初中数学常见模型之将军饮马
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证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
模型2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ 连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短
证明：连接AB，与直线l 的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取﹦）
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即 PA+PB的和最小
关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短
初中数学常见模型
将军饮马
模型1.两定一动型（两定点到一动点的距离和最小）
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小
作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点， 即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB 原理：两点之间线段最短。
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P 此时|PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大 即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求， 即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
作法二： 作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度
d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长
度d，得到点Q。
原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情， 已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四 边形ABCD周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，
连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB 四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
模型3. 两定两动型最值
A
ຫໍສະໝຸດ BaiduE M
A
E
M
H
B
D
CB
D
C
原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离 之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB， 交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度
原理：三角形任意两边之差小于第三边
典例精析：
part1三角形
1．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的 一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值
模型4. 垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C 使得AB＋BC最短．
原理：垂线段最短 分析：点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON
交OM于点B，B、C即为所求。
例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差 最小 即PA-PB最小
实际问题数学化： 例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一 个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：
将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B， 交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥 CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动 点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一： 将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l 的对 称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移
长度d，得到点M。
模型2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ 连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短
证明：连接AB，与直线l 的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取﹦）
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即 PA+PB的和最小
关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短
初中数学常见模型
将军饮马
模型1.两定一动型（两定点到一动点的距离和最小）
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小
作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点， 即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB 原理：两点之间线段最短。
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P 此时|PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大 即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求， 即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
作法二： 作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度
d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长
度d，得到点Q。
原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情， 已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四 边形ABCD周长最短
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，
连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB 四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
模型3. 两定两动型最值
A
ຫໍສະໝຸດ BaiduE M
A
E
M
H
B
D
CB
D
C
原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离 之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB， 交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度
原理：三角形任意两边之差小于第三边
典例精析：
part1三角形
1．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的 一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值
模型4. 垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C 使得AB＋BC最短．
原理：垂线段最短 分析：点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON
交OM于点B，B、C即为所求。
例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差 最小 即PA-PB最小
实际问题数学化： 例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一 个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：
将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B， 交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥 CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动 点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一： 将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l 的对 称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移
长度d，得到点M。