初中数学九年级培优教程整理(全)

【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）
A. a 2 1
B. 1
2
C. 8
D. 27
初中数学九年级培优目录
第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)
第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)
第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)
第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)
第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)
第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)
第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)
第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)
第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)
第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)
第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）
第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)
第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)
第14 讲概率初步(P78 --- 85)
第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)
第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)
第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)
第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)
第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)
第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)
考点·方法·破译
第1 讲二次根式的性质和运算
1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；
2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏析
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 2
⑵①a2b2 ；②x
；③
5
x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）
A ．①,②
B ．③,④C．①,③ D ．①,④
【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）
A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.
3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）
A ．－ 1
B ．1 C．2 D．3
4．（鄂州）使代数式
x 3
有意义的x 的取值范围是（）x 4
A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠4
5. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.
【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）
A ．18 B．30 C．48 D．54
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.
A ．18 3 2 ；
B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.
【变式题组】
6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．
7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A ． 3 和18
B ． 3 和1
3
C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 1
8. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）
A ． 5 3 2
B ．8 2 4
C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 1
2
2 a(a＞0)
【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；
④b b
(b≥0, a＞0)
a a
a(a＜0)
进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.
(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2
【变式题组】
1..故本题应选 C.
9. （聊城）下列计算正确的是（）
A ．2 3 4 2 6 5
B ．8 4 2
C．27 3 3 D．( 3)2 3
10. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 2007
11．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 2
12. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）
A ．a
B ．－a C．－1 D．0
13. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则
a b
a b
的值为（）
2 1
A ．
B ．2 C． 2 D．
2 2
【例５】已知xy＞0，化简二次根式x
y
的正确结果为（）x2
A ．y
B ．y C．y D．y
【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式x
y
x
【变式题组】
y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.
15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：
1 1
2 1 ，
2 1
3 2
1
3 2 ，
4 3
4 3 ，算果中找出规律，
(
1 1
L
1
) ( 2006 1) .
2 1
3 2 2006 2005
16．已知，则0＜x＜1，则( x 1
)2 4 ( x
1
) 2 4 .
x x
1 1 b 5 1 5 1
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .
a b b a(a b) 2 2
2
⑵已知 x
3 2 ， 3
2
y
3 2 ，那么代数式 3
2
xy (x y)2 xy (x y)
2
值为 .
【解法指导 】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求
xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .
ab a( a b) b 2
(a b)2
a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝
，当 a
， b
时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .
ab(a b)
ab (a b)
ab
2
2
⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .
【变式题组 】
17．（威海）先化简，再求值：
(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a
2 3 , b
3 2 .
a
2
a 2
a 4
18．（黄石）已知 a 是 4
3 的小数部分，那么代数式 ( 2
2
) (a ) 的值为 .
a 4a 4 a
2a a
【例７ 】已知实数 x 、y 满足 ( x x
2
2008)( y
y
2
2008) 2008，则 3x 2－
2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（ ）
A ．－ 2008
B ．2008
C ．－ 1
D ． 1
【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .
解: ∵ ( x x 2
2008)( y y
2
2008) 2008，
∴ ( x
x
2
2008)
2008 y
y 2008 ，
( y
y
2
2008)
y
y
2
2008 x
x
2
2008
2008
x
x
2
2008 ，由以上两式可得 x ＝ y.
选 D.
∴ ( x x
2
2008) 2008, 解得 x 2＝
2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故 【变式题组 】
19．若 a ＞0， b ＞ 0，且
a( a
b) 3 b( a
5 b ) ，求 2a
3b
ab
的值 .
演练巩固 · 反馈提高
a b ab
01. 若 m
40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（
）
A ． 1＜ m ＜ 2
B ． 2＜ m ＜ 3
C ． 3＜m ＜ 4
D ． 4＜m ＜ 5
02．（绵阳）已知
12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（
）
A ． 12
B ．11
C ． 8
D ． 3
03．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（
）
1 A.
7 B. 3
C.
2
D. 2
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
1 100 101 1 100
99
2 2
A.
2 B. 6 C. 8 D. 10
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A.
12
B.
x
2
3
3 C.
D.
2
a 2
b
06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2
, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（
）
A ．c ＜ a ＜ d ＜b
B ． b ＜ d ＜ a ＜ c
C ． a ＜ c ＜ d ＜b
D ． b ＜ c ＜ a ＜ d
07．（十堰）下列运算正确的是（
） A ． 3
2 5 B ． 3
2 6
C ． ( 3 1)
2
3 1
D ．
5
2
3
2
5 3
08．如果把式子 (1 a)
1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（
）
1 a
A ．
1 a B ． a 1
C ．
a 1
D ．
1 a
09．（徐州）如果式子
(x 1)
2
x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（
）
A ． x ≤ 1
B ．x ≥ 2
C ． 1≤ x ≤ 2
D ． x ＞ 0
10．（怀化）函数 y
x 中自变量的取值范围是
.
x 2
11．（湘西）对于任意不相等的两个数
a ，
b ，定义一种运算 a ※ b ＝
3 2 5 .那么 12※ 4＝ .
3 2
a
2
1 a 1
12．（荆州）先化简，再求值：
2
3
2
，其中 a 3 .
a
2a 1 a a
13．（广州）先化简，再求值：
( a
培优升级
3)( a
3) a(a 6) ，其中 a
5
1 .
2
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是
3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .
02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(
15 15 ) a b
是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有 对.
03．（全国）设 a
5 1 ，则
a
a
4
2a 3
a 2
a 2
3
.
04．（全国）设 x
2 a
a
1
, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .
2 1
05．（重庆）已知
y
x
2
2 x
2
2
2 ，则 x ＋
y ＝ .
5x 4 4 5x
06．（全国）已知 a
2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（
）
A ． a ＜ b ＜ c
B ．b ＜ a ＜ c
C ． c ＜ b ＜ a
D ．c ＜ a ＜ b
3
5
2
07．（武汉）已知 y
x 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（
）
A ． 6 3
B ．3
C ． 5 3
D ． 6
3
08．（全国）已知非零实数
a 、
b 满足 2a 4 b 2
(a 3)b 2
4 2a ，则 a ＋ b 等于（
）
A ．－ 1
B ． 0
C ．1
D ． 2
09．（全国） 2
3 2 2 17 12 2 等于（
）
A ． 5 4 2
B ． 4 2 1
C ． 5
D ． 1
10. 已知 x
2 xy y 0( x 0, y
0) ，则
3x xy y
的值为（ ）
1 1 A ．
B ．
3
2
5x 2 3 C ．
D ．
3
4
3 xy
4 y
11.
已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1
c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 2
12. 已知 9
13 与 9
13 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .
考点·方法·破译
第 2 讲 二次根式的化简与求值
1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值
.
2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .
3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式
.
经典· 考题· 赏析
【例１ 】（河北）已知
x
1 2 ，那么
x x 的值等于
x
x
3x 1
2
x
9 x 1
【解法指导 】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1
x
表示或化简变形 .
x
解：两边平方得，
x
1 2 4 ， x
x
1 2 ，两边同乘以 x 得， x
x
2
1 2 x ，∵ x 2
3x 1 5 x ， x
2
9 x 1 11x ，
2
2
∴原式 = 1 1 5
11
【变式题组 】
5 11 =
5
11
1. 若 a
1 1
4 （
0＜ a ＜1），则 a a a
2. 设
x
1
a
a ，则 4x x 2
的值为（
）
A. a
1
a
B.
1 a
a
C. a
1 a
D ．不能确定
【例２ 】（全国）满足等式
x y y x
2003x
2003y 2003xy
＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（
） A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .
解：可化为
xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，
∴ (
xy 2003)( x y
2003) 0
∵
x
y
2003 0 ，∴ xy
2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，
∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组 】
3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .
【例３ 】（四川）已知：
x
a
1 (0 a
a 1) ，求代数式
a b ab
x
2
x 6 x 3 x 2 2
x 2 4x 的值 . x
x
2 x x 2
x
2
4x
【解法指导 】视 x － 2，x 2
-4 x 为整体，把
x
a
约.
1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜
a ＜1 的制 a
解：平方得，
x a
1 2 ，∴ x 2 a
a 1 ， x
2
a
4x 4 a
2
1 2 ，
a
2
x
4x a
1 2 ，
a
( x 3)(x 2)
x( x 2) x 2
x 2
4x
∴化简原式＝
g x x 3 x 2 x 2
4x
a 1 ( 1 a)
＝ (a 1 )
2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a
【变式题组 】
2
， 4．（武汉）已知 x
x 3
1 2
3
2 1
，求代数式
x 3 ( 5
2 x 4 x 2
x 2) 的值.
5．（五羊杯）已知 m 1
2 ， n 1
2 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 2
6n 7) 8 ，则 a 的值等于（
）
A ．－ 5
B ． 5
C ．－ 9
D ．9
【例４ 】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y
等边三角形，则点 D 的坐标为
.
3 3 ( x
x
0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是 【解法指导 】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为
E 、F. 设
OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、
（ 2a ＋ b, 3 b ），所以
3a
2
3 3
y
a 3 ，解得
，
3b (2 a b) 3 3
因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0） 【变式题组 】
6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题
.
b
6
3
A
C
O
E B
F D
x
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
5
2 2 ，
3 3 3
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 1
5 5 3 3 3
3 5 3 ； （一）
3 2 2 3 3
3 3
6 ； （二）
3
2
2
3 1
3 3 1
1 3 1
3 1 ；
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，
2
还可以用以下方法化简：
2 3 1 3 1
3 1
2
3 1
3 3 1
3 1 1 3 1
3 1
3 1；
（四）
（ 1）请你用不同的方法化简
2
；
5
3
①参照（三）试得：
2
=
；（要有简化过程） 5 3
②参照（四）试得： 2 =
；（要有简化过程）
5
3 （ 2）化简：
1 1 1
L
1 3 1
5
3
7
5
2n 1
2 n 1
【例５ 】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为
a
2
c 2 ， b
2
d 2
，
(b a)
2
(d c)2
，求此三角形的面积 .
【解法指导 】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，
a
2
边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决
.
c 2
的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜
解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、
EB ， 则
BF ＝
a
2
c
2
， EF ＝
b
2
d
2
，
BE=
(b a)
2
(d c)2
，从而
D
知△ BEF 就是题设的三角形， 而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE b
a
C
F － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2
( d －
1 1
c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)
d 2
2
A c
E
【变式题组 】
7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝
a
2
4
b
2
1
演练巩固 · 反馈提高
3 2 3 2
xy x 2
y
2 01. 已知 x
， y
3
2
，那么代数式
3
2
xy x
2
值为
y
2
02. 设 a
7 1，则 3a
3
12a
2
6a 12 ＝（
）
A ． 24
B ． 25
C ． 4 7 10
D ． 4 7 12
03．（天津）计算 ( 3 1)
2001
2( 3 1)
2000
2( 3 1)1999
2001
04．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足
x
y 1
1 z 2
( x y z) ，则 2
( x yz)2
05．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n
4n 3 0 ，则
m 2 m 2 n n 8
2002
06．（河南）若 x
3 1 ，则 x
3
(2 3) x
2
(1 2 3) x 3 5 的值是（
）
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ． 8
07. 已知实数 a 满足 2000
a a 2001 a ，那么 a 20002
的值是（
）
A ． 1999
B ． 2000
C ． 2001
D ． 2002
08. 设 a
1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（
）
A ． a ＜ b ＜ c
B ． c ＜ b ＜ a
C ． c ＜ a ＜ b
D ． a ＜ c ＜ b
09. 已知 1 ( x 1)
2
x ，化简 x
2
1 x x
2
1 x
4
4
B
3 3
2003
培优升级
01．（信利）已知 x
1 3 ，那么
1
x 2
1 1 x 2
4 x 2
02．已知 a 4
a 1 5 ，则 6 2 a
03．（江苏）已知
( x
x
2
2002)( y
y
2
2002) 2002 ，则 x 2
3xy 4 y
2
6 x 6 y 58
04．（全国）
7x 2
9x 13 7x 2
5x 13 7x ，则 x ＝
05．已知 x
3 2 ， y
3 2 ，那么 y
x
3
2 3 2 x
2
y
2
06．（武汉）如果
a b
2002
2 ， a
b
2002 2 ， b
3
c
3
b
3
c ，那么 a 3b
3
c 的值为（
）
A ． 2002 2002
B ． 2001
C ． 1
D ． 0
07．（绍兴）当 x
1
2002 2
时，代数式 (4 x
3
2005 x
2001)
的值是（ ）
A ． 0
B ．－ 1
C ． 1
D ． 2
2003
08．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式
a b 2 c 3
5 2
6 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（
）
A ． 1999
B ． 2000
C ． 2001
D ．不能确定
09．计算：
（ 1）
6 4 3 3 2
( 6
3)( 3
2)
（ 2）
10 14 15 21 10
14
15
21
（ 3）
1 1 1
L
1
3 3
5 3 3 5 7 5 5 7
49 47 47 49
（ 4）
3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 42
15 2 56
17 2 72
2
2
10.
已知实数 a 、 b 满足条件
a b
b
1 ，化简代数式a (
1 1)g a b
( a b 1)2
，将结果表示成不含 b 的形式 .
11.
已知 x
1 a 2
(a a
0) ，化简：
x 2 x 2
x 2 x 2
12.
已知自然数 x 、y 、z 满足等式
x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .
考点·方法·破译
第 3 讲 一元二次方程的解法
1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；
2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；
3. 会应用一元二次方程解实际应用题。

经典· 考题· 赏析
【例１ 】下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.( m-2) x -2 x-1=0
B. k 2
1
x+5k+3=0 2
2
C.
3x
x 2 0 3
D. 3x
4 0
x
【解法指导 】 A 、B 选项中的二次系数可以为 0，不是； D 的分母中含字母，不符合 . 故选 C.
【变式题组 】
1．（威海）若关于 x 的一元二次方程 x +( k+3) x+k=0 的一个根是 -2 ，则另一个根是
.
2
2
2
2
【例 2】如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足
m -2 m=1， n -2 n=1，那么代数式 2m +4n -4 n+1998=
.
2
2
2
2
2
2
2
【解法指导 】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次
.
2
2
解：由题意， 2m =4m+2， 4n =8n+2，则原式 =(4 m+2)+(8 n+2)-4 n+1998=(4 m+4n)+4+1998 ，又由根与系数关系得 m+n=2，∴
原式 =2010.
【变式题组 】
2
2
2．（南昌）若 3a - a-2=0 ，则 5+2a-6 a =
.
3．（烟台）设 a 、 b 是方程 x 2
+x-2009=0 的两个实数根，则 a 2
+2a+b 的值为（ ）
A ． 2006
B ． 2007
C ． 2008
D ． 2009
2
2
【例 3】关于 x 的一元二次方程 ( m-3) x +4x+m -9=0 有一个根为 0， m 的值为 .
【解法指导 】方法 1：将 x=0 代入；方法 2：有一个根为 0，则常数项为 0. 解：依题意 m -9=0 ，∴ m=± 3，根据方程是一元二次方程得 m ≠3，综合知 m=-3.
【变式题组 】
4．（庆阳）若关于 x 的方程 x +2x+k-1=0 的一个根是 0，则 k=
.
2
2
5．（东营）若关于 x 的一元二次方程 ( m-1) x +5x+m -3 m+2=0 的常数项为 0，则 m 的值等于（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 1 或 2
D ． 0
2
【例 4】（连云港）解方程： x +4x-1=0. 【解法指导 】解：
4 4
2
4 1 ( 1)
解法一：∵ a=1， b=4, c=-1 ，∴ x=
. 即 x=-2 ± 5 . ∴原方程的根为
x 1
2 1
2 5, x 2 2 5 .
解法二：配方，得 ( x+2)
【变式题组 】
=5，直接开平方，得 x 2 5 , ∴原方程的根为 x 1
2
5, x 2
2
5 .
6．（清远）方程 x =16 的解是（ ）
A ． x=± 4
B ． x=4
C ． x=-4
D ． x=16 7. （南充）方程 ( x-3)( x+1)= x-3 的解是（ ）
A. x=0
B. x=3
C. x=3 或 x=-1 D . x=3 或 x=0 8. （咸宁）方程 3x( x+1)=3 x+3 的解为（
）
A ． x=1
B ．x=-1
C ．x 1=0， x 2=-1
D ． x 1=1， x 2=-1
9. （温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法 . 请从以下一元二次方程
中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程 .
2
2
2
2
① x -3 x+1=0；② ( x-1) =3；③ x -3 x=0；④ x -2 x=4.
【例 5】（山西）解方程： 6x - x-12=0
【 解 法 指 导 】 为 便 于 配 方 可 先 化 二 次 项 系 数 为 1 ， 解 ： 方 程 两 边 都 除 以 6 ， 移 项 得 x 2
- 1 6
2 1
x=2 ， 配 方 得 x
-
x+(-
.
6
【变式题组 】
2
10．（仙桃）解方程： x +4x+2=0.
11．（武汉）解方程： x 2
-3 x-1=0.
12．（山西）解方程： x -2 x-3=0.
演练巩固 · 反馈提高
01．（宁德）方程 x -4 x=0 的解是 .
02．（十堰）方程 ( x+2)( x-1)=0 的解为
.
2
1 )
2 =2+(- 1 ) 2,( x-
1 ) 2=
289 =
( 17 ) 2，即 x- 1 =± 17 ，∴ x = 3 , x 1 2 =
4 12 12
12
144
12
12 12 2
3
2
2
2
2
2
2 2
2
x 2
03．（大兴安岭）方程 ( x-5)( x-6)= x-5 的解是（ ）
A ． x=5
B ．x=或 x=6
C ． x=7
D ． x=5 或 x=7
04．（太原）用配方法解方程 x -2 x-5=0 时，原方程应变形为（
）
A ． ( x+1) =6
B ． ( x-1) =6
C ． ( x+2) 2
=9
D ． ( x-2) =9
05．（云南）一元二次方程 5x -2 x=0 的解是（
）
2 5 A. x 1 0, x 2 5
5 B. x 1 0, x 2 2 2 C.
x 1
0, x 2
2
D.
x 1
0, x 2
5
06．（黄石）已知 a 、b 是关于 x 的一元二次方程 x 2
+nx-1=0 的两实数根，则式子 b a a b
的值是（
）
2 2 2 2
A ． n +2
B ．- n +2
C ． n -2
D ． - n -2 07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A ． 8 人
B ． 9 人
C ． 10 人
D ． 11 人
2
08．（台州）用配方法解一元二次方程
x -4 x=5 的过程中，配方正确的是（ ）
A ． ( x+2) 2
=1
B ． ( x-2) 2
=1
C ． ( x+2) 2
=9
D ．( x-2) 2
=9
09．（义乌）解方程 x -2 x-2=0.
10．（兰州）用配方法解一元二次方程：
2x +1=3x.
11．（新疆）解方程： ( x-3) +4x( x-3)=0.
12．（梧州）解方程： ( x-3) 2
+2x( x-3)=0.
13．（长春）解方程： x -6 x+9=(5-2 x) .
14．（上海）解方程：
y x 1① 2 x
2
xy 2 0 ②
培优升级
2 3
01．（鄂州）已知 α、 β为方程 x +4x+2=0 的两个实根，则 α +14β+50= .
02．已知 x 是一元二次方程 x +3x-1=0 的实数根，那么代数式
x 3
( x 2
5
) 的值为 .
2
2 3 3x
2
6x
x 2
03．（苏州）若 x - x-2=0 ，则
( x
2
x)
2
的值等于（ ） .
1 3
A ．
2 3 B ．
3 3
3
C ． 3
D ． 3 或 3 3
2
2
04．（全国） 已知三个关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0，bx
的值为（
） .
A ． 0
B ．1
C ． 2
D ． 3
2
+cx+a=0，cx +ax+b=0，恰有一个公共实数根， 则
a
2
b
2
c
2
bc ca ab
2
2
2
x
4
2 4 2
4 4
05．（全国）已知实数 x 、 y 满足：
x
4
x
2
3 ， y +y =3，则
4
x
y 的值为（ ） .
1 13 A ． 7
B ．
2
C ．
7 13 2
D ． 5
2
2
06．（全国）已知 m=1+ 2 ， n=1- 2 ，且 (7 m -14 m+a)(3 n -6 n-7)=8 ，则 a 的值等于（
） .
A ． -5
B ． 5
C ． -9
D ． 9
2
07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程 x -6 x+8=0 的根，则三角形的周长是 .
08．（滨州）观察下列方程及其解的特征： ⑴ x
1
2 的解为 x 1=x 2=1；⑵ x 1 5 1 的解为 x 1=2， x 2= ；⑶ x 1 10 1 的解为 x 1=3， x 2= ；
x 解答下列问题： x 2
1 26
2 x
3 3
1 1 ⑴请猜想：方程
x
x 的解为
；⑵请猜想：关于 x 的方程 5
x
的解为 x 1=a ， x 2=
x
a
（a ≠ 0）；⑶
下面以解方程 x 1 26 为例，验证⑴中猜想结论的正确性 .
x 5 2
解：原方程可化为 5x -26 x=-5. （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
09．（泸州） 如图， P 1（ x 1，y 1），P 2（ x 2，y 2）， P n （ x n ，y n ）在函数 y
4 （ x ＞ 0）的图象上， △ P 1OA 1，△ P 2A 1A 2，△ P 3A 2A 3，
x
△ P n A n -1 A n 都是等腰直角三角形，斜边
OA 1、A 1A 2、A 2A 3、 A n -1 A n 都在 x 轴上.
⑴求 P 1 的坐标；
⑵求 y 1+y 2+y 3+ +y 10 的值 .
考点·方法·破译
第 4 讲 根的判别式及根与系数的关系
1. 掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；
2. 理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值
.
经典· 考题· 赏析
【例 1】（成都）若关于 x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是（ ）
【例３ 】 （包头）关于 x 的一元二次方程 错误! 未找到引用源。

的两个实数根分别是 错误 ! 未找到引用源。

，且错误 ! 未找到引用源。

=7, 则错误 ! 未找到引用源。

的值是（
）
A ． 1
B.12
C.13
D.25
【解法指导 】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足 错误 ! 未找到引用源。

.由
题意知： 错误! 未找到引用源。

又∵ 错误 ! 未找到引用源。

错误 !未找到引用源。

,
而当 m=5 时，原方程的判别式 错误 ! 未找到引用源。

,此时方程无解， 错误! 未找到引用源。

不合题意舍去 . 错误 !未找到引用源。

,故选 C. 【变式题组 】
5．（潍坊）已知关于 x 的一元二次方程 错误 ! 未找到引用源。

的两个实数根是 错误 ! 未找到引用源。

,则 k 的值是（ ）
A ． 8
B.-7
C.6
D.5
6．（鄂州）设 错误 !未找到引用源。

是关于 x 的一元二次方程 错误 !未找到引用源。

的两实根，当 a 为何值时， 错误 ! 未找到引用源。

有最小值？最小值是多少？
【例４ 】 （兰州）已知关于 x 的一元二次方程 错误 !未找到引用源。

. (1) 如果此方程有两个不相等的实数根，求
a 的取值范围；
(2) 如果此方程的两个实数根为 错误 !未找到引用源。

,且满足 错误 ! 未找到引用源。

,求 a 的值 . 【解法指导 】 解：（ 1） 错误 ! 未找到引用源。

. ∵方程有两个不相等的实数根， 错误 ! 未找到引用源。

.(2) 由题意得： 错
误! 未找到引用源。

A ． k>-1
B . C.k<1 D.
【解法指导 】 由题意得 错误 ! 未找到引用源。

【变式题组 】
1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．
B.
C.
D.
=0
2． ( 潍坊 ) 关于 x 的方程 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ）
A ． 6
B.7
C.8
D.9
【例２ 】 A ． a =0
（荆州）关于 x 的方程 错误 ! 未找到引用源。

只有一解（相同解算一解） ，则 a 的值为（ ）
B.a=2
C.a=1
D.a=0 或 a=2
【变式题组 】
3． ( 成都 ) 设 x 1,x 2 是一元二次方程
的两个实数根，则
的值为
.
4． ( 南通 ) 设 x 1,x 2 是一元二次方程
的两个实数根，则 , 则 a=
错误! 未找到引用源。

【变式题组】
7. ( 绵阳) 已知关于x 的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【例５】（中山）已知关于x 的方程错误! 未找到引用源。

.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根.
（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【解法指导】证明方程有两个不相等的实数根，一般要把错误! 未找到引用源。

化为完全平方加正常数的形式.
（1）证明: 因为△ =(m2)24(2 m1) = (m 2) 2 4
所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以x1 x20 ，根据方程的根与系数的关系得m 2 0 ，解得m 2 ，所以
5 ，x2 5
原方程可化为x2 5 0 ，解得x1
【变式题组】
8. ( 中山) 已知一元二次方程错误! 未找到引用源。

.
(1) 若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为错误! 未找到引用源。

，且错误! 未找到引用源。

+错误! 未找到引用源。

, 求m 的值.
【例６】设实数s,t 分别满足错误!未找到引用源。

,并且st≠1，
求错误!未找到引用源。

的值.
【解法指导】本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求
值.
解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：错误!未找到引用源。

,又∵st≠1，
∴错误!未找到引用源。

t 是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0 的两个不同的实根，于是，有错误! 未找到引用源。

, 即st + 1 = －99s，t = 19s．
∴ 错误! 未找到引用源。

演练巩固· 反馈提高
2 01． ( 东营) 若 n （ n ≠0）是关于 x 的方程 错误 !未找到引用源。

的根，则 m+n 的值为 A.1
B.2
C.-1
D.-2
02．( 株洲 ) 定义：如果一元二次方程
ax
2
bx c 0(a 0) 满足 a b c 0 ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程
. 已
知 ax
2
bx c 0(a 0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A ． a c
B ． a
b C ． b c
D ．
a b c
03．（崇左）一元二次方程 错误 ! 未找到引用源。

的一个根为 -1 ，则另一个根为
．
04． ( 贺州 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x
2
x m 0 有两个不相等的实数根，则实数
m 的取值范围是 ．
05．（上海）如果关于 x 的方程 x
2
x k 0 （ k 为常数）有两个相等的实数根，那么
k
．
06．（泰安）关于 x 的一元二次方程
x
2
(2k 1) x 2 k 2
0 有实数根，则 k 的取值范围是
.
07．（淄博）已知关于 x 的方程 x 2
2(k 3)x k 2
4k 1 0 ．
（ 1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围； （ 2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；
（ 3）若以方程 x
2
2(k 3)x k 2
4k 1 0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
m y
的图象上，求满
x
足条件的 m 的最小值．
08．已知关于 x 的一元二次方程 错误 !未找到引用源。

(1) 若方程有两个相等的实数根，求 m 的值；
（ 2）若方程的两个实数根之积等于
错误!未找到引用源。

,求错误 !未找到引用源。

的值.
09．（孝感）已知关于 x 的一元二次方程 2
2
有两个实数根 x 和 x ．
（ 1）求实数 m 的取值范围； x (2 m 1)x m
1
2
（ 2）当 x
2
x 0 时，求 m 的值．
1 2
1 2 1 2 10．（鄂州）关于 x 的方程
(1) 求 k 的取值范围 .
kx 2
(k 2)x
k 4
0 有两个不相等的实数根 .
(2) 是否存在实数 k ，使方程的两个实数根的倒数和等于
0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由
11．（北京）已知：关于 x 的一元二次方程 mx
2
(3m 2) x 2 m 2 0( m 0) ．
（ 1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（ 2）设方程的两个实数根分别为
x 1 ， x 2 （其中 x 1 x 2 ）．若 y 是关于 m 的函数，且 y x 2 2 x 1 ，求这个函数的解析式；
（ 3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量
m 的取值范围满足什么条件时，
y ≤ 2m ．
12．（淄博）已知 x , x 是方程 2
x
2x a 0 的两个实数根，且 x 2 x 3 2 ．
(1) 求 x 1, x 2 及 a 的值；
3 2
(2) 求 x 1
3x 1
2x 1
x 2 的值．
培优升级
01．（全国）设
a 2
1 3a ， b
2
1 3b ，且 a b ，则代数式
1
1 的值为 （ ）
A 5. B7.
C 9.
D.11.
a
2 b
2
02．（延边）已知 m 是方程 错误 ! 未找到引用源。

的一个根，则代数式 错误 !未找到引用源。

的值等于（
）
A ． 2016
B.2017
C.2018
D.2019
03．如果 a 、b 都是质数，且 错误 ! 未找到引用源。

,那么错误 !未找到引用源。

的值为（ ）
A ．错误 !未找到引用源。

B.错误 !未找到引用源。

C.错误 !未找到引用源。

D 错误! 未找到引用源。

或 2
04．（全国）已知实数 错误 !未找到引用源。

，且满足 错误 !未找到引用源。

的值为（ ）
A ． 23
B.-23
C.-2
D.-13
05.( 全国 ) 设错误 ! 未找到引用源。

是关于 x 的方程 错误 ! 未找到引用源。

的两个实数根，则 错误! 未找到引用源。

的最大值为
06．已知错误! 未找到引用源。

是方程错误! 未找到引用源。

的两个实数根，则错误! 未找到引用源。

07．（全国）对于一切不小于 2 的自然数n，关于x 的一元二次方程错误! 未找到引用源。

的两个根记作错误!未找到引用源。

, 则错误!未找到引用源。

08．已知关于x 的方程：错误!未找到引用源。

.
(1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根为错误! 未找到引用源。

，满足错误!未找到引用源。

,求m 的值及相应的错误! 未找到引用源。

.
09．（全国竞赛）设m 是不小于-1 的实数，使得关于x 的方程错误!未找到引用源。

有两个不相等的实数根错误! 未找到引用源。

,(1)若错误!未找到引用源。

,求m 的值；
（2）求错误!未找到引用源。

的最大值.
第5 讲一元二次方程的应用
考点·方法·破译
1. 能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；
2. 会建立一元二次方程模型解实际应用题．
经典·考题·赏析
【例l】(南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A ．8 人
B ．9 人C．10 人D．11 人
【解法指导】构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x, 第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l ；第二轮被传染人数为x(x+1) ，所以l+x+x(x+1)=100 ，解得x=9 ．应选B．
【变式题组】
1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010 年4 月份的房价平均每平方米为3600 元，比2008 年同期的房价平均每平方
米上涨了2000 元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x 的方程为．
2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。

提高到12．1 m2。

，若每年的年增长率相同，则年增长率为( )
A ．9％B．10％C．1l％D．12％
3. (太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200 元降到了2500 元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．
【例2】(黄石)三角形两边的长是 3 和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0 的根，则该三角形的周长为( )
A ．14
B ．12 C．12 或14 D。

以上都不对
【解法指导】方程x 2一12x+35=0 可化为(x 一7)(x 一5)=0 ，解得x=7 或x=5 ，当x=7 时，三边不能构成三角形，所以第三
边的长只能取5，该三角形的周长为12．应选B．
【变式题组】
4. (青海)方程x2 一9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A ．12 B．12 或15 C．15 D．不能确定
5. (襄樊)如图，在平行四边形ABCD 中，AE 上BC 于E，AE=EB=EC=a ，且 a 是一元二次方程x2+2x 一3=0 的根，则平行四
边形ABCD 的周长是( ) A
D
2
2
2
A 、 4 2 2
B 、 12 6 2
C 、 2 2 2
D 、 12 6 2 或 2 2 2
【例 3】 (莆田 )已知⊙ O 1 和⊙ O 2 的半径分别是一元二次方程（ x — 1)(x 一 2)=0 的两根，且 O 1O 2=2，则⊙ O 1 和⊙ O 2 的位置
关系是
．
【解法指导】 依题意，⊙ O 1 和⊙ O 2 的半径分别为 1 和 2，∵ l<O 1O 2<3，∴⊙ O 1 和⊙ O
2 相交． 【变式题组】
6. (兰州 )两圆的圆心距为 l ，两圆的半径分别是方程 x 2 一 5x+6=0 的两个根，则两圆的位置关系是
(
)
A ．外离
B ．内切
C ．相交
D ．外切
7．(江苏 )某县 2008 年农民人均年收入为 7800 元， 计划到 2010 年，农民人均年收入达到 9100 元．设人均年收入的平均增长率为 x ，则可列方程
8. (庆阳 )如图，在宽为
20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部
分作为耕地．若耕地面积需要 55 l 米。

，则修建的路宽应为 ( )
A 、 1 米
B 、1．5 米
C 、2 米
D 、2． 5 米
【例 4】 ( 白银)在实数范围内定义运算“⊕” ，其法则为： a ⊕b=a 2 - b 2，求方程 (4⊕
3)⊕x=24 的解． 【解法指导】 解此类题要严格按照定义进行变换．
2
2
2
2
2
2
解：∵ a ⊕ b=a - b ∴ (4 ⊕ 3) ⊕ x=7 ⊕ x=7 -x ∴ 7 -x 【变式题组】
=25 ．∴ x=±5．
9. (全国 )对于实数 u 、v ，定义一种运算“※”为： u ※ v=uv+v, 若关于 x 的方程 x ※ (a ※ x)= 一则满足条件的实数 a 的取值范围是 ．
【例 5】 (十堰 )如图，利用一面墙 (墙的长度不超过 45m)，用 80m 长的篱笆围一个矩形场地．
(1)
怎样围才能使矩形场地的面积为
750m 2 ， (2)能否使所围矩形场地的面积为
8l0 m 2 ，为什么 ?
1 有两个不同的实数根，
4
【解法指导】 解：(1) 设所围矩形 ABCD 的长 AB 为 x 米，则宽 AD 为一 x)=750 ，即 x 一 80x+1500=0 ．解此方程，得 x 1=30， x 2=50．
1 (80 一 x) 米．依题意，得 x ·
2
1 (80
2
∵ 墙的长度不超过 45m, ∴ x 2=50 不合题意，应舍去．当 x=30 时，
长为 30m 、宽为 25m 时，能使矩形的面积为
750m ．
1 (80 一 x)=
2
1
× (80 —30)=25 ．所以，当所围矩形
2
(2) 不能．因为由 x ·
1 (80 一 x)=810 ，得 x 2
一 80x+1620=0．又∵ b 2
-4ac=( 一 80) 2
一 4× 1× 1620= - 80<0 ∴上述方程没有实
2
数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为 8l0 m ．
【变式题组】
10．(广东 )某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 8l 台电脑被感染．请你用学过的知识
分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
?若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过
700 台?
演练巩固 · 反馈提高
1．(南通 )某省为解决农村饮用水问题， 省财政部门共投资 20 亿元对各市的农村饮用水的 “改水工程” 予以一定比例的补助． 2008 年， A 市在省财政补助的基础上再投入 600 万元用于“改水工程” ，计划以后每年以相同的增长率投资， 20l0 年该市计划投资
“改水工程” 1176 万元．
(1) 求 A 市投资“改水工程”的年平均增长率；
(2) 从 2008 年到 2010 年， A 市三年共投资“改水工程”多少万
?
2
— x 2. (长沙 )当 m 为何值时，关于 z 的一元二次方程 x
2— 4x+m 一
1 =0 有两个相等的实数根 ? 此时这两个实数根是多少 ?
2
3．(贵阳 )汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且
从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同。

(1) 该公司 2006 年盈利多少万元 ?
(2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计
2008 年盈利多少万元 ?
4．(庆阳 )某企业 2006 年盈利 1500 万元， 2008 年克服全球金融危机的不利影响， 仍实现盈利 2160 万元． 从 2006 年到 2008 年，
如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
(1) 该企业 2007 年盈利多少万元 ?
(2) 若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计
2009 年盈利多少万元 ?
培优升级
1． (河南 )已知 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2—6x+k=0 的两个实数根，且 x 1 2x
2
1— x 2=115． (1) 求 k 的值； (2)求 x 1 +x 2 +8 的值．
2．(临沂 )为落实素质教育要求， 促进学生全面发展， 我市某中学 2009 年投资 11 万元新增一批电脑， 计划以后每年以相同的增长率进行投资， 2011 年投资 18． 59 万元．
(1) 求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；
(2) 从 2009 年到 2011 年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元
?
3．( 南宁)如图， 要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米，上下底相距 80 米， 在两腰中点连线 (虚线 )
处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为
x 米．
(1) 用含 x 的式子表示横向甬道的面积为
平方米；
(2) 当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽．
2
2
4．(厦门)某商店购进一种商品，单价30 元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价x( 元)满足关系：P=100 —2x．若商店每天销售这种商品要获得200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元? 每天要售出这种商品多少件?
5. (庆阳)如图．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的
部分刚好能围成一个容积为15 米 2 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现已知购买这种铁皮每平方米
需20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱?
6. (益阳)如图，△ ABC 中，已知∠ BAC=45 °，AD ⊥BC 于D，BD=2 ，DC=3 ，求AD 的
长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路。

探究并解答下列问题：
(1) 分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形， D 点的对称点为E、F，延长EB、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；
(2) 设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．
7. (全国)某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8 列的长方形队列．如果原队列中增加120 人，就能组成一个正
方形队列；如果原队列中减少120 人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有同学多少人?
第6 讲一元二次方程的整数根
考点·方法·破译
1. 方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；
2. 基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，。