初中数学九年级培优教程整理(全)

Word资料

初中数学九年级培优目录

第1讲 二次根式的性质和运算(P2----7)

第2讲 二次根式的化简与求值(P7----12)

第3讲 一元二次方程的解法(P13----16)

第4讲 根的判别式及根与系数的关系(P16----22)

第5讲 一元二次方程的应用(P23----26)

第6讲 一元二次方程的整数根(P27----30)

第7讲 旋转和旋转变换（一）(P30----38)

第8讲 旋转和旋转变换（二）(P38----46)

第9讲 圆的基本性质(P47----51)

第10讲 圆心角和圆周角(P52----61)

第11讲 直线与圆的位置关系（P62----69）

第12讲 圆内等积证明及变换((P70----76)

第13讲 弧长和扇形面积(P76----78)

第14讲 概率初步(P78----85)

1 第1讲 二次根式的性质和运算

考点·方法·破译

1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；

2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；

3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.

经典·考题·赏板

【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）

A. 21a B.12 C.8 D.27

【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.

【变式题组】

1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）

A. 10 B.8 C.6 D.2

⑵①22ab；②5x；③2xxy；④27abc，最简二次根式是（ ）

A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④

【例２】(黔东南)方程480xxym，当y＞0时，m的取值范围是（ ）

A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2

【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.

【变式题组】

2．（宁波）若实数x、y满足22(3)0xy，则xy的值是__________.

3．（荆门）若211()xxxy，则x－y的值为（ ）

A．－ 1 B．1 C．2 D．3

4．（鄂州）使代数式34xx有意义的x的取值范围是（ ）

A．x＞3

B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4

5.（怀化）223(4)0abc，则a－b－c＝________.

【例３】下列二次根式中，与24是同类二次根式的是（ ）

word 1 / 20 专题2 图形变式与拓展

常考类型分析

专题类型突破

类型1 关于三角形的变式拓展问题

【例1】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.

(1)如图1，若AO＝OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；

(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC ⊥ BD；

(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求

【思路分析】通过观察可以猜想AO与BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决．

【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD.

(2)证明：如图1，过点B作BE∥CA交DO于点E，延长AC交DB的延长线于点F. word 2 / 20 ∴∠ACO＝∠BEO.

又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，

∴△AOC ≌△BOE. ∴AC＝BE.

又∵∠1＝45°，

∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°.

∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.

∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.

(3)如图2，过点B作BE∥CA交DO于点E，

∴∠BEO＝∠ACO.

又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE ∽△AOC.

又∵OB＝kAO，

由(2)的方法易得 BE＝BD.

满分技法►图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法．在原图形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系，可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决．

满分变式必练►

△ABC中，AB＝AC，BC＝6.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

(1)如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；

第 1 页 共 6 页

如何复习初中数学_复习初中数学的办法

在期末考试的复习阶段，初中生要学会好一个正确的复习办法，才能让自己更好的做好考试筹备。下面是我们采集收拾的初中数学期末复习办法以供大伙学习。

复习初中数学的办法

1、复习课要新

学生对所学的常识遗忘后，留下的只不过模糊的痕迹，这就需要当令温故，但温故不要旧戏重演，而要有新意，即所选的题材要新，课堂结构要新，学生的思维角度要新，防止学生产生枯燥感。

2、选题要精

因为个体的差异，学生对所学常识的遗忘程度是不一样的，教师选习题时既要考虑到学生认知结构存在的常见现象，又要考虑到个别现象，因此，选择复习题一要精，要针对教学重点、难题设计一些既能巩固常识又有启发性讲究思维价值的习题，二是要有些放矢的进行查缺补漏，切忌布置很多的单一的读、背、抄、做等机械性作业。三是作业要分类需要，对中等生，重在剖析指导，通过复习作业使其弥补常识缺漏，学会学习技巧，从而可以举一反三，触类旁通，达成技术方法的迁移。对学有余力的优等生，可推荐一些有肯定困难程度的习题丛书，培养学生的革新意识，扩大视线，丰富常识，进一步提升自学能力，从而达到通过复习培优补差的目的。

第 2 页 共 6 页 3、复习时间要科学安排

少数教师片面的觉得，复习时间越多，成效就越好。为了挤出更多的复习时间，平常讲课时随意缩短教学时间，使所学的常识一知半解。而到了期末复习阶段，则抽出较长期化较大精力进行复习，如此得不偿失。由于任何一个教程体系都是由浅入深安排的，新常识的学习是以旧常识为起点的。学生对要点的遗忘、错误越积越多，便会渐渐丧失学习积极性，自信心，产生自暴自弃现象。再者，较长期的复习，又易使学生缺少新鲜感，产生厌倦情绪，影响复习成效。因此，我觉得平常的课堂教学中教师应注意遵循学生的认知规律，学了新常识，准时纠错，准时巩固，扎扎实实的落实每个教学目的。复习的重点应放在帮学生回忆常识，引导学生串联零散的常识构成一个好的整体常识结构。如此，普通的期末复习时间为两周左右较为合理。

八年级数学教辅书难度排名

摘要：

一、引言

二、八年级数学教辅书难度排名概述

1.教材难度分级

2.排名方法与依据

三、排名结果及解析

1.难度排名前十的教辅书

2.难度排名中等的教辅书

3.难度排名较低的教辅书

四、适合不同学生的教辅书推荐

1.优秀学生

2.一般学生

3.基础较差的学生

五、结论

正文：

一、引言

八年级是初中阶段的关键时期，数学课程的难度和深度都有所增加。为了帮助学生更好地掌握数学知识，选择一本合适的教辅书至关重要。本文将对八年级数学教辅书的难度进行排名，并给出相应的解析和建议。

二、八年级数学教辅书难度排名概述 1.教材难度分级

根据我国教育部门制定的课程标准，八年级数学教材分为基础、提高、拓展三个层次。基础教材主要涵盖基本概念和技能；提高教材注重知识应用和思维能力的培养；拓展教材则涉及一些较高层次的数学问题，为优秀学生提供挑战。

2.排名方法与依据

本文根据教辅书的难度、知识点覆盖面、题目设置等方面进行综合评价，以帮助学生选择适合自己的辅导书籍。

三、排名结果及解析

1.难度排名前十的教辅书

（1）教材全解

（2）数学精编

（3）数学思维训练

（4）数学培优教程

（5）数学奥林匹克

（6）数学探究与应用

（7）数学题型专练

（8）数学能力拓展

（9）数学课本伴侣

（10）数学同步训练

2.难度排名中等的教辅书

（1）数学基础知识手册 （2）数学巩固提高

（3）数学学习指导

（4）数学达标训练

（5）数学综合练习

3.难度排名较低的教辅书

（1）数学入门

（2）数学乐园

（3）数学趣味练习

（4）数学基础训练

（5）数学同步学习

四、适合不同学生的教辅书推荐

1.优秀学生

针对优秀学生，推荐使用难度排名前十的教辅书，如《数学精编》、《数学思维训练》等，以便巩固基础知识，提高解题能力，备战各类竞赛。

⾮凡数学个性化课程项⽬简介

⾮凡数学个性化培优竞赛教程系列丛书简介

当今之世，中⼩学教辅书可谓汗⽜充栋，令⼈⽬不暇接，然⽽⼤都是针对传统教学⽅式编写的。今天摆在我们⾯前的这套丛书却令⼈⽿⽬⼀新，她来⾃个性化教学实践中，她总结了个性化教学的⼀些实践经验，反映了个性化教学的⼀些规律，她是为个性化教学编撰的丛书，她以全新的视野向⼈们展⽰了⼀篇数学学习的新天地。

其特点是；

1、知识覆盖⾯⼴：对多个版本教材深⼊剖析、知识点考点精细全⾯；知识覆盖⾯⼴：对多个版本教材深⼊剖析、知识点考点精细全⾯；

本丛书适应中⼩学各年级、各种版本教材学习的需求。对知识点系统梳理，对问题深⼊分析，使学⽣能提纲挈领地掌握，知识体系能⾼屋建瓴，俯视教材。从⽽具有从全局上把握知识的能⼒，熔巩固教材、形成能⼒、应对考试、参加竞赛于⼀炉，聚学习知识与发展能⼒于⼀体，使数学学习达到得⼼应⼿，出神⼊化的境界。

2、学习针对性强：⼀对⼀个性化教学，真正做到了量体裁⾐、因材施教；学习针对性强：⼀对⼀个性化教学，真正做到了量体裁⾐、因材施教；

适应个性化教学的需要是本丛书的主要特点，依据全⾯系统的知识体系，结合学⽣的个性特征，精细扫描，精确到位，使学习盲点、遗漏点迅速得到强化，⾼效率的教学模式，全⽅位的教学理念，促成了良好的辅导效果；

3、思维训练性强：数学被称为思维训练性强：数学被称为“思维的体操”可见数学对培养⼈的思维能⼒的重要性。

众所周知，盲⽬题海战术是不利于思维训练的，本丛书在解决每⼀个知识点的过程中，始终突出了原理过程的；教材每个专题都有⼀个典型的“趣味”例⼦使得学⽣容易上⼿；带着浓厚的兴趣去探究问题，有益于思维健康发展。

本套教材浓缩了众多教材、教参的精华，集合了多个层次学⽣的个性化学习特征，完全符合个性化教学与学习使⽤。

4、 系统全⾯，彰显个性化教育特⾊；

本丛书涵盖了⼩学初中各阶段的学习任务，模块细化明确。

⼩学部分（六⼤系列）

Ø ⼩学数学培优教程（宗旨：全程跟踪、精细扫描）简介：供基础较薄弱的学⽣在学习内容和学习⽅法上做补充与改善，知识点⼀⼀过点，分级、分项考核，确保基础知识过关。

初三寒假学习计划表优秀

初三寒假学习计划表优秀5篇

日子在弹指一挥间就毫无声息的流逝，我们又将接触新的知识，学习新的技能，积累新的经验，做好计划，让自己成为更有竞争力的人吧。那么计划怎么拟定才能发挥它最大的作用呢？以下是小编为大家整理的初三寒假学习计划表优秀5篇，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

初三寒假学习计划表优秀5篇1

周一至周四：

1、每天在小笔记本上记下10~15个单词（包括新旧单词），利用自己的课余时间将其背熟，一定要掌握，而且经常拿出来复习。

2、晚饭前，先打开平台，在“知识强化”栏目中找到当天课堂所上过的内容，认真复习，该记住的要记住。

3、晚饭后，稍作休息，完成老师布置的作业。（注意：把回家作业当考试做）

4、某一学科的一单元内容结束，应及时进行总复习，然后完成“在线测试”里的题目。完成的不够好的，复习一遍后重做，有做错的题目及时掌握。

5、预习第二天要上课的内容，认真做好记录，把不懂的问题带到课堂上认真听老师讲解。

6、听“同步听力”和“在线听力”10~15分钟，培养一种语感。

周五：

1、同做“周一至周四”中的1、2、3点。

2、将学习过程中留下的问题在“名师答疑”中提问。

3、有空时可以先放松一下自己，听点轻音乐、看些课外的书（通过平台或自己买的都可以）。

周六：

1、早上起来先做些运动，锻炼身体，然后朗读英语或语文的文章，把一些该记的内容记住。 2、继续完成老师布置的作业。

3、下午可打开“名师面授”，选择一些自己薄弱的知识点听几遍，适当地多做一些在线测试。

4、把一周所学的复习一遍，通过“在线测试”栏目来检查自己是否掌握。如果基础不好的科目，学习“知识强化”。

5、针对自己的学科状况针对性地选择“名师答疑”的“精华区”中的问题，把它当作自己的问题，先做一遍，再看老师的解答。

周日：

除做周六的内容外，早晨或下午到分校进行学习方法交流、测试、巩固，晚上预习下周一的课程内容。

叶军/编著

初升高数学（初级篇）

冲刺高中理科实验班

实用教程

第一册

湖南省高中理科实验班招生考试数学模拟试卷

学奥数会让你的孩子大脑变得更聪明

学奥数是为了提升孩子的学习战斗力

学奥数是为了提高孩子的未来竞争力

长沙天问培训学校 叶军/编著

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湖南省高中理科实验班招生考试数学模拟试卷

学奥数会让你的孩子大脑变得更聪明

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长沙天问培训学校

作者简介

叶军：男，1963年4月出生于湖南益阳，从事大学、中小学数学教育教学研究30余年。现任湖南师范大学数学课程教学论、数学奥林匹克教学方向硕士研究生导师，长沙天问培训学校校长。1994年被中国数学会数学奥林匹克委员会授予“中国数学奥林匹克高级教练员”荣誉称号，同年被湖南师范大学破格提升为数学副教授；1991-1994年任首届湖南省高中理科实验班总教练、省队总领队。在《数学通报》等省级刊物上发表论文100余篇，已出版的专著有《数学奥林匹克教程》、《初中数学奥林匹克实用教程》（共四册）等10多部；是湖南师范大学附中第34届IMO金牌获得者，第32届IMO银牌获得者的主要教练之一。在1988-2013年里，他培养的学生考入北京大学、清华大学的有80余人，特别是2010年全国高中联赛中，从长沙天问培训学校叶老师奥数精英班毕业的学生中，获省一等奖的有12人，获省二等奖的有7人，获省三等奖的有5人，其中徐楠同学以290分的成绩获全国第一名。在2011年中国数学奥林匹克冬令营中，徐楠、张天翼、欧阳盛以优异的成绩入选国家集训队；徐楠保送北京大学，欧阳盛、张天翼、屠节、徐长吉保送清华大学；在2012年高考中胡亚威同学以705分的优异成绩荣获湖南省高考理科状元。在2013年中国数学奥林匹克冬令营中，刘志暄、谌澜天、王若谷以湖南省前三名的成绩入选国家集训队。在2014年3月的国家队选拔考试中，谌澜天以全国第四名的成绩入选国家队，代表中国参加了2014年7月在南非举行的第55届世界中学生数学竞赛，并获得本届IMO数学金牌。

1

数学竞赛学习之路——自招收获篇

质心教育 黄靖旻

引言：本文写给那些有志向学习数学竞赛，但却没能攻克这座大山的同学。数学竞赛毕竟

是困难的，需要一点点天赋，更需要大量的努力和付出。不是所有人都愿意拿出如此多的

时间去学习竞赛，也不是所有人都能够面对难题有一颗想去攻克的心。或许你是喜欢数学

的，但却因为许多难题而望而却步。那也不要紧，这段竞赛学习之路依然可以给你很大的

收获。你可以参加联赛，如果运气好拿了个省一便可以有降分或者降重本的机会。如果拿

个省二，你可以借此报名自主招生考试，自招的内容大体在高考与联赛一试之间，学过竞

赛也会有优势。再不济省三或者没有获奖，你也收获了一段开阔视野的经历，还可以回去

参加高考，而这些数学学习经历对你的未来或多或少也会有帮助。所以，不用害怕差距，

也不用觉得自己比不上那些数竞大牛，每个人有每个人的天赋，也有每个人的机遇，总

之，学习竞赛是提供了更多的机会，而机会是要自己去争取的。比起一味高考一考定大

学，比起整个高中都在学习高考知识，学习数竞都是一个更好的选择。

阶段1 准备阶段（初三放假至高一下结束）

阶段解读：初中毕业后一些同学可能就解放自我了，而另一些同学则会抓住这个机会去努

力。对于学知识相对比较慢一些的同学，可以不要学的那么快，可以花一年的时间慢慢把

高考数学的内容掌握清楚，同时也会对之后高考有帮助。如果学有余力，建议这部分同学

也可以同时学一学整个高中的物理化学生物课程，这样之后高二进入竞赛学习的节奏后，

不会因为学习竞赛而落下常规。

目标1:快速完成高中数学内容，短时间达到高考要求

目标解读：找到当地所用数学教材或通用人教版教材（可以在官网上找到电子课本），结合

高中上课的一般顺序（也可以在网上查到）进行自学，当然这里需要参考一些教辅书籍

（一般用高三复习的那种，要选讲的比较精细的）和有一些辅导课程最好（自己学习还是

会有些重点不知道在哪儿）。通过这个过程我们将掌握高中数学所需要的数学知识，这个过

初中各年级“潜规则”, 导致三年后天壤之别！家长知道几个？

0

2019-10-290

初一相差不大，初二始分高下，初三天上地下。

没错，这“天壤之别”其实就是在3年1000个日夜中细微差异的累积导致的。

初中三年会遇到各种问题，不同的解决方式会导致不同的结果，你准备好了吗？

初一“ 潜 规 则 ”

把初一当初三过的都笑到了最后。

但可惜的是，至少80%的孩子都等到初三才知道着急。

六年级到初一的差距超大，大到从听课、到内容、到作业、到态度、到思维方式都要进行转变。

小学阶段的一些无关痛痒的表现，可能导致初中全盘皆输，就比如做计算不喜欢用演草纸这么一件小事儿，多少孩子因为这个在中考丢了小10分，人生轨迹就这么改变了。

不得不承认，现在中考考察更多的是细心，而不是难题的能力。

要调整学习方向，平时练习的思路也要转变。

真正优秀的享有优质高中资源的前20%的学生中的绝大多数，根本就没盯着中考。

人家盯着的是“签约”，是不是你连签约是啥都不知道？

做家长的还不赶紧去了解了解！

提前规划！

初一的所有课程都不难，初一的各种统考也都不难，数学随随便便就可以拿个90多分，但你要知道，坏习惯改不了，学习方式不转变，初二一定出问题。

如果你孩子并不是特别牛，并且你现在的想法是“万一我孩子不行初三补课”。

那建议，你还是把钱花到初一吧。

有这种想法的多半初三钱也花了，但成绩还那样！

常见问题

a.孩子不适应

进入初中后，课程一下增加到7门；而且老师的教学方式也从小学的要求孩子学，变成需要孩子主动学。不少家长担心孩子能否适应这些变化。

此外，进入初中，学习竞争更加激烈，考试也会增多，孩子压力会越来越大。 公办初中还好，现在不能择校了，生源相对比较均衡。如果在民办，因为都是择优录取的学生，大家的底子都很不错。

所要承受的竞争压力将会更大，如果孩子在小学一直较优秀，到了初中可能会出现一些落差。

建议：首先不要给孩子太大压力，孩子压力很的大一部分是来自父母。

GeoGebra在初中数学几何动点问题教学中的应用浅析

作者：***

来源：《广东教学报·教育综合》2021年第153期

【摘要】GeoGebra是一款结合几何、代数、函数、图形和计算的免费动态数学软件，它融合代数与几何的功能，界面易用，且可视化功能强大，能突破动态问题的教学难点。本文以数学几何动点问题教学为例，借助GeoGebra软件，编写相应的GeoGebra脚本教程，探索信息技术与数学几何动点问题教学融合，旨在为初中数学教师的数学软件操作及数学动态实验教学提供一些借鉴或启示。

【关键词】GeoGebra ;初中数学;动点问题;教学融合 几何动点问题一般以几何图形为载体，综合考察学生几何、函数、计算等方面的知识，此类问题综合难度大，学生的得分情况往往不够理想，而在几何动点问题课堂教学上，常常出现“教师一味的讲解，信息技术应用不足，学生只能被动接受”的现象，这样，几何动点问题慢慢变成了学生难以逾越的关卡。因此，把信息技术如GeoGebra和几何动点问题在课堂教学上有效融合，让学生经历思路探究——结论猜想——技术验证这一过程，将有助学生真正掌握动点问题的本质，丰富学生解决几何动点问题的策略与方法。下面笔者以“中考几何动点形成函数图像”问题为例，谈谈GeoGebra软件在几何动点问题教学中的辅助应用。

一、例题呈现

二、教学片段

1.结合几何直观，建立函数模型

教师：本题是求线段AP与运动时间x之间的函数关系，这里点A为定点，点P为动点，哪位同学知道点P是怎么运动的？

学生1：点P在线段AB，线段BC，线段CA上运动，因此需要分三种情况讨论。

教师：请大家分析三种运动情况。

学生2：点P从点A运动到点B，应该为一次函数。

教师：是吗？能够写出y与x的解析式？

1

高一数学竞赛培训教程—三角函数

一、选择、填空题

1.设函数sin23cos2yxx的最小正周期为T,最大值为A,则 ( )

A．T,2A B. T,2A C．2T,2A D．2T,2A

答案：C

2．函数sinfxAx（0A，0，2）的部分图象如图1所示，

则函数yfx对应的解析式为 ( )

A．sin26yx B．sin26yx

C．cos26yx D．cos26yx

答案：A

3.已知3177cos,45124xx，则2sin22sin1tanxxx ( )

（A）2875 （B）2875 （C）21100 （D）21100

答案：A

4.已知函数①xxycossin，②xxycossin22，

则下列结论正确的是（ ）

A．两个函数的图象均关于点(,0)4成中心对称

B．两个函数的图象均关于直线4x对称

C．两个函数在区间(,)44上都是单调递增函数

D．可以将函数②的图像向左平移4个单位得到函数①的图像

答案：C

5、如果函数sin2cos2yxax的图象关于直线8x对称，那么a等于（ D）

A.2 B.－2 C.1 D.－1

答案：D

6.已知2,tan则cos(2)cos22的值 . 答案：15

2

7.已知20,)6cos(53,则cos 答案：43310

8.已知1cos30,则sin2 答案：429

二、解答题

九年级数学培优辅差记录表

辅导时间： 2018年9月13日 星期四

辅导地点： 教师办公室

辅导对象： （后进生）

辅导内容： 1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）

A、±1 B、0 C、1 D、0和1

2、的算术平方根是（ ）

A、6 B、－6 C、 D、

3、如果的平方根是±2，那么＝ 。

4、对于任意实数，下列等式成立的是（ ）

A、 B、

C、 D、

5、若＜0，化简：＝ 。

辅导效果：

不会去绝对值符号，特别是求一个数的平方根和算术平方根，思路混乱。

16466aaaaa2aa2aa224aam3322mmmm

九年级数学培优辅差记录表

辅导时间： 2018年9月21日 星期五

辅导地点： 教师办公室

辅导对象： （优生）

辅导内容： 1、如果，则、应满足 。

2、把根号外的因式移到根号内：＝ ；

3、已知成立则X的范围为

4、对于任意实数，下列等式成立的是（ ）

A、 B、

C、 D、

5、设的小数部分为，则的值是（ ）

A、1 B、是一个无理数

C、3 D、无法确定

辅导效果： 学生很快就能掌握，能够举一反三。

babbabba)(2322aba33392xxxaaa2aa2aa224aa7b)4(bb

九年级数学培优辅差记录表

辅导时间： 2018年9月27日 星期四

辅导地点： 教师办公室

辅导对象： （后进生）

辅导内容： 1、什么叫方程？

2、什么叫一元一次方程？

3、一元二次方程的一般式：

1 专题05 一元二次方程的整数根

例1 当k=4时，x=1；当k=8时，x=-2；当k≠4且k≠8时，148xk，284xk，可得k=6或k=4,6,8或12．

例2 C

例3 C 提示：方程变形为关于x的二次方程222290xyxy，2=71160y≥且是完全平方数，得,162y∴4y,∴4111yx,4322yx,4133yx,4344yx.

例4 ①若0r，则21x不是整数；②0r，设方程的两根为)(,2121xxxx，则rrxx221，rrxx121，于是,3212)(22121rrrrxxxx有7)12)(12(21xx，解得4121xx或0321xx则31r或1r.

例5由0)()50(2-22yyxyx得0)992500(4)(4)50(422yyyy,即0)992500(y,25y时,方程有实数解yyx99250050.由于)992500(y必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时30x或, 20x,故所求的四位数为2025或3025.

例6解法一:因a的次数较低,故将方程整理为关a于的一次方程,得)6(2)2(2xax,显然02x,于是2)2()6(2xxa,∵a是正整数,1a,即1)2()6(22xx,化简得0822xx,解得)2(24xx.当2,1,0,1,3,4x时,.1,914,3,10,6,1a ∵a是正整数,故a的值为1,3,6,10.解法二:)18(4)3(41242aaaa为完全平方数,故)18(4a为奇数的平方.令2)12()18(ma,m是正整数,则22mma,于是,原方程可化为0)3)(2(4)1(4)1(22mmxmmxmm,即0)3(2)1(2)-m2mxmmx（,解得mx421,1422mx,∴4m或41）（m得4,2,1m或3,1m,故a的值位1,3,6,10.

人教版数学九年级上册 第二十四章 《圆》 压轴题综合培优训练（包含答案）

1 / 24 《圆》压轴题综合培优训练

1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．

（1）求证：E为BC的中点；

（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．

2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB于点D，连结ED．

（1）判断△BDE的形状并证明．

（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．

人教版数学九年级上册 第二十四章 《圆》

压轴题综合培优训练（包含答案）

2 / 24 3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠BDC＝∠A；

（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．

（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．

人教版数学九年级上册 第二十四章 《圆》 压轴题综合培优训练（包含答案）

3 / 24 6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）求证：BD＝CF．

7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

九年级数学

大培优

췍117췍 第二十六章

反比例函数

第19

讲 反比例函数

知识导航

1.

反比例函数的定义和解析式;2.

反比例函数的图象和性质;

3.

反比例函数与方程及不等式;4.

反比例函数与神奇的几何性质;

5.

反比例函数与直线y=a

或x=a;6.

反比例函数与全等相似;

7.

反比例函数与图形变换;8.

反比例函数与定值及最值.

【板块一】 反比例函数的定义和解析式

方法技巧

根据定义解题

1.

定义:一般地,形如y=k

x(

k

为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中

x

是自变量,y

是函数.

自变

量x

的取值范围是不等于0

的一切实数;

2.

解析式:y=k

x(

k≠0)或

xy=k(

k≠0)或

y=kx-1(

k≠0)

.

▶

题型一

根据定义判断反比例函数

【例1】

下列函数:①y=x

2;

②y=2

x;

③y

=-2

x;

④y=1

2x;

⑤y=1

x+2;

⑥y=1

x-2;

⑦xy=2;

⑧y=

2x

-1,

⑨y=2

x2.

其中y

是x

的反比例函数的有 (填序号)

.

▶

题型二

根据定义确定k

值或解析式

【例2】 (

1)反比例函数

y=-3

2x,化为

y=k

x的形式,相应的k=;

(

2)函数

y=k

x中,当x=2

时,y=3,则函数的解析式为

.

13

226

.

▶

题型三

根据定义确定待定系数的值

【例3】 (

1)如果函数

y=x2m+1

是关于x

的反比例函数,则m

的值为;

(

2)若函数

y=(

m+2)

xm2

-5(

m

为常数)是关于x

的反比例函数,求m

的值及函数的解析式.

11

2

241췍118췍

针对练习1

1.

下列函数中,为反比例函数的是( )

A.y=x

3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x2

2.

反比例函数y

=-3

2x化为y=k

x的形式后,相应的k= 3

2 .

3.

若关于x

的函数y=(

m2-4)

xm2

-m-7

是反比例函数,求m

的值.

3

【板块二】

反比例函数的图象和性质

方法技巧

抓住反比例函数的性质并结合图象解题

一般地,对于反比例函数y=k

x(

k≠0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:

1.