弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

(6 5)
或
ij
(1
E
)(1
2
)
ij
e
1
E
ij
ije 2Gij
(e ii )
?
为便于与塑性变形本构方程对比，也可 将本构方程表示为：
（4） eiej
1 2G
Sij
3 e 2
Sij ,
m 3K m
2 .在弹塑性变形阶段，屈服函数 f ( ij ) 0 ?
（1）增量理论（流量理论） ①Prandtl-Reuss（ 1 ）：
2
(a)理想弹塑, 性材料
1
3d P
deij 2G dSij 2 Sij ,
dm 3Kdm （6-7）
(b)等向强化材料
deij
1 2G
dSij
3d 2 '
Sij
d m 3Kdm
（6-8）
②Levy-Mises（
1）：
2
?
理想刚塑性材料
d ij
3 2
d
Sij ,
等向强化材料
dm 0
2. 迭加原理
?
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于满足
小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到
的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的
解答。
§6-3 弹性力学的最简单问题· 求解弹性力学问题简例

2 y 2
)( x
y)
0
即 2 ( x y ) 0 ， 其中
物理意义：表征应力的连续性。
2
2 x2
2
y拉2 普拉斯算子）
可以证明，应力满足了相容方程，也就满足了应力平衡条件。
第六章 弹性力学基本求解方法
应力函数的引入
定义：
x
2
y 2
y
2
x 2
xy
2
xy
条件：① ~ ij ；
②应力平衡微分方程；
v x )s
]
X
1
E
2
[(
v y
u x
)s
l
1
2
(
v x
u y
)
s
]
Y
对于第一种边界条件 （平面问题）
对于第二种边界条件 （平面问题）
理论上可解，实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展，但这种思路在 解空间问题时很有用。可以证明，用这种方法求解的位移肯定是连续的。
第六章 弹性力学基本求解方法
第六章 弹性力学基本求解方法
6.2 弹性力学的基本问题
➢ 已知表面载荷，求应力场 、应变场 和位移 ——力的边值问题；
➢ 已知表面位移，求应力场 、应变场 ——位移边值问题；
➢ 已知部分边界载荷及部分边界位移，求应力场 、应变场 和位移 ——混合边值问题。 15个未知量：应力分量6个，应变分量6个，位移分量3个 15个方程：应力平衡微分方程（3），几何方程（6）， 物理方程（6） 理论上可解，实际上并不可解。为什么？

求解和工程意义，掌握两者求解结果几点讨论 的工程意义和采取的工程措施。
18
第18页/共33页
七、关于弹塑性力学中几个重要的基本 概念
1.变形：是指在外力作用下
物体尺寸和形状产 生的改变。
2.弹性：当撤除外力时，固
体能恢复其变形的性能 称为弹性，恢复了的变 形称为弹性变形。
3.塑性：当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性，
究对解象;
和解法。
法的严密性和普遍适用性为特点；
B、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
C、可对初等力学理论解答的精确度和可
靠
性进行度量。 8 第8页/共33页
四、弹塑性力学的研究对象和基本假设
1、研究对象 弹塑性力学研究对象是可变形固体，是不受
几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问 题需求的物体。
残留下来的变形称为塑性变形。
4.破坏：在外力作用下，固体产生了塑性变形或断裂统称为破
坏。
5.强度：是指物体在外力作用下抵抗破坏的能力。 6.刚度：是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。
19
第19页/共33页
7.内力和截面法:
弹塑性力学中所说的内力是指物体产生变形时的附 加内力（简称为内力），是物体内相邻部分间的相互 作用力。
(2) 知道弹性力学平面问题解答中的各种相容方程。 (3) 注意对于多连域问题，求解时除应满足基本方

图 7.3 循环加载曲线示意图
图 7.4 包辛格效应
当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函 数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。同 样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。这就增加了 问题的复杂性。材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本 构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。
首先，无论弹塑性模型或刚塑性模型，对于单轴应力状态，当应力从零开始增
大、达到屈服极限σ s 时，材料开始屈服，进入流动段。对于三维应力状态如何判定材 料开始屈服？其次还有进入流动段之后三维的应力和应变之间有怎样的关系？前者称
为材料的屈服条件，后者为塑性应力应变关系。
z 屈服条件
关于材料进入塑性状态的原因有过不同的假说。伽里略曾认为材料进入塑性状态 是由最大主应力所引起的，此后，圣维南又曾认为最大主应变能判断材料是否进入塑 性状态。这两个假说都被后来的实验所否定，因为在各向等压时，压应力可以远远超 过材料的屈服极限σ s ，而并不产生塑性变形。
条件所描述的屈服面上，而当卸载时就按弹性规律回到屈服面内。 对于弹塑性强化材料，其单轴应力状态的应力应变曲线如前面图 7.1 所示。若在强
化后卸载，再重新加载，则屈服极限已经不是材料首次进入屈服时的屈服极限，而是 最近这次从塑性状态卸载时由强化提高了的屈服极限。前者称为初始屈服极限，后者 则称为后继屈服极限。

说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
§7-2 弹性力学求解方法
• 求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程 3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示——应力函数表示的控制方程。
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。

假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡 力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用区域比较 远处，几乎没有应力产生。
矩形薄板的单向拉伸。
§5-3 弹性力学的简单问题
1、圆柱体的扭转
考察在两端承受扭矩 M且不计体力的圆柱体， 求应力分量和位移分量。
采用半逆解法 用材料力学的方法求得应力分 量，校核它们是否满足平衡微 分方程和应力边界条件（因应 力分量是坐标的一次函数，故 贝尔特拉米——米歇尔方程自 然满足）。 如满足的话，则根据解的唯一性 定理，就是为题的解答。
§5-1 弹性力学的基本方程及其边 值问题 §5-2 位移解法 §5-3 应力解法 §5-4 弹性力学的一般原理 §5-5 弹性力学的简单问题
(1)综合弹性力学的基本方程，并按边界条件 将问题分类； (2)阐述解决弹性力学问题通常采用的两种方 法——位移解法和应力解法，并推演其相应 的方程； (3)介绍弹性力学的几个一般原理； (4)介绍弹性力学的几个简单问题；
涉及初应力问题时，这一假设不再成立。 这一定理为以后常用的 逆解法 或 半逆解法 提供了一个 理论依据。因为在一般情况下，直接由给定的边界条件去求 解弹性力学的基本方程是很困难的，因此常采用上述两种方 法。

变关系的非线性等问题，求解往往更加困难。 研究方法：有限差分法、有限单元法、变分法等，以及 塑性力学中的界限法、滑移线法、主应力法、有限单元 法、变分法等。
2011年4月13日星期三 李田军弹塑性力学课件 11
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
应当再次明确，由于塑性应力应变关系的非线性，加
载过程中的弹塑性问题可跟踪给定的加载历史，确定 物体内应力和位移的相应变化过程，采用“积分” （累计）的办法，计算瞬时应力场及位移场。而卸载 过程中则要遵守卸载规律。 物体内可能同时存在几种不同的变形区域：
2011年4月13日星期三 李田军弹塑性力学课件 10
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
通常在求解弹塑性静力学问题时，已知的条件是： (1)物体的形状、尺寸和材料的物性参数； (2)物体所受的载荷(包括体力和面力)，以及物体的约 束条件。 在给定边界条件下求解上述15个泛定偏微分方程组，在 数学上是十分困难的。 特别是在求解塑性力学的边值问题时，由于塑性应力应
6 个方程
xy yz zx
1 u v 2 y x 1 v w 2 z y 1 w u 2 x z
2011年4月13日星期三
李田军弹塑性力学课件
4Leabharlann Baidu
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法

第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移(或在部分 表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。
29
2. 弹塑性力学的基本解法: 在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。 2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。 3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基 本未知量混合求解。这种方法叫混合法。
然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力 、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，单靠这些泛定方程是不足 以解决具体问题的。
从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体 (表面)与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件；
9
2、弹塑性力学研究问题的基本方法
◆ 材料力学研究问题的基本方法：
选一维构件 整体为研究 对象
变形前，在某表面绘制标志线 ；变形后，观察总结构件表面 变形的规律。
做出平截面假设， 经三方面分析，解
决问题。
a、研究方法较简单粗糙； b、涉及数学理论较简单； c、材料力学的工程解答一般为近似解。
10
以受力物体内某 一点（单元体） 为研究对象
弹 塑 性 力 学(课程复习小结)

可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
二、 弹塑性力学的研究对象 在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件
。
弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。
造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？
三、弹塑性力学的基本思路与研究方法
1、弹塑性力学分析问题的基本思路 弹塑性力学与材料力学同属固体力学的
材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”， 也不产生“重叠”。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条 件是什么？（几何相容条件）
(3) 力与变形间的本构关系 (物理分析)
固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有相应 不同的物理关系。则对一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足的条件 是什么？（物理条件，也即本构方程。）
◆ 弹塑性力学研究问题的基本方法
单元体的受力—— 应力理论；
单元体的变形—— 变形几何理论；
单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；

几何方程 6个 本构方程 6个
共15个方程
15个基本方程求解 15个未知量，数学上有解。
协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。
微分方程求解过程需要积分，积分常数由边界条件确 定。
4-4弹塑性力学的基本定理与原理
弹塑性力学计算中一个非常重要的简化边界条件的原理 -圣维南原 理
圣维南原理: 如作用在弹性体表面某一局部面积上的力系为作用在 同一局部力系上的另一静力等效力系所代替，则载荷的这种重 新分布，只在离载荷作用处附近的地方，才使应力的分布发生 显著的变化，而在离载荷较远处则只产生较小的局部影响。
4. 边界条件：
（1）位移边界条件：对于给定的表面 Su，其上沿
x，y，z方向给定位移为
，则
（2）应力边界条件：给定表面上的面力为
以上这些方程的解答是唯一的 弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解
4-2 弹塑性力学Hale Waihona Puke Baidu题的提法
根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为 三类
第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应 力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。

◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
◆ 表示应力的及符号规则：
正应力： xx
剪应力： xy
第一个字母表明该应力作 x 用截面的外法线方向同哪一 个坐标轴相平行。 第二个字母表明该ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的 指向同哪个坐标轴相平行。
◆ 应力的正负号规则：
3.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
◆ 流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到：
水力学、空气动力学等学科。
按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算）
有实验力学、计算力学二个方面的分支。
按应用领域分：
有飞行力学、船舶结构力学、岩土力学、量 子力学等。
2、弹塑性力学
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。

P. 93 例5-1，例5-2
张量形式为:
ij (ui , j u j ,i )
1 2
(i, j x, y, z )
5.1 基本方程
3. 本构方程 弹性阶段：
xy 1 [ x ( y z )] , xy E G yz 1 y [ y ( z x )] , yz E G 1 z [ z ( x y )] , zx zx E G x
法叫混合法。
三类边值问题 第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在
平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的 问题。
第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各
点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内 部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。
第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面
力，其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移 关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。
其中e x y z ,
G
5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性
2．应力法： 利用应力表示的本构方程、平衡方程结合应力表示的 应变协调方程和边界条件求解。
1 2 协调方程： x 1 x 2 1
2
2 y 2 z 2 xy 2 yz 2 zx

x , y , xy yx , z 0
3.平面应变问题的定义 对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生xoy 面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面 应变问题 , ,
x y xy yxLeabharlann Baidu
小结：平面问题基本未知量 平面应力问题 1. 应力分量 平面应变问题
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
z
z
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
求解主应力时，先求出各应力张量不变量，
再解一元三次方程。
【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即
x 3, y z 0, xy zx 1, yz 2
试求主应力的值。
【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得
(2)应变分量
根据对称关系和剪应力互等定理有
z 0，故仅考虑: x x ( x , y ); y y ( x , y ); 三个应变分量。

*
*
§5-4 线弹性力学的几个原理
唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。
夜爱墓盅馋填堑兜守恐堤特呸想哄酷艺极低殿醚佃蘸她辐蒲阀钠粕锐冒豪《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-4 线弹性力学的几个原理
将两组方程相减可得：
平衡方程
令
则平衡方程为
ij 满足无体力平衡方程（齐次方程）。
底点武霍羊伤拱蓑铬捆查渺俄枚凰夕沛闪兄臭溜阿匹酝丫叠恕棵蠢迄甫绕《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
弟榜犹袜幕却帧胃泻眼储遁怔凉翘寅钵澜抢姑侦豹龄锯箔伤犯勋旅狰蓖肠《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
棚耍搁伞客鞘杂永晋坍仇蔼蔗粘托窿擦欠抠耗筑冉抓寨涤搭宏题沿逞焉呼《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
可采用逆推法证明
设在 、 、 作用下有两组解 和 均能满足求解方程及边界条件。

①．增量理论（流动理论）： ②．全量理论（形变理论）：
Hale Waihona Puke Baidu
.
14
①．增量理论（流动理论）：
（i）Prandtl-Reuss理论
( 1 )
2
(a)
理想弹塑性材料
deij

1 2G
dsij
3d p 2
sij
，d m 3Kd m
（b）等向强化材料
deij

1 2G
dsij

3d 2
弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。
.
4
三、弹塑性力学的基本思路与研究方法
1、弹塑性力学分析问题的基本思路
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：
sij
，d m
3Kd m
（i i）Levy-Mises
( 1 )
2
（a）理想刚塑性材料 。
d ij

3 2
d
sij ，d m
0
（b）等向强化材料
d ij

3d 2
sij
，
d m 0
.
15