2019届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题68

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V (2005全国3文)2．（2010湖北文9）若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A.[1-1+B.[1,3]C.[-1,1+D.[1-3．已知函数f (x)=1-xe ,g(x)=.342-+-x x 若有f(a)=g(b)，则b 的取值范围为（ ） （A ）．]22,22[+- （B ）．)22,22(+- （C ）．[1，3]（D ）．(1,3) （2011湖南文8）4．[ ]． A ．1001 B ．1000C ．999D ．998二、填空题5．若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为____________6．向量OA =（1，2），OB = (2，-1），OC =（1+m ，3），若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 应满足的条件为 ．7．利用简单随机抽样的方法，从n 个个体中（n ＞13）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为_____． 〖解〗3713 8．函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 .9．计算：2(1)i i +=______10．程序如下：t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×ii ←i ＋1End While Print t以上程序输出的结果是 ．11．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .12．如果圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，那么直线ax ＋by ＝0斜率的取值范围为________．解析：由题知圆心的坐标为(2,2)且圆上至少有三点到直线ax ＋by ＝0的距离为22，则 有|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2⇒a 2＋b 2＋4ab ≤0⇒－2－3≤a b ≤－2＋3，即2－3≤－a b ≤2＋ 3.13．已知等差数列{}{}34,81n n n n n n n a b n T T n +=-S ，的前项和分别为S 和且则88ab = 14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+，则m 的值为▲ ．15．在等比数列}{n a 中，若b a a a a a a =+>=+2019109),0(，则10099a a +=_______16．设集合2{3,log },{,}P a Q a b ==，若{0}P Q =，则PQ = ．17．设{}{}2,3A X X B X X ==＜＜＜＜︱-1︱1，则AB = .18．汽车轮胎的磨损与汽车行驶的距离成正比，已知某品牌的前轮轮胎可行驶的里程为m 千米，后轮轮胎可行驶n 千米，m n <．若在行驶一定的里程之后，将前后的两对轮胎互换，则可增加行驶的里程数，那么一套新的轮胎最多可以保证行驶的里程是 千米．19．等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为 20．已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是21．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242nn a a a +++∞→ = .22．命题：2,10x R x x ∃∈++≤的否定是 ▲ ．23．已知：如图，∠ACB ＝∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是_____________________________（只需填写一个你认为适合的条件）.24．函数y =的定义域为 .25．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若137920,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ ．26．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为 1227． 已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a 指向①时，输出的结果为S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果为S ＝n ，则m ＋n 的值为28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

课时作业(八)A [第8讲 指数与对数的运算](时间：30分钟 分值：80分)1．log 2 2＝( ) A ．－ 2 B. 2C ．－12 D.122.[]（－2）2－12＝( ) A. 2 B ．－ 2C.22 D ．－223．若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝( ) A ．m 3 B ．m 2 C ．9 D ．84．给出下列各式：36a 3＝2a ，4a 2＋b 2＝a ＋b ，3－2＝6（－2）2，－342＝42（－3）4，其中正确的式子的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．若log 32＝a ，则log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．3a －2－a 2 6．化简5log25[(lg2)2＋lg 52]的结果是()A ．lg 15 B ．lg 5C ．lg 215 D ．lg 257．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝2 2，则a b －a －b 的值等于( ) A. 6 B ．±2 C ．－2 D ．28．9．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________．10. (14)－2＋(16 2)0－2713＝________．11．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m ＝________．12．(13分)化简下列各式：(1)(x －1＋x ＋x 0) (x 12－x 12)；(2) ； (3)(a 3＋a －3)(a 3－a －3)÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]．13．(12分)设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边长，且c ≠1.求证：log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a .课时作业(八)B [第8讲 指数与对数的运算](时间：30分钟 分值：80分)1．给出下列四个式子：①6（－27）2＝±3；②3－2x 2＝(16x 8)112；③7a 7＋b 7＝a ＋b ；④10（－2）5x 10y 15＝－|x |y ·－2y (y <0)． 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．化简2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k 等于( ) A ．2－2k B ．2－(2k －1) C ．－2－(2k ＋1) D ．23．53－2log25125＝________．4．(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)＝________．5．对任意实数x ，下列等式恒成立的是( )6．化简 (a ，b ＞0)的结果是( ) A.ba B ．ab C.ab D ．a 2b7．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A.15B.125C ．lg 15D ．lg 1258．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则(lg a b )2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.149．化简：＝________．10．若log a x ＝1，log b x ＝2，log c x ＝4，则log abc x ＝________． 11．若log 1227＝a ，则log 616的值为用a 表示________．12．(13分)计算下列各题： (1)log 225·log 32 2·log 59；(2) (log 29＋log 419) (log 32＋log 90.5)； (3)lg(3＋5＋3－5)；(4)log 2(1＋32)＋log 2(1－32)； (5)(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2； (6)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06.13．(12分)当x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3 y (x ＋5 y )时，求2x ＋xy ＋3y x ＋xy －y 的值．课时作业(八)A1．D 2.C 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 9.3 10.14 11.60 12.(1)x －32－x 32 (2)－23xy xy (3)a ＋1a13．略课时作业(八)B1．C 2.C 3.1 4.152 5.C 6.C 7.B 8.A 9.ab 10.47 11.4（3－a ）3＋a12．(1)6 (2)12 (3)12 (4)－2 (5)1 (6)1 13.2。

绝密 ★ 启用前2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）总分：150分，时间：120分钟注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，12 3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝04．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．17 B．36C．52 D．725．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了() A．60里B．48里C．36里D．24里6．函数f(x)＝(cos x)·ln |x|的大致图象是()7．如图，半径为5 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．348．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．349．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．210．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 311．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝012．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( )A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 15．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________．16．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线P A与CD所成角等于60°．(1)求证：平面PCD⊥平面PBD；(2)求直线CD和平面P AD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在一点E，使得平面P AB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．20．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右顶点分别是A(－2，0)，B(2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．以下两题请任选一题： [选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．[选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集．2019年高考（理科）数学总复习综合试题（一）答案及解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：|z |＝cos 23＋sin 23＝1.故选A ． 答案：A2．|x |·(1－2x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由不等式|x |(1－2x )＞0可得 x ≠0，且1－2x ＞0，求得x ＜12，且x ≠0，故选A ．答案：A3．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．2x －y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，可得c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，可得b a ＝2.则该双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0.故选D ． 答案：D4．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为( )A ． 17B ．36C ．52D ．72解析：根据程序框图可知k ＝1，S ＝0，进入循环体后，循环次数、S 的值、k 的值的变化情况为：所以输出的S 的值为72.故选D ．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里解析：记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得：a 1＝192，∴a 4＝192×123＝24，a 5＝192×124＝12，此人第4天和第5天共走了24＋12＝36里．故选C ．答案：C6．函数f (x )＝(cos x )·ln |x |的大致图象是( )解析：函数f (x )＝(cos x )·ln |x |是偶函数，排除C ，D ． 当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝32·ln π6＜0.排除A ，故选B ． 答案：B7．如图，半径为5 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆，现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为( )A ．12B ．2125C ．14D ．34解析：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2 cm ，以纸板的圆心为圆心，作一个半径2 cm 的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1 cm 的小圆无公共交点．所以有公共点的概率为416，无公共点的概率为P (A )＝1－416＝34，故选D ．答案：D8．如图，正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．14D ．34解析：连接BF 、EF ，∵正四面体A -BCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，∴BF ⊥AD ，CF ⊥AD ，又BF ∩CF ＝F ，∴AD ⊥面BCF ，∴AE 在平面BCF 上的射影为EF ，设异面直线AE 和CF 所成的角为θ，正四面体棱长为1，则AE ＝CF ＝32，EF ＝22.∵cos θ＝cos ∠AEF ·cos ∠EFC ，∴cos θ＝2232×2232＝23.故直线AE 和CF 所成的角的余弦值为23.故选B ．答案：B9．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2解析：先根据约束条件画出可行域，如图示：z ＝2x ＋y ，将最小值转化为y 轴上的截距的最小值，当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12x ＋y ＝1得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1，代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝12， 故选B ．答案：B10．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2,1＋tan A tan B ＝2ABAC ，则AC ＝( )A ．6－1B ．1＋ 6C ．3－1D ．1＋ 3解析：∵1＋tan A tan B ＝2AB AC ，∴sin (A ＋B )sin B cos A ＝2c b ，∴sin C sin B cos A ＝2c b ，∴1cos A ＝2，即cos A ＝12，A ∈(0，π)，解得A ＝π3． 由余弦定理可得：(6)2＝22＋b 2－4b cos π3，∴b 2－2b －2＝0，解得b ＝1＋ 3.故选D ． 答案：D11．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ． 2x －y ＋5＝0解析：设Q (x ，y )，则P (－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0． 答案：D12．设函数f (x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，f (e)＝1e，则函数f (x )( ) A ．在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减 B ．在(0，＋∞)上单调递增C ．在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减解析：∵[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )，∴[xf (x )]′＝ln x x ＝⎝⎛⎭⎫ln 2x 2＋c ′，∴xf (x )＝12ln 2x ＋c ，∴f (x )＝ln 2x 2x ＋c x，∵f (e)＝1e ，∴1e ＝12e ＋c e ，即c ＝12，∴f ′(x )＝2ln x －ln 2x 2x 2－12x 2＝－ln 2x －2ln x ＋12x 2＝－(ln x －1)22x 2＜0，∴f (x )在(0，＋∞)为减函数．故选D ． 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 6的展开式中，第四项的系数为________． 解析：由已知二项式得到展开式的第四项为： T 4＝C 36(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－123x 3＝－52． 答案：－5214．设S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)，若a 3＝3，则a 100＝______． 解析：∵S n 是数列{a n }的前n 项和，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2(n ∈N *)， ∴数列{S n }是等差数列，设公差为d ，可得S n －S n －1＝d ． ∴a 3＝S 3－S 2＝d ＝3，则a 100＝S 100－S 99＝d ＝3.故答案为3． 答案：315．已知向量|a |＝2，b 与(b －a )的夹角为30°，则|b |最大值为________． 解析：以|a |，|b |为邻边做平行四边形ABCD ，设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝b －a ，由题意∠ADB ＝30°，设∠ABD ＝θ，∵|a |＝2，∴在△ABD 中，由正弦定理可得，AB sin 30°＝AD sin θ，∴AD ＝4sin θ≤4.即|b |的最大值为4.故答案为4． 答案：416．设点M ，N 是抛物线y ＝ax 2(a ＞0)上任意两点，点G (0，－1)满足GN →·GM →＞0，则a 的取值范围是_________．解析：过G 点作抛物线的两条切线，设切线方程为y ＝kx －1， 切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)，则由导数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ax 20y 0＝kx 0－12ax 0＝k ，解得k ＝±2a ．∵GN →·GM →＞0恒成立，∴∠AOB ＜90°， 即∠AGO ＜45°，∴|k |＞tan45°＝1，即2a ＞1， 解得a ＞14.故答案为⎝⎛⎭⎫14，＋∞．答案：⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 三、解答题：17．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项和公差均为12的等差数列，∴S n n ＋1＝12＋12(n －1)＝n2，∴S n ＝n (n ＋1)2．∴n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n .n ＝1时也成立．∴a n ＝n ．(2)b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a n ＋1·a n ＋2＝(n ＋1)2＋(n ＋2)2(n ＋1)(n ＋2)＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2．18．(12分)2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下(不含90分)则被淘汰．现有2 000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分段，其频率分布直方图如下图所示(频率分布直方图有污损)，但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在[50,110)的人数为1 440．(1)根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；(2)若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为964，求面试者甲答题个数X 的分布列和数学期望．解：(1)设竞聘者成绩在区间[30,50)，[90,110)，[110,130)的人数分别为x ，y ，z ， 则(0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋x ＝2 000－500，解得x ＝260， (0.017 0＋0.014 0)×20×2 000＋y ＝1 440，解得y ＝200， 0．003 2×20×2 000＋200＋z ＝500，解得z ＝172， 竞聘者参加笔试的平均成绩为：12 000×(260×40＋200×100＋172×120)＋(0.014×60＋0.017×80＋0.003 2×140)×20＝78.48(分)．(2)设面试者甲每道题答对的概率为p ，则C 13p (1－p )2＝964，解得p ＝34， 面试者甲答题个数X 的可能取值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫343＋⎝⎛⎭⎫143＝716，P (X ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫343＋C 13⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14＝45128， P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－716－45128＝27128，∴X 的分布列为：E (X )＝716×3＋45128×4＋27128×5＝483128．19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线P A 与CD 所成角等于60°．(1)求证：平面PCD ⊥平面PBD ；(2)求直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明：∵PB ⊥底面ABCD ，∴PB ⊥CD ， 又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD ， ∴CD ⊥平面PBD ，∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD ．(2)解：如图，以B 为原点，BA 、BC 、BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由(1)知△BCD 是等腰直角三角形，∴BC ＝4，设BP ＝b (b ＞0)，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )， 则P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， ∵异面直线P A 、CD 所成角为60°，∴cos 60°＝|P A →·CD →||P A →||CD →|＝44＋b 2·22＝12，解得b ＝2， ∵AD →＝(0,2,0)，P A →＝(2,0，－2)，设平面P AD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝2y ＝0n ·P A →＝2x －2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0,1)，设直线CD 和平面P AD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝22×8＝12，∴直线CD 和平面P AD 所成角的正弦值为12．(3)假设棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， 设PE →＝λP A →(0＜λ＜1)，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)， ∴E (2λ，0,2－2λ)，设平面DEB 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， BE →＝(2λ，0,2－2λ)，BD →＝(2,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BE →＝2λa ＋(2－2λ)c ＝0m ·BD →＝2a ＋2b ＝0，取a ＝λ－1，得m ＝(λ－1,1－λ，λ)，平面P AB 的法向量p ＝(0,1,0)，∵平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5， ∴平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值为66， ∴|cos 〈m ，p 〉|＝|m ·p ||m ||p |＝1－λ2(1－λ)2＋λ2＝66， 解得λ＝23或λ＝2(舍)，∴在棱P A 上存在一点E ，使得平面P AB 与平面BDE 所成锐二面角的正切值为5，E 为棱P A 上靠近A 的三等分点．20．(12分)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别是A (－2，0)，B (2，0)，离心率为22.设点P (a ，t )(t ≠0)，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．(1)证明：OP ⊥BC ；(2)若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求|t |的最小值． (1)证明：由题意可知：a ＝2，e ＝ca ＝1－b 2a 2＝22，则b ＝1， ∴椭圆的标准方程：x 22＋y 2＝1，设直线P A 的方程 y ＝t22(x ＋2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝t22(x ＋2)，整理得：(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝42－2t 24＋t 2，则C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t24＋t2，4t 4＋t 2， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2t ，直线OP 的斜率k OP ＝t 2， ∴k BC ·k OP ＝－1， ∴OP ⊥BC ；(2)解：由(1)可知：四边形OBPC 的面积 S 1＝12×|OP |×|BC |＝2|t ||t 2＋2|t 2＋4，则三角形ABC 的面积S 2＝12×22×4|t |4＋t 2＝42|t |4＋t 2，由42|t |4＋t 2≤2|t ||t 2＋2|t 2＋4，整理得：t 2＋2≥4， 则|t |≥2，∴|t |min ＝2，|t |的最小值2．21．(12分)已知函数f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ，g (x )＝x ln x －a x 2－1． (1)求证：对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2；(2)若方程g (x )＝0有两个根，设两根分别为x 1、x 2，求证：ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2．证明：(1)∵f (x )＝2x －(x ＋1)ln x ， ∴f ′(x )＝1－ln x －1x ，令h (x )＝1－ln x －1x，∴h ′(x )＝－1x ＋1x 2＝1－xx 2＜0，在(1，＋∞)恒成立，∴h (x )在(1，＋∞)单调递减， ∴h (x )＜h (1)＝1－ln 1－1＝0，∴f (x )在(1，＋∞)单调递减，∴f (x )＜f (1)＝2， ∴对∀x ∈(1，＋∞)，f (x )＜2(2)由g (x )＝x ln x －ax 2－1＝0，得ln x －1x ＝ax ，于是有ln x 1－1x 1＝ax 1，ln x 2－1x 2＝ax 2，两式相加得ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2)，①，两式相减得lnx 2x 1－x 1－x 2x 1x 2＝a (x 2－x 1)，②， 由②可得lnx 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2＝a ，③，将③代入①可得，ln x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x 2x 1x 2－x 1＋1x 1x 2(x 1＋x 2)， 即ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1，不妨设0＜x 1＜x 2，t ＝x 2x 1＞1，则x 1＋x 2x 2－x 1·ln x 2x 1＝t ＋1t －1 ln t ，由(1)可得t ＋1t －1ln t ＞2，∴ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＞2，∵ln x 1x 2－2×x 1＋x 2x 1x 2＜4x 1x 2x 2x 1＝ln x 1x 2－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2，∴2ln x 1x 2－4x 1x 2＞2，∴ln x 1x 2－2x 1x 2＞1， 即ln x 1＋ln x 22＞1＋2x 1x 2． 以下两题请任选一题：[选修4－4：坐标系与参数方程]22．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝mty ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4，直线l 过曲线C 的左焦点F ．(1)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |； (2)设曲线C 的内接矩形的周长为c ，求c 的最大值．解：(1)曲线C ：x 24＋y 2＝1，∴F (－3，0)，曲线C 与直线联立得13t 2－23t －1＝0，方程两根为t 1，t 2，则AB ＝2|t 1－t 2|＝1613． (2)设矩形的第一象限的顶点为(2cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，所以c ＝4(2cos θ＋sin θ)＝45sin(θ＋φ)， 所以当sin(θ＋φ)＝1时，c 最大值为45． [选修4－5：不等式证明选讲]23．(10分)已知函数f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立． (1)求实数t 的最大值；(2)当t 取最大时，求不等式⎪⎪⎪⎪x ＋t5＋|2x －1|≤6的解集． 解：(1)因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (x )≥t 恒成立， 所以只需t ≤f (x )min ，又因为f (x )＝9sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫9sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝13＋9cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥13＋29×4＝25，所以t ≤25，即t 的最大值为25．(2)t 的最大值为25时原式变为|x ＋5|＋|2x －1|≤6， 当x ≥12时，可得3x ＋4≤6，解得12≤x ≤23；当x ≤－5时，可得－3x －4≤6，无解；当－5≤x ≤12时，可得－x ＋6≤6，可得0≤x ≤12；综上可得，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤23．。

课时作业(十七) [第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间：30分钟 分值：80分)1．在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是( )A ．－21°与699°B ．180°与－540°C ．470°与590°D ．－90°与990°2．如果角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A ．12B ．－12C ．－32D ．－333．cos π3－tan 5π4＋34tan 2π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 3π2的值等于( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．－144．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．05．已知角α∈(0，2π)，其正弦线与余弦线的长度相等，但符号相反，那么角α的值是( ) A.3π4或5π4 B.5π4或7π4 C.3π4或7π4 D.π4或3π46．函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域是( )A ．(2k π－3π4，2k π＋3π4)(k ∈Z )B ．(2k π，2k π＋3π4)(k ∈Z )C ．(2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )D ．(2k π，2k π＋π2)或(2k π＋π2，2k π＋3π4) (k ∈Z )7．[2018·河南六市二联] 已知点A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB ，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A. 2B.32C.1D.128．[2018·珠海一中等六校二联] 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3，4)，将向量OA →绕点O 按逆时针方向旋转2π3后得向量OB→，则点B 的坐标是( ) A ．(－32＋23，－2－323)B ．(－32－23，－2＋323)C ．(－32＋23，－2＋323)D ．(－4，3)9．已知角α满足(4k ＋1)π<α<(4k ＋1)π＋π6(k ∈Z )，那么α2是第________象限角，2α是第________象限角．10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sin α＋sin β的值等于________________________________________________________________________．11．若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是________．12．(13分)(1)如果α是第一象限角，那么α3是第几象限角？(2)如果α是第二象限角，判断sin （cos α）cos （sin α）的符号．13．(12分)扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆O 1及与圆O 1外切，与OA ，OB 相切的圆O 2，问sin θ为何值时，圆O 2的面积最大？最大值是多少？课时作业(十七)1．C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B9．二 一 10.0 11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪⎪ β＝2k π－π6，k ∈Z ) 12．(1)α3是第一，二，三象限角 (2)sin （cos α）cos （sin α）<0. 13．sin θ＝13时，圆O 2的面积最大，最大面积为π64r 2。