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第四节ꢀ直线与圆、圆与圆的位置关系内容索引【教材·知识梳理】1.直线与圆的位置关系相交相切相离(1)直线与圆的三种位置关系：_____、_____、_____.(2)两种判断方法①代数法：联立方程组消去x(y)，得一元二次方程及其判别式Δ=b2-4ac.直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离Δ>0⇔_____________；Δ=0⇔_____________；Δ<0⇔_____________.②几何法：圆心到直线的距离为d，半径为r直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离d<r⇔_____________；d=r⇔_____________；d>r⇔_____________.2.圆与圆的位置关系相交内切(1)圆与圆的五种位置关系：外离、外切、_____、_____、内含.(2)判断方法：设两圆的半径分别为r，r，圆心距为d.12外离相交内切1212121212d>r+r⇔_____；d=r+r⇔外切；|r-r|<d<r+r⇔_____；d=|r-r|⇔_____；内含12d<|r-r|⇔_____.【常用结论】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为x x+y y=r2.0000(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为(x-a)(x-a)+000 -b)(y-b)=r2.(y(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程00为x x+y y=r2.002.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|x-x|A B3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C：x2+y2+D x+E y+F=0，①1111圆C：x2+y2+D x+E y+F=0，②2222若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即：(D-D)x+(E-E)y+(F-F)=0.121212(3)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；②过圆C：x2+y2+D x+E y+F=0和圆C：x2+y2+D x+E y+F=0交点的圆系方程：11112222x2+y2+D x+E y+F+λ(x2+y2+D x+E y+F)=0(λ≠-1)(其中不含圆C，所以注意检1112222是否满足题意，以防丢解).验C2【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(ꢀꢀ)(2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(ꢀꢀ)(3)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x,y)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共00圆且直线AB的方程是x x+y y=r2.(ꢀꢀ)00(4)如果两圆的公切线有两条,则两圆的位置关系为相交.(ꢀꢀ)(5)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(ꢀꢀ)(6)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(ꢀꢀ)提示:(1) √.(2)×.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件;(3)√;(4)√.(5)×.除外切外,还有可能内切;(6)×.两圆还可能内切或内含.【易错点索引】序号1易错警示典题索引不会运用两圆只有一条公切线的条件考点二、T12忽视斜率不存在的情况考点三、角度2 T1【教材·基础自测】1.(必修2P101练习AT1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(ꢀꢀ)A.相切B.相交但直线不过圆心D.相离C.直线过圆心【解析】选B.圆心为(0,0),到直线y=x+1即x-y+1=0的距离d=,而0< <1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心.2.(必修2P103练习AT2改编)两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是(ꢀꢀ)A.相交B.内切C.外切D.内含【解析】选B.两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O(0,1),1O(0,0),半径分别为r=1,r=2.因为|O O|=1=r-r,所以两圆内切.21212213.(必修2P104练习BT3改编)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在的直线方程为________.ꢀ【解析】由得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.答案:x-y+2=04.(必修2P113巩固与提高T12改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________.ꢀ【解析】由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=.又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=,由=r2-d2,得|AB|2=10,即|AB|=.答案:5.(必修2P103练习AT1改编)已知圆C:x2+y2+2x-2y=0,圆C:x2+y2-2x+6y=0,则两圆12的公共弦长是____________.ꢀ【解析】根据题意,设两圆的交点为M、N,即其公共弦所在的直线为MN,已知圆C:x2+y2+2x-2y=0,圆C:x2+y2-2x+6y=0,12则MN的方程为:(x2+y2+2x-2y)-(x2+y2-2x+6y)=0,变形可得:4x-8y=0,即x-2y=0,:x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,圆C1则C的圆心到直线MN的距离d=,1.则|MN|=2×答案:考点一ꢀ直线与圆的位置关系ꢀ【题组练透】1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(ꢀꢀ)A.相切B.相交C.相离D.不确定2.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为(ꢀꢀ)A.(-∞,+∞)ꢀC.(0,+∞)ꢀꢀB.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(0,+∞)3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为世纪金榜导学号(ꢀꢀ)A.相离C.相交B.相切D.以上都有可能4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为世纪金榜导学号(ꢀꢀ)A.1ꢀC.3B.2 D.4【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=<1,故直线与圆O相交.2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,<r=1.解得m>0圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=或m<0.3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.4.选C.如图所示,因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.【规律方法】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【秒杀绝招】ꢀ第3题中,直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.考点二ꢀ圆与圆的位置关系ꢀ【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆C:(x+2a)2+y2=4和圆C:x2+(y-b)2=1只有12一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则A.2 B.4ꢀ C.8的最小值为(ꢀꢀ)D.92.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为(ꢀꢀ)A.2-B.2±C.3-D.3±3.已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为世纪金榜导学号(ꢀꢀ)A.(x-4)2+y2=20ꢀC.(x-5)2+y2=20B.(x-4)2+y2=50 D.(x-5)2+y2=50【解题导思】序号联想解题1 2 3由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程【解析】1.选D.由题意可知,圆C的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C的圆心为(0,b),12半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以·(4a2+b2)=5+≥5+2,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以的=9,当且仅当最小值为9.2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.3.选C.依题意,得O(0,0),R=,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,|OC|==1,OA⊥OA,OO⊥AB,11所以由直角三角形射影定理得:|OA|2=|OC|×|OO1|,即ꢀ5=1×|OO|,所以|OO|=5,11r=|AO1|=由, =5,得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)2+y2=20.【规律方法】1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.【变式训练】已知两圆C:x2+y2-2x-6y-1=0和C:x2+y2-10x-12y+45=0.12(1)求证:圆C和圆C相交.12(2)求圆C和圆C的公共弦所在直线的方程和公共弦长.12【解析】(1)圆C的圆心为C(1,3),半径r=,圆C的圆心为C(5,6),半径11122=4,r2两圆圆心距d=|C C|=5,r+r=+4,|r-r|=4-,121212所以|r-r|<d<r+r,1212所以圆C和C相交.12(2)圆C和圆C的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦12(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2=3,故公共弦长为2=2.考点三直线与圆的综合问题命题考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的精性质.解怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.读1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心C,半径为R. 过点P作圆C的切线.①条数:若点P在圆内,则无切线;学霸好方法若点P在圆上,则有且只有一条切线;若点P在圆外,则有两条切线;②长度:切线长等于.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|x-x|=A B【命题角度1】圆的切线问题【典例】1.已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为________.2.(2020·惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的切线l,则切线l的方程为________________.世纪金榜导学号【解析】1.由题意知P在圆外,当切线斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线斜率存在时,设斜率为k,所以切线方程为y-1=k(x-3),所以kx-y+1-3k=0,所以=3,所以k=,所以切线方程为4x+3y-15=0.综上,切线方程为x=3或4x+3y-15=0.答案:x=3或4x+3y-15=02.设切线l的方程为y=kx+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x-2)2+(y-3)2=,可得,解得k=-1,故2的圆心(2,3)到切线l的距离d=b=7,切线l的方程为x+y-7=0.答案:x+y-7=0【解后反思】求圆的切线方程时,应注意什么问题?提示:应注意切线斜率不存在的情况.【命题角度2】圆的弦长问题【典例】1.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为世纪金榜导学号()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=02.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为________.【解析】1.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=,综上,直线l 的方程为x=0或3x+4y-12=0.2.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+y-2=0的距离d==1,所以弦长|AB|=2.答案:2【机会方法】圆心到弦的距离如何求?提示:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2.【命题角度3】与弦长有关的范围问题【典例】1.若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为()A.(-1,1]∪{}B.D.(1,]C.[-1,1)∪{}【解析】选C.y=表示半圆,如图所示:因为直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,=1,解得m=,m=(舍去)①d=②代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,结合图象,综上可得-1≤m<1或m=.2.已知点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为________.世纪金榜导学号【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小.此时最小值为圆心到直线的距离d=,此时切线长的最小值为=1.答案:1【解后反思】解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?提示:数形结合的方法.【题组通关】【变式巩固·练】1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b=________.【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即=1,解得:b=2或b=12.答案:2或122.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=________.【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=,则圆心到直线x-y-,则|AB|=2=3.1=0的距离为d=答案:3【综合创新·练】1.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为() A.1 B.-1 C. D.【解析】选A.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2 +y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1.2.若直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交,则实数k的取值范围为()A.(-2,2) C.B. D.【解析】选D.直线y=k(x+3)化为一般式为:kx-y+3k=0,直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交等价于圆心到直线距离小于半径,即<2,所以5k2<4,所以k∈.。
第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理 新人教版1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离 答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3．(2016·某某模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．(2016·某某某某实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－22B ．52－4 C.17－1 D.17 答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为3－22＋4＋32－1－3＝52－4.5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定(2)(2016·某某某某月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．答案 相切解析 由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切． 题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)(2016·某某)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)(2017·某某调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值X 围是______________________． 答案 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切；(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5， 故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为 2112－|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.命题点2 直线与圆相交求参数X 围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值X 围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k1＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·某某)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·某某)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C的最小半径为25，∴圆C面积的最小值为π(25)2＝45π.答案(1)C (2)A1．(2017·某某调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条答案 C解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )A．21 B．19 C．9 D．－11答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.3．(2016·某某二模)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为( )A. 2 B．2 C．4 D．2 2答案 B解析圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.4．(2016·某某模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x－1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△PAB 面积的最大值是( ) A ．3－2B ．4 C ．3＋2D ．6答案 C解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016·某某四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________. 答案22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015·某某)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}， 表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆． 再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点， 故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ， 求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ， 求得a ＝22＋2，故a 的取值X 围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.*13.(2016·某某六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
