2015高考数学一轮复习必考解答题——基础满分练2
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2015高考数学基础训练2(韶关摸底)一、选择题1.函数y = )A .(),1-∞B .(],1-∞C .()1,+∞D .[)1,+∞2.复数2i i-(i 为虚数单位)等于( ) A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i + 3.已知命题2:,210p x R x ∀∈+>,则( )A .2:,210p x R x ⌝∃∈+≤B .2:,210p x R x ⌝∀∈+≤ C .2:,210p x R x ⌝∃∈+< D .2:,210p x R x ⌝∀∈+< 4.圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是( )A .0x y -=B .0x y +=C .0x =D .0y =5.不等式32x x -+<0的解集为( ) A .{}23x x -<< B .{}2x x <- C .{}23x x x <->或 D .{}3x x >6.若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°,且||=b b 等于( )A .(6,3)-B .(3,6)-C .(6,3)-D .(3,6)- 7.设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最小值为( ).A 6 .B 7 .C 8 .D 238.一个几何体的三视图如图1所示,其中俯视图与左视图均为半径是1的圆,则这个几何体的体积是( )A .43πB .πC .23πD .3π 9. 执行图2中的程序框图,若0.8p =,则输出的n =( )A .2B .3C .4D . 510.对函数()sin f x x x =,现有下列命题:①函数()f x 是偶函数;②函数()f x 的最小正周期是2π; ③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心;④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。
1. [2014·山东济宁]已知f (x )=12x 2+2xf ′(2014)+2014ln x ,则f ′(2014)=( ) A. 2015B. -2015C. 2014D. -2014解析:f ′(x )=x +2f ′(2014)+2014x ,所以f ′(2014)=2014+2f ′(2014)+20142014,即f ′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:B2. [2014·辽宁模拟]曲线y =x x -2在点(1,-1)处的切线方程为( ) A. y =x -2B. y =-3x +2C. y =2x -3D. y =-2x +1 解析:由题意得y =1+2x -2,所以y ′=-2x -2,所以所求曲线在点(1,-1)处的切线的斜率为-2,故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y +1=-2(x -1),即y =-2x +1.答案:D3. [2014·济南模拟]已知曲线y 1=2-1x与y 2=x 3-x 2+2x 在x =x 0处切线的斜率的乘积为3,则x 0的值为( )A. -2B. 2C. 12D. 1解析:由题知y ′1=1x 2,y ′2=3x 2-2x +2,所以两曲线在x =x 0处切线的斜率分别为1x 20,3x 20-2x 0+2,所以3x 20-2x 0+2x 20=3,所以x 0=1. 答案:D4. [2013·江西高考]设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________.解析:令e x =t ,则x =ln t ,∴f (t )=ln t +t ,∴f ′(t )=1t+1,∴f ′(1)=2. 答案:25. [2014·广东四校联考]已知函数y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =2x -1,则函数g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为________.解析:因为y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =2x -1,所以f ′(2)=2,f (2)=3.由g (x )=x 2+f (x )得g ′(x )=2x +f ′(x ),所以g (2)=22+f (2)=7,即点(2,g (2))为(2,7),g′(2)=4+f′(2)=6,所以g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.答案:6x-y-5=0。
一.单项选择题。
(本部分共5道选择题)1.设a ,b 满足2a +3b =6,a >0,b >0,则2a +3b的最小值为( )A.256B.83C.113D .4 解析 由a >0,b >0,2a +3b =6得a 3+b 2=1,∴2a +3b =(2a +3b )(a 3+b 2)=23+32+b a +ab≥136+2 b a ·a b =136+2=256.当且仅当b a =a b 且2a +3b =6,即a =b =65时等号成立.即2a +3b 的最小值为256.答案 A2.对于非零向量a ,b ,“a +b =0”是“a ∥b ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 若a +b =0,则a =-b . ∴a ∥b ;若a ∥b ,则a =λb ,a +b =0不一定成立. 答案 A3. 设变量x ,y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( )A. 20B.35C. 45D. 55解析 画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大,最大值为55,故选D. 答案 D4.已知点A (1,3),B (-2,-1).若直线l :y =k (x -2)+1与线段AB 相交,则k 的取值范围是( ). A .k ≥12B .k ≤-2C .k ≥12或k ≤-2D .-2≤k ≤12-1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=23⎝⎛⎭⎪⎫1-14n .答案 C二.填空题。
(本部分共2道填空题)1.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数点,事件B 为出现2点,已知P (A )=12,P (B )=16,则出现奇数点或2点的概率为________.解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )=12+16=23.答案232.已知直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=2交于不同的两点A 、B ,O 是坐标原点,|OA →+OB →|≥|AB →|,那么实数m 的取值范围是________.解析 方法1:将直线方程代入圆的方程得2x 2+2mx +m 2-2=0,Δ=4m 2-8(m 2-2)>0得m 2<4,即-2<m <2.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-m ,x 1x 2=m 2-22,|OA →+OB →|≥|AB →|即|OA →+OB →|≥|OB →-OA →|,平方得OA →·OB →≥0,即x 1x 2+y 1y 2≥0,即x 1x 2+(m +x 1)(m +x 2)≥0,即2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2≥0,即2×m 2-22+m (-m )+m 2≥0,即m 2≥2,即m ≥2或m ≤- 2.综合知-2<m ≤-2或2≤m <2.方法2:根据向量加减法的几何意义|OA →+OB →|≥|AB →|等价于向量OA →,OB →的夹角为锐角或者直角,由于点A ,B 是直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=2的交点,故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可,也即m 满足1≤|m |2<2,即-2<m ≤-2或者2≤m <2.答案 (-2,-2]∪[2,2) 二.填空题。
必考解答题——模板成形练(一) (对应学生用书P409)三角函数、平面向量及解三角形(建议用时:60分钟)1.在△ABC 中,cos A =63,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边. (1)求sin 2A ;(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+B =-223,c =22,求△ABC 的面积.解 (1)因为cos A =63,A ∈(0,π),∴sin A =33. ∴sin 2A =2sin A cos A =223.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+B =-223,得cos B =223, 由于B ∈(0,π),∴sin B =13.则sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =63. 由正弦定理,得a =c sin Asin C =2, ∴△ABC 的面积为S =12ac sin B =223.2.设a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边,m =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2,sin C 2,n =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2,-sin C 2,m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的大小;(2)已知c =72,△ABC 的面积S =332,求a +b 的值. 解 (1)由条件得m ·n =cos 2C 2-sin 2C2=cos C ,又m ·n =|m ||n |cos π3=12,∴cos C =12,0<C <π,因此C =π3. (2)S △ABC =12ab sin C =34ab =332,∴ab =6. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab , 得出(a +b )2=1214,∴a +b =112.3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且cos 2C =1-8b 2a 2. (1)求1tan A +1tan C 的值;(2)若tan B =815,求tan A 及tan C 的值. 解 (1)∵cos 2C =1-8b 2a 2,∴sin 2C =4b 2a 2. ∵C 为三角形内角,∴sin C >0,∴sin C =2ba . ∵a sin A =b sin B ,∴b a =sin B sin A ∴2sin B =sin A sin C . ∵A +B +C =π,∴sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C . ∴2sin A cos C +2cos A sin C =sin A sin C . ∵sin A ·sin C ≠0,∴1tan A +1tan C =12. (2)∵1tan A +1tan C =12, ∴tan A =2tan Ctan C -2.∵A +B +C =π, ∴tan B =-tan(A +C ) =-tan A +tan C 1-tan A tan C=tan 2C2tan 2C -tan C +2. ∴815=tan 2C 2tan 2C -tan C +2整理得tan 2C -8tan C +16=0 解得,tan C =4,tan A =4.4.已知向量m =(3sin x -cos x,1),n =⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ,12,若f (x )=m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)已知△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且c =3,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2+π12=32(C 为锐角),2sin A =sin B ,求C ,a ,b 的值. 解 (1)f (x )=m ·n =3sin x cos x -cos 2x +12=32sin 2x -1+cos 2x 2+12=32sin 2x -12cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,∴f (x )的最小正周期为π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2+π12=sin C =32,∵0<C <π2,∴C =π3, ∵2sin A =sin B ,由正弦定理得b =2a .①∵c =3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2ab cos π3,② 解①②组成的方程组,得⎩⎨⎧a =3,b =2 3.∴C =π3,a =3,b =2 3.必考解答题——模板成形练(二) (对应学生用书P411)立体几何(建议用时:60分钟)1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB =BC=CA=3,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明(1)在四边形ABCD中,因为BA=BC,DA=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为BC中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=3,DA=DC=1,所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥DC,因为DC⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,所以AE∥平面DCC1D12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,BC⊥平面P AB,∠APB=90°,PB=BC,N为PC的中点.(1)若M为AB的中点,求证:MN∥平面ADP;(2)求证:平面BDN⊥平面ACP.证明(1)设AC∩BD=G,连接NG,MG,易知G是AC,BD的中点,又N 是PC 的中点,M 为AB 的中点, ∴NG ∥P A ,MG ∥AD ,∴平面GMN ∥平面APD .又MN ⊂平面GMN ,∴MN ∥平面APD . (2)∵BC ⊥平面P AB ,AP ⊂平面P AB ,∴BC ⊥P A , ∵∠APB =90°,∴BP ⊥P A .∵BC ∩BP =B ,∴P A ⊥平面PBC ,∴BN ⊥P A . ∵PB =BC ,点N 为PC 的中点,∴BN ⊥PC . ∵PC ∩P A =P ,∴BN ⊥平面ACP .又BN ⊂平面BDN ,∴平面BDN ⊥平面ACP . 3.如图,已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面,E ,F 分别是AB ,PC 的中点. (1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)求证:EF ⊥CD ;证明 (1)取PD 的中点G ,连接AG ,FG .因为FG 为△PCD 的中位线,所以FG ∥CD ,且FG =12CD , 又AE ∥CD ,且AE =12CD , 所以AE ∥FG ,且AE =FG ,故四边形AEFG 为平行四边形,所以EF ∥AG . 又AG ⊂平面P AD ,EF ⊄平面P AD , 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A⊥CD.在矩形ABCD中,AD⊥CD,又P A∩AD=A,所以CD⊥平面P AD.因为AG⊂平面P AD,所以CD⊥AG.又EF∥AG,所以EF⊥CD.4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M分别为AB,DE的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,连接A′C,A′B,F为A′C 的中点,A′C=4.(1)求证:平面A′DE⊥平面BCD;(2)求证:FB∥平面A′DE.证明(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成,∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC=120°,四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=60°.又∵AD=AE=2,∴△A′DE和△ADE都是等边三角形.连接A′M,MC.∵M是DE的中点,∴A′M⊥DE,A′M= 3.在△DMC中,MC2=DC2+DM2-2DC·DM·cos 60°=42+12-2×4×1·cos 60°,∴MC=13.在△A′MC中,A′M2+MC2=(3)2+(13)2=42=A′C2.∴△A′MC是直角三角形,∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M,∴A′M⊥平面BCD.又∵A′M⊂平面A′DE,∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N,连接FN,NB.∵A′C=DC=4,F,N分别是A′C,DC的中点,∴FN∥A′D.又∵N,E分别是平行四边形ABCD的边DC,AB的中点,∴BN∥DE.又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N,∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB,∴FB∥平面A′DE.必考解答题——模板成形练(三)(对应学生用书P413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时:60分钟)1.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C 交于M、N两点.(1)求k的取值范围:(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.请将n表示为m的函数.解(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0(*),由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0得k2>3.所以k的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).(2)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x21,|ON|2=(1+k2)x22,又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2得,2(1+k2)m2=1(1+k2)x21+1(1+k2)x22,所以2m2=1x21+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x21x22由(*)知x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,所以m2=365k2-3,因为点Q在直线l上,所以k=nm,代入m2=365k2-3可得5n2-3m2=36,由m2=365k2-3及k2>3得0<m2<3,即m∈(-3,0)∪(0,3).依题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n=36+3m25=15m2+1805,综上,n 与m 的函数关系为n =15m 2+1805(m ∈(-3,0)∪(0,3).2.已知圆C :(x +3)2+y 2=16,点A (3,0),Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ,设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程;(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ,B ,△AOB (O 是坐标原点)的面积S =45,求直线AB 的方程.解 (1)由题意|MC |+|MA |=|MC |+|MQ |=|CQ |=4>23,所以轨迹E 是以A ,C 为焦点,长轴长为4的椭圆, 即轨迹E 的方程为x 24+y 2=1. (2)记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意,直线AB 的斜率不可能为0,而直线x =1也不满足条件, 故可设AB 的方程为x =my +1,由⎩⎨⎧x 2+4y 2=4,x =my +1,消x 得(4+m 2)y 2+2my -3=0, 所以y 1=-m +23+m 24+m 2,y 2=-m -23+m 24+m 2.S =12|OP ||y 1-y 2|=2m 2+3m 2+4.由S =45,解得m 2=1,即m =±1. 故直线AB 的方程为x =±y +1, 即x +y -1=0或x -y -1=0为所求.3.已知过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :x 2=2py (p >0)相交于B ,C 两点.当直线l 的斜率是12时,AC →=4AB →. (1)求抛物线G 的方程;(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.解 (1)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),当直线l 的斜率是12时,l 的方程为y =12(x +4),即x =2y -4,联立⎩⎨⎧x 2=2py ,x =2y -4得2y 2-(8+p )y +8=0,∴y 1=8+p +p 2+16p 4,y 2=8+p -p 2+6p 4由已知AC →=4AB →,∴y 2=4y 1,∴可得p 2+16p -36=0∵p >0可得y 1=1,y 2=4,p =2, ∴抛物线G 的方程为x 2=4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在,且不为0, 设l :y =k (x +4),BC 中点坐标为(x 0,y 0),由⎩⎨⎧x 2=4y ,y =k (x +4)得x 2-4kx -16k =0,由Δ>0得k <-4或k >0,x =2k ±2k 2+4k .∴x B +x C =2k∴x 0=x B +x C2=2k ,y 0=k (x 0+4)=2k 2+4k . BC 中垂线方程为y -2k 2-4k =-1k (x -2k ), ∴b =2(k +1)2,∴b >2.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为22.以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线x -y +2=0相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)如图,若斜率为k (k ≠0)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于A ,M ,N (A 点在椭圆右顶点的右侧),且∠NF 2F 1=∠MF 2A .求证直线l 过定点(2,0),并求出斜率k 的取值范围.解 (1)由题意知e =c a =22,∴e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又∵b =21+1=1,∴a 2=2,b 2=1,∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)由题意,设直线l 的方程为y =kx +m (k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由⎩⎨⎧y =kx +m ,x 2+2y 2=2得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-2=0. 由Δ=16k 2m 2-4(2k 2+1)(2m 2-2)>0,得m 2<2k 2+1, ∵x 1=-2km +4k 2-2m 2+12k 2+1,x 2-2km -4k 2-2m 2+22k 2+1则有x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1.∵∠NF 2F 1=∠MF 2A ,且∠MF 2A ≠90°,kMF 2+kNF 2=0. 又F 2(1,0),则y 1x 1-1+y 2x 2-1=0, 即kx 1+m x 1-1+kx 2+m x 2-1=0, 化简得2kx 1x 2+(m -k )(x 1+x 2)-2m =0.将x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1代入上式得m =-2k ,∴直线l 的方程为y =kx -2k ,即直线过定点(2,0). 将m =-2k 代入m 2<2k 2+1,得4k 2<2k 2+1,即k 2<12,又∵k ≠0,∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,22.必考解答题——模板成形练(四) (对应学生用书P415)实际应用题(建议用时:60分钟)1.在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解 (1)设箱底边长为x ,则箱高为h =33×a -x2(0<x <a ), 箱子的容积为V (x )=12x 2×sin 60°×h =18ax 2-18x 3(0<x <a ). 由V ′(x )=14ax -38x 2=0解得x 1=0(舍),x 2=23a , 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23a 时,V ′(x )>0; 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,a 时,V ′(x )<0,所以函数V (x )在x =23a 处取得极大值.这个极大值就是函数V (x )的最大值:V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a =18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2-18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3=154a 3. 所以当箱子底边长为23a 时,箱子容积最大,最大值为154a 3.2.如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC ,其中OAE 是一个游泳地,计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计),切点为M ,并把该地块分为两部分,现以点O 为坐标原点,以线段OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,若池边AE 满足函数y =-x 2+2(0≤x ≤2)的图象,且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43.(1)当t =23时,求直路l 所在的直线方程;(2)当t 为何值时,地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?解 (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,149,l :12x +9y -22=0(2)M (t ,-t 2+2),过切点M 的切线l :y -(-t 2+2)=-2t (x -t ) 即y =-2tx +t 2+2,令y =2得x =t 2,故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,2;令y =0,得x =t 2+1t ,又x =t 2+1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,43递减,所以x =t 2+1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712,116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2+1t ,0.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形,面积S =12⎝ ⎛⎭⎪⎫2-t 2-1t +2-t 2·2=4-t -1t =4-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +1t ≤2,t =1时取到等号,S max =2.3.济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k (k >0).现已知相距36 km 的A ,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ,b ,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC =x (km). (1)试将y 表示为x 的函数;(2)若a =1时,y 在x =6处取得最小值,试求b 的值.解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ,点C 受B 污染源污染指数为kb36-x ,其中k 为比例系数,且k >0.从而点C 处污染指数y =ka x +kb36-x (0<x <36).(2)因为a =1,所以,y =k x +kb36-x,y ′=k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1x 2+b (36-x )2,令y ′=0,得x =361+b ,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,361+b 时,函数单调递减; 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫361+b ,+∞时,函数单调递增;∴当x =361+b时,函数取得最小值. 又此时x =6,解得b =25,经验证符合题意. 所以,污染源B 的污染强度b 的值为25.4.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC ,∠C =90°,AB =200米,BC =100米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在AB 、BC 、CA 上取点D ,E ,F ,如图(1),使得EF ∥AB ,EF ⊥ED ,在△DEF 喂食,求△DEF 面积S △DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在AB ,BC ,CA 上取点D ,E ,F ,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.解 (1)Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =200米,BC =100米. ∴cos B =BC AB =12,可得B =60° ∵EF ∥AB ,∴∠CEF =∠B =60°设CECB =λ(0<λ<1),则CE =λCB =100λ米, Rt △CEF 中,EF =2CE =200λ米, C 到FE 的距离d =32CE =503λ米, ∵C 到AB 的距离为32BC =503米, ∴点D 到EF 的距离为h =503-503λ=503(1-λ)米 可得S △DEF =12EF ·h =5 0003λ(1-λ)米2∵λ(1-λ)≤14[λ+(1-λ)]2=14,当且仅当λ=12时等号成立,∴当λ=12时,即E 为AB 中点时,S △DEF 的最大值为 1 2503米2(2)设正△DEF 的边长为a ,∠CEF =α, 则CF =a ·sin α,AF =3-a ·sin α. 设∠EDB =∠1,可得∠1=180°-∠B -∠DEB =120°-∠DEB ,α=180°-60°-∠DEB =120°-∠DEB∴∠ADF =180°-60°-∠1=120°-α 在△ADF 中,a sin 30°=3-a sin αsin ∠ADF即a12=3-a sin αsin (120°-α),化简得a [2sin(120°-α)+sin α]= 3 ∴a =32sin α-3cos α=37sin (α-φ)≥37=217(其中φ是满足tan φ=32的锐角).∴△DEF 边长最小值为217米.必考解答题——模板成形练(五) (对应学生用书P417)数 列(建议用时:60分钟)1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =1-a n . (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =log 13a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证∑k =1n 1T k<2.解 (1)当n =1时,2S 1=1-a 1,2a 1=1-a 1,∴a 1=13;当n ≥2时,⎩⎨⎧2S n =1-a n ,2S n -1=1-a n -1,两式相减得2a n =a n -1-a n (n ≥2),即3a n =a n -1(n ≥2),又a n -1≠0,∴a n a n -1=13(n ≥2),∴数列{a n }是以13为首项,13为公比的等比数列. ∴a n =13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)由(1)知b n =log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n=n ,∴T n =1+2+3+…+n =n 2+n2,∑k =1n1T k =21×2+22×3+…+2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1<2. 2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,且S n =S n -1+2n (n ≥2,n ∈N *). (1)求S n ;(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9?若存在,求出数列{b n }的通项公式;若不存在,说明理由. 解 (1)因为S n =S n -1+2n ,所以有S n -S n -1=2n 对n ≥2,n ∈N *成立, 即a n =2n 对n ≥2成立,又a 1=2·1. 所以a n =2n 对n ∈N *成立.所以a n +1-a n =2对n ∈N *成立,所以{a n }是等差数列, 所以有S n =a 1+a n 2·n =n 2+n ,n ∈N *. (2)存在.由(1),得a n =2n ,n ∈N *成立, 所以有a 3=6,a 9=18,又a 1=2,所以由b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9,则b 2b 1=b 3b 2=3.所以存在以b 1=2为首项,公比为3的等比数列{b n }, 其通项公式为b n =2·3n -1.3.已知数列{a n }是首项a 1=1的等差数列,其前n 项和为S n ,数列{b n }是首项b 1=2的等比数列,且b 2S 2=16,b 1b 3=b 4. (1)求a n 和b n ;(2)令c 1=1,c 2k =a 2k -1,c 2k +1=a 2k +kb k (k =1,2,3,…),求数列{c n }的前2n +1项和T 2n +1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q , 则a n =1+(n -1)d ,b n =2q n -1. 由b 1b 3=b 4,得q =b 4b 3=b 1=2,由b 2S 2=2q (2+d )=16,解得d =2. ∴a n =2n -1,b n =2n .(2)∵T 2n +1=c 1+a 1+(a 2+b 1)+a 3+(a 4+2·b 2)+…+a 2n -1+(a 2n +nb n )=1+S 2n +(b 1+2b 2+…+nb n ). 令A =b 1+2b 2+…+nb n , 则A =2+2·22+…+n ·2n ,∴2A =22+2·23+…+(n -1)2n +n ·2n +1, ∴-A =2+22+…+2n -n ·2n +1, ∴A =n ·2n +1-2n +1+2. 又S 2n =2n (1+a 2n )2=4n 2,∴T 2n +1=1+4n 2+n ·2n +1-2n +1+2 =3+4n 2+(n -1)2n +1.4.已知数列{a n }满足:a n ≠±1,a 1=12,3(1-a 2n +1)=2(1-a 2n ),b n =1-a 2n ,c n =a 2n +1-a 2n (n ∈N *).(1)证明数列{b n }是等比数列,并求数列{b n }、{c n }的通项公式.(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ,c j ,c k (i <j <k )使之成为等差数列?若存在,请求出这样的不同项c i ,c j ,c k (i <j <k );若不存在,请说明理由.(3)是否存在最小的自然数M ,对一切n ∈N *都有(n -2)c n <M 恒成立?若存在,求出M 的值,若不存在,说明理由.(1)证明 因为a n ≠±1,a 1=12,3(1-a 2n +1)=2(1-a 2n ),b n =1-a 2n ,所以b n +1b n =1-a 2n +11-a 2n =23(n ∈N *),b 1=1-a 21=34,所以{b n}是以34为首项,23为公比的等比数列,所以b n =34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1(n ∈N *),所以a 2n =1-b n =1-34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1(n ∈N *)所以c n =a 2n +1-a 2n =14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1(n ∈N *) (2)解 假设存在c j ,c j ,c k (i <j <k )满足题意,则有2c j =c i +c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j -1=14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i -1+14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k -1化简得2j -i +1=3j -1+2k +j -i ,即2j -i +1-2k +j -i =3j -1,左边为偶数,右边为奇数不可能相等. 所以假设不成立,这样的三项不存在. (3)∵(n -2)c n -(n -1)c n +1=14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1×n -43,∴(1-2)c 1<(2-2)c 2<(3-2)c 3<(4-2)c 4,(4-2)c 4=(5-2)c 5,(5-2)c 5>(6-2)c 6>(7-2)c 7>……即在数列{(n -2)c n }中,第4项和第5项是最大项,当n =4时(n -2)c n =2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233=427,所以存在最小自然数M =1符合题意.必考解答题——模板成形练(六) (对应学生用书P419)函数与导数(建议用时:60分钟)1.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若对任意a ∈[3,4],函数f (x )在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.解 (1)因为f (x )=-x 3+ax 2+b , 所以f ′(x )=-3x 2+2ax =-3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2a 3.当a =0时,f ′(x )≤0,函数f (x )没有单调递增区间; 当a >0时,令f ′(x )>0,得0<x <2a3. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23a ; 当a <0时,令f ′(x )>0,得2a3<x <0. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,0.综上所述,当a =0时,函数f (x )没有单调递增区间; 当a >0时,函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23a ;当a <0时,函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,0.(2)由(1)知,a ∈[3,4]时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23a ,单调递减区间为(-∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,+∞,所以函数f (x )在x =0处取得极小值f (0)=b ,函数f (x )在x =2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3=4a327+b ,由于对任意a ∈[3,4],函数f (x )在R 上都有三个零点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3>0,即⎩⎪⎨⎪⎧b <0,4a 327+b >0,解得-4a 327<b <0,因为对任意a ∈[3,4],b >-4a 327恒成立,所以b >⎝ ⎛⎭⎪⎫-4a 327max =-4×3327=-4,所以实数b 的取值范围是(-4,0). 2.已知函数f (x )=ax +ln x -1,a ∈R .(1)若曲线y =f (x )在点P (1,y 0)处的切线平行于直线y =-x +1,求函数y =f (x )的单调区间;(2)若a >0,且对x ∈(0,2e]时,f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)直线y =-x +1的斜率k =-1, 函数y =f (x )的导数为f ′(x )=-a x 2+1x , f ′(1)=-a +1=-1,即a =2.∴f (x )=2x +ln x -1,f ′(x )=-2x 2+1x =x -2x 2. ∵f (x )的定义域为(0,+∞).由f ′(x )>0,得x >2;由f ′(x )<0,得0<x <2.∴函数f (x )的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2). (2)∵a >0,f (x )>0对x ∈(0,2e]恒成立, 即ax +ln x -1>0对x ∈(0,2e]恒成立. 即a >x (1-ln x )对x ∈(0,2e]恒成立, 设g (x )=x (1-ln x )=x -x ln x ,x ∈(0,2e]. g ′(x )=1-ln x -1=-ln x ,当0<x <1时,g ′(x )>0,g (x )为增函数, 当1<x ≤2e 时,g ′(x )<0,g (x )为减函数,所以当x =1时,函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值. ∴g (x )≤g (1)=1-ln 1=1,∴a 的取值范围是(1,+∞).3.已知函数f (x )=13x 3+bx 2+cx -3,y =f ′(x )为f (x )的导函数,满足f ′(2-x )=f ′(x );f ′(x )=0有解,但解却不是函数f (x )的极值点. (1)求f (x );(2)设g (x )=x f ′(x ),m >0,求函数g (x )在[0,m ]上的最大值;(3)设h (x )=ln f ′(x ),若对于一切x ∈[0,1],不等式h (x +1-t )<h (2x +2)恒成立,求实数t 的取值范围. 解 (1)f ′(x )=x 2+2bx +c ,∵f ′(2-x )=f ′(x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称,b =-1. 由题意,f ′(x )=x 2-2x +c =0中Δ=4-4c =0,故c =1.所以f (x )=13x 3-x 2+x -3.(2)∵f ′(x )=x 2-2bx +1 =(x -1)2, ∴g (x )=x |x -1|=⎩⎨⎧x 2-x ,x ≥1,x -x 2,x <1.当0<m ≤12时,g (x )max =g (m )=m -m 2 当12<m ≤1+22时,g (x )max =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=14,当m >1+22时,g (x )max =g (m )=m 2-m , 综上g (x )max=⎩⎪⎨⎪⎧m -m 2 (0<m ≤12)14 (12<m ≤1+22)m 2-m (m >1+22)(3)h (x )=2ln|x -1|,h (x +1-t )=2ln|x -t |,h (2x +2)=2ln|2x +1|当x ∈[0,1]时,|2x +1|=2x +1,所以不等式等价于0<|x -t |<2x +1恒成立, 解得-x -1<t <3x +1,且x ≠t ,由x ∈[0,1],得-x -1∈[-2,-1],3x +1∈[1,4],所以-1<t <1, 又x ≠t ,∴t ∈[0,1],∴所求的实数t 的取值范围是(-1,0). 4.已知函数f (x )=k [(log a x )2+(log x a )2]-(log a x )3-(log x a )3, g (x )=(3-k 2)(log a x +log x a ), (其中a >1),设t =log a x +log x a .(1)当x ∈(1,a )∪(a ,+∞)时,试将f (x )表示成t 的函数h (t ),并探究函数h (t )是否有极值;(2)当∈(1,+∞)时,若存在x 0∈(1,+∞),使f (x 0)>g (x 0)成立,试求k 的范围. 解 (1)∵(log a x )2+(log x a )2=(log a x +log x a )2-2 =t 2-2,(log a x )3+(log x a )3=(log a x +log x a )[(log a x +log x a )2-3]=t 3-3t , ∴h (t )=-t 3+kt 2+3t -2k ,(t >2). ∴h ′(t )=-3t 2+2kt +3设t 1,t 2是h ′(t )=0的两根,则t 1t 2<0,∴h ′(t )=0在定义域内至多有一解, 欲使h (t )在定义域内有极值,只需h ′(t )=-3t 2+2kt +3=0在(2,+∞)内有解,且h ′(t )的值在根的左右两侧异号,∴h ′(2)>0得k >94.综上:当k >94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植,当k ≤94时h (t )在定义域内无极值.(2)∵存在x 0∈(1,+∞),使f (x 0)>g (x 0)成立等价于f (x )-g (x )的最大值大于0. ∵t =log a x +log x a ,∴m (t )=-t 3+kt 2+k 2t -2k ,(t ≥2), ∴m ′(t )=-3t 2+2kt +k 2=0得t 1=k ,t 2=-k3.当k >2时,m (t )max =m (k )>0得k >2; 当0<k ≤2时,m (t )max =m (2)>0得17-12<k ≤2;当k =0时,m (t )max =m (2)<0不成立. 当-6≤k <0时,m (t )max =m (2)>0得-6≤k <-17-12;当k <-6时,m (t )max =m ⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 3>0得k <-6.综上得:k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-17-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17-12,+∞. 必考附加题——模板成形练(一)1.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA 1=6,点E ,F 分别在棱BB 1,CC 1上,且BE =13BB 1,C 1F =13CC 1. (1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小; (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.解 (1)建立如图所示的直角坐标系, 则A (0,0,0),E (2,0,2),A 1(0,0,6),F (0,2,4), 从而AE →=(2,0,2),A 1F →=(0,2,-2).记AE →与A 1F →的夹角为θ,则有cos θ=AE →·A 1F →|AE →|·|A 1F →|=-48·8=-12.又由异面直线AE 与A 1F 所成角的范围为(0,π), 可得异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(2)记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ,则由题设可令n =(1,y ,z ),且有平面ABC 的法向量为m =AA 1→=(0,0,6),AF →=(0,2,4),AE→=(2,0,2). 由n ·AF →=0,得2y +4z =0;由n ·AE →=0,得2+2z =0. 所以z =-1,y =2,即n =(1,2,-1). 记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β, 有cos β=n ·m |n |·|m |=-66·6=-66.由图形可知β为锐角,所以cos β=66.2.已知数列{b n }满足b 1=12,1b n+b n -1=2(n ≥2,n ∈N *).(1)求b 2,b 3,猜想数列{b n }的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设x =b n n ,y =b n +1n ,比较x x 与y y的大小.解 (1)当n =2时,1b 2+12=2,解得b 2=23;当n =3时,1b 3+23=2,解得b 3=34.猜想b n =nn +1.证明:①当n =1时,b 1=12.②假设当n =k (k ∈N *)时,即b k =kk +1,则当n =k +1时,1b k +1+b k =2,即1b k +1+kk +1=2, ∴1b k +1=2-kk +1=k +2k +1,b k +1=k +1k +2也成立. 由①②得b n =n n +1.(2)x =b n n =⎝⎛⎭⎪⎫n n +1n, x x =⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1ny =b n +1n =⎝⎛⎭⎪⎫n n +1n +1, y y=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1(n +1)n n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n +1n∴x x =y y .3.三棱柱ABC -A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB =2,AC =4,A 1A =3.D 是BC 的中点.(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值; (2)求二面角B 1-A 1D -C 1的大小的正弦值.解 (1)由题意,A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),D (1,2,0),A 1(0,0,3),B 1(2,0,3),C 1(0,4,3).A 1D →=(1,2,-3),A 1C 1→=(0,4,0). 设平面A 1C 1D 的法向量为n =(x ,y ,z ). ∵n ·A 1D →=x +2y -3z =0,n ·A 1C 1→=4y =0. ∴x =3z ,y =0.令z =1,得x =3.n =(3,0,1). 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ, ∵DB 1→=(1,-2,3), ∴sin θ=|cos 〈DB 1→,n 〉|=|3×1+0×(-2)+1×3|10×14=33535. (2)设平面A 1B 1D 的法向量为m =(a ,b ,c ). A 1B 1→=(2,0,0),∵m ·A 1D →=a +2b -3c =0,m ·A 1B 1→=2a =0. ∴a =0,2b =3c .令c =2,得b =3.m =(0,3,2). 设二面角B 1-A 1D -C 1的大小为α, ∴|cos α|=|cos 〈m ,n 〉|=|m ·n ||m |·|n | =|0×3+3×0+2×1|13×10=265,则sin α=3765=345565, ∴二面角B 1-A 1D -C 1的大小的正弦值为345565.4.已知整数n ≥4,集合M ={1,2,3,…,n }的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,…,A C (C ∈N *).(1)当n =5时,求集合A 1,A 2,…,A C 中所有元素之和;(2)设m i 为A i 中的最小元素,设P n =m 1+m 2+…+m C ,试求P n (用n 表示). 解 (1)当n =5时,含元素1的子集中,必有除1以外的两个数字,两个数字的选法有C 24=6个,所以含有数字1的集合有6个.同时含2,3,4,5的子集也各有6个.于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×C 24=15×6=90.(2)证明 不难得到1≤m i ≤n -2,m i ∈Z ,并且以1为最小元素的子集有C 2n -1个,以2为最小元素的子集有C 2n -2个,以3为最小元素的子集有C 2n -3个,…,以n -2为最小元素的子集有C 22个,则P n =m 1+m 2+…+m C 3n =1×C 2n -1+2C 2n -2+3C 2n -3+…+(n -2)C 22 =(n -2)C 22+(n -3)C 23+(n -4)C 2n +…+C 2n -1 =C 22+(n -3)(C 22+C 23)+(n -4)C 24+…+C 2n -1 =C 22+(n -3)(C 33+C 23)+(n -4)C 24+…+C 2n -1 =C 22+(n -3)C 34+(n -4)C 24+…+C 2n -1 =C 22+C 34+(n -4)(C 34+C 24)+…+C 2n -1 =C 22+C 34+(n -4)C 35+…+C 2n -1=C 44+C 34+C 35+…+C 3n =C 4n +1.必考附加题——模板成形练(二) (对应学生用书P423)1.如图,圆锥的高PO =4,底面半径OB =2,D 为PO 的中点,E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点,满足EF ⊥DE . (1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角O -DF -E 的余弦值.解 (1)以O 为原点,底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴,OB 所在的直线为y 轴,OP 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (0,2,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,1,2).设F (x 0,y 0,0)(x 0>0,y 0>0),且x 20+y 20=4,则EF →=(x 0,y 0-1,-2),DE →=(0,1,0), ∵EF ⊥DE ,即EF →⊥DE →,则EF →·DE →=y 0-1=0, 故y 0=1.∴F (3,1,0),EF→=(3,0,-2),BD →=(0,-2,2). 设异面直线EF 与BD 所成角为α, 则cos α=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|=47×22=147. (2)设平面ODF 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →,n ⊥OF →,即⎩⎨⎧z 1=0,3x 1+y 1=0.令x 1=1,得y 1=-3,平面ODF 的一个法向量为n 1=(1,-3,0). 设平面DEF 法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,32.设二面角O -DF -E 的平面角为β, 则|cos β|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|=17=77,∴sin β=427.2.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=a n +1n -(n +1).(1)证明:a n >n (n ≥3);(2)证明:2+33+44+…+nn <2.证明 (1)因为a 1=2,a 2=2,所以a 3=a 32-3=5>3. 假设当n =k 时,a k >k (k ≥3),则a k +1k >kk +1>k 2·k ≥9k >2k +2, 那么,当n =k +1时,有a k +1=a k +1k -(k +1)>2k +2-(k +1)=k +1.这就是说,当n =k +1时,结论也成立. 所以当n ≥3时,a n >n .(2)当n =2时,2<2显然成立,由(1)知,当n ≥3时,a n =a n n -1-n >0,得a n n -1>n ,所以a n -1>n n ,所以a n -1n -2-(n -1)>n n , 即a n -1n -2>(n -1)+n n , 所以a n -2>n -1n -1+nn ,以此类推, 得2=a 1>2+33+44+…+nn ,问题得证.3.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为AD ,DC 的中点.(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值;(2)设直线BC 1上一点P 满足平面P AC ∥平面EFD 1,求PB 的长.解 (1)建立以D 点为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系. D 1(0,0,2),A (2,0,0),B (2,2,0), E (1,0,0),C 1(0,2,2),F (0,1,0),BC 1→=(-2,0,2),D 1E →=(1,0,-2),EF →=(-1,1,0). 设平面D 1EF 的法向量为n =(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →=0,n ·EF →=0⇒⎩⎨⎧x 1-2z 1=0,-x 1+y 1=0,令x 1=2,则n =(2,2,1), cos 〈n ,BC 1→〉=-222×3=-26,∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为26. (2)BP →=λBC 1→=(-2λ,0,2λ), AP→=AB →+BP →=(-2λ,2,2λ), n ·AP→=-4λ+4+2λ=0,∴λ=2. ∵AP 不在平面EFD 1内,AP ∥平面EFD 1, 又AC ∥EF ,EF ⊆平面EFD 1, ∴AC ∥平面EFD 1. 又AP 与AC 相交于点A , ∴平面P AC ∥平面EFD 1,BP →=(-4,0,4),|BP →|=4 2.4.已知数集A ={a 1,a 2,…,a n },其中0≤a 1<a 2<…<a n ,且n ≥3,若∀i ,j (1≤i ≤j ≤n ),a j +a i 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ,则称数集A 具有性质P .(1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P ,说明理由;(2)已知数集A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ,判断数列a 1,a 2,…,a 8是否为等差数列,若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由. 解 (1)由于3-1和3+1都不属于集合{0,1,3}, 所以该数集不具有性质P ;由于2+0,4+0,6+0,4+2,6-2,6-4,0-0,2-2,4-4,6-6都属于集合{0,2,4,6},所以该数集具有性质P .(2)∵A ={a 1,a 2,…,a 8}具有性质P , 所以a 8+a 8与a 8-a 8中至少有一个属于A , 由0≤a 1<a 2<…<a 8,有a 8+a 8>a 8, 故a 8+a 8∉A ,∴0=a 8-a 8∈A ,故a 1=0. ∵0=a 1<a 2<…<a 8, ∴k ≥2时,a 8+a k >a 8, 故a 8+a k ∉A (k =2,3,…,8).由A 具有性质P 知,a 8-a k ∈A (k =2,3,…,8), 又∵a 8-a 8<a 8-a 7<…<a 8-a 2<a 8-a 1,∴a 8-a 8=a 1,a 8-a 7=a 2,…,a 8-a 2=a 7,a 8-a 1=a 8, 即a i +a 9-i =a 8(i =1,2,…,8).①由a 2+a 7=a 8知,a 3+a 7,a 4+a 7,…,a 7+a 7均不属于A , 由A 具有性质P ,a 7-a 3,a 7-a 4,…,a 7-a 7均属于A , ∴a 7-a 7<a 7-a 6<…<a 7-a 4<a 7-a 3<a 8-a 3, 而a 8-a 3=a 6,∴a 7-a 7=a 1,a 7-a 6=a 2,a 7-a 5=a 3,…,a 7-a 3=a 5, 即a i +a 8-i =a 7(i =1,2,…,7).②由①②可知a i =a 8-a 9-i =a 8-(a 7-a i -1)(i =2,3,…,8),即a i-a i=a8-a7=a2(i=2,3,…,8).-1故a1,a2,…,a8构成等差数列.。
中档题目强化练——概率A 组 专项基础训练一、选择题1.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ,则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的,取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的和,即P (B ∪D ∪E )=P (B )+P (D )+P (E )=15+15+15=35.故选C.2.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm ,从中任取一根,取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D .以上都不对答案 B解析 在40根纤维中,有12根的长度越过30 mm ,即基本事件总数为40,所求事件包含12个基本事件,且它们是等可能发生的,因此所求事件的概率为P =1240=310,故选B.3.设集合P ={b,1},Q ={c,1,2},P ⊆Q ,b 、c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则b =c 的概率为( )A.18B.14C.12D.34 答案 C解析 因为P ⊆Q ,所以当b =2时,c 可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数,共7种情况,当b =c 时,c 可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数,共7种情况.所以所求概率为77+7=12.4. 如图所示,在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子,恰有120粒落在阴影区域内,则该阴影部分的面积约为( ) A.35 B.125 C.65 D.185 答案 B解析 豆子落在阴影区域内的概率是120200=35,设阴影部分的面积为S ,则S S 正方形=35,解得S=125,故选B. 5.设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x 2+ax +2=0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512答案 A 二、填空题6.在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π2上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到12之间的概率为________. 答案 13解析 ∵-π2≤x ≤π2,而0≤cos x ≤12,故-π2≤x ≤-π3或π3≤x ≤π2,∴根据几何概型的概率公式得所求概率为13.7.在平面直角坐标系xOy 中,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为W ,从W 中随机取点M (x ,y ).若x ∈Z ,y ∈Z ,则点M 位于第二象限的概率为________.答案 16解析 画出平面区域,列出平面区域内的整数点如下:(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12个,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2个,所以所求概率P =16.8.我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”.已知5名“超级体育迷”中有2名女性,若从中任选2名,则至少有1名女性的概率为________.答案 710解析 用a i 表示男性,其中i =1,2,3,b j 表示女性,其中j =1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ,“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ,“选出的2名全都是女性”为事件C ,则事件A 包含(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 2,a 3),共3个基本事件,事件B 包含(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),共6个基本事件,事件C 包含(b 1,b 2),共1个基本事件.事件A ,B ,C 彼此互斥,事件至少有1名女性包含事件B 和C ,所以所求事件的概率为6+13+6+1=710.三、解答题9.一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1={任取1球为红球},A 2={任取1球为黑球}, A 3={任取1球为白球},A 4={任取1球为绿球},则P (A 1)=512,P (A 2)=412,P (A 3)=212,P (A 4)=112,根据题意知,事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥, 由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2)=512+412=34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3) =512+412+212=1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4,所以取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)=1-P (A 3∪A 4)=1-P (A 3)-P (A 4)=1-212-112=34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4, 所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)=1-P (A 4)=1-112=1112.10.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示,女教师用C 表示;乙校男教师用D 表示,两女教师分别用E 、F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F )共9种.从中选出的两名教师性别相同的结果有(A ,D ),(B ,D ),(C ,E ),(C ,F )共4种.故选出的两名教师性别相同的概率为P 1=49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F )共15种.从中选出的两名教师来自同一学校的结果有(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F )共6种.故选出的两名教师来自同一学校的概率为P 2=615=25.B 组 专项能力提升1.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110答案 C解析 从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件A )包含8个基本事件,所以所求的概率为P (A )=810=45.故选C.2.四边形ABCD 为长方形,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点.在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B .1-π4 C.π8D .1-π8答案 B解析 对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O 的距离小于或等于1时,其区域是以O 为圆心,半径为1的半圆,对应的面积为12×π×12=12π,那么所求的概率为1-12π2=1-π4,故选B. 3.已知x ∈[-1,1],y ∈[0,2],则点P (x ,y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0x +y -2≤0内的概率为________.答案 38解析 不等式组表示的区域如图所示,阴影部分的面积为12×3×2-12×3×1=32,则所求概率为38. 4.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于 S4的概率为________. 答案 34解析 如图,当BM =14BA 时,△MBC 的面积为S 4,而当P 在M 、A 之间运动时,△PBC 的面积大于S4,而MA =34AB ,则△PBC 的面积大于S 4的概率P =34AB AB =34.5.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a、b、c的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.解(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=320=0.15.等级系数为5的恰有2件,所以c=220=0.1.从而a=0.35-b-c=0.1.所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4个.又基本事件的总数为10,故所求的概率P(A)=410=0.4.。
阶段示范性金考卷二一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 2=-1,则复数z =i3i -i 2014在复平面内对应的点位于( )A .第一象限C .第三象限解析:z =-i i +1=-i (1-i )(1+i )(1-i )-12).答案:Dsin(π+θ)=3,则cos(π-2θ)=( )B .-1225 D.725cos θ=35,cos(π-2θ)=-cos2θ,由1=2×(35)2-1=-725,所以cos(π-2θ)=-cos2θ=725,故选D.答案:D3.已知向量a =(3,-1),向量b =(sin α,cos α) ,若a ⊥b ,则sin 2α-2cos 2α的值为( )A.710B .-1710C.1710 D .-710解析:由a ⊥b 可得3sin α=cos α,故tan α=13;sin 2α-2cos 2α=sin 2α-2cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan 2α+1=-1710. 答案:B4.已知正三角形ABC 的边长为1,点P 是AB 边上的动点,点Q 是AC 边上的动点,且AP →=λAB →,AQ →=(1-λ)AC →,λ∈R ,则BQ →·CP →的最大值为( )B. -32 D. -38解析:BQ ·CP =(BA +AQ )·(CA +AP →) =[BA →+(1-λ)AC →]·(CA →+λAB →)=[AB →·AC →-λAB 2→+(λ-1)AC 2→+λ(1-λ)AB →·AC →] =(λ-λ2+1)×1×1×cos60°-λ+λ-1=12(-λ2+λ)-12 =-12(λ-12)2-38(λ≤R ).当λ=12时,则BQ →·CP →的最大值为-38.故选D 项. 答案:D5.将函数y =sin2x 位,所得函数图象对应的解析式为(A .y =sin(2x -π4)+1 C .y =2sin 2x解析:函数y =sin2x -π4)1个单位,所得函数图象(1-2sin 2x )+1=2sin 2x ,故选C.)(ω>0,-π2<φ<π2) 的图象关于直线x φ=( ).-π3 B .-π6 C.π6D.π3解析:π3-π12≥14×2πω,解得ω≥2,故当ω取最小值时,f (x )=sin(2x +φ),根据f (π12)=0,得sin(π6+φ)=0,由于-π2<φ<π2,所以φ=-π6.答案:B7.已知向量a ,b 满足a ·(a +b )=3,且|a |=2,|b |=1,则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:由a ·(a +b )=3得,|a |21.cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=-12.故向量a 答案:C8.若函数f (x )=sin(2x -π4)+间为( )B .[0,π2] D .[-π2,0]x +3π4)=sin(2x -π4)-cos(2x -π4)=2sin(2cos x 的一个单调递减区间是[0,π],,π2].答案:B9.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(x ∈R )(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,如果x 1,x 2∈(-π6,π3),且f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)=( )A.12 C.32解析:由图象可知T =2[π3-(x +φ),又f (x )过点(-π6,0),|φ|<π2,.∵x 1,x 2∈(-π,π),且f (x 1)=f 212=π6,且满足|3AM →-AB →-AC →|=( )B.14C.13D.12解析:由|3AM →-AB →-AC →|=0得→+AC →).如图,AB →+AC →=AD →,由于=13AD →,所以S △ABM =13S △ABD =13S △ABC .=35,则sin(2x +π6)的值为( ) B.1325 D.725x cos π6-cos x sin π6=35,32sin x -12cos x =35,两边平方得12sin 2x +14-34sin2x =925,∴12·1-cos2x 2+14-34sin2x =925,即sin2x ·32+cos2x ·12=725,∴sin(2x +π6)=725.答案:D12.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若3(a cos B+b cos A )=2c sin C ,a +b =4(a ,b 在变化),且△ABC 的面积最大值为3,则此时△ABC 的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形D .正三角形解析:由正弦定理得3(sin A cos B +cos A sin B )=2sin 2C ,即3sin(A +B )=3sin C =2sin 2C ,即sin C =3,积S =12ab sin C =34ab ≤34(a +b 2)2此时a =b =2,选择C.答案:C二、填空题(本大题共4在题中的横线上),x=(x,1),其中x >0,若(a -2b )∥(2a +,2a +b =(16+x ,x +1),由题意得(8x 2=16,又∵x >0,∴x =4.,OA →=a -b ,OB →=a +b ,若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积为________.解析:由题意得,|a |=1,又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,所以OA →⊥OB →,|OA →|=|OB →|.由OA →⊥OB →得(a -b )·(a +b )=|a |2-|b |2=0,所以|a |=|b |,由|OA →|=|OB →|得|a -b |=|a +b |,所以a ·b =0.所以|a +b |2=|a |2+|b |2=2,所以|OB →|=|OA →|=2,故S △OAB =12×2×2=1.答案:115.[2013·海淀区期末练习]函数f (x )=A sin(2x +φ)(A >0,φ∈R )的部分图象如图所示,那么f (0)=________.解析:由图可知,A =2,f (π)=2, )=1,=-π6+2k π(k ∈Z ), π)=2×(-12)=-1. |a |=|b |=|c |=1,则a ·(b +c )=________.解析:依题意得|3a |=3,|4b |=4,|5c |=5,又3a +4b +5c =0,所以向量3a 、4b 、5c 首尾相接构成一个直角三角形,因此有a ·b =0,a ·(b +c )=a ·b +a ·c =a ·c =|a |·|c |cos θ=cos θ=-35(其中θ为向量a 与c 的夹角).答案:-35三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos C +32c =b .(1)求角A ;(2)若a =1,且3c -2b =1解:(1)由a cos C +32c =b ,得∵sin B =sin(A +C )=sin A cos C +∴32sin C =cos A sin C ,又sin Cb =a ,即3sin C -2sin B =sin A . ∴B +π6=π3,即B =π6.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=3sin x cos x +sin 2x -32,将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得函数g (x )的图象,设△ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ;(1)若f (C )=0,c =6,2sin A =sin B ,求a ,b 的值.(2)若g (B )=0且m =(cos A ,cos B ),n =(1,sin A -cos A tan B ),求m ·n 的取值范围.解:(1)f (x )=3sin x cos x +sin 2x -32=32sin2x +12(1-cos2x )-32=32sin2x -12cos2x -1=sin(2x -π6)-1.f (C )=sin(2C -π6)-1=0∵2sin A =sin B 由余弦定理知:a 2+b 2-2由①②解得:a =23,b =(2)由题意知g (x )=sin(2x +π6)sin(2B +π6)=1,∴B =π6, -33cos A )=12cos A +32sin A =sin(A +π6)A +π6∈(π6,π). +π6)(0,1].19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知(2a +b )cos C +c cos B =0.(1)求角C 的大小;(2)若c =4,求使△ABC 面积取得最大值时的a ,b 的值. 解:(1)由已知及由正弦定理得(2sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0,所以2sin A cos C +(sin B cos C +sin C cos B )=0,所以sin(B +C )+2sin A cos C =0,即sin A +2sin A cos C =0.因为0<A <π,sin A >0,所以cos C =-12,所以C =2π3.(2)因为△ABC 的面积为S =12ab sin C =34ab ,若使得S 取得最大值,只需要ab 取得最大值.由余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-即16=a 2+b 2+ab ≥3ab ,故ab故使得△ABC 20.(本小题满分12分)-12(的图象上两相邻对称轴间的距离为π4.的图象向右平移π8个单位,再将所得图象上各点的),得到函数y =g (x )的图象,求g (cos 2ωx -12=32sin2ωx +cos2ωx +12-12=sin(2ωx +π6),由题意知f (x )的最小正周期T =π2,T =2π2ω=πω=π2,ω=2,所以f (x )=sin(4x +π6).由2k π+π2≤4x +π6≤2k π+3π2(k ∈Z ),得k π2+π12≤x ≤k π2+π3(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递减区间为[k π2+π12,k π2+π3](k ∈Z ).(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后,得到y =sin[4(x -π8)+π6]=sin(4x -π3)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y =sin(2x -π3).因为0≤x ≤π2,所以-π3≤2x -π3≤当2x -π3=-π3,即x =0时,g (当2x -π3=π2,即x =5π12时,g (x )21.(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树,记作A 、B 、P 、Q ,欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近,现可测得A 、B 两点间的距离为100 m ,如图,同时也能测量出∠P AB =75°,∠QAB =45°,∠PBA =60°,∠QBA =90°,则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少?解:在△P AB 中,∠APB =180°-(75°+60°)=45°,由正弦定理得AP sin60°=100sin45°,解得AP =50 6.在△QAB 中,∠ABQ =90°,∴AQ =100 2.又∠P AQ =75°-45°=30°,由余弦定理得PQ 2=AP 2+AQ 2-2AP ·AQ ·cos ∠P AQ =(506)2+(1002)2-2×506×1002×∴PQ =5000=50 2.∴P 、Q 两棵树之间的距离为为50 6 m.22.(本小题满分12分)设角A 知向量m =(sin A +sin C ,sin B -sin m ⊥n . 2B 2),求|s +t |的取值范围.C )+(sin 2B -sin A sin B )=0, a ,b ,c 为内角A ,B ,C ab ,=12,∵0<C <π,∴C =π3.(2)∵s +t =(cos A,2cos 2B 2-1)=(cos A ,cos B ),∴|s +t |2=cos 2A +cos 2B=cos 2A +cos 2(2π3-A )=1+cos2A 2+1+cos (4π3-2A )2=14cos2A -34sin2A +1 =-12sin(2A -π6)+1,∵0<A <2π3,∴-π6<2A -π6<7π6,∴-12<sin(2A -π6)≤1,∴12≤|s +t |2<54,∴22≤|s +t新课标第一网系列资料 。
2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围:集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A .2+i B .2-i C .-1+i D .-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于( ) A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中,真命题是 ( )A .2,x R x x ∀∈≥ B .命题“若21,1x x ==则”的逆命题C .2,x R x x ∃∈≥ D .命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+,则()x f 的表达式是( )A .542-+x xB .782++x xC .322-+x xD .1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f x 2-f x 1x 2-x 1<0,则( ).A .f (3)<f (-2)<f (1)B .f (1)<f (-2)<f (3)C .f (-2)<f (1)<f (3)D .f (3)<f (1)<f (-2)7.设a =log 0.50.8,b =log 1.10.8,c =1.10.8,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a <b <c B .b <a <c C .b <c <a D .a <c <b8.函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于().A .1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为().10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是:( ) A .1422=-y x B .1222=-y x C .13322=-y x D .1222=-y x 11.“a =-1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的( ) A .充分必要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x =5y=10,则1x +1y=________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点,其焦点F 在x 轴上,抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3,则抛物线方程为。
专题一 高考中的导数应用问题1.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )A .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞) 答案 D解析 函数f (x )=(x -3)e x 的导数为f ′(x )=[(x -3)·e x ]′=1·e x +(x -3)·e x =(x -2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系,得当f ′(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f ′(x )=(x -2)e x >0,解得x >2.2.若函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有最小值,则实数b 的取值X 围是( ) A .(0,1) B .(-∞,1)C .(0,+∞) D.⎝⎛⎭⎫0,12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值,即f (x )在(0,1)内有极小值,f ′(x )=3x 2-6b , 由题意,得函数f ′(x )的草图如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0,f ′(1)>0, 即⎩⎪⎨⎪⎧-6b <0,3-6b >0,解得0<b <12.故选D.3.函数f (x )=x 3-3x -1,若对于区间[-3,2]上的任意x 1,x 2,都有|f (x 1)-f (x 2)|≤t ,则实数t的最小值是( )A .20B .18C .3D .0 答案 A解析 因为f ′(x )=3x 2-3=3(x -1)(x +1),令f ′(x )=0,得x =±1,可知-1,1为函数的极值点.又f (-3)=-19,f (-1)=1,f (1)=-3,f (2)=1,所以在区间[-3,2]上f (x )max =1,f (x )min =-19.由题设知在区间[-3,2]上f (x )max -f (x )min ≤t ,从而t ≥20, 所以t 的最小值是20.4.已知函数f (x )=ln a +ln xx在[1,+∞)上为减函数,则实数a 的取值X 围为__________.答案 [e ,+∞)解析 f ′(x )=1x·x -(ln a +ln x )x 2=1-(ln a +ln x )x 2,因为f (x )在[1,+∞)上为减函数,故f ′(x )≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a ≥1-ln x 在[1,+∞)上恒成立.设φ(x )=1-ln x ,φ(x )max =1,故ln a ≥1,a ≥e.5.已知函数f (x )=mx 3+nx 2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x +y =0平行,若f (x )在区间[t ,t +1]上单调递减,则实数t 的取值X 围是__________. 答案 [-2,-1]解析 由题意知,点(-1,2)在函数f (x )的图象上, 故-m +n =2.①又f ′(x )=3mx 2+2nx ,则f ′(-1)=-3, 故3m -2n =-3.②联立①②解得:m =1,n =3,即f (x )=x 3+3x 2, 令f ′(x )=3x 2+6x ≤0,解得-2≤x ≤0, 则[t ,t +1]⊆[-2,0],故t ≥-2且t +1≤0, 所以t ∈[-2,-1].题型一 利用导数研究函数的单调性 例1设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2.(1)若a =12,求f (x )的单调区间;(2)若当x ≥0时,f (x )≥0,求a 的取值X 围.思维启迪 求出f ′(x ),分析函数的单调性,得出结论.解 (1)a =12时,f (x )=x (e x -1)-12x 2,f ′(x )=e x -1+x e x -x =(e x -1)(x +1).当x ∈(-∞,-1)时,f ′(x )>0;当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为(-1,0).(2)f (x )=x (e x -1-ax ),令g (x )=e x -1-ax ,g ′(x )=e x -a .若a ≤1,则当x ∈(0,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )为增函数,而g (0)=0,从而当x ≥0时,g (x )≥0,即f (x )≥0. 若a >1,则当x ∈(0,ln a )时,g ′(x )<0,g (x )为减函数, 而g (0)=0,从而当x ∈(0,ln a )时,g (x )<0,即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(-∞,1].思维升华 (1)判断函数的单调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f ′(x )的符号问题上,而f ′(x )>0或f ′(x )<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题.(2)若已知f (x )的单调性,则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解.已知函数f (x )=x 3+ax 2-x +c ,且a =f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间;(3)设函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x ,若函数g (x )在x ∈[-3,2]上单调递增,某某数c 的取值X 围.解 (1)由f (x )=x 3+ax 2-x +c , 得f ′(x )=3x 2+2ax -1.当x =23时,得a =f ′⎝⎛⎭⎫23=3×⎝⎛⎭⎫232+2a ×23-1, 解之,得a =-1.(2)由(1)可知f (x )=x 3-x 2-x +c .则f ′(x )=3x 2-2x -1=3⎝⎛⎭⎫x +13(x -1),列表如下: x (-∞,-13)-13 (-13,1) 1 (1,+∞)f ′(x ) +0 -0 + f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(-∞,-13)和(1,+∞);f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫-13,1. (3)函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x =(-x 2-x +c )·e x ,有g ′(x )=(-2x -1)e x +(-x 2-x +c )e x =(-x 2-3x +c -1)e x ,因为函数g (x )在x ∈[-3,2]上单调递增,所以h (x )=-x 2-3x +c -1≥0在x ∈[-3,2]上恒成立. 只要h (2)≥0,解得c ≥11,所以c 的取值X 围是[11,+∞). 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f (x )=x ln x ,g (x )=-x 2+ax -3.(1)求函数f (x )在[t ,t +2](t >0)上的最小值;(2)对一切x ∈(0,+∞),2f (x )≥g (x )恒成立,某某数a 的取值X 围; (3)证明:对一切x ∈(0,+∞),都有ln x >1e x -2e x 成立.思维启迪 (1)求f ′(x ),讨论参数t 求最小值; (2)分离a ,利用求最值得a 的X 围;(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系,充分利用(1)中所求最值. 解 (1)由f (x )=x ln x ,x >0,得f ′(x )=ln x +1, 令f ′(x )=0,得x =1e.当x ∈(0,1e )时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(1e ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.①当0<t <1e <t +2,即0<t <1e 时,f (x )min =f (1e )=-1e;②当1e ≤t <t +2,即t ≥1e时,f (x )在[t ,t +2]上单调递增,f (x )min =f (t )=t ln t .所以f (x )min=⎩⎨⎧-1e ,0<t <1et ln t ,t ≥1e.(2)2x ln x ≥-x 2+ax -3,则a ≤2ln x +x +3x ,设h (x )=2ln x +x +3x (x >0),则h ′(x )=(x +3)(x -1)x 2,①当x ∈(0,1)时,h ′(x )<0,h (x )单调递减, ②当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )>0,h (x )单调递增,所以h (x )min =h (1)=4,对一切x ∈(0,+∞),2f (x )≥g (x )恒成立, 所以a ≤h (x )min =4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x -2e (x ∈(0,+∞)).由(1)可知f (x )=x ln x (x ∈(0,+∞))的最小值是-1e,当且仅当x =1e 时取到,设m (x )=x e x -2e (x ∈(0,+∞)),则m ′(x )=1-x e x ,易知m (x )max =m (1)=-1e,当且仅当x =1时取到.从而对一切x ∈(0,+∞),都有ln x >1e x -2e x成立.思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. (2)证明不等式,可以转化为求函数的最值问题.已知函数f (x )=sin x (x ≥0),g (x )=ax (x ≥0).(1)若f (x )≤g (x )恒成立,某某数a 的取值X 围; (2)当a 取(1)中的最小值时,求证:g (x )-f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )=sin x -ax (x ≥0),则h ′(x )=cos x -a .若a ≥1,h ′(x )=cos x -a ≤0,h (x )=sin x -ax (x ≥0)单调递减,h (x )≤h (0)=0,则sin x ≤ax (x ≥0)成立.若0<a <1,存在x 0∈(0,π2),使得cos x 0=a ,当x ∈(0,x 0),h ′(x )=cos x -a >0,h (x )=sin x -ax (x ∈(0,x 0))单调递增,h (x )>h (0)=0,不合题意, 结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意, 综上可知,a ≥1.(2)证明 当a 取(1)中的最小值1时,g (x )-f (x )=x -sin x .设H (x )=x -sin x -16x 3(x ≥0),则H ′(x )=1-cos x -12x 2.令G (x )=1-cos x -12x 2,则G ′(x )=sin x -x ≤0(x ≥0),所以G (x )=1-cos x -12x 2在[0,+∞)上单调递减,此时G (x )=1-cos x -12x 2≤G (0)=0,即H ′(x )=1-cos x -12x 2≤0,所以H (x )=x -sin x -16x 3(x ≥0)单调递减.所以H (x )=x -sin x -16x 3≤H (0)=0,即x -sin x -16x 3≤0(x ≥0),即x -sin x ≤16x 3(x ≥0).所以,当a 取(1)中的最小值时,g (x )-f (x )≤16x 3.题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3已知f (x )=ax 2 (a ∈R ),g (x )=2ln x .(1)讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性;(2)若方程f (x )=g (x )在区间[2,e]上有两个不等解,求a 的取值X 围. 思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号;(2)将方程f (x )=g (x )变形为a =2ln x x 2,研究φ(x )=2ln xx 2图象的大致形状.解 (1)F (x )=ax 2-2ln x ,其定义域为(0,+∞),∴F ′(x )=2ax -2x =2(ax 2-1)x(x >0).①当a >0时,由ax 2-1>0,得x >1a. 由ax 2-1<0,得0<x <1a. 故当a >0时,F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ,+∞上单调递增, 在区间⎝⎛⎭⎫0,1a 上单调递减.②当a ≤0时,F ′(x )<0 (x >0)恒成立. 故当a ≤0时,F (x )在(0,+∞)上单调递减.(2)原式等价于方程a =2ln xx 2=φ(x )在区间[2,e]上有两个不等解.∵φ′(x )=2x (1-2ln x )x 4在(2,e)上为增函数,在(e ,e)上为减函数,则φ(x )max =φ(e)=1e ,而φ(e)=2e 2<φ(2)=2ln 24=ln 22=φ(2). ∴φ(x )min =φ(e), 如图当f (x )=g (x )在[2,e]上有两个不等解时有 φ(x )min =ln 22, 故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华 对于可转化为a =f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题,都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状,进而求a 的X 围.已知函数f (x )=|ax -2|+b ln x (x >0).(1)若a =1,f (x )在(0,+∞)上是单调增函数,求b 的取值X 围; (2)若a ≥2,b =1,求方程f (x )=1x 在(0,1]上解的个数.解 (1)f (x )=|x -2|+b ln x=⎩⎪⎨⎪⎧-x +2+b ln x (0<x <2),x -2+b ln x (x ≥2).①当0<x <2时,f (x )=-x +2+b ln x ,f ′(x )=-1+b x .由条件,得-1+bx ≥0恒成立,即b ≥x 恒成立.∴b ≥2.②当x ≥2时,f (x )=x -2+b ln x ,f ′(x )=1+bx,由条件,得1+bx ≥0恒成立,即b ≥-x 恒成立.∴b ≥-2.综合①,②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}. (2)令g (x )=|ax -2|+ln x -1x,即g (x )=⎩⎨⎧-ax +2+ln x -1x (0<x <2a),ax -2+ln x -1x (x ≥2a).当0<x <2a 时,g (x )=-ax +2+ln x -1x ,g ′(x )=-a +1x +1x 2.∵0<x <2a ,∴1x >a2.则g ′(x )>-a +a 2+a 24=a (a -2)4≥0.即g ′(x )>0,∴g (x )在(0,2a )上是递增函数.当x ≥2a 时,g (x )=ax -2+ln x -1x ,g ′(x )=a +1x +1x2>0.∴g (x )在(2a ,+∞)上是递增函数.又因为函数g (x )在x =2a 有意义,∴g (x )在(0,+∞)上是递增函数. ∵g (2a )=ln 2a -a2,而a ≥2,∴ln 2a ≤0,则g (2a )<0.∵a ≥2,∴g (1)=a -3. 当a ≥3时,g (1)=a -3≥0, ∴g (x )=0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时,g (1)=a -3<0,∴g (x )=0在(0,1]上无解,即解的个数为0.1.已知函数f (x )=ax 3+x 2+bx (其中常数a ,b ∈R ),g (x )=f (x )+f ′(x )是奇函数.(1)求f (x )的表达式;(2)讨论g (x )的单调性,并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解 (1)由题意得f ′(x )=3ax 2+2x +b ,因此g (x )=f (x )+f ′(x )=ax 3+(3a +1)x 2+(b +2)x +b . 因为函数g (x )是奇函数,所以g (-x )=-g (x ), 即对任意实数x ,有a (-x )3+(3a +1)(-x )2+ (b +2)(-x )+b =-[ax 3+(3a +1)x 2+(b +2)x +b ], 从而3a +1=0,b =0,解得a =-13,b =0,因此f (x )的表达式为f (x )=-13x 3+x 2.(2)由(1)知g (x )=-13x 3+2x ,所以g ′(x )=-x 2+2.令g ′(x )=0,解得x 1=-2,x 2=2, 则当x <-2或x >2时,g ′(x )<0,从而g (x )在区间(-∞,- 2 ),(2,+∞)上是减函数; 当-2<x <2时,g ′(x )>0,从而g (x )在区间(-2,2)上是增函数.由上述讨论知,g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x =1,2,2时取得, 而g (1)=53,g (2)=423,g (2)=43,因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)=423,最小值g (2)=43.2.已知函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值;(2)若k ∈Z ,且k <f (x )x -1对任意x >1恒成立,求k 的最大值.解 (1)因为f (x )=ax +x ln x ,所以f ′(x )=a +ln x +1. 因为函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e 处的切线斜率为3, 所以f ′(e)=3,即a +ln e +1=3,所以a =1.(2)由(1)知,f (x )=x +x ln x ,又k <f (x )x -1对任意x >1恒成立,即k <x +x ln x x -1对任意x >1恒成立.令g (x )=x +x ln x x -1,则g ′(x )=x -ln x -2(x -1)2,令h (x )=x -ln x -2(x >1),则h ′(x )=1-1x =x -1x >0,所以函数h (x )在(1,+∞)上单调递增. 因为h (3)=1-ln 3<0,h (4)=2-2ln 2>0,所以方程h (x )=0在(1,+∞)上存在唯一实根x 0,且满足x 0∈(3,4). 当1<x <x 0时,h (x )<0,即g ′(x )<0,当x >x 0时,h (x )>0,即g ′(x )>0,所以函数g (x )=x +x ln xx -1在(1,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以[g (x )]min =g (x 0)=x 0(1+ln x 0)x 0-1=x 0(1+x 0-2)x 0-1=x 0∈(3,4),所以k <[g (x )]min =x 0∈(3,4),故整数k 的最大值为3. 3.设函数f (x )=e x -1-x -ax 2.(1)若a =0,求f (x )的单调区间;(2)若当x ≥0时f (x )≥0,求a 的取值X 围. 解 (1)若a =0,f (x )=e x -1-x ,f ′(x )=e x -1.当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 故f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f ′(x )=e x -1-2ax .由(1)知e x ≥1+x ,当且仅当x =0时等号成立,故f ′(x )≥x -2ax =(1-2a )x ,从而当1-2a ≥0,即a ≤12时,f ′(x )≥0(x ≥0). ∴f (x )在[0,+∞)上单调递增.而f (0)=0,于是当x ≥0时,f (x )≥0.由e x >1+x (x ≠0)可得e -x >1-x (x ≠0).从而当a >12时,f ′(x )<e x -1+2a (e -x -1)=e -x (e x -1)(e x -2a ),令e -x (e x -1)(e x -2a )<0得1<e x <2a ,∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0,ln 2a )时,f ′(x )<0,∴f (x )在(0,ln 2a )上单调递减.而f (0)=0,于是当x ∈(0,ln 2a )时,f (x )<0.不符合要求.综上可得a 的取值X 围为(-∞,12]. 4.已知f (x )=x 2+3x +1,g (x )=a -1x -1+x . (1)a =2时,求y =f (x )和y =g (x )的公共点个数;(2)a 为何值时,y =f (x )和y =g (x )的公共点个数恰为两个.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =f (x ),y =g (x ),得x 2+3x +1=1x -1+x , 整理得x 3+x 2-x -2=0(x ≠1).令y =x 3+x 2-x -2,求导得y ′=3x 2+2x -1,令y ′=0,得x 1=-1,x 2=13, 故得极值点分别在-1和13处取得,且极大值、极小值都是负值. 故公共点只有一个. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =f (x ),y =g (x ),得x 2+3x +1=a -1x -1+x , 整理得a =x 3+x 2-x (x ≠1),令h (x )=x 3+x 2-x ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =a ,y =h (x )=x 3+x 2-x (x ≠1), 如图,求导h (x )可以得到极值点分别在-1和13处,画出草图, h (-1)=1,h (13)=-527, 当a =h (-1)=1时,y =a 与y =h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y =h (x )曲线上),故a =-527时恰有两个公共点. 5.定义在R 上的函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +3同时满足以下条件:①f (x )在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;②f ′(x )是偶函数;③f (x )的图象在x =0处的切线与直线y =x +2垂直.(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设g (x )=4ln x -m ,若存在x ∈[1,e],使g (x )<f ′(x ),某某数m 的取值X 围. 解 (1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c .∵f (x )在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,∴f ′(1)=3a +2b +c =0,(*)由f ′(x )是偶函数得b =0,①又f (x )的图象在x =0处的切线与直线y =x +2垂直,∴f ′(0)=c =-1,②将①②代入(*)得a =13, ∴f (x )=13x 3-x +3. (2)由已知得,若存在x ∈[1,e],使4ln x -m <x 2-1,即存在x ∈[1,e],使m >(4ln x -x 2+1)min .设M (x )=4ln x -x 2+1,x ∈[1,e],则M ′(x )=4x -2x =4-2x 2x, 令M ′(x )=0,∵x ∈[1,e],∴x = 2. 当2<x ≤e 时,M ′(x )<0,∴M (x )在(2,e)上为减函数;当1≤x ≤2时,M ′(x )>0,∴M (x )在[1,2]上为增函数,∴M (x )在[1,e]上有最大值且在x =2处取到.又M (1)=0,M (e)=5-e 2<0,∴M (x )的最小值为5-e 2.∴m >5-e 2.6.(2013·某某)已知a >0,函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -a x +2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a ),求g (a )的表达式;(2)是否存在a ,使函数y =f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值X 围;若不存在,请说明理由.解 (1)当0≤x ≤a 时,f (x )=a -xx +2a ; 当x >a 时,f (x )=x -a x +2a. 因此,当x ∈(0,a )时,f ′(x )=-3a (x +2a )2<0, f (x )在(0,a )上单调递减;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )=3a (x +2a )2>0, f (x )在(a ,+∞)上单调递增.①若a ≥4,则f (x )在(0,4)上单调递减,g (a )=f (0)=12. ②若0<a <4,则f (x )在(0,a )上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g (a )=max{f (0),f (4)}.而f (0)-f (4)=12-4-a 4+2a =a -12+a,故当0<a ≤1时,g (a )=f (4)=4-a4+2a ; 当1<a <4时,g (a )=f (0)=12. 综上所述,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧ 4-a 4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.(2)由(1)知,当a ≥4时,f (x )在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a <4时,f (x )在(0,a )上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x 1,x 2∈(0,4)(x 1<x 2),使曲线y =f (x )在(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))两点处的切线互相垂直.则x 1∈(0,a ),x 2∈(a,4),且f ′(x 1)·f ′(x 2)=-1.即-3a(x 1+2a )2·3a (x 2+2a )2=-1. 亦即x 1+2a =3a x 2+2a.(*) 由x 1∈(0,a ),x 2∈(a,4)得x 1+2a ∈(2a,3a ),3a x 2+2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4+2a ,1. 故(*)成立等价于集合A ={x |2a <x <3a }与集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4+2a <x <1的交集非空. 因为3a 4+2a<3a ,所以当且仅当0<2a <1, 即0<a <12时,A ∩B ≠∅. 综上所述,存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0,12.。
§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q =1时,S n =na 1;(Ⅱ)当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解.例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n +1)=1n -1n +1;(2)1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1;(3)1n +n +1=n +1-n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +11-q .( √ )(2)当n ≥2时,1n 2-1=12(1n -1-1n +1).( √ )(3)求S n =a +2a 2+3a 3+…+na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)数列{12n +2n -1}的前n 项和为n 2+12n .( × )(5)若数列a 1,a 2-a 1,…,a n -a n -1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{a n }的通项公式是a n =3n -12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°=44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案 A解析 利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d . ∵a 5=5,S 5=15,∴⎩⎨⎧a 1+4d =5,5a 1+5×(5-1)2d =15,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =1,∴a n =a 1+(n -1)d =n . ∴1a n a n +1=1n (n +1)=1n -1n +1, ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前100项和为1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n =2n +2n -1,则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A.2n +n 2-1B.2n +1+n 2-1 C.2n +1+n 2-2D.2n +n 2-2 答案 C解析 S n =(2+22+23+…+2n )+(1+3+5+…+(2n -1)) =2(1-2n )1-2+n (1+2n -1)2=2n +1-2+n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n -1·(4n -3),则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.-200C.400D.-400 答案 B解析 S 100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.5.3·2-1+4·2-2+5·2-3+…+(n +2)·2-n =________. 答案 4-n +42n解析 设S =3×12+4×122+5×123+…+(n +2)×12n ,则12S =3×122+4×123+5×124+…+(n +2)×12n +1. 两式相减得12S =3×12+(122+123+…+12n )-n +22n +1.∴S =3+(12+122+…+12n -1)-n +22n=3+12[1-(12)n -1]1-12-n +22n =4-n +42n .题型一 分组转化求和例1 已知数列{a n }是3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪 先写出通项,然后对通项变形,分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解.解 由已知得,数列{a n }的通项公式为 a n =3n +2n -1=3n -1+2n , ∴S n =a 1+a 2+…+a n=(2+5+…+3n -1)+(2+22+…+2n ) =n (2+3n -1)2+2(1-2n )1-2=12n (3n +1)+2n +1-2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n =1+⎝⎛⎭⎫1+12+⎝⎛⎭⎫1+12+14+…+⎝⎛⎭⎫1+12+14+…+12n -1. 解 和式中第k 项为 a k =1+12+14+…+12k -1=1-⎝⎛⎭⎫12k1-12=2⎝⎛⎭⎫1-12k . ∴S n =2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫1-122+…+⎝⎛⎭⎫1-12n =2[(1+1+…+1)-(12+122+…+12n )]n 个=2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12⎝⎛⎭⎫1-12n1-12=12n -1+2n -2.题型二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(4-a n )q n -1(q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差,然后写出通项a n . (2)q =1时,b n 为等差数列,直接求和;q ≠1时,用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =68a 1+28d =-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3d =-1.故a n =3+(n -1)·(-1)=4-n . (2)由(1)得,b n =n ·q n -1,于是 S n =1·q 0+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n -1. 若q ≠1,将上式两边同乘以q 有 qS n =1·q 1+2·q 2+…+(n -1)·q n -1+n ·q n .两式相减得到(q -1)S n =nq n -1-q 1-q 2-…-q n -1 =nq n-q n -1q -1=nq n +1-(n +1)q n +1q -1.于是,S n =nq n +1-(n +1)q n +1(q -1)2.若q =1,则S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2,q =1nq n +1-(n +1)q n +1(q -1)2,q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n },即a n =b n ×的前n 项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =-1.故数列{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和为S n ,即S n =a 1+a 22+…+a n2n -1,①故S 1=1,S n 2=a 12+a 24+…+a n2n .②所以,当n >1时,①-②得 S n2=a 1+a 2-a 12+…+a n -a n -12n -1-a n 2n =1-(12+14+…+12n -1)-2-n 2n=1-(1-12n -1)-2-n 2n =n 2n .所以S n =n2n -1.当n =1时也成立.综上,数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和S n =n2n -1.题型三 裂项相消法求和例3在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12. (1)求S n 的表达式;(2)设b n =S n2n +1,求{b n }的前n 项和T n .思维启迪 第(1)问利用a n =S n -S n -1 (n ≥2)后,再同除S n -1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式,用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12, a n =S n -S n -1 (n ≥2), ∴S 2n =(S n -S n -1)⎝⎛⎭⎫S n -12, 即2S n -1S n =S n -1-S n ,①由题意得S n -1·S n ≠0,①式两边同除以S n -1·S n ,得1S n -1S n -1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1=1a 1=1,公差为2的等差数列.∴1S n =1+2(n -1)=2n -1,∴S n =12n -1. (2)∵b n =S n 2n +1=1(2n -1)(2n +1)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n =12[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)]=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n2n +1. 思维升华 利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2,n ∈N *.(1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设b n =12S n ,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n .(1)证明 ∵S n =a n (a n +1)2,n ∈N *,∴当n =1时,a 1=S 1=a 1(a 1+1)2(a n >0),∴a 1=1.当n ≥2时,由⎩⎪⎨⎪⎧2S n =a 2n +a n ,2S n -1=a 2n -1+a n -1得2a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -1.即(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, ∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项,以1为公差的等差数列. (2)解 由(1)可得a n =n ,S n =n (n +1)2, b n =12S n =1n (n +1)=1n -1n +1.∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.四审结构定方案典例:(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N *),且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ,并求a n ;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9-2a n 2n 的前n 项和T n .S n =-12n 2+kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数 n =k 时(S n )max =S k =8(根据S n 的结构特征确定k 值) k =4,S n =-12n 2+4n利用a n 、S n 的关系 a n =92-n9-2a n 2n =n2n -1根据数列的结构特征,确定求和方法:错位相减法 T n =1+22+322+…+n -12n -2+n2n -1①①式两边同乘以22T n =2+2+32+…+n -12n -3+n2n -2②错位相减T n =2+1+12+…+12n -2-n2n -1=4-n +22n -1.规X 解答解 (1)当n =k ∈N *时,S n =-12n 2+kn 取得最大值,即8=S k =-12k 2+k 2=12k 2,故k 2=16,k =4.当n =1时,a 1=S 1=-12+4=72,[3分]当n ≥2时,a n =S n -S n -1=92-n .[6分]当n =1时,上式也成立,综上,a n =92-n .(2)因为9-2a n 2n =n2n -1,所以T n =1+22+322+…+n -12n -2+n2n -1,①[7分]所以2T n =2+2+32+…+n -12n -3+n2n -2②②-①:2T n -T n =2+1+12+…+12n -2-n2n -1=4-12n -2-n2n -1=4-n +22n -1[11分]故T n =4-n +22n -1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ,求出a n 后再根据{9-2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时,要审题目中数式的结构特征判定解题方案; (2)利用S n 求a n 时不要忽视n =1的情况;错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成;(2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防X1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用X 围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项则后剩多少项.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n =1a n a n +1,那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n +1B.4n n +1C.3n n +1D.5nn +1 答案 B解析 a n =1+2+3+…+n n +1=n2,∴b n =1a n a n +1=4n (n +1)=4(1n -1n +1), ∴S n =4[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)] =4(1-1n +1)=4n n +1. 2.已知数列{a n }是等差数列,若a 9+3a 11<0,a 10·a 11<0,且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析 由a 9+3a 11<0,得2a 10+2a 11<0,即a 10+a 11<0,又a 10·a 11<0,则a 10与a 11异号,因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,所以数列{a n }是一个递减数列,则a 10>0,a 11<0,所以S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10>0, S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时),-n 2(当n 为偶数时),且a n =f (n )+f (n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于 ( )A.0B.100C.-100D.10 200答案 B解析 由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.故选B.4.数列a 1+2,…,a k +2k ,…,a 10+20共有十项,且其和为240,则a 1+…+a k +…+a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1+...+a k +...+a 10=240-(2+...+2k + (20)=240-(2+20)×102=240-110=130.5.数列a n =1n (n +1),其前n 项之和为910,则在平面直角坐标系中,直线(n +1)x +y +n =0在y 轴上的截距为( )A.-10B.-9C.10D.9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2+12×3+…+1n (n +1)=1-1n +1=n n +1=910, ∴n =9,∴直线方程为10x +y +9=0.令x =0,得y =-9,∴在y 轴上的截距为-9.二、填空题6.数列32,94,258,6516,…的前n 项和S n 为________. 答案 n (n +1)2+1-12n 解析 ∵32=1+12,94=2+14,258=3+18, 6516=4+116,… ∴S n =32+94+258+6516+…+(n +12n ) =(1+2+3+…+n )+(12+122+123+…+12n ) =n (n +1)2+12[1-(12)n ]1-12=n (n +1)2+1-12n . 7.设f (x )=4x 4x +2,若S =f (12 015)+f (22 015)+…+f (2 0142 015),则S =________. 答案 1 007解析 ∵f (x )=4x 4x +2,∴f (1-x )=41-x41-x +2=22+4x, ∴f (x )+f (1-x )=4x 4x +2+22+4x=1. S =f (12 015)+f (22 015)+…+f (2 0142 015),① S =f (2 0142 015)+f (2 0132 015)+…+f (12 015),② ①+②得,2S =[f (12 015)+f (2 0142 015)]+[f (22 015)+f (2 0132 015)]+…+[f (2 0142 015)+f (12 015)]=2 014, ∴S =2 0142=1 007. 8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.∵a n +1+(-1)n a n =2n -1,∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60)=10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1 830. 三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1=14,公比为q =14的等比数列,设b n +2=3log 14a n (n ∈N *),数列{}满足=a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意,知a n =(14)n (n ∈N *), 又b n =3log 14a n -2,故b n =3n -2(n ∈N *).(2)由(1),知a n =(14)n ,b n =3n -2(n ∈N *), 所以=(3n -2)×(14)n (n ∈N *). 所以S n =1×14+4×(14)2+7×(14)3+…+(3n -5)×(14)n -1+(3n -2)×(14)n , 于是14S n =1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4+…+(3n -5)×(14)n +(3n -2)×(14)n +1. 两式相减,得34S n =14+3[(14)2+(14)3+…+(14)n ]-(3n -2)×(14)n +1=12-(3n +2)×(14)n +1. 所以S n =23-3n +23×(14)n (n ∈N *). 10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求等比数列S 1,S 2,S 4的公比;(2)若S 2=4,求数列{a n }的通项公式;(3)在(2)的条件下,设b n =3a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列,设{a n }的公差为d (d ≠0),所以S 1=a 1,S 2=2a 1+d ,S 4=4a 1+6d .因为S 1,S 2,S 4成等比数列且设其公比为q ,所以S 1·S 4=S 22.所以a 1(4a 1+6d )=(2a 1+d )2.所以2a 1d =d 2.因为公差d ≠0.所以d =2a 1.所以q =S 2S 1=4a 1a 1=4. (2)因为S 2=4,所以2a 1+d =4.又d =2a 1,所以a 1=1,d =2.所以a n =2n -1.(3)因为b n =3(2n -1)(2n +1)=32(12n -1-12n +1), 所以T n =32[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)]=32(1-12n +1)<32.要使T n <m 20对所有n ∈N *都成立, 则有m 20≥32,即m ≥30. 因为m ∈N *,所以m 的最小值为30.B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析 由已知得a n =a n -1+a n +1(n ≥2),∴a n +1=a n -a n -1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S 6=0.∵2 014=6×335+4,∴S 2 014=S 4=2 008+2 009+1+(-2 008)=2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、,△A n B n 的面积为S n ,n =1,2,3,…,若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=+a n 2,+1=b n +a n 2,则( ) A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列答案 B解析 因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13; 故S 1= 3a 12·a 12·a 16·5a 16=1512a 21; a 2=a 1,b 2=23a 1+a 12=56a 1,c 2=43a 1+a 12=76a 1,S 2= 3a 12·a 12·2a 13·a 13=66a 21. 显然S 2>S 1;a 3=a 1,b 3=76a 1+a 12=1312a 1, c 3=56a 1+a 12=1112a 1, S 3= 3a 12·a 12·5a 112·7a 112=10524a 21,显然S 3>S 2. 3.(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则: (1)a 3=________;(2)S 1+S 2+…+S 100=________.答案 (1)-116(2)13⎝⎛⎭⎫12100-1 解析 ∵a n =S n -S n -1=(-1)n a n -12n -(-1)n -1a n -1+12n -1, ∴a n =(-1)n a n -(-1)n -1a n -1+12n . 当n 为偶数时,a n -1=-12n , 当n 为奇数时,2a n +a n -1=12n , ∴当n =4时,a 3=-124=-116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1=-122,a 3=-124,a 5=-126,a 7=-128, a 2=122,a 4=124,a 6=126,a 8=128. ∴a 2-a 1=12,a 4-a 3=123,a 6-a 5=125,…, ∴S 1+S 2+…+S 100=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+…+(a 100-a 99)-⎝⎛⎭⎫12+122+123+…+12100 =⎝⎛⎭⎫12+123+…+1299-⎝⎛⎭⎫12+122+…+12100 =13⎝⎛⎭⎫12100-1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ,满足:S n =2a n -2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ;(2)若数列{b n }满足b n =log 2(a n +2),T n 为数列{b n a n +2}的前n 项和,求证:T n ≥12. (1)解 当n ∈N *时,S n =2a n -2n ,则当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2(n -1),两式相减得a n =2a n -2a n -1-2,即a n =2a n -1+2,∴a n +2=2(a n -1+2),∴a n +2a n -1+2=2, 当n =1时,S 1=2a 1-2,则a 1=2,∴{a n +2}是以a 1+2=4为首项,2为公比的等比数列,∴a n +2=4·2n -1,∴a n =2n +1-2;(2)证明 b n =log 2(a n +2)=log 22n +1=n +1,∴b n a n +2=n +12n +1,则T n =222+323+…+n +12n +1, 12T n =223+324+…+n 2n +1+n +12n +2, 两式相减得12T n =222+123+124+…+12n +1-n +12n +2 =14+14(1-12n )1-12-n +12n +2 =14+12-12n +1-n +12n +2=34-n +32n +2, ∴T n =32-n +32n +1, 当n ≥2时,T n -T n -1=-n +32n +1+n +22n =n +12n +1>0, ∴{T n }为递增数列,∴T n ≥T 1=12. 5.直线l n :y =x -2n 与圆:x 2+y 2=2a n +n 交于不同的两点A n ,B n ,n ∈N *.数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =⎩⎪⎨⎪⎧2n -1(n 为奇数),a n (n 为偶数),求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意,知圆的圆心到直线l n 的距离d n =n , 半径r n =2a n +n ,所以a n +1=(12|A n B n |)2=r 2n -d 2n =(2a n +n )-n =2a n . 又a 1=1,所以a n =2n -1.(2)当n 为偶数时,T n =(b 1+b 3+…+b n -1)+(b 2+b 4+…+b n ) =[1+5+…+(2n -3)]+(2+23+…+2n -1) =n (n -1)2+2(1-2n )1-4=n 2-n 2+23(2n -1). 当n 为奇数时,n +1为偶数,T n +1=(n +1)2-(n +1)2+23(2n +1-1) =n 2+n 2+23(2n +1-1). 而T n +1=T n +b n +1=T n +2n,所以T n =n 2+n 2+13(2n -2). 所以T n =⎩⎪⎨⎪⎧ n 2-n 2+23(2n -1)(n 为偶数),n 2+n 2+13(2n -2)(n 为奇数).。
必考部分第八篇平面解析几何(必修2、选修11)第1节直线与方程课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.已知两点A(-3,),B(,-1),则直线AB的斜率是( D )(A) (B)-(C)(D)-解析:斜率k==-,故选D.2.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:①当a=0时,y=2不合题意.②a≠0,x=0时,y=2+a.y=0时,x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.3.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( D )(A)4 (B)(C)(D)解析:把3x+y-3=0转化为6x+2y-6=0,由两直线平行知m=2,则d==.故选D.4.(2013惠州二调)已知点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( C )(A)-2或1 (B)2或1(C)-2或-1 (D)2或-1解析:法一由=得a2+3a+2=0,∴a=-1或-2,故选C.法二由题意知AB∥l或AB的中点在直线l上.若AB∥l,则k AB==2=-a,∴a=-2.若直线l经过AB的中点(3,2),则3a+2+1=0,∴a=-1,故选C.5.(2014皖南八校联考)直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C )(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.6.(2013泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( A )(A)x-2y+4=0 (B)2x+y-7=0(C)x-2y+3=0 (D)x-2y+5=0解析:直线2x+y-5=0的斜率为k=-2,∴所求直线的斜率为k'=,∴方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.二、填空题7.(2013湘潭质检)若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为.解析:∵过点A,B的直线平行于直线2x+y+2=0,∴k AB==-2,解得m=-8.答案:-88.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是.解析:由直线PQ的倾斜角为钝角,可知其斜率k<0,即<0,化简得<0,∴-2<a<1.答案:(-2,1)9.已知k∈R,则直线kx+(1-k)y+3=0经过的定点坐标是. 解析:令k=0,得y+3=0,令k=1,得x+3=0.解方程组得所以定点坐标为(-3,-3).答案:(-3,-3)10.(2013成都模拟)分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是.解析:由题意,l1,l2需与直线AB垂直才能符合题意,而k AB==1,∴=-1,∴直线l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.答案:x+y-4=0三、解答题11.(2013哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1.求直线l的方程.解:法一由题知直线在两坐标轴上的截距不为0,设直线方程为+=1,由题意有解得或∴直线方程为+y=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0.法二由题知直线l斜率存在且不为0,设直线l:y-2=k(x+2).当x=0时,y=2k+2,当y=0时,x=--2.则|(2k+2)(--2)|=1,解得k=-或k=-2.即直线l方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0.12.已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2xsin α+y+1=0,试求α的值,使(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.解:(1)法一当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.当sin α≠0时,=-,=-2sin α.要使l1∥l2,需-=-2sin α,即sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l 1∥l2.法二由l1∥l2,得∴sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l 1∥l2.(2)∵l1⊥l2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.∴α=kπ,k∈Z.故当α=kπ,k∈Z时, l1⊥l2.13.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交;(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.证明:(1)假设l1与l2不相交,则l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得+2=0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.(2)法一由方程组解得交点P的坐标为(,),而2x2+y2=2()2+()2===1.即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.即l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.法二交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0.从而代入k1k2+2=0,得·+2=0,整理后,得2x2+y2=1.所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.B组14.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )(A)[,) (B)(,)(C)(,) (D)[,]解析:由题意,可作直线2x+3y-6=0的图象,如图所示,则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0),B(0,2),又直线l过定点(0,-),由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点),从图中可以看出,直线l的倾斜角的取值范围为(,).故选B.15.如图所示,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( A )(A)2(B)6 (C)3(D)2解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为|CD|=2.故选A.16.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.解析:由题意知截距均不为零.设直线方程为+=1,由解得或故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.答案:x+y-3=0或x+2y-4=0。
基础巩固强化一、选择题1.(文)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A .两个圆 B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线[答案] C[解析] 原方程等价于ρ=1或θ=π,前者是半径为1的圆,后者是一条射线.(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中,已知点P (2,π6),则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A .ρsin θ=1B .ρsin θ= 3C .ρcos θ=1D .ρcos θ= 3[答案] A[解析] 点P (2,π6)的直角坐标为(3,1), ∵所求直线平行于极轴,∴所求直线的斜率k =0.所求直线的普通方程为y =1,化为极坐标方程为ρsin θ=1,故选A.2.(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴为x 轴正半轴,则直线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+2t ,y =2+t .(t 为参数)被圆ρ=3截得的弦长为( )A.125B.125 5C.95 5 D.9510[答案] B[解析] 圆的直角坐标方程为x 2+y 2=9,直线的参数方程化为普通方程为x -2y +3=0,则圆心(0,0)到直线的距离d =35.所以弦长为232-d 2=1255.(理)已知点P (3,m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x =4t 2,y =4t .(t 为参数)上,则|PF |=( )A .1B .2C .3D .4[答案] D[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2=4x ,则焦点F (1,0),准线方程为x =-1,又P (3,m )在抛物线上,由抛物线的定义知|PF |=3-(-1)=4.3.(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =-2-t (t 为参数)与圆C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ+1,y =2sin θ(θ为参数),则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( )A.π4,(1,0) B.π4,(-1,0) C.3π4,(1,0)D.3π4,(-1,0)[答案] C[解析] ∵直线l 的普通方程为x +y =0, ∴直线l 的倾斜角为3π4.又∵圆C 的普通方程为(x -1)2+y 2=4, ∴圆心坐标为(1,0),故选C.(理)(2013·山西太原测评)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2t ,y =-1-t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3cos θ,y =1+3sin θ(θ为参数,θ∈R )所截,则截得的弦的长度是( ) A.355 B.655 C.322 D .6 2[答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+2t ,y =-1-t ,∴x +2y +3=0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3cos θ,y =1+3sin θ,∴(x -1)2+(y -1)2=9, ∴圆心(1,1)到直线x +2y +3=0的距离 d =|1+2+3|5=655,弦长为232-(655)2=655,故选B.4.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3t ,y =2-3t .(t 为参数),则直线的倾斜角为( )A .30°B .60°C .120°D .150°[答案] D[解析] 由直线的参数方程知,斜率k =y -2x -1=-3t 3t =-33=tan θ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.5.(文)在极坐标系中,过点(2,π3)且与极轴平行的直线的方程是( )A .ρcos θ= 3B .ρsin θ= 3C .ρ=3cos θD .ρ=3sin θ[答案] B[解析] 设P (ρ,θ)是所求直线上任意一点,则ρsin θ=2sin π3,∴ρsin θ=3,故选B.(理)(2013·安徽理,7)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A .θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2B .θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2 C .θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=1 D .θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1 [答案] B[解析] 由题意可知,圆ρ=2cos θ可化为普通方程为(x -1)2+y 2=1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x =0和x =2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2,故选B.6.(2012·淮南市二模)已知曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =2sin θ.(θ为参数)和直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t +b .(t 为参数,b 为实数),若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1,则b =( )A. 2 B .- 2 C .0 D .±2[答案] D[解析] 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2+y 2=4和y =x +b ,依题意,若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可,得到|b |2=1,解得b =±2.二、填空题7.若直线l 1:⎩⎪⎨⎪⎧ x =1-2t ,y =2+kt .(t 为参数)与直线l 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =s ,y =1-2s .(s为参数)垂直,则k =______.[答案] -1[解析] l 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =1-2t ,y =2+kt .(t 为参数)化为普通方程为y -2=-k2(x -1),l 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =s ,y =1-2s .(s 为参数)化为普通方程为y -1=-2x ,∵l 1⊥l 2,∴-k 2·(-2)=-1,k =-1.8.(文)(2013·江西理,15)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t y =t2(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________.[答案] ρcos 2θ-sin θ=0[解析] 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y =x 2.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sin θ.(理)(2013·陕西理,15)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2+y 2-x =0的参数方程为________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin θcos θ(θ为参数)[解析] 由三角函数定义知yx =tan θ(x ≠0),y =x tan θ, 由x 2+y 2-x =0得,x 2+x 2tan 2θ-x =0,x =11+tan 2θ=cos 2θ,则y =x tan θ=cos 2θtan θ=sin θcos θ, 又θ=π2时,x =0,y =0也适合题意,故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin θcos θ(θ为参数).[解法探究] 因为直线OP 与圆的交点为P ,所以点P 与直径两端点构成直角三角形,故可通过解直角三角形求得参数方程.将圆x 2+y 2-x =0配方得,(x -12)2+y 2=14, ∴圆的直径为1.设P (x ,y ),则|OP |=cos θ, x =|OP |cos θ=cos 2θ, y =|OP |sin θ=sin θcos θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos 2θ,y =sin θcos θ,(θ为参数).9.(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中,点P (1,π2)到直线l :ρcos(θ+π4)=322上的点的最短距离为________.[答案] 2 2[解析] 注意到点P (1,π2)的直角坐标是(0,1),直线l :ρcos(θ+π4)=322的直角坐标方程是x -y -3=0,因此点P (1,π2)到直线l 上的点的最短距离,即点P 到直线l 的距离,等于|0-1-3|2=2 2.(理)在极坐标系中,圆ρ=4cos θ的圆心C 到直线ρsin(θ+π4)=22的距离为________.[答案]2[解析] 注意到圆ρ=4cos θ的直角坐标方程是x 2+y 2=4x ,圆心C 的坐标是(2,0).直线ρsin(θ+π4)=22的直角坐标方程是x +y -4=0,因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2+0-4|2= 2.三、解答题10.(文)(2012·河南六市联考)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =3+4t ,y =2+3t .(t 为参数).(1)将C 1化为直角坐标方程;(2)曲线C 1与C 2是否相交?若相交,求出弦长,若不相交,请说明理由.[解析] (1)∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ,∴x 2+y 2=4x , 所以C 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0. (2)C 2的直角坐标方程为3x -4y -1=0, C 1表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆. 圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d =|3×2-4×0-1|32+42=1<2. 所以C 1与C 2相交.相交弦长|AB |=222-12=2 3.(理)已知直线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =t sin α.(t 为参数),圆C 2:ρ=1.(极坐标轴与x 轴非负半轴重合)(1)当α=π3时,求直线C 1被圆C 2所截得的弦长;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A .当a 变化时,求A 点的轨迹的普通方程.[解析] (1)当α=π3时,C 1的普通方程为y =3(x -1), C 2的普通方程为x 2+y 2=1.法1:联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =3(x -1),x 2+y 2=1.解得C 1与C 2的交点为(1,0),(12,-32), 所以截得的弦长为(1-12)2+(-32)2=1.法2:原点O 到直线C 1的距离为|0-0-3|(3)2+1=32, 又圆C 2的半径为1,所以截得的弦长为21-(32)2=2×12=1.(2)C 1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0. A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α),故当α变化时,A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =sin 2α,y =-sin αcos α.(α为参数).所以A 点轨迹的普通方程为x 2+y 2-x =0.能力拓展提升一、填空题11.(2013·广东理,14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos ty =2sin t(t为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为________.[答案] ρsin(θ+π4)= 2[解析] ∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos t ,y =2sin t ,(t 为参数),∴其普通方程为x 2+y 2=2.又点(1,1)在曲线C 上,∴曲线l 的斜率k =-1.故l 的方程为x +y -2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2, 即ρsin(θ+π4)= 2.12.(文)极坐标系中,点A 在曲线ρ=2sin θ上,点B 在曲线ρcos θ=-2上,则|AB |的最小值为________.[答案] 1[解析] ρ=2sin θ⇒ρ2=2ρsin θ ∴x 2+y 2-2y =0,即x 2+(y -1)2=1; ∵ρcos θ=-2,∴x =-2,易知圆心(0,1)到直线x =-2的距离为2,圆半径为1,故|AB |min=1.(理)在极坐标系中,设P 是直线l :ρ(cos θ+sin θ)=4上任一点,Q 是圆C :ρ2=4ρcos θ-3上任一点,则|PQ |的最小值是________.[答案]2-1[解析] 直线l 方程化为x +y -4=0,⊙C 方程化为x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1.圆心C (2,0)到直线l 的距离d =|2+0-4|2=2, ∴|PQ |min =2-1.13.(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =t +1(t 为参数),曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ-ρcos θ=3,则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________.[答案] (2,5)[解析] 将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1:y =x 2+1,C 2:y -x =3,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 2+1,y -x =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =5, 故交点坐标为(2,5).(理)以椭圆x 225+y 216=1的焦点为焦点,以直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2t y =4t 为渐近线的双曲线的参数方程为________________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧ x =sec θ,y =22tan θ.(θ≠k π+π2) [解析] ∵椭圆的焦点(±3,0),∴双曲线中c =3,又直线⎩⎪⎨⎪⎧x =2t ,y =4t .化为y =22x ,它是双曲线的渐近线,∴b a =22,∴a 2=1,b 2=8,∴a =1,b =22,∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =sec θ,y =22tan θ.(θ≠k π+π2). 14.(2013·广东广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ+2(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1,则直线l 被圆C 所截得的弦长是________.[答案] 2[解析] 圆C 的参数方程化为普通方程为x 2+(y -2)2=1, 直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x +y =1,圆心到直线的距离d =|0+2-1|2=22, 故圆C 截直线l 所得的弦长为212-d 2= 2.二、解答题15.(文)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标坐标系取相等的单位长度.已知直线l 经过点P (1,1),倾斜角α=π6.(1)写出直线l 的参数方程;(2)设l 与圆ρ=2相交于两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积.[解析] (1)直线的参数方程是⎩⎨⎧ x =1+32t ,y =1+12t .(t 是参数)(2)因为点A 、B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,圆ρ=2化为直角坐标系的方程x 2+y 2=4.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2+y 2=4整理得到t 2+(3+1)t -2=0①因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2,∴|P A |·|PB |=|t 1t 2|=2.(理)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (-1,2),方向向量为n =(-1,3)的直线,圆方程ρ=2cos(θ+π3).(1)求直线l 的参数方程;(2)设直线l 与圆相交于M ,N 两点,求|PM |·|PN |的值.[解析] (1)∵n =(-1,3),∴直线的倾斜角α=2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1+t cos 2π3,y =2+t sin 2π3(t 为参数),即⎩⎨⎧x =-1-12t ,y =2+32t (t 为参数).(2)∵ρ=2(12cos θ+32sin θ)=cos θ+3sin θ,∴ρ2=ρcos θ+3ρsin θ.∴x 2+y 2-x +3y =0,将直线的参数方程代入得t 2+(3+23)t +6+23=0.∴|t 1t 2|=6+23,即|PM |·|PN |=6+2 3.16.(文)(2013·贵州六校联考)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos φ,y =sin φ(φ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π3).(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程,将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)圆C 1、C 2是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =cos φ,y =sin φ,得x 2+y 2=1, 又∵ρ=2cos(θ+π3)=cos θ-3sin θ,∴ρ2=ρcos θ-3ρsin θ.∴x 2+y 2-x +3y =0,即(x -12)2+(y +32)2=1.(2)圆心距d =(0-12)2+(0+32)2=1<2,得两圆相交.设交点为A ,B ,由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2=1,x 2+y 2-x +3y =0 得A (1,0),B (-12,-32),∴|AB |=(1+12)2+(0+32)2= 3.(理)已知直线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧ x =1+t cos α,y =t sin α,(t 为参数),圆C 2:⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ,(θ为参数).(1)当α=π3时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A ,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.[解析] (1)当α=π3时,C 1的普通方程为y =3(x -1),C 2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =3(x -1),x 2+y 2=1,解得C 1与C 2的交点为(1,0),(12,-32).(2)C 1的普通方程为x sin α-y cos α-sin α=0.A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α),故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x =12sin 2α,y =-12sin αcos α,(α为参数),消去参数得P 点轨迹的普通方程为(x -14)2+y 2=116,故P 点轨迹是圆心为(14,0),半径为14的圆.考纲要求1.了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念.会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.5.了解参数方程,了解参数的意义.6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.补充说明1.极坐标系的概念在平面内取一个定点O为极点,引一条射线Ox为极轴,再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向),就建立了一个极坐标系.对于极坐标系内任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,用θ表示以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序实数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标.如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R.2.柱坐标系(1)如图,空间直角坐标系O-xyz中,设P是空间任意一点,它在xoy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.把建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z ),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z <+∞.(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z .3.球坐标系(1)如图空间直角坐标系O -xyz 中,设P 是空间任意一点,记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ,设P 在xOy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ,则点P 用有序数组(r ,φ,θ)表示.把空间的点与有序数组(r ,φ,θ)之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系,有序数组(r ,φ,θ)叫做点P 的球坐标,记作P (r ,φ,θ),其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,φ,θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x =r sin φcos θ,y =r sin φsin θ,z =r cos φ.备选习题1.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos α,y =3sin α.(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0,则C 1与C 2的交点个数为________.[答案] 2[解析] 曲线C 1的参数方程可化为x 24+y 23=1,曲线C 2的极坐标方程ρ(cos θ-sin θ)+1=0化为直角坐标方程为x -y +1=0.直线x -y +1=0过点(0,1),位于椭圆C 1内,故C 1与C 2有2个交点.2.已知曲线C 1:ρ=2sin θ,曲线C 2:⎩⎪⎨⎪⎧ x =-35t +2,y =45t .(t 为参数). (1)化C 1为直角坐标方程,化C 2为普通方程;(2)若M 为曲线C 2与x 轴的交点,N 为曲线C 1上一动点,求|MN |的最大值.[解析] (1)曲线C 1的方程化为ρ2=2ρsin θ又x 2+y 2=ρ2,x =ρcos θ,y =ρsin θ所以曲线C 1的直角坐标方程x 2+y 2-2y =0,因为曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x =-35t +2,y =45t .消去参数t 得曲线C 2的普通方程4x +3y -8=0.(2)在曲线C 2的方程中,令y =0得x =2,即M 点的坐标为(2,0),又曲线C 1为圆,其圆心坐标为C 1(0,1),半径r =1,则|MC 1|=5,∴|MN |≤|MC 1|+r =5+1,|MN |的最大值为5+1.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:⎩⎪⎨⎪⎧ x =1+45t ,y =-1-35t .(t 为参数),若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4),求直线l 被曲线C 所截的弦长.[解析] 将方程⎩⎪⎨⎪⎧ x =1+45t ,y =-1-35t .(t 为参数)化为普通方程得,3x +4y +1=0,将方程ρ=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4化为普通方程得,x 2+y 2-x +y =0,它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-12,半径为22的圆,则圆心到直线的距离d =110, 弦长为2r 2-d 2=212-1100=75.4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合.设点O 为坐标原点,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =2+2t .(参数t ∈R )与曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sin θ.(1)求直线l 与曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,证明:OA →·OB→=0. [解析] (1)由直线的参数方程消去参数t 得普通方程y =2x +2;由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2=2y ,(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +2,x 2=2y .消去y 得x 2-4x -4=0,x 1+x 2=4,x 1·x 2=-4,∴y 1y 2=x 212·x 222=4,∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=0. 5.(2012·河北郑口中学模拟)在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,设曲线C :⎩⎪⎨⎪⎧x =3cos αy =sin α(α为参数),直线l :ρ(cos θ+sin θ)=4.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.[解析] (1)将C 化为普通方程是x 23+y 2=1,将l 化为直角坐标方程是x +y -4=0.(2)在x 23+y 2=1上任取一点A (3cos α,sin α),则点A 到直线l 的距离为d =|3cos α+sin α-4|2=|2sin (α+60°)-4|2,它的最大值为3 2. 6.(2013·福建漳州一模)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=22a ,曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+cos φ,y =-1+sin φ,(φ为参数,0≤φ≤π). (1)求C 1的直角坐标方程;(2)当C 1与C 2有两个不同公共点时,求实数a 的取值范围.[解析] (1)将曲线C 1的极坐标方程变形, ρ(22sin θ+22cos θ)=22a ,即ρcos θ+ρsin θ=a ,∴曲线C 1的直角坐标方程为x +y -a =0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x +1)2+(y +1)2=1(-1≤y ≤0),为半圆弧,如图所示,曲线C 1为一组平行于直线x +y =0的直线,当直线C 1与C 2相切时,由|-1-1-a |2=1得a =-2±2, 舍去a =-2-2,得a =-2+2, 当直线C 1过A (0,-1)、B (-1,0)两点时,a =-1. ∴由图可知,当-1≤a <-2+2时,曲线C 1与曲线C 2有两个公共点.。
常考客观题——基础快速练(二)(建议用时:40分钟)1.若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数,则实数x 的值为 ( ).A .-1B .0C .1D .-1或1解析 由⎩⎨⎧x 2-1=0,x -1≠0,⇒x =-1,故选A.答案 A2.已知集合M ={x |-5<x <2},N ={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}, 则M ∩N =( ).A .{-4,-3,-2,-1,0,1}B .{-4,-3,-2,-1,0,1,2}C .{-5,-4,-3,-2,-1,0,1}D .{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2} 答案 A3.设α表示平面,a ,b 表示直线,给定下列四个命题:①a ∥α,a ⊥b ⇒b ⊥α;②a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α;③a ⊥α,a ⊥b ⇒b ∥α;④a ⊥α,b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的命题有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个答案 B4.某种饮料每箱装6听,其中有4听合格,2听不合格,现质检人员从中随机抽取2听进行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( ).A.115 B .35 C.815D .1415解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个,而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件,所以检测到不合格饮料的概率为P =915=35. 答案 B5.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 ( ).A .y =±32x B .y =±32x C .y =±33xD .y =±3x解析 依题意得双曲线的半焦距c =4,由e =ca =2⇒a =2,∴b =c 2-a 2=23,∵双曲线的焦点在x 轴,∴双曲线的渐近线方程为y =±3x .故选D. 答案 D6.已知α为锐角,且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,则 cos α的值为( ).A.4-3310B .4+3310C.43-310 D .43+310解析 已知α为锐角,∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35,∴cos α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α+π6-π6= cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6sin π6=45×32+35×12=43+310.故选D. 答案 D7.若如图所示的程序框图输出的S 是62,则在判断框中①表示的“条件”应该是( ).A .n ≤7B .n ≤6C .n ≤5D .n ≤4解析 ∵S =21+22+23+24+25=62,所以判断框中①表示的“条件”应为n ≤5,故选C.答案 C8.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA 1⊥底面ABC ,其正视图是边长为2的正方形,则此三棱柱侧视图的面积为( ).A .22B .4C .3D .2 3解析 由图可得,该三棱柱的侧视图是长为2,宽为2×32=3的长方形,其面积为2×3=23,故应选D. 答案 D9.设函数f (x )=g (x )+x 2,曲线y =g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为 ( ).A .3B .5C .2D .4解析 由已知g ′(1)=2,而f ′(x )=g ′(x )+2x , 所以f ′(1)=g ′(1)+2×1=4. 答案 D10.在R 上定义运算:x y =x (1-y ),若∃x ∈R 使得(x -a x +a )>1成立,则实数a 的取值范围是( ).A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 解析 ∵∃x 使得(x -ax +a )>1⇒(x -a )(1-x -a )>1,即∃x 使得x 2-x -a 2+a +1<0成立,∴Δ=1-4(-a 2+a +1)>0⇒4a 2-4a -3>0,解得a >32或a <-12,故选A. 答案 A11.设M (x 0,y 0)为抛物线C :y 2=8x 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则x 0的取值范围是 ( ).A .(0,2)B .[0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)解析 由抛物线定义可得R =|MF |=x 0+p2=x 0+2,又抛物线准线x =-2与圆相交,故有2+2<R =x 0+2,解得x 0>2,故选C. 答案 C12.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是 ( ).A .3B .4C .92D .112解析 因为2xy =x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +2y 22, 所以,原式可化为(x +2y )2+4(x +2y )-32≥0.又x >0,y >0,所以x +2y ≥4.当x =2,y =1时取等号. 答案 B13.某射击运动员在四次射击中分别打出了10,x,10,8环的成绩,已知这组数据的平均值是9,则这组数据的方差是________.解析 根据平均数为9,得x =8,根据方差公式,得s 2=14[(10-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(8-9)2]=1. 答案 114.若向量a =(2x -1,x +3),b =(x,2x +1),c =(1,2),且(a -b )⊥c ,则实数x 的值为________.解析 ∵(a -b )⊥c ,a =(2x -1,x +3),b =(x,2x +1),∴(a -b )·c =(x -1,-x +2)·(1,2)=x -1-2x +4=3-x =0,解得x =3. 答案 315.如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0内,点Q 在曲线x 2+(y +2)2=1上,那么|PQ |的最小值为________.解析 根据题设条件,画出可行域,如图所示.由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界,点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0,-2)的最小值减去圆的半径1,由图可知|PQ |min =(0+1)2+(-2-0)2-1 =5-1. 答案5-116.等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项和为S n ,给出下列四个命题:①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列;②若a 2+a 12=2,则S 13=13;③S n =na n -n (n -1)2d ;④若d >0,则S n 一定有最大值. 其中真命题的序号是________.解析 对于①,注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12d 是一个非零常数,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列,①正确.对于②,S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 2+a 12)2=13,因此②正确.对于③,注意到S n =na 1+n (n -1)2d =n [a n -(n -1)d ]+n (n -1)2d =na n -n (n -1)2d ,因此③正确.对于④,S n =na 1+n (n -1)2d ,d >0时,S n 不存在最大值,因此④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③。
必考解答题——基础满分练(二)统计与概率 (建议用时:45分钟)1.一个袋中有4个大小质地都相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个. (1)求连续取两次都是白球的概率;(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,求连续取两次分数之和大于1分的概率.解 (1)设2个白球分别为白1、白2,则有放回地连续取两次所包含的基本事件有(红,红),(红,白1),(红,白2),(红,黑),(白1,红),(白1,白1),(白1,白2),(白1,黑),(白2,红),(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑),(黑,红),(黑,白1),(黑,白2),(黑,黑),所以基本事件的总数为16.设事件A 为“连续取两次都是白球”,则事件A 所包含的基本事件有(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共4种,所以,P (A )=416=14.(2)法一 由(1)知,连续取两次的事件总数为16, 设事件B 为“连续取两次分数之和为0分”.则P (B )=116,设事件C 为“连续取两次分数之和为1分”.则P (C )=416=14,设事件D 为“连续取两次分数之和大于1分”,则P (D )=1-P (B )-P (C )=1116.法二 设事件B 为“连续取两次分数之和为2分”,则P (B )=616;设事件C 为“连续取两次分数之和为3分”,则P (C )=416;设事件D 为“连续取两次分数之和为4分”,则P (D )=116; 设事件E 为“连续取两次分数之和大于1分”, 则P (E )=P (B )+P (C )+P (D )=1116.2.有编号为A 1,A 2,…,A 10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:(1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率. (2)从一等品零件中,随机抽取2个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2个零件直径相等的概率.解 (1)由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取1个为一等品”为事件A ,则P (A )=610=35.(2)①一等品零件的编号为A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,A 4},{A 1,A 5},{A 1,A 6},{A 2,A 3},{A 2,A 4},{A 2,A 5},{A 2,A 6},{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 6},{A 4,A 5},{A 4,A 6},{A 5,A 6},共有15种.②“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有:{A 1,A 4},{A 1,A 6},{A 4,A 6},{A 2,A 3},{A 2,A 5},{A 3,A 5},共有6种,所以P (B )=615=25. 3.某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔1小时各抽一包产品,称其质量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得质量数据的茎叶图如图.(1)根据样品数据,计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的质量相对较稳定;(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取的两件样品的质量之差不超过2克的概率.解 (1)x 甲=16(107+111+111+113+114+122)=113,x 乙=16(108+109+110+112+115+124)=113,s 2甲=16[(107-113)2+(111-113)2+(111-113)2+(113-113)2+(114-113)2+(122-113)2]=21,s 2乙=16[ (108-113)2+(109-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(124-113)2]=883.∵x 甲=x 乙,s 2甲<s 2乙,∴甲车间的产品的质量相对较稳定.(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:(108,109),(108,110),(108,112),(108,115), (108,124),(109,110),(109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115),(110,124),(112,115),(112,124),(115,124).设A表示随机事件“所抽取的两件样品的质量之差不超过2克”,则A的基本事件有4种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112).故所求概率为P(A)=4 15 .4.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.解(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×(0.005+0. 01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2,分别记为A,B.成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7种,所以所求概率为P(M)=715.。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第9节 函数模型及其应用 文A 组 基础达标(时间:30分钟 满分:50分)若时间有限,建议选讲5,7,9一、 选择题(每小题5分,共25分)1.(2013·济南模拟)设甲、乙两地的距离为a (a >0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min ,在乙地休息 10 min 后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min ,则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为(D )解析: 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移.选D.2.(2014·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税 R 元),若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30-52R 万件,要使附加税不少于128万元,则R 的取值范围是(A )A. [4,8]B. [6,10]C. [4%,8%]D. [6%,10%]解析:根据题意得,要使附加税不少于128万元,需⎝⎛⎭⎪⎫30-52R ×160×R%≥128,整理得R 2-12R +32≤0,解得 4≤R ≤8,即R∈[4,8].3.(2014·朝阳模拟)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低13,现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为(B ) A. 2 000元 B. 2 400元 C. 2 800元 D. 3 000元 解析:设经过3个5年,产品价格为y 元,则y =8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-133=2 400.4,(2013·宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m 3的,按每立方米 m 元的水费收费;用水超过10 m 3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为(A )A. 13 m 3B. 14 m 3C. 18 m 3D. 26 m 3解析:设该职工用水x m 3时,缴纳的水费为y 元,由题意得 y =⎩⎪⎨⎪⎧mx (0<x≤10),10m +(x -10)·2m(x >10),则10m +(x -10)·2m=16m ,解得x =13. 5.(2014·揭阳调研)甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地,甲在前一半时间以速度v 1行驶,在后一半时间以速度v 2行驶,乙在前一半路程以速度v 1行驶,在后一半路程以速度v 2行驶,v 1≠v 2.则下列说法正确的是(A )A. 甲先到达B 地B. 乙先到达B 地C. 甲、乙同时到达B 地D. 无法确定谁先到达B 地解析:将A ,B 两地间的距离看成1,设甲从A 地出发到达B 地所用的时间为t 1,乙从A 地出发到达B 地所用的时间为t 2,则t 1=2v 1+v 2,t 2=12v 1+12v 2=v 1+v 22v 1v 2,∵t 1-t 2=2v 1+v 2-v 1+v 22v 1v 2=4v 1v 2-(v 1+v 2)22v 1v 2(v 1+v 2)=-(v 1-v 2)22v 1v 2(v 1+v 2)<0,即t 1<t 2,故选A. 二、 填空题(每小题5分,共15分)6.(2013·本溪模拟)某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元,且计划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率相同,2013年预计经营总收入为 1 300 万元.解析:设年增长率为x ,则有40040%×(1+x )2=1 690,1+x =1310,因此2013年预计经营总收入为40040%×1310=1 300(万元). 7.(2014·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过 200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过 500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 546.6元解析:依题意,价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0≤x ≤200,0.9x ,200<x≤500,500×0.9+(x -500)×0.7,x >500.当f (x )=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x =168;当 f (x )=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x =470.∴两次共购得价值为470+168=638(元)的商品,∴500×0.9+(638-500)×0.7=546.6(元),故若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.8.(2014·镇江模拟)如图,书的一页的面积为600 cm 2,设计要求书面上方空出2 cm的边,下、左、右方都空出1 cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为 30 cm ,20 cm解析:设长为a cm ,宽为b cm ,则ab =600,则中间文字部分的面积S =(a -3)(b -2)=606-(2a +3b )≤606-26×600=486,当且仅当2a =3b ,即a =30,b =20时,S 最大=486.三、 解答题(共10分)9.高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时,月销售量为a 台.市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1),那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时,电脑企业的月利润是y 元.(1)写出月利润y 与x 的函数关系式;(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,使得该公司的月利润最大.解析:(1)依题意,销售价提高后变为6 000(1+x )元/台,月销售量为 a (1-x 2)台,则y =a (1-x 2)[6 000(1+x )-4 500].即y =1 500a (-4x 3-x 2+4x +1)(0<x <1).(4分)(2)由(1)知y′=1 500a (-12x 2-2x +4),令y′=0,得6x 2+x -2=0,解得x =12或x =-23(舍去).(6分) 当0<x <12时,y ′>0;当12<x <1时,y ′<0. 故当x =12时,y 取得最大值. 此时销售价为6 000×32=9 000(元). 故这种笔记本电脑的销售价为9 000元时,该公司的月利润最大.(10分)B 组 提优演练(时间:30分钟 满分:50分)若时间有限,建议选讲4,6,8一、 选择题(每小题5分,共20分)1.(2014·揭阳模拟)某企业去年销售收入1 000万元,年成本分为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为(C )A. 10%B. 12%C. 25%D. 40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120,解得 p%=25%.2.(2013·滨州模拟)某地2011年底人口为500万,人均住房面积为6 m 2,如果该城市人口平均每年增长率为1%.为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2,平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)(B )A. 90万m 2B. 87万m 2C. 85万m 2D. 80万m 2解析: 由题意知500×(1+1%)10×7-500×610≈87(万m 2). 3.(2014·海口模拟)某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件(D )A. 100元B. 110元C. 150元D. 190元解析:设售价提高x 元,则依题意销售收入y =(1 000-5x )×(20+x )=-5x 2+900x +20 000=-5(x -90)2+60 500.故当x =90时,y max =60 500,此时售价为每件190元.4.(2013·盐城模拟)已知A ,B 两地相距150 km ,某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地,汽车离开A 地的距离 x (km )与时间t (h )之间的函数表达式是(D )A. x =60tB. x =60t +50tC. x =⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t≤2.5),150-50t (t >3.5)D. x =⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t≤2.5),150(2.5<t≤3.5),150-50(t -3.5)(3.5<t≤6.5)解析:到达B 地需要15060=2.5 (h ),∴当0≤t≤2.5时,x =60t ;当2.5<t≤3.5时,x =150;当3.5<t≤6.5时,x =150-50(t -3.5).二、 填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·莆田模拟)一高为H ,满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ,则函数v =f (h )的大致图像可能是图中的 ②解析: 当h =0时,v =0,可排除①,③;由于鱼缸中间粗两头细,∴h 小于H 2时,增加越来越快;h 大于H 2时,增加越来越慢.故可能是②. 6.(2013·泰安模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x 的最小值是 20解析:七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销售额为500(1+x%)2万元,则一月份到十月份的销售总额是3 860+500+2 [500(1+x%)+500(1+x%)2]万元,根据题意有3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t =1+x%,则25t 2+25t -66≥0,解得t≥65或t≤-115(舍去), 故1+x%≥65,解得x≥20. 三、 解答题(共20分)7.(10分)(2013·大连模拟)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400x -12x 2,0≤x ≤400,80 000,x >400.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x );(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)解析:(1)设每月产量为x 台,则总成本为20 000+100x ,从而f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12x 2+300x -20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400.(4分)(2)当0≤x≤400时, f (x )=-12(x -300)2+25 000, ∴当x =300时, f (x )有最大值25 000;当x >400时, f (x )=60 000-100x 是减函数,f (x )<60 000-100×400<25 000.(8分)综上,当x =300时, f (x )的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25 000元.(10分)8.(10分)(2014·德州模拟)当前环境问题已成为世界关注的焦点,2009年哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说污染非常小.现有以下数据:①当前汽油价格为2.8元/L ,市内出租车耗油情况是1 L 汽油大约跑12 km ;②当前液化气价格为3元/kg ,1 kg 液化气平均可跑15~16 km ;③一辆出租车日平均行程为200 km.请根据以上数据回答问题:(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);(2)假设出租车改装液化气设备需花费5 000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱?解析:(1)设出租车行驶的时间为t 天,所耗费的汽油费为W 元,耗费的液化气费为W′元,由题意可知,W =200t 12×2.8=140t 3(t≥0,t ∈N *),200t 16×3≤W′≤200t 15×3,即37.5t≤W′≤40t(t≥0,t ∈N *),又140t 3>40t ,即W >W′,∴使用液化气比使用汽油省钱.(4分) (2)①设37.5t +5 000=140t 3,解得t≈545.5, 又t≥0,t ∈N *,∴t =546.(6分) ②设40t +5 000=140t 3,解得t =750. ∴若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]且t∈N *时,省出的钱可以等于改装设备花费的钱.(10分)。
必考解答题——基础满分练(二)数 列1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =1-a n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =log 13a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证∑k =1n 1T k<2.(1)解 当n =1时,2S 1=1-a 1,2a 1=1-a 1,∴a 1=13;当n ≥2时,⎩⎨⎧2S n =1-a n ,2S n -1=1-a n -1,两式相减得2a n =a n -1-a n (n ≥2),即3a n =a n -1(n ≥2),又a n -1≠0,∴a n a n -1=13(n ≥2), ∴数列{a n }是以13为首项,13为公比的等比数列.∴a n =13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)证明 由(1)知b n =log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n =n , ∴T n =1+2+3+…+n =n 2+n 2, ∑k =1n 1T k =21×2+22×3+…+2n (n +1) =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1<2. 2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,且S n =S n -1+2n (n ≥2,n ∈N *).(1)求S n ;(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9?若存在,求出数列{b n }的通项公式;若不存在,说明理由.解 (1)因为S n =S n -1+2n ,所以有S n -S n -1=2n 对n ≥2,n ∈N *成立,即a n =2n 对n ≥2成立,又a 1=2·1.所以a n =2n 对n ∈N *成立.所以a n +1-a n =2对n ∈N *成立,所以{a n }是等差数列,所以有S n =a 1+a n 2·n =n 2+n ,n ∈N *.(2)存在.由(1),得a n =2n ,n ∈N *成立,所以有a 3=6,a 9=18,又a 1=2,所以由b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9,则b 2b 1=b 3b 2=3. 所以存在以b 1=2为首项,公比为3的等比数列{b n }, 其通项公式为b n =2·3n -1.3.已知数列{a n }是首项a 1=1的等差数列,其前n 项和为S n ,数列{b n }是首项b 1=2的等比数列,且b 2S 2=16,b 1b 3=b 4.(1)求a n 和b n ;(2)令c 1=1,c 2k =a 2k -1,c 2k +1=a 2k +kb k (k =1,2,3,…),求数列{c n }的前2n +1项和T 2n +1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q , 则a n =1+(n -1)d ,b n =2q n -1.由b 1b 3=b 4,得q =b 4b 3=b 1=2, 由b 2S 2=2q (2+d )=16,解得d =2.∴a n =2n -1,b n =2n .(2)∵T 2n +1=c 1+a 1+(a 2+b 1)+a 3+(a 4+2·b 2)+…+a 2n -1+(a 2n +nb n )=1+S 2n +(b 1+2b 2+…+nb n ).令A =b 1+2b 2+…+nb n ,则A =2+2·22+…+n ·2n ,∴2A =22+2·23+…+(n -1)2n +n ·2n +1,∴-A =2+22+…+2n -n ·2n +1,∴A =n ·2n +1-2n +1+2.又S 2n =2n (1+a 2n )2=4n 2, ∴T 2n +1=1+4n 2+n ·2n +1-2n +1+2=3+4n 2+(n -1)2n +1.4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,它的前n 项和为S n ,若S 5=70,且a 2,a 7,a 22成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1S n}的前n 项和为T n ,求证:16≤T n <38. (1)解 因为数列{a n }是等差数列,所以a n =a 1+(n -1)d ,S n =na 1+n (n -1)2d .依题意,有⎩⎨⎧ S 5=70,a 27=a 2a 22,即⎩⎨⎧5a 1+10d =70,(a 1+6d )2=(a 1+d )(a 1+21d ),解得a 1=6,d =4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n +2(n ∈N *).(2)证明 由(1)可得S n =2n 2+4n ,所以1S n =12n 2+4n =12n (n +2)=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2, 所以T n =1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n -1+1S n =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+14⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+14⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =38-14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1+1n +2, 因为T n -38=-14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1+1n +2<0,所以T n <38, 因为T n +1-T n =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1-1n +3>0,所以数列{T n }是递增数列. 所以T n ≥T 1=16,所以16≤T n <38.。
§2.8函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x) (x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ⅱ)若f (a )·f (c )<0,则令b =c (此时零点x 0∈(a ,c )); (ⅲ)若f (c )·f (b )<0,则令a =c (此时零点x 0∈(c ,b )).④判断是否达到精确度ε:即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b );否则重复②③④.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点(函数图象连续不断),则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在b 2-4ac <0时没有零点.( √ ) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (5)函数y =2sin x -1的零点有无数多个.( √ )(6)函数f (x )=kx +1在[1,2]上有零点,则-1<k <-12.( × )2.(2013·某某)函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B解析 当0<x <1时,f (x )=2x log 0.5x -1,令f (x )=0,则log 0.5x =⎝⎛⎭⎫12x由y =log 0.5x ,y =⎝⎛⎭⎫12x 的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f (x )在(0,1)上有一个零点. 当x >1时,f (x )=-2x log 0.5x -1=2x log 2x -1,令f (x )=0得log 2x =⎝⎛⎭⎫12x,由y =log 2x ,y =⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f (x )在(1,+∞)上有一个零点,故选B.3.(2013·某某)若a <b <c ,则函数f (x )=(x -a )(x -b )+(x -b )(x -c )+(x -c )(x -a )的两个零点分别位于区间( )A .(a ,b )和(b ,c )内B .(-∞,a )和(a ,b )内C .(b ,c )和(c ,+∞)内D .(-∞,a )和(c ,+∞)内 答案 A解析 由于a <b <c ,所以f (a )=0+(a -b )(a -c )+0>0,f (b )=(b -c )(b -a )<0,f (c )=(c -a )(c -b )>0.因此有f (a )·f (b )<0,f (b )·f (c )<0,又因f (x )是关于x 的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ,b )和(b ,c )内,故选A. 4.在下列区间中,函数f (x )=e x +4x -3的零点所在的区间为( )A .(-14,0)B .(0,14)C .(14,12)D .(12,34)答案 C解析 ∵f (x )=e x +4x -3,∴f ′(x )=e x +4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数.∵f (-14)=e 41-4<0,f (0)=e 0+4×0-3=-2<0,f (14)=e 41-2<0,f (12)=e 21-1>0, ∴f (14)·f (12)<0.5.已知函数f (x )=ln x -x +2有一个零点所在的区间为(k ,k +1) (k ∈N *),则k 的值为________. 答案 3解析 由题意知,当x >1时,f (x )单调递减,因为f (3)=ln 3-1>0,f (4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k =3.题型一 函数零点的判断和求解例1 (1)(2012·某某)函数f (x )=x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A .4B .5C .6D .7(2)设函数f (x )=x 2+2x (x ≠0).当a >1时,方程f (x )=f (a )的实根个数为________.思维启迪 (1)函数零点的确定问题;(2)f (x )=f (a )的实根个数转化为函数g (x )=f (x )-f (a )的零点个数. 答案 (1)C (2)3解析 (1)当x =0时,f (x )=0.又因为x ∈[0,4],所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2,所以函数y =cos x 2在x 2取π2,3π2,5π2,7π2,9π2时为0,此时f (x )=0,所以f (x )=x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6. (2)令g (x )=f (x )-f (a ),即g (x )=x 2+2x -a 2-2a ,整理得:g (x )=1ax (x -a )(ax 2+a 2x -2).显然g (a )=0,令h (x )=ax 2+a 2x -2. ∵h (0)=-2<0,h (a )=2(a 3-1)>0,∴h (x )在区间(-∞,0)和(0,a )各有一个零点.因此,g (x )有三个零点,即方程f (x )=f (a )有三个实数解.思维升华 函数零点的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定,②零点个数的确定,③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法.(1)函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( )A .(-2,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,2)(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则函数y =f (x )-log 3|x |的零点个数是( ) A .多于4个 B .4个 C .3个 D .2个 答案 (1)B (2)B解析 (1)∵f ′(x )=2x ln 2+3>0, ∴f (x )=2x +3x 在R 上是增函数. 而f (-2)=2-2-6<0,f (-1)=2-1-3<0,f (0)=20=1>0,f (1)=2+3=5>0,f (2)=22+6=10>0, ∴f (-1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(-1,0)上有零点. (2)由题意知,f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y =f (x )及y =log 3|x |的图象,如下:观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y =f (x )-log 3|x |有4个零点. 题型二 二次函数的零点问题例2 是否存在这样的实数a ,使函数f (x )=x 2+(3a -2)x +a -1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出a 的取值X 围;若不存在,说明理由.思维启迪 可将问题转化为f (x )=0在[-1,3]上有且只有一个实数根,结合二次函数的图象特征转化题中条件.解 令f (x )=0,则Δ=(3a -2)2-4(a -1)=9a 2-16a +8=9(a -89)2+89>0,即f (x )=0有两个不相等的实数根,∴若实数a 满足条件,则只需f (-1)·f (3)≤0即可.f (-1)·f (3)=(1-3a +2+a -1)·(9+9a -6+a -1)=4(1-a )(5a +1)≤0, ∴a ≤-15或a ≥1.检验:(1)当f (-1)=0时,a =1,所以f (x )=x 2+x . 令f (x )=0,即x 2+x =0,得x =0或x =-1.方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a ≠1.(2)当f (3)=0时,a =-15,此时f (x )=x 2-135x -65.令f (x )=0,即x 2-135x -65=0,解得x =-25或x =3.方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a ≠-15.综上所述,a <-15或a >1.思维升华 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式; (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f (x )=x 2+(a 2-1)x +(a -2)的一个零点比1大,一个零点比1小,某某数a的取值X 围.解 方法一 设方程x 2+(a 2-1)x +(a -2)=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 1-1)(x 2-1)<0,∴x 1x 2-(x 1+x 2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a -2)+(a 2-1)+1<0, 即a 2+a -2<0,∴-2<a <1.方法二 函数图象大致如图,则有f (1)<0, 即1+(a 2-1)+a -2<0,∴-2<a <1. 题型三 函数零点的应用例3若关于x 的方程22x +2x a +a +1=0有实根,某某数a 的取值X 围.思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点,判断方程的根是否存在,可以通过构造相应的函数,将其转化为函数零点的存在性问题求解,也可直接通过分离参数,转化为函数的值域问题求解. 解 方法一 (换元法)设t =2x (t >0),则原方程可变为t 2+at +a +1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令f (t )=t 2+at +a +1.①若方程(*)有两个正实根t 1,t 2,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=a 2-4(a +1)≥0,t 1+t 2=-a >0,t 1·t 2=a +1>0,解得-1<a ≤2-22;②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则f (0)=a +1<0,解得a <-1;③当a =-1时,t =1,x =0符合题意. 综上,a 的取值X 围是(-∞,2-22]. 方法二 (分离变量法)由方程,解得a =-22x +12x +1,设t =2x (t >0),则a =-t 2+1t +1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +2t +1-1 =2-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t +1)+2t +1,其中t +1>1,由基本不等式,得(t +1)+2t +1≥22,当且仅当t =2-1时取等号,故a ≤2-2 2.思维升华 对于“a =f (x )有解”型问题,可以通过求函数y =f (x )的值域来解决.已知定义在R 上的函数y =f (x )满足f (x +2)=f (x ),当-1<x ≤1时,f (x )=x 3,若函数g (x )=f (x )-log a |x |至少有5个零点,则a 的取值X 围是( )A .(1,5)B .(0,15)∪[5,+∞)C .(0,15]∪[5,+∞)D .[15,1]∪(1,5]答案 B解析 依题意知函数f (x )的周期为2,在坐标平面内画出函数y =f (x )与函数y =log a |x |的图象,如图所示,结合图象,可知要使函数g (x )=f (x )-log a |x |至少有5个零点,则有0<a <15或a ≥5,即实数a 的取值X 围是(0,15)∪[5,+∞).函数与方程思想的应用典例:(12分)已知函数f (x )=-x 2+2e x +m -1,g (x )=x +e 2x(x >0). (1)若y =g (x )-m 有零点,求m 的取值X 围;(2)确定m 的取值X 围,使得g (x )-f (x )=0有两个相异实根.思维启迪 (1)y =g (x )-m 有零点即y =g (x )与y =m 的图象有交点,所以可以结合图象求解;(2)g (x )-f (x )=0有两个相异实根⇔y =f (x )与y =g (x )的图象有两个不同交点,所以可利用它们的图象求解. 规X 解答解 (1)方法一 ∵g (x )=x +e 2x ≥2e 2=2e ,等号成立的条件是x =e , 故g (x )的值域是[2e ,+∞),[3分]因而只需m ≥2e ,则y =g (x )-m 就有零点.[6分]方法二 作出g (x )=x +e 2x (x >0)的大致图象如图.[3分]可知若使y =g (x )-m 有零点,则只需m ≥2e.[6分](2)若g (x )-f (x )=0有两个相异实根,即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点,作出g (x )=x +e 2x (x >0)的大致图象如图.[8分]∵f (x )=-x 2+2e x +m -1=-(x -e)2+m -1+e 2. ∴其图象的对称轴为x =e ,开口向下, 最大值为m -1+e 2.[10分]故当m -1+e 2>2e ,即m >-e 2+2e +1时,g (x )与f (x )有两个交点,即g (x )-f (x )=0有两个相异实根.∴m 的取值X 围是(-e 2+2e +1,+∞).[12分]温馨提醒 (1)求函数零点的值,判断函数零点的X 围及零点的个数以及已知函数零点求参数X 围等问题,都可利用方程来求解,但当方程不易甚至不可能解出时,可构造两个函数,利用数形结合的方法进行求解.(2)本题的易错点是确定g (x )的最小值和f (x )的最大值时易错.要注意函数最值的求法.方法与技巧1.函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f (x )=0.2.研究方程f (x )=g (x )的解,实质就是研究G (x )=f (x )-g (x )的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数X 围问题可转化为函数值域问题. 失误与防X1.函数f (x )的零点是一个实数,是方程f (x )=0的根,也是函数y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A 组 专项基础训练一、选择题1.方程log 3x +x -3=0的解所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 答案 C解析 设f (x )=log 3x +x -3,则f (2)=log 32-1<0, f (3)=log 33+3-3=1>0, ∴f (x )=0在(2,3)有零点,又f (x )为增函数,∴f (x )=0的零点在(2,3)内. 2.方程|x 2-2x |=a 2+1(a >0)的解的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0,∴a 2+1>1. 而y =|x 2-2x |的图象如图,∴y =|x 2-2x |的图象与y =a 2+1的图象总有两个交点.3.若关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值X 围是( ) A .(-1,1) B .(-2,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 C解析 ∵方程x 2+mx +1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=m 2-4>0,∴m >2或m <-2.4.已知三个函数f (x )=2x +x ,g (x )=x -2,h (x )=log 2x +x 的零点依次为a ,b ,c ,则( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .c <a <b 答案 B解析 由于f (-1)=12-1=-12<0,f (0)=1>0,且f (x )为单调递增函数.故f (x )=2x +x 的零点a ∈(-1,0). ∵g (2)=0,∴g (x )的零点b =2;∵h ⎝⎛⎭⎫12=-1+12=-12<0,h (1)=1>0,且h (x )为单调递增函数,∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12,1,因此a <c <b .5.已知x 0是函数f (x )=11-x +ln x 的一个零点,若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)>0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)<0,f (x 2)>0 答案 D解析 令f (x )=11-x +ln x =0.从而有ln x =1x -1,此方程的解即为函数f (x )的零点.在同一坐标系中作出函数y =ln x 与y =1x -1的图象如图所示.由图象易知,1x 1-1>ln x 1,从而ln x 1-1x 1-1<0,故ln x 1+11-x 1<0,即f (x 1)<0.同理f (x 2)>0.二、填空题6.定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x >0时,f (x )=2 015x +log 2 015x ,则在R 上,函数f (x )零点的个数为________. 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数,因此f (0)=0,当x >0时,f (x )=2 015x +log 2 015x 在区间(0,12 015)内存在一个零点,又f (x )为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值X围是________. 答案 (0,1) 解析 画出f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x-1,x >0-x 2-2x ,x ≤0的图象,如图. 由于函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,结合图象得:0<m <1,即m ∈(0,1). 8.若函数f (x )=x 2+ax +b 的两个零点是-2和3,则不等式af (-2x )>0的解集是________.答案 {x |-32<x <1}解析 ∵f (x )=x 2+ax +b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3是方程x 2+ax +b =0的两根,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧-2+3=-a-2×3=b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =-6,∴f (x )=x 2-x -6. ∵不等式af (-2x )>0,即-(4x 2+2x -6)>0⇔2x 2+x -3<0,解集为{x |-32<x <1}.三、解答题9.已知函数f (x )=x 3-x 2+x 2+14.证明:存在x 0∈(0,12),使f (x 0)=x 0.证明 令g (x )=f (x )-x .∵g (0)=14,g (12)=f (12)-12=-18,∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0,12]上连续,∴存在x 0∈(0,12),使g (x 0)=0.即f (x 0)=x 0.10.已知函数f (x )=4x +m ·2x +1有且仅有一个零点,求m 的取值X 围,并求出该零点. 解 ∵f (x )=4x +m ·2x +1有且仅有一个零点, 即方程(2x )2+m ·2x +1=0仅有一个实根. 设2x =t (t >0),则t 2+mt +1=0. 当Δ=0,即m 2-4=0,∴m =-2时,t =1;m =2时,t =-1(不合题意,舍去), ∴2x =1,x =0符合题意. 当Δ>0,即m >2或m <-2时, t 2+mt +1=0有两正根或两负根, 即f (x )有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意.综上可知,m =-2时,f (x )有唯一零点,该零点为x =0.B 组 专项能力提升 1.已知x 1,x 2是函数f (x )=e -x -|ln x |的两个零点,则( )A.1e<x 1x 2<1 B .1<x 1x 2<e C .1<x 1x 2<10 D .e<x 1x 2<10答案 A解析 在同一坐标系中画出函数y =e -x 与y =|ln x |的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x 1,x 2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞),则有e -x 1=|ln x 1|=-ln x 1∈(e -1,1),e -x 2=|ln x 2|=ln x 2∈(0,e -1),e -x 2-e -x 1=ln x 2+ln x 1=ln x 1x 2∈(-1,0),于是有e -1<x 1x 2<e 0,即1e<x 1x 2<1. 2.若直角坐标平面内的两点P ,Q 满足条件:①P ,Q 都在函数y =f (x )的图象上;②P ,Q关于原点对称.则称点对[P ,Q ]是函数y =f (x )的一对“友好点对”(点对[P ,Q ]与[Q ,P ]看作同一对“友好点对”).已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,-x 2-4x ,x ≤0,则此函数的“友好点对”有( )A .0对B .1对C .2对D .3对答案 C解析 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,-x 2-4x ,x ≤0的图象及函数f (x )=-x 2-4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示,则A ,B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )=-x 2-4x (x ≤0)的图象上,故函数f (x )的“友好点对”有2对,选C.3.若方程4-x 2=k (x -2)+3有两个不等的实根,则k 的取值X 围是________.答案 (512,34] 解析 作出函数y 1=4-x 2和y 2=k (x -2)+3的图象如图所示,函数y 1的图象是圆心在 原点,半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点),函数y 2的图象是过定点P (2,3)的直线,点A (-2,0),k P A =3-02-(-2)=34.直线PB 是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径得,|3-2k PB |k 2PB +1=2,得k PB =512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时,两函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.所以512<k ≤34.4.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值X 围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的取值X 围.解 (1)由条件,抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如右图所示,得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)=2m +1<0f (-1)=2>0f (1)=4m +2<0f (2)=6m +5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <-12,m ∈R ,m <-12,m >-56. 即-56<m <-12, 故m 的取值X 围是(-56,-12). (2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内,如右图所示,列不等 式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0Δ≥00<-m <1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >-12,m >-12,m ≥1+2或m ≤1-2,-1<m <0.即-12<m ≤1- 2. 故m 的取值X 围是(-12,1-2]. 5.已知a 是正实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3-a .如果函数y =f (x )在区间[-1,1]上有零点,求a 的取值X 围.解 f (x )=2ax 2+2x -3-a 的对称轴为x=-12a. ①当-12a ≤-1,即0≤a ≤12时, 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (-1)≤0,f (1)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5,a ≥1,∴a 的解集为∅.②当-1<-12a <0,即a >12时, 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (-12a )≤0,f (1)≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ -12a -3-a ≤0,a ≥1,解得a ≥1,∴a 的取值X 围是[1,+∞).。
【锁定高考】(新课标版)2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第2章 第12节 导数的应用(二) 文A 组 基础达标(时间:30分钟 满分:50分) 若时间有限,建议选讲5,7,9一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f (x )=x 3-3x +1在[-3,0]上的最大值、最小值分别为(A ) A. 3,-17 B. 1,-17 C. 3,-1 D. 1,-1解析: f′(x )=3x 2-3,令f′(x )=0,解得x =-1或x =1, f (-3)=-17, f (-1)=3, f (1)=-1, f (0)=1.比较可得 f (x )max =f (-1)=3, f (x )min =f (-3)=-17.2.(2014·某某模拟)已知f (x )=12x 2-cos x ,x ∈[-1,1],则导函数f′(x )是(D )A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值,又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 既有最大值,又有最小值的奇函数解析: f′(x )=x +sin x ,显然f′(x )是奇函数,令h (x )=f ′(x ),则h (x )=x +sin x ,求导得h′(x )=1+cos x.当x ∈[-1,1]时,h ′(x )>0,∴h (x )在[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.∴f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数.3.(2013·某某期末)函数f (x )=x 3-3ax -a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值X 围为(B )A. [0,1)B. (0,1)C. (-1,1)D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 解析:∵y′=3x 2-3a ,令y′=0,可得a =x 2.又函数在(0,1)内有最小值,∴0<a <1.4.(2014·某某质检)做一个圆柱形锅炉,容积为V ,两个底面的材料每单位面积的价格为a 元,侧面的材料每单位面积的价格为b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为(C )A. a bB. a 2b C. b a D. b 2a解析:设圆柱的底面半径为R ,高为h ,则V =πR 2h.设造价为 y =2πR 2a +2πRhb=2πaR 2+2πRb·V πR 2=2πaR 2+2bV R ,∴y ′=4πaR -2bV R 2.令y′=0,得2R h =b a.5.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],则f (m )+f′(n )的最小值是(A )A. -13B. -15C. 10D. 15解析:求导得f′(x )=-3x 2+2ax ,由函数f (x )在x =2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a =3.由此可得 f (x )=-x 3+3x 2-4, f ′(x )=-3x 2+6x ,易知f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m ∈[-1,1]时, f(m )min =f (0)=-4.又 f ′(x )=-3x 2+6x 的图像开口向下,且对称轴为直线x =1,∴当n ∈[-1,1]时, f ′(n )min =f ′(-1)=-9.故f (m )+f′(n )的最小值为-13.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·西城模拟)已知f (x )=2x 3-6x 2+3,对任意的 x ∈[-2,2]都有f (x )≤a ,则a 的取值X 围为[3,+∞) W.解析:由f′(x )=6x 2-12x =0,得x =0或x =2.又f (-2)=-37, f (0)=3, f (2)=-5,∴f (x )max =3.又f (x )≤a ,∴a ≥3.7.(2014·某某模拟)若a >3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰有1个实根.解析:设f (x )=x 3-ax 2+1,则f′(x )=3x 2-2ax =x (3x -2a ),由于a >3,则在(0,2)上f′(x )<0, f (x )为单调减函数,而 f (0)=1>0, f (2)=9-4a <0,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰有1个实根.8.设某商品的需求函数为Q =100-5P ,其中Q ,P 分别表示需求量和价格,若商品需求弹性EQ EP 大于1(其中EQ EP =-Q′Q P ,Q ′是Q 的导数),则商品价格P 的取值X 围是 (10,20)W.解析:由Q =100-5P ,得Q′=-5,由EQ EP =-Q′Q P 知5P 100-5P >1,由Q >0,得P <20,∴P >10,综上,P 的取值X 围为(10,20).三、解答题(共10分)9.已知a 是实数,函数f (x )=x 2(x -a ).(1)若f′(1)=3,求a 的值及曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值.解析:(1)f′(x )=3x 2-2ax.∵f′(1)=3-2a =3,∴a =0.(1分) 又当a =0时,f (1)=1,f′(1)=3,∴切点坐标为(1,1),斜率为3.(2分) ∴曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为y -1=3(x -1),化简得3x -y -2=0.(4分)(2)令f′(x )=0,解得x 1=0,x 2=2a3.(5分)当2a3≤0,即a ≤0时,f (x )在[0,2]上单调递增,从而f (x )max =f (2)=8-4a. 当2a3≥2,即a ≥3时,f (x )在[0,2]上单调递减,从而f (x )max =f (0)=0. 当0<2a 3<2,即0<a <3时,f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2a 3上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3,2上单调递增,从而f (x )max =⎩⎪⎨⎪⎧8-4a ,0<a ≤2,0,2<a <3.综上所述,f (x )max =⎩⎪⎨⎪⎧8-4a ,a ≤2.0,a >2.(10分)B 组 提优演练(时间:30分钟 满分:50分)若时间有限,建议选讲4,7,8一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2014·某某调研)若函数f (x )=x 3-3x +a 有3个不同的零点,则实数a 的取值X 围是(A )A. (-2,2)B. [-2,2]C. (-∞,-1)D. (1,+∞)解析:由于函数f (x )是连续的,故只需两个极值异号即可.f′(x )=3x 2-3,令3x 2-3=0,则x =±1,只需f (-1)·f (1)<0,即(a +2)(a -2)<0,故a ∈(-2,2).2.(2014·某某模拟)用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为(B )A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm解析:设截去的小正方形的边长为x cm ,铁盒的容积为 V cm 3,由题意,得V =x (48-2x )2(0<x <24),V ′=12(24-x )(8-x ).令V′=0,则在(0,24)内有x =8.故当x =8时,V 有最大值.3.(2013·某某模拟)已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d ,在区间[-1,2]上是减函数,那么b +c (B )A. 有最大值152B. 有最大值-152C. 有最小值152D. 有最小值-152解析:由f (x )在[-1,2]上是减函数知, f ′(x )=3x 2+2bx +c ≤0在x ∈[-1,2]时恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧f′(-1)=3-2b +c ≤0,f ′(2)=12+4b +c ≤0,相加得15+2b +2c ≤0,∴b +c ≤-152.4.(2013·荆州模拟)设直线x =t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图像分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小值时t 的值为(D )A. 1B. 12C. 52D. 22解析: |MN|=f (t )-g (t )=t 2-ln t (t >0),令h (t )=t 2-ln t (t >0),则h′(t )=2t -1t =2t 2-1t ,令h′(t )>0,得t >22,令h′(t )<0得0<t <22,∴h (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫22,+∞上单调递增.∴当t =22时,h (t )取最小值,即t =22时,|MN|取最小值,故选D. 二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2014·某某模拟)设函数f (x )=ax 3-3x +1(x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立,则实数a 的值为4W.解析:若x =0,则不论a 取何值, f (x )≥0显然成立;当x >0,即x ∈(0,1]时, f (x )=ax 3-3x +1≥0可化为a ≥3x 2-1x 3.设g (x )=3x 2-1x 3,则g′(x )=3-6x x4,∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上单调递减,因此 g (x )max =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=4,从而a ≥4.当x <0,即x ∈[-1,0)时,同理a ≤3x 2-1x 3.g (x )在区间[-1,0)上单调递增,∴g(x )min =g (-1)=4,从而a ≤4,综上可知a =4.6.已知|a|=2|b|≠0,且关于x 的函数f (x )=13x 3+12|a|·x 2+a·bx 在R 上有极值,则a 与b 的夹角X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,πW.解析:∵f′(x )=x 2+|a|x +a·b,∴f ′(x )=0的Δ=|a|2-4a ·b >0,cos 〈a ,b 〉=a·b |a||b|<|a|24|a|×|a|2=12,又y =cos θ在(0,π)上是递减的,∴〈a ,b 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,π.7.将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S =(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是3233W.解析:设剪成的小正三角形的边长为x ,则S =(3-x )212·(x +1)·32·(1-x )=43·(3-x )21-x 2(0<x <1). S (x )=43·(3-x )21-x 2,S ′(x ) =43·(2x -6)·(1-x 2)-(3-x )2·(-2x )(1-x 2)2=43·-2(3x -1)(x -3)(1-x 2)2. 令S′(x )=0,又0<x <1,∴x =13,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13时,S ′(x )<0, S (x )递减;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1时,S ′(x )>0, S (x )递增.故当 x =13时,S 取得最小值3233.三、解答题(共15分) 8.已知函数f (x )=ln x -ax.(1)若a >0,试判断f (x )在定义域内的单调性; (2)若f (x )在[1,e]上的最小值为32,求a 的值;(3)若f (x )<x 2在(1,+∞)上恒成立,求a 的取值X 围.解析:(1)由题意知f (x )的定义域为(0,+∞),且f′(x )=1x +a x 2=x +ax 2.∵a >0,∴f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调增函数.(3分)(2)由(1)可知, f ′(x )=x +ax2. (4分)①若a ≥-1,则x +a ≥0,即f′(x )≥0在[1,e]上恒成立,此时f (x )在[1,e]上为增函数,∴f (x )min =f (1)=-a =32,∴a =-32(舍去).(6分)②若a ≤-e ,则x +a ≤0,即f′(x )≤0在[1,e]上恒成立,此时f (x )在[1,e]上为减函数,∴f (x )min =f (e )=1-a e =32,∴a =-e2(舍去).(8分)③若-e <a <-1,令f′(x )=0得x =-a ,当1<x <-a 时, f ′(x )<0,∴f (x )在(1,-a )上为减函数;当-a <x <e 时, f ′(x )>0,∴f (x )在(-a ,e )上为增函数,∴f (x )min =f (-a )=ln (-a )+1=32,∴a =- e.综上所述,a =- e.(10分)(3)∵f (x )<x 2,∴ln x -a x <x 2.又x >0,∴a >xln x -x 3.(11分)令g (x )=xln x -x 3,h (x )=g′(x )=1+ln x -3x 2,h ′(x )=1x -6x.∵x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0, ∴h (x )在(1,+∞)上是减函数.∴h (x )<h (1)=-2<0,即g′(x )<0,[JY](13分) ∴g (x )在(1,+∞)上也是减函数.g (x )<g (1)=-1,∴当a ≥-1时,`f (x )<x 2在(1,+∞)上恒成立.。
专题二 函数1.【2015高考福建,理2】下列函数为奇函数的是( ) A.y = B .sin y x = C .cos y x = D .x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y =是非奇非偶函数;sin y x =和cos y x =是偶函数;x x y e e -=-是奇函数,故选D .【考点定位】函数的奇偶性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,除了要掌握奇偶性定义外,还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称,否则即使满足定义,但是不具有奇偶性,属于基础题. 2.【2015高考广东,理3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .xe x y += B .x x y 1+= C .x x y 212+= D .21x y += 【答案】A .【解析】记()x f x x e =+,则()11f e =+,()111f e --=-+,那么()()11f f -≠,()()11f f -≠-,所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数,依题可知B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数,故选A . 【考点定位】函数的奇偶性判断.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题,但既不是奇函数,也不是偶函数的判断可能较不熟悉,容易无从下手,因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除,依题易知B 、C 、D 是奇偶函数,排除得出答案,属于容易题.3.【2015高考湖北,理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令x x f =)(,所以x a x g )1()(-=,因为1>a ,所以)(x g 是R 上的减函数,由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 知,1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【考点定位】符号函数,函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法,在选择题、填空题及解答题中都用到,特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数,根据已知能快捷的得到答案. 4.【2015高考安徽,理2】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) (A )y cos x = (B )y sin x = (C )y ln x = (D )21y x =+ 【答案】A【考点定位】1.函数的奇偶性;2.函数零点的概念.【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点,考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉;另外,函数零点的几种等价形式:函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点.5.【2015高考四川,理8】设a ,b 都是不等于1的正数,则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的 ( )(A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若333a b >>,则1a b >>,从而有log 3log 3a b <,故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>,比如.1,33a b ==,从而333a b >>不成立.故选B. 【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题,首先是分清条件和结论,然后考察条件推结论,结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.6.【2015高考北京,理7】如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( )A B Oxy -122CA .{}|10x x -<≤B .{}|11x x -≤≤C .{}|11x x -<≤D .{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示,把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交,不等式的解为11x -<≤,用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识,体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识,本题属于基础题,首先是函数图象平移变换,把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位,得到2log (y x =+2)的图象,要求正确画出画出图象,利用数形结合写出不等式的解集.7.【2015高考天津,理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为( ) (A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数,所以0m =,即()21xf x =-,所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<,故选C.【考点定位】1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,先由函数奇偶性知识求出m 的值,计算出相应的,,a b c 的值比较大小即可,是中档题. 其中计算a 的值时易错. 8.【2015高考浙江,理7】存在函数()f x 满足,对任意x R ∈都有( )A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+【答案】D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念,以及全称量词与存在量词的意义,属于较难题,全称量词与存在量词是考试说明新增的内容,在后续复习时应予以关注,同时,“存在”,“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的,也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡,解题过程中需对函数概念的本质理解到位,同时也考查了举反例的数学思想. 9.【2015高考安徽,理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示,则下列结论成立的是( )(A )0a >,0b >,0c < (B )0a <,0b >,0c > (C )0a <,0b >,0c < (D )0a <,0b <,0c <【答案】C【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知,x c ≠-,0c ->,则0c <;当0x =时,2(0)0b f c =>,所以0b >;当0y =,0ax b +=,所以0bx a=->,所以0a <.故0a <,0b >,0c <,选C. 【考点定位】1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点:一是根据函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等;二是根据特殊点的函数值,采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域,并在图形中判断出来,另外,根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.10.【2015高考天津,理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是( )(A )7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ (B )7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ (C )70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩, 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩,即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由图象可知724b <<. 【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起,利用等价转换、数形结合思想等方法,体现数学思想与方法,考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题. 11.【2015高考山东,理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩错误!未找到引用源。
必考解答题——基础满分练(二)
数 列
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =1-a n .
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)记b n =log 13a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证∑k =1n 1T k
<2.
(1)解 当n =1时,2S 1=1-a 1,2a 1=1-a 1,∴a 1=13;
当n ≥2时,⎩⎨⎧
2S n =1-a n ,2S n -1=1-a n -1,
两式相减得2a n =a n -1-a n (n ≥2),
即3a n =a n -1(n ≥2),又a n -1≠0,∴a n a n -1=13
(n ≥2), ∴数列{a n }是以13为首项,13为公比的等比数列.
∴a n =13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n . (2)证明 由(1)知b n =log 13⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n =n , ∴T n =1+2+3+…+n =n 2+n 2, ∑k =1n 1T k =21×2+22×3+…+2
n (n +1) =2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1 =2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-1n +1<2. 2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,且S n =S n -1+2n (n ≥2,n ∈N *).
(1)求S n ;
(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9?若存在,求出数列{b n }的通项公式;若不存在,说明理由.
解 (1)因为S n =S n -1+2n ,
所以有S n -S n -1=2n 对n ≥2,n ∈N *成立,
即a n =2n 对n ≥2成立,又a 1=2·1.
所以a n =2n 对n ∈N *成立.
所以a n +1-a n =2对n ∈N *成立,所以{a n }是等差数列,
所以有S n =a 1+a n 2·n =n 2+n ,n ∈N *.
(2)存在.
由(1),得a n =2n ,n ∈N *成立,
所以有a 3=6,a 9=18,又a 1=2,
所以由b 1=a 1,b 2=a 3,b 3=a 9,则b 2b 1=b 3b 2
=3. 所以存在以b 1=2为首项,公比为3的等比数列{b n }, 其通项公式为b n =2·3n -1.
3.已知数列{a n }是首项a 1=1的等差数列,其前n 项和为S n ,数列{b n }是首项b 1=2的等比数列,且b 2S 2=16,b 1b 3=b 4.
(1)求a n 和b n ;
(2)令c 1=1,c 2k =a 2k -1,c 2k +1=a 2k +kb k (k =1,2,3,…),求数列{c n }的前2n +1项和T 2n +1.
解 (1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q , 则a n =1+(n -1)d ,b n =2q n -1.
由b 1b 3=b 4,得q =b 4b 3
=b 1=2, 由b 2S 2=2q (2+d )=16,解得d =2.
∴a n =2n -1,b n =2n .
(2)∵T 2n +1=c 1+a 1+(a 2+b 1)+a 3+(a 4+2·b 2)+…+a 2n -1+(a 2n +nb n )=1+S 2n +(b 1+2b 2+…+nb n ).
令A =b 1+2b 2+…+nb n ,
则A =2+2·22+…+n ·2n ,
∴2A =22+2·23+…+(n -1)2n +n ·2n +1,
∴-A =2+22+…+2n -n ·2n +1,∴A =n ·2n +1-2n +1+2.
又S 2n =2n (1+a 2n )2
=4n 2, ∴T 2n +1=1+4n 2+n ·2n +1-2n +1+2
=3+4n 2+(n -1)2n +1.
4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,它的前n 项和为S n ,若S 5=70,且a 2,a 7,a 22成等比数列.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列{1S n
}的前n 项和为T n ,求证:16≤T n <38. (1)解 因为数列{a n }是等差数列,
所以a n =a 1+(n -1)d ,S n =na 1+n (n -1)2d .
依题意,有⎩⎨⎧ S 5=70,a 27=a 2a 22,即⎩⎨⎧ 5a 1+10d =70,(a 1+6d )2=(a 1+d )(a 1+21d ),
解得a 1=6,d =4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n +2(n ∈N *).
(2)证明 由(1)可得S n =2n 2+4n ,
所以1S n =12n 2+4n =12n (n +2)
=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2, 所以T n =1S 1+1S 2+1S 3
+…+1S n -1+1S n =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+14⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+14⎝ ⎛⎭
⎪⎫13-15+…+ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2
=14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =38-14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n +1+1n +2, 因为T n -38=-14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n +1+1n +2<0,所以T n <38, 因为T n +1-T n =14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n +1-1n +3>0,所以数列{T n }是递增数列. 所以T n ≥T 1=16,所以16≤T n <38.。