八年级的上册的数学第二单元：全等三角形知识点与练习.doc

全等三角形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、（2015•西城区模拟）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.举一反三：【变式】在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(2)倍长中线法：3、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD ＜()12AB AC +举一反三： 【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x 的取值范围是( )A.1 ＜x ＜ 6B.5 ＜x ＜ 7C.2 ＜x ＜ 12D.无法确定(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ． 求证：∠PCB +∠BAP=180°．举一反三：【变式】（2015•开县二模）如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，且CE ⊥BD 交BD 延长线于点E ．求证：BD=2CE ．(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）举一反三：【变式】如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52.（2015春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．A SA C．A AS D．SSS3. （2016•新疆）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF4. 在下列结论中, 正确的是( )A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C. 一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5. 如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC 与△DEF 中，给出下列四组条件：（1）AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；（2）AB ＝DE ，∠B＝∠E，BC ＝EF ；（3）∠B＝∠E，BC ＝EF ，∠C＝∠F；（4）AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（ ）组．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7. 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）A. 相等B.不相等C.互补D.相等或互补8. △ABC 中，∠BAC ＝90° AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C ，∠DAE 的度数是( )A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9. 已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为10 2cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10. △ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB ＝AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC ＝DC ．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.（2015春•成都校级期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，CD=2cm ，则BD 的长是 ．12. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13. 如右图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ．若AB ＝a ，CD ＝b ，则△ADB 的面积为______________ ．14．（2016秋•扬中市月考）如图，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，要使得△ABC ≌△CDA ．（1）若以“SAS”为依据，需添加条件；（2）若以“HL”为依据，需添加条件．15. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17. 已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证： AC＝AD19. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．求证：BE=CF．20.（2015•北京校级模拟）感受理解如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等学以致用参考上述学到的知识，解答下列问题：如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．。

第二单元 全等三角形【知识归纳】1. 全等三角形的基本概念:（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC ≌△A ’B ’C ’（如图1）A ’B C ’图12. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等3. 全等三角形的判定方法（1）三边相等（SSS ）；（2）两边和它们的夹角相等（SAS ）；（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；（4）两角和它们的夹边相等（ASA ）；（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）．注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。

如图2，△ABC 和△ADE 中，∠A=∠A ，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。

4. 角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

5. 角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

【同步练习】一、选择题1、下列说法正确的有（）①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形③所有的正方形是全等图形④全等图形的面积一定相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、在下列条件中，不能判定直角三角形全等的是（）A. 两条直角边分别对应相等B. 斜边和一个锐角分别对应相等C. 两个锐角分别对应相等D. 斜边和一条直角边分别对应相等3、已知：如图2，△ABD ≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A. DBB. BCC. CDD. AD4、如上图，在①AB=AC，②AD=AE，③∠B=∠C，④BD=CE四个条件中，能根据“SSS”证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④5、如图7，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个6、如上图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cmB. 3cmC. 2cmD. 不能确定7、如上图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ， 则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm 8要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 Ａ．1处Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处二、填空题1、在△ABC 和A B C '''△中，AB A B ''=，A A '=∠∠，要使ABC A B C '''△≌△，则需增加的条件为______．（写一个即可）2、已知ABC DEF △≌△，5cm BC EF ==，△ABC 的面积是220cm ，那么△DEF 中EF 边上的高是______cm ．3、如图1,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________图1 图2 4、如图2，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。

初二上册数学第二章知识点：全等三角形想要学好数学，一定要多做同步练习，以下所引见的初二上册数学第二章知识点，主要是针对每一单元学过的知识来稳固自己所学过的内容，希望对大家有所协助!一、耐烦选一选，你会开心:(每题6分，共30分)1.以下说法：①全等图形的外形相反、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积区分相等，其中正确的说法为()A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④2.假设是中边上一点，并且，那么是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形3.一个正方形的正面展开图有( ) 个全等的正方形.A.2 个B.3个C.4个D.6个4.关于两个图形，给出以下结论：①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的外形相反，大小也相等.其中能取得这两个图形全等的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.以下说法正确的选项是( )A.假定，且的两条直角边区分是水平和竖直形状，那么的两条直角边也一定区分是水平和竖直形状B.假设，，那么C.有一条公共边，而且公共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等D.有一条相等的边，而且相等的边在每个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等二、精心填一填，你会轻松(每题6分，共30分)6.如下图，沿直线对折，△ABC与△ADC重合，那么△ABC≌，AB 的对应边是，BC的对应边是，∠BCA的对应角是.第6题第7题7.如下图，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，那么CB 的对应边是，∠ABC的对应角是.8.如图，AB、DC相交于点O，△AOB≌△DOC，A、D为对应顶点，那么这两个三角形中，相等的边是____________________，相等的角是____________________.9. ，，，那么，，和的度数区分为，， .这篇初二上册数学第二章知识点的内容，希望会对各位同窗带来很大的协助。

12.1全等三角形一、本节学习指导这一节我们来认识全等三角形，这一节我们要重点掌握三角形全等的表示方法，以及全等三角形的性质。

本节有配套学习视频。

二、知识要点1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

注：完全能重合的图形那么固然：形状完全相同，大小固然相等，对应角也相等。

2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

用符号“≌”表示，读作：全等。

3、全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．注意：在写三角形全等的时候一定要把相对应角的顶点对应写，比如上图中写成△ABC ≌△A'B'C'，而不能写成△ACB≌△A'B'C'，因为C对应的是C’所以这种写法是错误的。

4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．6、全等三角形常见类型翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素三、经验之谈：本节开始我们学习全等三角形，全等三角形在初中几何中应用非常广泛，同学们要认真学习。

八年级数学上册第2章：三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段： （1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积： 三角形的面积=21×底×高 二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

T——全等三角形课堂导入形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形一、知识梳理：1、能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形（1）“全等”用符号________来表示，读作“全等于”。

（2）记作:△ABC≌△DEF，读作 : _________________互相重合的顶点叫做___________互相重合的边叫做_________互相重合的角叫做_____________2、全等三角形的性质:（1）.全等三角形的对应边_______；（2）.全等三角形的对应角_________。

二、考点分类考点一：判断全等【例】1.下列图形中，和所给图形全等的图形是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的有（）①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．A．1个B．2个 C．3个D．4个考点二：对应关系【例2】如图（1），△AOB ≌△COD ，∠AOB =∠COD ，∠A =∠C ，则∠D 的对应角是__________，图中相等的线段有__________图（1） 图（2）【变式训练】如图（2），△ABC ≌△AED ，∠C =40°，∠EAC =30°，∠B =30°，则∠EAD =___________.考点三：全等三角形性质【例5】如图(3)，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是_____________.图（3） 图（6） 图（7）【变式训练】如图（6），△ABE ≌△ACD ，AE =5 cm ，∠A =60°，∠B =30°，则∠ADC =__________°，AD =__________cm ．3、如图（7），已知，△ABC ≌△BAE ，∠ABE =60°，∠E =92°，则∠ABC 的度数为__________度．如图，ΔABC ≌ΔDEF ，∠A =25°，∠B =65°，BF =3 cm ，求∠DFE 的度数和EC 的长．强化练习C——边边边、边角边一、知识梳理：全等三角形的条件（1）、三角形全等的判定------三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）（2）、三角形全等的判定-----两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。

全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC∆≌DEF∆2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等1．下列各组的两个图形属于全等图形的是( )2．如图，△ABD≌△ACE，则∠B与________，∠AEC与________，∠A与________是对应角；则AB与________，AE与________，EC与________是对应边．第2题图第3题图3．如图，△ABC≌△CDA，∠ACB＝30°，则∠CAD的度数为________．4．如图，若△ABO≌△ACD，且AB＝7cm，BO＝5cm，则AC＝________cm.第4题图第5题图5．如图，△ACB≌△DEB，∠CBE＝35°，则∠ABD的度数是________．6．如图，△ABC≌△DCB，∠ABC与∠DCB是对应角．(1)写出其他的对应边和对应角；(2)若AC＝7，DE＝2，求BE的长．二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS）边角边（SAS）角边角(ASA) 角角边AAS 直角边和斜边（HL）三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）专题一：“边边边”全等三角形（SSS）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，几何表示如图，在ABC∆和DEF∆中，ABCEFBCEBDEAB∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SASDEF∆【典型例题】AC=DF （SSS)例1找第三边（减公共部分）如图，已知点B，C，D，E 在同一直线上，且A B=AE，AC=AD，BD=CE．求证：△ABC≌△AED．例2找第三边（加公共部分）如图，点B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF；例3找第三边（公共边）如图，AD=CB，AB=CD，求证：△ACB≌△CAD．巩固练习1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )A．① B．② C．③ D．④2．如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，则∠D的度数是( ) A．30° B．60° C．20° D．50°第2题图第3题图3．如图，AB＝DC，请补充一个条件：________，使其能由“SSS”判定△ABC≌△DCB.4．如图，A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.5．如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.6.如图，在ABC ∆中，M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是ABC ∆的角平分线7.如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。

⼋年级上册第⼆单元全等三⾓形全章复习与巩固（提⾼）知识讲解全等三⾓形全章复习与巩固（提⾼）【学习⽬标】1. 了解全等三⾓形的概念和性质，能够准确地辨认全等三⾓形中的对应元素；2．探索三⾓形全等的判定⽅法，能利⽤三⾓形全等进⾏证明，掌握综合法证明的格式；3．会作⾓的平分线，了解⾓的平分线的性质，能利⽤三⾓形全等证明⾓的平分线的性质，会利⽤⾓的平分线的性质进⾏证明.【知识⽹络】【要点梳理】要点⼀、全等三⾓形的判定与性质要点⼆、全等三⾓形的证明思路SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS→→→→→→→→→→找夹⾓已知两边找直⾓找另⼀边边为⾓的对边找任⼀⾓找夹⾓的另⼀边已知⼀边⼀⾓边为⾓的邻边找夹边的另⼀⾓找边的对⾓找夹边已知两⾓找任⼀边要点三、⾓平分线的性质1.⾓的平分线的性质定理⾓的平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等.2.⾓的平分线的判定定理⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS）⾓边⾓（ASA）⾓⾓边（AAS）边边边（SSS）两直⾓边对应相等⼀边⼀锐⾓对应相等斜边、直⾓边定理（HL）性质对应边相等，对应⾓相等（其他对应元素也相等，如对应边上的⾼相等）备注判定三⾓形全等必须有⼀组对应边相等⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上.3.三⾓形的⾓平分线三⾓形⾓平分线交于⼀点，且到三边的距离相等.4.与⾓平分线有关的辅助线在⾓两边截取相等的线段，构造全等三⾓形；在⾓的平分线上取⼀点向⾓的两边作垂线段.要点四、全等三⾓形证明⽅法全等三⾓形是平⾯⼏何内容的基础，这是因为全等三⾓形是研究特殊三⾓形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有⼒⼯具，是解决与线段、⾓相关问题的⼀个出发点.运⽤全等三⾓形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、⾓相等、两直线位置关系等常见的⼏何问题.可以适当总结证明⽅法.1．证明线段相等的⽅法：(1) 证明两条线段所在的两个三⾓形全等.(2) 利⽤⾓平分线的性质证明⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明⾓相等的⽅法：(1) 利⽤平⾏线的性质进⾏证明.(2) 证明两个⾓所在的两个三⾓形全等.(3) 利⽤⾓平分线的判定进⾏证明.(4) 同⾓（等⾓）的余⾓（补⾓）相等.(5) 对顶⾓相等.3．证明两条线段的位置关系（平⾏、垂直）的⽅法：可通过证明两个三⾓形全等，得到对应⾓相等，再利⽤平⾏线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三⾓形；(2)倍长中线法；(3)作以⾓平分线为对称轴的翻折变换全等三⾓形；(4)利⽤截长(或补短)法作旋转变换的全等三⾓形.5. 证明三⾓形全等的思维⽅法:（1）直接利⽤全等三⾓形判定和证明两条线段或两个⾓相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个⾓所在的两个三⾓形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个⾓所在的三⾓形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三⾓形全等以补⾜条件.（3）如果现有图形中的任何两个三⾓形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三⾓形，通过构造出全等三⾓形来研究平⾯图形的性质.【典型例题】类型⼀、巧引辅助线构造全等三⾓形(1)倍长中线法1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，D E⊥DF,试判断BE＋CF与EF的⼤⼩关系，并证明你的结论.FEA举⼀反三：【变式】已知：如图所⽰，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)作以⾓平分线为对称轴的翻折变换构造全等三⾓形2、（2016?海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF ∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举⼀反三：【变式】如图，AD是ABC的⾓平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满⾜的等量关系，并加以证明.（3）利⽤截长(或补短)法作构造全等三⾓形3、（2015?新宾县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三⾓形右外⼀点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举⼀反三：【变式】如图，AD是△ABC的⾓平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）在⾓的平分线上取⼀点向⾓的两边作垂线段4、（2016?海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF ∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．5、如图所⽰，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上⼀点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型⼆、全等三⾓形动态型问题6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂⾜分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举⼀反三：【变式】（2015?临沂模拟）【问题情境】如图，在正⽅形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正⽅形外⾓∠DCG 的平分线CF于点F．【探究展⽰】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意⼀点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成⽴？若成⽴，请予以证明；若不成⽴，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意⼀点，求证：AE=EF．【巩固练习】⼀.选择题1.（2015春?龙岗区期末）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．（1）（5）（2）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（4）（6）（1）2.（2016?深圳⼆模）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是⼀个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的⾯积=AC?BD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3. 如图, AB∥CD, AC∥BD, AD与BC交于O, AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, 那么图中全等的三⾓形有( )A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上⼀点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B．FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC5. 如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6. 根据下列条件能画出唯⼀确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同⼀条直线上.下⾯的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的⾯积S是（）A．50 B．62 C．65 D．68⼆.填空题9. 在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满⾜条件的E点的坐标．10. 如图，△ABC中，H是⾼AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.12. 如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三⾓形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15. （2015?黄冈中学⾃主招⽣）如图所⽰，已知P是正⽅形ABCD外⼀点，且PA=3，PB=4，则PC的最⼤值是．16. （2016?抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂⾜分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所⽰，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的⾓平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.20．（2015?于洪区⼀模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐⾓，点D为射线BC上⼀点，连接AD，以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成⽴，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐⾓，点D 在线段BC上，当∠ACB满⾜什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．。

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第十二章《全等三角形 》 知识点归纳一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一)、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1)形状相同的图形；（2）大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2、全等三角形的性质(1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1)三边对应相等的两个三角形全等。

SSS（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

ASA（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.AAS(4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.SAS（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

HL4、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

第十二章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、 角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1. 基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形•⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2. 基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3. 全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4. 角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5. 证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题:.选择题（共14小题）1 •使两个直角三角形全等的条件是（）A. —个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等2 .如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△D. AD// BC3•如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4•到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5. 如图，△ ACB^A A CBV BCB =30°则/ACA的度数为（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°6 .如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7 .如图，AD是厶ABC中/BAC的角平分线，DE± AB于点E, S SBC=7, DE=2AB=4,贝U AC 长是（）8 .如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC ◎△DEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC / A=Z DD.Z B=Z E，10. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ， 使CD=BC 再定出BF 的垂线DE,使A ，C, E 在一条直线上（如图所示），可以 说明△ EDC^A ABC,得ED=AB 因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定△ EDC^ △ ABC 最恰当的理由是（）A .边角边B .角边角 C.边边边 D .边边角 11. 如图，△ ABC 的三边AB, BC, CA 长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将 12. 尺规作图作/ AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA , OB 于C,D ,再分别以点C, D 为圆心，以大于丄CD 长为半径画弧，两弧交 于点P ,作射线OP 由作法得厶OCF ^A ODP 的根据是（ ）9. 如图，已知在△ ABC 中，CD 是AB 边上的高线, BC=5 DE=2则厶BCE 的面积等于（ ）BE 平分/ 4 D. 3: 4: 55D . 4S A BCO ： S A CAO 等△ ABC 分为三个三角形，则S A ABO ： A . 1: 1: 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3:B.有两边对应相等，且有一角为30°勺两个等腰三角形全等C•有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 仁/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE②BC=ED③/ C= / D;④/ B=Z E.其中能使厶ABC^A AED的条件有（）2个D. 1个二.填空题（共11小题）15.如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点D 到线段AB的距离是_________ cm.AD平分/ BAQ AB=5, CD=2,则厶ABD的面积17. 如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+Z 2+Z 3= _____18. 如图，△ ABC^A DEF请根据图中提供的信息，写出19. _________________________________________ 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__________________________________________ 去玻璃店.20. ____________________________________________________________ 如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm J则BD= _______ cm.21 •在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE平分/ ADC, / CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，/ B=100o，/ BAC=30，那么/ AED= 度.小英第一个得出正确答案，是___________ 度.23.如图所示，将两根钢条AA，BB'的中点O连在一起，使A A', BB可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A的长等于内槽宽AB,那么判定△ OAB^A OA的理由是______________________ .24.如图，在四边形ABCD中, / A=90°, AD=4,连接BD, BD丄CD, / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____ .三•解答题（共15小题）26.已知：如图，C 为BE 上一点，点A , D 分别在BE 两侧，AB// ED, AB=CEC=90°, CA=CB 点 M 在线段 AB 上，/ GMB 二 / A , BGcm .若 MH=8cm ，贝U BG=第11页(共36页)29. 如图，C是AB 的中点，AD=BE CD=CE 求证：/ A=Z B.30. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD// BC, BC=DC CF平分/ BCD DF// AB, BF的延长线交DC于点E.求证：(BFC^A DFQ(2) AD=DE31. 如图，已知，EC=AC Z BCE W DCA / A=Z E 求证：BC=DC32. 如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90)绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C 旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG(2)求出/ FHG的度数.33. 已知，如图，△ ABC和厶ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90，D 为AB边上一点.求证：BD=AE第13页(共36页)ABCDE的边BC CD上的点，且BM=CN, AM交BN于点P.(1) 求证：△ ABM^A BCN；(2) 求/ APN的度数.ABCD中，E 点在AD 上，其中/ BAE=/ BCE W ACD=90,且BC=CE求证：△ ABC与厶DEC全等.36. 如图，△ ABC和厶ADE都是等腰三角形，且/ BAC=90, / DAE=90, B, C, D 在同一条直线上.求证：BD=CE37. 我们把两组邻边相等的四边形叫做筝形”如图，四边形ABCD是一个筝形, 其中AB=CB AD=CD对角线AC, BD相交于点O, 0E丄AB, 0F丄CB,垂足分别是E, F.求证OE=OF第14页(共36页)D38. 如图，在△ ABC 中，/ ACB=90, CE L AB于点E, AD=AG AF 平分/ CAB 交CE于点F, DF的延长线交AC于点G.求证：(1) DF// BC; (2) FG=FE39. 如图：在厶ABC中，BE CF分别是AC AB两边上的高，在BE上截取BD=AC 在CF的延长线上截取CG=AB连接AD、AG.(1)求证：AD=AG(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由.40. 如图，已知△ ABC中，AB=AC=10cm BC=8cm 点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与厶CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在厶ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一•选择题（共14小题）1. （2013?西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A、—个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定. 做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确.故选：D.【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA SAS AAS SSS HL,可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等.2. （2013?安顺）如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF^A CBE的是（）A __________ ?A. Z A=Z CB. AD=CBC. BE=DFD. AD// BC【分析】求出AF=CE再根据全等三角形的判定定理判断即可.【解答】解：：AE=CF••• AE+EF=C+EF,••• AF=CEA、t在厶ADF和厶CBE中|fZA=ZCIZAFD=ZCEB•••△ADF^A CBE（ASA，正确，故本选项错误；B、根据AD=CB AF=CE / AFD=Z CEB不能推出厶ADF^A CBE错误，故本选项正确；C、・.•在△ ADF和厶CBE中AF=CE[DF=BE•••△ ADF^A CBE（ SAS ,正确，故本选项错误；D、t AD// BC,•••/ A=Z C,•••在△ ADF和厶CBE中|fZA=ZC{ACEHZAFD=ZCEB•••△ ADF^A CBE（ASA ,正确，故本选项错误；故选B.【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS3. （2014秋？江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据角边角”画出.【解答】解:根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用角边角”定理作出完全一样的三角形.故选D.【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键.4. （2007?中山）至9三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.【解答】解：•••角的平分线上的点到角的两边的距离相等，•••到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.故选：D.【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为c.5. （2011?呼伦贝尔）如图，△ACB^A A C, BCB =30则/ACA的度数为（）【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可.【解答】解：•••△ ACB^A A CB•••/ ACB=/ A CB即/ ACA+Z A CB=B' CHB/ A CB•••/ ACA = B ' C,BD. 40又Z B' CB=30 •••Z ACA =30°故选：B.【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解.6. （2000?安徽）如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点. 把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处. 故选：D .【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解.7. （2014?遂宁）如图，AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE± AB于点E, S A ABC=7, DE=2 AB=4,贝U AC长是（）A. 3B. 4C. 6D. 5【分析】过点D作DF丄AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF再根据S A ABC=S ABC+&ACD列出方程求解即可.【解答】解：如图，过点D作DF丄AC于F，••• AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE丄AB，••• DE=DF由图可知，S ABC=S ABD+S ACD,.•.J-X 4X 2「X ACX 2=7，解得AC=3.故选：A.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.8. （2013?铁岭）如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC^A DEC不能添加的一组条件是（）A、BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DC C. BC=DC / A=Z D D.Z B=Z E, / A=Z D 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.【解答】解：A、已知AB=DE再加上条件BC=EC / B=Z E可利用SAS证明△ABC^A DEC故此选项不合题意；B、已知AB=DE再加上条件BC=EC AC=DC可利用SSS证明厶ABC^A DEC 故此选项不合题意；C、已知AB=DE再加上条件BC=DC / A=Z D不能证明厶ABC^A DEC故此选项符合题意；D、已知AB=DE再加上条件/ B=Z E , / A=Z D可利用ASA证明△ ABC^A DEC 故此选项不合题意；故选：C.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL注意：AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.9. （2015?湖州）如图，已知在厶ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC 交CD于点E, BC=5 DE=2则厶BCE的面积等于（）B CA. 10B. 7C. 5D. 4【分析】作EF丄BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2然后根据三角形面积公式求得即可.【解答】解：作EF丄BC于F，••• BE平分/ ABC ED丄AB，EF丄BC••• EF=DE=2S^BCE^^BC?EF= X 5 X 2=5，故选C.【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.10. （1998?南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△ EDC^A ABC,得ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ EDC^AABC最恰当的理由是（A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角【分析】由已知可以得到/ ABCN BDE又CD=BC / ACB W DCE由此根据角边角即可判定△ EDC^A ABC.【解答】解：：BF丄AB, DE± BD•••/ ABC2 BDE又••• CD=BC Z ACBN DCE•••△ EDC^A ABC （ASA）故选B.【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的.11. （2017?石家庄模拟）如图，△ ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则& ABO：S BCO：S CAO等于【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20, 30, 40,所以面积之比就是2: 3: 4.【解答】解：禾I」用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面3 C. 2: 3:4 D. 3: 4: 5积公式.做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.12. （2009?鸡西）尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于二CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得厶OCF^A ODP的根据是（）【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出厶0。

初二数学第二单元知识点：全等三角形学习是一个循序渐进的过程，需要同学们不断的学习和努力。

提供了初二数学第二单元知识点，希望能帮助大家更好的复习所学的知识。

1.全等形：定义：在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。

2.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

3.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应角相等;(2)全等三角形的对应边相等;(3)全等三角形的对应顶点位置相等;(4)全等三角形的对应边上的高对应相等;(5)全等三角形的对应角的角平分线相等;(6)全等三角形的对应中线相等;(7)全等三角形面积相等;(8)全等三角形周长相等;(9)全等三角形可以完全重合。

4.三角形全等的判定公理及推论：(1)边角边简称SAS：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

(2)角边角简称ASA：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

(3)边边边简称SSS：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

(4)角角边简称AAS：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。

各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。

5.三角形全等的判定公理(1)A.A.A.(角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。

(2)A.S.S.(角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(夹着该角)相等，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。

但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

中学生在学校里的主要任务是学习。

学习是中学生的主要活动,除了学习之外,学生也要参加一定的劳动、文艺活动、体育活动以及必要的社会活动,编辑老师提供了八年级数学上册第二单元知识点,以备借鉴。

1.全等三角形的性质:(1全等三角形的对应角相等,对应边相等.(2全等三角形中的对应线段相等.(3全等三角形的周长相等,面积也相等.2.全等三角形的判定:(1三边对应相等的两个三角形全等;(2两边及夹角对应相等的两个三角形全等;(3两角及夹边对应相等的两个三角形全等;(4两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;◆斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(本判定方法仅适用于直角三角形为大家推荐的八年级数学上册第二单元知识点的内容,还满意吗?相信大家都会仔细阅读,加油哦!。