4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)

1 1 1 1 a 5．若不等式 ＋ ＋ ＋…＋ > 对一切正整 n＋1 n＋2 n＋3 3n＋1 24 数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论．
1 1 1 26 26 a 解：取 n＝1， ＋ ＋ ＝ ，令 > ⇒ 24 24 1＋1 1＋2 3×1＋1 24 a<26，而 a∈N＋， ∴取 a＝25.下面用数学归纳法证明： 1 1 1 25 ＋ ＋…＋ > . n＋1 n＋2 3n＋1 24 (1)n＝1 时，已证结论正确．
[例2]
设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有
f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值．
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想． [思路点拨] 利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)
再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．
1．利用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学 归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不 等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要 与其他方法，如 比较法 、分析法 、综合法、 放缩法 等
结合进行．
2．归纳—猜想—证明的思想方法
数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现
假设 Pk<Qk(k≥3)， 则 Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk kk－1x2 kk－1x3 ＝1＋kx＋ ＋x＋kx2＋ 2 2 kk＋1 2 kk－1 3 ＝1＋(k＋1)x＋ x＋ x 2 2 kk－1 3 ＝Qk＋1＋ x <Qk＋1， 2 即当 n＝k＋1 时，不等式成立． 所以当 n≥3，且 x∈(－1,0)时，Pn<Qn.
利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝ k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用
“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二
是凑出结论的形式，再证明．
1 1 1 5 1．用数学归纳法证明： ＋ ＋…＋ > (n≥ 3n 6 n＋1 n＋2 2，n∈N＋)
1 1 1 1 5 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝ ＋ ＋ ＋ > ，不等式 3 4 5 6 6 成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即 1 1 1 5 ＋ ＋…＋ > .当 n＝k＋1 时， 3k 6 k＋1 k＋2
[解] (1)由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)· 2)． f(n 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)· f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)>0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
1 1 1 25 (2)假设 n＝k(k∈N＋)时， ＋ ＋…＋ > ，则 k＋1 k＋2 3k＋1 24 1 1 1 当 n＝k＋1 时，有 ＋ ＋…＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 1 1 1 ＋ ＋ 3k＋2 3k＋3 3k＋1＋1 1 1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋…＋ )＋( ＋ ＋ － k＋1 k＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 3k＋4 1 25 1 1 2 )> ＋[ ＋ － ]． k＋1 24 3k＋2 3k＋4 3k＋1
2．用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2－n(n≥2，n∈N＋)． 2 3 n 1 5 1 3 证明：(1)当 n＝2 时，1＋ 2＝ <2－ ＝ ，不等式成立． 2 4 2 2
1 (2)假设当 n＝k(k≥2， k∈N＋)时不等式成立， 1＋ 2＋ 即 2 1 1 1 ＋…＋ 2<2－ ， k 32 k 1 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋ 2＋ 2＋…＋ 2＋ <2－ ＋ k 2 3 k k＋12 1 1 1 1 1 1 1 <2－ ＋ ＝2－ ＋ － ＝2－ ，不 k kk＋1 k k k＋1 k＋12 k＋1 等式成立． 由(1)、(2)知原不等式在 n≥2，n∈N＋时均成立．
4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an、bn、an＋1 成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列(n∈N＋)． (1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}
的通项公式；
(2)证明你的结论． 解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4 ＝25.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，
左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边； 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．
当n＝k＋1时，
6k＋1 6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ > ＝ 3k＋2 3k＋4 9k2＋18k＋8 9k＋12 3k＋1 1 1 2 ∴ ＋ － >0. 3k＋2 3k＋4 3k＋1 1 1 1 25 ∴ ＋ ＋…＋ > . k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1＋1 24 即 n＝k＋1 时，结论也成立． 1 1 1 由(1)、 (2)可知， 对一切 n∈N＋， 都有 ＋ ＋…＋ n＋1 n＋2 3n＋1 25 > .故 a 的最大值为 25. 24
2k＋1＋2 ＝2·k＋2 2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，
k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立． 根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．
nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2 3． Pn＝(1＋x) ， n＝1＋nx＋ 设 Q x， n∈N＋， x∈(－ 2
n
1，＋∞)，试比较 Pn 与 Qn 的大小，并加以证明．
解：(1)当 n＝1,2 时，Pn＝Qn. (2)当 n≥3 时，(以下再对 x 进行分类)． ①若 x∈(0，＋∞)，显然有 Pn>Qn. ②若 x＝0，则 Pn＝Qn. ③若 x∈(－1,0)， 则 P3－Q3＝x3<0，所以 P3<Q3. P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以 P4<Q4.
1 1 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ 3k k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 3k＋2 1 5 1 1 1 1 5 > ＋( ＋ ＋ － )> ＋ 3k＋1 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 6 1 1 5 (3× － )＝ . 3k＋3 k＋1 6 ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)(2)知，原不等式对一切 n≥2，n∈N＋均成立．
在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面 可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更 重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律 数学归纳法 并用 证明其正确性，形成“观察—归纳—
猜想—证明”的思想方法．
[例 1]
证明：2n＋2>n2，n∈N＋.
[思路点拨] 验证n＝1，2，3 假设n＝k成立， n＝k＋1成 ―→ ―→ 时，不等式成立 推证n＝k＋1 立，结论得证
猜想f(n)＝2n. 证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
f(k＋1)＝f(k)· f(1)＝2k· k＋1， 2＝2 这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：
观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部 分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论， 然后用数学归纳法进行证明．
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝ 2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)． a2＋1 bk＋1＝ k ＝(k＋2)2. bk 所以当n＝k＋1时， 结论也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都 成立．
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