江西省高一下学期第一次月考数学试题

下学期第一次月考
高一数学试卷
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1.答题前，请您务必将自己的姓名用书写黑字字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

2.作答必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

3.考试结束后，请将答题纸交回监考老师。

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知角，则的终边在（
） 2023α=︒αA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（
） αOx O P P ()1,2-tan α=
A. B. C. D.2
2-1212-3.已知扇形的圆心角，弧长为，则该扇形的面积为（ ） AOB 23
AOB π∠=2πA. B.
C. D. 23π2π3π6π4.有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（
） A.甲与丁相互独立
B.乙与丁相互独立
C.甲与丙相互独立
D.丙与丁相互独立 5.“”是“”的（
） sin cos x x <tan 1x <A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.要得到的图象，只需将的图象（ ） 1cos 2
6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin 2y x =A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
3π
3π
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度 43π43
π7.科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按进行()sin y x ωϕ=+变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第I E P x 322天时（ ）
A.智力曲线处于最低点
B.情绪曲线与体力曲线都处于上升期 I E P
C.智力曲线与曲线相交
D.情绪曲线与体力曲线都关于对称
I E E P ()322,08.已知函数的图象关于点对称，则实数的值为（ ） ()2sin x
x x e f x x k e e
-=+++()0,1k A. B.0 C.1 D.2
1-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） π3,24ππ⎛⎫
⎪⎝⎭A. B. C.
D. sin y x =cos 2y x =tan y x =-sin 2y x =10.若集合，，则正确的结论有（ ） {}sin 21A x x ==,42k B y y k Z ππ⎧
⎫==+∈⎨⎬⎩⎭
A.
B. A B B = R R B A ⊆ðð
C.
D.
A B =∅ R R A B ⊆ðð11.关于函数有下述四个结论中正确的是（
） ()cos cos f x x x =+A.是偶函数
B.在区间上递减 ()f x ()f x ()0,π
C.为周期函数
D.的值域为
()f x ()f x []1,1-12.函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ） ()3sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C
A.图象关于直线对称
B.图象关于点对称 C 12x π
=C 2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.函数在区间内是增函数
D.是偶函数 ()f x 5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.函数________.
y =14.若，则________. ()2sin ,06log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
15.如果将函数的图象向左平移个单位所得的图象关于轴对称，那么
()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<
12π
y ________.
ϕ=16.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知是方程的根，且是第象限的角，求的cos α2210x x --=α23sin cos()tan tan()2sin(2)cos 2παααπαππαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
值.
18.（本小题满分12分）
已知函数. 2cos 32y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（1）求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；
x （2）判断函数的奇偶性.
19.（本小题满分12分）
已知函数的部分图象如图所示.
()()sin f x A x ωϕ=+()0,0,02A ωϕπ>><<
（1）求函数的解析式，并求单调递减区间；
()f x ()f x （2）若，，求的取值范围. ()33sin 2224h x x πωϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
()h x 20.（本小题满分12分）
如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
21.（本小题满分12分）
已知函数在区间上的最大值为3. ()2sin 216f x x m π⎛
⎫=+++ ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（1）求使成立的的取值集合；
()0f x ≥x （2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图()f x ()g x 象，若，且，求的值. 12,,62x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()12g x g x =222x x g +⎛⎫ ⎪⎝⎭
22.（本小题满分12分）
已知函数.
()()12
log 2sin 13f x x =+-
（1）求的定义域；
()f x （2）若，求的值域； 0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
()f x （3）设，函数，，若对于任意，总存在唯一的a R ∈()2232g x x a x a =--[]0,1x ∈10,
6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
[]10,1x ∈，使得成立，求的取值范围. ()()01g x f x =a
南昌十中2022-2023学年第二学期第一次月考高一数学参考答案
一、单选题 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C A C C
D C D B 二、多选题
题号
9 10 11 12 答案
AC AB AC BC 三、填空题
13. 14.15. 16.85
52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦34π-四、解答题
17.解：方程的两根分别为与1， 2210x x --=12
-
由于是第二象限的角，则，所以，所以5分 α1cos 2α=-sin α=sin tan cos ααα==
因为原式，所以原式………………………………10分 2cos cos tan tan tan sin (sin )
ααααααα-⋅⋅⋅==--⋅-=18.解：，令，即
2cos 32sin 32y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭232,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令，即，22,6363k k x k Z π
πππ-+≤≤+∈3232,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈226323
k k x ππππ+≤≤+
，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为k Z ∈22,,6363k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
，……………………………………4分 22,,6
323k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦令，即时，函数取得最大值；令，即32,2
x k k Z π
π=+∈2,63k x k Z ππ=+∈32,2x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是2,63
k x k Z π
π=-+∈x ，函数取得最小值时自变量的集合是…………8分 2,63k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭x 2,63k x x k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭∣（2）函数定义域为，且，故函数为奇函数.…………12分
R ()2sin(3)2sin 3()f x x x f x -=-=-=-19.解：（1）函数的部分图象如图所示.
()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<
，，解得：；故：. 37341264
T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭A =T π=2ω=
当时，， 6x π
=-063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由于，所以；
02ϕπ<<3π
ϕ=
故， ()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭令，整理得：， 3222()232k x k k Z π
π
πππ+≤+≤+∈7()1212
k x k k Z ππππ+≤≤+∈故函数的单调递减区间为.………………………………6分 7,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
（2）由于； 33()sin 4264h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由于，所以，故， 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦339sin 40,2644x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
即.………………………………………………………………12分 9()0,4
h x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
20.解：（1）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天.
由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气重度污染的概率.…………………………4分 213
P =（2）此人在该市停留期间两天的空气质量指数、、、、、()86,25()25,57()57,143()143,220()220,160、、、、、、、共13种情()160,40()40,217()217,160()160,121()121,158()158,86()86,79()79,37况.
其中只有1天空气重度污染的是、、、共4种情况，所以此人在()143,220()220,160()40,217()217,160该市久留期间只有1天空气重度污染的概率.……………………………………………………8分 413
P =（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大.……………………………………………………………………………………12分
21.解：（1），所以，所以，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以. 2sin 2[1,2]6x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭2sin 21[,3]6x m m m π⎛⎫+++∈+ ⎪⎝
⎭
因为函数在区间上的最大值为3， 2()22cos f x x x m =++0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
所以，解得.
33m +=0m =所以，由，可得， ()2sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭()0f x ≥1sin 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭
故，解得. 7222,666k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ,62
k x k k ππππ-+≤≤+∈Z 故使成立的的取值集合为.…………………………6分 ()0f x ≥x ,62x k x k k π
πππ⎧
⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z ∣（2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得， ()f x 2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
再向右平移一个单位长度，可得.
()2sin 2(1)6g x x π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦因为，所以. ,62x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭72(1)2,2666x πππ⎛⎫-+∈--- ⎪⎝⎭
令，得.………………………………8分 2(1),62x k k π
π
π-+=+∈Z 1,62
k x k π
π=++∈Z 令，可得.
1k =-13x π
=-故在上的对称轴为. ()2sin 2(1)6g x x π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦,62x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
13x π=-因为，所以. ()()12g x g x =12123x x π+=-所以.………………………………………………10分 122sin 2112236x x g ππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
令，可得.
0k =16x π
=+故在上的对称轴为. ()2sin 2(1)6g x x π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦,62x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
16x π=+因为，所以. ()()12g x g x =12126x x π+=+所以.………………………………………………12分 122sin 2112266x x g ππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22.解：（1）令，解得， 2sin 10x +>1sin 2
x >-解得， 722,66k x k k Z ππππ-<<+
∈所以函数的定义域为；………………………………………………3分 72,2,66k k k Z π
π
ππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
（2）当时，， 0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
[]2sin 11,2x +∈所以，
12()log (2sin 1)3[4,3]f x x =+-∈--故函数的值域为；………………………………………………………………7分
[]4,3--（3），，对称轴为， 22
()32g x x a x a =--[0,1]x ∈2
32a x =
当，即
[]230,12a ∈a ≤≤要满足题意，只需，或 2(0)24(1)1323g a g a a =-<-⎧⎨=--≥-⎩()()211324023
g a a g a ⎧=--<-⎪⎨=-≥-⎪
⎩解得无解，
a 当，即或时，
2312a >a >a <要满足题意只需：， ()()
202311324g a g a a =-≥-⎧⎪⎨=--≤-⎪⎩解得或， 5
3a ≤-312
a ≤≤综上，满足题意是实数的取值范围为.……………………………………12分a 53,1,32
⎛
⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦。