二阶线性微分方程的分类

二阶微分方程解

二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：

ayy'' + by' + cy = 0

其中，a、b、c为常数。

求解过程如下：

1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。特征方程为：

r^2 - pr - q = 0

其中，p、q为常数。

2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。可以使用公式：

r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 2

3. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：

通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)

其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。

4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。

举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：

yy'' - 2y' + 3y = 0

1. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 0

2. 求解特征方程：

r1= 1，r2 = 3

3. 通解：

通解= yC1* e^x + yC2* e^-x

4. 求解特解：

设特解为y = yE(x) = e^(x^2)

将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。

需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结

一 两个自变量的二阶线性方程

1 方程变换与特征方程

两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成

f

cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①

它关于未知函数

u

及其一、二阶偏导数都是线性的，其中

f

u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量

y x ,的已知函数，假设它们的

一阶偏 导数在某平面区域

D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。

设

),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自

变量变换

),(y x ξξ=,),(y x ηη=

其中它们具有二连续偏导数，而且在

0M 处的雅可比行列式。

=

∂∂),(),(y x ηξy

x y

x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在

0M 领域内存在逆变换,

),(ηξx x =,),(ηξy y =

因为

x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222

xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(

将代入①使其变为

F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112

二阶偏微分方程分类

二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工

程学、生物学等。本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。

一、常系数二阶线性偏微分方程

常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二

阶线性偏微分方程。它们可以写成以下形式：

$$

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)

$$

其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。这类方程可以通过特征方程法求解。

二、非齐次线性偏微分方程

非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。它们可

以写成以下形式：

$$

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)

$$

其中$f(x,y)$为已知函数。这类方程可以通过格林函数法求解。

三、椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。它们可以写成以下形式：

$$

a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结

§1 二阶方程的分类

1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后

22112

12a a a -=∆的符号不变。

证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为

f

cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112

经可逆变换 ⎩

⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),()

,(≠y x D D ηξ

化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112

其中 ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧++=+++=++=2221221122

221211122

2212211112)(2y y x x y y x y y x x x y

y x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ

所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112

2

2

2

122

2211122

22)(+-+=-=∆

2

2221112

22

2222211),(),())(()(⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη

因0),(),(2

>⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。

2． 判定下述方程的类型

（1）02

2

=-yy xx u y u x （2）0)(2

=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u

微分方程的基本概念与分类

微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以

描述许多自然现象和物理问题。本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。

一、微分方程的基本概念

微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。微分方程根据未知函

数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分

方程。

1. 一阶微分方程

一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。一阶

微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微

分方程等。

2. 二阶微分方程

二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。二阶

微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知

函数。二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系

数二阶线性微分方程等。

3. 高阶微分方程

高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。

高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。

二、微分方程的分类

根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程

进行进一步的分类。

1. 阶数分类

根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为

一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。

2. 标准形式分类

二阶线性非齐次微分方程

二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。

如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。

二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程

当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；

当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。

定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍

是它的解。