八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)

历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。

答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。

答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。

答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。

答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。

长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。

2. 一个数列的前三项是2，4，8。

如果这个数列是一个等比数列，求第四项。

答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。

这里，每一项都是前一项的2倍。

所以，第四项是8乘以2，等于16。

3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。

答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。

结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。

通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。

初二希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 地球的自转周期是多久？A. 24小时B. 48小时C. 72小时D. 96小时答案：A2. 下列哪种元素的化学符号是“Fe”？A. 铜B. 铁C. 锌D. 铅答案：B3. 以下哪个国家位于亚洲？A. 巴西B. 阿根廷C. 印度D. 澳大利亚答案：C4. 光年是哪种单位？A. 长度B. 质量C. 时间D. 温度答案：A5. 牛顿第一定律描述的是哪种现象？A. 物体的惯性B. 物体的加速度C. 物体的重力D. 物体的浮力答案：A6. 以下哪种植物属于被子植物？A. 蕨类B. 苔藓C. 藻类D. 裸子植物答案：A7. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺答案：C8. 以下哪种动物属于哺乳动物？A. 鸟B. 鱼C. 蜥蜴D. 鸭嘴兽答案：D9. 世界上最深的海沟是？A. 马里亚纳海沟B. 亚丁湾C. 红海D. 地中海答案：A10. 以下哪种疾病是由病毒引起的？A. 疟疾B. 破伤风C. 流感D. 肺炎答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 地球的赤道周长大约是________千米。

答案：400752. 细胞的基本结构包括细胞膜、细胞质和________。

答案：细胞核3. 人体正常体温大约是________摄氏度。

答案：374. 光的三原色是红、绿、________。

答案：蓝5. 世界上最大的淡水湖是________。

答案：苏必利尔湖6. 植物通过________进行光合作用。

答案：叶绿体7. 人体最长的骨头是________。

答案：股骨8. 世界上最大的沙漠是________。

答案：撒哈拉沙漠9. 世界上最深的湖泊是________。

答案：贝加尔湖10. 世界上最大的珊瑚礁是________。

答案：大堡礁三、简答题（每题10分，共40分）1. 请简述光合作用的过程。

答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌利用光能将二氧化碳和水转化为有机物（如葡萄糖）和氧气的过程。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

第22届希望杯数学邀请赛初二第2试试题答案1. 选择题1.答案：B2.答案：C3.答案：B4.答案：A5.答案：D6.答案：B7.答案：A8.答案：A9.答案：D10.答案：C2. 填空题1.答案：1302.答案：203.答案：2.54.答案：3205.答案：2043. 解答题1.答案：首先，用余弦定理求出AB的长度：$$ AB^2=AE^2+EB^2-2\\cdot AE\\cdot EB\\cdot\\cos \\angle AEB $$代入已知量：$$ AB^2=6^2+8^2-2\\cdot6\\cdot8\\cdot\\cos35^{\\circ}\\approx83.29 $$ 因此，$AB\\approx9.13$。

接着，设BC交AD于F，由相似三角形比例可得：$$ \\begin{aligned} \\frac{AF}{FD} &= \\frac{AB}{BC} \\\\ \\frac{3-BC}{BC} &= \\frac{9.13}{BC} \\\\ BC &= \\frac{3}{1.304} \\approx 2.30 \\end{aligned} $$因此，$BC\\approx2.30$。

答案为 $9.13+2.30=\\boxed{11.43}$。

2.答案：首先，已知 $\\angle AOC=2\\angle B$，$\\angle OAC=\\angleOCA=30^{\\circ}$，因此 $\\angle ACO=120^{\\circ}-2\\angle B$。

又因 $\\angle BDC=120^{\\circ}$，所以 $\\angle BDE=60^{\\circ}$。

由正弦定理可得：$$ \\frac{BD}{\\sin \\angle BED}=\\frac{ED}{\\sin\\angle BDE} $$代入已知量：$$ \\begin{aligned} BD &= ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin\\angle BED} \\\\ &=ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(\\angle ACO+\\angle BAC)} \\\\ &=ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(120^{\\circ}-2\\angle B+\\angle B)} \\\\ &=2ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)}\\end{aligned} $$又由相似三角形比例可得：$$ \\begin{aligned} \\frac{ED}{OA+OD} &=\\frac{BD}{OA} \\\\ ED &=\\frac{BD\\cdot OA}{OA+OD} \\\\ &=\\frac{BD\\cdot 2}{2+\\sqrt{3}}\\end{aligned} $$故：$$ \\begin{aligned}&2ED\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\\\=&\\frac{BD\\cdot 2\\cdot2\\cdot\\sin60^{\\circ}}{(2+\\sqrt{3})\\cdot\\sin(60^{\\circ}+2\\angle B)} \\\\ =&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\cir c}+2\\angle B)} \\end{aligned} $$因为 $\\angle AOC=2\\angle B$，所以 $\\angle AOB=3\\angle B$，故：$$ \\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOA=\\frac{1}{2}(180^{\\circ}-3\\angle B)=90^{\\circ}-\\frac{3}{2}\\angle B $$代入可得：$$ \\begin{aligned}&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\sin60^{\\circ}}{\\sin(60^{\\circ }+2\\angle B)} \\\\ =&\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos(\\frac{3}{2}\\angle B)}{\\sin(150^{\\circ}+\\angle B)} \\end{aligned} $$故：$$BD=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos (\\frac{3}{2}\\angle B)}{\\sin(150^{\\circ}+\\angle B)}$$答案为 $\\boxed{\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}+1}\\cdot\\frac{\\cos(75^{\\circ})}{\\sin(210^{\\circ})}}$，也可以用三角函数公式化简为 $\\boxed{4-2\\sqrt{3}}$。

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

数学初二希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. 0.33333…D. √22. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，这个三角形是什么类型的三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. -16D. 44. 以下哪个表达式的结果不是正数？A. -1 + 2B. √4C. -√4D. (-2)^25. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的倒数是1/3，这个数是多少？A. 3B. 1/3C. 1/9D. 97. 如果一个角的余角是30°，那么这个角是多少度？A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°8. 一个正方体的棱长是3，那么它的体积是多少？A. 27B. 9C. 3D. 19. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 010. 以下哪个是二次根式？A. √3B. √(-1)C. √(2x)D. √(2x+1)二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方根是2，这个数是______。

12. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

13. 一个数的绝对值是10，这个数可能是______或______。

14. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是______。

15. 一个数的平方是25，这个数是______或______。

16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是______。

17. 一个数的平方根是±3，这个数是______。

18. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。

19. 一个圆的直径是10，那么它的半径是______。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ， 若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛 1试初二第_______________30 得分日上午8：30至11：2011年3月13以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字分)一、选择题(每小题4分，共40 母写在下面的表格总得2345678910题1DACACCC答CAA( ) 千克，则由此可列出方程为、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x1%15%?(a?x)?a(1?10%)?(a?x)(1?15%)?10a、BA、%15?10%?x?a?a%)1510%)?x(1??a(1、C、 D( )的关系是则所用的时间减少b%，则a，b2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，a100100aa100?b?b?b?b、A C、、 D B、a?a1001?a%1?a%1?1x?|?2x?1|?x?1?m?|x|( )m、当3时，不等式的最大值是恒成立，那么实数4 3 D、、2 C、1 BA、kkx?1y?y?2x?与横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数4、在平面直角坐标系中，( )k的值有的图象的交点是整点，则个 D、5、2个 B、3个 C、4个A6??1|2?|2x is ( )The sum of all such integers x that satisfy inequality 5、0、2 D、A、8 B、5 C) 满足；inequality 不等式(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy32220b?c?bc?aab?( ) b，c，且，则这个三角形一定是6、若三角形的三条边的长分别为a， D、等腰直角三角形、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形Aintersects AG ABCD is a square. the 7、As shown in figure 1，point C is on segment BG and quadrilateralBD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( )8165 4 D、 BA、、 C、A D 33 E 5 ) 与…相交于…square 正方形；intersect…at… (英汉词典：F3 151?2( ) n能分解成n个质因数的乘积，8、的值是G34 D、A、6 B、5 C、BCfigure 10?x?ay?1?( )没有实数解，则、若关于x，y的方程组9?0??2ya?bx?2?2a?a?1ab??2ab?2?ab?2ab??且 DA、C且、 B、、于点C，AOB°，OP平分∠，PC⊥、如图10OB2，∠AOB=45A( )，则OC的长是若PC=22?2232?、A、7 B、6 C、 D P 2 ) 分4分，共40二、A 组填空题(每小题O BC 549?2图?2?5； 11、化简：5?23x?2y?k?1?k?32y?74x?；，则k的解使的方程组，、若关于12xy的取值范围是?2?3x2?y?1AABC分成一个的线段MN把等边△13、如图3，平行于BC的周长相AMN和四边形MBCN三角形和一个四边形，已知△；MN的长度之比是 4:3 等，则BC与M N 、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，14 8月份分钟，再停机停机15分钟，再运转515分钟，……，又知CB3图 )，则这台冰箱的压缩度=1千瓦时这台冰箱的耗电量是24.18度 (1 130 瓦；机运转时的功率是1112222??02a???4a?4b?12ca?a?b?c?42的，满足和，则代数式15、已知自然数a，b，c cba；值是 12?y的面AOBO为原点，则△3，5.16、已知A、B是反比例函数设B的图象上的两点，A、的横坐标分别是x16；积是15；的最小值是 121 是11个连续整数的平方和，则A17、设完全平方数A 218，则首尾两个数的和是38个数与第63个数的和为个连续的偶数从小到大排成一行，其中第18、将100 218 ；地，然后下车步行，之间的C。

初二数学希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 05. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 + 2 = 5B. 7 - 5 = 2C. 4 × 2 = 8D. 6 ÷ 2 = 3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。

7. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是_________。

8. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。

9. 一个数的相反数是-3，那么这个数是_________。

10. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是_________。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，求这个长方体的体积。

12. 已知一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。

13. 已知一个等腰三角形的底边长是6cm，两腰长是5cm，求这个等腰三角形的面积。

初二数学希望杯试题答案一、选择题答案1. B2. C3. A4. C5. D二、填空题答案6. 167. -38. 1/29. 310. ±3三、解答题答案11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= 3cm × 4cm × 5cm =60cm³。

12. 圆的面积= π × 半径² = 3.14 × 7cm × 7cm = 153.86cm²。

13. 等腰三角形的面积 = (底× 高) / 2。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内． 1．已知A B=A，C ，则,B C 之间的大小关系是（ ） A ．B C >B ．BC =C ．B C <D ．不能确定【解析】 A ．由AC==，于是6336320242933A A C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则B C >．2．已知27a a -=，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．5【解析】 D ．求值式()()()()()22211121a a a a a a a -+-=⋅⋅-⋅++-()()22125a a a a =-+=--=．3．一个凸四边形的四个内角可以（ ）A ．都是锐角B ．都是直角C ．都是钝角D ．有三个是直角，另一个是锐角或钝角【解析】 B ．由四边形的外角和为360，于是不能每个外角都是锐角或者钝角．选B ．4．如果直线2y x m =+与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m 的值是（ ）A ．3±B ．3C ．4±D ．4【解析】 C ．可知直角三角形的直角边长分别为,2mm ，于是有14422m m m ⋅⋅=⇒=于是4m =±，分别对应于三角形位于第二象限，第四象限的情形．5．若22120102011n +=+（ ） A ．2011B ．2010C ．4022D ．4021【解析】 D ．由222201020111201020102012n =+-=+⋅．于是22222212010201120102010201220102011220102011n +=+++⋅=++⋅⋅()220102011=+4021．6．有四个命题：①若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等． ②有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．③有一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等． ④两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中，正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【解析】 B ．正确的命题为④．①②③错误．7．如图1，Rt ABC △两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则22AE BD +与2AB 的比值为（）A ．34B ．1C ．54D ．32图1ADC E B【解析】 C ．特殊值法：直接设1BC AC ==，可得AE AD AB ===54． 一般的，不妨设,BC a AC b ==，于是()222222225224a b AE BD b a a b ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222AB a b =+，于是可得出同样的结果．8．如图2所示，ABCD 为矩形，12,5AD AB ==，P 为线段AD 上的任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于F ．则PE PF +的值为（ ）A ．4813B ．6013C ．5D ．7013figure 2ABC DE FP【解析】 B ．利用面积相等解决此问题．由PBD PAC PCD PAC ACD S S S S S +=+=△△△△△，有()1122AC PE PF AD DC ⋅⋅+=⋅⋅，则有6013PE PF +=．9．如图3，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，(21)C ，，(11)D ，，反比例函数ky x=的图象与边BC 交于点E ，与边CD 交于点F ，已知:3:1BE CE =，则:DF FC 等于（ ）A ．4：1B ．3：1C ．2：1D ．1：1图3【解析】 D ．由2,,2k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭知32112kk =-，解得32k =．于是3,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则12DF FC ==，于是比值为1．10．如图4，a b c d e ，，，，分别代表1，2，3，4，5中的一个数，若b a c ++及d a e ++除以3都余1，则不同的填数方法有（ ） A ．2种 B ．4种C ．8种D ．16种a bc ed图4【解析】 D ．由1234515a b c d e ++++=++++=，31a b c k ++=+，知32d e p +=+，于是32a q =+．则2a =（或5）．,b c 与,d e 分别为1,4与3,5（或2）．于是所有的填数法有222216⋅⋅⋅=种．二、填空题（每小题4分，共40分）11．下表为甲、乙两人比赛投篮球的记录，以命中率（投进球数与投球次数的比值）来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩一样好，现有以下关系式：①5a b -=；②18a b +=；③:2:1a b =；④:182:3a =， 其中正确的是_________________（只填序号）． 【解析】 ②③④．由101518a=知12a =．于是6b =．只有①是错误的．12．已知方程组245x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解为.x m y n =⎧⎨=⎩，又知点()A m n ，在反比例函数k y x =的图象上，则k 的值是_________________．【解析】 6-．解得3,2m n ==-，于是6k m n =⋅=-．13．等腰三角形的两个内角的度数之比为:()a b a b <，若这个三角形是钝角三角形，则ba的取值范围是_____________．【解析】 2b a>．钝角三角形的三内角比必为::a a b ，由90,2902bb a a ><⇒>．14．定义1()(1)1f x x x =≠-，那么2011((((2011))))ff f f f 个=_________．【解析】 12100-．容易知道()()()f f f a a =，于是()20111((((2011))))20112010ff f f f f ==-个．15．函数y ax =与函数23y x b =+的图象如图5所示，则关于x y ，的方程组0323ax y y x b -=⎧⎨-=⎩，的解是________________．【解析】 12x y =⎧⎨=⎩．观察出函数图像的交点坐标为()1,2，于是方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩．16．若a b ，是自然数，且a b >，2011=(1)a a b -+．那么a =_____________；b =______________． 【解析】 45；31．由()222011a b a a =+-<，()()2201111a a b a =-+>-，知2245201144>>，有45,14445a a a -⇒=≥≤．代入原式解得31b =．17．一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．两次掷这个骰子，朝上一面的数依次记为m n ，．则关于x y ，的方程组123mx ny x y +=⎧⎨+=⎩，有解的概率为_______________．【解析】 1112．无解的情形当且仅当1213m n =≠，即21m n =⎧⎨=⎩或42m n =⎧⎨=⎩或63m n =⎧⎨=⎩．于是无解的概率为316612=⋅，有解的概率为11111212-=．18．如图6，边长为2的正方形ABCD 内有一点P ，且30PAB ∠=︒，2PA =，在正方形ABCD 的边上有一点Q ，且PAQ △为等腰三角形，则符合条件的点Q 有______________个．230°ABCD【解析】 4．PA 为底边或者腰．当PA 为底边时，做PA 的垂直平分线，交正方形的边于两点；当PA为腰时，分别以,P A 为圆心，2为半径做圆，交正方形的边于2点（不含A ），2点．这三种情形均包括DA 边上的同一个点．于是共有22224++-=个．19．已知a b c ，，为实数，并且对于任意实数x ，恒有23x a x b x c +++=+，则::a b c =____________． 【解析】 1：2：3．令13x c =-，有2033c a b c -+-=，于是2,33c a b c ==，即::1:2:3a b c =．20．一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000行米后报废；若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶，使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶______________千米．【解析】 3750．容易知道，若一轮作为前轮行驶路程为a ，作为后轮行驶路程为b ，则另一轮行驶路程为作为后轮a ，作为前轮b ，于是必须a b =才能使得同时报废．于是500050003000ba +⋅=，解得1875a b ==，于是3750a b +=．三、解答题每题都要写出推算过程． 21．（本题满分10分）平面直角坐标系中，正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1），设正方形ABCD 在y x a a =-+的图象以上部分的面积为S ，试求S 关于a 的函数关系式，并写出S 的最大值．【解析】 ⑴当1a ≥时，y x a a =-+的图象与正方形无公共部分，如图①，0S =．①②③④⑵当0a ≤≤1时，21(1)2(1)(1)2S a a a =-⨯-=-．如图②⑶当1a -≤≤0时，22(1)(1)22(1)2a a S a ++=-=-+．如图③⑷当1a <-时，2S =．如图④ 所以，S 的最大值为2．22．（本题满分15分）若直线:3l y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．坐标原点O 关于直线l 的对称点'O 在反比例函数ky x=的图象上． ⑴求反比例函数ky x=的解析式； ⑵将直线l 绕点A 逆时针旋转角(045)θθ︒<︒<，得到直线'l ，'l 交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数ky x=的图象交于点Q ，当四边形'APQO的面积为9θ的值．【解析】 ⑴直线l 与x 轴交于点(30)A -，，与y 轴交于点(03)B ，，ABO △是等腰直角三角形，则坐标原煤点O 关于直线l 的对称点'O 的坐标是(33)-，．点'O 在反比例函数ky x=的图象上，所以99k y x=-=-，．⑵设点P 的坐标为(0)P ，，PQ 和'AO 的延长线交于点G ． 因为PQ x ∥轴，与反比例函数图象交于点Q ，所以四边形AOPG 是矩形，9Q p p⎛⎫- ⎪⎝⎭，，(3)G p -，因为913GP GQ p==-，，'3GO p GA p =-=，． 所以APG GQO APQO S S S ==四边形△△=11'22GA GP GQ GO ⋅-⋅=()11933322p p p ⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭=2792p -，已知9APQO S =四边形27992p -=解得p =p =符合题意．所以(0P ，，6AP ==，60PAO ∠=︒ 又因为45BAO ∠=︒，所以604515PAO BAO θ=∠-∠=︒-︒=︒23．（本题满分15分）给定(3)m m ≥个数字组成的一列数12m a a a ，，，，其中每一个数(12)i a i m =，，，只能是1或0，在这一列数中，如果存在连续的k 个数和另一组连续的k 个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k 阶可重复的”．例如，由7个数组成的一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为1234,,,a a a a 与4567a a a a ，，，按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”．⑴分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数； ①0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； ②1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．⑵如果一列数12m a a a ，，，一定是“3阶可重复的”，求m 的最小值． ⑶假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数后再添加一个0或1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理由． 【解析】 ⑴在①中，因为23456a a a a a ，，，，与678910a a a a a ，，，，按次序对应相等，所以①是“5阶可重复的”，重复的这5个数是0，0，1，1，0； 在②中，因为连续的5个数分别为 1，1，1，1，1；1，1，1，1，0； 1，1，1，0，1；1，1，0，1，1；1，0，1，1，1；0，1，1，1，1．其中没有完全相同的，所以②不是“5阶可重复的”⑵因为这列数中的每一个数只能是0或1，所以连续的3个数共有228=（种）不同的情形，即分别为（0，0，0）；（0，0，1）；（0，1，0）；……；（1，1，1）．若11m =，则在这一列数中有9组连续的3个数，它们分别是123a a a ，，；234a a a ，，；345a a a ，，；…；51211a a a ，，，其中至少有两组按次序对应相等，这列数一定是“3阶可重复的”．若10m =，存在这样一列数； 0，0，1，0，1，1，1，0，0，0，它不是“3阶可重复的”（类似地还可以写出一些，只要写出一个即可）． 所以，要使一系数一定是“3阶可重复的”，m 的最小值是11．⑶假设这一列数共有m 个数，由于在最后一个数m a 后再添加0或1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，即存在两个不同的i 和(4)j i j m -，≤，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++ 与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，且1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等．此时考虑111,,i j m a a a ---这三个数，其中必有两个相同，这就导致这一列数中有两个连续的5个数恰好按次序对应相等．从而这一列数是“5阶可重复的”这和题设中这一列数不是“5阶可重复的”矛盾！所以1i =或1j =，从而41m a a ==．。