随机过程考试试题及答案详解
1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均
匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；
（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b
x a a b x f ，分布函数
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤≤--<=b x b x a a
b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b
a x E +=
，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00
,)(x x e x f x λλ，分布函数
⎩⎨
⎧<≥-=-0
,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21
)(λ=x D ； （4）2
)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=
--
x e x f x ,21
)(2
22)(σμπ
σ，
分布函数∞<<-∞=
⎰
∞
---
x dt e
x F x
t ,21)(2
22)(σμπ
σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知，
)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩
⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1
)(t
C x C t x f ，一维分布
函数⎪⎩
⎪⎨⎧
+>+≤≤-<=t C x t C X C t
C
x C x x F ,1,,0)(；
（2）根据相关定义，均值函数C t
t EX t m X +==2
)()(； 相关函数2)(2
31)]()([),(C t s C
st t X s X E t s R X +++=
=； 协方差函数12
)]}()()][()({[),(st
t m t X s m s X E t s B X X X =
--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(2
2
X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=
求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()('
'y x y f x y y f x f t ==
2、（15分）设{
}∞<<∞-t t W ),(是参数为2
σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程
{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2
t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(==t EX t m X ；
相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；
协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；
且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
【解答】此题可参见课本习题3.10题。
由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：
21)(,1)(s Y D s Y E ===
，故222
)(s
Y E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；
一天内商场营业额的方差)(1808)8(2
2
Y E X ⨯⨯=σ。 4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P
（1）求两步转移概率矩阵)
2(P
及当初始分布为
0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P
时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)
2(PP P
当初始分布为0}3{}2{,
1}1{000======X P X P X P 时，
()()56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。
（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++++=++=++=13.08.0002.07.07.003.032132133
2123
211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为
23
8
,237,238321===
πππ 5、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=010007.03.0000
0001
00004.06.0003.04.03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：
