求函数零点问题的基本方法

[]2012.250【数理化研究】
关注新课改使高中课程发生很大的变化，减少和增加了很多内容，其中增加了函数零点问题。

函数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法，还有近似求函数零点方法———二分法这些成为求函数零点的基本策略。

一、求函数的零点
例1求函数y=x 2-（x<0）2x-1（x 0）{的零点。

解：令x 2-1=0（x<0），解得x=1，2x-1=0（x≥0），解得x=12。

所以原函数的零点为和-1和12。

点评：求函数f （x ）的零点，转化为方程f （x ）=0，通过因式分解把方程转化为一（二）次方程求解。

二、判断函数零点个数例2求f （x ）=x-4x 的零点个数。

解：函数的定义域（-∞，0）∪（0，＋∞）。

令f （x ）=0即x-4x =0，解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数例3若方程a x -x-a=0有两个解,求a 的取值范围。

析：方程a x -x-a=0转化为a x =x+a。

由题知，方程a x -x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=a x 与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。

（1）0<a<1。

此种情况不符合题意。

（2）a>1。

直线y=x+a 在y 轴上的截距大于1时，函数y=a x 与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0<a<1均不符合题意，故答案为（1，+∞）。

点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。

四、用二分法近似求解零点例4求函数f （x ）=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点（精确到0.1）。

解：（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b ），可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。

（2）列表如下：零点所在区间中点函数值区间长度（1，2）f （1.5）>01（1，1.5）f （1.25）<00.5（1.25,1.5）f （1.375）<00.25（1.375,1.5）f （1.438）>00.125（1.375,1.438）f （1.4065）>00.0625可知区间（1.375，1.438）长度小于0.1，故可在（1.375，1.438）内取1.4065作为函数f （x ）正数的零点的近似值。

点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。

当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。

（承德县第一中学）求函数零点问题的基本方法河北承德●王艳双一、考纲要求
能利用有界性法、换元法等方法求某些简单的
三角函数在给定区间上的最值，并会把某些简单的实际问题化归成三角函数的最值问题来解决。

二、知识要点1.求三角函数的最值，根据变换的方向不同，通常有如下方法（1）三角方法。

先通过三角恒等变换，转换为
y=Asin(ωx+ψ)+B。

（2）代数方法。

先通过变量代换转化为代数函数。

（3）解析法（也可以说数形结合法）。

（4）导数法。

2.求三角函数的最值，根据函数式特点不同，通常有如下类型（1）y=asinx+bcosx+c 型；（2）y=Asin 2x+Bsinx+C （或y=Acosx 2x+Bcosx+C ）型；（3）y=asinxcosx+b （sinx
±cosx ）+c 型；（4）y=acosx+b ccosx+d （或y=asinx+b csinx+d ）型；（5）y=asinx+b ccosx+d 型；（6）y=a 1tan 2x+b 1tanx+c 1a 2tan 2x+b 2tanx+c 2型。

三、考题解析例1设a∈R，f （x ）=（asinx-cosx ）+cos 2（π2-x ）满足f (-π3)=f （0），求函数f （x ）在［π4，11π24］上的最大值与最小值。

简解：∵由f(-π3)=f （0）得a=23√，因此f （x ）=2sin （2x-π6）。

∴由单调性可得，f （x ）的最大值为f （π3）=2,f （x ）的最小值为［11π24
］=2√。

例2当0＜x＜π2时，函数f （x ）=1+cos2x+8sin 2x
sin2x 的最小
值为（）。

A．2B．23√C．4D．43√方法1：∵f （x ）=4tanx+1tanx ≥24tanx ·1tanx
√=4（易知tanx＞0），故选C。

方法2：∵f （x ）=5-3cos2x sin2x ，令y=5-3cos2x sin2x ，
∴y 2+9√sin （2x+φ）=5，∴y 2+9√≥5得y≥4或y≤-4（舍去）。

例3函数y=sin 2x+sinx-1的值域为（）。

A．［-1，1］B．［-54，-1］C．［-54，1］D．［-1，54］简解：∵y=sin 2x+sinx-1=（sinx+12）2-54，∴-54≤y≤1，故
选C。

例题4在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。

（1）将十字形的面积表示为θ的函数；（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？简解：（1）设S 为十字形的面积，则S=2xy-x 2=2sinθcosθ-cos 2θ（π4＜θ＜π2）。

（2）方法1：由（1）化简得S=5√2sin （2θ-φ）-12，其中
φ=arccos 25√5。

当sin （2θ-φ）=1即2θ-φ=π2时，S 最大。

所以，当θ=π4+12arccos 25√5时，S 最大。

S 的最大值为5√-12。

方法2：导数法（略）。

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