- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
, Xn和
Y1,Y2 ,
,Ym
,样本均值记为
X
和Y
,样本方差依次记为
S12
和
S22
，方差
σ
2 1
和
σ
2 2
为未知参数.
构造统计量 T
=
X
−Y Sw
− ( μ1 − μ2 )
1+ 1 nm
∼
t
(
n
+
m
−
2
)
，其中
S
2 w
=
(n −1) S12 + (m −1) S22
n+m−2
，则
参数 μ1 − μ2 的置信水平为1− α 的置信区间为
2 1
,Y ∼ N
μ
2
,
σ
2 2
，分别独立地取出样本 X1, X 2 ,
, Xn 和
Y1,Y2 , ,Ym ,样本均值依次记为 X 和 Y ,样本方差依次记为 S12 和 S22 ，均值 μ1 和 μ2 未知参
数.
构造统计量 F
=
S12 S22
⋅
σ
2 2
σ
2 1
∼
F
(
n
−
1,
m
−
1)
，则方差比
σ σ
σ 12 n
+
σ
2 2
m
,X
−Y
+ uα / 2
σ
2 1
n
+
σ
2 2
m
⎞ ⎟⎟⎠
207
概率论与数理统计全程学习指导
个 正
μ1 -
态 总
μ2
体
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 1
,
σ
2 2
未知 但相 等
μ1,
μ2
X −Y − (μ1 − μ2 ) ∼ t (n + m − 2)
Sw
1+ 1 nm
{ } lim P
n→∞
θˆn −θ < ε
=1
则称θˆn 为参数θ 的一致估计量.
三、区间估计
1、置信区间
设 X1, , Xn 是取自总体 X 的一个样本, θ 为总体分布中所含的未知参数, θ ∈Θ .
203
概率论与数理统计全程学习指导
对于给定的α , 0 < α <1,若存在两个统计量θ = θ ( X1, , Xn ) 和θ = θ ( X1, , Xn ) ,使
⎛ ⎜⎜⎝
X
−Y
− tα / 2
(n
+
m
−
2) Sw
1+ 1, nm
X − Y + tα /2 (n + m − 2) Sw
1 n
+
1 m
⎞ ⎟⎟⎠
n
∑ ∑ ∑ ( ) m
⋅
σ
2 2
∑ ( ) ∑ ∑ n
σ
2 1
⋅
( Xi − μ1)2
i =1
m
(Yi − μ2 )2
∼F
n, m
i =1
⎛
⎜ ⎜
1
⎜ ⎜⎝
的置信区间为
nm
⎛ ⎜⎜⎝ X − Y − uα /2
σ12 n
+
σ
2 2
m
,
X
−Y
+ uα / 2
σ
2 1
n
+
σ
2 2
m
⎞ ⎟⎟⎠
.
20
方差
σ
2 1
和
σ
2 2
未知的情形
205
概率论与数理统计全程学习指导
( ) ( ) 设总体 X ∼ N
μ1
,σ
2 1
,Y ∼ N
μ2
,
σ
2 2
，分别独立地取出样本 X1, X 2 ,
( ) 如果未知参数 θ 的估计量 θˆ = θˆ ( X1, X 2, , X n ) 的数学期望 E θˆ 存在,且对任意
θ ∈Θ ,都有
E (θˆ) = θ
则称θˆ 是θ 的无偏估计量.
2、有效性
设 θˆ1 = θˆ1 ( X1, X 2 , , X n ) 和 θˆ2 = θˆ2 ( X1, X 2 , , X n ) 都是参数θ 的无偏估计量,若对
Fα
/2
n, m
m n
n
i =1 m
i =1
( X i − μ1)2 (Yi − μ2 )2
,
1 F1−α / 2 (n, m)
∑ ∑ ⎛
⎜
n
( Xi − μ )2
n
( Xi − μ )2
⎞ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
i =1
χα2 / 2 (n)
,
i =1
⎟.
χ2 1−α
/
2
(n)
⎟ ⎟
⎝
⎠
20 均值 μ 未知的情形
( ) 设总体 X ∼ N μ,σ 2 , X1, X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，均值 μ 为未知参数.
侧置信下限(θ 称为θ 的单侧置信上限).
待估 参数
表 7.1 正态总体均值,方差的置信区间
条
枢轴量
件
置信区间
μ
σ2
X − μ ∼ N (0,1)
已知 σ / n
⎛ ⎜⎝
X
− uα / 2
σ n
,
X
+
uα / 2
σ⎞ n ⎟⎠
μ
一 个 正
态 σ2
总 体
σ2
σ2
X − μ ∼ t(n −1)
未知 S / n
§7.1 知识点考点精要
一 、点估计
1、 点估计
设 X1, X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本, x1, x2 , , xn 为相应的样本值，如果用统计
量 θ ( X1, X 2 , , X n ) 的 观 测 值 θ ( x1, x2, , xn ) 作 为 参 数 θ 的 真 实 值 的 估 计 ， 则 称 θ ( X1, X 2 , , X n ) 为参数θ 的估计量，记作θˆ ( X1, X 2 , , X n ) ,相应地，称θ ( x1, x2, , xn )
n
L (θ ) = L (θ ; x1, x2, , xn ) = ∏ f ( xi;θ ),θ ∈ Θ i =1
202
第七章 参数估计
称为样本的似然函数，或称关于样本值 x1, x2 , , xn 的似然函数.
（2）极大似然估计
设 X1, X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本，如果存在样本值 x1, x2 , , xn 的函数
2
n, m
m n
n
i =1 m
i =1
( X i − μ1)2 (Yi − μ2 )2
,
1 F1−α / 2 (n, m)
m n
n
i =1 m
i =1
( X i − μ1)2 (Yi − μ2 )2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
.
20 均值 μ1 和 μ2 未知的情形
( ) ( ) 设总体 X ∼ N
μ1
,
σ
, Xn和
Y1,Y2 ,
n
∑∑ ( ) ,Ym ，
均值 μ1 和 μ2 为常量.
构造统计量 F
=
m
⋅
σ
2 2
n
σ
2 1
⋅
( X i − μ1)2
i =1
m
(Yi − μ2 )2
∼F
n, m
，
i =1
则方差比 σ12
σ
2 2
的置信水平为1 − α
的置信区间为
⎛
∑ ∑ ⎜
⎜
1
( ) ⎜
∑ ∑ ⎜⎝
Fα
/
2 1 2 2
的置信水平为1 − α
的置信区
间为
206
第七章 参数估计
⎛ ⎜⎜⎝
Fα
/2
(n
1 −1,
m
−1)
⋅
S12 S22
,
F1−α
/
2
1
(n −1,
m
−1)
⋅
S12
S
2 2
⎞ ⎟⎟⎠
.
4、单侧置信区间
设 X1, , Xn 是取自总体 X 的一个样本, θ 为总体分布中所含的未知参数, θ ∈Θ .
μ1
,σ
2 1
,Y ∼ N
μ2
,
σ
2 2
，分别独立地取出样本 X1, X 2 ,
, Xn和
Y1,Y2 ,
,Ym , 样 本 均 值 依 次 记 为 X
和Y
，方差
σ
2 1
和
σ
2 2
为已知常量.
构造统计量
U
=
X
− Y − (μ1 − μ2 )
σ
2 1
+
σ
2 2
∼
N
(0,1) ，则参数 μ1
− μ2 的置信水平为1−α
⎛ ⎜⎝
X
−
tα / 2 (n
−1)
S n
,
X
+
tα
/2 (n
−1)
S⎞ n ⎟⎠
μ已
知
μ未
知
∑ ∑ ∑ n
( ) ( ( ) ( ) i=1
