高等数学CII期末试题D答案与评分标准

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

西南交通大学2012－2013 学年第(2)学期期中考试试卷解答课程代码 2100348_ 课程名称 高等数学CII 考试时间 120分钟一、选择题：8个小题，每小题3分，共24分。

1.已知2a = ，3b = ，(,)6a b π= ，则以向量 ()a b - 和向量 (2)a b +为邻边所作的平行四边形的面积为【 C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）11 解：由题意，得所求平行四边形的面积为()(2)(2)(2)0+2()0a b a b a a a b b a b b a b a b -⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯⨯- 向量积的反交换律向量积的分配律和结合律3()33sin(,)323sin 96a b a b a b a b π=⨯=⨯=∙∙∙= 向量积的模的定义，故应选（C ）。

2.以点(1,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(1,2,3)A B C D 为顶点的四面体ABCD 的体积为【 C 】 （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）6解法一：利用混合积的绝对值的几何意义。

由题意，得所求四面体ABCD 的体积为（以同一个顶点为起点的三个向量的混合积的绝对值的六分之一）140111()103(06)4(30)3666023AB AC AD -⨯=------= 行列式按第一行展开，故应选（C ）。

解法二：也可利用四面体的体积等于底面积乘以第四个顶点到底面的高的三分之一来计算。

由条件，可知三点(1,0,0),(0,4,0),(0,0,3)A B C 分别是三个坐标轴上的点，故此三点确定的平面的方程为1143x y z++=，即1234120x y z ++-=，则点(1,2,3)D到该平面的距离为 1813d ==又ABC ∆的面积为111113(1,4,0)(1,0,3)140(12,3,4)22222103ABCi j kS AB AC ∆=⨯=-⨯-=-===- ， 所以四面体ABCD 的体积为 111318333213ABC S d ∆== ，故应选（C ）。

高等数学期末试卷及答案一、填空题（每小题3分，共18分）1.[3分]设)arctan(y x z +=，则y z '=___________； 2. [3分]交换二次积分⎰⎰⎰⎰+121212212),(),(yydxy x f dy dx y x f dy 的积分顺序为 ； 3. [3分]已知∑∞=1!2n nn n n 收敛,则=∞→n n n n n !2lim ;4. [3分]设L 是从A(1,0)到B(-1,2)的直线段,则()x y dsL+⎰=_____________;5. [3分]设),(y x f 为连续函数, 且(1,1)6f =, 则有2222(1)(1)1lim(,)x y f x y dxdy ρρπρ→-+-≤=⎰⎰__________；6. [3分]微分方程dydx x y =-()3的通解是_________________。

二、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 设222(,,)x yzu f x y z e ++==, 而2sin z x y =.求ux ∂∂和 u y ∂∂； 2. [6分] 求函数2yz xe =在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数；3. [6分] 计算⎰⎰=D xyd I σ其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域。

三、试解下列各题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1．[6分] 求微分方程25)1(12+=+x x y dx dy －的通解；2．[6分] 将函数()1,(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数；3．[6分]计算曲面积分⎰⎰∑=z dSI , 其中∑是球面2222a z y x =++被平面h z =)0(a h <<截出的顶部。

四、[本题8分]求函数z y x u 22+-=在条件x y z 2221++=下的极值。

高数期末考试题及答案1. 单选题：1) 高数是一门基础学科。

2) 导数的几何意义是函数在某一点的斜率。

3) 定积分是求曲线下某一段的面积。

4) 曲线的凸性由函数的二阶导数决定。

答案：ABCD2. 多选题：1) 函数y = √x在x = 0处不可导的原因有：a) 函数不连续；b) 函数在x = 0处有间断点；c) 函数在x = 0处的左、右导数不等；d) 函数在x = 0处的导数不存在。

2) 函数y = e^x在区间(-∞, +∞)上是增函数的条件是：a) 函数在该区间内连续；b) 函数在该区间内为正；c) 函数的导数在该区间内恒大于0；d) 函数的导数在该区间内恒小于0。

答案：1) CD；2) C3. 简答题：请详细解释导数的定义，并给出一个实际例子。

解答：导数的定义是一个函数在某一点处的变化率或斜率。

数学上，对函数y = f(x)求导数，表示为f'(x)或dy/dx。

导数可以用于描述曲线的斜率，也可用于求函数的最大值、最小值等。

例如，一个移动的物体的位置随时间的变化可以用函数s(t)表示。

速度是位置对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt。

假设某物体的位置函数为s(t) = 2t^3 + t^2 - 3t + 1，则速度函数为v(t) = 6t^2 + 2t - 3。

4. 计算题：计算下列定积分：1) ∫(x - 2) dx，积分区间为[-1, 3]。

2) ∫(2e^x + 3x^2) dx，积分区间为[0, 2]。

3) ∫(2cos(x) - e^x) dx，积分区间为[0, π]。

解答：1) ∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C （C为常数）在积分区间[-1, 3]上计算，得到：∫[-1, 3](x - 2) dx = [(1/2)(3)^2 - 2(3)] - [(1/2)(-1)^2 - 2(-1)]= (9/2 - 6) - (1/2 + 2)= -11/22) ∫(2e^x + 3x^2) dx = 2∫e^x dx + 3∫x^2 dx= 2e^x + x^3 + C （C为常数）在积分区间[0, 2]上计算，得到：∫[0, 2](2e^x + 3x^2) dx = [2e^2 + 2^3] - [2e^0 + 0^3]= 2e^2 + 8 - 2 - 1= 2e^2 + 53) ∫(2cos(x) - e^x) dx = 2∫cos(x) dx - ∫e^x dx= 2sin(x) - e^x + C （C为常数）在积分区间[0, π]上计算，得到：∫[0, π](2cos(x) - e^x) dx = [2sin(π) - e^π] - [2sin(0) - e^0]= 0 - 1 - 0 + 1= 0以上就是高数期末考试题及答案，希望对你的学习有所帮助。

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）.（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2y x =2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数；（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=.4．函数(,))f x y y ，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点.5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散； （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散； （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。

高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的导数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：B2. 若曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率为-1，则该曲线在该点的切线方程是：A. y = -x - 5B. y = x - 5C. y = -x + 5D. y = x + 5答案：A3. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -sin(x) + cos(x) + CC. sin(x) - cos(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C答案：D5. 微分方程dy/dx + y = x^2的解是：A. y = (1/2)x^3 + CB. y = x^3 + CC. y = (1/3)x^3 + CD. y = x^2 + C答案：C6. 函数f(x) = e^x - x^2的极小值点是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A7. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e - 1C. e^e - 1D. e^e答案：C9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C10. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的拐点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 若f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 6，则f'(2) = ______。

（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。

吉林大学2019~2020学年第二学期《高等数学CII》试卷一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1.过点(1,2,4)-且与平面234x y z-+=垂直的直线方程是（ A ）．（A）124231x y z-+-==--（B）238x y z-+=（C）124124x y z-+-==-（D）124231x y z---==-2. 函数(),f x y(0,0)处的偏导数（B ）.（A）(0,0)xf'存在，(0,0)yf'不存在（B）(0,0)xf'不存在，(0,0)yf'存在（C）(0,0)xf'，(0,0)yf'都存在（D）(0,0)xf'，(0,0)yf'都不存在3. 设方程e1zxyz+=确定z是x，y的函数，则zx∂∂=（C ）．（A）e zyz-（B）e zyz（C）e zyzxy-+（D）e zyzxy+4.空间区域22{(,,)1,z0}x y z z x yΩ=≤+≤≥的体积是（A）（A）12004d rπθ⎰⎰（B）2200d rπθ⎰⎰（C）2004d rπθ⎰⎰（D）2200d rπθ⎰⎰5.设空间区域222{(,,)2,x y z x y z z Ω=++≤≥，(,,)f x y z 为连续函数，则三重积分(,,)d f x y z V Ω=⎰⎰⎰（ D ）． （A）11d (,,)d x y f x y z z -⎰⎰（B）14d (,,)d x y f x y z z ⎰（C ）221200d d (cos ,sin ,)d r r r f r r z z πθθθ-⎰⎰⎰（D）224000d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d f r r r r r ππθϕϕθϕθϕϕ⎰⎰6. 如果级数1(1)(0)np n p n∞=->∑绝对收敛，则常数p 的取值范围是（ Ａ ）.（A ）1p > （B ）01p << （C ）1p ≥ （D ）01p <≤二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分，请将答案写在题后的横线上.）1. 极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽ π⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．2.向量(2,3,5)=-a 与(3,,2)m =-b 互相垂直，则m =⎽⎽⎽-4/3⎽⎽⎽⎽⎽⎽．3. 曲线2224,:x y z y z x ⎧++=Γ⎨=+⎩在Oxz 平面上的投影柱面方程为 222x xz z ++=.4. 差分方程12x x x y y x +-=的通解为⎽c ⎽ .5. 将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数的形式为⎽10(1)(2),(22)2n nn n x x ∞+=---<∑⎽.6. 微分方程320y y y '''-+=的通解为 212x xc e c e+ .三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）.1．设f 为(2)C类函数，且(,)z f x y x y =+-，求d z 和2zx y∂∂∂.【解】1212,,z zf f f f x y∂∂''''=+=-∂∂………………2分 故1212d ()d ()d z f f x f f y ''''=++-……………4分211122122zf f f f x y∂''''''''=-+-∂∂ 1122f f ''''=-……………8分 2．设可导函数()f x 满足0()cos 2()sin d 1xf x x f t t t x +=+⎰求()f x ．【解】对方程两端关于x 求导，得()cos ()sin 2()sin 1f x x f x x f x x '-+=即 ()()tan sec f x f x x x '=-+……………3分 解得()cos sin f x C x x =+……………6分由 (0)1f =得1C =()cos sin f x x x =+……………8分3．设平面区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d 1Dxyx y x y +++⎰⎰.【解】积分区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y =++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数，则1222211d d 2d d 11=++++⎰⎰⎰⎰DD x y x y xy x y 12200ln 22d d 12ππθ==+⎰⎰r r r ……………4分 22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰，……………6分 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰……………8分 4. 求幂级数11n n x n -∞=∑的收敛域与和函数.【解】11limlim 1n n n n a n R a n→∞→∞++===，收敛区间为(1,1)- 当1x =时级数发散，当1x =-时级数收敛，故收敛域为[1,1)-.……………2分设11(),11,n n x S x x n-∞==-≤<∑ 则1()ln(1),11,n n x xS x x x n ∞===---<<∑且0x ≠，ln(1)()x S x x --=……………5分1(0)1,(1)lim ()ln 2x S s S x +→-=-==-从而11ln(1),0,11,1,0.n n x x x x x n x -∞=-⎧-≠-≤<⎪=⎨⎪=⎩∑……………8分四、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）.1. 设0,0,0x y z >>>，用Lagrange 乘数法求函数z y x u 23=在约束条件12x y z ++=下的最大值.【解】令)12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ，则…………3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=.12,0,02,0323322z y x y x F yz x F z y x F z y x λλλ…………6分 解得唯一驻点)2,4,6(，6,y 4,z 2x ===，最大值为.691224623max =⋅⋅=u …………8分2. 求微分方程242y y x ''+=满足(0)0,(0)1y y '==的特解．【解】 特征方程 240r +=…………2分 齐次微分方程通解 12cos 2sin 2c x c x +…………4分 又微分方程的一个特解为21124x -…………6分 因而非齐次通解为21211cos2sin 224c x c x x ++-………7分将初始条件代入上式得 特解为21111cos2sin 24224x x x ++-…………8分3. ∑是由曲线(1z 3)0y x ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周所形成的曲面. （1）写出∑的方程；（2）设区域Ω是由曲面∑与平面3z =围成的区域，计算e d d d z x y z Ω⎰⎰⎰.【解】（1）∑的方程221,(13)z x y z =++≤≤；………4分（2）33311e d d d e d d d e (z 1)d zz z z D x y z z x y z e e πΩ==-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………8分4. 设0a >，讨论级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性.【解】1111!0,(1)!1(1)!(1)lim n n n n n n n n nn n n na n u nu a n n au n a n nu a u e ++++→∞=≥+=⋅=++= ………4分（1）当a e <时，级数收敛；………5分（2）当a e >时，级数发散；………6分（3）当a e =时，，111(1)!11(1)!(1)n n n n n nn u a n n au n a n n++++=⋅=>++，得1n n u u +>，故lim 0n n u →∞≠级数发散. ………8分。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。

设,则.2。

曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。

其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。

等于0； B. 等于；C。

等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。

充分但非必要条件；C。

必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。

3.设,则A。

; B。

；C.；D。

4.若级数在处收敛，则此级数在处A。

绝对收敛; B。

条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。

5。

微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。

三。

（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。

（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。

（8分)求微分方程：的通解。

解:，原方程为：通解为：九。

幂级数:1。

试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。

1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。

（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。

2011－2012学年第(二)学期《高等数学CII 》期末试题详细解答一、填空题（每题3分，共18分）1、母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是22316y z -= 解：因为“母线平行于x 轴的柱面方程”中不含x ，故所求柱面方程就是“消去曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 方程中的x ”后得到的方程，即22316y z -=。

2、空间曲线段⎩⎨⎧==02L 2x y z ：绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为222()z x y =+ 解：因为“曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：在yoz 面上”，故它绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程就是将曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：的方程中的式子22z y =中的z 不变、y换成得到的，即为(22222()z x y ==+，也即222()z x y =+。

3、过点()1,1,2-且在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1的平面方程为12xy z ++= 解：由条件“所求平面在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1”，可设所求平面的截距式方程为121x y z c ++=，又所求平面过点()1,1,2-，则2111121c c-++=⇒=， 故所求平面方程为1211x y z++=，或2220x y z ++-=。

4、00x y →→=0解：2222000000221()112=lim 0112x x x y y y x y x y y x→→→→→→=++ 5、已知22yx ydxa dy x du ++=，则a =1- 解：此题是考平面曲线积分与路径无关的那几个等价条件。

因为222222x dy a ydx ay xdu dx dy x y x y x y +==++++，所以2222x yx ay x y x y ''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即22222222222222222222221()()()()x y x x x y y y y x x y a a a x y x y x y x y +-+---=⇒=⇒=-++++ 6、设L 为周长为a 的椭圆15422=+y x ，则22(254)L xy x y ds ++=⎰ 20a 解：因为椭圆周22:145x y L +=关于x 轴和y 轴对称，而 2222(254)2(54)LLLxy x y ds xy ds x y ds ++=++⎰⎰⎰，则由对称性，得20Lxy ds =⎰ ；故222222(254)(54)20202045L L L L x y xy x y ds x y ds ds ds a ⎛⎫++=+=+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 。

高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

25、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0, 6]上的值域是：A. [2, 9]B. [3, 9]C. [1, 9]D. [2, 12]答案：C2. 若f(x)=3x^2+2x-5，求f(-1)的值：A. -12B. -8C. -4D. -2答案：A3. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1, 4)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D4. 根据定积分的性质，∫[0, 1] x dx等于：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，那么∫[a, b] 2f(x) dx等于：A. 10B. 5C. 2D. 1答案：A6. 函数y=sin(x)在区间[0, π]上的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. 2sin(x) + C答案：A7. 若∫[0, 1] f(x) dx = 3，且f(x) = 6x - 2，求∫[0, 1] x(6x -2) dx的值：A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C8. 曲线y=x^2与直线y=4x在点(2, 4)处的切线相同，求该点处的切线方程：A. y = 4x - 4B. y = 8x - 12C. y = 4xD. y = x^2答案：A9. 若f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)的值：A. 3x^2-6x+2B. x^2-6x+2C. 3x^2-9xD. x^3-3x答案：A10. 若f(x)=e^x，求f'(x)的值：A. e^xB. x*e^xC. e^-xD. 1答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^2-4x+3，则f'(x)=________。

答案：2x-412. 曲线y=x^3-2x^2+x在x=1处的导数为________。

高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。

每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。

请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。

祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。

1 x + 3 v — 2[ — 51. -- = -- = ----- .(3)(5)(7)2008-2009学年第二学期《高等数学(下)》期中考试试卷参考答案和评分标准(高数6学时) 一、填空题(每小题3分，共15分)fficosOdOy f(pcos 。

,psin 0)pdp .4. V2 .5. 5.二、 选择题(每小题3分，共15分)l.C 2.B3.A4.C5.D三、 计算题(每小题7分，共49分) 1.解直线Jf+3z ：。

的方向向量为 x-y-z=\Ji j k s=(l,l, 3)x(1,-1,-1)=1 1 3 =2i+4j-2k=2Q + 2j-k) (3)1 -1 -1平面x-y-z+l=o 的法线向量为〃=(1, -1,-1) (5)因为s ・n=2x 1 +4x(-1 )+(—2)x(—l )=0,所以sin,从而直线"二号与平面x-)F1=O 的夹角为。

(7)2.解：两个隐函数方程两边对x 求导，得e A> (y + xy r ) - (y + xyf ) = 0< /=sin(E(i ，)尤一 z解得、,，_ y j E-z)y — ----------，七—1 ---------- x sin(x-z)因此即"-勺+[|-斗亍居dx x sin(x-z)又因为色2xV2 dz a2ydx 啮* *(有*a 司号为屏啮为丰,......(5) b5.解：利用对称性.⑵=rdxdydz3.解：令F(x,.y) = 4+4-h 则兀=芸，人=吝・ cr tr cr b 」 从而点(x, y)处的法向量为―2璀)处的内法向量为所以弩瓮5篇顽斗心哈.六蛇B(7)4.解： 因为积分区域 D = {(p^)\O<0<^O<p<a}, (2)所以^dy(x 2 + y 2)dx= ^p--pdpcld (5)■ “ D=f •国0=专。

2009~2010学年第二学期《高等数学CII 》试卷2010年7月1 日(共6道小题，每小题3分，满分18分)1.若3||=a ，2||=b ，且a 与b 的夹角为34π，则=+||b a .2. 过点(1,2,1)P -且与直线2:341x t L y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 .3. 设函数(,)z f x y =满足222z y ∂=∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x '==，则zx∂=∂ .4. 差分方程12xx x y y ++=的通解为 .5. 幂级数21(1)2nnn x n ∞=+∑的收敛区间为 .6. 微分方程6250y y y '''++=的通解为 ．(共6道小题，每小题3分，满分18分)1. 设函数(,)f x y 在点00(,)P x y 的两个偏导数x f '和y f '都存在，则（ ） (A) 00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在； (B) 00lim (,)x x f x y →和00lim (,)y y f x y →都存在；(C) (,)f x y 在P 点必连续； (D) (,)f x y 在P 点必可微.2. 设(,)u f x y xz =+，其中f 有二阶连续偏导数，则2ux z ∂=∂∂（ ）（A ）2111222()f xf x z f xzf '''''''++++； （B ）1222xf xzf ''''+； （C ）21222f xf xzf '''''++； （D ）22xzf ''.3. 曲面210z xy --=到原点的最短距离为（ ） （A ）12； （B ）1； （C ）32； （D.4. 设区域{}(,)1D x y x y =+≤，二重积分d d Dxy x y =⎰⎰（ ）(A) 16； (B) 124； (C) 0； (D) 13.5. 二元函数()()()()(),0,0,,0,,0,0x y f x y x y ≠==⎩在点)0,0(处（ ）． （A ）不连续，偏导数不存在; （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）连续，偏导数存在.6.下列级数中绝对收敛的级数是（ ）(A)1n ∞= (B) 13(1)()2n n n ∞=-∑；(C) 1(1)nn ∞=-∑ (D)11(1)nn n n∞=--∑.三、计算题(共4个小题，每小题8分，满分32分)1、设平面π过原点，且与直线1,12xy tz t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z++-==都平行，求π的方程.2、改变二次积分111I d xx y--=⎰⎰的积分次序，并求积分I的值.3、计算三重积分()d x z V Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =z =区域..4、求级数112nn n ∞=⋅∑的和.(共4个小题，每题8分，满分32分) 1、求二元函数()22,(2)ln f x y x y y y =++的极值．2、 将函数2()ed x t f x t -=⎰展开成x 的幂级数.3、设()y x 是一个连续函数，且满足()()0cos 2sin d ,xy x x y t t t =+⎰求()y x .4、已知曲线()y f x =经过原点，在原点的切线平行于直线250x y --=，且()y f x =满足微分方程369e xy y y '''-+=，求此曲线的方程.。