南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答解读

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试讲评建议、相似题型及巧思妙解一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = . 答案：1 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = . 答案：－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 . 答案：654．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 . 答案：0.3解读：本题体现了2015年新的《考试说明》中对互斥事件的要求，选材于课本中的习题。

5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = .答案：226．运行如图所示的程序后，输出的结果为 . 答案：42解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 .答案：88．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 . 答案：33π 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点i ←1S ←0While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = .答案：512π10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .答案：4相似题型：（南通市2014届高三数学临门一脚第11题）已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ．答案：411．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = . 答案：10解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB于D ，则23c o s 2c o s 15A O B A O D ∠=∠-=-，得21c o s 5A O D ∠=，又圆心到直线的距离为222OD ==，所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，10r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB =+得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =.相似题型：（海安县曲塘高级中学2014届高三数学5月模拟试卷第13题）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA ，OB ，OC 满足：1[()](1)0O Af x O B x O Cx-+⋅+-⋅=，且对任意[1,),x ∈+∞()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是___ __．答案：(,1)-∞-因为A B C 、、三点共线，所以1()(1)1f x x x ++-=1()f x x x⇒=-， ∴f （x ）为增函数且m ≠0，若m >0时，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意．若m <0时，有22111102()012m mx mx mx m x mx x m x m-+-<⇒-+∙<⇒+<, 因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+212m<，即2m >1,解得m <-1.联想到平面向量共线定理，但本题24345=+，所以可以考虑等式两边同时除以2来处理这个问题。

数学试题( 总分 160 分，考试时间 120 分钟 )注意事项：1．本试卷考试时间为120 分钟，试卷满分160 分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必定作答在答题卡上规定的地址，否则不给分．3．答题前，务必然自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参照公式：柱体体积公式：V Sh，其中 S 为底面积, h 为高.一、填空题（本大题共 14 小题，每题5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定地址上）1．已知会集A x | x( x 4) 0 ， B0,1,5，则AI B▲．2．设复数z a i (a R,i 为虚数单位），若 (1i ) z 为纯虚数，则a的值为▲．3．为检查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷检查，所得数据均在区间[50,100] 上，其频率分布直方图以下列图，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80) (单位：分钟)内的学生人数为▲．频率组距Read xaIf x0 Theny ln xElsey e xEnd IfPrint y50 60 70 80 90 100 时间(单位:分钟)第 3题图第4题图4．执行以下列图的伪代码，若x0 ，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完好相同的 4 个球，球的编号分别为1， 2， 3， 4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为▲．6．若抛物线y2 2 px 的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合，则实数p 的值为▲．1457．设函数x的值域为A，若 A[0,) ，则实数 a 的取值范围是▲．y e e xa81tan12,满足tan，则的值为▲．．已知锐角9．若函数y sin x 在区间 [0, 2] 上单调递加，则实数的取值范围是▲．10．设S n为等差数列a n的前 n 项和，若a n的前 2017项中的奇数项和为2018，则 S的值为▲．2017x(3x),0x 3,11．设函数f ( x)是偶函数，当x≥0 时，f (x) =31,x>3，若函数 y f ( x)mx有四个不相同的零点，则实数的取值范围是▲．m12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y k (x33) 上存在一点 P ，圆x2( y1)21上uuur uuur▲．存在一点 Q ，满足 OP3OQ ，则实数 k 的最小值为A 13．如图是蜂巢构造图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 A, B,C , D 四点均位于图中的“晶格点”处，且 A, B 的地址所图所示，则AB CD的最大值为▲．14．若不等式k sin2B sin Asin C19sin B sin C 对任意ABC 都建立，B 则实数 k 的最小值为▲．第 13题图二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地域内）15． ( 本小题满分14 分)以下列图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， CA CB ，点M , N分别是AB, A1B1的中点.（ 1）求证：BN∥平面A1MC；C1（2）若A1M AB1，求证： AB1AC1.N11BA CMB第 15题图16． ( 本小题满分14 分 )在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 c 5 b .（1）若C2B ，求 cosB 的值；2uuur uuur uuur uuur) 的值．（ 2）若AB AC CA CB ，求 cos(B417． ( 本小题满分 14 分 )，一边 AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截有一矩形硬纸板资料（厚度忽略不计）取矩形 ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF 120 的扇形，且弧??EF,GH分别与边BC,AD相切于点M,N．（1）当BE长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？B M NC ME E FFOG HGNHAN D第 17题-图甲第 17 题-图乙18. (本小题满分16 分 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2y2的下极点为，点C :a2b21(a b0)BM , N 是椭圆上异于点 B 的动点，直线BM , BN 分别与 x 轴交于点P,Q，且点 Q是线段 OP 的中点．当点N 运动到点 ( 3,3) 处时，点 Q 的坐标为 (23,0)．（ 1）求椭圆C的标准方程；23uuur uuuur（ 2）设直线MN交y轴于点D，当点M , N均在y轴右侧，且DN2NM 时，求直线BM 的方程．yDNMQO P xB第18题图19． ( 本小题满分16 分 )设数列a n满足 a n2an 1an 1( a2a1 )2，其中 n⋯2，且 n N，为常数.（ 1）若a n是等差数列，且公差d0 ，求的值；（ 2）若a11,a22, a3 4，且存在 r[3,7]，使得 m a n卪n r 对任意的n N*都成立，求 m 的最小值；（ 3）若0 ，且数列a n不是常数列，若是存在正整数T ，使得a n T a n对任意的n N *均建立.求所有满足条件的数列a n中T的最小值.20． ( 本小题满分16 分 )设函数 f (x)ln x ， g( x)ax bR ）.c （ a,b, cx（ 1）当c0时，若函数 f ( x) 与 g( x) 的图象在x1处有相同的切线，求 a,b 的值；（ 2）当b3 a 时，若对任意x0 (1,) 和任意a(0,3) ，总存在不相等的正实数x1 , x2，使得 g (x1)g (x2 ) f ( x0 )，求 c 的最小值；（ 3）当a 1 时，设函数y f (x) 与 y g( x) 的图象交于 A(x1, y1 ), B( x2, y2)( x1x2)两点．求证：x1 x2x2b x1x2x1.南京市、盐城市2018 届高三年级第一次模拟考试数学参照答案一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，计 70 分 .1 ． 12． 13． 12004． 15．26． 67． (,2]38 ．39． (0, 1]10． 4034 11． [1,9)12． 313． 2444414． 100二、解答 ：本大 共 6 小 ， 90 分 . 解答 写出必要的文字 明， 明 程或演算步 ，把答案写在答 的指定地域内.15． 明：（ 1）因 ABCA 1B 1C 1 是直三棱柱，所以 AB / / A 1B 1 ，且 AB A 1B 1，又点 M , N 分 是 AB, A 1 B 1 的中点，所以 MB A 1N ，且 MB //A 1N ．所以四形A 1 NBM是平 行四形，从而A 1M / /BN ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 BN平 面 A 1MC ，A 1 M平 面A 1MC ， 所 以BN∥ 面A 1MC ．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）因 ABCA 1B 1C 1 是直三棱柱，所以 AA 1 底面 ABC ，而 AA 1面 ABB 1 A 1 ，所以 面 ABB 1 A 1 底面 ABC ．又 CACB ，且 M 是 AB 的中点，所以 CMAB ．由 面 ABB 1 A 1 底面 ABC ， 面 ABB 1A 1I 底面 ABCAB ，CM AB，且CM底 面ABC，得CM面ABB 1 A 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又AB 1面ABB 1 A 1， 所以AB 1CM ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 AB 1A 1M ， A 1M , MC平面 A 1MC ，且 A 1M I MCM ，所以AB 1平面A 1MC ．⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又AC 1平面A 1 MC，所 以AB 1 A 1C ．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16．解：（1c5 ） 因b，由正弦定理，得2sin C5 ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分sin B ．2又C2B，所以sin 2B5sin B，即24sin B cosB5sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 B 是 ABC的内角，所以sin B 0，故cosB5 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4uuur uuuruuuruuurba cosC ， 由余弦定理，（ 2）因 AB AC CA CB ， 所以 cb cos A得 b 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2， 得a c ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分从而a 2c2 2 c 2c 2( 2c) 23cosBb5⋯⋯⋯⋯⋯ 122ac2c 2，5分又 0B，所以 sin B1 cos2 B4 ．5从而cos(B) cosB cos sin B sin3 24 22⋯⋯⋯⋯⋯ 144 5 252．分4 41017．解：（ 1）在 甲中， 接MO 交 EF 于点T ． OEOF OMR ，在 Rt OET 中 ， 因EOT1 EOF60， 所 以R ，2OTR ．2MTOMOT2R从而BE， 即MTR 2BE 2 . 2⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分故所得柱体的底面SS扇形OEFSOEFB M N1 R21 R 2sin12043 .⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分T323E FEG4又所得柱体的高 ，O所以 VSEG16 43 .3答：当 BE 1 分米 ，折卷成的包装盒的容GH164 3 立方分米 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3x ， R2x ，所以所得柱体的底面A（ 2） BESS扇形OEFSOEF1 R 21R 2sin120 (43) x 2 .323 又所得柱体的高 EG 62x ，所以VS EG(82 3)( x 33x 2 )，其中0 x3 .3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分令 f ( x)x 3 3x 2 , x(0,3) ， 由 f ( x)3x 2 6x3x(x 2) 0 ，解得x 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分列表以下：x(0, 2)2(2,3)f ( x) ＋ 0 －f ( x)增极大减所以当 x 2 ， f ( x) 获取最大 .答：当BE的2分米，折卷成的包装盒的容最大 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18 ．解：（13 2 3,0) ， 得直NQ 的方程）由N(3,), Q(23y3 x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2令 x 0 ，得点 B 的坐 (0,3) ．所以的方程x 2y 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分a23将点 N 的坐 (3, 3)2所 以 x 2 y 2 ．413( 3) 2( 3 ) 2代入，得21，解得 a2 4 ．a 23C的准 方 程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（ 2）方法一： 直BM 的斜率 k(k0) ， 直 BM 的方程 ykx 3 ．在 ykx3 中，令 y0，得 x P3Q是 段 OP 的中点，所以 x Q3 ，而点 ．kBN2k所以 直的斜率kBN0 (3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分kBQ32k ．2ky kx 3 4k 2 ) x 283k2．立x 2 y 2 ，消去 y ，得 (38 3kx 0 ，解得 x M4 3 134k2kk用代，得x N16 3k 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分3 16 kuuur uuuur又DN 2NM ，所 以x N 2( x M x N )，得2x M3x N ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分故 28 3k 316 3k ，又 k 0 ，解得 k6 ．3 4k 23 16k 22所以直BM的方程y 6 x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分2方法二：点 M , N 的坐分 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ．由 B(0,3) ，得直BN的方程y y1 3 x 3 ，令y0，得x Py13x1．x13同理，得 x Q3x2．y23而点 Q是段OP的中点，所以x P2x Q，故3x1 2 3x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分y13y23uuur uuuur2x114 3又 DN2NM ，所以 x22( x1x2 ) ，得 x20 ，从而y2，3y133解得y24y13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 33分x22x1代入到 C的方程中，得x123) 2将3(4 y1 1 ．y24y13927 332y124(1y124(1 3)(4 y13) 222 y130 ，又 x1) ，所以9271，即 3y13解得 y1 3 （舍）或y13．又 x10，所以点M的坐3423M (,) ．⋯⋯⋯⋯⋯14分33BM故直的方程y 6 x3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分22d 2，19．解：（ 1）由意，可得a n(a n d)(a n d)化得(1)d 20，又 d 0，所以1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）将a11,a22, a3 4 代入条件，可得 4 14，解得0，所以 a n2a n 1a n 1，所以数列a n是首1 ，公比q2的等比数列，所以a n 2n 1 .⋯⋯6 分欲存在 r[3,7] ，使得 m 2n 1⋯nr ，即 r ⋯nm 2n 1 任意 nN * 都建立，7⋯n m 2n 1， 所以⋯n7 任 意n N*成m 2n 1都立 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分令 b n n 7b nn 6 n 7 8 nn 1 ， b n 1 2 n2n 12 n ，2所以当 n 8 ， b n 1b n ；当 n8 ， b 9 b 8 ；当 n8 ， b n1b n．所 以b n 的 最 大b 9b 8 1 ， 所 以 m的 最 小1281 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分128（ 3）因 数列a n 不是常数列，所以 T ⋯2 ．①若 T2 ， a na n 恒建立， 从而 a 3a 1 ， a 4a 22 a 1 2 ( a 2 a 1 )22a 2 ，所以a 2 2( a 2，a 12a 1 ) 2所以 (a 2 a 1 )2 0 ，又0 ，所以 a 2a 1 ，可得 a n 是常数列．矛盾．所以T 2不合意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分1, n 3k 2② 若 T3 ， 取 a n2, n 3k 1 ( k N * ) （ * ），足 a n 3a n恒 成3, n3k立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分由 a 2 2a 1a 3(a 2 a 1) 2，得7 ． 条件式 a n 2a n 1an 17 ．由 221(3)7 2a 3k 2 a 3 k ，知 a 3k 1由( 3)22 1 7 ，知 a 3k 2 a 3k 1 a3 k 1 由 12(3) 27 2 a 3k a3 k 2，知 a 3k 1所以，数列（ * ）适合 意．所以T的3 .(a 2 a 1) 2 ； (a 2 a 1 )2 ； (a 2 a 1) 2 ．最 小⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20．解：（ 1）由 f ( x) ln x ，得 f (1)0 ，又 f (x) 11 ，.，所以 f (1)b xb 当c 0， g( x) axg (x) a， 所 以x 2g (1)a b .x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因 函数 f(x) 与 g (x) 的 象在 x1 有相同的切 ，， 所 以所f (1)g (1)以g(1)f (1)a12 .，a b 1 解得即b，a 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1b2（ 2）当 x 01 ， f (x 0 ) 0 ，又 b3 a ， tf ( x 0 ) ，意 可化方 程 ax3 a c t(t0) 在 (0,)上有相异两根xx 1, x 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分即关于 x 的方程 ax 2(c t ) x (3 a) 0(t 0) 在 (0,) 上有相异两 根 x 1, x 2 ．0 a3(ct) 2 4a(3 a) 00 a3c t所以x 1x 2 0，得( c t ) 24a(3 a) ，ac t3 ax 1x 2a所以c 2 a(3 a) t立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分t (0,), a (0,3)恒 成因 0a 3，所以 2a(3a)? 2(a(3 a)) 23 （当且 当 a 3 取等号），t 02 a(3 a) - t2 c ⋯32又 ，所以的取 范 是 ( ,3) ，所以．故c的最小3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ 3）当 a1 ，因 函数f (x) 与g (x) 的 象交于 A, B 两点，ln x 1 x 1b cx 1所以，两式 相减，得bln x 2 x 2 cx 2b x 1x 2 (1 ln x 2ln x1 ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分x 2 x 1要 明 x 1 x 2x 2 b x 1x 2x 1 ，即 x 1x 2x 2 x 1x 2(1ln x2ln x1 )x 1 x 2x 1 ，x 2 x 1即1ln x 2 ln x 11，即x 2 x 2 x 1x 11 x 1ln x 2 x 2 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分x 2 x 1x 1令x2t ， t1，此 即 1 1ln t t 1 ．x 1t令111 t1t(t)ln t1 ，所以(t )0 ，所以当，函数(t )t t 2t 2增．t又 (1)0 ，所以 (t)ln t1 1 0，即 1 1 ln t 建立；tt再令 m(t ) ln tt 1 ，所以 m (t )1 1 1 t t0 ，所以当 t 1 ，函数 m(t )t减，又 m(1)0 ，所以 m(t )ln tt 10 ，即 ln tt 1也建立．上所述，数x 1 , x 2足x 1x 2 x 2 b x 1 x 2 x 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分附加题答案21．（A ）解：如 ， 接 AE ，OE ，因 直 DE 与⊙ O 相切于点 E ，所以 DE OE ，D E又因 AD 垂直 DE 于 D ，所以 AD / /OE ，所以 DAEOEA ，①在⊙ O 中OEOA ，所以 OEA OAE ，② ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分A·B由①②得DAE OAE ，即 DAE FAE ，F O又 ADE AFE ， AE AE ，所以 ADE AFE ，所以 DE FE ，又 DE 4，所以 FE 4 ，第 21(A)即 E 到直径 AB 的距离 4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ B ）解： Px 0 , y 0 是 x 2 y 2 1上任意一点，x 02 y 021，点 Px 0 , y 0 在矩 M 的 下所得的点x 2 0 x 0 ，Q x, y ，0 1 y 0y即x 2x 0，解得y y 0x1 x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分y 0 y代 入x 02y 02 1， 得x 2 y 21，即所求的曲方4程 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ C ）解：以极点O 原点，极 Ox x 建立平面直角坐 系，由cos() 1，得 (cos cos sin sin )1 ，33 3得 直的直角坐方程x3 y2 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分曲r ，即 x 2 y 2 r 2 ，所以 心到直 的距离d3 0 2 1．1 3因直cos() 1 与 曲r （ r0 ） 相 切 ， 所 以 rd ， 即3r 1 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ D ）解：由柯西不等式，得[ x2( 3 y)2 ][12( 3)2] ( x 13 y3)2，33即 4(x 23y 2 ) ( x y) 2 ．34而x 23y 2 1 ，所以( x y)2 ，所以223xy3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分333x3y313x2 ，所以当且 当 x 3, y3 ， ( x y)max 23 ．由3，得3 26 3xy2 3y63x yx所以当取最大的3⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x.2BD ．又 OP 底面 ABCD ，以 O 原点，直 22．解：（ 1）因 ABCD 是菱形，所以 ACOA,OB , OP 分 x ， y ， z ，建立如 所示空 直角坐 系．A(2,0,0) , B(0,1,0) , P(0,0,4) , C ( 2,0,0) , M ( 1,0,2) ．uuur uuuuruuur uuuur所以 AP( 2,0, 4) ， BM( 1, 1,2) ， APBM 10，zuuur uuuur |AP| 2 5，|BM | 6．Puuur uuuuruuuruuuur10 30cosAP BMMAP, BMuuuruuuur5．| AP||BM | 266故直 AP 与 BM 所成角的余弦30 . ⋯⋯⋯5分DCuuur uuuur6（2） AB ( 2,1,0) ， BM ( 1, 1,2) ．xAOBy第 22南京、盐城高三一模数学试题及分析r平面ABM 的一个法向量 n ( x, y, z) ，r uuur 0 2x y 0n AB ，令 x 2 ，得 y 4 ， z 3r uuuur 0 ，得 x y 2z．n BM 0得平面 ABM 的一个法向量 r (2, 4,3) ．n r uuur ruuur又平面 PAC 的一个法向量 uuur (0,1,0)29OB ，所以 n OB 4 ， | n |，|OB| 1．r uuurr uuur44cosn OB29 .n, OBruuur2929| n ||OB | 4故 平 面ABM 与 平 面 PAC 所 成二 面 角 的余 弦29.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分29C n 0C n 1 2C n 1C n 2 rC n r 1C n r nC n n 1C n n23．解：（ 1）由条件， nfn①，在① 中令n 1，得f 1C 10C 11 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分在① 中令n 2， 得2 f 2C 20C 21 2C 21C 226，得f 23 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分在①中令n 3， 得3f 3 C 30C 31 2C 31C 32 3C 32 C 33 30， 得f 310 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）猜想f n=C 2n n 1（或f n = C 2n n 1 1 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分欲 猜想建立，只要 等式nC 2n n 1 C n 0 C n 1 2C n 1C n 2rC n r 1C n rnC n n 1C n n 建立．方法一：当 n1 ，等式 然建立，当 n ⋯2 ，因 rC n r =r （ n!）=n! r )!n(r (n 1)! r )! nC n r 11 ，r !(n r )! (r 1)!( n 1)!( n故 rC n r 1C n r (rC n r )C n r 1 nC n r 11C n r 1 ．故只要 明 nC 2n n 1nC n 0 1C n 0 nC n 1 1C n 1 nC n r 11C n r 1nC n n 11C n n 1．即 C 2n n 1C n 0 1C n 0 C n 1 1C n 1 C n r 11C n r 1 C n n 11C n n 1 ．而 C n r 1 C n n r 1 ，故即 C 2n n 1C n 0 1C n n C n 1 1C n n 1C n r 11 C n n r 1 C n n 11C n 1 ②．由等式 (1 x) 2 n 1(1 x) n 1 (1 x) n 可得，左 x n的系数 C 2n n 1 ．而右(1 x)n 1 (1 x) nC n 0 1 C n 1 1 x C n 2 1 x 2 L C n n 11 x n 1 C n 0 C n 1 x C n 2 x 2L C n n x n ，所以 x n 的系数 C n 0 1C n nC n 1 1C n n1C n r11C n n r 1C n n 11C n 1 ．由 (1 x) 2n 1(1 x) n 1 (1 x)n 恒建立可得②建立 .上，f n C 2n n 1成立 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分方法二：构造一个 合模型，一个袋中装有2n 1个小球，其中n 个是 号1， 2，⋯， n南京、盐城高三一模数学试题及分析的白球，其余n－1个是号1， 2，⋯，n－ 1 的黑球，从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步数原理其中含有r 个黑球（n r 个白球）的 n 个小球的合的个数C n r1C n n r，0r n 1 ，由分数原理有从袋中任意摸出n 个小球的合的数C n01C n n C n11C n n 1L C n n11C n1．另一方面，从袋中 2n 1 个小球中任意摸出n个小球的合的个数C2n n 1．故C2n n 1C n01 C n n C n11C n n 1 L C n n11C n1，即②建立.余下同方法一 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分方法三：由二式定理，得(1x)n C n0C n1 x C n2 x2 L C n n x n③．两求，得n(1x)n 1C n12C n2x1 L rC n r x r 1L nC n n x n 1④．③×④，得 n(1 x)2n 1(C n0C n1 x C n2 x2L C n n x n )(C n12C n2 x1L rC n r x r 1 L nC n n x n 1 )⑤．左 x n的系数nC2n n 1．右 x n的系数C n1C n n2C n2 C n n1rC n r C n n r 1nC n n C n1C n1C n02C n2C n1rC n r C n r 1nC n n C n n 1C n0C n12C n1 C n2rC n r 1 C n r nC n n 1 C n n．由⑤恒建立，可得 nC2n n1C n0C n12C n1 C n2rC n r 1 C n r nC n n 1C n n．故f n C2n n 1成立 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分21 / 21。

2014年江苏省某校高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上． 1. 已知集合A ={x|2x >1}，B ={x|x <1}，则A ∩B =________． 2. 复数a−2i 1+2i（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000)（元）月收入段应抽出________人．4. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为________．5. 已知双曲线x 24−y 2b=1的右焦点为(3, 0)，则该双曲线的渐近线方程为________．6. 已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=________．7. 已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长________． 8. 在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ，则不等式x ⊙(x −2)<0的解集是________． 9. 投掷一枚正方体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面上的数字记为a ，又n(A)表示集合的元素个数，A ={x||x 2+ax +3|=1, x ∈R}，则n(A)=4的概率为________．10. 函数f(x)=2sin(πx)−11−x，x ∈[−2, 4]的所有零点之和为________．11. 如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则BP →⋅CQ →的最大值为________．12. 已知数列{a n }的首项a 1=a ，其前n 和为S n ，且满足S n +S n−1=3n 2(n ≥2)．若对任意的n ∈N ∗，a n <a n+1恒成立，则a 的取值范围是________．13. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=1，点P 在直线l:x +y +1=0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 14. 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1, x 2, ..., x n }，最小数为min{x 1, x 2, ..., x n }．已知实数1≤x ≤y 且三数能构成三角形的三边长，若t =max{1x , xy, y}⋅min{1x , xy, y}，则t 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a →=（3, −cos(ωx)），b →=(sin(ωx)，√3)，其中ω>0，函数f(x)=a →⋅b →的最小正周期为π．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且f(A2)=√3，a =√3b 求角A 、B 、C 的大小．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥PC ，AB =PB ，E ，F 分别是PA ，AC 的中点．求证： （1）EF // 平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. 某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用y =−(1+4sin 2tπ60)x 2+20(sin tπ60)x(t 为时间参数，x 的单位：m)来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴． （1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？ 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，以椭圆C 左顶点T 为圆心作圆T ：(x +2)2+y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM →⋅TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O为坐标原点，求证：OR ⋅OS 为定值． 19. 已知数列{a n }满足下列条件： ①首项a 1=a ，(a >3, a ∈N ∗)； ②当a n =3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n 3；③当a n ≠3k ，(k ∈N ∗)时，a n+1=a n +1． （1）当a 4=1，求首项a 之值； （2）当a =2014时，求a 2014；（3）试证：正整数3必为数列{a n }中的某一项．20. 已知函数f(x)=a −blnx(a, b ∈R)，其图象在x =e 处的切线方程为x −ey +e =0．函数g(x)=kx (k >0)，ℎ(x)=f(x)x−1．（1）求实数a 、b 的值；（2）以函数g(x)图象上一点为圆心，2为半径作圆C ，若圆C 上存在两个不同的点到原点O 的距离为1，求k 的取值范围；（3）求最大的正整数k ，对于任意的p ∈(1, +∞)，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．【选做题】在四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1几何证明选讲21. 选修4−1：几何证明选讲如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形； （1）求AM 的长； （2）求sin∠ANC ．选修4-2矩阵与变换22. 已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1→=[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1, 2)变换成(3, 0)，求矩阵M ．选修4-4参数方程与极坐标23. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l 的参数方程是{x =−35t +2，y =45t ，（t 为参数）．(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值．选修4-5不等式证明选讲24. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．25. 如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB =90∘，PM // BC ，PM =1，BC =2，又AC =1，∠ACB =120∘，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60∘． （1）求二面角M −AC −B 的余弦值； （2）求点C 到面MAB 的距离． 26. 已知二项式(√x 5+12x)m的展开式中第2项为常数项t ，其中m ∈N ∗，且展开式按x 的降幂排列．(1)求m 及t 的值．(2)数列{a n }中，a 1=t ，a n =t a n−1，n ∈N ∗，求证：a n −3能被4整除．2014年江苏省某校高考数学一模试卷答案1. {x|0<x <1}2. 43. 254. −1或20145. y =±√52x 6. 125 7.4√63 8. (−2, 1) 9. 13 10. 8 11. 12 12. (94, 154) 13. [−1, 2] 14. [1,1+√52)15. 解：（1）f(x)=3sinωx−√3cosωx=2√3(√32sinωx−12cosωx)=2√3sin(ωx−π6)，∵ T=2πω=π，∴ ω=2，即f(x)=2√3sin(2x−π6)，由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得：kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3](k∈Z)；（2）∵ f(A2)=2√3sin(A−π6)=√3，∴ sin(A−π6)=12，∵ 0<A<π，∴ −π6<A−π6<5π6，即A=π3，∵ asinA =bsinB，a=√3b，∴ sinB=bsinAa =√33×√32=12，∵ a>b，∴ A>B，则B=π6，A=π3，C=π2．16. 证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，所以EF // PC，…又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF // 平面PBC；…（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE；…又PA⊥PC，EF // PC，所以PA⊥EF，…因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…17. 花坛的长为10√2m，宽为5√2m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求．…18. 依题意，得a＝2，e=ca =√32，∴ c=√3，b=√4−3=1，故椭圆C的方程为x 24+y2=1．方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x 1, y 1)，N(x 1, −y 1)，不妨设y 1>0． 由于点M 在椭圆C 上，所以y 12=1−x 124． (∗)由已知T(−2, 0)，则TM →=(x 1+2,y 1)，TN →=(x 1+2,−y 1)， ∴ TM →⋅TN →=(x 1+2,y 1)⋅(x 1+2,−y 1) ＝(x 1+2)2−y 12=(x 1+2)2−(1−x 124)=54x 12+4x 1+3=54(x 1+85)2−15．由于−2<x 1<2，故当x 1=−85时，TM →⋅TN →取得最小值为−15．由(∗)式，y 1=35，故M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325． 故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)， 不妨设sinθ>0，由已知T(−2, 0)，则TM →⋅TN →=(2cosθ+2,sinθ)⋅(2cosθ+2,−sinθ) ＝(2cosθ+2)2−sin 2θ ＝5cos 2θ+8cosθ+3 =5(cosθ+45)2−15．故当cosθ=−45时，TM →⋅TN →取得最小值为−15，此时M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325．故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法一：设P(x 0, y 0)，则直线MP 的方程为：y −y 0=y 0−y1x 0−x 1(x −x 0)，令y ＝0，得x R =x 1y 0−x 0y 1y 0−y 1，同理：x S =x 1y 0+x 0y 1y 0+y 1，故x R⋅x S=x12y02−x02y12y02−y12 (∗∗)又点M与点P在椭圆上，故x02=4(1−y02)，x12=4(1−y12)，代入(∗∗)式，得：x R⋅x S=4(1−y12)y02−4(1−y02)y12y02−y12=4(y02−y12)y02−y12=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．方法二：设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)，不妨设sinθ>0，P(2cosα, sinα)，其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：y−sinα=sinα−sinθ2cosα−2cosθ(x−2cosα)，令y＝0，得x R=2(sinαcosθ−cosαsinθ)sinα−sinθ，同理：x S=2(sinαcosθ+cosαsinθ)sinα+sinθ，故x R⋅x S=4(sin2αcos2θ−cos2αsin2θ)sin2α−sin2θ=4(sin2α−sin2θ)sin2α−sin2θ=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．19. （1）解：当a4=1时，因为a n+1=a n3，所以a3=3，此时，若a2=2，则a=6；若a2=9，则a=27或8，综上所述，a之值为6或8或27．…（2）解：当a=2014时，a2=2015，a3=2016，a4=672，a5=224，a6=225，a7=75，a8=25，a9=26，a10=27，a11=9，a12=3，a13=1，a14=2，a15=3，以下出现周期为3的数列，从而a2014=a13=1；…（3）证明：由条件知：若a n=3k，(k∈N∗)，则a n+1=a n3，a n+3≤a n3+2；若a n=3k+1，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+2，a n+2=3k+3，a n+3=k+1<13a n+2；若a n=3k+2，(k∈N∗)，则a n+1=a n+1=3k+3，a n+2=13(a n+1)，a n+3≤13(a n+1)+1<13a n+2；…综上所述，a n+3≤13a n+2，从而a n−a n+3≥23(a n−3)，故当a n>3时，必有a n−a n+3>0，因a n∈N∗，故a n−a n+3≥1，所以数列{a n}中必存在某一项a m≤3（否则会与上述结论矛盾！）若a m=3，则a m+1=1，a m+2=2；若a m=2，则a m+1=3，a m+2=1，若a m =1，则a m+1=2，a m+2=3，综上所述，正整数3必为数列{a n }中的某一项． … 20. 解：（1） 当x =e 时，y =2，f′(x)=−bx ， 故{a −b =2−b e =1e，解得{a =1b =−1．（2）问题即为圆C 与以O 为圆心1为半径的圆有两个交点，即两圆相交． 设C(x 0，kx 0)，则1<√x 02+k 2x 02<3，即{k 2>x 02−x 04k 2<9x 02−x 04， ∵ x 02−x 04=−(x 02−12)2+14，∴ x 02−x 04≤14，∴ k 2>x 02−x 04必定有解； ∵ 9x 02−x 04=−(x 02−92)2+814，∴ 9x 02−x 04≤814，故k 2<9x 02−x 04有解，须k 2<814，又k >0，从而0<k <92．（3）显然g(x)=kx (k >0)在区间(1, +∞)上为减函数，于是g(n)>g(p)，若ℎ(p)=g(n)，则对任意p >1，有ℎ(p)>g(p)． 当x >1时，ℎ(x)>g(x)⇔k <x(1+lnx)x−1，令φ(x)=x(1+lnx)x−1(x >1)，则φ/(x)=x−2−lnx (x−1)2．令ϕ(x)=x −2−lnx(x >1)，则ϕ/(x)=x−1x>0，故ϕ(x)在(1, +∞)上为增函数，又ϕ(3)=1−ln3<0，ϕ(4)=2−ln4>0， 因此存在唯一正实数x 0∈(3, 4)，使ϕ(x 0)=x 0−2−lnx 0=0．故当x ∈(1, x 0)时，φ′(x)<0，φ(x)为减函数；当x ∈(x 0, +∞)时，φ′(x)>0，φ(x)为增函数，因此φ(x)在(1, +∞)上有最小值φ(x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0−1，又x 0−2−lnx 0=0，化简得φ(x 0)=x 0∈(3, 4)，∴ k ≤3．下面证明：当k =3时，对0<x <1，有ℎ(x)<g(x)．当0<x <1时，ℎ(x)<g(x)⇔3−2x +xlnx >0．令ψ(x)=3−2x +xlnx(0<x <1)， 则ψ′(x)=lnx −1<0，故ψ(x)在(0, 1)上为减函数， 于是ψ(x)>ψ(1)=1>0．同时，当x ∈(0, +∞)时，g(x)=3x ∈(0,+∞)．当x ∈(0, 1)时，ℎ(x)∈R ；当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)∈(0, +∞)．结合函数的图象可知，对任意的正数p ，存在实数m 、n 满足0<m <n <p ，使得ℎ(p)=ℎ(m)=g(n)．综上所述，正整数k 的最大值为3．21. 解：（1）连接BM ，则 ∵ MN 是⊙O 的直径，∴ ∠MBN =90∘，∵ 四边形BCON 是平行四边形，∴ BC // MN ，又∵ AM 是⊙O 的切线，可得MN ⊥AM ，∴ BC ⊥AM ， ∵ C 是AM 的中点，∴ BC 是△ABM 的中线， 由此可得△ABM 是等腰三角形，即BM =BA ， ∵ ∠MBN =90∘，∴ ∠BMA =∠A =45∘，因此得到Rt △NAM 是等腰直角三角形，故AM =MN =2．… （2）作CE ⊥AN 于E 点，则 由（1），得△CEA 是等腰直角三角形，且AC =1 ∴ CE =√22AC =√22， ∵ Rt △MNC 中，MN =2，MC =1，∴ CN =√22+12=√5， 故Rt △ENC 中，sin∠ANC =CE NC=√1010．… 22. 解：设矩阵M =[abc d]，这里a ，b ，c ，d ∈R ， 则[a b c d ] [11]=3 [11]=[33]，故{a +b =3，c +d =3，①[a b cd ][−12]=[30]，故{−a +2b =3，−c +2d =0，②由①②联立解得{a =1，b =2，c =2，d =1，∴ M =[1 22 1]．23. 解：(1)曲C 的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ， 又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．所以，曲C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y =−43(x −2)．令y =0得x =2即M 点的坐标为(2, 0) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0, 1)半径r =1，则|MC|=√5，∴ |MN|≤|MC|+r =√5+1． 所以|MN|max =√5+1.24. 解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．25. 解：（1）∵ PC ⊥AB ，PC ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ PC ⊥平面ABC ．在平面ABC 内，过C 作CD ⊥CB ，建立空间直角坐标系C −xyz （如图） 由题意有A(√32，−12，0)，设P(0, 0, z 0)(z 0>0)，则M(0,1,z 0)，AM →=(√32,−12,z 0)，CP →=(0,0,z 0)由直线AM 与直线PC 所成的角为600， 得AM →⋅CP →=|AM →|⋅|CP →|⋅cos600，即z 02=π2√z 02+3⋅z 0，解得z 0=1∴ CM →=(0,0,1)，CA →=(√32,−12,0)， 设平面MAC 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{y 1+z 1=0√32y 1−12z 1=0，取x 1=1，得n 1→=(1,√3,−√3)，平面ABC 的法向量取为n 2→=(0,0,1)设n 1→与n 2→所成的角为θ，则cosθ=|n 1→|⋅|n 2→|˙=−√3√7．二面角M −AC −B 的平面角为锐角， 故二面角M −AC −B 的余弦值为√217．… （2）M(0, 1, 1)，A(√32，−12，0)，B(0, 2, 0)， ∴ AM →=(−√32,32,1)，MB→=(0,1,−1)．CB →=(0, 2, 0)，设平面MAB 的一个法向量m →=(x 2,y 2,z 2)， 则{−√32x 2+32y 2+z 2=0y 2−z 2=0，取z 2=1，得m →=(5√3,1,1)，则点C 到平面MAB 的距离d =|m →|˙=2√9331．… 26. 解：(1) T 2=C m 1(x 15)m−1(12x )1=C m 1⋅12⋅x m−65， 故m−65=0，m =6，t =C 61⋅12=3． (2)证明：①当n =1时，a 1=3，a 1−3=0，能被4整除． ②假设当n =k 时，a k −3能被4整除，即a k −3=4p ，其中p 是非负整数． 那么当n =k +1时，a k+1=34p+3=(1+2)4p+3=C 4p+30+C 4p+31⋅2+C 4p+32⋅22+⋯+C 4p+34p+324p+3=1+8p +6+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+8p +4+4(C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) =3+4(2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1) 显然2p +1+C 4p+32+⋯+C 4p+34p+324p+1是非负整数， a k+1−3能被4整除．由①、②可知，命题对一切n ∈N ∗都成立．。

江苏省南京盐城市20XX 届高三年级第一次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14题）⒈已知集合}2,1,2,3{--=A ，集合),0[+∞=B ，则=⋂B A 。

⒉若复数)3)(1(ai i z -+=（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a ＝ 。

⒊现从甲乙丙三人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 。

⒋根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 。

⒌若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差=2s 。

⒍在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为21=x ，且它的一个顶点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 。

⒎在平面直角坐标系xOy 中，若点P )1,(m 到直线0134=--y x 的距离为4，且点P 在不等式32≥+y x 表示的平面区域内，则=m 。

⒏ 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD 060=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 。

⒐设函数)2cos()(ϕ+=x x f ，则“)(x f 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）。

⒑在平面直角坐标系xOy 中，若圆4)1(22=-+y x 上存在A ，B 两点关于点)2,1(P 成中心对称，则直线AB 的方程为 。

⒒在ABC ∆中，BC ＝2，32π=A ，则AC AB ⋅的最小值为 。

⒓若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上是单调增函数。

如果实数t 满足)1(2)1(ln )(ln f tf t f ≤+时，那么t 的取值范围是 。

⒔若关于x 的不等式02lg )20(≤-xaax 对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 。

⒕已知等比数列}{n a 的首项为34，公比为31-，其前n 项和为n S ，若B S S A nn ≤-≤1对任意*N n ∈恒成立，则A B -的最小值为 。

南京市、盐城市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单频50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第3Read x If 0x > Then ln y x ← Else 第411．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c b =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，求cos()4B π+的值．A B第13ABCA B C M N第15有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点3(3,)2处时，点Q 的坐标为23(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r 时，求直线BM 的方程．xy O BNM P QD第18A DCB E GFOM N H 第17NEFGH 第17MN设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A BE DF O · 第[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===. （1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．MABCDOP第22南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A I 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =I ，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B =． ……………2分 又2C B =，所以5sin 2sin 2B B =，即4sin cos 5sin B B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而22222222()35cos 225c c c a c b B ac c +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin1203323R R ππ=-︒=-. ……………4分 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=16433π-.答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为16433π-立方分米. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(3)323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(23)(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋－()f x 增 极大值 减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由32(3,),(3,0)23N Q ，得直线NQ 的方程为332y x =-． …………………2分 令0x =，得点B 的坐标为(0,3)-． 所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标3(3,)2代入，得2223()(3)213a +=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为3y kx =-．在3y kx =-中，令0y =，得3P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以32Q x k =． 所以直线BN 的斜率0(3)2302BN BQk k k k--===-． ………………10分ADCB E G FO M N HT联立223143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)830k x kx +-=，解得28334M k x k =+． 用2k 代k ，得2163316N kx k =+． ………………12分又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故22831632334316k k k k ⨯=⨯++，又0k >，解得62k =． 所以直线BM 的方程为632y x =-． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,3)B -，得直线BN 的方程为1133y y x x +=-，令0y =，得1133P x x y =+． 同理，得2233Q x x y =+．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x =，故121232333x x y y =++． …………………10分 又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>，从而1241333y y =++，解得214333y y =+． …………………12分 将2121234333x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(43)1927x y ++=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(43)31927y y -++=，即2113230y y +-=， 解得13y =-（舍）或133y =．又10x >，所以点M 的坐标为423(,)33M ．……………14分 故直线BM 的方程为632y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分 （2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以2(3)c a a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以2(3)2(3)2()32a a a a +--⨯=?（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以2(3)a a t ---的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分 （B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则2201x y +=，A B E D F O· 第设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分 （C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为320x y --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为0302113d -⨯-==+．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D ）解：由柯西不等式，得2222233[(3)][1()](13)33x y x y ++≥⨯+⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以223333x y -≤+≤， ………………5分 由3133233x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得3236x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当33,26x y ==时，max 2()33x y +=． 所以当x y +取最大值时x 的值为32x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r，10AP BM ⋅=u u u r u u u u r ， ||25AP =u u u r ，||6BM =u u u u r．则1030cos ,6||||256AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为306. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，MAB C D OP第22x yz则0n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =u u u r ，所以n r 4OB ⋅=u u u r，||29n =r ，||1OB =u u u r ．则44cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ………………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分 在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分 在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++L L ， 所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++L ． 另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++L ，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++L ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++L L ④．③×④， 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++L L L ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。

南京市2014届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Pr int S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 . 13.若关于x 的不等式2(20)l g 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 . 二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m .（1）求x 的取值范围； 1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点.（2）若点B 的坐标为8(5，试求直线PA 的方程； （3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题1．已知曲线C ：1xy =，若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.2．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.）3.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.4.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2iz =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4. 分别在集合A={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；6 7 8 5 5 6 3 4 0 1C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ． 12. 设平面向量a ，b满足3-≤a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知 函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<． （1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．EADCFP东北16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60的方向，且在港口 A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y +=10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分 因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234=++⋅=a a b b ，故2=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=sin sin αβ==．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠=，AD AC =，所以△ACD 为正三角形． 因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或3d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，18m a 必须是3的倍数，于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+121347m m m a a a +⨯==；当3m =时，+12314m m m a aa +⨯==． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数，于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ．于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -=．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，，所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得22222111A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BBx k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则22222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =． 综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()22222222222222211111111155441111111114111544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++222212999920201020k k k k ++==++，所以h ． ②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB ⋅()()()()2222222111211141111204k k k k k k kk ++++=⋅=++++， 令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB = 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2af x bx '=-，则()2432a f b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x -+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x ， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数； 若34b >，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，； 若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k -=--=- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++， 则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减， 则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ．【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-2121311，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1777E ξ=⨯+ …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，． 同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =． 故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---，即122k k =．…………………………………………………………………………10分苏 北 四 市 数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．设复数122i ,i z z m =-=+(m ∈R ，i 为虚数单位),若12z z ⋅为实数,则m 的值为 ▲ ． 2．已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ▲ ．3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．4．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是▲ ．5．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ． 7．函数()lg(23)x xf x =-的定义域为 ▲ ．81，则此三棱锥 的体积为 ▲ ．9．在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆的面积，则BC 边长为 ▲ ． 10．已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f -≤的解集为 ▲ ．11．已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，3BC BF =．若向量AB 与DC 的夹角为60，则AB EF ⋅的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1l ：y x =和2l ：2y x =-+的距离之和为则22a b +的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．（第6题图）17．(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18．(本小题满分16分)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H ．P A B CFE （第16题图）(第17题图)(1)若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程； (2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 的取值范围．19．(本小题满分16分)已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列．（ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b 前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小；(2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．F EDCB A (第21(A)图)数 学 试 题数学Ⅱ 附加题部分注意事项1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。

盐城市2014年普通高校单独招生第一次调研考试试卷数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填充题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）注意事项：将第Ⅰ卷每小题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．如果U ={a ,b ,c ,d ,e }，A ={a ,c ,d }，B ={b ,d ,e }，其中U 是全集，那C U A ∩C U B =( )A ．φB ．{d }C ．{a ,c }D ．{b ,e }2．已知a 、b 、c ∈R ，那么一定有( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．cbc a 〉⇒a ＞b C ．a 3＞b 3⇒3311ba 〈 D ．a 3＞b 3 ⇒ a ＞b3．已知复数z 1=1+2i ，z 2=1－2i ，则z 1·z 2的共轭复数是( )A ．2－4iB ．2+4iC ．5D ．－54．下列函数中，在区间(0,+∞)内为增函数的是( )A ．y =x 1()2B ．y =1xC ．y =12xD ．y =1log x5． G 2=ab 是三数a 、G 、b 成等比数列的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6． 已知α是第四象限角，且53)sin(=+απ，则)22cos(πα-=（ ） A ．54B ．54- C ．257 D ．257-7．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数y =sin 2x 的图象 ( )A ．向右平移12π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位8． 若双曲线)0,0(12222〉〉=-b a by a x 的一条渐近线的倾斜角为600，则其离心率为（ ）A ．2B ．332 C ．32或 D ．3322或 9． 设F 1、F 2为椭圆42x +y 2=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，当△F 1PF 2面积为1时，1PF ·2PF的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．21 10．已知奇函数f (x )（x ∈R ，且x ≠0）在区间(0，＋∞)上是增函数，且f (－3)＝0，则f (x )＞0的解集是（ ） A ．(-3，0) B ．(-∞，-3)∪（3，+∞） C ． (-3，0)∪（3，+∞） D ．（3，+∞）第Ⅰ卷的答题纸第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上） 11．已知＝(1，k )，＝(－1，k －2)，若∥，则k ＝____ ____． 12．251()x x-展开式中x 4的系数是____ ____(用数字作答)． 13．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 下，目标函数y x z 25+=的最小值为__ ____．14．已知正四棱柱的全面积为40cm 2,高为4cm ，则它的侧面积是____ ____ cm 2． 15．以点（3，1）为焦点、直线x =-1为准线的抛物线的方程为____ ____． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分，要求写出必要的解题步骤和推理过程） 16．（本题满分6分）解不等式：（13）52+x ＞3xx72-．17．（本题满分10分）在△ABC 中，b 2=ac ，且a 2－c 2=ac －bc ，求(1) 求角A 的大小；(2) 求sin b Bc的值． 18．（本题满分10分）已知在等差数列}{n a 中，21,952==a a ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）令2n a n b =，求数列}{n b 的前n 项和T n ．19．（本题满分10分）已知函数f (x )=)34(log 22a x ax +-（1）当a =1时，求该函数的定义域；（2）如果f (x )＞1恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）为了了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x 、y 的含量（单位：毫克）。

南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = ▲ .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = ▲ .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 ▲ .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = . 8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m. （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20. （本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4—1：几何证明选讲） 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线C ：1xy =，若矩阵222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．（选修4—5：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.[必做题] （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23. （本小题满分10分）设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{1，2} 2．－3 3．23 4．55 5．265 6．y ＝±3x 7．68．33 9．必要不充分 10．x ＋y －3＝0 11．－.23 12．[1e ，e ] 13．{10} 14．5972二、解答题：15．解：（1）由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4． ……………2分 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，即ab ＝4． ……………4分解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得a ＝2，b ＝2． ……………7分（2）由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ． 当cos A ＝0时，A ＝π2．所以B ＝π6．所以a ＝433，b ＝233． ……………10分当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a ．解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得a ＝233，b ＝433． ……………13分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233． (14)分16．证：（1）连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF ． 因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以OA 1＝OC ．因为F 为AC 中点，所以OF ∥AA 1∥CC 1，OF ＝12AA 1＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1，BE ＝12CC 1．所以OF ＝BE ，OF ∥BE ．所以BEOF 是平行四边形．所以BF ∥OE ． ………………4分 因为BF /⊂平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC ． ………………7分 （2）因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ．因为AA 1⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BF ． ………………9分 由（1）知BF ∥OE ． 所以OE ⊥AC ，OE ⊥AA 1．而AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ∩AA 1＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1． …………12分 因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． ………………14分17．解：（1）由题意得，⎩⎨⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥20，………………4分解得9≤x ≤15．所以x 的取值范围是[9，15] ． ………………7分 （2）记“环岛”的整体造价为y 元．则由题意得 y ＝a ×π×(15x 2)2＋433ax ×πx 2＋12a 11[104－π×(15x 2)2－πx 2]＝a 11[π(－125x 4＋43x 3－12x 2)＋12×104] ． ……………10分 令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2．则f′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ．由f′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝10或x ＝15． ………………12分 列表如下：所以当x ＝10，y 取最小值．答：当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低． ………………14分 18．解：（1）由题意，得2a ＝(1－1)2＋(32－0)2＋(1＋1)2＋(32－0)2＝4，即a ＝2．………2分因为c ＝1，所以b 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ………………5分（2）因为F (1，0)，B (85，335)，所以P (－85，－335)．所以直线AB 的斜率为3．所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)． ………………7分 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x －1)，得点A 的坐标为(0，－3)． …………………9分所以直线P A 的方程为y ＝－34x －3． …………………10分 （3）当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9．当直线AB 的斜率k 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)．所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减， 得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3＝0．所以(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k P A k ．所以k P A ＝－34k ． …………………12分所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)．所以y M ＝－34k (4＋x 2)－y 2＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2．直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2． …………………14分所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2．因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22．所以y M ·y N ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)－12＋3x 22x 2=－9．所以y M ·y N 为定值－9． …………………16分 19．解：（1）因为f′(x )＝e x ，所以f′(0)＝1．又f (0)＝1，所以y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1． …………………2分 因为g ′(x )＝2ax ＋b ，所以g ′(0)＝b ．又g (0)＝1，所以y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝bx ＋1．所以当a ∈R 且b ＝1时，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处总有相同的切线．…………………4分 （2）当a ＝1时，h (x )＝x 2＋bx ＋1e x，h ′(x )＝－x 2＋(2－b )x ＋b －1e x＝－(x －1)[x －(1－b )]e x ． …………………7分 由h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1－b ．所以当b ＞0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)．当b ＝0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，＋∞)．当b ＜0时，函数y ＝h (x )的减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞)． …………………10分 （3）当a ＝0时，则φ(x )＝f (x )－g (x )＝e x －bx －1，φ′(x )＝e x －b ．①当b ≤0时，φ′(x )≥0，函数φ(x )在R 上是增函数．因为φ(0)＝0，所以x ＜0时，φ(x )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． …………………12分 ②当b ＞0时，由φ′(x )＞0，得x ＞ln b ，φ′(x )＜0，得x ＜ln b ， 所以函数φ(x )在(－∞，ln b )上是减函数，在(ln b ，＋∞)上是增函数．（Ⅰ）当0＜b ＜1时，ln b ＜0，φ(0)＝0，所以φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾． （Ⅱ）当b ＞1时，同理φ(ln b )＜0，与函数f (x )≥g (x )矛盾．（Ⅲ）当b ＝1时，ln b ＝0，所以函数φ(x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 所以φ(x )≥φ(0)＝0．故b ＝1满足题意．综上所述，b 的取值的集合为{1}． …………………16分20．解：（1）设等差数列的公差为d ，则S 6＝6a 1＋15d ＝22，a 1＝2，所以d ＝23．………………2分所以S n ＝n (n ＋5)3 ．a n ＝23(n ＋2) ………………4分 （2）因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q ＞1． 要使q 最小，只需要k 2最小即可．若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝43，此时a k 3＝329/∈{a n }， 所以k 2＞2，同理k 2＞3． ………………6分 若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时a k n ＝2n ．因为a k n ＝23(k n ＋2)，所以k n ＝3×2n －1－2． ………………10分 （3）因为a k n ＝23(k n ＋2)＝2q n －1，所以k n ＝3q n －1－2(q ＞1)．当q 不是自然数时，k n 不全是正整数，不合题意，所以q ≥2，q ∈N *．. 不等式6S n ＞k n ＋1有解，即2n (n ＋5)＋23 q n＞1有解．经检验，当q ＝2，3，4时，n ＝1都是2n (n ＋5)＋23 q n＞1的解，适合题意． …………………12分以下证明当q ≥5时，不等式2n (n ＋5)＋23 q n≤1恒成立．设b n ＝2n (n ＋5)＋23 q n．则b n ＋1b n ＝2(n ＋1)(n ＋6)＋23 q n ＋12n (n ＋5)＋23 q n＝n 2＋7n ＋73q (n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2n ＋6n 2＋5n ＋1)＝13q (1＋2(n ＋3)(n ＋3)2－(n ＋3)－5) ＝13q (1＋2(n ＋3)－5n ＋3－1)． 因为f (n )＝(n ＋3)－5n ＋3－1在n ∈N *上是增函数， 所以f (1)≤f (n )＜＋∞，即74≤f (n )＜＋∞．所以13q ＜b n ＋1b n ≤57q ． ……………………14分因为q ≥5，所以b n ＋1b n ＜1．所以数列{b n }是递减数列．所以b n ≤b 1＝143q＜1．综上所述，q 的取值为2，3，4． ……………………16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ．所以PB ＝r 2－OP 2＝32． ………………5分 因为PC ·PD ＝PA ·PB ＝PB 2，PC ＝98， 所以PD ＝23． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y )． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤x y ，得22x ′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ． …………………5分 所以x ′＝22(x ＋y )，y′＝22(y －x )． 因为x ′y′＝1，所以y 2－x 2＝2．所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2． …………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的普通方程为4x －3y －2＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2＝a 2． ………………5分 由题意，得|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或a ＝29． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22x 1·x 1＋2x 23x 2·x 2＋2x 21x 3·x 3＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2．即x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1． …………………10分 22．（本小题满分10分）解：（1）由点A (1，2)在抛物线M ∶y 2＝2px 上，得p ＝2．所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ． …………………3分设B (y 214，y 1)，C (y 224，y 2)． 所以1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋y 224－1y 2－2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 2＋24＝1． …………………7分 （2）设D (y 234，y 3)．则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－y 3＋24＝0． ………………10分 23．设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中，a i ＝2或－2(1≤i ≤2m )．（1）求满足“对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ； （2）若对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，求满足“存在1≤k ≤m ，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B ．解：（1）因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k ＝－1，所以(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)．共有2种情况．由乘法原理，得序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ＝2m ． …………………5分（2）当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由（1）知有2m －1种，所有共有2C 1m 2m －1种．当存在二个k 时，因为对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有|i =2k －1∑2la i |≤4成立，所以这两组共有2C 2m 种， 其余的由（1）知有2m－2种，所有共有2C 2m 2m －2种．… 依次类推得：B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m )． …………………10分。

2014年江苏高考数学模拟试题(一)数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,B x =-, 且A B ⊆，则实数x 的值为 ．1．答案：1，解析：根据子集的定义知x 的值为1．2．已知复数(1)(1)i bi +⋅+为纯虚数，则实数b 的值为 ．2．答案：1，解析：(1)(1)(1)(1)i bi b b i +⋅+=-++ ，(1)(1)i bi +⋅+是纯虚数，10b ∴-=，且10b +≠ ，1b ∴=．3．一个算法的流程图如下图所示，则输出s 的结果为 ．3．答案:11，解析:第一次循环后，3Y =，第二次循环后,5Y =，第三次循环后，7Y =,⋅⋅⋅,所以输出11Y =．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页,包含填空题（第1题-第14题)、解答题（第15题-第20题）．本卷满分160分,考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0。

5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整,笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．I←1While I ＜6Y ←2I+1图,则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += ． 4．答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为32a =，乙的中位数为25.5a =，．57.5a b ∴+=．5．一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1,2,3，4，5，6，甲先摸出一个球,记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 ．5．答案：56，解析：设“编号不相同”为事件B ，则“编号相同"为其对立事件B ，事件B 包含的基本事件为（1，1），（2,2），(3，3)，(4，4)，（5,5)，(6，6），61()366P B ==， 所以15()1()166P B P B =-=-=，编号不同的概率为56． 6．在△ABC 中，角A ,B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=,则角A 的大小为 ．6．答案：π3，解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=, ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．7．已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s ，设(10,0)A 为起始点，记点P 在y 轴上的射影为M ，则10π秒时点M 的速度是cm/s ．7．答案:10，解析：运动t s 后，(10cos ,10sin ),P t t 则M 的位移()10sin S t t =，10cos v S t '∴==，则10π秒时点M 的速度是10cm/s ．瞬时变化率就是导数是解题的关键． 轴为8．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴为AB ，短CD ，E 是椭圆弧BD 上的一点,AE 交CD 于K ，CExyAM OP交AB 于L ，则22EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 。

2014实战演练·高三数学参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i ＋(2i)2＝－3－4i ，共轭复数为－3＋4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题．3. 45 解析：这组数据的平均数为9，s 2＝15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝45. 本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题．4. 23解析：记两个红球为A 1、A 2，两个白球为B 1、B 2，那么取出的两个球为A 1A 2、A 1B 1、A 1B 2、A 2B 1、A 2B 2、B 1B 2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为46＝23.本题主要考查古典概型，属于容易题．5. 27 解析：由a 3＋a 5＋a 7＝9，得a 5＝3，S 9＝a 1＋a 92³9＝a 5³9＝27.本题主要考查等差数列的概念和性质、前n 项和公式等简单的计算，属于容易题．6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x －y －6＝0与直线x －y ＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题． 7. 3 解析：s ＝6＋5＋4＝15，n －1＝3.本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题． 8. π6 解析：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π3，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－π3＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6.当k ＝0时，φ取最小正值π6.本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题． 9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．10. 23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．11. －43 解析：(解法1)由已知AD →＝DC →，则D 为AC 中点，BD →＝12(BC →－AB →)，AC →＝BC →＋AB →.BD →²AC →＝－12即12(BC →－AB →)·(BC →＋AB →)＝－12，故AB 2－BC 2＝1.又BC ＝2，所以AB ＝AC ＝5，cosA ＝5＋5－42³5＝35，所以CE →²AB →＝(AE →－AC →)·AB →＝⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →²AB →＝－AC →²AB →＋13AB →2＝53－5³35＝－43.(解法2)取BC 中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、C(1，0)．设A(0，m)，由AD →＝DC →，得D ⎝⎛⎭⎫12，m 2，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，m 2，AC →＝(1，－m)．由BD →²AC →＝－12，得32－m 22＝－12，解得m ＝2.这样E ⎝⎛⎭⎫－13，43，则CE →＝⎝⎛⎭⎫－43，43，AB →＝(－1，－2)，所以CE →²AB →＝－43.本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题． 12. [0，22＋2]解析：PF 1＋PF 2＝42，|PF 1－PF 2|PF 1＝⎪⎪⎪⎪2－42PF 1，a －c ≤PF 1≤a ＋c ，a ＝22，c ＝2，－2－22≤2－42PF 1≤22－2，|PF 1－PF 2|PF 1∈[0，2＋22]．本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．13. －1 解析：设f(y)＝lny －y 2＋ln e 22，则f′(y)＝1y －12＝2－y2y.当y ∈(0，2)时，f ′(y)>0；当y ∈(2，＋∞)时，f ′(y)<0，所以y ＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny －y 2＋ln e 22≤1；又由基本不等式得⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥2，当且仅当4cos 2(xy)＝14cos 2（xy ）时取等号，即cos 2(xy)＝14， 所以log 2⎣⎡⎦⎤4cos 2（xy ）＋14cos 2（xy ）≥1，所以log 2[4cos 2(xy)＋14cos 2（xy ）]＝lny －y 2＋ln e22成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，cos 2（xy ）＝14，所以cos4x ＝－12，ycos4x ＝－1. 本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．14. ⎣⎡⎭⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]， [2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫7225＝－4125， 直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0， 取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以A 1B 1∥AB.(3分)而A 1B 1 平面ABD ，AB 平面ABD ， 所以直线A 1B 1∥平面ABD.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC. 因为AB 平面ABC ， 所以AB ⊥BB 1.(8分)因为AB ⊥BC ，BB 1 平面BB 1C 1C ，BC 平面BB 1C 1C ，且BB 1∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C.(11分) 又AB 平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BB 1C 1C.(14分)16. 解：(1) 因为cos ⎝⎛⎫A ＋π6＝sinA ，即cosAcos π6－sinAsin π6＝sinA ，所以32cosA ＝32sinA.(4分)显然cosA ≠0，否则，由cosA ＝0，得sinA ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，所以tanA ＝33.因为0＜A ＜π，所以A ＝π6.(7分)(2) 因为cosA ＝14，4b ＝c ，根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝15b 2， 所以a ＝15b.(10分)因为cosA ＝14，所以sinA ＝1－cos 2A ＝154.由正弦定理，得15b sinA ＝bsinB，所以sinB ＝14.(14分)17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分)由C(0)＝k100＝24，得k ＝2 400.(4分)因此F ＝15³k 20x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x ，x ≥0.(7分)(2) 由(1)知，F ＝1 800x ＋5＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800x ＋5·0.5（x ＋5）－2.5＝57.5.(10分)当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)＞0，即x ＝55时取等号．所以当x 为55时，F 取得最小值为57.5万元．(14分) (说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)18. 解：(1) 由e ＝223，得c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝89，即a 2＝9b 2，故椭圆的方程为x 29b 2＋y2b2＝1.(3分)又椭圆过点M(32，2)，所以189b 2＋2b2＝1，解得b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 236＋y 24＝1.(5分)(2) ① 记△MAF 2的外接圆的圆心为T.因为直线OM 的斜率k OM ＝13，所以线段MA 的中垂线方程为y ＝－3x.又由M(32，2)、F 2(42，0)，得线段MF 2的中点为N ⎝⎛⎭⎫722，22. 而直线MF 2的斜率kMF 2＝－1，所以线段MF 2的中垂线方程为y ＝x －3 2. 由⎩⎨⎧y ＝－3x ，y ＝x －32，解得T ⎝⎛⎭⎫324，－924.(8分) 从而圆T 的半径为⎝⎛⎭⎫42－3242＋⎝⎛⎭⎫0＋9242＝552，故△MAF 2的外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －3242＋⎝⎛⎭⎫y ＋9242＝1254.(10分)(说明：该圆的一般式方程为x 2＋y 2－322x ＋922y －20＝0.)② 设直线MA 的斜率为k ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由题意知，直线MA 与MB 的斜率互为相反数，故直线MB 的斜率为－k. 直线MA 的方程为y －2＝k(x －32)， 即y ＝kx ＋2－32k.由方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k ，x 236＋y 24＝1，消去y ，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k(1－3k)x ＋162k 2－108k －18＝0.(*) 由题意知，方程(*)有两解32，x 1，所以x 1＝182k （3k －1）9k 2＋1－32＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－3 2.同理可得x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－3 2.(13分)因此x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 1＋2－32k) ＝－k(x 2＋x 1)＋62k＝－1082k 39k 2＋1＋122k＝122k 9k 2＋1， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k 9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13，为定值．(16分)19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x －1在区间[－2，1]上单调递增， 所以当x ∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分) 而[－3，0] [－2，1]，所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分)(2) 因为g(x)＝3x ＋a x ＋1＝3＋a －3x ＋1.① 当a ＝3时，函数g(x)＝3，显然{3} [3，10]，故a ＝3满足题意； ② 当a ＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为⎣⎡⎦⎤30＋a 11，9＋a 4.由⎣⎡⎦⎤30＋a 11，9＋a 4 [3，10]，得⎩⎨⎧30＋a11≥3，9＋a 4≤10，解得3≤a ≤31，故3＜a ≤31；(7分) ③ 当a ＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋a －3x ＋1＜3，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是区间[3，31]．(9分) (3) 因为h(x)＝x 3－3x ，所以h′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．因为当x ＜－1或x ＞1时，h ′(x)＞0；当x ＝－1或1时， h ′(x)＝0；当－1＜x ＜1时，h ′(x)＜0，所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增． 从而h(x)在x ＝－1处取得极大值2，在x ＝1处取得极小值－2.(11分) 解法1：① 当a ＜b ≤－1时，因为h(x)在区间[a ，b]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2，此时无解．② 当a ≤－1＜b ≤1时，因为h(－1)＝2＞b ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ③ 当a ≤－1且b ＞1时， 因为h(－1)＝2，h(1)＝－2， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，b ≥2. 由⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.④ 当－1≤a ＜b ≤1时，h(x)在区间[a ，b]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （b ）＝b 3－3b ≥a ，h （a ）＝a 3－3a ≤b.(*) 又a 、b ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．⑤ 当－1≤a ≤1且b ≥1时，因为h(1)＝－2＜a ，与“h(x)在区间[a ，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ⑥ 当1≤a ＜b 时，因为h(x)在区间[a ，b]上递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2， 此时无解．综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 解法2：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝a 3－3a ≥a ，h （b ）＝b 3－3b ≤b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）（a －2）≥0，b （b ＋2）（b －2）≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0或a ≥2，b ≤－2或0≤b ≤2.因为a ＜b ，所以－2≤a ≤0，0≤b ≤2.又a 、b ∈Z ，故a 只可能取－2，－1，0，b 只可能取0，1，2. ① 当a ＝－2时，因为b ＞0，故由h(－1)＝2，得b ≥2. 因此b ＝2.经检验，a ＝－2，b ＝2满足题意．② 当a ＝－1时，由于h(－1)＝2，故b ＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意． ③ 当a ＝0时，显然不满足题意． 综上所述，a ＝－2，b ＝2.(16分) 20. (1) 解：因为{a n }是等差数列，所以a n ＝(6－12t)＋6(n －1)＝6n －12t(n ∈N *)．(2分) 因为数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，所以当n ≥2时，b n ＝(3n －t)－(3n －1－t)＝2³3n －1.又b 1＝S 1＝3－t ，故b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－t ，n ＝1，2³3n －1，n ≥2.(4分) (2) 证明：因为{b n }是等比数列，所以3－t ＝2³31－1，解得t ＝1.从而a n ＝6n －12，b n ＝2³3n －1(n ∈N *)． 对任意的n ∈N *，由于b n ＋1＝2³3n ＝6³3n －1＝6(3n －1＋2)－12，令c n ＝3n －1＋2∈N *，则ac n ＝6(3n －1＋2)－12＝b n ＋1， 所以命题成立．(7分)从而数列{c n }的前n 项和T n ＝2n ＋1－3n 1－3＝12³3n ＋2n －12.(9分)(3) 解：由题意得d n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6（3－t ）（1－2t ），n ＝1，4（n －2t ）·3n，n ≥2. 当n ≥2时，d n ＋1－d n ＝4(n ＋1－2t)·3n ＋1－4(n －2t)·3n ＝8⎣⎡⎦⎤n －⎝⎛⎭⎫2t －32²3n . ① 若2t －32＜2，即t ＜74时，d n ＋1＞d n .由题意得d 1≤d 2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，解得－5－974≤t ≤－5＋974.因为－5＋974＜74，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－974≤t ≤－5＋974.(12分) ② 若2≤2t －32＜3，即74≤t ＜94时，d n ＋1＞d n (n ∈N ，n ≥3)． 由题意得d 2＝d 3，即4(2t －2)³32＝4(2t －3)³33，解得t ＝74.③ 若m ≤2t －32＜m ＋1(m ∈N ，m ≥3)，即m 2＋34≤t ＜m 2＋54(m ∈N ，m ≥3)时，d n ＋1≤d n (n ∈N ，2≤n ≤m)；d n ＋1≥d n (n ∈N ，n ≥m ＋1)．由题意得d m ＝d m ＋1，即4(2t －m)³3m ＝4(2t －m －1)³3m ＋1，解得t ＝2m ＋34.综上所述，t 的取值范围是{t|－5－974≤t ≤－5＋974或t ＝2m ＋34，m ∈N ，m ≥2}．(16分)南通市2013届高三第一次调研测试1. (－∞，－1] 解析：∵ A ＝{x|x>－1}，U ＝R ，∴ ∁U A ＝(－∞，－1]．2. 三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等基础知识，属于容易题．3. 48 解析：正四棱锥的斜高为32＋（7）2＝4，故S 侧＝12³(6³4)³4＝48.4. 14 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(2³1 007－1)＝ f(－1)＝4－1＝14.本题考查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．5. 否命题 解析：命题p 与q 符合互为否命题的关系．6. x 25－y 220＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c ＝5.又e ＝ca ＝5，则a ＝5，b ＝25，故该双曲线的标准方程为x 25－y220＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属于容易题．7. ±42 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a 5＝－36，13a 7＝－104，即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝－4，a 7＝－8，故a 5与a 7的等比中项为±a 5a 7＝±4 2.8. 38解析：由流程图知，当输入x 时，各次循环输出的结果分别是2x ＋1，2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，此时退出循环．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋7≥55，1≤x ≤9，解得6≤x ≤9，故输出的x 不小于55的概率为P ＝9－69－1＝38.9. 12解析：∵ |AB →＋AC →|＝|BC →|，|AB →＋AC →|＝|AC →－AB →|，∴ |AB →＋AC →|2＝|AC →－AB →|2，即|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →²AC →＝|AB →|2＋|AC →|2－2AB →²AC →，即AB →²AC →＝0，∴ AB →⊥AC →，即AB ⊥AC.又AB ＝1，AC ＝3，∴ BC ＝AB 2＋AC 2＝2，cosB ＝12，∴ BA →²BC →＝|BA →||BC →|cosB ＝1³2³12＝1，故BA →·BC →|BC →|＝12.10. －2 解析：因为0＜a ＜1，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，3x －4y －1<0.画出可行域(如图)，考查z＝x ＋y 的取值范围，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，3y －x ＋2＝0，得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝－2，故满足λ＜x ＋y 的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．11. y ＝ex －12 解析：由已知得f(0)＝f′（1）e ，∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋12x 2，∴ f ′(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e ＋x ，∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）e ＋1，即f′(1)＝e ，从而f(x)＝e x －x ＋12x 2，f ′(x)＝e x －1＋x ，∴ f(1)＝e －12，f ′(1)＝e ，故切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －12.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s 与时间t 之间的函数关系为s ＝Asin (ωt ＋φ)，且由题意，A ＝3，2πω＝3，所以ω＝2π3，s ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ.又当t ＝0时，s ＝3，所以3＝3sin φ，即sin φ＝1，φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以s ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t.故当t ＝5时，s ＝3cos 10π3＝－32.13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x 0，2x 0)．因为PA ＝PB ，所以CP ⊥AB ，从而有k CP k AB ＝－1，所以2x 0x 0＋1²a ＝－1，即a ＝－x 0＋12x 0.又把y ＝ax ＋3代入x 2＋y 2＋2x －8＝0，得(a 2＋1)x 2＋(6a ＋2)x ＋1＝0，则有Δ＝(6a＋2)2－4(a 2＋1)＝8a(4a ＋3)>0，解得a>0或a<－34，所以－x 0＋12x 0＞0或－x 0＋12x 0<－34.由此解得－1<x 0<0或0<x 0<2.本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系及不等式的有关知识及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，属于难题．14. (2，3) 解析：∵ m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2＝3（x －1）＋y －2x －1＋3（y －2）＋x －1y －2＝6＋y －2x －1＋x －1y －2，又x>3，y ＝x 2－1>2，∴ x －1>0，y －2>0，∴ y －2x －1＋x －1y －2≥2，当且仅当y －2x －1＝x －1y －2时等号成立，即y ＝x ＋1，与y ＝x 2－1联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故m 的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考查函数的性质及基本不等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．15. 证明：(1) 连结A 1B 和A 1C.因为E 、F 分别是侧面AA 1B 1B 和侧面AA 1C 1C 的对角线的交点，所以E 、F 分别是A 1B 和A 1C 的中点．所以EF ∥BC.(3分)又BC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1为正三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1A.故由EF ∥BC ，得EF ⊥A 1A.(8分) 又D 是棱BC 的中点，且△ABC 为正三角形，所以BC ⊥AD. 故由EF ∥BC ，得EF ⊥AD.(10分)而A 1A ∩AD ＝A ，A 1A 、AD 平面A 1AD ， 所以EF ⊥平面A 1AD.(12分)又EF 平面AEF ，故平面AEF ⊥平面A 1AD.(14分)16. 解：(1) 因为tanC ＝sinA ＋sinB cosA ＋cosB，即sinC cosC ＝sinA ＋sinBcosA ＋cosB ，所以sinCcosA ＋sinCcosB ＝cosCsinA ＋cosCsinB ， 得sin(C －A)＝sin(B －C)．(4分)所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C)(不成立)．即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3.(7分)(2) 由C ＝π3，设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0＜A 、B ＜2π3，知－π3＜α＜π3.因为a ＝2RsinA ＝sinA ，b ＝2RsinB ＝sinB ，(8分)所以a 2＋b 2＝sin 2A ＋sin 2B ＝1－cos2A 2＋1－cos2B2＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝1＋12cos2α.(11分)由－π3＜α＜π3，知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32.(14分) 17. 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x. 因为x ＞2－x ，故1＜x ＜2.(2分) 设DP ＝y ，则PC ＝x －y.因为△ADP ≌△CB′P ，故PA ＝PC ＝x －y.由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y 2 y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1＜x ＜2.(5分) (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)(6分) ＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．(8分)故当薄板长为 2 m ，宽为(2－2) m 时，节能效果最好．(9分) (3) 记凹多边形ACB′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x(2－x)＋⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)＝3－12⎝⎛⎭⎫x 2＋4x ， 1＜x ＜2.(10分)于是S 2′＝－12⎝⎛⎭⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x 2＝0 x ＝32.(11分) 关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减． 所以当x ＝32时，S 2取得最大值．(13分)故当薄板长为32 m ，宽为(2－32) m 时，制冷效果最好．(14分)18. (1) 解：令n ＝1，则a 1＝S 1＝1·（a 1－a 1）2＝0.(3分)(2) 证明：由S n ＝n （a n －a 1）2，即S n ＝na n2， ①得S n ＋1＝（n ＋1）a n ＋12. ②②－①，得(n －1)a n ＋1＝na n . ③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④③＋④，得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.(7分) 又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n ＝n －1.(9分)(3) 解：假设存在正整数数组(p ，q)，使b 1、b p 、b q 成等比数列，则lgb 1、lgb p 、lgb q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q3q .(11分)所以q ＝3q ⎝⎛⎭⎫2p 3p －13.(*)易知(p ，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分)当p ≥3，且p ∈N *时，2（p ＋1）3p ＋1－2p 3p ＝2－4p 3p ＋1＜0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2³333－13＜0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q)＝(2，3)，使b 1、b p 、b q 成等比数列．(16分) 19. (1) 解：依题设c ＝1，且右焦点F′(1，0)．所以，2a ＝EF ＋EF′＝（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋233＝23，b 2＝a 2－c 2＝2， 故所求的椭圆的标准方程为x 23＋y22＝1.(4分)(2) 解：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 213＋y 212＝1，①x 223＋y 222＝1.② ②－①，得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）3＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）2＝0.所以k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2（x 2＋x 1）3（y 2＋y 1）＝－4x P 6y P ＝－23.(9分)(3) 证明：依题设，k 1≠k 2.设M(x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 21)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是x M ＝－3k 1k 22＋3k 21，y M ＝2k 22＋3k 21.(11分) 同理x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22. 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 21）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.(13分)直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 21＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 21， 即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1²3k 1k 22＋3k 21＋2k 22＋3k 21， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.(15分) 当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23. 综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23.(16分) 20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，所以f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分)所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)max ≤0.又f′(x)＝lnx －1（lnx ）2－a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx 2＋1lnx －a ＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a ，故当1lnx ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x)max ＝14－a.所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(6分)(2) 命题“若 x 1、x 2∈[e ，e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤f ′(x)max ＋a ”．(7分)由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x)max ＝14－a ，∴ f ′(x)max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f(x)min ≤14”．(8分)① 当a ≥14时，由(1)，f(x)在[e ，e 2]上为减函数，则f(x)min ＝f(e 2)＝e 22－ae 2≤14，故a ≥12－14e2.(10分)② 当a ＜14时，由于f′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1lnx －122＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e)，f ′(e 2)]，即⎣⎡⎦⎤－a ，14－a . (ⅰ) 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x)≥0在[e ，e 2]恒成立，故f(x)在[e ，e 2]上为增函数，于是，f(x)min ＝f(e)＝e －ae ≥e ＞14，不合．(12分)(ⅱ) 若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f′(x 0)＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．所以，f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以，a ≥1lnx 0－14x 0＞1lne 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合．(15分)综上所述，实数a 的取值范围为a ≥12－14e 2.(16分)苏州市2013届高三调研测试1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A ∩B ＝{－1，2}．2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i5＝－i ，故|z|＝1.本题主要考查复数的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．3. 2 解析：样本的平均数为x －＝15(8＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s 2＝15[(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.4. 25解析：不妨设成等差数列的5个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(d>0)，则这5个数的和为5a ＝15，即a ＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概率是25.5. 1e 解析：设过坐标原点作函数y ＝lnx 图象的切线的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝lnx 0，切线的斜率为y′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x.又切线过切点(x 0，lnx 0)，所以lnx 0＝1x 0²x 0，解得x 0＝e ，故切线斜率为1x 0＝1e.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题．6. 3 解析：因为BB 1∥平面ADD 1，所以V 三棱锥A B 1D 1D ＝V 三棱锥B 1 AD 1D ＝V 三棱锥B AD 1D ＝13S △ADD 1²AB＝13³12³3³2³3＝3. 7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这个厂五年的总产值为S ＝1.1³（1－1.15）1－1.1＝11³(1.15－1)≈11³(1.6－1)＝6.6.本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n 项和等基础知识，属于容易题．8. 2 解析：当输入m ＝6，n ＝4时，Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝Int ⎝⎛⎭⎫64＝1，m n ＝64，∴ Int ⎝⎛⎭⎫m n ≠m n ，进入循环体，使c ＝6－4³1＝2，m ＝4，n ＝2，此时Int ⎝⎛⎭⎫m n ＝2＝mn，退出循环，输出n 的值2. 9. 2 解析：将x ＝c 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，当△ABC 为直角三角形时，有BF ＝AF ，∴ b 2a＝a ＋c ，∴ c 2－a 2＝a 2＋ac ，即2a 2＋ac －c 2＝0，(a ＋c)(2a －c)＝0，∴ 2a －c ＝0，故离心率e ＝ca＝2.本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．10. ⎝⎛⎭⎫－∞，34 解析：f ⎝⎛⎭⎫12＝12⎪⎪⎪⎪12＋1＝34，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋1），x ≥－1，－x （x ＋1），x<－1，当x<－1时，f(x)＝－x(x ＋1)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14≤f(－1)＝0，此时f(x)<f ⎝⎛⎭⎫12；当x ≥－1时，f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x （x ＋1）<34，解得－1≤x ≤12，所以不等式f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫12的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫x －14＜f ⎝⎛⎭⎫12等价于x －14<12，故此不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，34.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的不等式等基础知识，考查函数思想、等价转化思想．属于中等题．11. 17250 解析：因为θ为锐角，且sin (θ＋15°)＝45∈⎝⎛⎭⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos (2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2³⎝⎛⎭⎫452＝－725，从而sin (2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos (2θ－15°)＝cos [(2θ＋30°)－45°]＝cos (2θ＋30°)cos45°＋sin (2θ＋30°)sin45°＝－725³22＋2425³22＝17250.12. ⎣⎡⎦⎤3，559 解析：令z ＝2x 3＋y 3x 2y ＝2·x y ＋y 2x 2，y x ＝k ，则z ＝2k＋k 2.因k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3表示的平面区域(如图)知13≤k ≤2.利用导数求函数z ＝2k ＋k 2，k ∈⎣⎡⎦⎤13，2的最值，由z 对k 求导，z ′＝－2k 2＋2k ＝2k 3－2k2＝2（k －1）（k 2＋k ＋1）k2，令z′＝0得k ＝1，且当k ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，z ′<0，当k ∈(1，2)时，z ′>0，所以当k ＝1时，z min ＝3.又当k ＝13时，z ＝559，当k ＝2时，z ＝5，所以当k ＝13时，z max ＝559.故z ＝2x 3＋y 3x 2y∈⎣⎡⎦⎤3，559.本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题．13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r ＝2，直线的倾斜角为120°.因为k OC ²k AB ＝33²(－3)＝－1，所以OC ⊥AB ，易知∠xOC ＝30°.由图象的对称性知∠AOC ＝∠BOC ，即∠xOA －∠xOC ＝∠xOC －∠xOB ，所以∠xOA ＋∠xOB ＝2∠xOC ＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题．14. 12解析：设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，所以a 2－a·b －2b 2＝0，即1－|b |cosθ－2|b |2＝0，所以cos θ＝1－2|b |2|b |，所以－1≤1－2|b |2|b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧2|b|2＋|b|－1≥0，2|b|2－|b|－1≤0，解得12≤|b |≤1，故|b |的最小值为12.本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题．15. 解：(1) 由2πω＝π，得ω＝2.(2分)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3，得A ＝3.(4分)且2³2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0＜φ＜π2，∴ φ＝π6.∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(7分)(2) y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(9分)＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，(11分)∴ y max ＝3 2.(12分)此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，x ＝k π＋π24，k ∈Z .(14分)16. (1) 证明：∵ BC ⊥平面PAB ，AD 平面PAB ， ∴ BC ⊥AD.(3分)∵ PA ＝AB ，D 为PB 中点，∴ AD ⊥PB.(6分) ∵ PB ∩BC ＝B ，∴ AD ⊥平面PBC.(7分)(2) 解：连结DC ，交PE 于G ，连结FG . ∵ AD ∥平面PEF ，AD 平面ADC ， 平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴ AD ∥FG .(10分)∵ D 为PB 中点，E 为BC 中点，连结DE ，则DE 为△BPC 的中位线，△DEG ∽△CPG. ∴ DG GC ＝DE PC ＝12.(12分) ∴ AF FC ＝DG GC ＝12.(14分)17. 解：(1) ∵ ∠ABC ＝120°，∠ACB ＝θ，∴ ∠BAC ＝60°－θ. ∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ.∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.(2分)在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝ACsin ∠ADC，∴ AC ＝24cos θsin60°＝163cos θ.(5分)在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝ACsinB，∴ AB ＝ACsin θsin120°＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ.(7分)(2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝ACsinB，∴ BC ＝ACsin （60°－θ）sin120°＝32cos θsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.(10分)则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin (2θ＋60°)．(12分) ∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8) m ．(14分)18. 解：(1) 设F(－c ，0)，∵ A(a ，0)，B(0，－b)，C(0，b)，∴ FC →＝(c ，b)，BA →＝(a ，b)．∵ FC →²BA →＝5，∴ ac ＋b 2＝5. ①(2分) ∵ c a ＝12， ② 由①②，得a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.∴ 椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 线段FC 的方程为y ＝3x ＋3(－1≤x ≤0)，设P(x ，y)，则PA →²PB →＝x(x －2)＋y(y ＋3)＝x(x －2)＋3(x ＋1)(x ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫x ＋782＋4716.(8分)当PA →²PB →取得最小值时，x ＝－78，则P ⎝⎛⎭⎫－78，38.(10分)(3) 设M(0，m)，由NF →＝λFM →，得N(－1－λ，－λm)．(12分) 代入椭圆E 的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0. 即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分)∵ m ∈[－3，3]，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2. 则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.解得35≤λ≤1，即实数λ的取值范围为⎣⎡⎦⎤35，1.(16分) 19. 解：(1) 分别令n ＝1、2，代入条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝A ＋B ＋1，2a 2＋a 1＝4A ＋2B ＋1.(2分)又a 1＝32，a 2＝94，解得⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32.(4分)∵ a n ＋S n ＝12n 2＋32n ＋1， ①∴ a n ＋1＋S n ＋1＝12(n ＋1)2＋32(n ＋1)＋1. ②②－①，得2a n ＋1－a n ＝n ＋2.(6分)则a n ＋1－(n ＋1)＝12(a n －n)．∵ a 1－1＝12≠0，∴ 数列{a n －n}是首项为12，公比为12的等比数列．(8分)a n －n ＝12n ，则a n ＝n ＋12n .(10分)(2) ∵ 数列{a n }是等差数列，∴ 可设a n ＝dn ＋c ，则S n ＝n （d ＋c ＋dn ＋c ）2＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋d 2n.∴ a n ＋S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋3d 2n ＋c.(13分) 则A ＝d 2，B ＝c ＋3d2，c ＝1.∴ B －1A＝3.(16分)20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0.当a ＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a ≥32；(2分)当a ≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a ≤12.综上，a ≤12或a ≥32.(4分)(2) 当x ＝1时，f(x)＝f(1)．由题意， x ∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分) 1° 当a ≥1时，由f(x)≤f(1)，得x 2＋2x(x 2－a)≥3－2a ，即2a(x －1)≤2x 3＋x 2－3. ①∵ x ∈[0，1)，①式即2a ≥2x 3＋x 2－3x －1，即2a ≥2x 2＋3x ＋3.(7分)上式对一切x ∈[0，1)恒成立，∴ 2a ≥2＋3＋3，则a ≥4.(8分)2° 当0＜a ≤1时，由f(x)≤f(1)，得x 2－2x(x 2－a)φ(x 2－a)≥2a －1. (ⅰ) 当a ≤x ≤1时，x 2－2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x －1)≥2x 3－x 2－1. ②∵ x ∈[0，1)，②式即2a ≤2x 3－x 2－1x －1，即2a ≤2x 2＋x ＋1.(10分)上式对一切x ∈[0，1)恒成立，∴ 2a ≤2a ＋a ＋1，此式恒成立．(11分) (ⅱ) 当0≤x ＜a 时，x 2＋2x(x 2－a)≥2a －1，即2a(x ＋1)≤2x 3＋x 2＋1. ③∵ x ∈[0，1)，③式即2a ≤2x 3＋x 2＋1x ＋1，即2a ≤2x 2－x ＋1.(13分)1) 当a ≤14，即0＜a ≤116时，2a ≤2(a)2－a ＋1，∴ a ≤1.结合条件得0＜a ≤116.(14分)2) 当a ＞14(0＜a ≤1)，即 116＜a ≤1时，2a ≤1－18，∴ a ≤716.结合条件得116＜a ≤716.由1)、2)，得0＜a ≤716.(15分)综上，得0＜a ≤716或a ≥4.(16分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷1. {x|0＜x ≤1} 解析：集合A ＝(0，2)，∁U B ＝(－∞，1]，A ∩∁U B ＝{x|0＜x ≤1}．2. －i 解析：1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－2－5i5＝－i.3. 64 解析：320400＋320＋280³200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属于容易题．4. 17 解析：S ＝2³7＋3＝17.5. 1 解析：∠B ＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，AC ＝2sin45°³sin30°＝1. 本题主要考查三角形中的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题．6. [－6，2] 解析：a ＋b ＝(3，2＋k), |a ＋b|＝9＋k 2＋4k ＋4≤5，k 2＋4k －12≤0，－6≤k ≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题．7. －1≤a ≤6 解析：綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，命题p 对应的实数集合为A ＝(a －4，a ＋4), 命题q 对应的实数集合为B ＝(2，3)，B A ，⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，上面两个等号不能同时成立，所以－1≤a ≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题．8. 2 解析：画出区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤4是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x ＋y ＝a 与y 轴正半轴相交时，所经过平面区域的面积才可能为7，x ＋y ＝a 与y 轴交点坐标为(0，a)，与直线y －x ＝4的交点横坐标为a －42，那么12⎪⎪⎪⎪（4－a ）·a －42＝1，所以a ＝2，则t ＝2.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点、三角形面积等．属于中等题．9. (x －2)2＋(y ＋2)2＝1 解析：圆C 1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心(a ，b)，半径也为1，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1³1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 10. －30 解析：a 23＝a 1a 4，即(a 1－4)2＝a 1(a 1－6) a 1＝8，a 20＝8－(20－1)³2＝－30.11. y 2＝3x 解析：过点B 作准线的垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义，BF ＝BD ，在直角三角形BCD 中，BC ＝2BD ，故∠DBC ＝60°，所以直线AF 的倾斜角为60°，直线AF 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2.又AF ＝3，所以x A ＝3－p2，y A ＝3(3－p)．代入抛物线方程得p ＝32，故抛物线方程为y 2＝3x.本题考查抛物线的定义、方程、直线方程．属于中等题．12. π6 解析：f′(x)＝－3sin(3x ＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x ＋φ) －3sin(3x ＋φ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6是奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又0＜φ＜π，所以k ＝0，φ＝π6.本题考查复合函数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题．13. 85 解析：A 、B 两点分别位于x 轴的上方和下方，在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下，A ′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB 与x 轴的交点为N(4，0)，点N 在对应法则f ：P(m ，n)→P′(m ，2|n|)变换下不变，点M 的对应点M′经过的路线的长度为A′N ＋B′N ＝（4＋2）2＋122＋（6－4）2＋42＝8 5.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题．14. 233 解析：y ＝（1－t ）x －t 2x ＝(1－t)－t 2x ，显然t ≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝t 2x2>0，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a ，b] (－∞，0)或[a ，b] (0，＋∞)，所以⎩⎨⎧a<b<0，（1－t ）a －t 2a ＝a ，（1－t ）b －t 2b ＝b ，或⎩⎨⎧0<a<b ，（1－t ）a －t 2a ＝a ，（1－t ）b －t2b ＝b.所以方程（1－t ）x －t 2x＝x 有两个不同的负实根或两个不同的正实根，即方程x 2－(1－t)x ＋t 2＝0有两个不同的负实根或两个不同的正实根，所以Δ＝(1－t)2－4t 2>0，－1<t<13，a ＋b ＝1－t ，ab ＝t 2，所以方程只能有两个不同的正实根，所以b －a ＝（a ＋b ）2－4ab ＝－3t 2－2t ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫t ＋132＋43≤233.本题主要考查函数的性质及应用．考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题．15. 解：(1) f(x)＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sinxcosx ＋12＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2，(6分)∵ ω＝2，∴ T ＝2π2＝π.(8分)(2) ∵ x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴ π3≤2x －π6≤5π6，(9分)∴ 12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，(11分) ∴ 52≤f(x)≤3.(12分) ∵ 方程f(x)－t ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，∴ 52≤t ≤3，∴ 实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，3.(14分) 16. (1) 证明：∵ BD ⊥平面PAC ，PC 平面PAC ， ∴ PC ⊥BD.(2分)在△PAC 中，AC ＝10，PA ＝6，cos ∠PCA ＝45，∴ PA 2＝PC 2＋AC 2－2PC ³ACcos ∠PCA ，即36＝PC 2＋100－16PC ，∴ PC ＝8. ∴ AC 2＝PC 2＋PA 2， ∴ PC ⊥PA.(4分) 连结MO ，∵ M 是PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴ PA ∥MO ，∴ PC ⊥MO.(6分) 又BD ∩MO ＝O ，∴ PC ⊥平面BMD.(8分)(2) 解：由题意，得V M BCD ＝V C MBD ＝13S △MBD CM ＝16BD ³MO ³CM ＝14，(10分)∵ CM ＝12PC ＝4，MO ＝12PA ＝3，∴ BD ＝7，(12分)∴ 菱形ABCD 的边长AB ＝AO 2＋OB 2＝1492.(14分)17. 解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43³12x ＝23x ，(3分)∴ 392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.(6分) ∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655.∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜3655.(7分)(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ³53＝56x ，(9分)∴ l ＝(2x ＋2y)＋2³56x ＋⎝⎛⎭⎫2³23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ³133x ＝26，(11分) 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，(12分)此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．(14分)18. 解：(1) 由题意：c 2a 2＝34，∴ c 2＝34a 2，b 2＝14a 2.(2分)又P(2，1)在椭圆上，∴ 4a 2＋1b 2＝1，∴ a 2＝8，b 2＝2，∴ 椭圆C 方程为x 28＋y22＝1.(4分)(2) 设直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)，代入椭圆方程，得 (1＋4k 2)x 2－8(2k －1)x ＋16k 2－16k －4＝0.(6分)∵ 方程一根为2，∴ x A ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y A ＝－4k 2－4k ＋11＋4k 2，∴ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－8k －21＋4k 2，－4k 2－4k ＋11＋4k 2.(8分)∵ PA 与PB 倾斜角互补，∴ k PA ＝－k PB ，∴ 同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋8k －21＋4k 2，－4k 2＋4k ＋11＋4k 2，(10分)∴ k AB ＝y B －y A x B －x A ＝12，(12分)设直线AB 的方程为y ＝12x ＋m ，即x －2y ＋2m ＝0，M(－2m ，0)，N(0，m)(m ＜0)， d ＝|2－2＋2m|5＝|2m|5，MN ＝4m 2＋m 2＝5|m|，∴ S △PMN ＝12|2m|55|m|＝32，∴ m ＝－62，m ＝62(舍去)，(15分)∴ 所求直线AB 的方程为x －2y ＋6＝0.(16分) 19. 解：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ (S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2，即S 2n ＋1－S 2n －2(S n ＋1－S n )＝2，∴ (S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1， ∴ {(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ S n ＝1＋2n －1.(4分)(2) ① n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1， n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3.(10分)② ∵ 2n －1是奇数，S n ＝1＋2n －1为有理数，则2n －1＝2k －1，∴ n ＝2k 2－2k ＋1，(12分) 当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；(14分)∴ 存在N ∈[761，840]，当n ≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．(16分) 20. 解：(1) 由P(2，c)为公共切点，可得 f(x)＝ax 2＋1(a ＞0)，则f′(x)＝2ax ，k 1＝4a ，g(x)＝x 3＋bx ，则g′(x)＝3x 2＋b ，k 2＝12＋b ，(2分) 又f(2)＝4a ＋1，g(2)＝8＋2b ，(3分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝12＋b ，4a ＋1＝8＋2b ，解得a ＝174，b ＝5.(5分)(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则h′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 2，－b3，∴ x ∈⎣⎡⎦⎤－a 2，－b3时，有3x 2＋2ax ＋b ≤0恒成立．(6分)此时x ＝－b3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的一个根，∴ 3⎝⎛⎭⎫－b 32＋2a ⎝⎛⎭⎫－b3＋b ＝0，得a 2＝4b ，(7分)∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.又函数h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞上单调递增， (ⅰ) 若－1≤－a 2，即a ≤2时，最大值为h(－1)＝a －a24；(8分)(ⅱ) 若－a 2＜－1＜－a6，即2＜a ＜6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1；(9分) (ⅲ) 若－1≥－a6时，即a ≥6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1.(10分) 综上所述，M(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －a 24，0＜a ≤2，1，a ＞2.(11分)② 由①可知h(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增， ∴ h ⎝⎛⎭⎫－a 2为极大值，h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1，h ⎝⎛⎭⎫－a 6为极小值，h ⎝⎛⎭⎫－a 6＝－a354＋1.(13分) ∵ |f(x)＋g(x)|≤3，在x ∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧h （－2）≥－3，h ⎝⎛⎭⎫－a 6≥－3，即⎩⎨⎧－12a 2＋4a －7≥－3，－a 354＋1≥－3， 解得⎩⎨⎧4－22≤a ≤4＋22，a ≤6，(15分)∴ a 的取值范围是4－22≤a ≤6.(16分)。

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =I ，则A B =U ． 2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ．7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4， 则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ．9．已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则)4tan(π+a 的值为 ． 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ．11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =u u u r u u u r ，设CD u u u r ∥AG u u u r，若15AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rλ()∈R λ，则λ的值为 ．13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不（第5题）（第12题）ABCDOG同的零点，则实数k 的取值范围为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17．（本小题满分14分）111DC B AC BA （第16题）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求q的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．18．（本小题满分16分）θD CB A O（第17题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上不同的三点，A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅u u u u r u u u r为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为S n，已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N（第18题）都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数e()ln,()e xxf x mx a x mg x=--=，其中m，a均为实数．（1）求()g x的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立， 求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延 长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD ABAB BE=．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y a a a =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影 响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．E（第21-A 题）（1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-L ，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =； 当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-L ，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}1,2,3,4,7 2 3. 4 4.710 5．63 6．2 7 8. 23 9． 9810．13 11．9 12．6513. 73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭U14. [3(3++--U 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）1+cos2()622xf x x =⨯=3cos223x x +=)36x p++． …………………3分所以()f x 的最小正周期为22T pp ==， …………………4分值域为[3-+． …………………6分 （2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=．B Q 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A p ∈，∴3sin 5A ==． …………………10分在△ABC中，由正弦定理得32sin sin b A a B⨯=== …………………12分∴21sin sin()=sin()sin 32C A B A A A p p =---=+=． …………………14分 16．（1）证明：∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒，∴△1A AB 为正三角形． …………………2分 Q D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． …………………4分 Q 1A D CD D =I ，∴AB ⊥平面1A DC ． …………………6分∵AB ⊂平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． …………………8分 （2）证明：连结1C A ，设11AC AC E =I ，连结DE ． ∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． …………………10分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． …………………12分 ∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． …………………14分 17．解：（1）梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S q q +=⋅=sin cos sin q q q +，(0,)2pq ∈． …………………2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V pq q q q q =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+． 令()0V q '=，得1cos 2q =，或cos 1q =-（舍）． ∵(0,)2p q ∈，∴3pq =． …………………5分当(0,)3p q ∈时，1cos 12q <<，()0,()V V q q '>为增函数；当(,)32p p q ∈时，10cos 2q <<，()0,()V V q q '<为减函数． …………………7分∴当3pq =时，体积V 最大． …………………8分 （3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2q q ++，(0,)2pq ∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2q q q q q ++++，(0,)2pq ∈．…………………10分设()cos 2sin 12g q q q =++，(0,)2p q ∈．∵2()2sin 2sin 222g q qq =-++，∴当1sin22q =，即3pq =时，()g q 最大． …………………12分 又由（2）知3pq =时，sin cos sin q q q +取得最大值， 所以3pq =时，木梁的表面积S 最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分（3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ． ∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分 ∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分 ∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==u u u u r u u u r ． …………………15分∴OM ON ⋅u u u u r u u u r 为定值，定值为452． …………………16分19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++L L ， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++L L ， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 20．解：（1）e(1)()exx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA Q 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =Q ，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分Q 圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分 ∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DA AB BE =， AB AD =Q ，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----． 令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=x ．2(1)3P ==x ，122(2)339P ==⨯=x ，1122(3)33327P ==⨯⨯=x ，3122(4)3381P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．x 的分布表为…………………8分x 的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． …………………10分 23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数，∵1101221112(1)n n n n nn S C C C+++++=-++-L ，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-L ，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-L ，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-L=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-L ．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分 （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-L ，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-L =0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+L =0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+L L =20142012S S -． …………………9分 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。

盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数 学 试 卷一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-,{}2|10B x x =->，则A B =.2.命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ．3.函数2cos y x =的最小正周期为 ．4.设函数2()(2)1f x x a x =+--在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的最小值为 .【答案】2- 【解析】试题分析：函数()f x 的图象开口向上，对称轴为22a x -=-，由其在[)2,+∞上是增函数得222a --≤,所以2a ≥-，所以实数a 的最小值为2-.考点:二次函数的单调性。

5。

设向量(1,),(3,4)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为 。

6.在等比数列{}na 中，22a=，516a =，则10a = .7。

设函数()f x 是周期为5的奇函数，当02x <≤时，()23x f x =-，则(2013)f =.8.设命题:p 4>x ；命题082:2≥--x xq ，那么p 是q 的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分"、“充要”、“既不充分也不必要”）．【答案】 充分不必要 【解析】试题分析：不等式2280xx --≥的解集是(,2][4,)-∞-+∞,因为(4,)(,2][4,)+∞-∞-⊆+∞，所以p 是q 的充分不必要条件。

考点:充分条件和必要条件.9。

已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 。

10.在ABC ∆中,6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为 .11.在数列{}na 中,11a=，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = .。