2018届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

2018届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学（理）试题（word
版）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 设集合{041}x A x =<,集合()
2
{|lg 2}B x y x x ==--,则集合()R A
C B =（ ）
A ． (]02，
B ．[)0,+∞
C ．[)1,-+∞
D ．()(),10,∞-+∞
2. 已知复数3a i z a i +=+
- (a R ∈为虚数单位),若复数z 的共轭复数的虚部为1
2
-, 则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ． 第一象限
B ．第二象限
C ． 第三象限
D ．第四象限 3. 若1x ,2x ,
，2018x 的平均数为3，方差为4,且()22i i y x =--,1i x = ,2x ,
，2018x ，则新数据
1y ,2
y 的平均数和标准差分别为（ ）
A ． -4 -4
B ． -4 16
C ． 2 8
D ． -2 4
4. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为抛物线2
12y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为
2y x =±,则实数a =（ ）
A ． 3
B ． 2 C. 3 D ．23 5. 运行如图所示程序,则输出的S 的值为（ ） A ． 144
2 B ． 1452 C. 45 D ．1462
6. 已知10sin 10α=
，(0,)2a π∈，则cos 26a π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．
4310 B ．43+310 C. 43310- D ．334
10
- 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）
A ．6
B ． 9 C. 12 D ．18
8. 已知2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1,则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（ ）
A ．2
B ．3 C. 2 D ．5 9. 函数22sin 33y ([,0)(0,])1
441x x
x
ππ
=
∈-+的图像大致是（ ） A ． B ．
C. D ．
10. 若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,点()4M m 是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共（ ）
A ． 0个
B ．1个 C. 2个 D ．4个 11. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
.若120x x <,且()()120f x f x +=，则21x x -的取值范围为（ ） A ． (
,)6π
+∞ B ． (,)3π+∞ C. 2(,)3π+∞ D ．4(,)3
π
+∞ 12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}
/0x f x α∈=;(){/0}B x g x ∈=,若所有的α,β，都有
1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.1 (
)2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+与互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ ）
A ． []2,4
B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7
,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]2,3
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）
13. 若数列{}n a 是等差数列，对于121
()n n b a a a n
=
+++，则数列{}n b 也是等差数列.类比上述性质,
若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列,对于0n d >时，数列{}n d 也是等比数列 ． 14. 函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是28y x =-,则
(2)
(2)
f f ' ． 15. 已知a 是区间[]1,7上的任意实数,直线1:220l ax y a ---=与不等式组830x m x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
表示的平面区
域总有公共点，则直线:30(,)l mx y n m n R -+=∈的倾斜角α的取值范围为 ． 16. 设锐角ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若
()3cos cos 2sin ,1a B b A c C b +==,则c 的取值范围为 ．
三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，23a =，且21log a ,23log a ，27log a 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 在测试中,客观题难题的计算公式为i
i R P N
=
,其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号 1 2 3 4 5 考前预估难度i P
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错)： 学生 编号
题号
1
2
3
4
5
1 × √ √ √ √
2 √ √ √ √ ×
3 √ √ √ √ ×
4 √ √ √ × ×
5 √ √ √ √ √
6 √ × × √ ×
7 × √ √ √ ×
8 √ × × × ×
9 √ √ × × × 10
√
√
√
√
×
（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度
（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （3）定义统计量()()()22
2
11221]n n S P P P P P P n
⎡⎤=
-+-++-⎣⎦
，其中1P 为第i 题的实测难度，i P 为第i
题的预估难度(1,2,,i n =).规定：若0.05S =，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本
次测试的难度预估是否合理.
19. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PD DA ==，60CDA ∠=︒，过点B 作直线//l PD ，Q 为直线l 上一动点.
（1）求证：QP AC ⊥；
（2）当面PAC ⊥面QAC 时，求三棱锥Q ACP -的体积.
20. 设点A 、B 的坐标分别为()2,0(2,0)-,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是12
-
.
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）直线:1l y kx =+与曲线C 相交于,D E 两点，若(0,2)Q 是否存在实数k ，使得DEQ ∆的面积为4
3
？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1x ≥时，函数()()()1ln g x x f x x =+-的图象恒不在x 轴的上方，求实数a 的取值范围.
二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x a y a α
α
⎧=-+-⎪⎨=+-⎪⎩ (α为参数，2a <)
（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的斜率；
（Ⅱ）在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin 204πρθ⎛⎫
++= ⎪⎝
⎭
的直线l 与曲线C 相交于,C D 两点,若4CD =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()5f x x =-，()523g x x =-- （Ⅰ）解不等式()()f x g x <；
（Ⅱ）设()
()22
-312F f x y g y =++，求证：2F ≥.
试卷答案
一、选择题
1-5: CADCB 6-10: ABBAD 11、12：BB
二、填空题
13. 12
n
n c c c 14. 12- 15.[0,](,)42ππ
π 16.332⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 三、解答题
17.（1）设数列{}n a 的公差为d 由23a =，且21log a ,23log a ，27log a 成等差数列，得
23 2 1272log log log a a a =+，即()()()2222log 3103log 35d g d d +=-++，
得()()2
222log 3log 3(35)d d d +=-+，
得()()()2
3335d d d +=-+，解得1d =或0d =(舍去)
所以数列{}n a 的通项公式为()()223211n a a n d n n =+-⋅=+-⋅=+. （2）因为11111
(1)(2)12
n n n b a a n n n n +===-
++++ 所以111111111111233445
1112
n S n n n n n n =
-+-+-++
-+-+--+++ 11222(2)
n
n n =
-=
++ 18.（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
所以,估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题.
（2）记编号为i 的学生为()1,2,3,4,5i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，24(,)A A ，25(,)A A ，25(,)A A ，45(,)A A ，共6种.
所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为
63
105
P =
=. （3）1P 为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P 作为这120
名学生第i 题的实测难度.
()()()()2222
21S (0.80.9)0.80.80.70.70.70.60.20.40.0125⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣
⎦
因为0.0120.05S =<,所以,该次测试的难度预估是合理的.
19. （1）由题意知直线QP 在面ABCD 上的射影为DB ，又菱形ABCD 中DB AC ⊥，由三垂线定理知
QP AC ⊥.
（2）PAC ∆和QAC ∆都是以AC 为底的等腰三角形，设AC 和BD 的交点为O ，
连接OP 、OQ ，则OP AC ⊥，OQ AC ⊥，∴AC ⊥面POQ ，面PAC ⊥面QAC 知：OP OQ ⊥.在
Rt POD ∆中，7OP =，设QB x =，则Rt OBQ ∆中，23OQ x =+，在直角梯形PDBQ 中，
222(2)(23)416PQ x x x =-+=-+，在POQ ∆中，22210PQ OP OQ x =+=+，
故
2241610x x x -+=+， 解得32x =
，即32
QB =. 同时212OQ =
，12173
7224
POQ S ∆=⨯⨯= ∴173
36
Q ACP A POQ C POQ POQ V V V S AC ---∆=+=
⋅=
. 20.（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标是()2,0，所以直线AM 的斜率(2)2
AM y
k x x =≠-+同理，直线BM 的斜率(2)2
BM y
k x x =
≠- 所以
1222y y x x ⋅=-+-化简得点M 的轨迹方程C 为()22
1242
x y x +=≠± （2）设()11,D x y ，()22,E x y 联立22
124
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩，化为：()22
12420k x kx ++-= 0∆>，∴122412k x x k -+=
+，12
2
2
12x x k -=+， ∴()(
)()2
2
2
2
1
2
1222216814(1)1212k DE k x x x x k k k ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=
++-=++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦
()()2
2
2
22
14112k k
k =
+++点Q 到直线l 的距离
2
11d k
=
+∴()()2
2
2
21112214122121QAB S d DE k k
k k ∆=
=⨯⨯++++
2
2
2441123
k k =
+=+，解得：214k =，解得12k =±，因为当12k =时直线l 过点()2,0-， 当12k =-
时直线l 过点()2,0，因此不存在实数k ，使得DEQ ∆的面积为4
3
. 21.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()11ax
f x a x x
-'=-=
①当0a ≤时，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，则由()0f x '>知10x a <<
，由()0f x '<知1x a
>，
所以()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，
当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由题意知：()()1ln 0x f x x +-≤恒成立,
而()()()()()
2
1ln 01ln ln 0ln 10x f x x x x ax a x x x a x +-≤⇔+-+-≤⇔--≤， 由()()
()2
ln 11g x x x a x x =--≥，得：()'ln 12g x x ax =+-.
令()ln 12h x x ax =+-，则112()2ax h x a x x
-'=
-=， ①若0a ≤，()0h x '>，() g x '在[1,)+∞上单调递增，故()'(1)120g x g a '≥=-≥， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，
从而()
2
ln 10x x a x --≥，不符合题意；
②若102a <<
，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()0g x '>在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 从而()(1)120g x g a '>=->，
所以()g x 在11,
2a ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，所以()(1)0g x g ≥=, 从而在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上()2
ln 10x x a x --≥，不符合题意； ③若1
2
a ≥
，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立， 所以()g x '在[1,)+∞上单调递减，()(1)120g x g a ''≤=-≤， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，
所以2
ln (1)0x x a x --≤恒成立，综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
22.（Ⅰ）由题意，得曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y α
α
=-+⎧⎨
=+⎩(α为参数)，消去参数，得
()
()2
2
114x y ++-=，圆心C 的坐标为()1,1-，因为曲线C 上存在,A B 两点关于点()0,2M 成中心对
称，所以CM AB ⊥，则由2110(1)CM k -=
=--，得直线AB 的斜率1
1AB CM
k k =-=-.
（Ⅱ）消去参数，得曲线C 的普通方程为()()2
2
112x y a ++-=-，
圆心C 的坐标为()1,1-，半径为2a -，又直线l 的极坐标方程可化为sin cos 20ρθρθ++=，其直角坐标方程为20x y ++=，所以，22112
()222
a -+++=-，
∴4a =-.
23.（Ⅰ）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或352
5235x x x ⎧
≤≤⎪
⎨⎪-+-<⎩或325325
x x x ⎧
<⎪
⎨
⎪-+-<⎩， 所以x φ∈或
332x ≤<或3
12
x <<，即13x <<，原不等式的解集为()1,3. （Ⅱ）()2222
523123556215F x y y x y y =+-++--=+-++-
()()22
222256215375322x y y x y x y ≥+-++-=+++-=+++≥。