高三数学上学期9月统测考试试题

创 作人： 历恰面 日 期：
2020年1月1日
延庆区2021届高三数学上学期9月统测考试试题
本套试卷一共4页，150分。

考试时长120分钟。

所有考生必须将答案答在答题纸上，在试卷上答题无效。

在在考试完毕之后以后，将答题纸交回.
第一局部〔选择题，一共40分〕
一、选择题一共10小题，每一小题4分，一共40分。

在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.
〔1〕集合A ={x ||x |<3}，B ={x ||x |>1}，那么A B =
〔A 〕R 〔B 〕(1,3) 〔C 〕(3,1)(1,3)-
-〔D 〕
{–2，2}
〔2〕向量
(1,)a k =，(,2)b k
=，假设a 与b 方向相反，那么k 等于
〔A 〕1
〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕
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〔3〕圆()()2
2
341x y -+-=上一点到原点的间隔 的最大值为
〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕7 〔4〕以下函数中，在其定义域上是减函数的是
〔A 〕1
y x =- 〔B 〕tan()y x =- 〔C 〕 e x y -=- 〔D 〕
2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩
〔5〕假设α为第三象限角，那么
〔A 〕cos20α> 〔B 〕cos20α< 〔C 〕sin 20α>〔D 〕
sin 20α<
〔6〕设抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上的一点，
过P 作PQ x ⊥轴于Q ，假设3PF =，那么线段PQ 的长为
〔A
〔B 〕2
〔C
〕
〔D
〕
〔7〕函数2()1log f x x x =-++，那么不等式()0f x <的解集是
〔A 〕(0,2) 〔B 〕(,1)(2,)-∞+∞ 〔C 〕(1,2) 〔D 〕
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(0,1)(2,)+∞
〔8〕直线,a b ，平面,αβ，//a α，那么“a β⊥〞是“αβ⊥〞的
〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件
〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件
〔9〕在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到
点B ，设直线
OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，那么sin α等于
〔A
〕 〔B
〕 〔C
〔D
〔10〕某企业消费,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20
万支，为了扩大再消费，决定对两种产品的消费线进展晋级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和
20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年
产量〔取lg20.3010=〕 〔A 〕2 年
〔B 〕3年 〔C 〕4年
〔D 〕5年
第二局部〔非选择题，一共110分〕
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二、填空题一共5小题，每一小题5分，一共25分.
〔11〕复数2i 2i z a a =--是负实数，那么实数a 的值是 ．
〔12〕正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1
()2
AP AC AD =+，那么PA PB ⋅=____．
〔13〕将数列{2n –1}与{3n –2}的公一共项从小到大排列得到数列{a n }，那么{a n }的前4项的和为 ．
〔14〕将函数y =π
sin(2)43x
﹢的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，给出以下四个结论：
①3
()82g π=-； ②()g x 在(0,)2
π上单调递增；
③()g x 在(,)22
ππ
-
上有两个零点；
④()g x 的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是1124
x π
=
. 其中所有正确结论的序号是____________________．
〔15〕设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y
C a b a
b
-=>>的
两条渐近线分别交于,D E 两点，假设ODE ∆的面积为4，那么C 的焦距的最小值为 ．
三、解答题一共6小题，一共85分。

解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程.
〔16〕〔本小题14分〕
A，B，C三个班一共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的上网时长，数据如下表〔单位：小时〕：
〔Ⅰ〕试估计B班的学生人数；
〔Ⅱ〕从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概
率;
〔Ⅲ〕从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.
〔17〕〔本小题14分〕
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
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如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱
1CC 上，且12,
AD CE M ==为棱11A B
的中点．
〔Ⅰ〕求证：DE BC ⊥；
〔Ⅱ〕求证：1C M //平面1DB E ；
〔Ⅲ〕求二面角1A DE B --的余弦值．
〔18〕〔本小题14分〕
设{}n a 是公比不为1的等比数列，34a =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为，求：
〔Ⅰ〕求{}n a 的公比；
〔Ⅱ〕求数列{2}n n a +的前n 项和．
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条件①：1a 为2a ，3a 的等差中项；条件②：设数列{}n a 的前n 项和为
n S ，312S S -=.
注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
〔19〕〔本小题14分〕
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =60°.
〔Ⅰ〕假设sin 2sin A C =
，b =
ABC ∆的面积；
〔Ⅱ〕假设sin sin C A -=
C . 〔20〕〔本小题14分〕
椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点A 〔-2，0〕, 点B 为其上顶点，
且直线AB
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.
〔21〕〔本小题15分〕
函数()2)cos sin f x a x x x =--（.
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〔Ⅰ〕当=0a 时，求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；
〔Ⅱ〕当4a >，π
[0,]2
x ∈时，求函数()f x 的最大值；
〔Ⅲ〕当12a <<，ππ
[,]22
x ∈-
时，判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.
延庆区2021-2021学年度高三数学统测试卷评分参考
一、选择题: 〔每一小题4分，一共10小题，一共40分. 在每一小题给
出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕
1. A
2.C
3.C
4.D
5. C
6.C
7.D
8. A
9. D 10. C
二、填空题: 〔每一小题5分，一共5小题，一共25分〕
11．1； 12. 3； 13．40； 14①③； 15
．14题选对一个给3分，有错误不给分
三、解答题：〔一共6小题，一共85分. 解容许写出文字说明、演算步骤.〕
16. 〔Ⅰ〕由题意知，抽出的20名学生中，来自B 班的学生有7名．根据分层抽样
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方法，B 班的学生人数估计为7
1806320
⨯=人. …………3分 只有结果63扣1分
〔Ⅱ〕设从选出的20名学生中任选1人，一共有20种选法，…………4分
设此人一周上网时长超过15小时为事件D,
其中D 包含的选法有3+3+4=10
种， …………6分
101
()202
P D ∴==. …………7分
由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的
概率为
1
2
. ……………8分 只有结果
1
2
而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分. 〔Ⅲ〕从A 班的6人中随机选2人，有2
6C 种选法，从C 班的7人中
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随机选1人，有1
7C 种选法，
应选法总数为：
21
67157105
C C ⋅=⨯=种 ……………10分
设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时〞为E ， 那么E 中包含以下情况：
〔1〕从A 班选出的2人超15小时，而C 班选出的1人不超15
小时，
〔2〕从A 班选出的2人中恰有1人超15小时，而C 班选出的1
人
超15小
时， ……………11分
所
以
21111
3333421
679363
()1577
C C C C C P E C C ++===⨯. ……………14分 只有21111
3333421
679363
()1577
C C C C C P E C C ++===⨯，而无文字说明，扣1分
17.解：
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〔
Ⅰ
〕
因
为
1CC ⊥
平
面
,
ABC 所以
1CC BC ⊥ …………1分
因
为
AC BC ⊥所以
11BC ACC A ⊥平面， …………2分
因
为
DE ⊂
平面
11
ACC A ，所以
BC DE ⊥， …………3分
即DE BC ⊥
〔Ⅱ〕 设1A D 的中点为N ，连接MN ，那么
MN //1B D ， …………4分
连接1C N ，因为1C E //ND 且1C E =ND ，
所以
1C NDE
是平行四边
形， …………5分
所以
1C N //DE ， …………6分
所
以
平
面
1C MN
//平面
1B ED …………7分
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所
以
1C M
//
平
面
1DB E …………8分
〔Ⅲ〕以C 为原点，分
别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系〔如图〕， …………9分
可得()0,0,0C 、()0,2,0B 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E .依题意，()0,2,0CB =是平面ADE 的一个法向量， …………10分
()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．
设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，
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那么100
n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即
20
20y z x z +=⎧⎨
-=⎩
， …………11分 不妨设1x =，可得
()1,1,2n =-． …………12分
2cos ,62CB n
CB n CB n ⋅-<>==
=-⨯⋅， ……
……13分
因为二面角1A DE B --的平面角是钝角, …………14分
所以，二面角1A DE B --的余弦值为6
-
. 18. 解：选① 〔Ⅰ〕因为1a 为23a a 、的等差中项，
所以
1232a a a =+ …………2分
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所
以
21112a a q a q =+ ， …………3分
因
为
10a ≠ …………4分
所以22q q =+
所以
2
q =-，
1
q =〔舍〕 …………6分
不能只看结果；没有10a ≠扣一分，没舍1q =扣一分
选② 〔Ⅰ〕因为
312
S S -=，所以
1231232a a a a a a ++-=+=，…2分
因为
34a =，所以22a =-，所以
3
2
2a q a =
=- …………6分 〔Ⅱ〕设数列{2}n n a +的前n 项和为n S ，因为数列{2}n 是
以2为首项，
2
为公差的等差数
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列， …………8分
等比数列
{}
n a 的首项
3124
14
a a q =
==， …………9分 所
以
(22)1(1(2))21(2)
n n n n S +--=+-- …………13分
1(2)(1)3
n
n n --=++
…………14分
没有证明或者指明等差数列扣2分。

19.解：
〔Ⅰ〕在ABC ∆中，因为
sin sin a c A C
=，所以sin sin 2sin a C
A C c
=
=，…1分 所以
2a c =， ………
…2分
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由余弦定理可得
22222cos6033b a c ac c =+-⋅︒==， …………3分
1,2,c a ∴== …
………4分
所以ABC ∆
的面积为
11sin 2122S ac B =
=⨯⨯=
…………6分 〔Ⅱ〕在ABC ∆中，因为
120A C +=︒， …………7分
0sin sin sin sin(120)C A C C -=--，
…………8分
11sin sin sin cos sin(60)22222
C C C C C C =-
-=-=-︒=，……10分
0120,606060C C ︒<<︒∴-︒<-︒<︒，
…………12分
6045,105C C ∴-︒=︒∴=︒ .
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…………14分
直接写2a c =扣一分，无角C 范围表达的扣2分 20.解：
〔Ⅰ〕由题意: 设直线
AB
：
0(2)2
y x -=
+，. …………1分 令
x =，那
么
y =，于
是
B ，. …………2分
所
以
2,a b ==，. ………
…4分
椭圆方程为
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22
143
x y +=. . …………5分 〔
Ⅱ
〕
设
0000(,)(0,0)
P x y x y ><，且
22003412x y +=， ……………6分
又
(2,0),A B -，所以直线
0002
:
02
y x AP y x -+=-+， ……………7分 令
020,2
M y x y x ==
+， ……………8分
那
么
000
002222
M y y BM y x x +===
++， ……………9分
直
线
00
x BP x -=
-，
令
0,N y x ==
， ……………10分
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那
么
22N AN x =+==
…………
…11分
所以四边形
ABNM
的面积为
1
2
S =
AN ⋅BM ……………12分
00021
22y x +=⨯+
22=
== ………
……14分
所以四边形ABNM
的面积为结果不对最后2分全扣
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21.解：
〔Ⅰ〕当0a =时，函数()2cos sin f x x x x =-，(0)2f =，……………1分
()2sin sin cos 3sin cos f x x x x x x x x '=---=--， ………
……2分
∴切线的斜率
(0)0k f '==， ……………3分
∴
曲
线
)(x f y =在原点处的切线方程为
2y = ……………4分
〔Ⅱ〕
()(2)(sin )sin cos (3)sin cos f x a x x x x a x x x '=----=--， (5)
分
令()(3)sin cos g x a x x x =--，
那么
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 ()(3)cos cos sin (4)cos sin g x a x x x x a x x x '=--+=-+， ……6分
当4a >，π[0,]2
x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在[0,]2π上单调递增，……7分
所以()(0)0g x g ≥=，即()0f x '≥，仅在0x =处()0f x '=，其余各处()0f x '>，
所以()f x 在[0,]2π上单调递增， ……8分
所以当2x π
=时，()f x 的最大值为
()22
f ππ
=-. ……………9分
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，()(3)sin cos f x a x x x '=--， 因为12a <<，当π[0,]2
x ∈时，()0f x '≤，仅在0x =处()0f x '=，其余各处()0f x '<，
所以()f x 在[0,]2π上单调递
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日 减， ……………10分
因为(0)20,()022
f a f ππ
=->=-<， ……………11分 所以存在唯一0[0,]2x π
∈，使得0()0f x =，
即()f x 在[0,]2π
上有且只有一个零点， ……………12分
因为()(2)cos()sin()(2)sin ()f x a x x x a x x f x -=--+-=--=，………13分
所以()f x 是偶函数，其图像关于y 轴对称，
所以在[,0]2π
-上有且只有一个零
点， ……14分
所以()f x 在[,]22ππ-上有2个零点. ……………15分
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。