选修2-1第二章圆锥曲线测试题 胡红

数学人教A选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．设F1，F2是椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )．A．12B．23C．34D．452．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )．A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x3．已知双曲线222=14x yb-的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )．A B．C．3 D．54．设F1，F2是双曲线22124yx-=的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )．A．．C．24 D．485．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为( )．A．64 B．32C．16 D．46．以椭圆22=1164x y+内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为( )．A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0 C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝07．已知双曲线2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )．A．22=154x y- B．22=145x y-C．22=136x y- D．22=163x y-8．若F1，F2是椭圆2214xy+=的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|12PF PF⋅u u u r u u u u r|的最大值是( )．A．4 B．5C．2 D．1二、填空题(每小题6分，共18分)9．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于49-，则顶点C的轨迹方程是____________________．10．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝则焦点F到直线AB的距离为______．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为，求抛物线的标准方程．13．(10分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为2．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．14．(14分)设椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足||k>．参考答案1答案：C 解析：设直线32ax =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝32ac -，故cos 60°＝2231222a cF M PF c -==， 解得34c a =，故离心率34e =．2答案：B 解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为2p x =-， ∴22p-=-，解得p ＝4．∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ．3答案：A 解析：由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==．4答案：C 解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24，故选C ． 5答案：C 解析：由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为1k-． 从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩解得M 的横坐标124x k =．同理可得N 的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16．6答案：D 解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有221122221,1641.164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得21212121()()()()164x x x x y y y y +++-=-， 即212121214()16()y y x x x x y y -+=--+．而AB 的中点为M (1,1)， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又k AB ＝2121y y x x --，所以k AB ＝4211624⨯-=-⨯，于是弦AB 所在直线的方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0． 7答案：A 解析：由题意得2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的方程为by x a=±，即bx ±ay ＝0．又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，∴a 2＋b 2＝32＝9，解得a 2＝5，b 2＝4．∴该双曲线的方程为22=154x y -．8答案：C 解析：依题意a 2＝4，b 2＝1，c =则F 1(0)，F 20)．设P (x ，y )，则1PF u u u r ＝(x ，－y )，2PF u u u u r＝x ，－y )． 12PF PF ⋅u u u r u u u u r ＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－14x 2＝2324x -，因为点P 在椭圆上， 所以－2≤x ≤2，故－2≤34x 2－2≤1， 故12PF PF ⋅u u u r u u u u r ＝2324x -∈[0,2]，即12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最大值是2．9答案：22=13616x y +(x ≠±6，y ≠0) 解析：设C (x ，y )，则k AC ·k BC ＝4669y y x x ⋅=-+-，整理得4x 2＋9y 2＝144(x ≠±6，y ≠0)．10答案：2 解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝AB ⊥x 轴，得2212A y ==，∴234A A y x ==，∴点F 到直线x ＝3的距离为2． 11答案：22=1168x y + 解析：由椭圆的第一定义可知△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又离心率为2，即2c a =，所以c =a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，则椭圆C 的方程为22=1168x y +． 12答案：解：设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由22,4,y mx y x ⎧=⎨=-⎩得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0， 所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，=由m＝1或m＝－9．经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x．13答案：解：由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b=得直线FA的方程为xae+-，ey-+=．∵原点O到直线FA=a=2e=．答案：解：设椭圆C的左焦点F,02a⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有1,2220,22x y=⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得010x a=，05y=．∵P在圆x2＋y2＝4上，∴22+=4105a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．故椭圆C的方程为22=184x y+，点P的坐标为68,55⎛⎫⎪⎝⎭．14答案：解：设椭圆C的左焦点F,0⎛⎫⎪⎪⎝⎭关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有1,22220,22x a y=⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得010x a=，05y=．∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴22+=4⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有220022=1x y a b+．①由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0． 由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率2e =．答案：解：证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0， 于是0221ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝2244a k b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||k (方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有2220022=1x k x a b+． 因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以2220022<1x k x a a +，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是x 0＝221ak -+．代入③，得(1＋k2)2224(1)ak+＜a2，解得k2＞3，所以||k>。

第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ． 26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22 B ．2 C ．322D ．2 2 10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|P A |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积． 21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ．（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4．4．若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =c a a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（ab）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ． 二、填空题13．18 14．x 281＋y 272＝1 15．10 16．92 17．823 18．3提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823． 18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p ，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p 212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0），从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1．20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，①又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c＝－1，得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1；（2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1， 所以e 的取值范围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713．24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3，所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0），则（x 1－x 2）2＝36t (3t ＋4)2＝369t ＋16t ＋24≤3629t ×16t ＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．。

第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别： 姓名： 成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴 上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意 一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是 ． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2， 则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则 易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3， 得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )． 设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)． 【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2， 又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。

（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组]及答案一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,02．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定二、填空题1．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

2．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

5．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

高二数学选修21第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）题型归纳圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。

一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：_-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向_轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线_+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：_2+y2=1外切，与⊙C2：_2+y2-8_+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(_+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(_+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(_+2)2+(y-1)2=|3_+4y-12|5.左侧表示(_，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(_，y)到定直线3_+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线_=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，D1C1C1P，点P到直线C1D1的距离即为C1P的长度，由题意知，点P到点C1的距离与点P到直线BC的距离相等，这恰符合抛物线的定义.12.解由题意，得MP=MQ，RP=2a.MR-MQ=MR-MP=RP=2a点M的轨迹是以R、Q为两焦点，实轴长为2a的双曲线右支.第2章圆锥曲线与方程单元检测的全部内容就是这些，预祝大家新学期可以取得更好的成绩。

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题一．选择题1 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A1481622=-y x B 127922=-y x C 1481622=-y x 或127922=-y x D 以上都不对 2.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④3．圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点,MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C)12522=-y x (D) 15222=-y x 5．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．8 26．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一动点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则cos∠F 1PF 2的最小值是( )A.12B.19C ．－19D ．－597．定义：离心率e ＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F (c,0)(c >0)，P 为椭圆E 上的任意一点，若a ，b ，c 不是等比数列，则( )A ．E 是“黄金椭圆”B. E 一定不是“黄金椭圆”C. E 不一定是“黄金椭圆”D. 可能不是“黄金椭圆”8．已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B两点，若△ABF 2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( ) A ．(0，2－1)B ．(0，3－1) C ．(2－1,1) D ．(3－1,1)9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3C.115D.3716二．填空题11.双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________12．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．13．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是________．14．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e 21＋e 22的最小值是________． 15．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为________． 三．解答题16. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.17．已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）． （1）求证直线AB 的斜率为定值； （2）求△AMB 面积的最大值．19．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.20．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为362⎛⎫⎪⎝⎭，．求抛物线与双曲线的方程．21．某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题命题人：王琴 审题人：朱杏平答案 一．选择题 1．B2. D 3. D 4. D 5.解析：|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2·|PQ | ＝14＋8 2. 答案：C6.解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由题意m ＋n ＝6，c ＝5，则cos∠F 1PF 2＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(m ＋n )2－4c 2－2mn 2mn ＝4b 22mn －1≥2×4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝－19.答案：C7. 解析：假设E 为黄金椭圆，则e ＝c a ＝5－12， 即c ＝5－12a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a 2＝ac . 即a ，b ，c 成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”． 答案：B8.解析：由△ABF 2为钝角三角形，得AF 1>F 1F 2，∴b 2a>2c ，化简得c 2＋2ac －a 2<0，∴e 2＋2e －1<0，又0<e <1，解得0<e <2－1，选A.答案：A9.解析：∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c a，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2aca 2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝34a 2，∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．故应选A. 答案：A10.解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A 二．填空题11．221205x y -=± 12. 2213.解析：设靠近A 的长轴端点为M ，另一长轴的端点为N .若小球沿AM 方向运动，则路程应为2(a －c )；若小球沿AN 方向运动，则路程为2(a ＋c )；若小球不沿AM 与AN 方向运动，则路程应为4a .答案：4a 或2(a －c )或2(a ＋c )14.解析：∵e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b2，∴e 21＋e 22＝a 2＋b 2a 2＋a 2＋b 2b2＝2＋b 2a 2＋a 2b2≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 答案：415.解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由点到直线的距离公式，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204－y 02＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个． 答案：3三．解答题16.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k =时，曲线224x y +=为一个圆；当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆 17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （0,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 1322=+y x （2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m ①13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p pmkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 kmk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21） 18．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴22=AB k （定值）． （2）设直线AB 方程为m x y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =． 设AMB ∆的面积为S ．∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．19．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22kak ak T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴kak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或13+±=y x20．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．21．解：取抛物线顶点为原点，水平向右为x 轴正方向建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，当3x =时，3y =-，即取抛物线与矩形的结合点(33)-，， 代入22x py =-，得96p =，则32p =， 故抛物线方程为23x y =-． 已知集装箱的宽为3m ，取32x =， 则21334y x =-=-．而隧道高为5m ，35m m 4-14m 4m 4=>．所以卡车可以通过此隧道．。

高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元测试班别： 姓名： 成绩：一、选择题(每小题5分，共40分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32 B.34 C.22 D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020 D.1023．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5， 则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 二、填空题(每小题5分，共20分)9．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．10．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．11．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是 ． 12．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)13．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．14、（15分）知抛物线x y 42 ，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的 中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．15.(15分)过y 2=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。

章节能力测试题（二）（测试范围：第二章：圆锥曲线与方程）一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1. θ是任意实数，则方程x 2+y 2sin θ=4的曲线不可能是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆2. 已知椭圆21)(1222t y x -+=1的一条准线方程为y =8，则实数t 的值为（ ） A.7或－7B.4或12C.1或15D.03. 双曲线ky x 224+=1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是（ ）A.（－∞,0）B.(－12,0)C.(－3,0)D.(－60,－12)4. 以12422y x -=－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A.121622y x +=1B.161222y x +=1 C.41622y x +=1D.16422y x + =1 5. 过抛物线y =ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2aB.a21 C.4a D.a4 6. 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是（ ） A.y 2=425x B.y 2=445x C.x 2=-225y D.x 2=-445y 7. 抛物线y =x 2到直线 2x －y =4距离最近的点的坐标是（ ） A.)45,23(B.（1，1）C.)49,23(D.（2，4）8. 12222=-b y a x 与2222ay b x -=1（a ＞b ＞0）的渐近线（ ）A.重合B.不重合，但关于x 轴对称C.不重合，但关于y 轴对称D.不重合，但关于直线y =x 对称9. 动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则动圆必过定点（ ） A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－2）10. 设P 是椭圆4922y x +=1上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则cos F 1PF 2的最小值是（ ）A.－91B.－1C.91 D.21 11. 设抛物线的顶点为O,经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B 、C ，经过抛物线上任一点P 垂直于轴的直线和轴交于点Q ，若2PQ =OQ BC ⋅λ，则λ值为( )A. 1B.21C. 2D. 3 12. 已知双曲线12222=-by a x 的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ,P 为双曲线上任意一点，那么分别以线段1PF ,21A A 为直径的两个圆的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 已知点A （0，1）是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________.14. 已知F 1、F 2是双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦.如果∠PF 2Q =90°,则双曲线的离心率是_________.15. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2=72x 上，这个正三角形的边长是 . 16. 点P （8，1）平分双曲线x 2－4y 2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______. 三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）P 为椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上一点，F 1为它的一个焦点，求证：以PF 1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切.18.（本小题满分12分）抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N .求证： （1）A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线； （2）FN ⊥AB （F 为抛物线的焦点）.F 1、F 2分别是双曲线122=-y x 的两个焦点，O 为坐标原点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线b kx y l +=:与圆O 相切，与双曲线交于A 、B 两点. （1）根据条件求出b 和k 满足的关系式； （2）当221b =⋅时，求直线l 的方程；20.（本小题满分12分）已知⊙O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（1）当O '点运动时，||MN 是否有变化？并证明你的结论；（2）当||OA 是||OM 与||ON 的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O '的位置关系，并说明理由．已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是它左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y =3x ，问是否存在点P ，使d 、｜PF 1｜、｜PF 2｜成等比数列？若存在，求出P 的坐标；若不存在说明理由.22.（本小题满分14分）已知动点P 与双曲线22123x y -=的两个焦点12,F F 的距离之和为定值2a （a >，且12cos F PF ∠的最小值为19-． （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若已知D （0，3），M 、N 在动点P 的轨迹上，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．数学参考答案与解析一、选择题:1．C 解析:当sin θ∈［－1,0)时，方程x 2+y 2sin θ=4的曲线是双曲线；sin θ=0时，方程的曲线是两条平行直线；sin θ∈(0,1)时，方程的曲线是椭圆；sin θ=1时，方程的曲线是圆. 2. C 解析:由题设y －t =±7，∴y =t ±7=8,∴t =1或15.3. B 解析:∵a 2=4,b 2=－k ,∴c 2=4－k . ∵e ∈(1,2),∴4422k a c -=∈(1,4),∴k ∈(－12,0).4. D 解析:双曲线41222x y -=1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±12）. ∴椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±12）.∴在椭圆中a =4,c =12,∴b 2=4.∴椭圆的方程为16422y x +=1. 5. C 解析:当直线平行于x 轴时，由于F 点的纵坐标为a 41,因此x P =－a 21,x Q =a21, ∴||1||111Q P x x q p +=+=4a . 6. C 提示:用待定系数法求解.7. B 解析:设P （x ,y ）为抛物线y =x 2上任一点，则P 到直线的距离d =53)1(5|42|5|42|22+-=+-=--x x x y x , ∴x =1时，d 取最小值553，此时P （1，1）. 8. D 解析:双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为y =±ay b x x a b 222,-=1的渐近线方程y =±b a x 、y =a bx 与y =b a x 关于直线y =x 对称，y =－a b x 与y =－bax 关于直线y =x 对称. 9. B 解析:直线x +2=0为抛物线y 2=8x 的准线，由于动圆恒与直线x +2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）. 10. A 解析:设P （x 0,y 0）,则－3≤x 0≤3.cos F 1PF 2=)353)(353(2)52()353()353(||||2||||||0022020212212221x x x x PF PF F F PF PF -+--++=-+202051999x x -=- . ∴当x 0=0时，cos F 1PF 2最小，最小值为－91. 11. A 解析: 设抛物线方程为22y px =, 点P 纵坐标为p y ,代入可得点Q 坐标为(0,22p y p), BC=2p ,则222122p p y PQy BC OQp pλ===⋅⋅, 故应选A.12. B 解析:取特例,当P 在A 1或A 2时，则以PF 1,A 1A 2为直径的两个圆的位置关系是相切,由此推断两圆相切,故选B.二、填空题: 13. (±31,324-)解析:∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ,sin θ)， 则｜AP ｜=316)31(sin 3)1(sin cos 4222++-=-+θθθ.∴当sin θ=－31时，｜AP ｜最大，此时P 的坐标为(±31,324-). 14. 1+2解析:由｜PF 2｜=｜QF 2｜,∠PF 2Q =90°,知｜PF 1｜=｜F 1F 2｜即 aca b c a b ⋅==2,2222, ∴e 2－2e －1=0,e =1+2或e =1－2（舍）.15. 1443解析:设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=72x 1、y 22=72x 2.由|OA|=|OB|，得x 12+y 12=x 22+y 22，x 12+2px 1-x 22-2px 2=0.∴x 1=x 2.∴线段AB 关于x 轴对称.∴∠AOx=30°，11x y =tan30°=33.∵x 1=7221y，∴y 1=723.∴|AB|=1443.16. 2x －y －15=0解析:设弦的两端点分别为A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2），则x 12－4y 12=4,x 22－4y 22=4，两式相减得(x 1+x 2)(x 1－x 2)－4(y 1+y 2)·(y 1－y 2)=0.∵AB 的中点为P （8，1）， ∴x 1+x 2=16,y 1+y 2=2,∴2121x x y y --=2.∴直线AB 的方程为y －1=2(x －8),即2x －y －15=0. 三、解答题:17. 证明:设PF 1的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为｜OM ｜=21｜PF 2｜=21 (2a －｜PF 1｜)=a －21｜PF 1｜. 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，∴两圆内切.即以PF 1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切.18. 证明:（1）设A （x 1,y 1）、B (x 2,y 2)、中点M （x 0,y 0），焦点F 的坐标是（2p,0）. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2得ky 2－2py －kp 2=0. ∴A 、B 、M 在准线上的射影依次为C 、D 、N ， ∴C (－2p ,y 1)、D (－2p ,y 2)、N (－2p ,y 0). ∵2,222121111p y k y ppy y x y k OD OA-====,由ky 2－2py －kp 2=0得y 1y 2=kkp 2-=－p 2,∴k OA =k OD ,∴A 、O 、D 三点共线.同理可证B 、O 、C 三点共线.（2）k FN =p y -0,当x 1=x 2时，显然FN ⊥AB ；当x 1≠x 2时，k AB =)(212122121212y y p y y x x y y --=--212y py y p =+=,∴k FN ·k AB =－1.∴FN ⊥AB .综上所述知FN ⊥AB 成立.19. 解析:（1）双曲线122=-y x 的两个焦点分别是)0,2(),0,2(21F F -，从而圆O 的方程为.222=+y x由于直线b kx y +=与圆O 相切，所以有.21||2=+kb即)1(),1(222±≠+=k k b 为所求.（2）设),(),,(2211y x B y x A 则由y y x b kx y 消去⎩⎨⎧=-+=.1,22并整理得， .1,0)1(2)1(2222≠=+++-k b k b x x k 其中根据韦达定理，得.11,122221221-+=-=+k b x x k kb x x 从而11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+1212()()x x kx b kx b =+++ 221212(1)()k x x kb x x b =++++222222212(1).11b k b k b k k+=+++-- 又因为),1(2,21222+==⋅k b b 且2222222234(1)(1)2(1)11k k k k k k k ++∴+⋅+++--21,k =+ 即01141322222=+-+-+kk k k ∴,2,014322222=∴=-+-+k k k k此时满足222244(1)(1)0k b k b ∆=--+>21,k ≠及 从而.6,2±=±=b k所以直线l 的方程为.6262-±=+±=x y x y 或20. 解析:（1）设00(,),O x y '则20002(0)x py y =≥则O ' 的半径||O A '=,⊙O '的方程为22220000()()()x x y y x y p -+-=+-令0y =，并把2002x py =代入得2220020x x x x p -+-=， 解得1020,x x p x x p =-=+， ∴12||||2MN x x p =-=，∴||MN 不变化，为定值2p ． （2）不妨设)0,(),0,(00p x N p x M +-由题意||||||2ON OM OA +=得||||200p x p x p ++-=, p x p ≤≤-∴0 .O ' 到抛物线准线2py -=的距离p p x p y d 222200+=+=⊙O '的半径||O A '==440421p x p += . 2220440)(4p x p x d r +>+⇔> 22023p x <⇔ 又 )0(232220><≤p p p x. 故d r >，即⊙O '与抛物线的准线总相交.21. 解析:假设存在点P (x 0,y 0)满足题中条件. ∵双曲线的一条渐近线为y =3x ,∴a b a b 3,3==,∴b 2=3a 2,c 2－a 2=3a 2,ac=2.即e =2. 由dPF PF PF ||||||112==2得， ｜PF 2｜=2｜PF 1｜ ①∵双曲线的两准线方程为x =±ca 2,∴｜PF 1｜=｜2x 0+2·c a 2｜=｜2x 0+a ｜,｜PF 2｜=｜2x 0－2·ca 2｜=｜2x 0－a ｜.∵点P 在双曲线的左支上，∴｜PF 1｜=－(a +ex 0),｜PF 2｜=a －ex 0,代入①得：a －ex 0=－2(a +ex 0),∴x 0=－23a ,代入220220by a x -=1，得y 0=±215a .∴存在点P 使d 、｜PF 1｜、｜PF 2｜成等比数列，点P 的坐标是(－23a ,±215a ). 22. 解析:（1）由题意知25c =，设12||||2(PF PF a a +=>由余弦定理得22221212121212||||||210cos 12||||||||PF PF F F a F PF PF PF PF PF +--∠==-.又12||||PF PF ⋅≤2212||||()2PF PF a +=.当且仅当12||||PF PF =时，12||||PF PF ⋅取最大值，此时12cos F PF ∠取最小值222101a a -- 令2222101199a a a --=-⇒=∵c =∴24b =故所求P 的轨迹方程为22194x y += . （2）设(,),(,)N s t M x y ，则由DM DN λ=可得(,3)(,3)x y s t λ-=- ，故,3(3)x s y t λλ==+-.∵M 、N 在动点P 的轨迹上，故22194s t +=且22()(33)194s t λλλ+-+=消去s得：2222(33)14t tλλλλ+--=-解得1356tλλ-=，又||2t≤∴135||6λλ-≤2，解得155λ≤≤故λ的取值范围是155λ≤≤ .。

选修2-1第二章圆锥曲线检测题时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．对抛物线y 2＝4x ，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 2．若方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,1)3．椭圆x 2m 2＋y 23－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )A ．1 B.－1±172C ．－2或1D ．－2或1或－1±1724．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标和渐近线方程分别为( )A ．(±4,0)，y ＝±33x B ．(±4,0)，y ＝±3x C ．(±2,0)，y ＝±33x D ．(±2,0)，y ＝±3x7.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．39．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP→＝4FQ →，则|QF | ＝( )A.72 B ．3 C.52 D ．211．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A.2B.32C. 3D.62 12．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2，给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2>b 1b 2；④a 1－a 2<b 1－b 2.其中，所有正确结论的序号是( )A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 14．抛物线焦点在y 轴上，且被y ＝12x ＋1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________．15．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2b ＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，y ，求椭圆及双曲线的方程．18．(12分)已知椭圆C 短轴的一个端点为(0,1)，离心率为223. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线y ＝x ＋b 交椭圆C 于A ，B 两点，若|AB |＝635，求b .19．(12分)已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y 2m ＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P ，Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值；(2)P ，Q 两点的坐标；(3)△PF 1F 2的面积．20.(12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．22.(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．第二章单元质量评估(二)1．C 抛物线y 2＝4x 开口向右，焦点为(1,0)，因此选C. 2．D 将椭圆方程变形为x 21m ＋y 212－m ＝1，当焦点在x 轴上时，则有1m >12－m>0，解得0<m <1.3．C{ 3－m >m 2 (3－m )－m 2＝1得m ＝－2或1.4．B 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选B.5．A 因为0<k <9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 29＝1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.6．B 本题考查了椭圆和双曲线的相关性质．易知椭圆焦点(±4,0)，双曲线离心率e ＝ca ＝2，c ＝4，可知a ＝2. 又因为a 2＋b 2＝c 2，可得b ＝23，双曲线的渐近线方程：y ＝±b a x ，即y ＝±3x .故选B.7．A 由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此ba ＝2，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1，故选A.8．C 设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝ 3.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，所以x 0＝－p 2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp 2a .由⎩⎨⎧c a ＝2，a 2＋b 2＝c 2，得b ＝3a ，所以|y 0|＝32p .所以S △AOB ＝34p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．9．B 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.故kP A 1＝－341kP A 2.∵kP A 2∈[－2，－1]，∴kP A 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.故选B.10．B 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4. 过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ，则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34， ∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.11．C 不妨设P 是双曲线右支上的一点，根据定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a .∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，且c >a ，∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2＝30°，根据余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32，又e ＝c a ，即c ＝ae 代入化简可得e ＝ 3.12.C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1>a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2>b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，∴a 1＋a 2>b 1＋b 2>0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2<b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④，故应选C.13．y ＝±34x解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 14．x 2＝4y 或x 2＝－20y解析：设抛物线方程为x 2＝my ，联立抛物线方程与直线方程y ＝12x ＋1并消元，得2x 2－mx －2m ＝0，所以x 1＋x 2＝m2，x 1x 2＝－m ，所以5＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，把x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－m 代入解得m ＝4或－20.所以抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝－20y .15.52解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－ba x ，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b . 由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54.故c a ＝52. 16．x 2＋32y 2＝1解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c3，得B 0坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c3.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋c )，x 2＋y 2b 2＝1得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0， 其两根为－5c3和c ，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－53c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b 2，－53c ×c ＝k 2c 2－b 2k 2＋b 2，解之，得c 2＝13，∴b 2＝1－c 2＝23. ∴椭圆方程为x 2＋32y 2＝1.17．解：由椭圆与双曲线有相同的焦点，得10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b .①又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，y 在椭圆、双曲线上， 得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝89m ， ②y 2＝b 9. ③解由①，②，③组成的方程组，得m ＝1，b ＝8，∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2－y28＝1.18．解：(1)由题意可设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知b ＝1，∴a 2－c 2＝1. ∵e ＝c a ＝223，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 29＋y 2＝1，得x 2＋9(x ＋b )2－9＝0,10x 2＋18bx ＋9b 2－9＝0，∴x 1＋x 2＝－95b ，x 1x 2＝9b 2－910， ∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝28125b 2－4×9b 2－910＝635，∴81b 225－18b 2－185＝5425，解得b ＝2. 19.解：(1)∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴2p ＝4，∴p2＝1，∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝6，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－6，∴点P ，Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，6，⎝⎛⎭⎪⎫32，－6.(3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y P |＝12×2×6＝ 6.20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.22．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k . ③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合ⅰ，ⅱ可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。

第二章 圆锥曲线[基础训练A 组] 一、选择题1． 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3， 则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 5．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 6．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±二、填空题1．若椭圆221x my +=_______________. 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

3．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

4．抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.5．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三、解答题1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？2．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线[基础训练A 组] 一、选择题1． 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3， 则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线 4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =， 那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 5．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 6．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±二、填空题1．若椭圆221x my +=_______________. 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

3．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

4．抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.5．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三、解答题1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？2．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。