八年级上册数学 轴对称填空选择单元复习练习(Word版 含答案)

八年级上册数学轴对称填空选择单元复习练习(Word版含答案)
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：
①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝1
4
BC2．其中正确结论
是_____（填序号）．
【答案】①②
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.
详解：∵∠B=45°，AB=AC
∴点D为BC的中点，
∴AD=CD=BD
故①正确；
由AD⊥BC，∠BAD=45°
可得∠EAD=∠C
∵∠MDN是直角
∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）
故②正确；
∴DE=DF，AE=CF，
∴AF=BE
∴BE+AE=AF+AE
∴AE+AF＞EF
故③不正确；
由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE
∴S 四边形AEDF =S
△ACD =
12×AD×CD=12×12BC×12BC=18
BC 2， 故④不正确.
故答案为①②. 点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.
2．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）
【答案】1206
α︒-
【解析】
【分析】 在AC 上截取AD=AB ，易证△ABI ≌△ADI ，所以BI=DI ，由AB ＋BI ＝AC ，可得DI=DC ，
设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.
【详解】
解：如图所示，在AC 上截取AD=AB ，连接DI ，
点I 是△ABC 的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠BCI ，
在△ABI 和△ADI 中，
AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ABI ≌△ADI （SAS ）
∴DI=BI
又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC
∴DI=DC ∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC 中，
∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ，
∴180=3066
β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI
121802
αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝
⎭ =1206α
︒-
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.
3．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC ∆为等腰直角三角形，D 为斜边BC 上的中点.若2OD =，则a b +=________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案
【详解】
如图：作CP ⊥x 轴于点P ，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC ，
在Rt
△OBA 和Rt △PAC 中，
OBA PAC AOB CPA BA AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），
∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．
由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），
由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （
2a b +，2a b +）， ∴OD=2a b +（） ∴22
a b +（）=2， ∴a+b=2.
故答案为2.
【点睛】
本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.
4．如图，平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），BC ∥y 轴，且BC ＜OA ，第一象限内有一点P （a ，2a -3），若使△ACP 是以AC 斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标为_______________．
【答案】（103，113
）．
【解析】
【详解】
解：∵点P的坐标为（a，2a-3），
∴点P在直线y=2x-3上，
如图所示，当点P在AC的上方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC的延长线于E，
则∠E=∠ADP=90°，
∵△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴AP=PC，∠APD=∠PCE，
∴△APD≌△PCE，
∴PE=AD，
又∵OD=2a-3，AO=3，
∴AD=2a-6=PE，
∵DE=OB=4，DP=a，
又∵DP+PE=DE，
∴a+（2a-6）=4，
解得a=10 3
∴2a-3=11 3
，
∴P（10
3
，
11
3
）；
当点P在AC下方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC于E，a=2，
此时，CE=2，BE=2，
即BC=2+2=4＞AO，不合题意；
综上所述，点P的坐标为P（10
3
，
11
3
）
故答案为P（10
3
，
11
3
）．
5．在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，∠C ＜90°，若∠B 满足条件：______________，则△ABC ≌△DEF ．
【答案】∠B≥∠A ．
【解析】
【分析】
虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件．
【详解】
解：需分三种情况讨论：
第一种情况：当∠B 是直角时：
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；
第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ．
∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．
∴180°-∠B=180°-∠E ，
即∠CBG=∠FEH ．
在△CBG 和△FEH 中，
CBG FEH G H
BC EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG=FH ，
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
AC DF CG FH
⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E
AC DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；
第三种情况：当∠B 是锐角时：
在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等，
所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
故答案为：∠B≥∠A．
【点
睛】
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．
【答案】16或12．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在
△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．
【详解】
∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．
∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．
②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG
+EG=BC=12．
故答案为：16或12．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F．AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是______．
【答案】16
【解析】
四边形FBCD周长=BC+AC+DF；当DF BC
时，四边形FBCD周长最小为5+6+5=16
8．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，
∠DEC=30°，HF=3
2
，则EC=______
【答案】6
【解析】
【分析】
延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．
【详解】
如图，延长AF交CE于P，
∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，
∴∠ABH=∠PAC ，
∵AK ⊥CE ，AF ⊥BD ，∠EHK=∠AHF ，
∴∠HEK=∠FAH ，
∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，
∴∠AHF=∠EPF ，
∴∠AHB=∠APC ，
在△ABH 与△APC 中，
ABE PAC AB AC
AHB APC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ABH ≌△APC （ASA ），
∴AH=CP ，
在△AHF 与△EPF 中，
90AHF EPF AFH EFP AF EF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴△AHF ≌△EPF （AAS ），
∴AH=EP ，∠CED=∠HAF ，
∴EC=2AH ，
∵∠DEC=30°，
∴∠HAF=30°，
∴AH=2FH=2×32
=3， ∴EC=2AH=6．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
9．如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，以下结论：
①∠BAC =70°；②∠DOC =90°；③∠BDC =35°；④∠DAC =55°，其中正确的是
__________．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ABC =50°，∠ACB =60°，∴∠BAC =180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；
∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =
12
∠ABC =25°，∴∠DOC =25°+60°=85°，②错误； ∠BDC =60°﹣25°=35°，③正确；
∵∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，∴AD 是∠BAC 的外角平分线，∴∠DAC =55°，④正确．
故答案为①③④．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
53
【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得
,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定
理得222CE CF EF +=，设,DE EF x == 则3CE x =-，
则()2
2231,x x -+=由此即可解决问题．
详解：90BAC AB AC ∠==，， ∴45B ACB ∠=∠=，
把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图,则
△ABD ≌△ACF ,
,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF =∠=∠∠=∠=
∵45DAE ∠=，
∴45BAD CAE ∠+∠=，
∴45,CAF CAE ∠+∠=
即45,EAF ∠=
∴∠EAD =∠EAF ，
在△ADE 和△AFE 中
AE AE EAD EAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△AFE ，
∴DE =FE ，
∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，
∴222CE CF EF +=，
Rt △ABC 中，∵22AB AC ==， ∴224BC AB AC +=，
∵1BD =，
设,DE EF x == 则3CE x =-，
则有()22231,x x -+=
解得：5.3x =
∴5.3
DE = 故答案为5
.3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ，则下列结论不正确的是
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余角的性质得到∠C=∠ABE，∠EBC=∠BAC．根据SAS推出△ABF≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BF=DF，故A正确；由全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF，等量代换得到∠ADF=∠C，根据平行线的判定得到DF∥BC，故D正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF，等量代换得到BF＞EF；故C正确；根据平行线的性质得到
∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误．
【详解】
∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE．同
理：∠EBC=∠BAC．
在△ABF与△ADF中，∵12
AD AB
AF AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A正确，
∵△ABF≌△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC，故D正确；
∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C正确；
∵DF∥BC，∴∠EFD=∠EBC．∵∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，∴∠EFD=2∠1，故B错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF≌△ADF是解题的关键．
12．如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D是射线BC 上任意一点，连接EC．下列结论：①△AEC△ADB；②EC⊥BC ；③以A、C、D、E为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB的周长为10524
++;⑤当BD=
3
2
B时,ED=5AB；其中正确的有（）
A ．5个
B ．4个
C ．3 个
D ．2个 【答案】B 【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CA
E ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；
∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；
∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =
252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；
当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =22
1322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=102BC =52AB ．故⑤错误． 故选B ．
点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
13．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）
A ．3:4
B ．3:5
C ．4:5
D ．2:3
【答案】B
【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=
12×32×3：12×32
×5=3：5．
故选：B ．
点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
14．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；
④QP∥AB．其中一定正确的是( )
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【答案】C
【解析】
试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，
即AP平分∠BAC，故①正确；
∴∠PAR=∠PAQ，
∵AQ=PQ，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴∠APQ=∠PAR，
QP AB
∴，故④正确；
在△APR与△APS中,
AP AP PR PS
=
⎧
⎨
=
⎩，
(HL)
APR APS
∴≌，∴AR=AS，故②正确；
△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.
故选C.
15．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，
且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）
A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCO
C．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定
【答案】C
【解析】
根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
16．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
=90
AB AE
ABC AEF
BC EF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
AC AF
CD DF
AD AD
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×
1
2
•DF•AE=2×
1
2
×2×2=4．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．
17．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：
①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=
1
2
∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，
∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，
∴FD=FH＜FA，故③错误；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中
{
FBD DAN
BD AD
BDF ADN
∠∠
∠∠
＝
＝
＝
∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN
，故④正确；
故选C．
18．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
【答案】B
【解析】
∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故选：B．
点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．
19．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．五对B．四对C．三对D．二对
【答案】A
【解析】
如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；
④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；
∴图中共有5对全等三角形.故选A.
20．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是
( )①；②；③；④若，且，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.
【详解】
解：∵与都是等边三角形
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC
即∠DAC=∠EAB
∴
∴，①正确；
∵
∴∠ADO=∠ABO
∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确
∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB
∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB
∴,③错误
∵
∴∠DAC+∠BCA=180°
∵∠DAB=60°，
∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°
∵∠ACE=60°
∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°
∴④正确
故由①②④三个正确，
故选：C
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：
①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=1
2
BF；④AE=BG．其中正确的是
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE=1
2 AC.
又由(1)，知BF=AC，
∴CE=1
2
AC=
1
2
BF；故③正确；
连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.
∵CE=AE，
∴AE<BG.故④错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.
22．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③正确，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC
的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .
A．8 B．10 C．2D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.
【详解】
解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，
根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，
∴∠BDF=∠ECB
在△EBC和△BFD中
EBC=BFD=90
ECB=BDF
EC=BD
⎧∠∠
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△EBC≌△BFD（AAS）
∴DF=BC=4
∴△DBC的面积=
11
BC DF=44=8
22
⋅⨯⨯
故选A.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.
24．如图，AOB
∆的外角,
CAB DBA
∠∠的平分线,
AP BP相交于点P，PE OC
⊥于E，PF OD
⊥于F，下列结论：（1）PE PF
=；（2）点P在COD
∠的平分线上；（3）90
APB O
∠=︒-∠，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正
确；由12APB EPF ∠=
∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902
APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，
∴PE PG PF ==；故（1）正确；
∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；
∵12
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=
∠， 又180EPF O ∠+∠=︒， ∴11(180)9022
APB O O ∠=
⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
25．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有( )个
①BF AC =；②12
AE BF =；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】B
【解析】
【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误．
【详解】
∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，
∴∠A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DFB ＝90°，
∴∠A ＝∠DFB ，
∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，
∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ，
∴BD ＝DC ，
在△BDF 和△CDA 中
BDF CDA A DFB
BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF ＝AC ，故①正确．
∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ，
∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，
∴BA ＝BC ，
∵BE ⊥AC ，
∴AE ＝EC ＝
12AC ＝12
BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，
∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，
∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，
∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，
∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，
∴DG ＝DF ，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE
＜S四边形GHCE．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故选：B．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
26．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
试题解析：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，{
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
=
∠=∠
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A ．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．
27．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A ．150°
B ．180°
C ．210°
D ．225°
【答案】B
【解析】
【分析】 根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解. 【详解】
由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，
ABC ∴≌EDC ，
BAC DEC ∠∠∴=，
12180∠∠+=．
故选B ．
【点睛】
本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.
28．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：
①△PFA ≌△PEB ，②EF=AP ，③△PEF 是等腰直角三角形，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），S 四边形AEPF =12
S △ABC ，上述结论中始终正确有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PB，
∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，
∠ APF+∠BPE=90°，
∴∠APF=∠BPE，
在△BPE和△APF中，
∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，
∴△PFA≌△PEB；故①正确；
∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，
∴AP=1
2 BC，
又∵EF不一定是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA =S△PEB，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=1
2
S△ABC，故结论④正确；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.
故选：C.
点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.
29．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）
A ．甲、乙全等，丙、丁全等
B ．甲、乙全等，丙、丁不全等
C ．甲、乙不全等，丙、丁全等
D ．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】
解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC 为公共边，
∴△ABC ≌△ACD ，即甲、乙全等；
△EHG 中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG ，
虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，
∴△EFG 不全等于△EGH ，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B 正确，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL ．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG 是正确解决本题的关键．
30．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143
其中正确的结论个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．
【详解】
连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF(SAS)；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，
又∵EF=DF
∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).
当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时,DE最小,此时
1
4
2
DF BC
== .
∴242
DE DF=故(3)错误).
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC,
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1
即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1
当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=1
3
S△ACF=
1116
84
323
⨯⨯⨯=
又∵S△ADF=1
42
2
AD AD ⨯⨯=
∴2AD=16 3
∴AD=8
3
(故(4)错误).
故选：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.。