第21章第3课时 配方法解一元二次方程-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)

2019-2020学年九年级数学上册第21章第3课时解一元二次方程——配方法导学案（新版）新人教版一、学习目标 1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；2．学会利用配方法解一元二次方程.二、知识回顾 1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m= ±n ，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.2．如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得x ＝ ±p 或mx ＋n = ±p ． 三、新知讲解 1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±及直接开平方法．2．配方法的步骤（1）化—— 化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1.（2）移——移项通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 .（3）配——配方在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为2()x m n +=(n ≥0)的形式．（4）解——用直接开平方法解方程.四、典例探究1．配方法解一元二次方程 【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100 B ．x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t ﹣）2= D ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右边； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法解这个方程. 练1用配方法解方程： x 2﹣2x ﹣24=0；（2）3x 2+8x-3=0；（3）x （x+2）=120. 2．用配方法求多项式的最值 【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？典例探究答案：【例1】【解析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A 、∵x 2﹣2x ﹣99=0，∴x 2﹣2x=99，∴x 2﹣2x+1=99+1，∴（x ﹣1）2=100，故A 选项正确．B 、∵x 2+8x+9=0，∴x 2+8x=﹣9，∴x 2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B 选项错误．C 、∵2t 2﹣7t ﹣4=0，∴2t 2﹣7t=4，∴t 2﹣t=2，∴t 2﹣t+=2+，∴（t ﹣）2=，故C 选项正确．D 、∵3x 2﹣4x ﹣2=0，∴3x 2﹣4x=2，∴x 2﹣x=，∴x 2﹣x+=+，∴（x ﹣）2=．故D 选项正确．故选：B ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1．【解析】（1）移项，得x 2﹣2x=24，配方，得：x 2﹣2x+1=24+1，即：（x ﹣1）2=25，开方，得：x ﹣1=±5，∴x 1=6，x 2=﹣4．（2）两边除以3，得： 28103x x +-=, 移项，得：2813x x +=， 配方，得：222844()1()333x x ++=+， 即：2245(x )()33+=， 开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=， 配方，得：2211201x x ++=+， 即：2(1)121x +=， 开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．【例2】【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y，4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．练2．【解析】将﹣8x2+12x﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．课后小测答案：一、选择题1．【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方．解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+2=（x﹣1）2+2．故选：B．点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．2．【解析】先移项，得x2﹣8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16，即可得到完全平方的形式．解：移项，得x2﹣8x=1，配方，得x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握．二、填空题3．【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．解：∵（x﹣3）2=x2﹣6x+9，∴a=9；故答案为：9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解．解：根据题意得：3x2﹣6x=12，即x2﹣2x=4，配方得：x2﹣2x+1=5，即（x﹣1）2=5，开方得：x﹣1=±，解得：x=1±．故答案为：1±．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题5．【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，配方得（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x1=1﹣，x2=1+．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．6．【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．解：原式=x2﹣2x+1+4y2+4y+1+3=（x﹣1）2+（2y+1）2+3≥3，当x=1，y=﹣时，x2+4y2﹣2x+4y+5有最小值是3．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．【解析】对于x2+4x﹣3和x2﹣3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方．配成一个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值．解：（1）正确（2）能．过程如下：x2﹣3x+4=x2﹣3x+﹣+4=（x﹣）2+∵（x﹣）2≥0，所以x2﹣3x+4的最小值是．点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法．不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题．它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方．同时要理解完全平方式的非负数的性质．8．【解析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥．则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．【解析】先将原式变形为x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5，由非负数的性质就可以求出最小值．解：x2﹣2m﹣m2+5m﹣5=（x﹣m）2﹣2m2+5m﹣5．∵代数式x2﹣2m﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，∴﹣2m2+5m﹣5=﹣23解得 m=﹣2或m=点评：本题考查了配方法的运用，非负数的性质，一个数的偶次幂为非负数的运用．解答时配成完全平方式是关键．10．【解析】①由完全平方式的最小值为0，得到x=1时，代数式的最大值为3；②将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；③设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为16m，表示出平行于墙的一边为（16﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．解：①∵（x﹣1）2≥0，∴当x=1时，（x﹣1）2的最小值为0，则当x=1时，代数式﹣2（x﹣1）2+3的最大值为3；②代数式﹣x2+4x+3=﹣（x2﹣4x+4）+7=﹣（x﹣2）2+7，则当x=2时，代数式﹣x2+4x+3的最大值为7；③设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．故答案为：①1；大；3；②2；大；7点评：此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．。

《配方法解一元二次方程》教案2教学设计说明：在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，故本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入直接开平方法和配方法．教学设计将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上．通过例题规范用配方法解一元二次方程的过程，帮助学生充分掌握用配方法解一元二次方程的技巧，同时通过几个实际应用问题，让学生体会到了方程在实际问题中的应用，感受到了数学的实际价值，培养了学生分析问题，解决问题的能力．（1）教材分析从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础．初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本节教材中都有比较多的体现、应用和提升．我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义．通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法．解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次思想．本节课由简到难的展开学习，逐步认识配方法的基本原理并掌握其具体方法与步骤．（2）学情分析学生的知识技能基础：学生已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式．在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义．学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标1．理解一元二次方程“降次”的转化数学思想，会利用直接开平方法对形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程进行求解，并能应用它解决一些具体问题．2．理解配方的基本步骤，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．在对一元二次方程进行配方及变形过程，让学生进一步体会转化的思想方法，能利用方程解决简单的实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力．教学重点、难点1．重点：运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，领会降次──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．关键是讲清配方法的解题步骤：①先将已知方程化为一般形式，再将左边的二次项系数化成1的形式，并把常数项移到方程的右边．②要在方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式．③当方程右边的常数是非负数时，用直接开平方法求解．这里第二步是关键也是难点．2．难点：配方要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备．关键：通过根据平方根的意义解形如x 2= p （p ≥0）的知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程及发现不同方程的转化方式，把常数项移到方程右边后，方程两边同时加上的常数是一次项系数一半的平方．利用实际问题，初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识．通过对例题的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成一般形式，同时通过例2、例4明白：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍． 课时设计两课时．教学策略本节课主要通过以旧引新，由平方根与相关活动问题为切入点，引导学生理解将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程，以求得方程的根，揭示解一元二次方程的基本思想——降次和解一元二次方程的方法（直接开平方法）．进而由特殊方程过渡到一般方程的解法上来（配方法），告诉我们如何对一个一元二次方程进行配方，并最终达到求得方程的根的目的．教学过程一 复习与回顾问题1：判断下列各题的对错，并说明理由．（1）如果一个数的平方等于a ，那么它的平方根为±a ；（2）正数的平方根有两个，0的平方根为0；（3）任何数的平方根有两个；问题2：填空（1）x 2-8x +______=（x -______）2；（2）9x 2+12x +_____=（3x +_____）2；（3）x 2+px +_____=（x +______）2．〖答案〗问题1．（1）错，当a 为负数时，在实数范围内无意义．（2）对 （3）错，负数没有平方根． 问题2．（1）16 4 （2）4 2 （3）42p 2p 【设计意图】通过两个问题的复习，让学生进一步理解平方根的概念和完全平方式．学生易于接受，为学生的进一步学习打好基础与铺垫，二 新课探究问题3：方程x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x =±3，如果x 换元为2t +1，即（2t +1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？归纳发现：解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x 转化为应用直接开平方法解形如（mx +n ）2=p （p ≥0），那么mx +n =，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解【设计意图】探究这个方程的解法上，让学生从特殊方程x 2= p （p≥0）的解法进而转化到一般形如（mx+n ）2=p （p≥0）一元二次方程的解法，归纳出直接开平方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程．例1：解方程：（1） （x +2）2=9； （2）3（x -1）2-6=0； （3）x 2+6x+9=2解： （1） x 1= 1，x 2=-5 （2）121,1x x =．（3）由已知，得：（x +3）2=2直接开平方，得：x +3=即x x所以，方程的两根x 1x 2 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14．4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．一年后人均住房面积就应该是10+10x =10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x =10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14．4（1+x ）2=1．44直接开平方，得1+x =±1．2即1+x =1．2，1+x =-1．2所以，方程的两根是x 1=0．2=20%，x 2=-2．2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2．2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．【设计意图】进一步理解能利用直接开平方法解一元二次方程的方程特征和基本步骤，获得更多的数学经验，并将所学知识应用于实际生活，体现数学的应用性．三 拓展探究问题4：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx +n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x =或mx +n =（p ≥0）． 如：4x 2+16x +16=（2x +4）2 ，你能把4x 2+16x =-7化成（2x +4）2=9吗？问题5：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽各是多少？ 设宽为x m ，则长为（x +6）m ，根据题意得x （x +6）＝16，化简转化为：x 2+6x -16=0移项→x 2+6x =16 两边加（62）2使左边配成x 2+2bx +b 2的形式 → x 2+6x +32=16+9 左边写成平方形式 → （x +3）2=25降次→x +3=±5 即 x +3=5或x +3=-5解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根，但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，长为8m ．归纳发现：像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为（x +p ）2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p q ＜0，方程无实根．【设计意图】学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．以解决问题为立足点和出发点，有益于培养学生的应用意识，通过对比，发现问题，设置矛盾冲突，可以激发学生的探究欲．例3：用配方法解下列方程：（1）2820x x -+= （2）22490x x +-=解：（1）移项，得282x x -=-配方 2228424x x -+=-+ 2(4)14x -=由此可得 4x -=124,4x x ==．（2） 移项，得2249x x +=二次项系数化为1，得2922x x += 配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2x +=∴12x +=±∴121,122x x =-=-- 运用配方法解一元二次方程，先移项把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时除以二次项的系数，把二次项的系数化为“1” 的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()ax b m +=的形式，再用直接开平方的方法求解．配方的关键是在二次项系数为1的形式下，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．【设计意图】在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．例4．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x +24=0（x -7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．【设计意图】本例题有一定的思维度，让学生学会运用所学的知识解决新的问题，具有一定的挑战．鼓励学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，培养学生发现问题的意识与独立思考判断能力．四 归纳小结用你的语言描述一下配方法解一元二次方程的基本步骤和需注意的问题？本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．【设计意图】教师引导学生对配方法的完整回顾，学生可以在回忆和思考中加深对配方知识的理解，加强记忆和应用能力．五 课后作业1．若x 2-4x +p =（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）A ．p =4，q =2B ．p =4，q =-2C ．p =-4，q =2D ．p =-4，q =-22．方程3x 2－27=0的根为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根3．配方法解方程2x 2-43x -2=0应把它先变形为（ ） A ．（x -13）2=89 B ．（x -23）2=0 C ．（x -13）2=89 D ．（x -13）2=109 4．若8x 2-16=0，则x 的值是_________5．如果方程2（x -3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________6．解方程（1）（2x -1）2=5；（2）x 2+8x +16=20；（3）9y 2-18y -4=0（4）x 27．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．8．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3．31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？课后作业答案1．B 2．C 3．D 4 5．9或-36．（1）215,21521+-=+=x x（2）124,4x x ==-（3）y 2-2y -49=0，y 2-2y =49，（y -1）2=139，y -1=±3，y 1=3+1，y 2=1-3（4）x 2=-3 （x 2=0，x 1=x 2 7．解得x 1=3，x 2=1，∴三角形周长为9（∵x 2=1，∴不能构成三角形）8．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3．31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x +12）2=2．56，即（x +32）2=2．56 x +32=±1．6，即x +32=1．6，x +32=-1．6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3．1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．六 板书设计七教学反思学生在初一、初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，所以本节课从这两个方面入手学习探究直接开平方法与配方法，利用简单的实际问题逐步引入配方法．教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上．通过前两个例题规范用配方法解一元二次方程的过程，帮助学生充分掌握用配方法解一元二次方程的技巧，通过拓展应用例题，让学生体会到了方程在实际问题中的应用，感受到了数学的实际价值．培养了学生分析问题，解决问题的能力．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．本节课两次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性．。

人教版数学九年级上册第21章第3课时解一元二次方程——配方法（教师版）一、教学目标本课时的教学目标如下：1.了解一元二次方程的概念及性质；2.通过配方法解一元二次方程；3.掌握配方法解一元二次方程的步骤与技巧；4.能够灵活运用配方法解决相关的问题。

二、教学重点本课时的教学重点如下：1.掌握配方法解一元二次方程的步骤；2.熟练应用配方法解决实际问题。

三、教学难点本课时的教学难点如下：1.灵活运用配方法解决复杂的一元二次方程；2.把数学知识与实际问题结合，较深入地理解一元二次方程的应用。

四、教学准备为了顺利开展本课时的教学，请提前准备以下教具和材料：1.电子白板或黑板；2.马克笔或粉笔；3.课件或PPT。

五、教学过程本课时的教学过程分为以下几个环节。

1. 导入新知识1.复习上一课时的知识点，引导学生回顾一元二次方程的概念及性质。

2.提出问题：如何解一元二次方程？3.引导学生思考，引出本课时的主题：配方法解一元二次方程。

2. 讲解配方法的步骤与原理1.给出一个一元二次方程，如：x^2 - 5x + 6 = 0。

2.介绍配方法的步骤：–将一元二次方程变形为完全平方形式；–让方程两边对应项相等，得到一个新的方程；–化简新方程，解得一元二次方程的解。

3.通过具体的例子，详细讲解每一步的操作方法和推理过程。

3. 练习配方法解一元二次方程1.在板书上给出一些练习题，由学生逐步完成解答。

2.对学生的解答进行点评，解释正确答案的求解过程，并帮助学生纠正错误。

4. 配方法的应用1.引导学生将配方法应用到实际问题中，解决相关的应用题。

2.分析应用题的解题思路和步骤，指导学生灵活运用配方法解决问题。

5. 总结与拓展1.对本课时的重点内容进行总结，强调学生需要掌握的核心知识和技巧。

2.引导学生思考，如何将配方法和其他解法相结合，进一步提高解一元二次方程的能力。

六、作业布置为了巩固本节课所学内容，布置以下作业：1.完成课后习题集上的练习题；2.思考并解答以下问题：配方法解一元二次方程的优点与局限性是什么？七、教学反思本节课通过配方法解一元二次方程的讲解与练习，提高了学生对于一元二次方程解法的理解与应用能力。

初识一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一元二次方程，熟悉一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的解的概念和相关运算，本节课的重点和是一元二次方程概念的理解，难点是一元二次方程一般形式的判断，通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础。

知识梳理讲解用时：20分钟【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5，故选：C。

讲解用时：2分钟解题思路：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。

教学建议：熟记一元二次方程定义。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：红桥区模拟年份：2019【练习1】把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（）。

A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1 D．2、3、1【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，原方程可整理为：2x2﹣3x﹣1=0，∴a=2，b=﹣3，c=﹣1，故选：B。

讲解用时：2分钟解题思路：首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值。

教学建议：首先将已知方程进行整理成一般形式，再来确定a、b、c的值。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：宁波期中年份：2019【例题2】下列方程中是一元二次方程的是（ ）。

A ．xy+2=1B ．09212=-+xx C ．x 2=0 D ．ax 2+bx+c=0 【答案】C【解析】本题考查了一元二次方程的定义，A 、是二元二次方程，故本选项错误；B 、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；C 、是一元二次方程，故本选项正确；D 、当a 、b 、c 是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误，故选：C 。

人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程配方法探求点1 解形如p x =2或)0()(2≥=+p p m nx 的一元二次方程情形激疑由492=x ,得7=x 或7-=x ,由此容易想到01532=-x 的解吗?知识解说假设方程能化成)0(2≥=p p x 的方式，那么可得p x ±=. 假设方程能化成p m nx =+2)((p ≥0)的方式，那么可得p m nx ±=+. 留意 (1)等号左边是一个数的平方的方式而等号左边是一个非正数。

(2)降次的实质是将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.(3)方法是依据平方根的意义开平方.典例剖析例1 解方程01692=-m思绪图示 →±=→=→=-169169016922m m m 求解。

答案 移项，得1692=m .例2 解方程08)2(22=-+x .思绪图示 ①移项8)2(22=+→x ；②两边同时除以4)2(22=+→x ；③直接开平方求解。

答案 由方程08)2(22=-+x ，得4)2(,8)2(222=+=+x x ，即22=+x ，或22-=+x .∴方程的两根为4,021-==x x . 类题打破1 方程032=-x 的解是 〔 〕 A.3,321-==x x B.3=x C.x=3 D.3,321-==x x答案 D点拨 先停止移项，然后直接应用开平方法求解。

类题打破2 用直接开平方法解方程.(1)02592=-x ； (2)036)12(42=--x . 答案 (1)移项,得 2592=x .方程两边同除以9,得9252=x ， 由平方根的定义可知x 是925的平方根， ∴35±=x ，即35,3521-==x x . (2)移项,得36)12(42=-x .方程两边同除以4,得9)12(2=-x .∴312±=-x ,即312=-x 或312-=-x ，点拨 用直接开平方法解方程先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式。

合作探究探究点1 解形如p x =2或)0()(2≥=+p p m nx 的一元二次方程 情景激疑由492=x ,得7=x 或7-=x ,由此容易想到01532=-x 的解吗? 知识讲解如果方程能化成)0(2≥=p p x 的形式，那么可得p x ±=. 如果方程能化成p m nx =+2)((p ≥0)的形式，那么可得p m nx ±=+. 注意 (1)等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

(2)降次的实质是将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.(3)方法是根据平方根的意义开平方.典例剖析例1 解方程01692=-m思路图示 →±=→=→=-169169016922m m m 求解。

答案 移项，得1692=m .例2 解方程08)2(22=-+x .思路图示 ①移项8)2(22=+→x ；②两边同时除以4)2(22=+→x ；③直接开平方求解。

答案 由方程08)2(22=-+x ，得4)2(,8)2(222=+=+x x ，即22=+x ，或22-=+x .∴方程的两根为4,021-==x x .类题突破1 方程032=-x 的解是 （） A.3,321-==x x B.3=xC.x=3D.3,321-==x x答案 D点拨 先进行移项，然后直接利用开平方法求解。

类题突破2 用直接开平方法解方程.(1)02592=-x ； (2)036)12(42=--x .答案 (1)移项,得 2592=x .方程两边同除以9,得9252=x ，由平方根的定义可知x 是925的平方根， ∴35±=x ，即35,3521-==x x .(2)移项,得36)12(42=-x .方程两边同除以4,得9)12(2=-x .∴312±=-x ,即312=-x 或312-=-x ，点拨 用直接开平方法解方程先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式。