用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维

教育新探如何运用波利亚解题思想培养学生数学解题能力■戚雪敏在数学学习过程中，许多学生解题时常会出现凭主观想象导致思考偏差，考虑不周造成思路受阻等问题。

那么，怎样才能有一个好的解题思路呢?为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，美籍匈牙利数学家乔治·波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成了《怎样解题》一书，其核心是一张怎样解题表，把解题的全过程分成了“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”“回顾”四个步骤，把寻找并发现解法的思维过程分解为5条建议和23个具有启发性的问题。

它们好比寻找和发现解法的思维过程的慢动作镜头，使我们对整个思维过程看得见、摸得着，将思路打开，达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的结果。

以下是笔者对于波利亚解题思想的一些认识及看法。

笔者认为，波利亚的解题表不仅在于告诉我们如何解决具体的数学问题，其中蕴含的丰富的数学思维与思想方法也值得我们特别关注，并由此注意将其融入日常的数学教学之中。

一、化归与转化思想通过适当的转化过程，把待解决的问题归结为一类已经解决或能够轻易解决的问题，从而求得解答，这就是化归。

在波利亚的《怎样解题》一书中有这样的一段描述:“你能重新叙述这道题目吗?你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目呢?一道更为特殊化的题目呢?一道类似的题目呢?”这些提问引导我们使用各种方法去变更题目，把原有题目转化为新题目，而化归后的新题目将展现出运用知识的新的可能性。

反之，若不进行这种转化，我们可能根本无从下手，就只能望题兴叹了。

二、类比与猜想的思想类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性也相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊的方法。

猜想是对研究的对象或问题，经过观察、实验、比较、类比、归纳、联想等一系列思维活动，依据已有事实和知识做出的推测和判断。

“你以前见过它吗?或者见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?”通过观察，把原题与以前类似的题目进行类比，进而猜想出原题的可能的解题方案。

波利亚：怎样解题，数学思维的新方法怎样解题第一：你必须理解题目未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？画一张图，引入适当的符号将条件的不同部分分开，你能把它写出来吗？第二：找出已知数据与未知量之间的联系如果找不到直接的联系，你也许不得不去考虑辅助题目最终你应该得到一个解题方案拟定方案你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？观察未知量！并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。

这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你有否应该引入某个辅助元素？你能重新叙述这道题吗？你还能以不同的方式叙述它吗？回到定义上去如果你不能解所提的题目，先尝试去某道题有关的题目，你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？你能解出这道题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化？你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗？你用到所有的已知数据了吗？你用到全部的条件了吗？你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗？第三：执行你的方案执行你的解题方案，检查每一个步骤，你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？你能否证明它是正确的？第四：检查已经得到的解答回顾你能检查这个结果吗?你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？。

研究浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学夏国海柳瑛摘要：重视解题教学是中国数学教育的特色之一，但由于应试教育和功利性的竞赛导致如今的解题教学产生了教学枯燥无味、大搞“题海战术”等现象的存在。

而波利亚解题思想在世界上的影响极其深远，它所蕴含的丰富的数学思想对于学生的数学学习有着巨大的积极作用。

因此，如何在波利亚解题思想的基础上改进一线数学教师的解题教学，这是值得深思的问题。

关键词：波利亚；解题思想；高中数学；解题教学一、波利亚解题思想与解题教学（一）波利亚解题思想波利亚（George Polya，1887-1985），世界上著名的数学家和数学教育家，在数学领域内有着颇为精深的造诣。

他的解题思想主要体现在其代表作《怎样解题》一书中，该书主要内容基本上是围绕“怎样解题”表而展开，“怎样解题”表把解题分为了“了解问题”“拟定计划”“实行计划”和“回顾”四个步骤。

这是按照正常人解决问题时思维的自然过程而划分的，其中最关键和最核心的环节是“拟定计划”。

“怎样解题”表不仅说明应该如何去解决具体的数学问题，而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法，包括化归与转化的思想、归纳与类比的思想、一般与特殊的思想等等。

化归是数学中最常用的方法之一，即通过适当的转化过程，把需要解决的问题归为一类以及已经解决或能够轻松解决的问题，进而解决原始问题。

关于归纳与类比、一般与特殊两种思想方法，波利亚在《数学与猜想》第一卷中都进行了详细的阐述。

其中类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊或一般到一般的思想方法；而归纳则是从特殊到一般，它是从具体的、特殊的事物中去探索其存在的规律，然后得出这类事物存在的普遍规律。

因此，归纳与类比、一般与特殊两种思想方法往往是同时运用的。

（二）解题教学解题，在数学领域里的解释就是求出数学题的答案，这个答案也可以称之为“解”。

解题教学的基本含义就是通过典型数学题的数学，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。

利用波利亚解题思想提高数学教学有效性研究一、前言对于学校数学，问题和问题的解决是数学活动的核心。

波利亚认为，“加强解题训练是中学数学的首要任务”。

而解题教学不能单单凭借教师的经验总结，必须有解题理论的指导。

关于解题理论的研究，当首推波利亚的数学启发法。

人们公认，波利亚解题思想是解决问题的一面旗帜，我国数学家徐利治教授在上世纪80年代初，就大力倡导要按照波利亚数学思想改革中学数学教材和教学方法。

波利亚解题思想主要体现在“怎样解题”表和“合情推理”之中。

本文是在波利亚解题思想理论的指导下进行实践、认识、再实践、再认识后的理论认识，同时也尝试探索提高数学解题教学有效性的具体方法。

二、引入波利亚解题思想的重要性不管大纲怎么改、教材怎么变，“题海战术”总是涛声依旧。

新教材未进校门，应试资料已缤纷上市，生意火红。

“题海”难以避免，所以，我们要研究“题海”中游泳的策略。

波利亚的解题思想被人们公认为“指导学生在题海中游泳”的“行动纲领”。

笔者认为，指导学生在题海中畅游，必须在平时的解题教学中落实波利亚解题思想，唯此，解题教学有效性才可落到实处。

波利亚（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利杰出的数学家和伟大的数学教育家。

波利亚一生的数学教育论著共约三百部，复兴了“探索法”，开创了数学问题求解和合情推理的新时代。

波利亚的论著已影响了全世界数以百万计的数学教育工作者，波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》《数学与合情推理》及《数学的发现》等著作里。

其中影响最大的是《怎样解题》，至今已被译成约二十种文字，发行数百万册。

另外，波利亚在《数学与猜想》中还给出了其他一些启发性的方法或模式，主要有合情推理模式，包括归纳、类比、溯因推理，一般化、特殊化方法等。

数学既是一门系统的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学，特别是创造过程中的数学更像是归纳科学。

波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到发现过程中的数学。

波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。

2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。

如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。

3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。

达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。

3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。

以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。

4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。

5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。

然后这五步反复迭代。

波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用《普通高中课程标准（2017版）》中的课程目标提到在高中阶段要通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。

因此，高中数学教学十分重视学生解题能力的培养。

但传统的解题教学往往是模仿典型例题做变式训练，在这样的解题教学方式下，学生能通过大量地做题提高解题能力，却缺乏一个解题思维的培养过程。

著名的数学教育家波利亚在他所著的《怎样解题》中，针对人们解题思维的过程提出解题的四个步骤是：弄清问题→拟定计划→实施计划→回顾。

解题能力的培养并非让学生打“题海战术”，而是通过解题思维的培养以达到解题能力提高的目的。

本文以一道高考立体几何题为例，谈谈如何利用波利亚的解题思想培养学生的解题能力。

“学贵有疑”，回顾上述例题运用“怎样解题表”进行解题的过程，可见引导学生提出问题进行分析，探究解决问题的方法，有助于培养学生良好的思维习惯。

解题的第一步必须先弄清题目，“怎样解题表”通过分析题目的已知条件，将已知条件拆分并从中挖掘出其隐含的信息。

实际上，无论这些隐含信息是否在解题中用得上，这一过程对于学生分析问题的能力都是有很大帮助的。

第二步，在弄清问题的基础上，努力利用这些已知的信息与未知之间建立联系，若找不出直接的联系，就对原问题做出必要的变更或修改后，引进相应的辅助问题，从而拟定解决问题的计划。

在进行了第一、二步后，第三步的实施计划就显得较为简单了，根据拟定好的解题计划写出解题过程即可。

最后回顾题目，对解题过程进行反思、总结，教师应注意启发学生开阔思路，发散思维，学会多角度分析和多种解法。

波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会年轻人思考”。

故在解题教学中，教师应从“扶”到“放”，循序渐进引导学生自主探究，使学生的思维受到良好的训练。

波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析作者：钟焕斌来源：《课程教育研究·中》2016年第06期【摘要】教师引导学生运用波利亚解题模型解决数学问题，能够有效提升学生的解题效率。

本文简要介绍了波利亚解题模型的相关内容，同时从递归模式、叠加模式两种模式介绍了如何在高中数学解题过程中运用波利亚解题模型，以期提升学生数学水平。

【关键词】波利亚解题模型高中数学实际运用【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0128-01一、波利亚解题模型简要介绍波利亚解题思想包含丰富的内容，其认为数学题目的解答大致可分为四个步骤：第一步，了解问题。

学生在解决数学题目之前，需先将题目转化为数学语言，明确题目当中给定的已知条件以及未知条件，同时明确问题内容，即自己求解或是证明的目标。

同时根据自身对题目的认知联想相关知识点，并确定有可能需要使用的知识点，从而确定解决方式。

第二步，制定计划，部分学生完成第一步之后，便急忙应用知识进行解答，但往往由于解题思路存在问题，或是知识点运用错误导致解题失败。

为此，学生在解题之前，需先制定一定计划，确定各个条件之间存在的联系，如已知量同未知量之间存在的关系，之后寻找相似的解题模型以及解题方式，将未知题目转换为曾经解答过的已知题目，降低题目难度。

第三步，实施计划，学生在确定解题思路以及解题方式之后，便按照解题计划，运用所学知识以及技能解决问题。

第四步，检查。

部分学生在解题完成之后，便急于解决其他题目。

但部分题目由于学生的粗心，往往结果并不正确，如学生在计算过程中出现错误，导致数值与标准答案有偏差。

二、波利亚解题模型在高中数学解题过程中的实际运用（一）递归模式学生在求解数列多项和当中往往需要应用该模式进行求解。

数列多项和求解是高中数学中的重点题目，也是高考当中的常见题目，针对该类型性题目，建议学生使用波利亚解题模型中的递归模式进行解答。

运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学（原载《中国数学教育》［高中版］2008年第11期）时红军严晓凤【摘要】在数学教学中,解题是最重要的活动形式之一。

学生对数学概念的形成、数学命题的掌握、数学思维方法和技能技巧的获得以及学生智力的培养和发展,都必须通过解题教学来实现。

而波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解题方法和套路，本文初步探讨了如何运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学。

【关键词】怎样解题表解题教学数学问题乔治·波利亚(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者.他十分重视解题在数学学习中的作用,并对解题方法进行了多年的研究和实践,绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题宝典. “怎样解题”表的主要内容，分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段。

弄清问题,即明了已知数、未知数和条件;拟定计划,即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题,并具体拟定一个求解的计划;实现计划,即实现求解计划,检验每一步骤;回顾,即验算所得到的解,并将结果和方法试着用于其他问题[1]。

每一个阶段又有一系列启发性问句。

譬如：未知数是什么，（在证明题中要求证什么），已知数据是什么、你以前见过它吗、你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗、你能利用它的结果吗、你能利用它的方法吗、你能用别的方法导出这个结果吗，等等。

数学解题教学不同于平常的概念教学,它是运用前面所学的基础理论、基本方法和一些特殊方法来解数学问题的一种教学方法,它充分体现教师和学生的数学素质,是目前素质教育不可忽视的内容。

本文试图对如何利用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学作初步探讨。

一、“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法首先，必须让学生了解问题的文字叙述。

已知是什么?未知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教师可以要求学生重新叙述题目，并能够指出问题的主要部分。

波利亚怎样解题数学思维的新方法波利亚怎样解题数学思维的新方法引言波利亚（Pólya）是一位杰出的数学家，他在解决数学问题的方法上提出了一些有趣且有效的思维方式。

这些方法不仅适用于数学问题，还可以应用于各个领域的解决方案。

在本文中，我们将详细介绍波利亚的解题思维方法。

1. 理解问题在解决任何问题之前，首先要确保我们对问题有清晰的理解。

这包括理解问题陈述，确定问题类型，识别已知和未知条件。

•阅读问题陈述多次，确保理解所有细节。

•确定问题属于哪个领域，例如代数、几何、概率等。

•找出已知的条件和要求解的未知量。

2. 制定计划制定解决问题的计划非常重要，它有助于我们避免陷入困境和迷失方向。

•问自己：“是否已遇到类似的问题？”回顾过去的经验可能提供启示。

•尝试将问题分解为更简单的子问题。

•使用图表、模型、假设等工具来组织思维。

3. 执行计划一旦我们制定了计划，就可以开始执行。

•逐步执行计划的每个步骤，确保逻辑正确。

•需要时可以反复尝试和修改计划。

•在解决问题的过程中保持耐心和专注。

4. 回顾与扩展在解决问题之后，我们需要回顾整个过程，并思考如何进一步扩展解决方案。

•检查解决方案的正确性。

是否满足所有条件和要求？•思考是否有其他方法可以解决同样的问题。

•探索是否可以将所学的经验应用到其他领域或问题中。

结论通过波利亚的数学思维方法，我们能够更有条理地解决问题，并培养出创造性和灵活性的思维能力。

这种方法不仅适用于数学，还可以应用于科学、工程、计算机科学等领域。

通过理解问题、制定计划、执行计划以及回顾与扩展，我们可以成为更有效的问题解决者。

希望本文对读者能有所启发，使大家在解决问题时能够运用波利亚的数学思维方法取得更好的效果。

5. 实例分析现在让我们通过一个具体的例子来演示波利亚的解题思路。

问题：在一张长方形的草坪上，有一条长36英尺的围栏围成了一个边长为9英尺的正方形花坛。

我们需要在花坛内部种植花卉，计划使用正方形花坛边长为x英尺的石头砌成围墙。

波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析冯㊀洁(江苏省常州市龙城高级中学ꎬ江苏常州２１３０００)摘㊀要:培养高中生数学解题能力ꎬ是判断学生知识掌握和应用情况的关键指标ꎬ同时也是提升学生学习兴趣的重要途径.鉴于当前高中生在解题中面临的重重困难ꎬ科学融入波利亚解题模型ꎬ可促使学生在 理清题意㊁制定计划㊁执行计划㊁检验与回顾 的解题流程中高效解答题目ꎬ逐渐提升学生的解题能力.本文聚焦于此ꎬ结合解题实践ꎬ针对波利亚解题模型在数学解题中的应用展开了详细探究.关键词:高中数学ꎻ解题能力ꎻ波利亚解题模型ꎻ课堂教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００１４－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:冯洁(１９９６.１１－)ꎬ女ꎬ江苏省溧阳人ꎬ硕士ꎬ中小学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀波利亚解题模型源于波利亚«怎样解题:数学思维的新方法».在该书中ꎬ波利亚紧紧围绕 解决数学问题 这一中心任务ꎬ提出了 波利亚解题模型 ꎬ倡导学生在解题时ꎬ应遵循 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 四个流程开展.其中ꎬ 理清题意 即为理解题目意思㊁明确题目已知条件㊁所求问题等ꎬ这是学生高效解题的关键ꎻ 制定计划 是联系题目已知条件㊁所求问题ꎬ运用所学的知识进行思考ꎬ寻找解题思路ꎻ 执行计划 则是依据上一个阶段中制定的解题思路ꎬ利用所学的知识㊁方法进行推理㊁运算ꎬ最终得出正确的结论ꎻ 检验与回顾 则是对整个解题过程进行回顾㊁反思㊁总结ꎬ在检验解题正确与否的基础上ꎬ进行知识积累ꎬ并为学生后续的解题奠定基础[１].鉴于波利亚思想的内涵ꎬ将其应用到高中数学解题教学中ꎬ已经成为一线教师研究的重点.１高中数学解题教学状况１.１解题教学驱动性不足ꎬ学生学习积极性较低新课标执行前期ꎬ高中数学解题教学大多仍以讲解式教学和练习式教学为主.讲解式教学由教师主导ꎬ注重对问题进行剖析和讲解ꎬ学生处于被动学习状态ꎻ练习式教学则以学生为主体ꎬ对学生自主学习能力和独立思考能力要求较高.因此ꎬ教师教学设计不够全面ꎬ教学模式趣味性较低ꎬ导致解题教学驱动性不足ꎬ学生学习缺乏主动性等现象在讲解式教学和练习式教学中都有体现.在讲解式教学中的体现为学生注意力不集中ꎬ打瞌睡㊁走神等现象频发ꎻ在练习式教学中的体现为学生解题效率较低㊁正确度较低.例如ꎬ教师在讲解 椭圆的标准方程 相关的知识点时ꎬ会在引导学生进行等式的化简后推导出椭圆的标准方程ꎬ但因为学生对于等式的化简存在困难ꎬ而课堂时间有限ꎬ造成学生缺少练习时间ꎬ教师也需要进行后续的讲解.这造成 一步慢ꎬ步步慢 的情况ꎬ学生也无法跟上教师后续的讲解进度ꎬ学习自信心也会受到打击.１.２解题教学创新性不足ꎬ难以培养学生核心素养新课程标准指出ꎬ高中数学教学需要在传授知识的基础上培养学生的运用能力㊁创新精神㊁核心素养等综合能力.数学习题每年都会迎来一定的创新ꎬ４１虽然考查的内容大体相同ꎬ但解题思路会发生一定的改变.前期高中数学教师因为没有针对性地培养学生的解题能力和核心素养ꎬ导致学生掌握了某一个问题的解题方法ꎬ并未掌握这一类题型的解题方法.例如ꎬ教师在讲解 已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋ｘ２＋１)ꎬ若实数ａꎬｂ满足ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ－１)＝０ꎬ则ａ＋ｂ＝? 这一问题的核心在于观察ｆ(ｘ)在定义域内是增函数还是减函数.教师在讲解时也会按部就班地完成讲解ꎬ但在实际过程中缺乏引导学生深度思考的过程ꎬ导致学生只能将解题方法运用到这一个题目上ꎬ无法触类旁通.１.３忽视回顾与反思环节ꎬ解题教学有效性不足回顾反思作为解题教学的收尾阶段ꎬ其具有帮助学生查漏补缺㊁增强学生记忆力㊁提升学生解题思维的重要作用.但在当前高中数学教学中ꎬ仍有部分教师忽视回顾反思教学开展ꎬ导致解题教学有效性不足.以 立体几何初步 这一章节知识点为例ꎬ教师在讲解完成之后会为学生布置相关的复习任务ꎬ如进行习题训练等.因为教师并未了解学生的实际学情ꎬ其很难针对性地布置复习任务ꎬ因此大部分教师会选择 题海战术 ꎬ试图通过量变来引起质变.并且ꎬ学生在完成复习任务之后教师的评价也极其简单ꎬ大都只有几个 对钩 或者一个 阅 字ꎬ复习任务的有效性难以充分体现ꎬ学生也无法根据教师的评价确定自身的问题.久而久之ꎬ学生的复习积极性会不断降低ꎬ学习压力也会因为题海战术不断增加.２波利亚解题模型在高中数学解题教学中的实践应用㊀㊀为对波利亚解题模版在解题中的应用展开深入研究ꎬ笔者结合以下两道题目进行了详细的探究:例１㊀已知正项等比数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬａ１＝２ꎬ２Ｓ２＝ａ２＋ａ３求:(１)等比数列ａｎ{}的通项公式? (２)设ｂｎ＝２ｎ－１ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项和?基于波利亚解题模型ꎬ在解答这一问题时ꎬ可从以下四个方面进行:第一ꎬ理清题意.引导学生自己读题㊁审题ꎬ理解题目的含义ꎬ明确题目中的已知条件㊁未知内容㊁所求目标等.在本题中学生经过审题ꎬ理清了题目中已知条件㊁所求目标.其中ꎬ已知条件:数列ａｎ{}的首项㊁第二项和第三项的和㊁ａｎ{}是正项等比数列ꎻ所求目标:数列ａｎ{}㊁ｂｎ{}的通项公式ꎬ以及ｂｎ{}的前ｎ项和?第二ꎬ制定计划.本阶段是形成解题思路的核心ꎬ主要是聚焦所求的问题ꎬ围绕已知量和未知量之间的关系进行探究ꎬ并在此基础上形成解题思路.在本题目中ꎬ先将题目中已知条件和所求问题联系起来ꎬ并由 等比数列的通项公式㊁数列ｂｎ{}的前ｎ项和 展开联想.在此基础上通过讨论㊁分析ꎬ逐渐形成本题目的解题思路:针对(１)来说ꎬ需要借助等比数列的性质ꎬ前ｎ项和求和公式ꎬ将ａｎ{}的首项和公比ｑ求出来ꎻ针对(２)来说ꎬ则需要借助数列ａｎ{}的通项公式ꎬ将ｂｎ{}的通项公式求出来.接着再利用错位相减的方法ꎬ将ｂｎ{}前ｎ项和求出来.第三ꎬ执行计划.主要是按照上述设计的解题思路进行解答.在本题目中根据上述分析所形成的解题思路ꎬ按照如下步骤执行解题:(１)设数列ａｎ{}公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为２Ｓ２＝ａ２＋ａ３ꎬ所以２(ａ１＋ａ２)＝ａ１ｑ＋ａ２ｑꎬｑ＝２所以ａｎ＝２ ２ｎ－１＝２ｎ(２)根据题目(１)得出:ｂｎ＝２ｎ－１ａｎ＝２ｎ－１２ｎꎬ假设ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎ则Ｔｎ＝１ˑ１２＋２ˑ(１２)２＋５ˑ(１２)３＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ－１＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ①又因为１２Ｔｎ＝１ˑ(１２)２＋３ˑ(１２)２＋ ＋(２ｎ－３)ˑ(１２)ｎ＋(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１②由①－②得出:５１１２Ｔｎ＝１２＋２ˑ(１２)２＋２ˑ(１２)３＋ ＋(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１即１２Ｔｎ＝１２＋１－(１２)ｎˑ２－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＋１所以Ｔｎ＝３－４ˑ(１２)ｎ－(２ｎ－１)ˑ(１２)ｎ＝３－(２ｎ＋３)ˑ(１２)ｎ第四ꎬ检验与回顾.这一环节主要是解题完成之后对其进行检验ꎬ看其是否正确.同时ꎬ在这一阶段中ꎬ还应及时进行反思和积累ꎬ为学生后续解题奠定基础.在本题目解答完毕后ꎬ就先引导学生开展检验ꎬ之后围绕整个解题过程进行反思和总结.对此ꎬ有的学生表示本题目中主要围绕等比数列的性质㊁通项公式㊁错位相减法进行了考查ꎻ还有的学生在总结中提出了解答第一问数列ａｎ{}的首项和公比ｑ是关键ꎻ也有的学生在总结中提出了本题的难点在于第二问ꎬ关键是运算[２].如此ꎬ学生通过反思与总结ꎬ不仅掌握了这一类型数学解题的解答技巧ꎬ也学会了知识的迁移和应用ꎬ真正提升了学生的举一反三能力.３高中数学波利亚解题教学启示波利亚模型是一种重要的㊁系统化的解题方式ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ可促使学生在 理清题意 制定计划 执行计划 检验与回顾 的引导下ꎬ深入挖掘题目中已知条件和所求问题ꎬ并引导学生运用所学的知识寻求已知条件和未知条件的内在联系ꎬ最终将陌生的数学题目转化成为学生所熟悉的数学解题类型ꎬ以便于学生形成明确㊁清晰的解题思路.鉴于波利亚模型在数学解题中的应用价值ꎬ高中数学教师还应灵活开展课堂教学ꎬ引导学生在日常学习中逐渐掌握这一解题技巧和能力.首先ꎬ引导学生灵活应用波利亚 怎样解题 表.波利亚模型为学生提供了一个常规的解题思路ꎬ无论是简单的数学题目ꎬ还是复杂的数学题目ꎬ都可以按照这一思路展开.因此ꎬ为了引导学生真正掌握这一解题技巧ꎬ就应结合具体的题目ꎬ引领学生分析题目㊁确定目标㊁研究解题思路㊁解题实践等.如此ꎬ经过一段时间的训练之后ꎬ学生就会逐渐形成波利亚解题思维.其次ꎬ深层次挖掘波利亚解题思想观ꎬ培养学生的核心素养.根据波利亚解题的具体流程和内涵ꎬ对学生的审题能力㊁基础知识体系㊁数学思想㊁数学运算等都提出了更高的要求.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ还应立足于波利亚解题的思想观ꎬ聚焦学生的核心素养设计课堂教学方案ꎬ全面加强学生基础知识㊁数学审题能力㊁数学抽象素养㊁常见数学思想教学ꎬ借助针对性的训练提升学生的数学综合素养.最后ꎬ重视检验与总结.波利亚解题模型中的四个步骤组成了一个系统化的解题体系.在实际应用中ꎬ部分教师常常忽视回顾和检验.鉴于此ꎬ在日常解题教学时ꎬ应给予足够的重视ꎬ引导学生完成解题之后及时进行反思ꎬ使学生在反思㊁总结中ꎬ领悟数学解题中蕴含的数学思想ꎬ内化数学知识ꎬ并提升自身的数学解题能力[３].综上所述ꎬ波利亚模型作为一种有效的解题工具ꎬ将其应用到数学解题中ꎬ不仅提升了学生的数学解题效率ꎬ也帮助学生逐渐形成了良好的解题习惯ꎬ真正提升了高中生的数学解题能力.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常解题教学中ꎬ应基于针对性的练习题目ꎬ对波利亚解题模型进行细化ꎬ使学生在针对性的训练中ꎬ逐渐掌握这一解题技巧.参考文献:[１]李辉.例谈波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用[Ｊ].语数外学习(高中版上旬)ꎬ２０２１(５):５５.[２]黄倩欣.基于波利亚解题理论的高中数学习题课教学研究[Ｄ].海口:海南师范大学ꎬ２０２０.[３]赵源.运用波利亚数学解题表进行高中解题教学的策略研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１２):４０－４１.[责任编辑:李㊀璟]６１。

波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。

”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。

他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。

因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。

”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。

他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

、二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。

具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。

掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。

刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。

一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。

一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。

在提高学生解决问题能力，培养学生对数学的兴趣等方面有独特的意义。

如何能让学生对一元一次方程实际问题形成一种规范的解题思路，培养学生良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢本文以实例为载体，以波利亚的解题思想为理论基础对该问题进行了研究。

波利亚 怎样解题表 在初中数学几何解题中的应用以一道中考题为例杨㊀娟㊀钟文雯(成都市新都一中实验学校ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:为弥补初中学生因为思考的不完整性而导致的做题难的问题ꎬ文章借助波利亚 怎样解题表 ꎬ以２０２０年成都中考第２５题为例ꎬ还原具体的解题教学过程ꎬ反思存在的问题ꎬ促进教师教学ꎬ提高学生数学思维品质和数学科学素养.关键词: 怎样解题表 ꎻ解题教学ꎻ回顾反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１１－０００８－０３收稿日期:２０２３－０１－１５作者简介:杨小娟ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ钟文雯ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.１问题提出通过对中考中难题的完成情况以及解题方法㊁策略的了解ꎬ学生发现他们在平时的解题中存在思路不清晰㊁思维过程不完整㊁没有对问题进行及时的回顾反思和深入思考等现象ꎬ导致在时间有限的中考中ꎬ很难在短时间内找到解决问题的方法并得出最终的正确答案.因此笔者希望能够通过利用经过长期实践验证的对学生解题有切实帮助的解题方法 波利亚 怎样解题表 ꎬ弥补学生思考的不完整性ꎬ帮助学生在日常的解题学习中ꎬ形成完整的解题思路ꎬ从而培养他们的数学思维ꎬ从根本上提高他们的数学素养.２波利亚 怎样解题表首先ꎬ理解题目.理解题目是解题的首要前提.从题目的叙述开始ꎬ熟悉题目ꎬ找出 未知量 ꎬ深入理解题目ꎬ将题目的主要部分分离出来ꎬ 已知数据是什么?条件是什么?[１]其次ꎬ拟定方案.拟定方案是解题的关键步骤.首先通过观察未知量ꎬ并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目[１].通过对比两者的共同点和区别ꎬ总结出类似题目的解决方法和策略ꎬ并尝试应用到待解题目中ꎬ找出已知数据与未知量之间的直接或间接联系ꎬ必要时考虑辅助题目ꎬ最终得出一个解题方案.这个过程需要联系旧知ꎬ符合学生最近发展区.再次ꎬ执行方案.执行方案是解题的具体实施过程.执行之前拟定的方案是对解题方案的合理性和正确性的检验ꎬ培养学生整理零散思路ꎬ形成条理性思维.最后ꎬ回顾.回顾是对解题过程的检验和完善ꎬ是对数学思维和素养培养的提升.通过检验解题中所得到的结果和论证㊁用不同的方法推导结果实现一题多解并进行方法优劣的比较从中择优择简㊁考虑所得结果和方法在其它题目中的适用性最终实现对知识的迁移.但这个步骤在实际解题往往是最容易被忽略的. 怎样解题表 的四个环节是在完整解答一道题目时必定会涉及到的ꎬ是思维的层层递进ꎬ且更多的是教师启发性的提问ꎬ而不是一种解题的固定模式ꎬ所以教师在启发学生解答题目时ꎬ并非要涉及到８表中的所有问题ꎬ而应根据不同题目灵活运用ꎬ创造性地使用 怎样解题表 [２].３波利亚 怎样解题表 在初中数学解题及教学中的具体应用㊀㊀例１㊀面积为６的▱ＡＢＣＤ纸片中ꎬＡＢ＝３ꎬøＢＡＤ＝４５ʎꎬ按下列步骤进行剪裁和拼图.图１㊀▱ＡＢＣＤ剪开图㊀㊀㊀图２㊀平行四边形剪开图㊀㊀㊀图３㊀三角形ＤＣＦ翻转图第一步:如图１ꎬ将▱ＡＢＣＤ纸片沿对角线ＢＤ剪开ꎬ得到әＡＢＤ和әＢＣＤ纸片ꎬ再将әＡＢＤ纸片沿ＡＥ剪开(Ｅ为ＢＤ上任意一点)ꎬ得到әＡＢＥ和әＡＤＥ纸片ꎻ第二步:如图２ꎬ将әＡＢＥ纸片平移至әＤＣＦ处ꎬ将әＡＤＥ纸片平移至әＢＣＧ处ꎻ第三步:如图３ꎬ将әＤＣＦ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＱＭ处(边ＰＱ与ＤＣ重合ꎬәＰＱＭ与әＤＣＦ在ＣＤ同侧)ꎬ将әＢＣＧ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＲＮ处(边ＰＲ与ＢＣ重合ꎬәＰＲＮ与әＢＣＧ在ＢＣ同侧).则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为.３.１第一步:耐心审题ꎬ理解题目首先要明确目标: 该题的未知量是什么? 五边形的一条对角线的最小值.已知数据是什么?▱的面积㊁一条边和一个角.条件是什么?对▱ＡＢＣＤ纸片进行裁剪ꎬ并将某些部分进行平移㊁翻转变换得到五边形ＰＭＱＲＮ.未知量和条件之间的联系是什么?或者说通过现有的条件是否能够确定未知量?３.２第二步:探索思路ꎬ拟定方案我们已经知道了未知量是五边形的一条对角线的最小值ꎬ那你们能想到一道和该题未知量相同的题吗?没有吧ꎬ我们没有学过怎样求五边形的对角线. 那能想到一道和该题未知量相似的题吗?抛开 五边形 这个前提ꎬ把重点放到 对角线 上ꎬ请大家仔细想想ꎬ有没有学过求其它多边形的对角线?有的ꎬ我们学过求正方形㊁长方形㊁还有菱形的对角线.非常好!大家想到了以前学过的三个特殊的四边形ꎬ那还能想起它们的对角线是怎么求的吗? 如果我们已知正方形的边长为ａꎬ那么正方形的对角线就可以表示为ａ２＋ａ２＝２ａꎻ若已知长方形的长为ａꎬ宽为ｂꎬ则长方形的对角线就可以表示为ａ２＋ｂ２ꎻ若已知菱形的边长为ａꎬ较小的内角为６０ʎꎬ则菱形的较短的那条对角线就可以表示为２ˑａｓｉｎ３０ʎ＝ａꎬ较长的那条对角线就可以表示为２ˑａｃｏｓ３０ʎ＝２３ａ.连接ＭＮ后得到әＭＮＰ(如图４)ꎬ但不知道它是否为直角三角形.图４㊀图３变式１图㊀㊀图５㊀图３变式２图㊀图６㊀图３变式３图 所以下一步需要去尝试判断它是否为直角三角形?如果әＭＮＰ是直角三角形ꎬ那此时未知量是什么呢?未知量是ＲｔәＭＮＰ(如图５)的斜边ＭＮ.如果我们知道了直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值ꎬ那我们就可以用勾股定理求出ＭＮ啦!那直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值是否已知呢? 未知ꎬ但通过题目中的已知数据和条件应该是可以求出ＭＰ和ＮＰ的值ꎬ是等于ＡＥ.所以只要求出ＡＥ的最小值ꎬＭＮ的最小值就求出来啦!非常棒!现在解决这道题的方案就拟订好了:先证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥꎻ再求ＡＥ的最小值.３.３第三步:执行方案ꎬ细化推理待解决的问题一:证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥ.９回归定义:平移㊁翻折是全等变换ꎬ变换前后的全等图形中对应边㊁对应角相等.证明:由题意可知:әＡＤＥɸәＢＣＧɸәＰＲＮꎬәＡＢＥɸәＤＣＦɸәＰＱＭꎬ因为øＭＰＱ＝øＥＡＢꎬøＲＰＮ＝øＤＡＥꎬＰＭ＝ＰＮ＝ＡＥꎬ所以øＭＰＱ＋øＲＰＮ＝øＥＡＢ＋øＤＡＥ＝４５ʎꎬ又因为▱ＡＢＣＤꎬ所以øＤＡＢ＝øＤＰ(Ｃ)Ｂ＝４５ʎꎬ所以øＭＰＮ＝øＭＰＱ＋øＲＰＮ＋øＤＰＢ＝４５ʎ＋４５ʎ＝９０ʎꎬ于是ＭＮ＝ＰＭ２＋ＰＮ２＝ＡＥ２＋ＡＥ２＝２ＡＥꎬ待解决的问题二:求ＡＥ的最小值回归定义:垂线段最短.解:过点Ｄ作ＤＨʅＡＢ于点Ｈꎬ根据垂线段最短ꎬ因为当ＡＥʅＤＢ时ꎬＡＥ最小ꎬ此时ＭＮ有最小值ꎬＳ平行四边形纸片ＡＢＣＤ＝ＡＢ ＤＨ＝６ꎬ所以ＤＨ＝６ＡＢ＝２ꎬ在ＲｔәＡＤＨ中ꎬＡＨ＝ＤＨｔａｎ４５ʎ＝ＤＨ＝２ꎬＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝１ꎬ所以在ＲｔәＢＤＨ中ꎬＢＤ＝ＤＨ２＋ＢＨ２＝２２＋１２＝５ꎬＳәＡＢＤ＝１２ＡＢ ＤＨ＝１２ＢＤ ＡＥꎬＡＥ＝ＡＢ ＤＨＤＢ＝３ˑ２５＝６５５ꎬＭＮ的最小值＝２ＡＥ＝６１０５.３.４第四步:回顾反思ꎬ深化理解３.４.１转换角度ꎬ一题多解解法一(分析法):在上述解答过程中ꎬ我们的关注点是放在未知量上ꎬ此时解题的思维模式是找未知量解出未知量所需要的条件ң对比题目已知数据和条件是否符合.解法二(直接法):在学生自主思考解题时ꎬ他们可能会把更多关注点是放在已知量上ꎬ此时解题的思维模式是看已知量ң通过已知量能得出的可能结果ң在众多结果中找到该题的结果.两种解法的思维方式和立足点是截然不同的.解法一是从结果找条件ꎬ解法二则是由已知推未知ꎬ显然解法一能很好的避免学生在解题过程中偏题ꎬ但对学生的知识储备和思维能力要求较高ꎬ而解法二则降低了对学生的思维能力要求ꎬ但同时也容易使学生在解题过程中偏离ꎬ浪费时间.３.４.２原题目条件不变ꎬ只改问题将原问题 则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为. 改为:则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ当对角线ＭＮ长度取最小值时ꎬ求阴影部分的面积?通过这样的改编ꎬ是在能够解决原问题的基础上ꎬ进一步加强了对三角形相似知识点的考查ꎬ拓宽了考查面ꎬ从不同角度探析其解题思路ꎬ并通过变式探究这一类问题的通解[３].通过利用波利亚 怎样解题表 解决上述问题ꎬ很好地展现了波利亚 怎样解题表 在初中数学解题中的具体应用ꎬ同时也反映出波利亚 怎样解题表 中所提供的完整的解题步骤.理解题目ꎬ弄清已知未知ꎻ联系旧知ꎬ以旧法解新题ꎬ已知未知建立联系ꎬ细化目标ꎬ逐一求解ꎻ回顾反思ꎬ深化结果迁移解题方法ꎬ为学生的数学解题提供了清晰的思路ꎬ能够帮助学生找到明确的解题方向最终得出正确答案.同时波利亚 怎样解题表 中所提到的 回顾 的环节ꎬ指导学生学习深入思考问题㊁发现问题㊁提出新问题ꎬ使学生的思维不仅仅局限于解这一道题上ꎬ对于提高学生的数学思维的培养也有很大帮助.因此ꎬ在日常解题教学中ꎬ教师应该起到积极引导的作用ꎬ有目的性地引导学生ꎬ灵活利用波利亚 怎样解题表 的解题思维进行解题ꎬ启发学生思考ꎬ从而有效提升解题效率.参考文献:[１]Ｇ.波利亚.怎样解题[Ｍ].涂泓ꎬ译.上海:上海教育科技出版社ꎬ２０１１.[２]徐彦辉. 怎样解题表 应用两例[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１４ꎬ１７(０４):６７－７０.[３]杨虎.解法赏析思变式变式探究寻通解[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１７(０４):１２－１５.[责任编辑:李㊀璟]０１。

运用波利亚《怎样解题》表进行数学有效解题教学
波利亚《怎样解题》是一本极具经典地位的数学教材，其在解题教学方面有独
到之处，被众多本科生誉为是最能让学生受益匪浅的宝贵教材之一。

波利亚《怎样解题》针对数学有效解题提出了一整套全面性的解题步骤，包括“仔细阅读题目”、“信息概括汇总”、“解题数学关键步骤”、“错误纠正”和“题目把握”等等，旨在引导学生从思考的角度解题。

在教学中，由于“怎样解题”的策略性强，我们会引导学生理清现象、抓住重点，分析问题、挖掘规律，不断提出观点、放宽思路，按部就班地准确解答问题，对课堂上出现的问题进行讨论或者小组讨论，以提高学生综合能力。

此外，波利亚《怎样解题》表还鼓励学生根据深入的思考，利用相关的数学公式、图形或视频资源等，丰富准确地阐释解题过程，为学生提供长期的实践指导，以激发学生的积极性和创新思维。

对于高等教育而言，教学层面的运用波利亚《怎样解题》表，无疑能有效解决
现实中数学教学中出现的种种问题，引导学生不断充实抽象概念，学以致用，有助于培养学生们深入研究领域，发挥自己的创造能力，从而更加深入地理解数学知识，提升解题技巧，进行有效的数学思维。

教学研究用“波利亚解题表”优化数学解题教学的提问策略张艳江（广西省北海市第一中学，广西北海536000）数学解题教学需要教师有效提问，但当今数学课堂的存在突出的病态现象：提问数量繁多，提问内容盲目，提问形式单一，但这些提问不能有效地促进学生深层次的思维投入、情感体验与行动参与。

本文试图基于波利亚解题思想探讨如何优化高中数学解题教学中的提问策略。

1波利亚解题思想概述波利亚的数学教育思想非常丰富，成果是《怎样解题》、《数学的发现》以及《数学与猜想》等著作，其中《怎样解题》一书中的“解题表”策略最受关注。

波利亚的“解题表”主要是指如下解题四步曲：弄清问题未知量是什么？已知数据是什么？条件充分吗，可以将条件分开讨论吗？是否可以画个草图，引入适当的符号？讲条件的不同部分分开，你能把它们表示出来吗？拟定计划你以前见过这道题或与之类似的题目吗？你能联想起有关的定理或公式吗？回到定义看看？实现计划执行解题计划同时检验每一个步骤，判断或证明每一步骤。

你能清楚地看出这个步骤是正确的吗？能证明它的正确性吗？检验回顾能否检验这个结果？能否以不同的方式推导这个结果吗？能在其他题目中利用这个结果或方法吗？从上可知，解题表的各个部分均由“解题提示语”或“自我提问语”构成，其中暗示解题思维的“提示语集合”或“自我提问的问题链”，这些自我提问策略可以帮助教师培养学生形成正确的解题思维，可以给力教学！如下以一道高中数学题的课堂教学片段中的提问对比分析：题目在△ABC中，D为边BC上一点，BD=12DC，∠ADB= 120°，AD=2，若△ADC的面积是3-3姨，求∠BAC。

2教学片断分析2.1弄清问题传统版提问优化版提问提问1：同学们，我们看到这个题目后，首先把图形化出来（画图）。

该题目是一题求角的题目，但是该怎么求呢？提问2：我们把已知条件放到图形中，你们有什么想法？提问1：同学们，我们来看这道题，这是一道什么类型的问题？提问2：精确一点说，这是一道已知边、角和面积等部分信息，求三角形的一个内角的问题。