概率习题课

概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。

第一次习题课一、填空题1．设A 、B 、C 是3个随机事件，则“3个事件中恰有一个事件发生”用A 、B 、C 表示为。

2．设31)(=A P ，21)(=B P ，分别在下列条件下求)(A B P ： （1）若A B ⊂时，则=)(A B P ，（2）若A B 、互斥，则=)(A B P ，（3）若81)(=AB P ，则=)(A B P ， 又()P AB =，=)(B A P 。

3．设A 、B 为随机事件，已知P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.5，则P (A ⋃B )=。

4．有两批零件，其合格率分别为0.9和0.8，在每批零件中随机取一件，则至少有一个是合格品的概率为；而恰好有一件是合格品的概率为。

5．从一副扑克牌的13张黑桃中，一张接一张有放回地抽取3张，没有同号的概率为；有同号的概率为。

二、选择题1．A 、B 为两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是。

A ．A 和B 不相容； B ．A 和B 相容；C ．P (AB )=P (A )P (B )；D ．P (A -B )=P (A )。

2．设当A 、B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子中正确的是。

A ．P (C )≤P (A )+P (B )-1； B ．P (C )≥P (A )+P (B )-1；C ．P (C )=P (AB )；D ．P (C )=P (A ⋃B )。

3．设A 、B 、C 三个事件两两独立，则A 、B 、C 相互独立的充要条件是。

A ．A 与BC 独立；B ．AB 与A ⋃C 独立；C ．AB 与AC 独立；D ．A ⋃B 与A ⋃C 独立。

4．设甲、乙两人进行象棋比赛，考虑事件A =“乙胜甲负”，则A 为。

A .“乙负甲胜”； B .“甲乙平局”；C .“乙负”；D .“乙负或平局”。

5．设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是。

[学业水平训练]1．(2014·太原检测)将一枚硬币任意抛掷两次，记事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )等于( )A ．1 B.12C.14D.18解析：选B.两次抛掷硬币的结果共有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)∴P (A )＝24＝12，P (AB )＝14. 由概率公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12. 2．(2014·开封高二检测)将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A.91216B.518C.6091D.12解析：选C.事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝6091. 3．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )A.35B.25C.110D.59解析：选D.第一次摸出红球的情况下袋中有5个红球4个白球，第二次摸到红球的概率为59. 4．抛掷一枚骰子两次，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选C.设“第一次掷得的点数是偶数”为事件A ，“第二次掷得的点数是偶数”为事件B ，在第一次掷得的点数是偶数的条件下，第二次掷得的点数也是偶数的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝36×3636＝12. 5．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＝P (AB )B ．P (B |A )＝P (B )P (A )是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0解析：选B.∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，1P (A )≥1，∴P (B |A )≥P (AB )，则A 不正确；当P (A )＝1时，P (B )＝P (AB )，则P (B |A )＝P (B )＝P (B )P (A )，所以B 正确；而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 不正确．6．由长期统计资料可知，某地区在4月份下雨(记为事件A )的概率为415，刮五级以上风(记为事件B )的概率为715，既刮五级以上风又下雨的概率为110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110715＝314， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38. 答案：314 387．5个乒乓球，其中有3个新的、2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．解析：设A ＝“第一次取到新球”，B ＝“第二次取到新球”，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球即为事件A 发生的条件下事件B 也发生．因第一次取到了新球，所以第二次抽取时除去“已抽取”的1个新球，还有2个新球、2个旧球供选取，所以P (B |A )＝24＝12. 答案：128．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．解析：令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n (A )＝C 39＝84，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝684＝114. 答案：1149．把一副扑克的52张(去掉大、小王)随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张草花}，B ＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P (B |A )；(2)计算P (AB )．解：(1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率，于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339≈0.278. (2)在52张牌中任选13张牌有C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中元素数为C 1352，A 中元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (AB )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012. 10．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 解：(1)掷两颗骰子共有36种不同的情况，它们是等可能的．故P (A )＝26＝13， P (B )＝1036＝518， P (AB )＝536. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512. [高考水平训练]1．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：选A.已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8. 2．(2014·海口高二检测)抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1、x 2分别表示第一、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1＞x 2}，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝336＝112，P (AB )＝136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13. 答案：133．一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸一球不放回，再摸一球共有4×3种结果．故P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16. 因此，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13， 即先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13. (2)设“先摸出一个白球放回”为事件A 1，“再摸出一个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，故P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12， 即先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12. 4．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35. 法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.。

概率统计习题课⼀随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C 都不发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C ⾄少发⽣两件”可表⽰为。

2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是，事件“其中⼀个数是另⼀个数的两倍”的概率是。

3. 有r 个球，随机地放在n 个盒⼦中(r n ≤)，则某指定的r 个盒⼦中各有⼀球的概率为_ __ __。

4．把3个球随机放⼊编号为1,2,3的三个盒⼦(每个盒⼦能容纳多个球)，则三个盒⼦各放⼊⼀球的概率是___________。

5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。

6．事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。

7. 盒中有6个⼤⼩相同的球，4个⿊球2个⽩球，甲⼄丙三⼈先后从盒中各任取⼀球，取后不放回，则⾄少有⼀⼈取到⽩球的概率为___________。

8. 甲⼄两个盒⼦，甲盒中有2个⽩球1个⿊球，⼄盒中有1个⽩球2个⿊球，从甲盒中任取⼀球放⼊⼄盒，再从⼄盒中任取⼀球，取出⽩球的概率是。

9．某球员进⾏投篮练习，设各次进球与否相互独⽴，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮⾄少投中⼀次的概率是，则他的投篮命中率是。

10. 将⼀枚硬币抛掷3次，观察出现正⾯（记为H ）还是反⾯（记为T ），事件A ={恰有⼀次出现正⾯}，B ={⾄少有⼀次出现正⾯}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独⽴。

12. 盒中有3个⿊球7个⽩球，从中任取⼀球，不放回，再任取⼀球，(1)若第⼀次取出的是⽩球，求第⼆次取出⽩球的概率 (2)两次都取出⽩球的概率 (3) 第⼆次取出⽩球的概率 (4) 若第⼆次取出的是⽩球，求第⼀次取出⽩球的概率。