陕州区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

陕州区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ） A ．[﹣9，+∞） B ．[0，+∞） C ．（﹣9，1）
D ．[﹣9，1）
2． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
3． 设函数()()21x
f x e
x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
1111] 4． 下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（
）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
5． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
7． 若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ）
A ．“p ∨q ”为假
B ．p 假
C ．p 真
D ．不能判断q 的真假
8． 下列式子中成立的是（ ） A ．log 0.44＜log 0.46 B ．1.013.4＞1.013.5 C ．3.50.3＜3.40.3 D ．log 76＜log 67 9． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12
10
10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．
60 D ．
30 11．如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①
()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④
⎩
⎨
⎧=≠=0,00
|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 12．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 二、填空题
13．已知,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 14．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．21
10
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想． 15
．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
16．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE
所成角的余弦值为
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
17．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
18．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2
=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3），其中0＜a ＜1．
（1）求函数f （x ）的定义域；
（2）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．
20．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
21．已知函数f （x ）=log a （x 2+2），若f （5）=3； （1）求a 的值； （2
）求的值；
（3）解不等式f （x ）＜f （x+2）．
22．若函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a 的值．
23．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2
P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知函数上为增函数，且
θ∈（0，π），，m ∈R ．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求m 的取值范围．
陕州区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：函数f （x ）=lg （1﹣x ）在（﹣∞，1）上递减， 由于函数的值域为（﹣∞，1]， 则lg （1﹣x ）≤1， 则有0＜1﹣x ≤10， 解得，﹣9≤x ＜1． 则定义域为[﹣9，1）， 故选D ．
【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面
PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD
所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 3． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,x g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.
4． 【答案】B
【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同． B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．
D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．
故选B ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
5． 【答案】D
【解析】解：依题意可知F 坐标为（，0）
∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=
，
∴抛物线准线方程为x=﹣
，
所以点B 到抛物线准线的距离为=，
则B 到该抛物线焦点的距离为．
故选D ．
6． 【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B ．
7． 【答案】B
【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假， ∴q 为真，p 为假； 则p ∨q 为真， 故选B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．
8． 【答案】D
【解析】解：对于A ：设函数y=log 0.4x ，则此函数单调递减∴log 0.44＞log 0.46∴A 选项不成立 对于B ：设函数y=1.01x
，则此函数单调递增∴1.013.4
＜1.01
3.5
∴B 选项不成立
对于C ：设函数y=x 0.3
，则此函数单调递增∴3.50.3
＞3.4
0.3
∴C 选项不成立
对于D ：设函数f （x ）=log 7x ，g （x ）=log 6x ，则这两个函数都单调递增∴log 76＜log 77=1＜log 67∴D 选项成立 故选D
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1,81q 253
=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 10．【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 11．【答案】B
第
12．【答案】D 【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
2201620162
=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()3115
33212
f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题
13．【答案】(2,1)-
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得20x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(2,1)-．
14．【答案】D 【
解
析
】
15．【答案】 4 ．
【解析】解：∵双曲线
的渐近线方程为 y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，∴ =2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=x ，是解题
的关键．
16．【答案】 4或 ．
【解析】解：设AB=2x ，则AE=x ，BC=，
∴AC=
，
由余弦定理可得x 2=9+3x 2
+9﹣2×3×
×
， ∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O 的直径为=4，
或AB=2
，BC=
，球O 的直径为=
．
故答案为：4或
．
17．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．
18．【答案】+=1．
【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，
∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，
∵圆B经过点A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b2=a2﹣c2=9
，得该椭圆的方程为
+=1．
故答案为：
+=1．
三、解答题19．【答案】
【解析】解：（1
）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．
（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）（x+3）
=
=，
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1
，∴≥log a4，即f（x）min=log a4；由log a4=﹣4，得a﹣4=4，
∴
a=
=．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．20．【答案】
【解析】解：证明：2
()10
f x x x x
=⇔+-=，∴
2
11
2
22
10
10
λλ
λλ
⎧+-=
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，∴
2
11
2
22
1
1
λλ
λλ
⎧-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
．
∵
12
1111111
1
2
12222222
2
1
11
11
1
n n n n n
n n n n
n
a a a a a
a a a a
a
λ
λλλλλλ
λ
λλλλλλλ
λ
+
+
-
-+----
====⋅
-----
-
+
，（3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设m =()f m m =．
由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f （5）=3，
∴
，
即log a 27=3 解锝：a=3… （2）由（1
）得函数，
则
=
… （3）不等式f （x ）＜f （x+2），
即为
化简不等式得
…
∵函数y=log 3x 在（0，+∞
）上为增函数，且
的定义域为R ．
∴x 2+2＜x 2
+4x+6…
即4x ＞﹣4， 解得x ＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
22．【答案】
【解析】解：由题意可得：
∵当a ＞1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增，
∴f （2）﹣f （1）=a 2
﹣a=a ，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a ＜1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递减，
∴f （1）﹣f （2）=a ﹣a 2
=
，解得a=0（舍去），或a=．
故a 的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =
时，7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2
(1)t +121211()416
y y t y y -++＝
222
222
11212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++．
综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数上为
增函数，
∴g ′（x ）=﹣
+
≥0在，mx ﹣
≤0，﹣2lnx ﹣＜0，
∴在上不存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立．
②当m ＞0时，F ′（x ）=m+
﹣=，
∵x ∈，∴2e ﹣2x ≥0，mx 2
+m ＞0，
∴F ′（x ）＞0在恒成立． 故F （x ）在上单调递增，
F （x ） max=F （e ）=me ﹣﹣4，
只要me ﹣
﹣4＞0，解得m ＞
．
故m 的取值范围是（
，+∞）
【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。