辽宁省东北育才2020届高三数学第二次模拟考试(文)

东北育才学校高三第二次模拟考试数学文科试卷
一、选择题 :(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)
1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8} P={3,4,5} Q={1,3,6} 那么会合 {2,7,8} 是（ ）
A. P ∪ Q
B. P ∩ Q
C. CuP ∪ CuQ
∩ CuQ
2. 以下命题：① x R x
2
x
；② x
R x
2
x
；③ 4 3 ；④“x 2
1
x 1 ，
”的充要条件是 “
或
x 1
”.
此中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
f
f x
5 , x 0
x
f
2009
3. 已知函数
log 2
x , x 0
，则 （
）
A.
1
B. 0
C.
1
D. 2
4. 在样本的频次散布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其余
1
10 个小长方形的面积和的
4
A ． 32
B ．
，且样本容量为 160，则中间一组的频数为
( )
C ． 40
D ．
1 1
L
1
5. 右图是计算 1 2 2
3
9 10 的值的程序 框图，此中在判断框中应填入的条件是（ ）
A ．
i 8
B ．
i
9
C ．
i
10
D ．
i
11
6. 已知函数 f (x)
(x 2
3x 2)ln x 2008x 2009，则方程 f (x)
在下边哪个区间内必有实
根（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C.(2,3)
D. (2, 4)
sin(
)
1
cos(
2
2 )
7. 已知
6
3
，则
3
的值等于 ()
7
7
1
1
A ．
9
B ．
9
C ．
3
D ．
3
8.若直线
2ax by
2
0(a
0, b
0) 被圆 x
2
y 2
2x
4 y 1
截得的弦长为
4 ，则
1 1
a
b 的最小值是 (
)
1
1
C.
2
D.
4
1
a 2 a 4 a 6
1
a n
是等差数列，且
a 2 a 4a 4
a
6
a 6 a 2 1 6 ，则
a
10
9. 设数列
，
（
）
1
1
C.
5
D.-1 或
5
10. 如图，在正四棱锥 S －ABCD 中， E 是 BC 的中点， P 点在侧面 SCD
内及其界限上运动，
而且老是保持 PE
AC.则动点 P 的轨迹与△ SCD 构成的有关图形是 (
)
S S S S
P
P
P
P
D
D
D
D
C
C
C
C
A. B C D
..
A
A
A
11. 已知函数 f
x x
2
2x
1
，若存在实数
t ，当随意
x
1， m 时， f x t
x
恒建立，
则实数 m
的最大值为（
）
A.
5
B. 4
C. 3
D.
2
x 2 y 2
1(a
0,b
0)
1
若双曲线 a 2
b 2
4
,则该双
12
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
曲线的离心率是（ ）
6
2 3
A ． 5
B ． 2
C ． 2
D ． 3
二、填空题： (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )
13.如图，平面上一长
12 cm ，宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一
A
D
半径为 1 cm 的圆（圆心在矩形对角线交点处） .
把一枚半径
1 cm
的硬币随意掷在矩形内（硬币完整落在矩形内）
，则硬币
B
C
不与该圆相碰的概率为
.
3x y 0
uuur uuur x
3y
2 0
z
OA OP
y 0
uuur
14.已知定点 A 3,
3
OA
，O 是坐标原点， 点
P x, y
知足
，则
的
最大值为
.
a
n 2
a n 2 1
a n
a 1 1 a 6
32 a n a n
中， ， ，
，把数列 的各项排成
15.已知实数列
a 1
如下图的三角形状，记 A m, n
为第 m 行从左起第 n 个数，
a 2 a 3 a 4
则 A(12，5)=
.
a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
L L L L L
16.已知正方体
ABCD
A 1
B 1
C 1
D
1 的棱长为
1， E 为棱
AA
1 的中点，向来线过
E 点与异面直线
BC ,
C 1
D 1
分别订交于 M,N 两点，则线段 MN 的长等于
.
三、解答题： (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
17.(本小题满分 10 分 )
ABC 中，
a,b,c
A, B,
C
的对边，且 4 sin 2
B
C cos2 A
7 分别是
2
2 .
（Ⅰ）求
A ；
（Ⅱ）若
a
7 ， ABC 的面积为 10 3 ，求 b c 的值 .
18.(本小题满分 12 分)
某商场举行抽奖活动，从装有编号 0， 1， 2，3 四个小球的抽奖箱中，每次拿出后放回，连续
取两次，拿出的两个小球号码相加之和等于
5 中一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖．
（Ⅰ）求中三等奖的概率； （Ⅱ）求中奖的概率． 19.(本小题满分 12 分)
已知直三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1 中，
ABC
为等腰直角三角形，
BAC
900 ，
AB AA 1
2
D , E, F
B 1 A,
C 1C , BC A1
C1
且 ， 分别为 的中点，
B1
（Ⅰ）求证：
DE // 平面 ABC ；
D
E
B 1F
平面 AEF ；
A
F C
（Ⅱ）求证：
B
（Ⅲ）求点 E 到平面
AB 1F
的距离 .
20.(本小题满分 12 分 )
已知函数
f ( x)
kx
3
3(k 1)x
2
2k
2
4
，若
f (x)
的单一减区间为
(0, 4)
.
（Ⅰ）求 k
的值；
（Ⅱ）对随意的
t
[ 1,1] ，对于 x 的方程 2x 2
5x a f (t ) 总有实根，务实数
a 的取值范
围 .
21.(本小题满分 12 分)
x 2
y 2 1 a b 0
已知椭圆 a
2
b 2
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直
线 x y b
0 是抛物线 y 2
4x
的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
S(0, 1)
（Ⅱ）过点
3
的动直线 L 交椭圆 C 于 A 、B 两点 .问：能否存在一个定点
T ，使得以 AB
为直径的圆恒过点
T ? 若存在，求点 T 坐标；若不存在，说明原因．
22.(本小题满分 12 分)
设等比数列 {
a n
}的前 n 项和
S n
，首项 a 1
1
q
f ( )
( 1,0)
，公比
1
.
(Ⅰ )证明：
S n
(1
) a
n ；
b 1
1
*
2 ， b n
f (b n 1
)( n
, n
2) ，求数列 {
b n
}的通项公式；
(Ⅱ )若数列 {
b n
}知足
N
c n a n ( 1
1)
2 时，
2T
n
4
(Ⅲ )若
1 ，
b n
，数列 {
c n
}的前项和为
T n
，求证：当 n
.
东北育才学校高三第二次模拟考试
数学文科卷答案
一．1-12： DCBAC BBACA BD
1
二．13．2014．
3
15．212516. 3
4sin 2B C cos2 A74[1 cos( B C)] cos2A7三． 17．解：（Ⅰ）由2 2 得： 2 ，可得 4 cos2A 4 cos A 10 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
cos A 1
A
2 ，
3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
72b2 c 22bc cos
3
103
1
bc sin
（Ⅱ）23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
(b c)2169 ， b c13.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
18．解：“中三等”的事件A，“中”的事件B，从四个小球中有放回的取两个共有（ 0， 0），（ 0， 1），（ 0，2），（ 0，3），（ 1，0），（1，1 ），（ 1， 2），（ 1，3），（ 2，0），（ 2，1），
（2， 2），（2， 3），（3， 0），（ 3，1），（ 3， 2），（ 3， 3） 16 种不一样的方法。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
（Ⅰ）两个小球号相加之和等于 3 的取法有 4 种：
（ 0， 3）、（1， 2）、（2， 1）、（ 3，0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
41
P( A)
4
故16⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（Ⅱ）两个小球号相加之和等于3的取法有 4 种。

两个小球相加之和等于 4 的取法有 3种：（ 1， 3），（ 2， 2），（3， 1）
两个小球号相加之和等于 5 的取法有 2 种：（2， 3），（ 3，2）, ⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
由互斥事件的加法公式得
4329
P(B)
16161616⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
19.解：（Ⅰ）取BB1 中点 G， DG,EG
∵B1D=AD， B1G=GB，∴ DG//AB，同理 GE//BC,
∵DG GE=G，AB BC=B，∴平面 DGE//平面 ABC ,
∵ DE 平面 DGE，∴ DE// 平面 ABC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅱ）∵ AB=AC=2BAC=90
o
,∴ BC=2
2
在
VB 1
FE
中 EC=1
∴
B 1
E
=3
B 1
F
=
6
∴
B 1
F
FE
又∵
AF
BB 1 , ∴ AF
平面
B 1
C
,∴
AF
B 1F
∵
B 1
F
FE ， AF
B 1 F
,
∴
B 1
F
平面 AFE
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
（Ⅲ）∵ AF
平面
B 1
C
∴ AF
EF
∵
EFB 1
F
∴ EF 平面
B 1
FA
∴ EF=
3
所求 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
20.解：（ I ）
f
(x) 3kx 2 6( k 1) x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 又 f (4)
0, k
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（ II ）
f (t )
3t 2 12t
1 t 0时 f (t) 0;0 t 1时 f (t ) 0
且 f ( 1)
5, f (1) 3,
f (t)
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2x 2
5x a
8a
8 25
8a
25 5解得 a
15
8
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
x y
b 0
2 2 21.解：（Ⅰ）由
y 2
4x
消去 y 得 : x
(2b 4) x b
因直
y
x b 与抛物线 y
2
4x
相切，
(2b 4) 2
4b 2
，∴ b 1，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
C : x 2
y 2 1(a
b 0)
∵ a 2
b 2
的两焦点与短 的一个端点的 构成等腰直角三角
形，∴
a
2b
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
x 2 y 2 1.
故所求 方程
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
x 2
( y 1 )2
( 4) 2
（Ⅱ）当 L 与 x 平行 ，以 AB 直径的 的方程：
3
3
当 L 与 x 垂直 ，以
AB 直径的 的方程：
x 2
y 2 1
x 2 ( y 1) 2
( 4 )2
3
3 解得 x
由
x 2 y 2 1 y
1
即两 公共点（ 0， 1）
所以，所求的点 T 假如存在，只好是（ 0， 1）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
（ⅰ）当直
L 斜率不存在 ，以
AB 直径的 点
T （ 0， 1）
y
kx
1
3
（ⅱ）若直
L 斜率存在 ，可 直 L ：
y
kx
1
3 消去 y 得 : (18k 2 9) x 2
x 2
12kx 16 0
y 2 1
由
2
x 1 x 2
12k 18k
2 9
B(x 2 , y 2 ),则
16
x 1 x 2
18k 2 9
点
A( x 1
, y 1 )
、
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
又由于 TA (x 1, y 1 1), TB ( x 2 , y 2 1)
4
)( kx 2 4)
所以 TA TB x 1 x 2
( y 1 1)( y 2 1) x 1 x 2
(kx 1
3
3
(1 k 2
)x 1 x 2
4
k( x 1 x 2 )
16
3
9
(1 k 2 )
18k 16
4 k 12k 16 0
2
9
3 18k 2 9 9
∴TA ⊥ TB,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
合（ⅰ）（ⅱ），以 AB 直径的 恒 点
T （ 0， 1） .
⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
22.解：
a 1(1 q n )
a 1
[1 (
1
)n ]
(1
)[1
(
n ] (1
) (
)
n 1 S n
1 q
)
1
1
1
(Ⅰ )
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
a n a 1 (
)n 1
( )n 1
而
1
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
所以 S n
(1 ) a n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
f ( )
b n
b n 1 ,
1
1
1
1 b n
b n
b
n 1
(Ⅱ )
1
,
1
,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
{ 1
}
1 2
b
n
是首
b
1
,公差 1 的等差数列 ,
1 (n 1) n
1
2
b n
,
即
1 b n
1 .
n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
a n
( 1) n 1
c n
a n (
1
1) n( 1
)n 1
(Ⅲ )
1 ,
2
,
b n 2
T n
1 2( 1
) 3(1
)2 L
n(1 )n 1
2 2
2
1
T n
1 2(1)2
3(1
)
3
L n( 1
)n
2
2 2
( 1 )
2
2 n( 1
)
n( 1)
1
T n
1
( 1 ) 2 L ( 1)
n 1
n 2[1 （
1
）] n
n
相减得
2
2
2
2 2
2 2
T n
4 ( 1 )n 2 n( 1 )n 1 4
2
2
,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
c n n(1
)n
1
,
T n
增 ,
T n T 2
2,
又因
2
故当
n
2
,
2
T n 4 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分。