x - ⨯= x 2 - 4 - x 2 + x x ⨯x( x + 2) 2 4 - xx⨯x( x + 2)2 4 - x=-1（x + 2） .-11当 x=1 时， = - （x + 2）4. (2019·巴中)已知实数 x,y 满足 x - 3 +y 2－4y+4＝0,求代数式赘 xy x 2 - 2xy + y 2xx 2 y - xy 2的值.解：因为实数 x,y 满足 x - 3 +y 2－4y+4＝0,即 x - 3 +(y －2)2＝0,所以 x －3＝0,y －2＝0,所以 x ＝3,y ＝2,原式＝(x + y )( x - y ) xy (x - y )2x x +y x +y 5＝ ,把 x ＝3,y ＝2 代入可得:原式＝ ＝ .5. (2019·枣庄)先化简,再求值: x 2 ⎛ 1 ⎫ ⎧ x - 1 > 1x 2 - 1 ⎝ x - 1 ⎭ ⎩5 - 2x ≥ -2 .解：原式＝ x 2 1 + x - 1 x 2 x - 1 x÷ = ⋅ =7 ,解不等式组,得 2 < x ≤ ,取 x ＝3,代入原式可得原式 2x+1＝6.(2019·泰安)先化简,再求值: a-9+25⎫÷⎛a-1-4a-1⎫⎪,其中,a＝2.⎝a+1+a+1⎭⎝a+1-＝ +⎪a+1÷＝(a-4)2a＝7.(2019·聊城)计算：1-⎪(a+3)(a-3)⨯x-4)÷（x-4)÷=(x-2)2=2(x-2)＝x33+1＝34.⎛⎝a+1⎭⎝a+1⎭⎛(a-9)(a+1)25⎫⎛(a-1)(a+1)4a-1⎫解：原式＝ ⎪÷ ⎪a+1⎭⎛a2-8a-925⎫⎛a2-1⎪÷⎝a+1a+1⎭⎝a+1-4a-1⎫a+1⎭＝a2-8a+16a2-4aa+1 a+1⨯＝a-4a.a+1a(a-4)当a＝2时,原式＝a-42-42-42＝2＝1-22.⎛1⎝a+3+6⎫a+3÷a2-9⎭a2-6a+9.解：原式＝1-a-3+6(a-3)2a+3=1-a-36a+3=a+3.20．2019·益阳）化简：(x2+4x2-42x.【解题过程】解：(x2+4x2-42x=(x2+4x-4x x2-4x2-4x+42xx)÷2x=x⋅x2-42xx⋅(x+2)(x-2)2x-4 (x+2)=x+2.8.（2019·滨州）先化简，再求值：（－）÷，其中x是不等式组数解．解：原式＝[－]•＝•的整＝，………………………………………………………………………………5分解不等式组，得1≤x＜3，…………………………………………………………7分则不等式组的整数解为1、2．……………………………………………………8分当x=1时，原式无意义；…………………………………………………………9分当x＝2，∴原式＝．……………………………………………………………10分。

一、选择题1. (2019山东聊城,3,3分) 如果分式11x x -+的值为0,那么x 的值为 A.－1 B.1 C.－1或1 D.1或0【答案】B【解析】要想使分式的值为零,应使分子为零,即|x|－1＝0,分母不为零,即x+1≠0,∴x ＝1,故选B. 【知识点】分式的定义2. （2019四川达州，题号8，3分）a 是不为1的有理数，我们把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-2-11=，-1的差倒数为211--11=）（，已知51=a ，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2019a 的值是（ ）A. 5B. 41-C.34D.54【答案】D【思路分析】51=a ，则415112-=-=a ，5441-113=-=）（a ，554114=-=a ，根据规律可得n a 以5、41-、54为周期进行循环，因为2019=673×3，所以542019=a 【解题过程】∵51=a 2a 是1a 的差倒数 ∴415112-=-=a ∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数 ∴5441-113=-=）（a ∴554114=-=a根据规律可得n a 以5、41-、54为周期进行循环，因为2019=673×3，所以542019=a【知识点】倒数、找规律3. （2019四川省眉山市，7，3分） 化简2b a ba a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是A ．a -bB ．a +bC ．1a b- D ．1a b+ 【答案】B【解析】解：原式=22a b aa a b-⨯-=a+b ，故选B. 【知识点】分式的运算4. （2019天津市，7，3分）计算121a 2+++a a 的结果等于 (A) 2 (B) 2a+2 (C) 1 (D)1a 4+a【答案】A【解析】先同分母分式计算，分母不变把分子相加减；再把公因式（a+1)进行约分, 所以选A【知识点】分式的运算.5. （2019浙江湖州，3，3）计算11a a a-+，正确的结果是（ ） A ．1 B ．12 C ．a D ．1a【答案】A ． 【解析】∵11a a a -+＝11a a -+＝aa＝1，∴选A ． 【知识点】分式的运算6.(2019浙江宁波,4题,4分) 若分式12x -有意义,则x 的取值范围是 A.x>2 B.x ≠2 C.x ≠0D.x ≠－2 【答案】B【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即x －2≠0,∴x ≠2,故选B. 【知识点】分式7. （2019重庆A 卷，11，4）若关于x 的一元一次不等式组11(42)423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程24111y a y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 （ ） A ．0 B ．1 C ．4 D ．6 【答案】B ．【解析】原不等式组可化为5x ax ≤⎧⎨<⎩，而它的解集是x ≤a ，从而a ＜5；对于分式方程两边同乘以y －1，得2y －a＋y －4＝y －1，解得y ＝32a +．而原方程有非负整数解，故302312a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩且32a +为整数，从而在a ≥－3且a ≠－1且a ＜5的整数中，a 的值只能取－3、1，3这三个数，它们的和为1，因此选B ．【知识点】一元一次不等式组；分式方程8. （2019四川南充，7，4分）化简：212(11a a a +-=++ )A ．1a -B ．1a +C ．11a a -+D ．11a + 【答案】A【解析】解：原式211a a -=+(1)(1)1a a a +-=+1a =-，故选：A ． 【知识点】分式的加减法9.（2019甘肃武威，8，3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B 【解析】解：x yx y x y--+ ()()()()()()x x y y x y x y x y x y x y +-=--+-+ 22()()x xy xy y x y x y +-+=-+ 2222x y x y +=-． 故从第②步开始出现错误， 故选B ．【知识点】分式的加减10. （2019江苏扬州，3，3分）.分式13x-可变形为( ) A ．13x+ B ．13x-+ C ．13x - D ．13x --【答案】D【解析】解：分式13x-可变形为：13x--．故选：D．【知识点】分式的基本性质11.（2019山东菏泽，9，3分）计算a﹣1的正确结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：原式，，，故选A．【知识点】分式的加减法二、填空题1. （2019湖南怀化，13，4分）计算：111xx x---= ．【答案】1.【解析】解：111xx x---=11xx--=1.故答案为1.【知识点】分式的运算2. （2019山东滨州，20，5分）观察下列一组数：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a n＝____________．（用含n的式子表示）【答案】() ()1 221nn n++【思路分析】分别考虑这组数的分子和分母的规律，找出与序号之间的关系，从而求出第n个数．【解题过程】这组分数的分子分别为1，3=2+1，6=3+2+1，10=4+3+2+1，15=5+4+3+2+1，…，则第n个数的分子为()12n n+；分母分别为3=2+1，5=22+1，9=23+1，17=24+1，33=25+1，…，则第n个数的分母是2n+1，所以第n个数a n=()12n n+·()121n+=()()1221nn n++．【知识点】数字类规律探究问题3. （2019浙江省衢州市，10，4分） 计算：1a +2a= . 【答案】3a【解析】由同分式加法法则得1a +2a =3a。

知识点08 分式一、选择题1. （2018四川内江，6，3）已知：1a －1b ＝13，则ab b a-的值是（ ） A ．13 B ．－13C ．3D ．－3【答案】C 【解析】解：∵1a －1b ＝b a ab-＝13，∴abb a -＝3．故选择C ． 【知识点】分式相加减；倒数2. （2018四川绵阳，6，3分） 等式1313+-=+-x x x x 成立的x 的取值范围在数轴上可表示为A B C D 【答案】 B【解析】解：由等式1313+-=+-x x x x 成立，可得⎩⎨⎧+≥-0103＞x x ，解得x ≥3.故选B.【知识点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集3. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a ＞b ＞0，且0312=-++a b b a ，则ab= 【答案】231+-【解析】解：由题意得：2b (b-a )+a (b-a )+3ab =0， 整理得：2(a b )2+ab 2-1=0， 解答ab =231±-，∵a ＞b ＞0，∴ab =231+-故答案为231+- 【知识点】分式的加减法，解一元二次方程4. （2018浙江金华丽水，4，3分）若分式33x x -+的值为0，则x 的值是（ ）． A ．3 B ．3- C ．3或3- D ．0 【答案】A ．【解析】分式33x x -+的值为0，则3=030x x -⎧⎨+≠⎩，，，解得x ＝3．故选A ．【知识点】分式的值为0的条件5.（2018甘肃白银，4，3）已知23a b=（00,a b ≠≠），下列变形错误的是（ ） A.23a b = B.23a b = C. 32b a = D.32a b = 【答案】B.【解析】:由已知比例式23a b=进行变形，然后对照选项逐一检查可知B 选项错误。

故选B【知识点】比例式的变形。

比例式的变形一定要满足比例的基本性质，比例内项之积等于比例外项之积。

专题8 分式专题详解专题8 分式专题详解 (1)15.1 分式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 分式的概念 (3)知识点2 分式的判定 (3)知识点3 分式的基本性质 (4)知识点4 分式的约分与通分 (5)二、典型题型 (7)题型1 分式有意义的条件 (7)题型2 分式值为0的条件 (7)题型3 分式值取正或负的判定 (7)题型4 利用分式的基本性质、改变分子、分母的系数 (8)三、难点题型 (9)题型1 分式的条件求值 (9)15.2 分式的运算 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 分式的乘除法法则 (10)知识点2 分式的加减法则 (11)知识点3 两式大小比较 (11)知识点4 幂的运算的扩大 (12)知识点5 科学记数法的扩大 (13)二、典型题型 (15)题型1 分式的混合运算 (15)题型2 分式的求值 (15)题型3 分式运算的简单方法 (16)题型4 根据幂的运算性质化简求值 (17)三、难点题型 (18)题型1 分式的运算技巧-裂项法 (18)题型2 含有几个相等分式问题的解法 (18)题型3 整式指数幂 (18)15.3 分式方程 (20)知识框架 (20)一、基础知识点 (20)知识点1 分式方程 (20)知识点2 解分式方程需验根 (20)知识点3 换元法解分式方程 (21)知识点4 十字相乘法 (22)二、典型题型 (23)题型1 列分式方程解应用题 (23)题型2 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围 (24)三、难点题型 (25)题型1 增根的讨论 (25)题型2 列分式解应用题（复杂） (25)15.1 分式知识框架一、基础知识点知识点1 分式的概念分式：A、B表示两个整式，且分母B中含有字母，叫作分式。

注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。

②整式B作为分母，则整式B≠0③只要最终能转化为形式即可。