斜面下滑滑块机械能守恒问题新解

ｓ＝ １２ｔ２ ｇｓｉｎθ．
０－ｙ ＝ｓｓｉｎθ＝ １２ｔ２ ｇｓｉｎθｓｉｎθ＝
１２ｔ２ ｇｓｉｎ２θ（－ｈ ≤ｙ ≤０），
ｔ２
＝ｇ－ｓｉｎ２ｙ２θ，ｔ＝
槡－２ｙ ；ｓ 槡ｇｓｉｎθ
＝
ｓｉ－ｎｙθ．
ｖ ＝ｔｇｓｉｎθ＝ 槡－２ｙｇｓｉｎθ＝ 槡－２ｇｙ ， 槡ｇｓｉｎθ
ｖ２ ＝－２ｇｙ．
Ｅｋ（ｔ）＝
关 键 词 ：斜 面 下 滑 滑 块 ；动 能 ；势 能 ；机 械 能 守 恒 中 图 分 类 号 ：Ｏ３１３．１ 文 献 标 志 码 ：Ａ
在水平地面上有一表面光滑的高为ｈ 的斜坡， 坡面与 水 平 地 面 的 夹 角 为θ．有 一 质 量 为 ｍ 的 滑 块 从斜坡的顶点处沿 斜 坡 自 由 滑 下，有 一 小 车 相 对 于 光滑地面以恒速量值ｕ 沿滑块滑线在地面上的投影 方 向 运 动 ．试 问 在 地 面 上 和 小 车 上 观 察 ，滑 块 的 机 械 能是否守恒，并说明理由 ． ［１－６］
（ｍｇｓｉｎθｃｏｓθ）·ｕ· 槡－２ｙ ＝ 槡ｇｓｉｎθ
－ｍｇｙ＋ｍｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ． Ｅ１ｐ（ｔ）＝ｍｇｙ－ｍｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ．
Ｅ１（ｔ）＝Ｅ１ｋ（ｔ）＋Ｅ１ｐ（ｔ）＝
－ｍｇｙ＋１２ｍｕ２＋ｍｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ＋ ｍｇｙ－ｍｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ＝１２ｍｕ２＝常数．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａ ｂｌｏｃｋ ｓｌｉｄｉｎｇ ｄｏｗｎ ｏｎ ｉｎｃｌｉｎｅ；ｋｉｎｅｔｉｃ ｅｎｅｒｇｙ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｅｎｅｒｇｙ；ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ
师 教 民 （１９４５－），男 ，河 北 晋 州 人 ，石 家 庄 职 业 技 术 学 院 教 授 ，现 从 事 数 学 、物 理 、电 工 、电 子 的 教 学 与 研 究 工 作 ．
７２
石家庄职业技术学院学报
第 ２６ 卷
所以，在地面 上 观 察 时，滑 块 的 机 械 能 守 恒，守
恒 值 为 ０． 在 小 车 上 观 察 （即 以 小 车 为 静 止 系 ）时 有 ： （１）直 觉 判 断 法 因为地面及滑块都以匀速度量值ｕ 相对于小车
１ｍｖ２ ２
＝
１２ｍ·（－２ｇｙ）＝－ｍｇｙ；
Ｅｐ（ｔ）＝ ｍｇｙ 或Ｅｐ（ｔ）＝０－ｍａ·ｓ＝
－ （ｍｇｓｉｎθ）·ｓｉ－ｎｙθ ＝ ｍｇｙ．
Ｅ（ｔ）＝ Ｅｋ（ｔ）＋Ｅｐ（ｔ）＝－ｍｇｙ ＋ｍｇｙ ＝
０＝ 常数．
收 稿 日 期 ：２０１４－０９－２０ 作 者 简 介 ：李 学 生 （１９６９－），男 ，山 东 济 南 人 ，山 东 大 学 副 教 授 ，现 从 事 普 通 物 理 的 教 学 与 研 究 工 作 ；
［５］ 冯 健．滑 块 的 机 械 能 还 守 恒 吗 ［Ｊ］．物 理 教 学 探 讨，２００６，２４ （１）：４３．
［６］ 徐祥宝．以 地 面 为 参 照 系 机 械 能 不 守 恒 ［Ｊ］．物 理 教 学 探 讨， ２００６，２４（９）：３６－３７．
责 任 编 辑 ：金 欣
Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｌｏｃｋ ｓｌｉｄｉｎｇ ｄｏｗｎ ｏｎ ｉｎｃｌｉｎｅ
解 在地面上观察时，以坡面顶点ｏ 为原点，过 ｏ 且垂直 于 水 平 地 面 的 向 上 的 直 线 为ｙ 轴，过ｏ 的 沿小车运动方向且 向 右 的 直 线 为ｘ 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，如 图 １ 所 示 ．
图 １ 斜 面 下 滑 滑 块 机 械 能 守 恒 问 题 示 意 图
ｍｇｓｉｎθ＝ ｍａ，ｄｄｖｔ ＝ａ ＝ｇｓｉｎθ，
ｖ
ｔ
∫ ∫ ｄｖ ＝ｇｓｉｎθｄｔ，ｄｖ ＝ （ｇｓｉｎθ）ｄｔ，
０
０
ｖ－０＝ （ｔ－０）ｇｓｉｎθ，ｖ ＝ｔｇｓｉｎθ．
ｄｓ ｄｔ
＝ｖ
＝ｔｇｓｉｎθ，ｄｓ＝ｔｇｓｉｎθｄｔ，
ｓ
ｔ
∫ ∫ ｄｓ＝ （ｇｓｉｎθ）ｔｄｔ，
０
０
ｓ－０ ＝
１（ｔ２ ２
－０２）ｇｓｉｎθ，
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｌｏｃｋ ｓｌｉｄｉｎｇ ｄｏｗｎ ｏｎ ｉｎｃｌｉｎｅ， ｗｈｉｃｈ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄｌｙ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｒ ａｔ ｉｔｓ ａｖｅｒａｇｅ ｓｐｅｅｄ．Ｎｏ ｍａｔｔｅｒ ｗｈａｔ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｗｅ ｔａｋｅ，ｔｈｅ ｅａｒｔｈ，ｔｈｅ ｃａｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ａ ｂｌｏｃｋ ｓｌｉｄｉｎｇ ａｒｅ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ．
文 章 编 号 ：１００９－４８７３（２０１４）０６－００７１－０２
Ｄｅｃ．２０１４ Ｖｏｌ．２６ Ｎｏ．６
斜面下滑滑块机械能守恒问题新解
李 学 生１， 师 教 民２
（１．山东大学 物理学院，山东 济南 ２５０１００；２．石家庄职业技术学院 组织部，河北 石家庄 ０５００８１）
摘 要：重新解答了斜面上自由下滑滑块的机械 能 守 恒 问 题，得 出 了 在 地 面 上 和 相 对 于 地 面 做 匀 速 运 动 的 小 车 上 观 察 ，自 由 下 滑 滑 块 的 机 械 能 都 守 恒 的 新 结 论 ．
－２ｇｙ＋ｕ２＋２ｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ．
Ｅ１ｋ（ｔ）＝ １２ｍｖ２１ ＝
－ｍｇｙ＋１２ｍｕ２＋ｍｕ· 槡－２ｇｙｃｏｓθ．
ａ１ｘ＝ｄｖｄｔ１ｘ ＝ｄｄｖｔｘ －０＝ａｘ； ａ１ｙ＝ｄｄｖｔ１ｙ ＝ｄｄｖｔｙ ＝ａｙ；ａ１＝ａ＝ｇｓｉｎθ． ｍａ１ｘ ＝ｍａｘ ；ｍａ１ｙ ＝ｍａｙ ； ｍａ１＝ｍａ＝ｍｇｓｉｎθ． ０－Ｅ１ｐ（ｔ）＝ ｍａ１ ·ｓ＋ （－ｍａ１ｃｏｓθ）· （－ｕ）（ｔ－０）＝ （ｍｇｓｉｎθ）·ｓｉ－ｎｙθ＋
恒 值 为 １２ｍｕ２ ． （２）数 学 推 导 法
ｖ１ｘ＝ｖｘ－ｕ＝－ 槡－２ｇｙｃｏｓθ－ｕ，
ｖ２ １ｘ
＝
（ｖｘ
－ｕ）ｙ ，ｖ２１ｙ ＝ｖｙ２ ．
ｖ２１ ＝ｖ２１ｘ ＋ｖ２１ｙ ＝ｖｘ２ ＋ｕ２ －２ｕ·ｖｘ ＋ｖｙ２ ＝
ｖ２ ＋ｕ２ －２ｕ·ｖｘ ＝
ＬＩ Ｘｕｅ－ｓｈｅｎｇ１，ＳＨＩ Ｊｉａｏ－ｍｉｎ２
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ ２５０１００，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ，Ｈｅｂｅｉ ０５００８１，Ｃｈｉｎａ）
沿ｘ 轴负向 运 动，所 以 在 小 车 上 观 察 （即 以 小 车 为 静止系）时，滑 块 的 机 械 能 比 在 地 面 上 观 察 时 增 加
１２ｍ（－ｕ）２＝１２ｍｕ２，所 以 在 小 车 上 观 察 时，滑 块 的 机械能为：
Ｅ１（ｔ）＝Ｅ（ｔ）＋ １２ｍｕ２ ＝
０＋ １２ｍｕ２ ＝ １２ｍｕ２ ＝ 常 数 ． 所以，在小车 上 观 察 时，滑 块 的 机 械 能 守 恒，守
所以，在小车 上 观 察 时，滑 块 的 机 械 能 守 恒，守 恒 值 为 １２ｍｕ２ ．
参考文献： ［１］ 高 炳 坤．力 学 中 一 个 诡 秘 的 错 误 ［Ｊ］．物 理 与 工 程，２００２，１２
（２）：１４－１５． ［２］ 赵坚．机械能守 恒 定 律 理 解 中 一 个 值 得 重 视 的 问 题 ［Ｊ］．物 理
石家庄职业技术学院学报第26卷直觉判断法因为地面及滑块都以匀速度量值u相对于小车沿x轴负向运动所以在小车上观察即以小车为静止系时滑块的机械能比在地面上观察时增加所以在小车上观察时滑块的机械能为
２０１４ 年 １２ 月 第 ２６ 卷 第 ６ 期
石家庄职业技术学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
设在地面上观察时，滑块在 ０ 时刻起从斜坡的 顶点处 开 始 下 滑，ｔ 时 刻 的 高 度、速 度、加 速 度、动 能 、势 能 、机 械 能 分 别 为 ｙ，ｖ，ａ，Ｅｋ（ｔ），Ｅｐ（ｔ），Ｅ（ｔ）； 在小车 上 观 察 时，ｔ 时 刻 的 速 度、加 速 度、动 能、势 能、机械能分别为ｖ１，ａ１，Ｅ１ｋ（ｔ），Ｅ１ｐ（ｔ），Ｅ１（ｔ）．则 在 地 面 上 观 察 （即 以 地 面 为 静 止 系 ）时 有 ：
通 报 ，２００６，２５（６）：１９－２１． ［３］ 钱广东．不 同 惯 性 系 中 机 械 能 不 一 定 都 守 恒 ———兼 谈 机 械 能
守恒定律是 否 服 从 力 学 相 对 性 原 理 ［Ｊ］．物 理 教 学，２００６，２８ （２）：４２－４３．
［４］ 白静江．两体问 题 中 的 功 能 原 理 及 机 械 能 守 恒 定 律 ［Ｊ］．大 学 物 理 ，１９９７，１６（３）：１１－１４．