【北师大版】七年级下册：4.3.3-利用“边角边”判定三角形全等

例2：已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
试说明:∠A=∠D.
解:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)， 即∠ABC＝∠DBE. A 在△ABC和△DBE中, D AB＝DB(已知)， 1 ∠ABC＝∠DBE(已证)， C B 2 CB＝EB(已知)， E ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
A 1 2 C 4 3
D
∴AD=CD，∠3=∠4，
∴DB 平分∠ ADC.
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，试说明:∠A=∠C.
解: ∵DB 平分∠ ADC， ∴∠1=∠2.
A 1
在△ABD与△CBD中， AD=CD (已知），
∠1=∠2 （已证），
B
D
2 C
BD=BD （公共边）， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠A=∠C.
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不
是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对
角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的 位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
当堂练习
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
B
C
“两边及夹角”
B
C
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个 三角形全等吗？
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝ AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的 夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到
△ABC上，它们全等吗？
C
A
A
D
C
解： 在△ABD 和△ CBD中， AB=CB(已知)， ∠ABD= ∠CBD(已知)， ∴ △ ABD≌△CBD ( SAS) BD=BD(公共边)，
变式1: 已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2. 试说明:(1) AD=CD； B (2) DB 平分∠ ADC. 解: 在△ABD与△CBD中， AB=CB (已知）， ∠1=∠2 （已知）， BD=BD （公共边）， ∴△ABD≌△CBD（SAS），
30º
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ Ⅴ
30º
Ⅶ
Ⅷ
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则 需要增加的条件是 A.∠A＝∠D C.∠A=∠C B.∠E＝∠C D.∠ABD＝∠EBC
D (Biblioteka )3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF. 试说明：△AFD≌△CEB. 解：
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
学习目标
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”. （重点） 2．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进 行简单的应用．（重点） 3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条 件．（难点）
导入新课
1.回顾三角形全等的判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为 “边边边”或“SSS”）. 2.符号语言表达： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
能力提升
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的 中点，试说明：DM=DN. 解: 连接CD，如图所示； 在△ABD与△CBD中 CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边） ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠A=∠B 又∵M，N分别是CA，CB的中点， ∴AM=BN
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
几何语言： 在△ABC 和△ DEF中， AB = DE， 必须是两 ∠A =∠D， 边“夹角” AC =AF ， D ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）．
A B
F
E
典例精析
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？ 分析: △ ABD ≌△ CBD. (SAS) B 边:AB=CB(已知)， 角:∠ABD= ∠CBD(已知)， 边: BD=BD(公共边). ？
B
D A
C
E
F
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
除了SSS外,还有其他情况吗？
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:
三角 三边
×
√ ？
两边一角
两角一边
讲授新课
一 三角形全等的判定（“边角边”） 问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么 这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A A
变式1
已知：如图，AB=AC, BD=CD， 试说明： ∠ BAD= ∠ CAD. 解： 在△ABD和△ACD中， AB=AC (已知）， BD=CD (已知）， AD=AD (公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴ ∠BAD=∠CAD，
变式2
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 试说明： BE=CE. 解： 在△ABD和△ACD中， AB=AC (已知）， BD=CD(已知）， AD=AD(公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE（SAS） AB=AC (已知）， ∴ BE=CE. ∠BAD=∠CAD (已证）， AE=AE(公共边），
B
E
C
C′
A
B
A′
B′
D
作法：
（1）画∠DA'E=∠A； （2）在射线A'D上截取 A'B'=AB,在射线A'E上 截取A'C'=AC； （3）连接B'C '.
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？
②这两个三角形全
等是满足哪三个条 件？
知识要点
“边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个 三角形全等 C
M D C A B
否全等？
结论 有两边和其中一边的对角分别相等的两个 三角形不一定全等.
典例精析
例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
A ∵AD//BC， ∴ ∠A=∠C， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， D
E
F
即 AF=CE. 在△AFD和△CEB中， AD=CB (已知）， ∠A=∠C (已证）， AF=CE (已证）， ∴△AFD≌△CEB（SAS）.
B
C
4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 试说明：BD=CD. 解： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， AB=AC (已知）， ∠BAD=∠CAD (已证）， AD=AD (已证）， ∴△ABD≌△ACD（SAS）. ∴ BD=CD.
在△AMD与△BND中 AM=BN (已证）
∠A=∠B
AD=BD
（已证）
（已知）
∴△AMD≌△BND（SAS） ∴DM=DN.
课堂小结
内容
有两边及夹角对应相等的 两个三角形全等（简写成 “SAS”)
边角边
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边， 必须找这角的另一夹边
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，
摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到 △ABD.这个实验说明了什么？
A
△ABC和△ABD满 足AB=AB ,AC=AD, ∠B=∠B,但△ABC 与△ABD不全等. B
C
D
画一画： 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE =5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是