24.2.2 第2课时 切线的判定与性质.ppt

变式2
如图 ,AB 为⊙ O 的直径 , AC 平 分∠DAB ,CD是⊙O的切线.
求证: AD⊥CD
A
2
3 O B
活动五，拓展延伸
如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。 （1）求证：DE是⊙O的切线；(2)作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F， 若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
∴OA是圆心O到直线l的距离 ∴ l⊥OA
我通过猜想与证明，知道了（切线的性质）即
●
O
圆的切线垂直于过切点的半径。
请你用几何语言来表示切线的性质定理：
A
┐
l
∵L是⊙O的切线 ,OA是半径 ∴l⊥OA
辅助线作法：连接圆心与切 点可得半径与切线垂直. 即“连半径，得垂直”.
C
B
活动三，运用新知
2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为 半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. A 证明：过O作OE⊥AC于E ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线. E C
D O
B
小结
1与2的证法有何不同?组卷网
D O A
E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简 记为：连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长.简记为：作垂直,证半径.
活动四，巩固练习 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证: AC 平分∠DAB.

为什么？B
●
O
C
例3、已知 PA、PB 是
⊙O 的切线, 切点为 A、
B, 点C 是圆周上一点,
∠P= , 求∠ACBB
的度数。
C
P
O●
A
练习 《教材》P102 习题第5题
例4、AB 是⊙O 的直径,
C 是⊙O 上一点, D在 AB
的延长线上,∠DCB=∠A,
(1) CD与⊙O相切吗?
为什么?
知识回顾
直线和圆
位置关系
数量关系
(1) 相离 (2) 相切 (3) 相交
.O d >r
.O a d =r
.O d <r
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞 上的水滴是顺着伞的什么方 向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是 沿着砂轮的什么方向飞出去 的?
动手动脑
已知⊙O及半径OA，
经过半径 OA 的外端点
吗？为什么? E●
C
D●
O
┐
FB
小结 证明圆的切线的思路: (1) 连半径，证垂直； (2) 作垂直，证半径。
练习 1、《教材》P96 练习第2题 2、《教材》P101 习题 3、4题
3、如图,△ABC 是等腰
三角形,O 是底边 BC 的
中点, ⊙O 与腰 AB 相切
于点D。AC 与⊙O
相切吗？ D A E
EF为⊙O 的切线。
F
F
A
O ●
BA
O ●
D
E CE
(《启》P76例1)
B C②
下课
不经历风雨，怎能见彩虹！
断直线 BD 与⊙O 的 位置关系, 证明。 D
C

经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
切线
切线的性质
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有1个公共点
常见辅助线
d=r
有切线时： 连切点，得垂直； 作垂直，得切点
证切线时： 有公共点，连半径，证垂 直；无公共点，作垂直，证半径
A O
第2题
第3题
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径， 因为PA是⊙O的切线， 所以OA⊥AP， 又∠APO＝30°，OP＝2， 所以OA＝1 OP＝1，
2
即⊙O的半径为1.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
A
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
E
又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线.
B
D
C
典例精析
方法总结
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证 明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
典例精析 证切线时辅助线的添加方法
都是沿圆的切线方向飞出的.
合作探究
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是 ⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线.
O
l A
合作探究
归纳
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
随堂演练

2.如图， ∠APB=50° ，PA ，PB，DE 都为⊙ O的切线，则 ∠DOE=
A D P
O E
B
12
探究新知
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁 下的圆的面积尽可能大呢？
A B
A
B C
C
13
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆
7
切线长定理的基本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP 交于⊙O于点D、E，交AB于C。
E
A
O
CD
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
作法：1,作∠ABC, ∠ACB 的平分线BM和CN,交点为I. 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3,以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆.
A
I
N
M
B D
C
三角形的内切圆
14
1、 如图1，△ABC是⊙O的
三角形。⊙ O是△A内B接C的
圆，点O叫△ABC的
，它是三角形 外接
_____ __ __的交点。
解:设AF=Xcm, BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm ,DC=BD=Ycm, AE=EC=Zcm
A
依题意得方程组
x+y=13
y+z=14
X=4
x+z=9

例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD A ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
D O E
B
C
例1与例2的证法有何不同?
D O A E A C O B
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂 直，证半径）
3.切线长和切线长定理。 4.三角形的内切圆，三角形的内心
作业： 1.《书本》P101 第4、5、6题 2.《优化设计》P52~53
切线的判定和切线长定理
观察与思考
问题2：砂轮转动时，火花 问题1：下雨天，转动的雨伞 是沿着砂轮的什么方向 上的水滴是顺着伞的什么方 飞出去的? 向飞出去的?
想一想 过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什 么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能 作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条 切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念， 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量。
A 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I。

知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.