深圳市龙岗区2021届高三第一次调研考试数学试题(含答案解析)

2020-2021深圳龙岗中学高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或73．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．34．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）5．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372 B ．34 C ．32或372D ．34或3726．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7107．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km，一架飞机从城市D出发以360/km h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．606km C．605km D．3km8．已知正数x、y满足1x y+=，则141x y++的最小值为（）A．2B．92C．143D．59．在ABCV中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，S表示ABCV的面积，若cos cos sin,c B b C a A+=()22234S b a c=+-，则B∠=A．90︒B．60︒C．45︒D．30︒10．数列{}n a中，()1121nn na a n++-=-，则数列{}n a的前8项和等于（）A．32B．36C．38D．4011．若0,0x y>>，且211x y+=，227x y m m+>+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(8,1)-B．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D．(1,8)-12．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T，且723nnS nT n+=+，则220715a ab b+=+（）A．49B．378C．7914D．14924二、填空题13．已知数列{}n a中，11a=，且1113()n nn Na a*+=+∈，则10a=__________.（用数字作答）14．已知数列{}n a的前n项和为n S，且221nS n n n N*=++∈，,求na =.__________．15．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 16．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .20．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.三、解答题21．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 23．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

龙岗区2021-2022学年第一学期期中质量监测试题高三数学注意事项：1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。

同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。

请保持条形码整洁、不污损。

3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题(本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}5A x x =<，{}24xB x =≥，则A B =A . ()2,5B . [)2,5C . []2,5D . (]2,52．已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z = A .2i -B .2i -+C .2i +D .2i --3．已知等差数列{}n a 满足12a =-，前5项和510S =，则d = A .2- B .1-C .1D .24．已知4sin()35πα+=，则cos()6πα-= A .45B . 45-C . 35-D .355．262()x x-的展开式中，3x 的系数为A .160B .160-C .20-D .206．已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,ln )(x e x x x f x，若关于x 的方程0)(=-x f m 有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为 A .),1(+∞B .),2(]1,(+∞⋃-∞C .]2,1(D .)1,(-∞7．如图，在ABC ∆中，4AB BC ==，30BAC ∠=，D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD折起到PBD ∆的位置，使得二面角P BD C --为60，则三棱锥P BDC -的体积为 A ．32B ． 4C ．3D ．28．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()x f x g x e +=,则下列结论错误的是A .22()()(2)f x g x f x +=ABCDPB .0x ∀>，(())()g g x g x >C .12,R x x ∀∈,且12x x ≠，若1212()()g x g x x x λ->-，则1λ≤ D .()()()()()g x y f x g y g x f y -=+二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是A ．直线(3)453m x y m ++=-与2(5)8x m y ++=平行，则1m =-B ．正项等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则415S =C ．在ABC ∆中，30B =，1b =，若三角形有两解，则边长c 的范围为12c <<D ．函数1()21xf x a =-+为奇函数的充要条件是12a = 10．函数()1sin sin()34f x x x π=+-，则下列说法正确的是 A ．若[0,]2x π∈，则()f x 的值域为11[,]42- B ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C ．函数()f x 的图象关于点π1,124⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可以由()1cos 22g x x =的图象向右平移π3个单位长度得到 11．已知圆229x y +=上有四个不同的点到直线430x y a +-=的距离为2，则a 的值可取A . 3B ．4C ． 5D ．6 12. 已知函数()ex xf x =(e 为自然对数的底数)，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线.下列说法正确的是A ．当0a =时，若只能作两条切线，则24b e =B ．当0a =，24b e >时，则可作三条切线 C ．当02a <<时，可作三条切线,则24a a a b e e-<< D ．当2a =，0b >时，有且只有一条切线三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量(1,2)a =，(3,)b k =，若()a a b ⊥+，则k =____________.14. 已知随机变量),0(~2σN X ,且0,)(>=>a m a X P ,则=<<-)(a X a P _______.15. 已知点P 在圆224x y +=上，已知(3,0)A ，(0,4)B ，则PA PB ⋅的最小值为_______.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为11A D 中点，点P 、M 在四边形ABCD 内(包括边界)，点P 到平面11ABB A 的距离等于它到点D 的距离，直线1MB 平面1EC D ，则PM 的最小值为_______.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，BAC ∠的角平分线AD 与边BC 相交于点D ,满足2BD DC =.(1)求证：2AB AC =；(2)若2AD BD ==，求BAC ∠的大小.19.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 满足3AB=,BC =点M 为BC 的中点,连接AM 、BD ,AM 交BD 于点O .将BAM ∆沿AM 折起,点B 翻折到新的位置'B ，得到一个四棱锥'B AMCD -. (1)证明：⊥AM 平面DO B ';(2)若平面'B AM ⊥平面AMCD ，求二面角'A B D C --的余弦值.20.（本小题满分12分）2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划（2021-2025）》，就促进全民健身更高水平发展、更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务。

广东省深圳市2021年高三第一次调研考试数学文试题(2021深圳一模)资料讲解林尽水，便得一山，山有小口，仿佛若有光。

便舍（shě）船，从口入。

初极狭，才通人。

复行数十步，豁（huò）然开朗。

土地平旷，屋舍（shè）俨（yǎn）然，有良田美池桑竹之属。

阡（qiān）陌（mò）交通，鸡犬相闻。

其中往来种（zhòng）作，男女衣着（zhuó），悉如外人。

黄发垂髫（tiáo），并怡然自乐。

见渔人，乃大惊，问所从来。

具答之。

便要（yāo）还家，设酒杀鸡作食。

村中闻有此人，咸（_ián）来问讯。

自云先世避秦时乱，率妻子邑（yì）人来此绝境，不复出焉，遂与外人间隔。

问今是何世，乃不知有汉，无论魏晋。

此人一一为具言所闻，皆叹惋。

余人各复延至其家，皆出酒食。

停数日，辞去。

此中人语（yù）云：“不足为外人道也。

”既出，得其船，便扶向路，处处志之。

及郡下，诣（yì）太守，说如此。

太守即遣人随其往，寻向所志，遂迷，不复得路。

南阳刘子骥（jì），高尚士也，闻之，欣然规往。

未果，寻病终。

后遂无问津者。

译文：东晋太元年间，武陵郡有个人以打渔为生。

一天，他顺着溪水行船，忘记了路程的远近。

忽然遇到一片桃花林，生长在溪水的两岸，长达几百步，中间没有别的树，花草鲜嫩美丽，落花纷纷的散在地上。

渔人对此（眼前的景色）感到十分诧异，继续往前行船，想走到林子的尽头。

桃林的尽头就是溪水的发地，于是便出现一座山，山上有个小洞口，洞里仿佛有点光亮。

于是他下了船，从洞口进去了。

起初洞口很狭窄，仅容一人通过。

又走了几十步，突然变得开阔明亮了。

（呈现在他眼前的是）一片平坦宽广的土地，一排排整齐的房舍。

还有肥沃的田地、美丽的池沼，桑树竹林之类的。

田间小路交错相通，鸡鸣狗叫到处可以听到。

人们在田野里来来往往耕种劳作，男女的穿戴跟桃花以外的世人完全一样。

深圳市2021届高三年级第一次调研考试文科数学试题(有答案)讲课讲稿答：按照《总局关于药包材药用辅料与药品关联审评审批有关事项的公告》（以下简称“公告”）（20__年第134号）中第二条规定，在药品注册申请时对药包材、药用辅料实行关联审评审批。

也就是说，国家总局不再单独受理药用辅料的申报，只有使用该药用辅料的药品进行注册申报时，按照“公告”中规定的实施关联审评的药用辅料范围进行审评审批，对于境内上市或未上市制剂使用的药用辅料，未获得批准证明文件或核准编号的，应按照“公告”第三条规定，对于符合申报要求的药用辅料，应按总局发布的“药包材及药用辅料申报资料要求”进行资料填报，并按“公告”中药包材、药用辅料与药品关联审评审批程序（试行）进行申报。

药品生产申请获得批准后，关联申报的药用辅料不再核发批文，而是由总局药审中心给予核准编号。

在关联审评审批实施的过渡期内，新的药物制剂在申请时，采用的是已获得注册证的药包材和药用辅料，若按照DMF资料要求准备所有材料，是否可以优先审评？答：在目前实施的药包材药用辅料与药品关联审评审批管理制度中，尚未规定对药用辅料进行DMF资料备案相关管理要求，因此目前国家药品监管机构不单独接受药用辅料DMF申报资料。

“公告”已由国家总局于20__年8月10日正式发布实施。

“公告”实施后，目前已经上市的药品使用的药用辅料，如果已获得批准文号，在其他同类制剂中使用时，如果在“公告”中规定的实施联审评的药用辅料范围内，特别是高风险制剂用辅料以及国家总局根据需要特别要求监管的药用辅料，仍需进行关联审评；如果不在“公告”中规定的实施关联审评的药用辅料范围，则无需进行关联审评。

（本期回答问题专家为国家药典委员会业务综合处副处长洪小栩）关联审评百问百答（二）已注册药品更换药包材（供应商）、增加备选药包材（供应商）如何申报？如何审评？答：总局关于药包材药用辅料与药品关联审评审批有关事项的公告（20__年第134号）中第五条，明确了药品的药物临床试验申请或生产申请，应按照公告要求报送资料。

2021-2022学年广东省深圳市某校高三（上）第一次模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1. 设集合A={a, b}，集合B={3, log2(a+3)}，若A∩B={0}，则A∪B等于（）A.{−1, 0, 3}B.{−2, 0, 3}C.{0, 3, 4}D.{1, 0, 3}2. 已知复数z=i1−i（i为虚数单位），则z的虚部为()A.12i B.−12i C.12D.−123. 已知函数f(x)=x3+x，则a+b>0是f(a)+f(b)>0的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n}，已知a2=2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为（）A.80B.120C.160D.2005. 把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A.96B.240C.280D.4806. 下列说法中不正确的是（）A.函数f(x)＝tanx图象的所有对称中心可表示为点（，0)，k∈ZB.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C.对命题p:∃x0∈R，使得x02−x0+1<0，则￢p:∀x∈R，有x2−x+1>0D.命题“在△ABC中，若sinA>sinB，则a>b”为真命题7. 设有n个样本x1，x2，…，x n，其标准差是6，另有n个样本y1，y2，…，y n，且y k ＝3x k+5(k＝1, 2,…,n)，则其标准差为（）A.54B.21C.D.188. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3, π4]上的最大值是2，则ω的最小值等于（）A.23B.32C.2D.39. 已知(x−2)9＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+...+a9(x+1)9，则a8＝（）A.27B.−27C.324D.−32410. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，那么函数y＝−f(x+4)的图象与函数y＝f(6−x)的图象之间（）A.关于点(1, 0)对称B.关于直线x＝1对称C.关于点(5, 0)对称D.关于直线x＝5对称11. f(x)为定义在(−∞, +∞)上的可导函数，且f(x)<f′(x)对于任意x∈R恒成立，则（）A.f(1)>e⋅f(0)，f(2020)>e2020⋅f(0)B.f(1)<e⋅f(0)，f(2020)>e2020⋅f(0)C.f(1)>e⋅f(0)，f(2020)<e2020⋅f(0)D.f(1)<e⋅f(0)，f(2020)<e2020⋅f(0)12. 已知函数f(x)=mx|x−1|−|x|+1，则关于函数y=f(x)的零点情况，下列说法中正确的是（）A.当−1≤m≤−3+2√2时，函数y=f(x)有且仅有一个零点B.当m=−3+2√2或m≤−1或m≥1或m=0时，函数y=f(x)有两个零点C.当−3+2√2<m<0或0<m<1时，y=f(x)有三个零点D.函数y=f(x)最多可能有四个零点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是________．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x3+f′(23)x2−x，则f′(−1)=________．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则第12行的空心圆点的个数是________．偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，且在x∈[0,1]时，f(x)=x，则关于x的方程f(x)=lgx，在x∈[0,4]上的解的个数是________.三、解答题：共70分。

广东省深圳市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】 【分析】先由两直线垂直的条件判断出命题p 的真假，由基本不等式判断命题q 的真假，从而得出p,q 的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项. 【详解】已知对于命题p ，由2110m ⨯-=得1m =±，所以命题p 为假命题； 关于命题q ，函数4()f x x x=+，当0x >时，4()4f x x x =+≥=，当4x x =即2x =时，取等号，当0x <时，函数4()f x x x=+没有最小值， 所以命题q 为假命题. 所以p ⌝和q ⌝是真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为假命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为真命题，所以真命题的个数为1个. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.3．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f x极大值极小值若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2）于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.5．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.6．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81 324=.故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题7．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A．2B．2C．23D．1【答案】C【解析】【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD=故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.8．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先将ME MF ⋅转化为21MT -，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==2TB ==， 故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D. 【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.9．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0C ．2-D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f .【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.11．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.5【答案】A 【解析】 【分析】计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意01231.54x +++==，3 5.5715.544m m y ++++==，∴15.52.1 1.50.854m +=⨯+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ．12．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞ B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年广东省深圳市龙岗区高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<5}，B ={x|2x ≥4}，则A ∩B =( )A. (2,5)B. [2,5)C. [2,5]D. (2,5]2. 已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位)，则复数z −=( )A. 2−iB. −2+iC. 2+iD. −2−i3. 已知等差数列{a n }满足a 1=−2，前5项和S 5=10，则d =( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 已知sin(α+π3)=45，则cos(α−π6)=( )A. 45B. −45C. −35D. 355. (x 2−2x )6的展开式中，x 3的系数为( )A. 160B. −160C. −20D. 206. 已知函数f(x)={lnx,x >0e x +1,x ≤0，若关于x 的方程m −f(x)=0有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (−∞,1]∪(2，+∞)C. (1,2]D. (−∞,1)7. 如图，在△ABC 中，AB =BC =4，∠BAC =30°，D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使得二面角P −BD −C 为60°，则三棱锥P −BDC 的体积为( )A. 2√3B. 4C. √3D. 28. 已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)+g(x)=e x ，则下列结论错误的是( )A. f 2(x)+g 2(x)=f(2x)B. ∀x >0，g(g(x))>g(x)C. ∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，若g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2>λ，则λ≤1D. g(x −y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的是( )A. 直线(3+m)x +4y =5−3m 与2x +(5+m)y =8平行，则m =−1B. 正项等比数列{a n }满足a 1=1，a 2a 4=16，则S 4=15C. 在△ABC 中，B =30°，b =1，若三角形有两解，则边长c 的范围为1<c <2D. 函数f(x)=a −12x +1为奇函数的充要条件是a =1210. 函数f(x)=sinxsin(x +π3)−14，则下列说法正确的是( )A. 若x ∈[0,π2]，则f(x)的值域为[−14,12] B. 函数f(x)在[−π6,π3]上为增函数 C. 函数f(x)的图象关于点(π12,−14)对称D. 函数f(x)的图象可以由g(x)=12cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得到11. 已知圆x 2+y 2=9上有四个不同的点到直线4x +3y −a =0的距离为2，则a 的值可取( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知函数f(x)=xe x (e 为自然对数的底数)，过点(a,b)作曲线f(x)的切线．下列说法正确的是( )A. 当a =0时，若只能作两条切线，则b =4e 2 B. 当a =0，b >4e 2时，则可作三条切线 C. 当0<a <2时，可作三条切线，则ae a <b <4−a e 2D. 当a =2，b >0时，有且只有一条切线三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(3,k)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则k =______．14. 已知随机变量X ～N(0,σ2)，且P(X <a)=m ，a >0，则P(−a <X <a)=______(用m 表示)．15. 已知点P 在圆x 2+y 2=4上，已知A(3,0)，B(0,4)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为A 1D 1中点，点P 、M 在四边形ABCD 内(包括边界)，点P 到平面ABB 1A 1的距离等于它到点D 的距离，直线MB 1//平面EC 1D ，则PM 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n ．18. 在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，满足BD =2DC ．(1)求证：AB =2AC ；(2)若AD =BD =2，求∠BAC 的大小．19. 已知矩形ABCD 满足AB =3，BC =3√2，点M 为BC 的中点，连接AM 、BD ，AM 交BD 于点O.将△BAM 沿AM 折起，点B 翻折到新的位置B′，得到一个四棱锥B′−AMCD ． (1)证明：AM ⊥平面B′DO ；(2)若平面B′AM ⊥平面AMCD ，求二面角A −B′D −C 的余弦值．20. 2021年8月3日，国务院印发了《全民健身计划(2021−2025)》，就促进全民健身更高水平发展、更好满足人民群众的健身和健康需求，提出5年目标和8个方面的主要任务．为此，深圳市政府颁发了《深圳建设国家体育消费试点城市实施方案》，进一步推动深圳市体育的高质量发展．为了响应全民健身和运动的需要，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，比赛规则如下：每位选手可以选择在A 区发球2次或者B 区发球3次，球落到指定区域内才能得分，在A 区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在B 区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出．已知选手甲在A 区和B 区每次发球得分的概率为23和13．(1)如果选手甲以在A 区和B 区发球得分的期望值较高者作为选择发球区的标准，问选手甲应该选择在哪个区发球？(2)求选手甲在A 区得分高于在B 区得分的概率．21.已知圆O：x2+y2=4和定点A(−2,0)，动点C、D在圆O上．(1)过点P(3,2)作圆O的切线，求切线方程；(2)若满足k AC k AD=−1，设直线AD与直线x=4相交于点N．3①求证：直线CD过定点；②试探究k AC和k CN的定量关系．22.设函数f(x)=e x−ax2−x−a，其中a∈R．(1)当a=1，x>2时，求证：f(x)>0；(2)若x=m为f(x)的极值点，且m>0，f(m)=−a−1，求a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可得：A={x|−5<x<5}，B={x|x≥2}，则A⋂B={x|2≤x<5}，表示为区间的形式即[2,5)．故选：B．首先求得集合A，B，然后进行交集运算即可．本题主要考查绝对值不等式和指数不等式的解法，集合的交集运算等知识，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z(2+i)=|3+4i|，∴z=|3+4i|2+i =√32+422+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，∴z−=2+i．故选：C．根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数模公式，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由{a n}是等差数列，得S5=5a1+10d=10，即−10+10d=10，解得d=2．故选：D．根据等差数列的前n项和公式可得S5=5a1+10d=10，即−10+10d=10，从而即可求出d值．本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为sin(α+π3)=45，所以cos(α−π6)=cos(α−π2+π3)=cos[(α+π3)−π2]=sin(α+π3)=45．故选：A．由已知利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据二项展开式：T r+1=C6r(x2)6−r⋅(−2x)r=C6r⋅x12−3r⋅(−2)r，所以x3的系数为C63⋅(−2)3=−160．故选：B．直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的关系式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：关于x的方程m−f(x)=0有两个不同的实数根，即y=m与y=f(x)有两个不同的交点，作函数y=m与函数y=f(x)的图象如下，结合图象知，当y=m与y=f(x)有两个不同的交点时，1<m≤2；故选：C．两个实数根可化为函数y=m与函数y=f(x)有两个不同的交点，作函数的图象求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：在△ABC中，AB=BC=4，D为AC的中点，∴BD⊥AC，即BD⊥PD，BD⊥DC，所以∠PDC为二面角P−BD−C的平面角，所以∠PDC=60°，又因为PD=DC，所以三角形PDC为等边三角形，在△ABC中，AB=BC=4，∠BAC=30°，可求得AC=4√3，BD=2，所以DC=2√3因为BD⊥PD，BD⊥DC，PD∩DC=D，所以BD⊥面PDC，所以V B−PDC=13×S△PDC×BD=13×12×(2√3)2sin60°×2=2√3，故选：A．BD⊥AC，即BD⊥PD，BD⊥DC，所以∠PDC为二面角P−BD−C的平面角，可得三角形PDC为等边三角形，又BD⊥面PDC，所以可求三棱锥P−BDC的体积．本题考查求三棱锥的体积问题，属基础题．8.【答案】C【解析】解：因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，因为f(x)+g(x)=e x，所以f(−x)+g(−x)=e−x，所以f(x)−g(x)=e−x，所以f(x)=e x+e−x2，g(x)=ex−e−x2，所以f2(x)+g2(x)=(e x+e−x2)²+(e x−e−x2)²=e2x+e−2x2=f(2x)，故A正确；因为g(x)=e x−e−x2为增函数，所以由∀x>0，g(g(x))>g(x)，可得g(x)>x，令ℎ(x)=e x−e−x2−x，x>0，则ℎ′(x)=e x+e−x2−1>2√e x⋅e−x2−1=1−1=0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以∀x>0，g(x)>x，故B正确；因为g(x)=e x−e−x2为增函数，所以∀x1，x2∈R，且x1≠x2，若g(x1)−g(x2)x1−x2>0，所以λ≤0，故C错误；g(x−y)=e x−y−e−x−y2，f(x)g(y)+g(x)f(y)=e x+e−x2×e y−e−y2+e x−e−x2×e y+e−y2=e x+y−e x−y+e−x+y−e−x−y4+e x+y+e x−y−e−x+y−e−x−y4=e x−y−e−x−y2，所以g(x−y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)，故D正确．故选：C．由函数奇偶性的性质，求出f(x)和g(x)的解析式，再逐一判断各个选项即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，函数解析式的求法，函数单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，∵(3+m)x+4y=5−3m与2x+(5+m)y=8平行，∴3+m2=45+m≠5−3m8，解得m=−7，故A错误，对于B，∵正项等比数列{a n}满足a1=1，a2a4=16，∴a3=4，∴q2=a3a1，即q=2，∴S4=a1+a2+a3+a4=1+2+4+8=15，故B正确，对于C，∵csinC =bsinB，∴c=2sinC，又∵三角形有两解，∴30°<A<90°或90°<A<150°，∴1<c<2，故C正确，对于D，充分性：∵函数f(x)=a−12x+1是奇函数，∴f(0)=0，即a−120+1=0，解得a=12，必要性，∵a =12， ∴f(x)=12−12x +1，∴f(−x)+f(x)=12−12−x +1+12−12x +1=1−(2x 2x +1+12x +1)=0，∴f(−x)=−f(x)，故函数f(x)=a −12x +1为奇函数的充要条件是a =12，故D 正确． 故选：BCD ．对于A ，结合直线平行的公式，即可求解，对于B ，结合等比数列的公式，即可求解，对于C ，结合正弦定理，即可求解，对于D ，结合奇函数的性质，即可求解． 本题主要考查命题的真假判断与应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：f(x)=sinxsin(x +π3)−14=sinx(12sinx +√32cosx)−14=12sin 2x +√32sinxcosx =√34sin2x −14cos2x =12sin(2x −π6)，对于A ，若x ∈[0,π2]，则2x −π6∈[−π6,5π6]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，可得f(x)=12sin(2x −π6)∈[−14,12]，可得f(x)的值域为[−14,12]，故A 正确； 对于B ，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，可得当k =0时，−π6≤x ≤π3，即函数f(x)在[−π6,π3]上为增函数，故B 正确； 对于C ，f(π12)=12sin(2×π12−π6)=0≠−14，故C 错误；对于D ，g(x)=12cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y =12cos2(x −π3)=12cos(2x −π6−π2)=12sin(2x −π6)=f(x)，故D 正确．故选：ABD ．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=12sin(2x −π6)， 对于A ，由已知可求范围2x −π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质即可判断得解；对于B ，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，由正弦函数的单调性即可求解； 对于C ，由f(π12)=0≠−14，即可判断C ；对于D，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：依题可知：圆心到直线的距离小于1，所以|−a|√42+32<1⇒−5<a<5．结合选项可知a的值可取3，4．故选：AB．依题可知圆心到直线的距离小于1，计算即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：求导f′(x)=1−xe x ，设切点为(x0,x0e x0)，则切线的斜率为k=1−x0e x0，则切线方程y−x0e x0=1−x0e x0(x−x0)，将(a,b)代入切线方程可得：b−x0e x0=1−x0e x0(a−x0)，当a=0时，则b=x02e x0，设g(x)=x2e x ，求导g′(x)=2x−x2e x=x(2−x)e x，所以，当x∈(−∞,0)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0,2)g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(2,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，如图1，当x =0时，g(x)取极小值，极小值为0，当x =2时取极大值，极大值为4e 2， 若只能作两条切线，y =b 与g(x)=x 2ex有且只有两个交点，则b 的取值为4e 2，故A 正确； 当a =0，b >4e 2时，则y =b 与g(x)=x 2e x只有一个交点，所以只有一个交点，因此可作一条切线， 故B 错误；当0<a <2时，则b =x 02+(1−x 0)a e x 0，设，g′(x)=−x 2+(2+a)x−2ae x=(−x+2)(x−a)e x，因为0<a <2，所以，当x ∈(−∞,a)，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x ∈(a,2)g′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈(2,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，如图2，所以，当x =a 时，g(x)取极小值，极小值为ae a ， 当x =2时，g(x)取极大值，极大值为4−ae 2， 由可作三条切线，则y =b 与g(x)=x 2+(1−x)ae x有三个交点，则a e a <b <4−a e 2，故C 正确；当a =2时，则b =x 02+2(1−x 0)e x 0，设g(x)=x 2+2(1−x)e x，g′(x)=−x 2+4x−4e x=−(x−2)2e x≤0，所以，g(x)单调递减，且g(x)>0，如图3，所以，当b >0时，y =b 与g(x)=x 2+2(1−x)e x只有一个交点，所以有且只有一条切线，故D正确，故选：ACD．，构造函数，判断函数与y=b的交点的个数，即可判断切对于A和B选项，求得b=x02e x0线的条数和b的值；，构造函数，求导，根据a的取值范围，判断其单调性，对于C选项，求得b=x02+(1−x0)ae x0绘出草图，根据y=b与函数的交点的个数，即可求得b的取值范围；对于D选项，当a=2时，则b=x02+2(1−x0)，构造函数，可得函数单调递减，当b>0，e x0因此y=b与函数只有一个交点，因此有且只有一条切线．本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查构造法，利用导数判断函数的单调性与极值，考查转化思想，属于难题．13.【答案】−4【解析】解：根据题意，向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,k)，则a⃗+b⃗ =(4,2+k)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=4+2(2+k)=8+2k=0，解可得：k=−4，故答案为：−4．根据题意，求出a⃗+b⃗ 的坐标，由数量积的计算公式可得a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=4+2(2+k)=8+ 2k=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】2m−1【解析】解：∵随机变量X～N(0,σ2)，P(X<a)=m，∴P(X>a)=P(X<−a)=1−m，∴P(−a<X<a)=1−P(X>)−P(X<−a)=1−2(1−m)=2m−1．故答案为：2m−1．根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．15.【答案】−6【解析】解：因为P 在圆x 2+y 2=4上， 所以设P(2cosθ,2sinθ)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2cosθ,−2sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2cosθ,4−2sinθ)，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2cosθ(3−2cosθ)−2sinθ(4−2sinθ)=−6cosθ+4cos 2θ−8sinθ+4sin 2θ=−8sinθ−6cosθ+4=−10sin(θ+φ)+4， 当sin(θ+φ)=1时，原式有最小值−10+4=−6， 即则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−6， 故答案为：−6．根据P 在圆x 2+y 2=4上，所以设P(2cosθ,2sinθ)，将所求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来转化为三角函数求最值问题求解．本题考查了向量的数量积，将P 点坐标设为参数形式是解题关键，属于中档题．16.【答案】3√510【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，取BC 中点F ，连接AF 、B 1F 、AB 1， 又因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方形，点E 为A 1D 1中点， 所以平面AFB 1//平面EC 1D ， 因为MB 1//平面EC 1D ，所以M 必在AF 上，M 满足直线方程x −2y =0， D(0,2)，设P(x,y)，因为平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ABB 1A 1∩平面ABCD =AB ， 所以点P 到平面ABB 1A 1的距离等于它到点D 的距离等于点P 到AB 距离y ， 于是有y 2=(x −0)2+(y −2)2，整理得y =14x 2+1，x ∈[0,2]， 点P 到直线AF 的距离为|x−2(14x 2+1)|√12+(−2)2=(x−1)2+32√5≥32√5=3√510，所以PM 的最小值为3√510．故答案为：3√510．建立平面直角坐标系，求出点P和M的轨迹方程，再用点到直线距离公式求解．本题考查了正方体结构特性，考查了点的轨迹问题，考查了最值问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵S n=2a n−1，∴当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2a n−1)−(2a n−1−1)=2a n−2a n−1，即a n=2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n−1；(2)T n=1×20+2×21+...+n⋅2n−1，①2T n=1×21+2×22+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，②①−②得−T n=20+21+22+...+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n=2n(1−n)−1，∴T n=(n−1)⋅2n+1．【解析】(1)依题意，可得a n=2a n−1(n≥2)，a1=1⇒数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；(2)由(1)可求得a n=2n−1，利用错位相减法可求得数列{na n}的前n项和T n．本题考查数列递推式及其应用，考查等比数列的判定及其通项公式的运用，考查利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为AD为∠BAC的角平分线，故∠BAD=∠DAC，在△ABD中，由正弦定理可得：BDsin∠BAD =ABsin∠ADB①在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC②①和②可得BDDC =AB⋅sin∠ADCAC⋅sin∠ADB，又∠ADC+∠ADB=180°，故sin∠ADC=sin∠ADB，可得：BDDC =ABAC=2，即AB=2AC；(2)解：由题意可知AD=BD=2，DC=1，由(1)知AB=2AC，不妨设AB=2AC=2x．在△ABD中，由余弦定理可得：AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB，即4x2=8−8cos∠ADB③在△ADC中，由余弦定理可得：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos∠ADC，即x2=5−4cos∠ADC④由又∠ADC+∠ADB=180°，故cos∠ADC=−cos∠ADB，由③和④可解得：x=√3,cos∠ADC=12，丛而可得AB=2√3,AC=√3,BC=3，在△ABC中，由余弦定理得：cos∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC =12，又0°<∠BAC<180°，故∠BAC=60°．【解析】(1)在△ABD中和△ADC中，应用正弦定理可得结果，(2)在△ABD中和△ADC中，应用余弦定理可得结果．本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：矩形ABCD中，AB=3，BC=3√2，点M为BC的中点，则AM=√AB2+BM2=3√62，BD=3√3，由于△BOM∽△DOA，则BMDA =OMOA=BODO=12，故OM=12OA=13AM=√62，OB=12OD=13BD=√3，所以OM2+OB2=32+3=92=BM2，故OM⊥OB，则AM⊥BD，所以B′O⊥AM，DO⊥AM，又B′O∩DO=O，B′O，DO⊂平面B′DO，故A M ⊥平面B′DO ；(2)解：因为平面B′AM ⊥平面AMCD ，平面B′AM ∩平面AMCD =AM ，B′O ⊥AM ，B′O ⊂平面B′AM ，所以B′O ⊥平面AMCD ，故以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则A(√6,0,0),B′(0,0,√3),D(0,2√3,0),C(−√6,√3,0)，所以B′A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√6,0,−√3),B′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−√3)，B′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√6,√3,−√3)， 设平面AB′D 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅B′A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅B′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√6x −√3z =02√3y −√3z =0，令y =1，则x =√2,z =2， 故m ⃗⃗⃗ =(√2,1,2)，设平面CB′D 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅B′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅B′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√6a +√3b −√3c =02√3b −√3c =0， 令a =1，则b =−√2,c =−2√2， 故n ⃗ =(1,−√2,−2√2)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2√2+1+4×√1+2+8=4√15477， 由图可知，二面角A −B′D −C 为钝二面角，故二面角A −B′D −C 的余弦值为−4√15477．【解析】(1)先在平面中，利用勾股定理以及相似三角形的比例关系，证明AM ⊥BD ，从而得到翻折后B′O ⊥AM ，DO ⊥AM ，由线面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AB′D 和平面CB′D 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)设选手甲在A 区发2次球的得分次数为X ，则X ～B(2,23)，故E (X)=2×23=43，则甲在A 区发球得分的期望为2×43=83；设选手甲在B 区发3次球的得分次数为y ，则Y ～B(2,13)， 故E (Y)=3×13=1，则甲在B 区发球得分的期望为3×1=3． 因为3>83，所以选手甲应该选择在B 区发球；(2)设选手甲在A 区得分高于在B 区得分为事件C ， 甲在A 区得2分，在B 区得0分为事件C 1， 甲在A 区得4分，在B 区得0分为事件C 2， 甲在A 区得4分，在B 区得3分为事件C 3， 则C =C 1∪C 2∪C 3，且C 1，C 2，C 3为互斥事件，所以P(C 1)=C 21×23×13×(23)3=32243， P(C 2)=(23)2×(23)3=32243，P(C 3)=(23)2×C 31×(13)1×(23)2=1681，所以P(C)=P(C 1∪C 2∪C 3)=P(C 1)+P(C 2)+P(C 3)=32243+32243+1681=112243， 故选手甲在A 区得分高于在B 区得分的概率为112243．【解析】(1)判断得到选手甲在A 区发2次球的得分次数和选手甲在B 区发3次球的得分次数服从二项分布，由此求出得分的数学期望，比较即可得到答案； (2)根据互斥事件的概率公式求解即可．本题考查了互斥事件概率公式的应用，二项分布的理解与应用，二次分布的数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x =3，此时直线与圆方程不相切，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为y =k(x −3)+2，即kx −y +2−3k =0， 此时圆心到直线的距离d =√1+k 2=2，解得k =0或k =125，则切线方程为y =2或12x −5y −26=0； (2)①由题可得直线CD 斜率存在，设直线CD 方程为x =my +n ，其中n ≠−2，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{x =my +n x 2+y 2=4得(m²+1)x²+2mny +n²−4=0，则Δ=4m²n²−4(m²+1)(n²−4)>0，y 1+y 2=−2mn m 2+1，y 1y 2=n 2−4m 2+1，因为k AC k AD =−13，即y 1x1+2⋅y 2x 2+2=−13，整理可得3y 1y 2+(x 1+2)(x 2+2)=0， 即有3y 1y 2+(x 1+2)(x 2+2)=(m²+3)y 1y 2+m(n +2)(y 1+y 2)+(n +2)² =(m²+3)n 2−4m 2+1−m(n +2)2mnm 2+1+(n +2)² =n+2m 2+1(4n −4)=0，所以4n −4=0，n =1，此时直线CD 方程x =my +1，过点(1,0)；②设AD 方程为y =y2x 2+2(x +2)，则N(4,6y 2x2+2)，即N(4,−2k AC)， k CN =−2k AC−y 14−x 1=1kAC⋅−2−y 1k AC4−x 1=1kAC⋅−2−y 12x 1+24−x 1=1kAC⋅−2−4−x 12x 1+24−x 1=−1k AC，即有k AC ⋅k CN =−1．【解析】(1)考虑斜率存在于不存在两种情况，设斜率存在时切线方程为y =k(x −3)+2，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；(2)①设出直线CD 的方程，与圆方程联立，利用韦达定理化简求得n =1，即可求解； ②求出N 坐标，然后可表示出k CN ，即可求解．本题考查直线与圆的综合，圆的切线方程求解，直线过定点问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：当a =1时，f(x)=e x −x 2−x −1，则f′(x)=e x −2x −1，f′′(x)=e x −2，又x >2，则f′′(x)>0，故f′(x)在(2,+∞)上单调递增， ∴f′(x)>f′(2)=e 2−5>0，∴f(x)在(2,+∞)上单调递增，则f(x)>f(2)=e 2−7>0，即得证； (2)f′(x)=e x −2ax −1，依题意，f′(m)=e m −2am −1=0，则a =e m −12m，又f(m)=−a −1，即e m −am 2−m −a =−a −1， ∴e m −am 2−m =−1，即e m −e m −12m⋅m 2−m =−1，∴2e m −me m −m +2=0，即(2−m)(e m +1)=0， ∴m =2，则a =e 2−14．【解析】(1)将a=1代入，对函数f(x)连续两次求导，可知f′(x)在(2,+∞)上单调性及取值情况，进而得出f(x)的单调性，由此即可得证；(2)依题意，f′(m)=0，可得a=e m−1，由f(m)=−a−1，可得e m−am2−m=−1，2m综合即可得到实数a的值．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．。