高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表

等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
如奇数个数成等比，可设为…， …
（公比为 ，中间项用 表示）．
注意隐含条件公比 的正负．
即 当 由 可得 达到最小值时的 值．或求 中正负分界项．
法3：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值）．若Sp=Sq则其对称轴为 ．
①当 时，
②当 时，
（ 为常数， ）
前n项
和性质
①前 和项
是关于
的二次函数且常数项为0.
为等差数列，
且公差为 .
⑨若 ，且 ,
则 （p、q ）.
若 为等比数列,
①当 时，等比数列通项公式
是关于 的带有系数的类指数函数，底数为公比
②若p+q=s+r, p、q、s、r N*,则 .
特别地，
当 时,得 ，
③对任意c>0,c 1,若an恒大于0，则 为等差数列.
④若 、 为两等比数列，
则 , , ,
（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项．即： 或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列 是等比数列
主要
性质
若 等差数列：
①当公差 时，等差数列的通项公式
是关于 的一次函数，且斜率为公差 .
② .
③当 时,则有
（m、np、q N*）
特别地，
定义法：若 或
(常数 ) 是等差数列．
等比数列的证明方法：只能依据定义：
若 或
为等比数列
递推
关系
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
通项
公式
① =
推广： （m、 ）
特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式．
此公式比等差数列的通项公式更具有一般性．
， ，Байду номын сангаас
② （ ）
是关于 的一次函数，且斜率为公差
高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表
等差数列
等比数列
定义
一般地,如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d叫公差．
等差数列的单调性：
数列 为等差数列,则
当公差 ，则为递增等差数列，
当公差 ，则为递减等差数列，
当公差 ，则为常数列．
② 为等差数列.
③ .
④数列 为等差数列，且公差为原公差的 .
⑤若 则 .
⑥若 且 ,
则 p、q .
⑦ ，n>2m，m、n .
⑧若项数为2n，则 ，
且 ，
若项数为2n-1，则 ，
且 ， ，
（ ， ）.
⑨ 、 为等差数列的前 和分别为 、 ，则 .
①前 项和
系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数
为公比 .
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q，那么这个数列就叫等比数列．这个常数q叫公比．
等比数列的单调性：
数列 为等比数列,则
当 时， ；
当 时，
当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列;
当q<0时,该数列为摆动数列.
判定
方法
等差数列的判定方法
（1）定义法：若 或
(常数 ) 是等差数列．
（3）注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，
一定要考虑到公比 的特殊情况．
（4）解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：转化为关于 和 的方程（组）；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
关于等差、等比两个引申：
模式（其中 为常数， ）； 模式（其中 为常数， ）．
（2）等差中项：数列 是等差数列
（3）通项公式： （ 是常数）
数列 是等差数列
（4）前n项和公式：数列 是等差数列
,（其中A、B是常数）。
等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意n,都有
为等比数列
（2）等比中项： （ 0）
为等比数列
（3）通项公式：
为等比数列
（4）前n项和公式：
为等比数列
证明
方法
等差数列的证明方法：只能依据定义：
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，
可设为…， …
（公差为 ）；
③偶数个数成等差，
可设为 ,…
（注意；公差为2 ）
（3） ，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当 的情况．
（4）解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
前n项和公式
① ，即
②
③ ( )是关于 的二次函数且常数项为0.
④求 的最值：
法1：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列特殊性.
法2：（1）“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和，
即当 由 可得 达到最大值时的 值．
（2）“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和．
当 时，则有 .
（注：扩充到3项、4项……都可以，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等.）
④ 、 为等差数列，则 ，
都为等差数列.
⑤若 为等差数列，对任意c>0,c 1, 为等比数列.
⑥若 为正项等差自然数列，则 为等差数列.
⑦每隔k(k )项取出一项
( )仍为等差数列.
⑧等差数列依次n项之和仍是等差数列.即
(k为非零常数)均为等比数列.
⑤如果 是各项均为正数的等比数列,
则数列 是等差数列.
⑥ 为正项等差自然数列，则 为等比数列.
⑦数列 为等比数列,每隔k(k )项取出一项( )构成公比是 的等比数列
⑧等比数列依次n项之积，构成公比是 的等比数列.即数列 , ,
为公比是 的等比数列.
⑨等比数列依次n项和，是公比为 的等比数列.即 是公比为 的等差数列.
③由 的定义， = （ ）
①
推广： （m、 ）
特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式．,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性．
， ，
② （ ）
③由 的定义， （ ）
等差
中项
等比
中项
等差中项：
（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项．即： 或
（2）等差中项：数列 是等差数列
等比中项：
② 为等比数列.
③
④
= .
若|q|<1,则 .
⑤在等比数列 中,
当项数为2n (n )时, ，.
若项数为2n+1(n )时，
⑥ = =
⑦
相关
技巧
等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．