2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 专题综合检测六 理

1．圆的方程、直线与圆的位置关系是每年高考的重点，且多出现在解答题中．其中，圆的方程的求法以及弦长问题是考查的重中之重．2．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质也是每年高考的热点，属必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题．3．圆锥曲线的综合应用由于其综合性强，难度较高，在历年的高考中出现的频率较低．此类问题以解答题的形式出现，主要涉及直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系、弦长问题及定点、定值问题．1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y －y 1＝k(x －x 1)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b.(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)．(4)截距式：x a ＋yb＝1(a≠0，b≠0)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)． 2．三种距离公式(1)A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点间的距离：AB ＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2(其中点P(x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)． (3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．3．当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时 (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[典例] (1)(2015·曲阜模拟)设a∈R，则“a＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ． 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2(3)在△ABC 中，A(1，1)，B(m ，m)(1<m<4)，C(4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( ) A.32 B.94 C.12 D.14(4)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0，4)距离为2的直线方程为______________________．[自主解答] (1)若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行，若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”，∴a 1＝2a ＋1，解得a ＝－2 或a ＝1，∴“a＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．(2)由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.(3)由两点间距离公式可得|AC|＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC|·d＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14，又1<m<4，所以1<m<2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值． (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1，2)，直线x ＝1显然不适合．设所求直线为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0，4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k|1＋k 2， ∴k＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：(1)A (2)C (3)B (4)y ＝2或4x －3y ＋2＝0判定两条直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，要注意斜率不存在的情况．1．圆的标准方程当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F>0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[典例] (1)若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．[自主解答] (1)由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b)，因此有（2－1）2＋（b －0）2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y±3)2＝4，故选D.(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a ，0)，a>－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）2＋（3）2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 答案：(1)D (2)(x ＋1)2＋y 2＝4[探究1] 若将本例(2)中条件改为“圆心在x －2y ＝0上，与y 轴的正半轴相切，截x 轴所得弦长为23”，如何求圆M 的方程？解：∵圆心在直线x －2y ＝0上，∴可设圆心为(2a ，a)． ∵圆M 与y 轴正半轴相切， ∴a>0，半径r ＝2a.又∵圆M 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a)2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆M 的圆心为(2，1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.[探究2] 若将本例(2)中条件改为“圆心在直线y ＝－x 上，与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切”，如何求圆M 的方程？解：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆M 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.解决此类问题要根据所给条件选择适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[变式训练]圆心在直线x ＋y ＝0上且过两圆x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2y ＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋y －12＝0B ．x 2＋y 2＋x －y －12＝0C ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0D ．x 2＋y 2＋x －y ＝0解析：选C 由已知圆的方程可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x 2＋y 2＋2y)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－21＋λx ＋2λ1＋λy ＝0， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，－λ1＋λ.又∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴11＋λ－λ1＋λ＝0， ∴λ＝1，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.解答直线与圆的位置关系问题的两种方法(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[自主解答] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和直线y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a∈R； 由5a 2－12a≤0，得0≤a≤125.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．[变式训练]1．(2015·江西八校联考)过点P(2，3)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，与圆相切于A ，B ，则直线AB 的方程为________．解析：依题意圆(x －1)2＋y 2＝1圆心M(1，0)，P ，A ，M ，B 四点共圆，其直径为|PM|＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴四边形PAMB 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －32)2＝52，∴直线AB 的方程为x＋3y －2＝0.答案：x ＋3y －2＝02．(2015·保定模拟)过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．解析：当AB 垂直于直线CM 时，∠ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线l 的斜率为k ，则k×4－23－1＝－1，得k ＝－1，又直线l 过M(1，2)，所以y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0，故直线l 的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝03．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为________．解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a)2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b)2＝1，所以C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b)2≤18，所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时取“＝”．∴a＋b 的最小值为－3 2. 答案：－3 2一、选择题1．(2015·安康模拟)“m＝2”是“直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据直线与圆相切，得|m|2＝2，m ＝±2，所以为充分不必要条件．2．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13 C ．－23D ．－2解析：选D 直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·(－1)＝－1，所以a ＝－2，所以选D. 3．(2015·牡丹江模拟)过点P(4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20解析：选A 由题意知P ，A ，B ，O 四点共圆，所以△OAB 的外接圆是以PO 为直径的圆，圆心为(2，1)，半径为|PO|2＝5，所以△OAB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，故选A.4．已知P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2 解析：选D 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k>0，所以k ＝2.5．(2015·绵阳模拟)若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4，6)B ．[4，6]C ．(4，5)D ．(4，5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4，6)，选A.二、填空题6．圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝________． 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.答案：－47．(2015·哈尔滨模拟)设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为________．解析：因为直线l 恒过定点(0，1)，由x 2＋y 2－2x －3＝0变形为(x －1)2＋y 2＝4，易知点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，依题意，k·1－00－1＝－1，即k ＝1，所以直线l 的方程为y＝x ＋1.答案：y ＝x ＋18．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2 三、解答题9．(2015·石家庄模拟)已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R.因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， 所以R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.由于|MN|＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k －2＋2k|k 2＋12＋(19)2＝(25)2⇒k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P(x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P 的坐标．解：(1)将圆C 配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6，∴直线方程为y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM|取最小值时，|PO|取最小值， ∴直线PO⊥l，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.11．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求的取值范围．解：(1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8， 故圆心M(1，1)，半径R ＝2 2. 圆O 的圆心为O(0，0)， 因为|MO|＝2<22，所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M. 设圆O 的半径为r ， 因为圆O 内切于圆M ， 所以|MO|＝R －r ， 即2＝22－r ， 解得r ＝ 2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)不妨设E(m ，0)，F(n ，0)，且m<n.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，故E(－2，0)，F(2，0)．设D(x ，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，得|DE|·|DF|＝|DO|2， 即（x ＋2）2＋y 2×（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2， 整理得x 2－y 2＝1. 而＝(－2－x ，－y)，＝(2－x ，－y)，所以＝(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1.由于点D 在圆O 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1，得0≤y 2<12，所以－1≤2y 2－1<0， 即的取值范围为[－1，0)．12．(2015·平顶山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝x 与圆心在第二象限的圆C 相切于坐标原点O ，且圆C 与圆x 2＋y 2－2x －2y －6＝0的面积相等．(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使点Q 到定点F(4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)圆x 2＋y 2－2x －2y －6＝0的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝8，圆C 与圆x 2＋y 2－2x －2y －6＝0的面积相等，∴两圆的半径相等，∴圆C 的半径为2 2.设圆C 的圆心为C(a ，b)，则圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝8，∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8，b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C(a ，b)在第二象限，故a<0，b>0. ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q 满足题意，设Q(x ，y)，则有⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋y 2＝16，（x ＋2）2＋（y －2）2＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝125或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)．∴存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125，使点Q 到定点F(4，0)的距离等于线段OF 的长．1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(2a<|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F 不在直线l 上，PM⊥l 于M. 2．圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．(1)定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p.[典例] (1)(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1 C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1(2)(2015·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y23＝1 (3)已知椭圆x 24＋y2b 2＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A.1B. 2C.32 D.3 [自主解答] (1)由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN 中，BM∥AN，∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1. (2)由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝ba×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y23＝1.(3)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB|＝4a ＝8，所以|AB|＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案：(1)A (2)D (3)D当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．[变式训练]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．解析：∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a＝2b ，∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y25＝1.答案：x 220＋y25＝12．(2015·赣州模拟)F 1是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点P 是双曲线右支上一点，若线段PF 1与y 轴的交点M 恰为PF 1的中点，且|OM|＝a(O 为坐标原点)，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：选B ∵M 是线段PF 1的中点，∴OM∥PF 2， ∵|OM|＝a ， ∴设|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2a ＋2a ＝4a ，在直角三角形F 1PF 2中，|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 即16a 2＝4a 2＋4c 2， 即3a 2＝c 2，则c ＝3a ， 则离心率e ＝c a ＝3aa ＝3，选B.1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±ba x.注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典例] (1)(2015·浙江高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．(2)(2015·山东高考)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[自主解答] (1)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bc x 交于点M.由题意知M 为线段QF 的中点，且OM⊥F Q. 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q∥OM，∴F 1Q⊥QF，|F 1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF 中，tan∠MOF＝|MF||OM|＝bc，|OF|＝c ， 可解得|OM|＝c 2a ，|MF|＝bca，故|QF|＝2|MF|＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM|＝2c2a .由椭圆的定义得|QF|＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a＝ b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.(2)如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F(c ，0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c)．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b 2＝1，化简得y＝－3b 或y ＝3b(点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b)，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c)，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.答案：(1)22 (2)2＋ 3解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[变式训练]1．(2015·云南师大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4ax(a>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，∴a2＋a ＝3，∴a＝2，故选A.2．(2015·长春二模)若F(c ，0)是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率e ＝( )A.53B.43C.54D.85解析：选C 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a·atan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得出方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A≠0，则：当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ<0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法．[典例] 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且与同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．[自主解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1，②联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x28＝1.(2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)． 因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是可由(x 1－x 2)2＝(x 3－x 4)2得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0， 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2，⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. [探究1] 在本例条件下，是否存在直线l ，使以CD 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.∴x 1＋x 2＝－16k 9＋8k 2，x 1x 2＝－649＋8k 2.又以CD 为直径的圆恰好过原点O ， ∴＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝0，即－64（1＋k 2）9＋8k 2－16k 29＋8k 2＋1＝0，即64(1＋k 2)＋16k 2＝9＋8k 2， ∴72k 2＝－55.故k 不存在，即不存在直线l 使以CD 为直径的圆过坐标原点O.[探究2] 设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M.证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．证明：由x 2＝4y 得y′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214. 令y ＝0得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而＝(x 1，y 1－1)，于是＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．[变式训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求的取值范围．解：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，得当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P(－2，0)，Q(2，0)，得＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k(k≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1. 此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.即y ＝－4mx －m.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m)(4mx 4＋m)＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝（4m 2－1）（－16m 2）32m 2＋1＋（1＋16m 2）（2m 2－2）32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1，1<t<29，则F 2P ―→·F 2Q ―→＝1932－5132t .又1<t<29，所以－1<<125232. 综上，的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232.一、选择题1．(2015·菏泽模拟)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x，可得b a ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2，故离心率为e ＝c a＝10.2．椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：选B 由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则纵坐标为y ＝32×4－x 2，由PA 2的斜率得：1≤32× 2＋x 2－x ≤2，即23≤ 2＋x 2－x ≤43，PA 1的斜率为32× 2－x2＋x，所以PA 1斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.3．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x 解析：选B 依题意，设M(x ，y)，|OF|＝p 2，所以|MF|＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.4．(2015·上饶模拟)已知点M(－6，5)在双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±52x B ．y ＝±255x C ．y ＝±23x D ．y ＝±32x解析：选A 因为双曲线的焦距为12，则c ＝6，将点M 的坐标代入双曲线的标准方程，并联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧36a 2－25b 2＝1，a 2＋b 2＝36，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝25，故渐近线方程为y ＝±52x ，故选A.5．(2015·长沙模拟)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，离心率e ＝2，右焦点F(c ，0)．方程ax 2－bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P(x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定解析：选C 由双曲线的性质可得e ＝c a ＝2，c ＝2a ，∴c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，∴a＝b ，故方程ax 2－bx －c ＝0可化为x 2－x －2＝0，得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－2，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1＋22<8，故点P(x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝8的内部．二、填空题6．(2015· 徐州、连云港、宿迁模拟)已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为________．解析：由抛物线x 2＝8y 得焦点为F(0，2)，则知c ＝2，而离心率e ＝c a ＝2，得a ＝1，那么b 2＝c 2－a 2＝3，又焦点在y 轴上，则双曲线C 的标准方程为y 2－x23＝1.答案：y 2－x23＝17．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左，右焦点，若在直线x ＝a2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cy b 2－2c 2，由kF 1P·kQF 2＝－1，得y 2＝（a 2＋c 2）·（2c 2－b 2）c2，y 2≥0， 但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e<1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e＜1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，18．如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是___________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x.答案：y 2＝3x 三、解答题9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m|5，由d ＜1得|m|＜52.(*) ∴|CD|＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB||CD|＝534得 4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.10．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知＝613.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．解：(1)∵A(－a ，0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a)，B(x 1，y 1)，令x ＝0，则y ＝2a ， ∴C(0，2a)， ∴＝(x 1＋a ，y 1)，＝(－x 1，2a －y 1)， ∵＝613，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ，∵点B 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－13192＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12192·a2b2＝1，∴b 2a 2＝34， ∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e＝12.(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ，∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0， ∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t)＝0， 整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P(x 1，y 1)，则有x 1＝－8km 2（3＋4k 2）＝－4km 3＋4k 2，y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2， 又M(1，0)，Q(4，4k ＋m)，∵x 轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4km 3＋4k 2，－3m 3＋4k 2·(－3，－(4k ＋m))＝0恒成立，整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1.11．(2015·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，·＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为·＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x.(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0. y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x M ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB|＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.12．(2015·太原模拟)已知椭圆E 的两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过P(－2，0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且＝3，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1，2a －22＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222，∴a＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16>0得m 2>2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4mm 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.②由＝3，得y 2＝3y 1.③由①②③解得m 2＝4，符合m 2>2.不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －23，则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 又B(0，1)，∴圆的半径r ＝103. ∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝109.求解范围、最值问题的五种方法解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．[典例] (2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值．[自主解答] (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y24＝1.①设P(x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t. 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.求解最值或范围问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[变式训练]已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A(m ，0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解：(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x －m ），x 26＋y22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，即－23<m<23，① 而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m)·33(x 2－m) ＝13[x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2]＝m 2－66. 欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则·>0，又F(－2，0)， 即·＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m(m ＋3)>0，即m<－3或m>0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0，23)．1．定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到。

专题综合检测(六)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是(D )A.12B.33C.32D. 3 2．(2014·上海卷)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是(B )A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解析：由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P ，Q 是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP →与OQ →不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．3．已知椭圆x 2a 2＋y225＝1(a ＞5)的两个焦点为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为(D )A ．10B ．20C ．241D ．4414．已知直线l 1：(3＋m)x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m)y ＝8平行，则实数m 的值为(A ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7 D.1335．椭圆x 225＋y29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为(A )A ．9B ．12C ．10D ．86．椭圆x 216＋y24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是(D )A ．3 B.11 C ．2 2 D.107．(2014·全国大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为(A ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y24＝1 解析：如图，∵e ＝c a ＝33，∴a ＝3c ，∴b 2＝a 2－c 2＝2c 2，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，∴a ＝3，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴所求的椭圆成为x 23＋y22＝1.故选A.8．已知点P 是椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为－43，则△PF 1F 2的面积是(C )A ．24 3B ．12 3C ．6 3D ．3 39．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：由已知得b a ＝2，∴b ＝2a ，在方程y ＝2x ＋10中令y ＝0，得x ＝－5，∴－c ＝－5，∴c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，a 2＝5，b 2＝20，∴所求双曲线的方程为x 25－y220＝1.故选A.10．如果椭圆x 236＋y29＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(D )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝011．(2015·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为(A )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F ，椭圆与过原点的直线交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为(B )A.35B.57C.45D.67解析：如图，在△AFB 中，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF ，∴62＝102＋|BF|2－20|BF|×45，解得|BF|＝8.∴|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，△AFB 为直角三角形．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．与椭圆x 24＋y 23＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是x 28＋y26＝1或3y 225＋4x225＝1．14．(2015·新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．解析：法一：∵ 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴ 可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵ 双曲线过点(4，3)， ∴ λ＝16－4×(3)2＝4， ∴ 双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵ 渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3＜2，∴ 点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴ 双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为 x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， ∴ 双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.15．若过定点(－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k16．(2015·陕西卷)若抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p解析：抛物线的准线方程为x ＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆C 的焦点为F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标．解析：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得10x 2＋36x ＋27＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15. 也就是说线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.18．(12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．解析：由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45，所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以双曲线方程为y 24－x212＝1.19．(12分)(2014·新课标Ⅱ卷)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN →|＝5|F 1N →|，求a ，b.分析：本题第(1)问，可结合MF 2与x 轴垂直、由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率；对第(2)问题，观察到MF 2是三角形的中位线，然后结合向量的坐标运算及椭圆方程，可求出a ，b.解析：由题意知，|MF 2|2c ＝34，所以|MF 2|＝32c ，由勾股定理可得：|MF 1|＝52c ，由椭圆定义可得：32c ＋52c ＝2a ，解得C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，由|MN →|＝5|F 1N →|得|DF 1→|＝2|F 1N →|，设N(x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入c 的方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 及c＝a 2－b 2代入9c 24a 2＋1b 2＝1得：9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27.20．(12分)求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解析：设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12（36＋λ）＞0，那么|AB|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1）⎝⎛⎭⎪⎫82－4×36＋λ3＝8（12－λ）3＝833， 解得λ＝4，所以所求双曲线方程是x 24－y 2＝1.21．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)若以线段AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A ，B 两点关于直线y ＝12x 对称？说明理由．解析：(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－y 2＝1，y ＝ax ＋1，消去y 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a2，Δ＝（2a ）2＋8（3－a 2）＞0.由于以线段AB 为直径的圆经过原点，那么OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，得(a 2＋1)×－23－a ＋a×2a 3－a ＋1＝0，a 2＜6，解得a＝±1.(2)假定存在这样的a ，使A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，那么⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝1，3x 22－y 22＝1，两式相减得3(x 21－x 22)＝y 21－y 22， 从而y 1－y 2x 1－x 2＝3（x 1＋x 2）y 1＋y 2.①因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝12×x 1＋x22，y 1－y2x 1－x 2＝－2，代入①式得到：－2＝6，矛盾．也就是说：不存在这样的实数a ，使A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线y ＝12x 对称．22.(12分)(2015·陕西卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解析：(1)过点(c ，0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB|＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB|＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB|＝10，得10（b 2－2）＝10， 解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y23＝1.。

——教学资料参考参考范本——高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十六圆锥曲线的综合问题理______年______月______日____________________部门1．(20xx·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以C的方程为＋＝1.(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(20xx·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．解析：(1)由抛物线C ：y2＝2px 过点P(1,1)，得p ＝. 所以抛物线C 的方程为y2＝x.抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k≠0)，l 与抛物线C 的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k －4)x ＋1＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x1，x1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为. 因为y1＋－2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx1＋12x2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx2＋12x1－2x1x2x2＝12x2＝＝0，所以y1＋＝2x1， 故A 为线段BM 的中点．3．(20xx·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P(4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.4．(20xx·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k1x －交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2＝.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T.求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解析：(1)由题意知e ＝＝，2c ＝2，所以a ＝，b ＝1， 所以椭圆E 的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程得(4k ＋2)x2－4k1x －1＝0. 由题意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝ |x1－x2| ＝ .由题意可知圆M 的半径r 为r ＝|AB|＝ .由题设知k1k2＝，所以k2＝， 因此直线OC 的方程为y ＝x.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y＝24k1x，得x2＝，y2＝， 因此|OC|＝＝ .由题意可知sin＝＝，而＝1＋8k21 1＋4k2122 31＋k211＋8k21 1＋2k21＝，令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，因此＝＝3212＋1t－1t2＝≥1，当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，所以sin≤，因此≤，所以∠SOT的最大值为.综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.5．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1－y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．6．(20xx·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：＋＝1.将P(1，)代入可得b2＝3，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.|AC|＝|x1－x2|＝＝.∵直线BD的斜率为－，∴|BD|＝＝.∴＋＝＋＝.综上，2λ＝＋＝，∴λ＝.故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．。

专题六 自选模块第1讲 “复数与导数”模块第1课时 复数(建议用时：40分钟)一、选择题1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 答案 D2．(2015·湖北卷)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析 法一 i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A. 法二 i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.答案 A3．设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )．A ．－2B ．2C ．－2iD ．2i解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B4．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )．A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.答案 A5．(2015·新课标全国Ⅱ卷)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B. 答案 B 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝ ( )．A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－i )2(1＋i )(1－i ) 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i 2 014＝i 4×503＋2＝－1. 答案 C7．(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )．A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.选C. 答案 C8．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析 法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题9．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 解析 ∵z ＝(2－i)2＝3－4i ， ∴|z |＝32＋(－4)2＝5. 答案 510.⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 111．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析 由题意知⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案 －212．(2015·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析 由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案 3 三、解答题13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.14．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎨⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3. 15.如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO→所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA→所表示的复数；(3)求B 点对应的复数． 解 (1)AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC→＝AO →， ∴BC→所表示的复数为－3－2i. (2)CA→＝OA →－OC →， ∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.。

2016版高考数学大二轮总复习-增分策略-专题六-解析几何-第3讲-圆锥曲线的综合问题试题第3讲圆锥曲线的综合问题1．(2014·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A．5 2 B.46＋ 2 C．7＋ 2 D．6 22．(2015·陕西)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1 (2015·重庆)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e的取值范围．思维升华 解决范围问题的常用方法： (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．热点二定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．思维升华(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．跟踪演练2 已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．热点三探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3 如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM 的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．思维升华解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 跟踪演练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB→＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合． (1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．提醒：完成作业专题六第3讲二轮专题强化练专题六第3讲 圆锥曲线的综合问题A 组 专题通关1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2B.1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a2．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32D. 33．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．164．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能5．若点O 和点F 分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为_______________________________________________________________．7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．B 组 能力提高10．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．11．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为________． 12．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．学生用书答案精析第3讲圆锥曲线的综合问题高考真题体验1．D [如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程x210＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5 2.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋2＝62，故选D.]2．(1)解由题设知ca＝22，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝2，所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k ≠2)，代入x22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4kk －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.热点分类突破例1 解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此 2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a λ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝⎛⎭⎪⎫2a λ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ22＝4c 2，两边除以4a 2，得 41＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－121＋λ＋1＋λ22＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋t －22t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.跟踪演练1 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a2＋322b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x24＋y23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时， |PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，1PF QS V ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k23＋4k2. 1PF QS V ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋k43＋4k22，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴1PF QSV ＝3－31t ＋132＋43， ∵0<1t <13，∴1PF QSV ∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时1PF QS V 最大，且最大面积为3.设△PF 1Q 内切圆半径为r ， 则1PF QS V ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大， ∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.例2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y23c2＝1.又由题意知2＋c2＋12＝10，解得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0. 则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k 2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， ∴3m 2－4k23＋4k2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k2＋4＝0， ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②，∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.跟踪演练2 (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y23＋x22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 2)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0， 设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 2－32－x 20， ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 2－32－x 2＝－1. ∴两条切线的斜率之积为常数－1.例3 解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程为x ＝－1.(2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.由抛物线准线l：x＝－1，可知M(－1，－2k)．又Q(1,2)，所以k3＝2＋2k1＋1＝k＋1，即k3＝k＋1.把直线AB的方程y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，并整理，可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.又Q(1,2)，则k1＝2－y11－x1，k2＝2－y21－x2.因为A，F，B共线，所以k AF＝k BF＝k，即y1x1－1＝y2x2－1＝k.所以k1＋k2＝2－y11－x1＋2－y21－x2＝y1x1－1＋y2x2－1－2x1＋x2－2x1x2－x1＋x2＋1＝2k－22k2＋4k2－21－2k2＋4k2＋1＝2k＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立． 跟踪演练3 解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1，从而，OA→·OB→＋λPA→·PB→＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－2λ－4k2＋－2λ－12k2＋1＝－λ－12k2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k2＋1－λ－2＝－3，此时OA→·OB→＋λPA→·PB→＝－3为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，OA→·OB→＋λPA→·PB→＝OC→·OD→＋PC→·PD→＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA→·OB→＋λPA→·PB→为定值－3.高考押题精练解(1)因为C1，C2的焦点重合，所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x24＋y23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k2＝0， 则x 1＋x 4＝2k 2＋4k2，x 1x 4＝1，所以|PN |＝1＋k 2·x 1＋x 42－4x 1x 4＝41＋k2k2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2， 所以|MQ |＝1＋k 2·x 2＋x 32－4x 2x 3＝121＋k 23＋4k 2.若|PN ||MQ |＝2， 则41＋k 2k2＝2×121＋k 23＋4k 2，解得k ＝±62.故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.二轮专题强化练答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题1．C [由ax 2＋by 2＝1，得x21a ＋y21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b>0， 所以0<a <b .]2．D [由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.]3．C [依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.]4．A [∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2aca2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝34a 2.∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．] 5．C [设P (x 0，y 0)，则x204＋y 203＝1，即y 2＝3－3x204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.] 6．－2解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设 P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2. 7．(1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b 2>1，即2ac >1，所以e＝ca<2，又e>1，故1<e<2.8．(0,2)解析设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝14x2，则y′＝12x，则在点A处的切线方程为y－y1＝12x1(x－x1)，化简得，y＝12x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝12x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x1t－y1，－2＝12x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝12xt－y，即直线AB的方程为y－2＝12tx，因此直线AB恒过定点(0,2)．9．(1)解由题意知b＝1，e＝ca＝22，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x＋8k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2， x 1x 2＝8k 2－21＋2k2. 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)．令y ＝0得：x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k x 1＋x 2k x 1＋x 2－4＝2x 1x 2－2x 1＋x 2x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k21＋2k 28k21＋2k 2－4＝1， 故直线AN 恒过定点(1,0)． 10．[1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎨⎧y ＝x 2，x 2＋y －a2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎨⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.11.116解析 由⎩⎨⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4， ∴y A ＝14，y D ＝4.直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)， ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116. 12．(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 代入l 的方程得b ＝m 3－k 3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。

补偿练六 不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R |2x ＋1<0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12，B ＝{}x |－1<x <2，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12. 答案 B2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －a.其中正确的命题的序号是 ( )．A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③解析 当a >0>b 时，1a >1b ，故命题①错误；当a >0，b <0，且a <|b |，k 是偶数时，命题②错误；当ac 2>bc 2时，因为c 2>0，所以a >b ，即命题③正确；对于命题④，因为c >a ，所以c －a >0，从而1c －a >0，又a >b >0，所以a c －a >b c －a，故命题④正确． 答案 C3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )．A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案 A4．已知正数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则xy 有( )．A ．最小值12B ．最大值12C ．最小值144D ．最大值144解析 ∵x ，y 是正数， ∴1＝4x ＋9y ≥236xy ＝121xy ，∴xy ≥144，等号在4x ＝9y ＝12， 即x ＝8，y ＝18时成立． 答案 C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤8，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( )．A ．－2B ．5C ．6D ．7解析 由z ＝x －y ，得y ＝x －z .作出不等式对应的平面区域BCD ，平移直线y ＝x －z ，由平移可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，直线的截距最大，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝2x －1，x ＋y ＝8，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝5，即C (3,5)，代入z ＝x －y 得最小值为z ＝3－5＝－2. 答案 A6．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )．A ．－16B ．－6C ．－83 D ．6解析 由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z3，先作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.答案 B7．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )．A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k的区域BOC ，如图所示，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6， 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3 ，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3. 答案 A8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.14 D.16解析 由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－a b x ＋z b ，可知斜率为－ab <0，作出可行域如图，由图象可知当直线y ＝－a b x ＋z b 经过点D 时，直线y ＝－a b x ＋zb 的截距最小，此时z 最小为2，由⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即D (2,3)，代入直线ax ＋by ＝2得2a ＋3b ＝2，又2＝2a ＋3b ≥26ab ，所以ab ≤16，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab 的最大值为16.答案 D 二、填空题9．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________． 解析 因为点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m2n ，即m 2＝n 2时取等号．所以1m ＋1n 的最小值为2. 答案 210．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值为________． 解析 lg 2x ＋lg 8y ＝x lg 2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 答案 411．已知P (x ，y )满足⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2.则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为________．解析 令x ＋y ＝u ，y ＝v ， 则点Q (u ，v )满足⎩⎨⎧0≤u －v ≤1，0≤u ≤2，在uO v 平面内画出点Q (u ，v )所构成的平面区域如上图，易得其面积为2. 答案 212．已知x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x 2＋y 2≤4，x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是________．解析 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－2x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |22＋1＝2，即z ＝±25，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是2 5.答案 2 513．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是________．解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，设z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，不等式组对应的区域为BCD .平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点C 时，直线y＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即C (1,1)，代入z ＝2x ＋y 得z ＝2x ＋y ＝3，所以OM →·ON→的最大值为3.答案 314．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域为D .若圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是________．解析 不等式对应的区域为ABE .圆心为(－1，－1)，在区域中，A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D ，则有0<r <|AC |或r >|BC |.由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，即A (1,1)．由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1,3)． 所以|AC |＝22，|BC |＝25， 所以0<r <22或r >25，即r 的取值范围是(0,22)∪(25，＋∞)． 答案 (0,22)∪(25，＋∞)15．已知f (x )＝a (x ＋2a )(x －a －3)，g (x )＝2－x －2，同时满足以下两个条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(1，＋∞)，f (x )·g (x )<0成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 根据①∀x ∈R ，f (x )<0，或g (x )<0，即函数f (x )和函数g (x )不能同时取非负值，由g (x )<0⇒x >－1，要使对于任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立，则x ≤－1时，f (x )＝a (x ＋2a )(x －a －3)≤0恒成立，故a <0，且两根－2a 与a ＋3均不比－1小，得－4≤a ≤0①.根据②∃x ∈(1，＋∞)，f (x )·g (x )<0成立，而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，故应存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)>0，只要1>－2a 或1>a ＋3即可，所以a >－12或a <－2②，由①，② 求交集，得－4<a <－2或－12<a <0，即实数a 的取值范围是(－4，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.答案 (－4，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

题型六 解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答 案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4， 解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

第2课时概率(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()．A．1 B.1121 C.1021 D.521解析从袋中任取2个球共有C215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C110C15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.答案 C2．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()．A.15 B.25 C.35 D.45解析取两个点的所有情况为C25＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.故选C.答案 C3．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A.23 B.25 C.35 D.910解析事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10.“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910. 答案 D4．已知P 是△ABC 所在平面内一点，P B →＋P C →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )．A.14B.13C.23D.12解析 取边BC 上的中点D ，由P B →＋P C →＋2P A →＝0，得P B →＋P C →＝2A P →，而由向量的中点公式知P B →＋P C →＝2P D →，则有A P →＝P D →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概型的概率公式知，所求的概率为12. 答案 D5．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x ＋y ＝8上的概率为( )．A.16B.112C.536D.19解析 依题意，以(x ，y )为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x ＋y ＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P ＝336＝112. 答案 B6．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )．A.122B.111C.322D.211解析 基本事件总数为C 212，事件包含的基本事件数为C 26－C 23，故所求的概率为P ＝C 26－C 23C 212＝211.答案 D7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面AB1D1平行的概率为()．A.314 B.514 C.328 D.528解析画出该长方体的直观图，可知与平面AB1D1平行的直线有BD，BC1，DC1，共3条，八个顶点任两点连线共有C28条，故该直线与平面AB1D1平行的概率为P＝3C28＝328.答案 C二、填空题8．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案5 69．(2014·江西卷)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解析从10件产品中取4件，共有C410种取法，取到1件次品的取法为C13C37种，由古典概型概率计算公式得P＝C13C37C410＝3×35210＝12.答案1 210．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．解析设正六边形的6个顶点分别为A，B，C，D，E，F，则从6个顶点中任取4个顶点共有C46＝15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为1 5.答案1 511．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)．故所求事件的概率P＝610＝35.答案3 512．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e>5的概率是________．解析由e＝1＋b2a2>5，得b>2a，当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝636＝16.答案1 6三、解答题13．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．解(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C13×C13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件数m＝C12·C11＋C11·C12＝4，∴P(A)＝mn＝49.(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件数m＝2C23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝615＝25.14．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.15．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．解由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，事件为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.∵事件B包含的基本事件数m＝C13C13＝9.∴P(B)＝936＝14，则P(B)＝1－P(B)＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为3 4.(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P(C)＝836＝29，从而P(C)＝1－P(C)＝1－29＝79.故点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为7 9.。

【3份】2016江苏高考数学（理科）大二轮总复习与增分策略专题六解析几何目录专题六解析几何 (1)第1讲直线与圆 (1)二轮专题强化练 (5)专题六解析几何专题六解析几何 (5)学生用书答案精析 (7)二轮专题强化练答案精析 (12)第2讲椭圆、双曲线、抛物线 (17)二轮专题强化练 (21)学生用书答案精析 (23)二轮专题强化练答案精析 (30)第3讲圆锥曲线的综合问题 (36)二轮专题强化练 (44)学生用书答案精析 (47)二轮专题强化练答案精析 (54)专题六解析几何第1讲直线与圆1．(2015·安徽改编)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是________．2．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.例1(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为____________________________________________________________．热点二圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为_________________． (2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为____________________． 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·江苏名校联考)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是_______________________________．(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为____________．思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为________．(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为________．1．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________________________________________________________________________．2．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为________．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.提醒：完成作业专题六第1讲二轮专题强化练专题六 解析几何专题六 解析几何第1讲 直线与圆A 组 专题通关1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y －1＝0垂直，则l 的方程是________________． 2．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是________．3．过P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为________．4．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是____________．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________．6．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.7．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____.8．(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且AB ＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________________________． (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN .B 组 能力提高11．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为________________________________________________________________________． 12．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是_______________________________________．13．(2015·淮安模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________.14．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋1)y －7a －4＝0，其中a ∈R . (1)求证：不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 的方程和最短的弦长； (3)求过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线方程．学生用书答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆高考真题体验 1．2或12【详细分析】∵圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或b ＝12. 2．2【详细分析】如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又OD ＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2OD ＝2. 3．4±15【详细分析】圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以AB ＝BC ＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.4．[－1,1]【详细分析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON . M 点的纵坐标为1， MN 与⊙O 相切于点N . 设∠OMN ＝θ， 则θ≥45°， 即sin θ≥22， 即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2. ∵M (x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 热点分类突破例1 (1)3或5 (2)12或－6【详细分析】(1)当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，则两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5.但必须满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． (2)依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1. 所以|3m ＋5|＝|m －7|.所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 所以8m 2＋44m －24＝0. 所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.跟踪演练1 x －2y －1＝0【详细分析】由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上， 所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0.例2 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)(x ＋1)2＋y 2＝4【详细分析】(1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.跟踪演练2 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8 【详细分析】(1)由题意知K AB ＝2，AB 的中点为(4,0)， 设圆心为C (a ，b )，∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1∴C (2,1)，∴r ＝CA ＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设△OAB 的外心为C ，连结OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则OD ＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝OC ＝23OD ＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 例3 (1)x ＋y －5＝0 (2)2【详细分析】(1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)． 设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1， 由垂径定理知CP ⊥MN ，所以k MN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)， 即x ＋y －5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r ＝1，四边形P ACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·PB ，即PB 的最小值为2，此时PC 最小，PC 为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 跟踪演练3 (1)1 (2)3 2【详细分析】(1)因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长AB ＝2r 2－d 2＝24－2＝22， 又坐标原点O 到线段AB 的距离为12，所以S △OAB ＝12×22×12＝1.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9.由(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”． 高考押题精练 1．x 2＋(y ±33)2＝43【详细分析】由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23， 即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.2．1或－5【详细分析】圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，圆上的点到直线AB 的最短距离为 d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5. 3.102【详细分析】联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0， 可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)． 故222－(5a)2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 二轮专题强化练答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆1．3x ＋2y －1＝0【详细分析】方法一 由题意可得l 的斜率为－32，所以直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二 设直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将点(－1,2)代入，得C ＝－1， 所以l 的方程是3x ＋2y －1＝0. 2．(4，＋∞)【详细分析】由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4. 3．±24【详细分析】由题意得直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l 的距离d ＝|2k －3－2k |k 2＋1＝3k 2＋1， 由圆的性质可得d 2＋12＝r 2，即(3k 2＋1)2＋12＝9， 解得k 2＝18，即k ＝±24.4．x －y ＋2＝0【详细分析】圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)． 直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 5．52－4【详细分析】两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4. 6．4【详细分析】圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 7．2【详细分析】依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意， 所以a 2＋b 2＝2.8．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1【详细分析】(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎫AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)． 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.9．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为 x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2. 11．(x －1)2＋(y －2)2＝5【详细分析】设圆心坐标为C (a ，2a )(a >0)，则半径r ＝2a ＋2a＋15≥22a ×2a＋15＝5， 当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)， 所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. 12．(－∞，－1)∪(1,2)【详细分析】依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x ＋y ＝4上，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，2a ＋0<4，由此解得a <－1或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)． 13．2±3【详细分析】x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝18， 其圆心为C (2,2)，半径为r ＝3 2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，应满足图中A ，B ，D 到直线l ：y ＝kx 的距离为22，所以，C (2,2)到直线l ：y ＝kx 的距离为32－|2k －2|1＋k2＝22，整理得k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3.14．(1)证明 方法一 在直线l 的方程中，分别取a ＝0，a ＝－1，得x ＋y －4＝0，－x ＋3＝0，联立方程得直线l 恒过定点N (3,1)． 因圆心C 的坐标为(1,2)， 圆C 的半径为r ＝5，CN ＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，故点N 在圆C 内，所以，不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点． 方法二 直线l 的方程可以化为(2x ＋y －7)a ＋x ＋y －4＝0，由a 的任意性得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以直线l 恒过定点N (3,1)．下面的解答过程与方法一相同． (2)解 当l ⊥CN 时，直线l 被圆C 截得的线段最短． 因为k CN ＝2－11－3＝－12，所以－2a ＋1a ＋1＝2，解得a ＝－34，这时，直线l 的方程为2x －y －5＝0.又CN ＝5，r ＝5，所以半弦长为52－5＝25， 最短的弦长为4 5.(3)解 因为(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以M (6，－4)在圆外，过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线有两条． 当斜率不存在时，所求的切线为x ＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y ＋4＝k (x －6)， 即kx －y －6k －4＝0，由|k －2－6k －4|k 2＋1＝5，得k ＝－1160， 这时，所求的切线方程为11x ＋60y ＋174＝0. 综上，所求的直线方程为x ＝6或11x ＋60y ＋174＝0.第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2015·福建改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E上，且PF 1＝3，则PF 2等于________．2．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则QF 等于________．3．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．4．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)； (2)双曲线：|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)；(3)抛物线：PF ＝PM ，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2＝4，则∠F 1PF 2＝________.(2)(2015·丰台模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为________．思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________________．(2)(2015·天津改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________．热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－(b a )2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋(b a)2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． (2)(2015·盐城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且BC ＝CF 2，则双曲线的渐近线方程为________________．思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．(2)(2015·重庆改编)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是___________．热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)(2015·四川改编)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB 等于________．(2)(2015·南开中学月考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________．1．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上有两点A ，B ，若直线l 的方程为x ＋2y－2＝0，且AB ⊥l ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为________．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．提醒：完成作业 专题六 第2讲二轮专题强化练第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A 组 专题通关1．已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0<m <9)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________．2．(2015·广东改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．3．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________．4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．5．(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．6．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________．7．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.8．(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．9．(2015·扬州模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．10．(2015·浙江)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t ＞0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．B 组 能力提高11．(2014·辽宁改编)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为____________________________．12．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是__________． 13．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为____________. 14．已知椭圆C 的长轴左、右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连结QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°.学生用书答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验1．9【详细分析】由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴PF 2－PF 1＝6，∴PF 2＝9.2．3【详细分析】∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴PQ PF ＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则AF ＝4，∴PQ PF ＝QQ ′AF ＝34， ∴QQ ′＝3，根据抛物线定义可知QQ ′＝QF ＝3. 3.22【详细分析】双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 4．x 2＋32y 2＝1 【详细分析】设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵AF 1＝3F 1B ，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1， 得b 2＝23.2热点分类突破例1 (1)120° (2)x 2－y 23＝1 【详细分析】(1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以PF 1＝2.在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，故可知b a＝3， 又∵焦点坐标为(2,0)，∴c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3.∴双曲线方程为x 2－y 23＝1. 跟踪演练1 (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 24－y 23＝1 【详细分析】(1)由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2b a ＝3，即2b ＝3a ，① 抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，43例2 (1)3－1 (2)y ＝±(3＋1)x【详细分析】(1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝b c， 又由双曲线的定义及BC ＝CF 2可得CF 1－CF 2＝BF 1＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ⇒BF 2＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒ b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为 y ＝±(3＋1)x .跟踪演练2 (1)⎣⎡⎭⎫33，1 (2)(－1,0)∪(0,1)【详细分析】(1)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cy b 2－2c 2， 由1F P k ·2QF k ＝－1，得y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0， 但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1. 当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33， 综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.(2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2a c －a ＝b 2a (c －a )， ∴k CD ＝a (a －c )b 2. ∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )， ∴k BD ＝－a (a －c )b 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )， 即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a， l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )， 即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a. ∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ). ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ). ∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1. ∴0<b a<1. 例3 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2). 因为PC ＝2AB ， 所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.跟踪演练3 (1)43 (2)x 218＋y 29＝1 【详细分析】(1)由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以AB ＝4 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0. ∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2－b 2＝c 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，又此时点(1，－1)在椭圆内，∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1. 高考押题精练 1.22【详细分析】由条件可知直线l 的斜率为－22，又AB ⊥l ，可知直线AB 的斜率为2，故a b ＝2，故a 2b 2＝2，由此可知a >b >0，则椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的焦距为2c ，则a 2a 2－c2＝2，解得椭圆的离心率为c a ＝22. 2．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12， 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2. 因为椭圆C 经过点(1，32)， 所以1a 2＋9434a 2＝1， 解得a ＝2，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ， 得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ 36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2， 所以S △AOB ＝12·F 1O ·|y 1－y 2| ＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)， 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2 ＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12. 二轮专题强化练答案精析 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．3【详细分析】已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0<m <9)中，a 2＝9，b 2＝m . AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10， ∴AB ≥2，(AB )min ＝2b 2a ＝2m 3＝2，解得m ＝3. 2.x 216－y 29＝1 【详细分析】因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1. 3. 2【详细分析】如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则AB ＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴BM ＝AB ＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝MN ＝BM sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝OB ＋BN ＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 4．x 2＝16y【详细分析】∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 5.94【详细分析】由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12OF |y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12AB ·h ＝94.6．7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7. 7. 2【详细分析】由抛物线的定义可得MQ ＝MF ，F (p2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p 4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p4，解得p ＝2，故答案为 2. 8.32【详细分析】由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ， ∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.9．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2， 解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.10．解 (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －t )，y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t ， 因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，且直线PD ：y ＝－1tx ＋1，。

第一部分 2016高考试题立体几何1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C考点：三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）185+（B ）54185+（C ）90 （D ）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）1233+π（C）1236+π（D）216+π【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂I ，,n n l β⊥∴⊥Q ．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图331【答案】3 考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．8.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．9.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD的体积的最大值是.【答案】12故2234BD x x =-+在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===⋅， 所以30BPD ∠=o .EDC B A P过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅o ，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（1）当0x ≤≤|x x ==故x =此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t'=--，因为12t ≤≤， 所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤|x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t -=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．11.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)3 (B )2 (C)3 (D)13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ）， 则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）见解析（II ） 【解析】试题分析：（I ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量n r ,再利用cos ,n m n m n m⋅=r r r rr r 求二面角.由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =o ．从而可得(C -．所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r．设(),,n x y z =r是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()3,0,3n =-r．设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u rr , 同理可取()0,3,4m =r ．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-r rr rr r ．故二面角C E-B -A 的余弦值为21919-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. 15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；295.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.ABDD'E H Oz xF（II ）如图，以H 为坐标原点，HF u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-u u u r ，()6,0,0AC =u u u r，()3,1,3AD '=u u u u r .设()111,,m x y z =u r 是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u u r，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-u r .设()222,,n x y z =r 是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r， 即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-r .于是75cos ,||||5010m n m n m n ⋅<>===⋅⨯u r ru r r u r r ， 295sin ,m n <>=u r r因此二面角B D A C '--的正弦值是295. 考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．16.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =12AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）77【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解. 试题解析：（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ， 所以223,FM FB BM =-=可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-u u u r u u u r. 设(,,)m x y z =u r是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r可得23230, 330x yy z⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m=-u r因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n=r所以7cos,||||m nm nm n⋅<>==u r ru r ru r r.所以二面角F BC A--的余弦值为77.解法二：连接'OO，过点F作FM OB⊥于点M，则有//'FM OO,又'OO⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC,可得223,FM FB BM-=过点M作MN BC垂直于点N，连接FN，可得FN BC⊥,从而FNM∠为二面角F BC A--的平面角. 又AB BC=,AC是圆O的直径，所以6sin45MN BM==o从而422FN =，可得7cos .FNM ∠=所以二面角F BC A --的余弦值为77. 考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 17.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理,如将线线垂直1111AC A B ⊥先转化到线面垂直11AC ⊥平面11ABB A ，从而得到线线垂直111AC B D ⊥，再结合11B D A ⊥F ，转化到线面垂直111C F B D A ⊥平面 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面 考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 18.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.（I ）求证：EG ∥平面ADF ； （II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）7【解析】试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ⋅=u u u r u r ，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r 为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r.设()2,,n x y z =u u r 为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-u u r.因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r，于是2sin ,3OA n <>=u u u r u u r ，所以，二面角O EF C --的正弦值（III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，因此222cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r .所以，直线BH 和平面CEF所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 19.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14AM AP =试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO .因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x .所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=PB ，所以33,cos -=>=<PB n PBn PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.20.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN P 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；85． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE uuu r 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-u u u u r ，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN . 设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =r ， 于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u r r u u u r r u u u r .考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．21.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠o ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）34． 【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．所以F B ⊥平面CFD A ．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ．所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =3cos QF ∠B = 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34． 方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ．以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，()0,0,3K ， ()1,3,0A --，13,0,2⎛⎫E ⎪ ⎪⎝⎭，13F ,0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因此， ()C 0,3,0A =u u u r ，()1,3,3AK =u u u r ，()2,3,0AB =u u u r ． 设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =r ，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =r． 由C 00m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-r ； 由00n n ⎧AB⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-r ． 于是，3cos ,m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r ． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为3．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．22.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.E D CB PA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 3 .【解析】试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面P AB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH.易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE.于是CE ⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE.所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角.在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=322， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ，所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r 的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u u u u r u u u r n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩ 设x=2，解得n=(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||n AP n AP ⋅⋅u u u u r u u u r13= . 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13. P考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．23. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

专题六 解析几何真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·广东高考)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．104．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C.3D. 25．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋16．(2015·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1二、填空题7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．8．(2015·湖南高考)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．9．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 三、解答题10．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．11.(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．12．(2015·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．专题六 解析几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·河南名校联考)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝02．(2015·西安模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72B.52C ．3D ．23．(2015·烟台模拟)等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右顶点分别为A 、B ，P 是双曲线上在第一象限内的一点，若直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是( ) A.π3B.π4C.π6D.π124．(2015·济南模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7B ．6C ．5D ．45．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F ()－25，0为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝16．(2015·石家庄质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x2a 2－y 2＝1的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0二、填空题7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________．8．(2015·潍坊三模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________． 9．(2015·石家庄质检)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． 三、解答题10．(2015·哈尔滨调研)椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且短轴长与长轴长的比是32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m ，0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当 |MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．11.(2015·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．12．(2015·潍坊三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，点O 为坐标原点，椭圆C 与曲线|y |＝x 的交点分别为A ，B (A 在第四象限)，且OB →·AB →＝32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)定义：以原点O 为圆心，a 2＋b 2为半径的圆称为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的“伴随圆”．若直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，交其“伴随圆”于P ，Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O .证明：|PQ |为定值．专题六 解析几何专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·长沙调研)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21B ．19C ．9D ．－112．(2015·福建高考)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11B ．9C ．5D ．33．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x24＝14．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝ |OA→－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值为( ) A ．1或 2 B ．1或－1 C.2或－ 2D ．－2或25．(2015·广东高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝16．(2015·郑州质检)已知点P (a ，b )是抛物线x 2＝20y 上一点，焦点为F ，|PF |＝25，则|ab |＝( ) A ．100B ．200C ．360D ．4007．(2015·唐山调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12 C.32D.3－18．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－349．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.15310．(2015·潍坊模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点F 是双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个顶点，两条曲线的一个交点为M ，若|MF |＝32，则双曲线C 2的离心率是( ) A. 2 B.173 C.263D.33311．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 216＋y 212＝1上，点F 为椭圆C 的右焦点，若点Q 满足|QF →|＝1，且QP →·QF →＝0，则|PQ →|的最大值( ) A. 3 B ．6 C.35D ．3512．(2015·河北衡水中学冲刺卷)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M 为该双曲线右支上一点，且|MF 1|2，12|F 1F 2|2，|MF 2|2成等差数列，该点到x 轴的距离为c2，则该双曲线的离心率为( ) A. 2B ．2C. 5D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．15．(2015·长沙模拟)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A ，B (不同于O 点)，则|AB |＝________．16．(2015·合肥质检)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．18．(本小题满分12分)(2015·太原模拟)已知动点A 在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上，动点B 在直线x ＝－2上，且满足OA→⊥OB →(O 为坐标原点)，椭圆C 上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3到两焦点距离之和为4 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝3的位置关系，并证明你的结论．19.(本小题满分12分)(2015·兰州模拟)已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1，0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)(2015·德州模拟)如图，已知椭圆：x 24＋y 2＝1，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED→＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．22．(本小题满分12分)(2015·衡水中学冲刺)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M .点P (m ，n )(m >p )在抛物线C 上，且△FOP 的外接圆圆心到准线l 的距离为32. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线PF 与抛物线C 交于另一点A ，证明：k MP ＋k MA 为定值； (3)过点P 作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，与y 轴分别交于D 、E 两点，求△PDE 面积取得最小值时对应的m 值．专题六 解析几何真题体验·引领卷1．D [设所求的切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，依题意，得|0＋0＋c |22＋12＝5，则c ＝±5.∴所求切线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.] 2．A [由题设，a 2＝2，b 2＝1，则c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0， 解之得－33<y 0<33.]3．C [易知AB→＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)． 则AB →·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →， 故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25. 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解之得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋2 6. 因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.]4．D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)．∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°.在Rt △BMN 中，y 1＝|MN |＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2， 所以双曲线E 的离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 2.]5．A [由几何图形知，S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A.由抛物线定义，|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1， ∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1. 因此S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.]6．D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，又渐近线过点(2，3)， 所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①又抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7， 由已知，得－a 2＋b 2＝－7，即a 2＋b 2＝7，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1.] 7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知，圆过椭圆的顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点．设圆心为(a ，0)，其中a >0. 由4－a ＝4＋a 2，解得a ＝32，则半径r ＝52.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]8.5 [不妨设F (－c ，0)，虚轴的一个端点为B (0，b )． 依题意，点B 恰为线段PF 的中点，则P (c ，2b )，将P (c ，2b )代入双曲线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝5，因此e ＝ 5.]9.22 [双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0. 又直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，所以两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋（－1）2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立． 所以c ≤22，故c 的最大值为22.]10．(1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 11．解(1)当k ＝0时，联立⎩⎨⎧y ＝a ，y ＝x 24可得，M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x2. 故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，因此曲线C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.又曲线y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a .所以曲线C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即a x ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝（kx 1＋a －b ）x 2＋（kx 2＋a －b ）x 1x 1x2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2 ＝k （a ＋b ）a. ∴b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0.则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 12．解 (1)由于椭圆的离心率e ＝33，且a 2＝b 2＋c 2， ∴a 2＝3c 2，且b 2＝2c 2，设直线FM 的斜率为k (k >0)，且焦点F (－c ，0)． 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫|kc |k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解之得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，则点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，23c 3. 由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎨⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0.因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0. 因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. 经典模拟·演练卷1．A [易知点A (1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB 垂直．∴k AB ＝－11－03－1＝－2.所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.]2．C [如图所示，过点Q 作直线l 的垂线，垂足为E .由FP →＝4FQ →，得|FP ||FQ |＝4. 所以|EQ ||AF |＝34.由抛物线C ：y 2＝8x 知|AF |＝p ＝4， ∴|EQ |＝3，根据抛物线定义，|FQ |＝|EQ |＝3.] 3．A [由β＝2α，得∠APB ＝α， 则|PB |＝|AB |＝2a ，设P (x ，y )．∴x ＝a ＋2a cos β，y ＝2a sin β，则P (a ＋2a cos β，2a sin β)， 代入双曲线方程(a ＋2a cos β)2－(2a sin β)2＝a 2，cos 2β＋cos β＝0. ∴2cos 2β＋cos β－1＝0，则cos β＝12，cos β＝－1(舍去)，故β＝π3.]4．B [由∠APB ＝90°，知点P 在以线段AB 为直径的圆上，设该圆的圆心为O ，则O (0，0)，半径r ＝m ，由圆的几何性质，当圆C 与圆O 相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC |＝32＋42＝m －1，∴m ＝6.故m 的最大值为6.]5．B [设椭圆C 的右焦点为F ′，连接PF ′.在△PFF ′中，|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝25，知∠FPF ′＝90°. 又|PF |＝4，∴|PF ′|2＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝64，则|PF ′|＝8， 因此2a ＝|PF |＋|PF ′|＝12，a ＝6.由c ＝25，得b 2＝a 2－c 2＝36－20＝16， 故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.]6．A [依题意，不妨设点M 在第一象限，且M (x 0，y 0)， 由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p2，得5＝x 0＋2.∴x 0＝3，则y 20＝24，所以M (3，26)，又点M 在双曲线上，∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35，因此渐近线方程为259x 2－y 2＝0，即5x ±3y ＝0.]7．y ＝±2x [由题意知：c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，则ba ＝2，所以渐近线的方程为y ＝±2x .]8．(x ＋1)2＋y 2＝2 [由题设，圆C 的圆心C (－1，0)，设半径为r ， 又圆C 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切， ∴|CC ′|＝22＋r . 又|CC ′|＝[2－（－1）]2＋32＝32，则r ＝2，故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.] 9．y 2＝16x [由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p 2， 设满足条件的圆心为C ′，圆的半径为r . 由πr 2＝36π，得r ＝6.又圆C ′与抛物线的准线x ＝－p2相切， ∴p 4＋p2＝6，∴p ＝8.故抛物线方程为y 2＝16x .] 10．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由焦点F (－2，0)知c ＝2. ∴a 2＝4＋b 2，① 又b a ＝32，②联立①，②得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 故－4≤x ≤4.由点M (m ，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m ≤4.① 由MP→＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－x 216＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. ∵当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点． ∴当x ＝4时，|MP→|2取得最小值． 由于x ∈[－4，4]，故4m ≥4，则m ≥1，② 由①，②知，实数m 的取值范围是[1，4]．11．解 (1)∵动圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切， ∴动圆的圆心到定点⎝⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到定直线x ＝－12的距离．根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y 2＝2x . (2)设点P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )， 则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0， 又△PBC 的内切圆方程为(x －1)2＋y 2＝1， ∴圆心(1，0)到直线PB 的距离为1.则|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋x 20＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0， 同理，得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，因此，b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.依题意，得bc <0，即x 0>2.则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2.因此△PBC 的面积S ＝12|b －c ||x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20x 0－2＝x 0＋2＋4x 0－2＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4≥2（x 0－2）·4x 0－2＋4＝8，当且仅当x 0－2＝2，即x 0＝4时上式等号成立． 故△PBC 面积的最小值为8.12．(1)解 由椭圆的对称性，知点A 、B 关于x 轴对称． 依题意，设点A (x ，－x )，B (x ，x )，则AB →＝(0，2x )． 由OB →·AB →＝(x ，x )·(0，2x )＝32，且x >0.∴2x 2＝32，x ＝32，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 代入椭圆方程，得34a 2＋34b 2＝1.① 又e ＝c a ＝63，∴69＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2②联立①，②，得b 2＝1，a 2＝3. 所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意可得“伴随圆”方程为x 2＋y 2＝4，①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝n ，代入椭圆方程得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1－n 23，N ⎝⎛⎭⎪⎫n ，－1－n 23，由OM →·ON →＝0得n ＝±32，代入x 2＋y 2＝4得y ＝±132， 所以|PQ |＝13.②当直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )且与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，即m 2<3k 2＋1， ∵x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2，可得y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－3k 21＋3k 2，由OM →·ON →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， 即3m 2－31＋3k 2＋m 2－3k 21＋3k 2＝4m 2－3k 2－31＋3k 2＝0， 所以m 2＝34(k 2＋1)，代入验证Δ>0成立．则原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝32， ∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ |＝24－34＝13，综合①，②知，|PQ |为定值13.专题过关·提升卷1．C [圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1.圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心为C 2(3，4)，半径为r 2＝25－m .由于两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，所以5＝1＋25－m ，解之得m ＝9.]2．B [由双曲线定义，||PF 2|－|PF 1||＝6，又|PF 1|＝3，知点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝6.所以|PF 2|＝9.]3．C [由双曲线性质，A 、B 项中焦点在x 轴上，不合题意．对于选项D ，其渐近线方程为y 2－x 24＝0，即y ＝±x 2.经检验，只有选项C 中y24－x 2＝1满足．]4．B [∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|， ∴以OA→，OB →为邻边作出的平行四边形OACB 为矩形， 则OA→⊥OB →，所以△OAB 为直角三角形，因此|AB |＝ 2. 于是圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离d ＝|AB |2＝22， 从而，得|0＋0－a |12＋12＝22，∴a ＝±1.]5．B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y29＝1.]6．D [由x 2＝20y 知其准线y ＝－5. ∴|PF |＝b ＋5＝25，则b ＝20.又点(a ，b )在抛物线x 2＝20y 上，∴a 2＝400，|a |＝20， 因此|ab |＝|20×20|＝400.]7．D [设F (－c ，0)，点A (m ，n )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c ·（－3）＝－1，3（m －c ）2＋n2＝0，解之得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 代入椭圆方程，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1.又b 2＝a 2－c 2代入，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0. 所以e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝4－23，e ＝3－1.]8．D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心M (－3，2)，半径r ＝1.点N (－2，－3)关于y 轴的对称点N ′(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点N ′(2，－3)且斜率存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －(2k ＋3)＝0. ∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k＝－43.]9．C [设P (x P ，y P )，依题设x P >0，且y P >0.由S △OFP ＝12·c ·y P ＝a 2＋b 28＝c 28，∴y P ＝c4.又直线PF 的方程为y ＝－(x －c )，∴x P ＝3c 4，又点P 在双曲线的渐近线bx －ay ＝0上， ∴3c 4·b －ac 4＝0，则a ＝3b ，c ＝10b ， 故双曲线的离心率e ＝c a ＝103.] 10．D [由抛物线方程知p ＝1，∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则a ＝12.设M (x M ，y M )，由抛物线定义，|MF |＝x M ＋p 2＝32， ∴x M ＝1，则y M ＝±2，即M (1，±2)， 代入双曲线方程，得b 2＝23，从而c 2＝1112，故双曲线c 2的离心率e 2＝c a ＝333.]11．C [如图所示，由方程x 216＋y 212＝1知：顶点A (－4，0)，B (4，0)、右焦点F (2，0)．又|QF→|＝1， ∴点Q 的轨迹是以焦点F (2，0)为圆心，以1为半径的圆． 由|QP →|·|QF→|＝0，知PQ ⊥FQ . 因此直线PQ 是圆F 的切线，且Q 为切点，∴|PQ |2＝|PF |2－1，当|PF |最长时，|PQ |取最大值． 当点P 与椭圆的左顶点A 重合时，|PF |有最大值|AF |＝6. 所以|PQ→|的最大值为62－1＝35.]12．A [依题意，|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2. ∴△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形． 因此|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·c 2＝2c ·c 2＝c 2.又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1||MF 2|＝4c 2.∴(2a )2＋2c 2＝4c 2，则c 2＝2a 2，故双曲线的离心率e ＝ca ＝ 2.]13．22 [由于x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故p2＝2，则p ＝2 2.] 14．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)． ∴当P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，且R ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]15．23 [由双曲线x 2－y23＝1，右焦点F (2，0)，渐近线方程分别为y ＝±3x ，代入圆F 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得x ＝1，y ＝±3. 故|AB |＝2 3.]16．x 2＋32y 2＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →， 故⎩⎨⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2.代入方程25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23， 故所求椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]17．解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ，∴c ＝a 2－b 2＝3b ， 因此椭圆E 的离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10， 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 18．解(1)由题意得⎩⎨⎧2a ＝43，9a 2＋34b 2＝1，∴a 2＝12，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为y 212＋x 23＝1.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切，证明如下： 由题意可设A (x 0，y 0)，B (－2，t )(t ∈R )，则直线AB 的方程为(y 0－t )x －(x 0＋2)y ＋(tx 0＋2y 0)＝0， ∵OA →⊥OB →，∴2x 0＝ty 0，∴t ＝2x 0y 0，∵动点A 在椭圆C 上，∴y 2012＋x 203＝1，∴y 20＝12－4x 20， ∴原点O 到直线AB 的距离d ＝|tx 0＋2y 0|（y 0－t ）2＋（x 0＋2）2 ＝|tx 0＋2y 0|y 20－2ty 0＋t 2＋x 20＋4x 0＋4＝|tx 0＋2y 0|y 20＋t 2＋x 20＋4＝2|x 20＋y 20|x 20y 20＋y 40＋4x 20＋4y 20＝6|4－x 20|12（x 40－8x 2＋16）＝3， ∴直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切．19．解 (1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0得P 为MN 的中点．∴P ⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)． ∴PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . ∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 消去x 得y 2－4k y －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m ，0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)， ∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－m ⎝⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224＋m 2－4 ＝－m4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3.∵Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22＋12>0，∴关于m 的方程m 2－m ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3＝0有解．故在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立． 20．解 (1)由点P (0，1)在椭圆上，知b ＝1， 又离心率e ＝c a ＝22且a 2＝b 2＋c 2.解得c 2＝1，a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．21．解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2，0)，B (0，1)， 则直线AB 方程分别为x ＋2y －2＝0， 设EF 的方程为y ＝kx (k >0)．如题图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，联立直线l 与椭圆的方程⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx消去y 得方程(1＋4k 2)x 2＝4，则x 2＝－x 1＝21＋4k2， 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0－2＝0，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解之得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式知，点A ，B 到EF 的距离分别为 h 1＝2k 1＋k 2，h 2＝11＋k 2.又|EF |＝41＋k 21＋4k 2， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|EF |(h 1＋h 2)＝2（1＋2k ）1＋4k 2 ＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤22， 当且仅当4k ＝1k ，即当k ＝12时，取等号． 所以S 的最大值为2 2.22．(1)解 依题意，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，△FOP 的外接圆圆心的横坐标为p 4. 故圆心到准线的距离d ＝p 2＋14p ＝32，则p ＝2， 所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，(2)证明 由(1)知F (1，0)，准线x ＝－1，故M (－1，0)． 设直线的方程为x ＝ty ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4. 则k MP ＋k MA ＝y 1y 214＋1＋y 2y 224＋1＝4（y 1＋y 2）（y 1y 2＋4）（y 21＋4）（y 22＋4）＝0(定值)． (3)解 过P (m ，n )在抛物线C 上，则n 2＝4m ，由题意可知，过点P 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线斜率存在．设切线方程为y －n ＝k (x －m )，即kx －y －km ＋n ＝0.其与y 轴交点为(0，n －km )，所以|DE |＝|m (k 1－k 2)|. 又直线与圆相切得d ＝r ⇒|k －km ＋n |k 2＋1＝1， 整理得(m 2－2m )k 2－2(m －1)nk ＋n 2－1＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝2（m －1）nm 2－2m ，k 1k 2＝n 2－1m 2－2m，并结合n 2＝4m ，得|DE |＝m （k 1－k 2）2＝4m 2＋8m（m －2）2.S △PDE ＝12|DE |·m ＝12m ·4m 2＋8m（m －2）2＝m 2（m 2＋2m ）（m －2）2.记f (m )＝m 2（m 2＋2m ）（m －2）2，且m >2.则f ′(m )＝2m 2（m 2－3m －6）（m －2）3.令f ′(m )＝0，则m 2－3m －6＝0， ∴m ＝3＋332，当2<m <3＋332时，f ′(m )<0，函数f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3＋332上单调递减． 当m >3＋332时，f ′(m )>0，函数f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，＋∞上单调递增， ∴当m ＝3＋332时，f (m )取得最小值．因此，△PDE 的面积取得最小值时，m 的值为3＋332.。

高三数学（理）二轮复习专题集训专题六 解析几何（3）A 级1．(2017·湖北省七市(州)联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 23－y 2＝12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)3．如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．4．已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为________．5．已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．B 级1．已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→.(1)求动点P 的轨迹G 的方程；(2)点F 关于原点的对称点为M ，过点F 的直线与G 交于A ，B 两点，且AB 不垂直于x 轴，直线AM 交曲线G 于点C ，直线BM 交曲线G 于点D .①证明直线AB 与直线CD 的倾斜角互补；②直线CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由．2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与直线OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求|AB |的取值范围．参考答案 A 级1．(2017·湖北省七市(州)联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C ．x 2－y23＝1D ．x 23－y 2＝1解析： ∵∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|PQ |，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PQ |－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q |＝2＝2a ，解得a ＝1.又e ＝ca ＝3⇒c ＝3⇒b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－y 22＝1.故选B.答案： B2．(2017·云南省第一次统一检测)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF→＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(－1,2)或(－1，－2) B ．(1,2)或(1，－2) C ．(1,2)D ．(1，－2)解析： 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，则有3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA →·AF →＝y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.答案： B3．(2017·成都市第二次诊断性检测)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2×8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案： 44．(2017·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为________．解析： 设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1x 2a 2－y 2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a2y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案：25．(2017·郑州市第二次质量预测)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切．(1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．解析： (1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则C (－x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0,2)． 6．(2017·惠州市第三次调研考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解析： (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋tx 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0， 故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3<t <3.由PM→＝NQ →得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.(也可由PM→＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t9，可得y 4＝2t －159)又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾． 因此不存在满足条件的直线．B 级1．(2017·新疆第二次适应性检测)已知F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→. (1)求动点P 的轨迹G 的方程；(2)点F 关于原点的对称点为M ，过点F 的直线与G 交于A ，B 两点，且AB 不垂直于x 轴，直线AM 交曲线G 于点C ，直线BM 交曲线G 于点D .①证明直线AB 与直线CD 的倾斜角互补；②直线CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由． 解析： (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由F (1,0)及QP →·QF →＝FP →·FQ →，得 (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹G 的方程为y 2＝4x . (2)由题易知点F 关于原点的对称点为M (－1,0)， 设过点F 的直线AB 的方程为x ＝ny ＋1(n ≠0)， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4ny －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4. 设直线AM 的方程为x ＝my －1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x 消去x ，得y 2－4my ＋4＝0，设C (x 3，y 3)，则y 1y 3＝4，即y 3＝4y 1，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，4y 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 22，4y 2.①∵k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2，k CD ＝4y 1－4y 24y 21－4y 22＝y 1y 2y 1＋y 2＝－4y 1＋y 2，∴k AB ＋k CD ＝0，设直线AB ，CD 的倾斜角分别为α，β，则tan α＝tan (π－β)，又0<α<π，0<β<π，且α，β≠π2， ∴α＝π－β，即α＋β＝π.∴直线AB 与直线CD 的倾斜角互补．②易知直线CD 的方程y ＝－4y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4y 21＋4y 1， 令y ＝0，得x ＝y 1＋y 2y 1＋4y 21＝y 21＋y 1y 2＋4y 21＝y 21y 21＝1， ∴直线CD 过定点(1,0)．2．(2017·东北四市高考模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段P A 2的中点，且直线P A 2与直线OM 的斜率之积恒为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求|AB |的取值范围．解析： (1)由已知得2a ＝22，a ＝2，设点P (x 0，y 0)，x 0≠±a 且x 0≠0，点A 1为椭圆C 的左顶点， ∵k OM ＝kP A 1，∴kP A 2×k OM ＝kP A 2×kP A 1＝y 0x 0－a ×y 0x 0＋a ＝y 20x 20－a 2，又P (x 0，y 0)在椭圆上，∴x 20a 2＋y 20b 2＝1， ∴kP A 2×k OM ＝－b 2a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立直线与椭圆方程，得⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝2k2k 2＋1. 记AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 22k 2＋1，k 2k 2＋1， ∴直线QN 的方程为y －k 2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 22k 2＋1＝－1k x －2k2k 2＋1， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 22k 2＋1，0，由已知得－14<－k 22k 2＋1<0， ∴0<2k 2<1， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋12－4×2k 2－22k 2＋1＝1＋k 2×221＋k 22k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋12k 2＋1， ∵12<12k 2＋1<1，∴|AB |∈⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22.。

数学高考（文）二轮专题复习习题：第1部分专题六
解析几何1-6-1-含答案
限时45分钟，实际用时________
分值80分，实际得分________
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2017·山东省实验中学二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C ＝0的位置关系是( )
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
解析：选C.由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.
2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－B．－或－2
3
C．－或－D．－或－3
4
解析：选D.点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2
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