导数中的零点问题(学生版)

导数的零点问题与恒成立问题

1.已知函数f(x)=ln x+ax+1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)对任意x>0，xe2x≥f(x)恒成立，求实数a的最大值.

2.

已知函数f x =a ln x +2 -x a ∈R .

(1)讨论f (x )的单调性和最值；

(2)若关于x 的方程e x =2m -1m ln m

x +2

(m >0)有两个不等的实数根x 1,x 2，

求证：e x 1

+e x 2

>2

m

.

3.

已知f x =sin n x ，g x =ln x +me x (n 为正整数，m ∈R )．

(1)当n =1时，设函数h x

=x 2-1-2f x ，x ∈0,π ，证明：h x 有且仅有1个零点；

(2)当n =2时，证明：f x 2

+g x <x +m e x -1．

4.已知函数f x =e x-a ln x,a∈R.

(1)当a=0时，若曲线y=f x 与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；

(2)当a=e时，证明：f x ≥e；

(3)若对任意x∈0,+∞

，不等式f x >a ln a恒成立，请直接写出a的取值范围.

5.

已知函数f x =x -a ln x ,a ∈R

(1)请讨论函数f x 的单调性

(2)当x ∈1e ,+∞ 时，若e x ≥λ

x ln ln x +x +1 +1 恒成立，求实数λ的取值范围

6.已知函数f x =ax2-1

ln x，其图象在x=e处的切线过点2e,2e

2

．

(1)求a的值；

(2)讨论f x 的单调性；

(3)若λ>0，关于x的不等式λxf x ≤e2λx-1在区间[1,+∞)上恒成立，求λ的取值范围．

第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）

(精讲+精练）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数

高频考点二：证明唯一零点问题

高频考点三：根据零点情况求参数

①利用最值（极值）研究函数零点问题

②利用数形结合法研究函数的零点问题

③构造函数研究函数零点问题

第四部分：高考真题感悟

第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）

1、函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数()

y f x

=，把使(

)0

f x=的实数x叫做函数()

y f x

=的零点．

（2）三个等价关系

方程0

)

(=

x

f有实数根⇔函数)

(x

f

y=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)

(x

f

y=有零点．

2、函数零点的判定

如果函数()

y f x

=在区间[,]

a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0

f a f b

⋅<，那么函数()

y f x

=

在区间(,)

a b内有零点，即存在(,)

c a b

∈，使得()0

f c=，这个c也就是()0

f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

1．（2022·全国·高二）已知函数()

f x的定义域为[]

15

-，，部分对应值如下表：

()

f x的导函数()

y f x

='的图象如图所示，

则下列关于函数()

f x的命题：

① 函数()

y f x

=是周期函数；

② 函数()

f x在[]

02，是减函数；

③ 如果当[]1,

x t

∈-时，()

f x的最大值是2，那么t的最大值为4；

④ 当12

导函数零点问题

一．方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.

二．解题策略

类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点

【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()

21e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()()

21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x

f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()21e x

g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；

当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得.

【解析】（1）因为()()21x f x x ax e =++，所以()()221e x

f x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+， 即()()()11e x

f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.

①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立.

利用导数研究零点问题及方程的根的问题

1.已知函数f x =x cos x +

14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,

π2 上存在唯一零点．

2.已知函数f x =e x+a

e x

-a-1

x-2a∈R

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.

3.设函数f x =x2-ax+2sin x.

(1)若a=1，求曲线y=f x

的斜率为1的切线方程；

(2)若f x 在区间0,2π

上有唯一零点，求实数a的取值范围.

4.已知f x =e x-2x.

(1)求f x 的单调区间；

上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,0

5.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.

(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；

(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.

6.已知函数f x =x2

e x

-a ln x，a≠0．

(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．

7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．

(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；

(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．

8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +

导数压轴题中的“隐零点”问题之专项训练题

1、设函数()2x

f x e ax =--. (Ι)求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.

变式训练： 已知函数()()ln ,f x x x ax a R =+∈.

（Ⅰ）若函数()f x 在)

2,e ⎡+∞⎣上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()()()1,,1x f x k x ax x ∀∈+∞>-+-恒成立，求正整数k 的值.

2、已知函数()()ln x

f x e x m =-+. (Ι)设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.

变式训练： 已知函数()32213

f x x x ax =

+++在()1,0-上有两个极值点1x 、2x ，且12x x <. (Ι)求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：()21112f x >.

3、已知a R ∈，函数()2

x f x e ax =+；()g x 是()f x 的导函数. （Ⅰ）当12

a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-

⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅲ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值.

变式训练：已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+

第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲

+精练）

目录

第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析

第三部分：第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）

1、不含参函数的隐零点问题

已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x

f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有： ①关系式0)('0=x f 成立；②注意确定0x 的合适范围.

2、含参函数的隐零点问题

已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则有

①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系；②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关.

3、函数零点的存在性

（1）函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =. ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号

(3)若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一.

导数中的零点问题解决方法

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数f(x)=x+a

x,g(x)=ln x，若关于x的方程

g

x

(

2

x)

=f(x)-2e只有

一个实数根，求 a 的值。

解析：g

x

(

2

x)

= f (x)-2e ⇒ a =

ln

x

x

- x2+2ex ，令 h(x)=

ln

x

x

- x2+2ex ，

h'(x)=1-ln x

-2x +2e ，令 h'(x)=0，则 x = e x2

当0 0 ，h(x)单调递增；当x>e时，h' (x) < 0 ，h(x)单调

递减， h(x)max= h(e)=1

e+ e2

注意这里 h(x)的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h'(x)的式子很复杂，但是如

果把 h(x)当成两个函数的和，即m(x)=ln

x

x

,n(x)= -x2+2ex，此时 m(x), n(x)的

单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h(x)的单调性和极值点。

所以 a =1

e+ e2（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）

二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x)在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着f (x)在区间(0,1) 上存在极值点。

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题

一、方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程

$f'(x)=0$。若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专

题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。

二、解题策略

类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点

例1】【2020·福建南平期末】

已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$

1）讨论$f(x)$的单调性；

2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有

两个零点，求$m$的取值范围。

分析】

1）首先求出函数的导函数因式分解为

$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：

①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。

②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1

1$为减函数。

③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由

$f'(x)<0$得$-1

1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。

综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；

当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，

导数大题的常用找点技巧和常见模型

湖南邵阳杨歆琪

【引子】（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x

x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析：（1）()()()()

2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+- 若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减； 若0a >，令()'0f x =，得11

,ln x e x a a

=

=. 当1

ln

x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭上递减；

当1ln

x a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln

a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增.

（2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln 1ln 0f x f a a a

⎛

⎫==--< ⎪⎝

⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1

'10g x

x

=--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫

-

-<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭

利用导数研究函数的零点问题

内容概览

题型一 利用导数探究函数零点的个数题型二 利用函数零点问题求参数范围题型三 与函数零点有关的证明

[命题分析]函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.

题型一 利用导数探究函数零点的个数

[典例1](2022·陇南模拟)已知函数f(x)=r1e-a(a∈R),讨论f(x

)的零点个数.

【解析】令f(x)=r1e-a=0,得a=r1e,

设g(x)=r1e,则g'(x)=e−(r1)e

(e)2=−e,

当x>0时,g'(x)<0,当x<0时,g'(x)>0,

所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(0)=1,而当x>-1时,g(x)>0,当x<-1时,g(x)<0,

g(x)的大致图象如图所示:

所以

①当a>1时,方程g(x)=a无解,

即f(x)没有零点;

②当a=1时,方程g(x)=a有且只有一解,

即f(x)有唯一的零点;

③当0<a<1时,方程g(x)=a有两解,

即f(x)有两个零点;

④当a≤0时,方程g(x)=a有且只有一解,

即f(x)有唯一的零点;

综上,当a>1时,f(x)没有零点;

当a=1或a≤0时,f(x)有唯一的零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.

【方法提炼】

利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法:

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第一部分：商业理念

1. 商业定位：

本项目定位为一家专门提供健康美味奶茶的店铺，以迎合年轻人的口味和需求，打造一个

轻松愉快的休闲氛围，成为学生们社交和放松的好去处。

2. 服务宗旨：

我们致力于为顾客提供新鲜、健康、美味、优质的奶茶产品，并秉承“用心服务，做好每

一杯奶茶”的理念，让顾客在品尝美味的同时感受到我们的用心。

3. 创新亮点：

我们将引入自己研发的独特口味和配方，结合市场的热点趋势，推出各具特色的新品，不

断吸引顾客的兴趣和好奇心。

第二部分：市场分析

1. 行业概况：

奶茶在中国市场已经成为一种非常受欢迎的饮品，特别是在年轻人中广受喜爱。根据统计，奶茶消费市场呈逐年增长的趋势。

2. 竞争分析：

目前，奶茶市场竞争激烈，主要有国内知名品牌如喜茶、奈雪等，以及一些地方性的小众

品牌。我们要在这激烈的竞争中找到自己的定位和优势。

3. 顾客需求：

年轻人是奶茶店的主要消费群体，他们更加注重奶茶口感的新颖和健康。我们要根据他们

的需求和口味调整我们的产品。

第三部分：商业模式

1. 产品定位：

我们的主打产品是各类口味的奶茶，包括原味奶茶、水果奶茶、招牌奶茶等，另外还会推

出一些季节限定品，满足顾客的不同口味需求。

2. 价格策略：

价格要有竞争力但又不能太低，我们要根据产品的成本和市场行情进行合理定价，同时推

出一些促销活动和会员福利，吸引顾客。

3. 客户服务：

我们将注重客户服务，提供优质的服务体验，包括热情的招待、舒适的环境和快捷的配送，让顾客感受到我们的诚意和用心。

第四部分：团队搭建

专题2.3导数中的零点问题

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x

=-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x

==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e

=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

第13讲导数的应用四：零点问题

一、三次函数零点问题

经典精讲

【例1】（2017春•腾冲县月考）已知函数y32﹣2x

（Ⅰ）求函数在点（0，0）处的切成方程

（Ⅱ）若函数y32﹣2x的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

二、零点个数判断

经典精讲

【例2】（2013•陕西）已知函数f（x）＝e x，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；

（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）与曲线y有唯一公共点．

【例3】（2018春•伊通县期末）已知函数f（x）．

（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若a＝1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．

【例4】（2018秋•全国期末）已知函数f（x）＝ax（3a+1）lnx+a，a∈R．（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＝1时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．

三、证明零点个数问题

经典精讲

【例5】（2019•云南一模）已知e是自然对数的底数，函数f（x）与F（x）＝f（x）﹣x的定义域都是（0，+∞）．

（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．

【例6】（2017秋•保山期末）已知函数．（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）在x∈[1，e]上无零点，求a的取值范围．总结：

四、对两个零点的加工处理

经典精讲

【例7】（2017秋•保山期末）已知函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为x+y﹣1＝0，求实数a的值；

导数中的零点问题

题型一：零点的基本解法（两种）

1、已知函数],1[

,ln 2)(22e e

x mx x x x f ∈+-=有两个零点，求实数m 的取值范围.

2、已知函数()()21+-=x a xe x f x (1)若e a =，求函数)(x f 的极值；

(2)若函数)(x f 有两个零点，求实数a 的取值范围．

3、已知函数()()x e a ae x f x x --+=22

（1）讨论()x f 的单调性：

（2）若()x f 有两个零点，求a 的取值范围。

4、已知函数()())0(22

12>-++-=a e x ax ax x f x （1）求函数()x f 的单调区间；

（2）若函数()x f 存在3个零点，求a 的取值范围。

1、曲线3x y =在点()1,1处的切线方程为 ；过点()1,1处的切线方程

为 。

2、已知函数

),()(23R n m nx mx x x f ∈++=． （1）若()x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围；

（2）若0)1(='f ，且过点)1,0(p 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切，求实数m 的值．

3、已知函数x bx ax x f 3)(2

3-+=在1±=x 处取得极值．

（1）求函数()x f 的解析式；

（2）若过点),1(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．

1、已知函数)(36)(23R t t x x x x f ∈++-=.

（1）求函数()x f 的单调区间；

（2）设函数)()(x f x g =有三个不同的极值点，求t 的取值范围．