高中数学人教a版必修一 第一章 集合与函数概念 评7 含答案

综合测评(一) 集合与函数概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2014·某某高考)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝( )A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}【解析】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，∴∁U A＝{2，4，7}．【答案】C2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A【解析】∵A＝{x∈N|－3≤x≤3}＝{0，1}，∴0∈A.【答案】B3．设集合A＝{－1，3，5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )A．{0，2，3} B．{1，2，3}C．{－3，5} D．{－3，5，9}【解析】将A中的元素－1代入得－3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.1 / 112 / 11【答案】D4．(2014·某某高一检测)下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝x －2，g (x )＝x 2－4x ＋2B ．f (x )＝|x |x，g (x )＝1 C ．f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1D ．f (x )＝12，g (x )＝（x －1）02【解析】D 中f (x )、g (x )的定义域不同，因此不是相等函数；而C 只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．【答案】A5．已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )A ．5B ．10C ．8D ．不确定 【解析】 ∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5，∴f (4)＋f (－4)＝10.【答案】B6．(2014·高考)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}3 / 11【解析】 ∵A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0，2}，B ＝{0，1，2}，∴A ∩B ＝{0，2}．【答案】C7．函数f (x )＝x|x |的图象是( )A B C D【解析】 由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，所以其图象为C. 【答案】C8．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4【解析】f (3x ＋2)＝9x ＋8＝3(3x ＋2)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.【答案】B4 / 11 9．(2013·某某高考)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9B.92 C ．3D.322【解析】（3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3， ∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.【答案】B10．若函数f (3－2x )的定义域为[－1，2]，则函数f (x )的定义域为() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1 B ．[－1，2] C.[]－1，5 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2【解析】 由－1≤x ≤2，得－1≤3－2x ≤5，故选C.【答案】C5 / 1111．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2【解析】 依题意，知满足f (a )＝1的实数a 必不超过零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1， 选A.【答案】A12．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【解析】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，选D. 【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设集合M ＝{x |x 是小于5的质数}，则M 的真子集的个数为________．【解析】 由题意可知M ＝{2，3}，∴M 的真子集有∅，{2}，{3}共3个．【答案】 36 / 1114．用列举法表示集合：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪10m ＋1∈Z，m ∈Z ＝________． 【解析】 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1，2，5，10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9. 【答案】 {－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}15．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值X 围是________．【解析】 ∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ，∴实数m 的取值X 围为[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)16．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________． 【解析】f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x ＝x ＋a x ＋a ＋1，因此有f (－x )＝－x ＋a －x＋a ＋1，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，即2a ＋2＝0，所以a ＝－1.【答案】 －1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |3x －1<x ＋5}，求：(1)A ∩B ；(2)∁U A ∪B .7 / 11【解】 (1)由已知得：B ＝(－∞，3)，A ＝[1，4)，∴A ∩B ＝[1，3)．(2)由已知得：∁U A ＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，∁U A ∪B ＝(－∞，3)∪[4，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2014·某某高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ≤0，4x ，x ＞0. (1)求f (f (－1))．(2)若f (x 0)＞2，求x 0的取值X 围．【解】 (1)因为f (－1)＝－(－1)＋3＝4，所以f (f (－1))＝f (4)＝4×4＝16.(2)当x 0≤0时，令2＜－x 0＋3，得x 0＜1，此时x 0≤0；当x 0＞0时，令2＜4x 0，得x 0＞12. 所以x 0≤0或x 0＞12. 19．(本小题满分12分)设全集U ＝{2，4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，某某数a 的值．8 / 11【解】 由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1∈U ，－1∉A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1， 解得a ＝4或a ＝2.当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意；当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去．综上，a 的值为2.20．(本小题满分12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解】 (1)设每天来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b .当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b .得到16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b .解得k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.(2)设每天来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意知，每天挂车厢最多时，运营人数最多，设每天运营S 节车厢，则S ＝xy ＝x (－2x ＋24)＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，所以当x ＝6时，S max ＝72，此时y ＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920(人)．9 / 11即这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920人．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[]1，4上的最大值与最小值．【解】 (1)f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1）. ∵x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1，4]上是增函数，∴最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1，1)时判断函数f (x )的单调性，并证明；(3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.【解】 (1)由题意可知f (－x )＝－f (x )，10 / 11 ∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b1＋x 2，∴b ＝0.∴f (x )＝ax1＋x 2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴a ＝1.∴f (x )＝x1＋x 2.(2)f (x )在(－1，1)上为增函数．证明：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，∴1－x 1x 2>0， 1＋x 21>0，1＋x 22>0，∴（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1，1)上为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )，word11 / 11 又f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13.∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U AB A B 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =+．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什的么？4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B中的元素是2； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素2相对应的A 中元素是45．（A ）（B ）（C ）（D ）。

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若2A x x x==，则1-_______A；{|}（3）若2=+-=，则3_______B；{|60}B x x x（4）若{|110}C x N x=∈≤≤，则8_______C，9.1_______C．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x-=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x=-+的图象的交点组成的集合；=+与26y x（4）不等式453x-<的解集．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c的所有子集．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉”符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． ．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ．。

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

高一数学必修一第一章课时作业 1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 一、基础过关1． 下列各项中，不可以组成集合的是( )A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； （2）未来世界的高科技产品构成一个集合； （3）1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；（4）某校的年轻教师．7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8． 已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9． 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.11．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．需要高中数学的朋友请加QQ ：182337727，有你想要的精心整理的导学案、专题训练、综合训练、单元试题第2课时 集合的表示一、基础过关1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．25． 用列举法表示下列集合：（1）A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________；（2）B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________； （3）C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }＝______. 6． 下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号)①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}； ③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }． 7． 用适当的方法表示下列集合．（1）方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；（2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； （3）不等式x －2>6的解的集合；（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．8． 已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．二、能力提升9． 下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x ＝1}D ．{1} 10．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集11．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是______．(填序号)①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}； ②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}； ④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}．12．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .三、探究与拓展13．定义集合运算A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和是多少？1.1.2 集合间的基本关系一、基础过关1． 下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2－1＝0}B ．{x |x ＞6或x ＜1}C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0}D ．{x |x ＞6且x ＜1}2． 集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )A ．P ＝QB ．P QC ．QPD ．P ∩Q ＝∅3． 下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34． 下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是()5． 已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)6． 已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________． 7． 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．8． 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9． 适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数是( )A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个10．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m Z ∈}之间的关系是 ( )A ．S P MB ．S ＝P MC ．S P ＝MD ．P ＝M S11．已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 12．已知集合A ＝{x |1＜ax ＜2}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，B ＝{1,2，b }．问是否存在实数a ，使得对于任意实数b (b ≠1，b ≠2)都有A ⊆B .若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由．1.1.3 集合的基本运算第1课时 并集与交集一、基础过关1． 若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B 等于( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0}2． 集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ＜1}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ＜1}3． 若集合A ＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B ＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C ＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆C C ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A4． 已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)} 5． 设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}6． 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 7． 设A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，已知A ∩B ＝{9}，求A ∪B .8． 设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a R ∈}，若A ∩B ＝B ，求a 的值．二、能力提升9． 已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或310．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t 2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝∅；（2）A⊆(A∩B)．第2课时补集及综合应用一、基础过关1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于() A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝P C．A P D．P A5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.6．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________，∁U B＝________，∁B A＝________.7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．8．（1）设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，求N∩(∁U M)；（2）设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，求M∪N.二、能力提升9．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁I S) D．(M∩P)∪(∁I S)10．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}11．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．12．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.三、探究与拓展13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？习题课一、基础过关1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a} P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3 C．4 D．53．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于() A．{1,3} B．{3,5} C．{1,5} D．{1,3,5}4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．M P C．P M D．M与P没有公共元素5．全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于()A．{1,3,5} B．{2,4,6} C．{1,5} D．{1,6}6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．8．设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．二、能力提升9．已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3 C．a≥7 D．a＞710．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．11．设U ＝R ，M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |0≤x <5}，则(∁U M )∪(∁U N )＝________.12．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A ，B ，C 三道知识题作答情况如下：答错A 者17人，答错B 者15人，答错C 者11人，答错A ，B 者5人，答错A ，C 者3人，答错B ，C 者4人，A ，B ，C 都答错的有1人，问A ，B ，C 都答对的有多少人？三、探究与拓展13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．（1）试定义一种新的集合运算Δ，使A ΔB ＝{x |1<x <2}； （2）按（1）的运算，求B ΔA .需要高中数学的朋友请加QQ ：182337727，有你想要的精心整理的导学案、专题训练、综合训练、单元试题1．2.1 函数的概念一、基础过关 1． 下列对应：①M ＝R ，N ＝N ＋，对应关系f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应关系f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 2． 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23． 函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}4． 函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]5． 已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 6． 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________ 7． 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．（1）A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； （2）A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2；（3）A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； （4）A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 8． 已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．二、能力提升9． 设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 10．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x11．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11∶00到12∶00他骑了多少千米？（5）他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？ （6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？三、探究与拓展13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)（1）试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数；（2）确定函数的定义域和值域； （3）画出函数的图象．1．2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法一、基础过关1． 一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x(x >0)D ．y ＝100x(x >0)2． 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33． 已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0)B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)C ．f (x )＝x 2(x ≠0)D ．f (x )＝(x －1x )2(x ≠0)4． 已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －bxB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax5． 如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6． 已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 7． 已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.求f (x )的解析式．8． 已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．二、能力提升9． 如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x－110．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]11．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．12．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； （2）若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； （3）求函数f (x )的值域．三、探究与拓展13．已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．第2课时 分段函数及映射一、基础过关1． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x >0，x ＋1， x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－3 2． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)，f (x ＋2) (x <6)，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．53． 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米4． 已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x5． 下列对应关系f 中，构成从集合P 到S 的映射的是( )A ．P ＝R ，S ＝(－∞，0)，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝|x |B ．P ＝N ，S ＝N ＋，x ∈P ，y ∈S ，f ∶y ＝x 2C ．P ＝{有理数}，S ＝{数轴上的点}，x ∈P ，f ∶x →数轴上表示x 的点D ．P ＝R ，S ＝{y |y ＞0}，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝1x26． 设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 7． 化简f (x )＝x ＋|x |x ，并作图求值域．8． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x >1或x <－1)，（1）画出f (x )的图象； （2）求f (x )的定义域和值域． 二、能力提升9． 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)，－2x (x ＞0)，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52 C ．2或－2D ．2或－2或－5210．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2， －1≤x <0，－12x ， 0<x <2，3， x ≥2，则f {f [f (－34)]}的值为______，f (x )的定义域是_ __．12. 如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x ) 的解析式．三、探究与拓展13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性一、基础过关1． 下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )A ．y ＝x 2－2B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)22． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3． 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤04． 如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈ [a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D ．x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>05． 设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．6． 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈ [2，＋∞)时是增函数，当x ∈ (－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______________. 7． 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．8． 已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明．二、能力提升9． 已知函数f (x )的图象是不间断的曲线，f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个根B ．至多有一个根C ．无实根D ．必有唯一的实根10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥411．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．12．求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．第2课时 函数的最大(小)值一、基础过关1． 函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 2． 函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，有最大值2 D ．无最大值，也无最小值3． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6， x ∈[1，2]x ＋7， x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 4． 函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值 5． 函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A ．45B ．54C ．34D ．436． 函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝______，b ＝________. 7． 已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．8． 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.（1）求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；（2）若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．二、能力提升9． 函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 ( ) A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元11．当x ∈ (1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________． 12．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，（1）求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； （2）若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．三、探究与拓展13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. （1）求f (x )的解析式；（2）若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．1．3.2 奇偶性第1课时 奇偶性的概念一、基础过关1． 下列说法正确的是( )A ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B ．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D ．如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为奇函数 2． f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x )C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )f (－x )＝－13． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝－x 2＋5(x ∈R )B ．y ＝－xC ．y ＝x 3(x ∈R )D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)4． 已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是______．6． 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)g (x )(x ＜0)为奇函数，则f (g (－1))＝________.7． 判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝3，x ∈R ； （2）f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； （3）f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|； （4）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ＞0，0， x ＝0，x 2－1， x ＜0.8． 已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．二、能力提升9． 给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是 ( )A ．(a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(－a ，－f (－a ))10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a －a 2)，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1－2x.（1）若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；（2）试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．12．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)0 (x ＝0)x 2＋mx (x <0).（1）求实数m 的值，并画出y ＝f (x )的图象；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．（1）判断f (x )的奇偶性，并说明理由；（2）若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．第2课时 奇偶性的应用一、基础过关1． 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42． 已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )A ．是增函数B ．不是单调函数C ．是减函数D ．不能确定3． 定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)4． 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 5． 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )＝________.6． 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 7． 设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．8． 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．（1）试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由． （2）解关于x 的不等式f (2－xx )＜2.二、能力提升9． 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．[－1,1)10．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 ( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3) 11．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________________．12．已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．（1）讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为常数)，x ∈R.F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).（1）若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；（2）在（1）的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设m ·n ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？【章末检测】一、选择题1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅ 2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <0 3． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是 ( )A ．M ＝A ，N ＝BB ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8． 已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于 ( )A.12B ．－12C ．1D ．－1 9． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x >10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有 ( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－412. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为()二、填空题13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______.14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．三、解答题17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．19．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．20．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．（1）若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．21．某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)． （1）分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．已知函数y ＝x ＋tx有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．（1）已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈ [0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．第一章参考答案第一节 集合的含义与表示参考答案1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±52.6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.8． D 9．B 10．211．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．第一节 集合的含义与表示（2）答案1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，(0，－2)} 6．②7． 解 (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}； (4){1,2,3,4,5,6}．8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④12．解 (1)当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，x ＝2.此时集合A ＝{2}．(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根． 只需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．13．解 当x ＝1或2，y ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝2；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以A *B ＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.第二节 集合间的基本关系答案1． D 2.B 3.B 4.B 5．①② 6．a ≥27． 解 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 8． 解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6. 综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6.9． A 10．C 11．612．解 ①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a ＞0时，A ＝{x |1a ＜x ＜2a }．又∵B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.③当a ＜0时，A ＝{x |2a ＜x ＜1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．解 不存在．理由如下：要使对任意的实数b 都有A ⊆B ，则1,2是A 中的元素，又因A ＝{a －4，a ＋4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝2.这两个方程组均无解，故这样的实数不存在．第三节 集合间的运算（1）答案1． A 2.D 3.D 4.D 5.B 6．17． 解 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，所以a 2＝9或2a －1＝9，解得a ＝±3或a ＝5.当a ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去．当a ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}． 当a ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}． 8． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，a ＝0或a ＝12.9． B 10．0或1 11．－1 212．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 13．解 (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，且(A ∩B )⊆A ， 所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B . 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16解得a ＞152.综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6或a ＞152}． 第三节 集合间的运算（2）1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．8． 解 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,4}，∴∁U M ＝{2,3,5}．又∵N ＝{1,3,5}， ∴N ∩(∁U M )＝{3,5}． (2)∵M ＝{m ∈Z |－3＜m ＜2}， ∴M ＝{－2，－1,0,1}；∵N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，∴N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∪N ＝{－2，－1,0,1,2,3}．9． C 10．B 11．(∁U B ) (∁U A ) 12．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}， U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x.根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．结合习题课答案1． B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．a ≤2 7． 解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}． (2)∵C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a2<2，∴a >－4.8． 解 ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴32＋3c ＋15＝0，∴c ＝－8.由方程x 2－8x ＋15＝0解得x ＝3或x ＝5， ∴B ＝{3,5}．由A ⊆(A ∪B )＝{3,5}知，3∈A,5A (否则5∈A ∩B ，与A ∩B ＝{3}矛盾)故必有A ＝{3}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相同的根3，由根与系数的关系得3＋3＝－a,3×3＝b ，即a＝－6，b ＝9，c ＝－8.9． A 10．1 11．{x |x <1或x ≥5}12. 解 由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A的集合，B 表示答错B 的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中 元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为 1,2,3,4,10,7,5，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的 共32人，因此A ，B ，C 全对的有50－32＝18(人)． 13．解 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)∵A ΔB ＝{x |1<x <2}，由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中， ∴定义A ΔB ＝{x |x ∈A ，且xB }．(2)由(1)可知B ΔA ＝{x |x ∈B ，且x A }＝{x |3≤x ≤4}．函数部分第一节 函数及其表示（1）1． A 2.D 3.D 4.B 5．{－1,1,3,5,7} 6．[1，＋∞) 7． 解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数． 8． 解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.9． C 10．C 11．[0，13]12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时． (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h <1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．第一节 函数及其表示（2）答案1． C 2．B 3．B 4．B 5．2 6．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －87． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 8． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.② 设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·ca ＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3.9． B 10．B 11．f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)12．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 13．解 要使函数y ＝1a x ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，必须有1ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－a，即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．第一节 函数及其表示（3）答案 1． D 2．A 3．A 4．C 5．C 6.137． 解 f (x )＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.其图象如图所示．由图象可知，f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 8． 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．9． A 10．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤111.32 {x |x ≥－1且x ≠0}12．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.13．解 由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .。

新课标人教A 版第一章集合与函数的概念单元测试一、单选题(每小题5分)1. 已知集合和集合2{}B y y x ==，则A B 等于（ ）A.(0,1)B.[0,1]C.(0,+∞)D.{(0,1),(1,0)}2.函数()f x =的定义域为（ ） A.[3，+∞） B.[3，4）∪（4，+∞） C.（3，+∞） D.[3，4）3. （2018•卷Ⅰ）已知集合2{20}A x x x =--＞，则∁R A=（ ） A.{12}x x -<< B.{12}x x -≤≤ C.{1}{2}x x x x <-> D.{1}{2}x x x x ≤-≥4. 函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）A.[3，+∞） B.（﹣∞，2）（4，+∞） C.（2，3）（4，+∞） D.（﹣∞，2][3，4]5. （2018•卷Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2},则A ∩B=（ ）A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}6. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA ）∩B=( )A.{4，5}B.{1，2，3，4，5，6}C.{2，4，5}D.{3，4，5}7. 若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A.x+1 B.x ﹣1 C.2x+1 D.3x+38. 已知函数21,2()22,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则f[f （1）]=（ ） A.12- B.2 C.4 D.11 9. 已知集合A={x ∈N *|x ﹣3＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ）A.2B.3C.4D.810. 函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A.-3B.13C.7D.511. 已知函数22,1()2,1a x f x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[﹣1，+∞）B.（﹣1，+∞） .[﹣1，0） D.（﹣1，0）12. 下列有关集合的写法正确的是（ ）A.{0}{0,1,2}∈B.{0}∅=C.0∈∅D.{}∅∈∅二、填空题（每题5分）13. 非空数集A 与B 之间定义长度(,)d x y ，使得()1212d y y y y -=-，其中1y A ∈，2y B ∈，若所有的(,)d x y 中存在最小值()12','d y y ，则称()12','d y y 为集合A 与B 之间的距离，现已知集合11{21}A y a y a =≤≤-，222111{1,}B y y y y y A ==++∈，且()12','d y y =4，则a 的值为_______.14. 已知f(x)为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=,则f(2)=__________．15. 设集合A ＝{x|－1<x<2}，集合B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B 等于________16. 若集合{12}M x x =-<<，2{1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =___三、解答题（17-22题，12分+12分+12分+12分+12分+12分+10分）17. 设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈.（1）若A B B =，求实数a 的值;（2）若A B B =，求实数a 的范围.18. 已知函数239,2()1,211,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+>⎩.（1）做出函数图象；（2）说明函数()f x 的单调区间（不需要证明）；（3）若函数()y f x =的图象与函数y m =的图象有四个交点，求实数m 的取值范围.19. 已知函数21 ()1xf xx+=+．（1）判断函数()f x在区间[1,+)∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. 已知函数f(x)对任意的实数m,n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x ＞0时，有f(x)＞1.（1）求f(0)．（2）求证：f(x)在R上为增函数．（3）若f(1)＝2，且关于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．21. 已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围．（2）设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）．22. 若集合A={x|x2+5x﹣6=0}，B={x|x2+2（m+1）x+m2﹣3=0}．（1）若m=0，写出A∪B的子集；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．答案：1-5.BBBCA 6-10.AACCB 11-12.CD13. a=214. 615. {x|-1＜x ＜3}16. [1,3)17. (1)a=1 (2)a=1或a ≤-118. （2）单调增区间（-∞，-2）和（0,1）单调减区间（-2,0）和（1，+∞） （3）(1,0)m ∈-19. (1)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数 （2）最小值f(1)=32 最大值9(4)5f =20. （1）f(0)=1(2)略 （3）(1)-∞21. （1）5(1,]4a ∈ (2) 0(5)4t g ≤=时， 201()4t g t t<<=-时， 1()52t g t t ≥=-时， 22. (1){6,3,1}A B =--{-6}{-3}{1}{-6-3}{-6,1}{-3,A B ∅的子集：，，，，，，，，， (2)∞（-,-2]。

第一章 集合与函数概念一、选择题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =，则m 的取值集合是( )．A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31－ ，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )．A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )． A ．－2B ．2C ．－98D ．98(第4题)10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④二、填空题11．函数x x y +-=1的定义域是 ．12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝ ．13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝ ，N ＝ ．15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝ ．三、解答题17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值．18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ，a ≠1且1 A ． (1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ．∈19．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．20．已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D∈解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M P)就是点(2，3)的集合，即U(M P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x ＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A．10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319． 解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫⎝⎛ 21，．解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，．14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)． 三、解答题＋∞ ＋∞17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，－4 ，2 A ； 由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ， ∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ； ∴a －11＝21－11＝2∈A ． 因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A ⇒a －11∈A ⇒ a1－1－11∈A ⇒1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；(3)当2a＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． 综上可知，f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧．＞ ，－，≤≤ ，－，＜－ ，＋22522232252a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数，∈A ∈∴ f (0)＝0，即ab2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝ax x ＋21＋2－＋1．又由f (1)＝－f (－1)知a4＋＋12－＝－a 1＋＋121－，解得a ＝2．(2)先讨论函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x ＝－21＋1＋21x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝1＋212x －1＋211x ＝))((1＋21＋22－21221x x x x ，∵指数函数2x 为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)，∴函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2－2t ．又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31－ －∞，．。

1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义【学习要求】1．通过实例理解集合的有关概念；2．初步理解集合中元素的三个特性；3．体会元素与集合的属于关系；4．知道常用数集及其专用符号,会用集合语言表示有关数学对象．【学法指导】通过经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，理解并掌握集合的含义；通过由用自然语言描述集合到用抽象的符号语言描述集合的过程，体会集合语言的严谨性和逻辑性，逐渐养成严密的思维习惯．【知识要点】1．元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合(简称为集)，通常用表示．2．集合中元素的特性：、、．3．集合相等：只要构成两个集合的元素是的，就称这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系有两种，分别为、，数学符号分别为、.5【问题探究】问题情境：军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员；那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合．探究点一集合概念的形成过程问题1在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？问题2数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？问题3阅读教材第2页中的例子，你能否从具体的实例中抽象出集合及元素的概念？探究点二集合元素的特征问题1某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？问题2集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？问题3“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？例1考查下列每组对象能否构成一个集合．（1）不超过20的非负数；（2）方程x2－9＝0在实数范围内的解；（3）某校2012年在校的所有高个子同学；（4）3的近似值的全体．小结判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列给出的对象中，能构成集合的是()A．著名数学家 B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数探究点三集合与集合中的元素的关系及表达问题1集合及集合中的元素用怎样的字母来表示？问题2集合与元素之间的关系如何表示？例2已知－3AA,∈中含有的元素有1,12,32+--aaa，求a的值．小结由元素的确定性知：－3A∈，则必有一个式子的值为－3，以此展开讨论，便可求得a.求出的a值代入A的元素后，不能出现相同的元素，否则这样的a不符合元素的互异性，应舍去．跟踪训练2已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．探究点四常用的数集及表示问题常用的数集有哪些？如何表示？例3下面有四个命题，正确命题的个数为()（1）集合N中最小的数是1；（2）若－a不属于N，则a属于N；（3）若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；（4）xx212=+的解可表示为{1,1}．A．0 B．1 C．2 D．3小结集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆．跟踪训练3用符号“∈”或“∉”填空．（1）－3________N；（2）3.14________Q；（3）3_____Q；（4）1________N＋；（5）π________R【当堂检测】1．下列各条件中能构成集合的是()A．世界著名科学家B．在数轴上与原点非常近的点C．所有等腰三角形D．全班成绩好的同学2．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．3．给出下列几个关系，正确的个数为()①3∈R；②0.5∉Q；③0∈N；④－3∈Z；⑤0∈N＋.A．0 B．1 C．2 D．34．方程0442=+-xx的解集中，有________个元素【课堂小结】1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合． 2．集合中元素的三个特性（1）确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素c b a ,,与由元素c a b ,,组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系.【课后作业】一、基础过关1． 下列各项中，不可以组成集合的是( )A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．（1）参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； （2）未来世界的高科技产品构成一个集合； （3）1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；（4）某校的年轻教师．7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8． 已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9． 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可10．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.11．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．第2课时 集合的表示 【学习要求】1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)；2．通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．【学法指导】通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法；体会将实际问题数学化的过程.【知识要点】1．列举法把集合的元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 ．3．列举法常用于集合中的元素 时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有 或元素个数较多的有限集.【问题探究】问题情境：上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此，我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 探究点一 列举法表示集合问题1 在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数4.8，－3，2，－0.5，13，73，3.1.问题2 列举法是如何定义的？什么类型的集合适合用列举法 表示？问题3 book 中的字母的集合能否表示为：{}k o o b ,,,? 例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x x =2的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合．小结 （1）花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{}R 都是不确切的．（2）列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到 1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}． 跟踪训练1 用列举法表示下列集合．（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； （2）式子)0,0(≠≠+b a bb aa 的所有值组成的集合．探究点二 描述法表示集合问题1 用列举法能表示不等式37<-x 的解集吗？为什么？问题2 不等式37<-x 的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是什么？问题3 由奇数组成的集合中，元素的共同特征是什么？问题4 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，那么如何用描述法来表示集合？什么类型的集合适合用描述法表示？例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2x －2＝0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．小结 集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．跟踪训练2 用适当的方法表示下列集合： （1）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（2）二次函数102-=x y 图象上的所有点组成的集合． 例3 用适当的方法表示下列集合：（1）由20,2≤≤=n n x 且N n ∈组成的集合； （2）抛物线x x y 22-=与x 轴的公共点的集合；（3）直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．小结 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．跟踪训练3 若集合A ＝{x ∈Z|－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝______【当堂检测】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为( )A ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1}B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．10 3．已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈N x Nx 68，试用列举法表示集合A . 【课堂小结】1．在用列举法表示集合时应注意： （1）元素间用分隔号“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：（1）弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？（2）元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.【课后作业】一、基础过关1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．25． 用列举法表示下列集合：（1）A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________；（2）B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；（3）C＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝______.6．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．7．用适当的方法表示下列集合．（1）方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；（2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；（3）不等式x－2>6的解的集合；（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．8．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．二、能力提升9．下列集合中，不同于另外三个集合的是() A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1}10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是() A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.三、探究与拓展13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？1.1.2集合间的基本关系【学习要求】1．理解子集、真子集的概念；2．了解集合之间的包含、相等关系的含义；3．能利用Venn图表达集合间的关系；4．了解空集的含义．【学法指导】通过观察身边的实例所构成的集合，发现集合间的基本关系，体验其现实意义；树立数形结合的思想，体会类比对发现新结论的作用.【知识要点】1．子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“”(或“”)．2．Venn图用平面上曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念（1）集合相等：如果，就说集合A与B相等；（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素，称集合A是集合B的真子集．记作：A B(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．4．空集（1）定义：的集合叫做空集．（2）用符号表示为：.（3）规定：空集是任何集合的．5．子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么【问题探究】问题情境：已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一集合与集合之间的“包含”关系问题1观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？（1）A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；（2）设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；（3）A＝N，B＝R；（4）A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}．问题2如何运用数学语言准确表达问题1中两个集合的关系？问题3类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的符号之间有什么类似之处？问题4集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？小结用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A⊆B(或B⊇A)，如下图所示．例1观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？（1）A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．（2）A ＝{正方形}，B ＝{四边形}．（3）A ＝{育才中学高一(11)班的学生}，B ＝{育才中学高一年级的学生}．小结 在判断两个集合的关系时，对于用描述法表示的集合，一般要变成用列举法来表示，使集合中的元素特征清晰地呈现出来，便于讨论集合间的包含关系．跟踪训练1 已知集合P ＝{x |x ＝|x |，x ∈N 且x <2}，Q ＝{x ∈Z|－2<x <2}，试判断集合P 、Q 间的关系． 探究点二 集合与集合之间的“相等”关系问题1 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）设C ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，D ＝{x |x 是等腰三角形}； （2）C ＝{2,4,6}，D ＝{6,4,2}．问题2 与实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b ”相类比，在集合中，你能得出什么结论？小结 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．用子集概念对两个集合的相等可描述为：如果A ⊆B 且B ⊆A ，则A ，B 中的元素是一样的，因此A ＝B ，即A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B B ⊆A .问题3 用Venn 图怎样表示两个集合相等的关系？例2 已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}．若A ＝B ，求实数c 的值．小结 抓住集合相等的含义，分情况进行讨论，同时要注意检验所得的结果是否满足元素的互异性． 跟踪训练2 已知集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }且A ＝B ，求实数x 与y 的值． 探究点三 真子集、空集的概念问题1 集合A 是集合B 的真子集的含义是什么？问题2 空集是怎么定义的？空集用什么符号表示？空集有怎样的性质？问题3 集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别？ 问题4 0，{0}与∅三者之间有什么关系？问题5 包含关系{a }⊆A 与属于关系a ∈A 的意义有什么区别？问题6 对于集合A ，A ⊆A 正确吗？对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系？ 例3 写出满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的所有集合A 共有多少个？小结 （1）求集合的子集问题，应按集合中所含元素的个数分类依次书写，以免出现重复或遗漏． （2）此题中“求集合A 的个数”，等价于求集合{3,4,5}的非空子集个数． 跟踪训练3 已知{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d ，e }，写出所有满足条件的集合A .【当堂检测】1．集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A ．P T B ．T P C ．P ＝T D ．P ⊄T2．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个3．已知{0,1}A ⊆{－1,0,1}，则集合A ＝__________【课堂小结】1．对子集、真子集有关概念的理解（1）集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法．（2）不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素．（3）在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集，有2n －2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．【课后作业】一、基础过关1． 下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2－1＝0}B ．{x |x ＞6或x ＜1}C ．{(x ，y )|x 2＋y 2＝0}D ．{x |x ＞6且x ＜1}2． 集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )A ．P ＝QB ．P QC ．QPD ．P ∩Q ＝∅3． 下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34． 下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是()5． 已知M ＝{x |x ≥22，x ∈R }，给定下列关系：①π∈M ；②{π}M ；③πM ；④{π}∈M .其中正确的有________．(填序号)6． 已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________． 7． 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．8． 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9． 适合条件{1}⊆A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数是( )A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个10．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m Z ∈}之间的关系是 ( )A ．S P MB ．S ＝P MC ．S P ＝MD ．P ＝M S11．已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A ⊆B.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集【学习要求】1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；2．能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用；3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的并集及交集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.【知识要点】1．并集（1）定义：一般地，的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作. （2）并集的符号语言表示为A∪B＝．（3）性质：A∪B＝，A∪A＝，A∪∅＝，A∪B＝A⇔，A A∪B.2．交集（1）定义：一般地，由元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作. （2）交集的符号语言表示为A∩B＝．（3）性质：A∩B＝，A∩A＝，A∩∅＝，A∩B＝A⇔，A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.【问题探究】问题情境：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．探究点一并集问题1请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的并集，那么如何定义两个集合的并集？问题3集合A∪B如何用Venn图来表示？问题4用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系是什么？例1(1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B. (2)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∪B.小结两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．跟踪训练1已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝_____________探究点二交集问题1请同学们考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；②A＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级同学}，C＝{x|x是国兴中学2011年9月入学的高一年级女同学}．问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？问题3如何用Venn图表示交集运算？例2（1）新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.（2）设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．小结两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．跟踪训练2设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x R∈|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是()A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∩Q P D．P∩Q＝Q探究点三并集与交集的性质问题1你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗？问题2你能从问题1中所画的图中发现哪些重要的结论？问题3如果集合A，B没有公共元素，那么它们就没有交集吗？例3已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值．小结在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B⊆A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝∅的情况，切记不可漏掉．跟踪训练3设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a R∈}，若A∩B＝B，求a的值．【当堂检测】1．设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是()A．10 B．11 C．20 D．212．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为________【课堂小结】1．对并集、交集概念的理解（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.【课后作业】一、基础过关1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于() A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于() A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于() A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.7．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.8．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a R∈}，若A∩B＝B，求a的值．二、能力提升9．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于() A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或310．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t 2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝∅；（2）A⊆(A∩B)．第2课时补集及综合应用【学习要求】1．了解全集、补集的意义；2．正确理解补集的概念，正确理解符号“∁U A”的含义；3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．【学法指导】通过观察和类比，借助Venn图理解集合的补集及集合的综合运算，进一步树立数形结合的思想；进一步体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.【知识要点】1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常记作. 2．补集：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.补集的符号语言表示为∁U A＝．3．补集与全集的性质（1）∁U U＝；（2）∁U∅＝；（3）∁U(∁U A)＝；（4）A∪(∁U A)＝；（5）A∩(∁U A)＝.【问题探究】问题情境：相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系．这就是本节研究的内容——全集和补集．探究点一全集、补集概念问题1方程(x－2)(x2－3)＝0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？问题2U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？问题3在问题2中，相对集合A、B，集合U是全集，集合B是集合A的补集，同时集合A是集合B的补集，那么如何定义全集和补集的概念？问题4怎样用Venn图表示集合A在全集U中的补集？例1(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁U A，∁U B.(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．小结研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示．跟踪训练1已知A＝{0,2,4,6}，∁S A＝{－1，－3,1,3}，∁S B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.探究点二全集、补集的性质问题1借助Venn图，你能化简∁U(∁U A)，∁U U，∁U∅吗？问题2借助Venn图，你能分析出集合A与∁U A之间有什么关系吗？例2已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．。

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定地范围内，生产效率随着工人数量地增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量地增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称地；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称地．习题1.3（第39页） 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间地一个可能地图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车地月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数地解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-地对称轴为1x =，则函数()f x 地单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 地单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形地宽为x m ，得矩形地长为3032xm -，设矩形地面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造地每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室地最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =地解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=地解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 地两个端点地距离相等，即{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示地点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 地圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示地点组成线段AB 地垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示地点组成线段AC 地垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==地点是线段AB 地垂直平分线与线段AC 地垂直平分线地交点，即ABC ∆地外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 地值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数地定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数地定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数地对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 地取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=地图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛地有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛地有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛地有3人，只参加游泳一项比赛地有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}U AB =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合A B 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x axb =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人地全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月地工资、薪金所得是2517.8元．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲． （2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=， 所以由方程290x-=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7， 所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈a 是集合{,,}abc 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N（或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=）2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ； （2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363kz =+， 即B 是A 的真子集，B A ； （3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4）2R ∈ 2是实数；（5）9Z ∈93=是个整数； （6）2(5)N ∈ 2(5)5=是个自然数． 2．（1）5A ∈；（2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k=时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x-≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ； 2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形； 菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x xB x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()AB C =∅． （1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}RA B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y Dx y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y Dx y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==； 当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U=，由U A B =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤， 得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a=⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a-=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45．1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-； （2）2()f x x =； （3）26()32f x x x =-+； （4）4()1x f x x -=-．1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320xx -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞ 值域是[2,)-+∞（4）定义 域是(,)-∞+∞值域 是(,)-∞+∞4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+， 即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x=时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x=+>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()lx y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)ld d =+>．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩． Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如右4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈． 第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值 练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．图象如下3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．1．3．2练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x=-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x=-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上 （2） 递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2） 函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明： （1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x -> 即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-， 当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+， 即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x = 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4] 且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =， 即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->， 因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x=，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线； （2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的，垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a=； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅； 集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥， 得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠， 得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1af a a-=+，得12()1111a f a a a-+=+=++， 即2()11f a a+=+； （2）因为1()1x f x x -=+，所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+． 8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=； （2）因为221()1x f x x +=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x ++===---， 即1()()f f x x =-. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==， 即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； 4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数． B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人）， 即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =集合A B 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =. 4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b=+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b+=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21ax x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-， 又因为函数()f x 是奇函数，则21()()fx f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数． 7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ； （2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅； （4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈． 3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U AB A B 痧?． 4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ； （2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥； （2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-； （3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅．（1）{|}AB x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==， 当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．设{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素60相对应的B 中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A 中元素是什么？ 4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=，所以与B相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域： （1）3()4xf x x =-； （2）()f x = （3）26()32f x x x =-+； （4）()1f x x =-． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠； （2）x R∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（A ）（B ）（C ）（D ）（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x =．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定 （2）义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；定（3）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； 定（4）义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．定2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，4．已知函数()(3)f a f +．2()352f x x x =-+，所以4．解：因为2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =． 6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈． 7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？ 8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>， 由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235x t -=+，(012)x ≤≤，即125x t -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()55t h -==+≈． 第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下 [8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =- （3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+. 1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数； （4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递 函数在增；（2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递 函数在减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x =-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数． 复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合 {|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a =， 得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-. 6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-. 6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞． 7.已知函数1()1x f x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1x f x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++， 即2()11f a a+=+； （2）因为1()1x f x x-=+， 所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++， 即(1)2a f a a +=-+． 8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B .3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：[,]b a --上是增函数还是减函数？它在（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如6．下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ）2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x =(5) 100.3x = (6) xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43x x -==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()l o g (1)l o g (1)()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79）。

高中数学 人教A 版 必修1 第一章 集合与函数概念 高考复习习题（选择题601-700）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数f (x )=x +sin x +2x −12x ，若f (x −2)+f (x )>0，则x 的取值范围是（ ） A ． (−∞,−1) B ． (−∞,1) C ． (1,+∞) D ． (−1,+∞)2．已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（ ）A ． -3B ． -2C ． 2D ． 33．已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是()f x '，当0x >时， ()()2f x f x '<恒成立，则下列不等关系一定．．正确的是 A ． ()()212e f f >- B ． ()()212e f f ->- C ． ()()212e f f -<-D ． ()()221f e f -<--4在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ． (],2-∞-B ． [)2,0-C ． [)3,0-D ． []3,2--5．f(x)是定义在非零实数集上的函数，f ′(x)为其导函数，且x >0时，xf ′(x)−f(x)<0，记a =2−0.2f(20.2),b =23f(32),c =f(log 23)log 23则（ ）A ． c <b <aB ． b <a <cC ． c <a <bD ． a <b <c6．已知f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为 ( ) A ． 6 B ． 13 C ． 22 D ． 337．已知M ={(x,y)|x 2+2y 2=3},N ={(x,y)|y =mx +b}.若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是（ ） A ． (−2√33,2√33) B ． (−√62,√62) C ． [−√62,√62] D ． [−2√33,2√33]8．若函数()()2122,1{1,1a x x f x x ax x -+≤=-++>在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． (],2-∞ 9．已知函数y =f(x)与y =F(x)的图象关于y 轴对称，当函数y =f(x)和y =F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时，把区间[a,b]叫做函数y =f(x)的“不动区间”，若区间[1,2]为函数y =|2x −t|的“不动区间”，则实数t 的取值范围是A ． (0.2]B ． [12,+∞) C ． [12,2] D ． [12,2]∪[4,+∞)10．已知函数f (x )=x 2+4x 2−3,g (x )=2x +a ，若对任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ． a ≤−7B ． a ≤−6C ． a ≤−3D ． a ≤−211．已知y =f(2x −1)为奇函数， y =f(x)与y =g(x)图像关于y =x 对称，若x 1+x 2=0，则g(x 1)+g(x 2)=（ ） A ． 2 B ． -2 C ． 1 D ． -112．定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数的取值范围是（ ） A ． ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ． []ln ,0ππ-C ． 1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ． 1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦13．已知函数f(x)=3x +cos (π8x)−11，若两个正数a ，b 满足f(2a +b)<1，则b+1a+2的取值范围是（ ）A ． (0,14) B ． (52,+∞) C ． (14,52) D ． (−∞,14)∪(52,+∞)14．已知函数f(x)={|sin2πx |， x ∈[0，1]log 2018x ， x ∈(1，+∞) ，若f(x)=a 恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为A ． (3, 2020)B ． (2, 2020)C ． (3, 2020]D ． (2, 2020] 15．定义在上的偶函数f(x)，其导函数为f ，(x)，若对任意的实数x ，都有2f(x)+xf ,(x)<2恒成立，则使x 2f(x)−f(1)<x 2−1成立的实数x 的取值范围为（ ）A ． {x |x ≠±1 }B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣1，1）D ． （﹣1，0）∪（0，1）16．已知集合M={（x ，y ）|y=f （x ）}，若对于任意（x 1，y 1）∈M，存在（x 2，y 2）∈M，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M={{(x,y)|y =1x }}；②M={（x ，y ）|y=sinx+1}；③M={（x ，y ）|y=log 2x}；④M={（x ，y ）|y=e x﹣2}． 其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①④D ． ②④17．函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．18．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()f x xf x >-'恒成立，则函数()()g x xf x =的零点的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 419．设a 、b 、c 为实数，f(x)=(x +a)(x 2+bx +c)，g(x)=(ax +1)(cx 2+bx +1)，记集合S ={x|f(x)=0,x ∈R}，T ={x|g(x)=0,x ∈R}，若|S|、|T|分别为集合S 、T 的元素个数，则下列结论不可能是（ ）A ． |S|=1且|T|=0B ． |S|=1且|T|=1C ． |S|=2且|T|=2D ． |S|=2且|T|=3 20．若f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，且x −f(g (x ))=0有实数解，则以下函数①3x −1，②2x 2−x +1，③x 2+x +1，④e x −12中，不可能是g(f(x))的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个21．已知函数f (x )={|log 2x |, 0<x ≤423x 2−8x +703, x >4，若a,b,c,d 互不相同，且满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d )，则abcd 的取值范围是（ ）A ． (32,33)B ． (32,34)C ． (32,35)D ． (32,36) 22．已知函数()212,1{2,1x x f x x x x -≤=->若函数g(x)＝b －f(1－x)有3个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是()A ． (－1,1)B ． (－1,2)C ． (11)D ． (22)24．若函数f (x )=2e xe x +1+ln(√x 2+1+x)+∫cosxdx π0在区间[−k,k](k >0)上的值域为[m,n]，则m +n 的值是（ ） A ． 0 B ． 2 C ． 4 D ． 625．已知函数f(x)的定义域为R ，f(−2)=2021，对任意x ∈(−∞,+∞)，都有f ′(x)<2x 成立，则不等式f(x)>x 2+2017的解集为（ ）A ． (−2,+∞)B ． (−2,2)C ． (−∞,−2)D ． (−∞,+∞) 26．已知M={(x,y)|y−3x−2=3},N ={(x,y)|ax +2y +a =0}且M ∩N =∅，则a=（ ）A ． -6或-2B ． -6C ． 2或-6D ． -227．函数()f x 和()g x 在[)t,∞+上都是增函数，且()()f t g t M ==. 若对任意k ＞M ，存在12x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[)t,∞+上的“D 函数”. 已知()2f x x =，下列四个函数：①()g x x =；②()ln 1g x x =+；③()21x g x =-；④其中是()f x 在[)1,∞+上的“D 函数”的有 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个28．设曲线f (x )=√m 2+1cosx(m ∈R)上任一点(x,y)处的切线斜率为g (x )，则函数y =x 2g (x )的部分图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知函数y =f (x +1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )对任意x 1，x 2∈[1,+∞) (x 1≠x 2)，有f(x 2)−f(x 1)x 1−x 2<0，设a(a >1)是函数f (x )的零点，若x 0<2−a ，则f (x 0)的值满足（ ）A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)<0C ． f (x 0)>0D ． f (x 0)的符号不确定 30．已知函数f(x)={x 2+4x,−3≤x ≤0lnx,x >0，若函数y =f(x)+|x −1|−kx 在定义域内有且只有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ． [−13,1) B ． [−13,1] C ． [−13,1e2+1) D ． [−13,1e 2+1]31．已知函数f(x)=e −x +lnx 的零点为x 0，x 1>x 2>x 3>0，且f(x 1)⋅f(x 2)⋅f(x 3)<0，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ． x 0>x 1B ． x 0>x 3C ． x 0<x 2D ． x 0<x 332．已知方程ln|x|−ax 2+32=0有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． (−∞,e 23) B ． (−∞，e 22) C ． (0,e 23) D ． (0,e 22)33．若关于x 的不等式xe x −ax +a <0的解集为(m,n)(n <0)，且(m,n)中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ． （23e2,12e) B ． [23e2,12e) C ． （23e2,1e) D ． [23e2,1e)34．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则a b +的取值范围是 A ． []4,8- B ． []2,8- C ． []0,6 D ． []4,1235( ) A ． []12， B ． []10－， C ． []02， D ． []23， 36．若函数()()211ln ,02f x x x m x m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭＞在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则m 的取值范围（ ） A ． ][10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ． ][10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ． ()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ． ()10,4,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭37．已知函数f(x)=|sinx|•cosx ，则下列说法正确的是（ ）A ． f(x)的图象关于直线对称x =π2B ． f(x)的周期为πC ． 若|f(x 1)|=|f(x 2)|，则x 1=x 2+2kπ(k ∈Z)D ． f(x)在区间[π4,3π4]上单调递减38．定义在R 上的函数y =f(x)满足f(3−x)=f(x)，(x −32)f '(x)<0，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有( )A ． f(x 1)>f(x 2)B ． f(x 1)<f(x 2)C ． f(x 1)=f(x 2)D ． 不确定 39．实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．B ． 1214x x <<C ． 3449x x <<D ． ()()340444x x <--< 40．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x≥时，若x R ∀∈，都有(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为 （ ）A41．已知函数f (x )=x 3+sinx ，g (x )={12x +1,x <0,ln (x +1),x ≥0,若关于x 的方程f(g (x ))+m =0有两个不等实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2−x 1的最小值是（ ） A ． 2 B ． 32−ln2 C ． 43−ln2 D ． 3−2ln242．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x，都有则（ ）A ． a c b <<B ． a b c <<C ． c b a <<D ． b c a << 43．已知函数，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A．()2,e e B．()21,e C．D．44若关于x的方程()()()2230f x a f x-++=恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．45．已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)e x>2的解集为（）A．(−∞,0)B．(0,+∞)C．(−∞,2)D．(2,+∞)46．已知0a >，设函数的最大值为M，最小值为N，则M N+的值为（）A．2016B．4026C．4027D．402847）A．B．C．D．48．48．函数2sin6241xxxyπ⎛⎫+⎪⎝⎭=-的图象大致为（）49．设M={a ，b ，c}，N={﹣2，0，2}，从M 到N 的映射满足f （a ）＞f （b ）≥f（c ），这样的映射f 的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 550．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， ()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ． c b a <<B ． b a c <<C ． b c a <<D ． a b c <<51 ）A ．B ．C ．D ．52．函数f(x)=sinx ln(x+2)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．53．已知f (x )是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，设a =f (log 47)，b =f (log 123)，c =f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． c <a <bB ． c <b <aC ． b <c <aD ． a <b <c54．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()26f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时， ()2112f x x+'< 若()()222129f m f m m +≤-+-，则m 的取值范围为（ ）A ． [)1,-+∞ B ． 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ． 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ． [)2,-+∞ 55．定义：对于一个定义域为D 的函数f (x )，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得x ∈D 时，恒有kx +m 1<f (x )<kx +m 2，则称f (x )在D 内有一个宽度为d 的通道。

第一章 集合与函数概念一、选择题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =，则m 的取值集合是( )．A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31－ ，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x 1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )．A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]二、填空题(第4题)9．函数x=1的定义域是．-y+x10．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝．11．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是．12．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(I M)∩(I N)＝{3，13}，M ∩(I N)＝{1，7}，则M＝，N＝．13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．14．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝．三、解答题15．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且∅(A∩B)，A∩C＝∅，求a的值．16.求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D∈解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，而A ＝{－3，2}，所以B 只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m 的取值集合是C ．4．B解析：阴影部分在集合N 外，可否A ，D ，阴影部分在集合M 内，可否C ，所以，正确选项为B ．5．B解析：集合M 是由直线y ＝x ＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P 是坐标平面上不在直线y ＝x ＋1上的点组成的集合，那么M P 就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U (M P )就是点(2，3)的集合，即U (M P )＝{(2，3)}．故正确选项为B ．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A ，B ，C 中，两函数的定义域不同，正确选项为D ．7．C解析：函数f (x )显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C ．取特殊值不难否定其它选项．如取x ＝1，－1，函数值不等，故否A ；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D ，点(0，－1)也不在图象上，否选项B ．8．B解析：当x ＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A ，C ；当x 的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D ．故正确选项为B ．二、填空题9．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 10．参考答案：319． 解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．11．参考答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，． 解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0．＋∞(1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，． 12．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N )＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．13．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．14．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)， ∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)． 三、解答题15．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}， C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}， ∴由A ∩C ＝∅知，－4 ，2 A ； 由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意．16．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； ∈A ∈ ＋∞(2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；(3)当2a＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． 综上可知，f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧．＞ ，－，≤≤ ，－，＜－ ，＋22522232252a a a a a a －。

高一数学单元卷(一)必修1答案(第一章集合和函数的概念)一．选择题（本大题12小题，每小题５分，共60分）1.答案:A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，（3）361,0.5242=-=，有重复的元素，应该是3个元素，（4）本集合还包括坐标轴 2.答案:B,{}32x x ∈-<+N ={}5+N x x ∈<={}1,2,3,4,故选B.3. A 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分； 4答案：B ，T S Y = 1，3，5，6 ，)(T S C U Y ={}2,4,7,85.答案:B, =M Z k k x x ∈+=,412| , N = Z k k x x ∈++=,41)1(| ,1k +属于全体整数,2k 属于偶数, M N ⊆6.答案:C,判断两个函数是否同一函数,看其定义域和对应关系是否相同.7. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于1x =仅有一个函数值；8.答案:D, 该分段函数的三段各自的值域为(][)[),1,0,4,4,-∞+∞，而[)30,4∈∴2()3,3,12,f x x x x ===±-<<而∴ 3x =；9.答案:A,Q 1,2x y =-=，所以3,1x y x y -=-+=10. C 22224(2)44,042,240x x x x x x x -+=--+≤≤-+≤-≤--+≤20242,02x x y ≤--+≤≤≤；11.答案:A,奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性12.答案:B, 对称轴2,24,2x a a a =--≤≥-二.填空题: （本大题4小题，每小题4分，共16分）13. []4,9 021,3,49x x ≤-≤≤≤≤≤得2x 即14.答案:1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ ; 213212k k -≥-⎧⎨+≤⎩得112k -≤≤ 15.(](2,0)2,5-U 奇函数关于原点对称，补足左边的图象16.答案:3(1)x x -, 设0x <，则0x ->，33()(1)(1)f x x x x x -=-+-=-- ∵()()f x f x -=-∴3()()(1)f x f x x x =--=-三.解答题:（本大题共六小题，共74分）17.解：∵{}3A B =-I ，∴3B -∈，而213a +≠-， 4分 ∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--，这样{}3,1A B =-I 与{}3A B =-I 矛盾； 8分当213,1,a a -=-=-符合{}3A B =-I∴1a =- 12分18.解：由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ 得{}1,3A =， 5分 0px q ++=2即方程x 的两个根是1，3，由韦达定理，得 7分 则1+3=-p p=-41×3=q q=3 12分19．解：令12,(0)x t t -=≥， 2分则2221111,2222t t x y t t t --==+=-++ 5分 21(1)12y t =--+， 9分 当1t =时，(]max 1,,1y y =∈-∞所以 12分20.解: 设OE=x,则当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF=241212121x x x s x =⋅=∴ 3分 当2＜x ≤3时，△BEF 的高EF=3-x ，∴)3)(3(211321x x s ---⨯⨯= 6分 当3x >时，32s = 9分 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤≤==323323321204)(22x x x x x x x f S 10分 12分 21.解：()f x Q 是奇函数，∴()()f x f x \-=-，∴22(1)(1)f a f a \--=-∴22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-， 6分 P x x -=+21 q x x =⋅21()f x Q 的定义域为()1,1-且在定义域上单调递减，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩, 10分∴01a << 12分22.解：（1）依题意得(0)012()25f f ì=ïïïíï=ïïî 即2010221514b a b ìïï=ïï+ïïïí+ïï=ïïï+ïïïî得10a b ì=ïïíï=ïî ∴2()1x f x x \=+ 4分 （2）证明:任取1211x x -<<<，则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 121211,0x x x x -<<<\-<Q ，221210,10x x +>+> 又121211,10x x x x -<<\->Q 12()()0f x f x \-<∴ ()f x 在(1,1)-上是增函数。