第七章7.3空间图形的基本关系及公理

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第七章
立体几何
假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α, 使 D1B 平面 α, CC1 平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α, ∴与 ABCD－A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立, 即 D1B 与 CC1 是异面直线.
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立体几何
【名师点评】
判定两条直线是否异面, 可依
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立体几何
图形语言 公理1
符号语言
若A∈l, B∈l, A∈α, lα B∈α,则___________
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立体几何
文字语言 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有 公理2 ___________一个平面(即可以确定一个 平面) 有一个公共点 如果两个不重合的平面______________, 公理3 那么它们______________一条通过这个 有且只有 点的公共直线
(2)A∈α, A∈β, B∈α, B∈β, 则 α∩β＝AB； (3)若 l α, A∈l, 则 A∉α；
(4)若 A、B、C∈α, A、B、C∈β, 且 A、B、 C 不共线, 则 α 与 β 重合.
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立体几何
则上述说法中正确的个数是______________.
解析: (1)(2)(4)正确；如图所示, 可知(3)错
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立体几何
2. (教材习题改编)如图所示, 将无盖正方体纸 盒展开, 直线AB, CD在原正方体中的位置关系 是( )
A.平行
B.垂直 C.相交成60° D.异面成60°
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立体几何
解析: 选D.由展开图可知, 无盖正长体纸盒的 直观图如图所示, 显然AB与CD异面, 连接AE,
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立体几何
【解】
(1)连接BD, AB1, B1D1, AD1.
∵BD∥B1D1, AB1＝AD1, ∴∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成角, 记为α.
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立体几何
转该面仍可能与AB, B1C1均相交, 故③错, 选C
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立体几何
考点3
例3
异面直线所成的角
(2011· 高考上海卷改编)已知ABCD－
A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱, 高
AA1＝2, 求:
(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值； (2)四面体AB1D1C的体积.
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例 如图, 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,
点E、F分别是棱AA1、CC1的中点, 求证: D1、
E、F、B共面.
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立体几何
【证明】
∵D1、E、F三点不共线,
∴D1、E、F三点确定一平面α, 又由题意可知
D1E与DA共面于平面A1D且不平行, 平面故分
别延长D1E、DA相交于G, 则G∈直线D1E, 又 D1E平面α, ∴G∈平面α.
由AE∥CD, 知∠EAB为异面直线AB、CD所
成的角, 连接BE, 由△ABE为等边三角形得 ∠EAB＝60°, 故选D.
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立体几何
3.(2012· 厦门联考)给出以下四种说法: (设 α、 β 表示平面, l 表示直线, A、B、C 表示点) (1)若 A∈l, A∈α, B∈l, B∈α, 则 l α；
据定义来进行, 还可依据定理(过平面外一点 与平面内一点的直线, 和平面内不经过该点的 直线是异面直线)进行.反证法是证明两直线异 面的有效方法.
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第七章
立体几何
备选例题(教师用书独具)
例 设A, B, C, D是空间四个不同的点, 在
下列命题中, 不正确的是________.(填序号)
①若AC与BD共面, 则AD与BC共面； ②若AC与BD是异面直线, 则AD与BC是异面 直线； ③若AB＝AC, DB＝DC, 则AD＝BC； ④若AB＝AC, DB＝DC, 则AD⊥BC.
答案: 30°
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第七章
立体几何
考点探究讲练互动
考点突破 考点1 平面的基本性质
例1 如图, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边 形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD＝ 1 1 ∠FAB＝90° BC 綊 AD, BE 綊 AF, G、H 分 , 2 2
别是 FA、FD 的中点.
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立体几何
(1)证明: 四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
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立体几何
【解】 (1)证明: 由题设知, FG＝GA, FH＝HD, 1 所以 GH 綊 AD. 2
1 又 BC 綊 AD, 故 GH 綊 BC. 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形.
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第七章
立体几何
在C图中分别连接PQ、RS, 易证PQ∥RS, ∴P、Q、R、S共面； D图中由异面直线判定定理知PS与RQ为异面 直线, ∴四点不共面, 故选D.
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立体几何
考点2
例2
空间两条直线的位置关系
如图所示, 正方体ABCD－A1B1C1D1
中, M、N分别是A1B1、B1C1的中点.
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立体几何
【规律小结】
证明若干条线(或若干个点)共
面, 一般来说有两种途径: 一是首先由题给条 件中的部分线(或点)确定一个平面, 然后再证
明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所
有元素分为几个部分, 然后分别确定几个平面, 再证这些平面重合.
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第七章
立体几何
备选例题 (教师用书独具)
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第七章
立体几何
问: (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
【解】 (1)不是异面直线.理由:
连接 MN、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1.
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立体几何
又∵A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形. ∴A1C1∥AC, 得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.理由: ∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面.
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第七章
立体几何
课前热身
1.下面给出了四个条件: ①空间三个点；②一
条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直
线；④两两相交的三条直线.其中能唯一确定 一个平面的条件有( A.0个 C.2个 ) B.1个 D.3个
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第七章
立体几何
解析: 选A.确定平面的公理的条件: “经过不 在同一条直线上的三点”, 所以①是错误的； ②注意到“直线与直线外的一点”, 所以②是 错误的；③与直线a都相交的两条直线可能是 异面的；④两两相交的三条直线可能确定3个 平面.
②过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都
垂直；
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第七章
立体几何
③过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都 相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB, B1C1都
平行. 其中真命题是( A.②③④ C.①②④ ) B.①③④ D.①②③
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第七章
立体几何
解析: 选C.①中要求过M点作直线与AB, B1C1 均相交, 因为AB与B1C1异面且垂直, 所以该直 线可得唯一一条, 故①正确.又③中过M点与对 角面AA1C1C平行的平面与AB, B1C1均相交, 旋
对于④, 如图, 取BC的中点E, 连接AE, DE, 则 由题设得BC⊥AE, BC⊥DE.根据线面垂直的 判定定理得BC⊥平面ADE, 从而AD⊥BC. 【答案】 ③
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第七章
立体几何
变式训练
2. (2010· 高考江西卷)如图, M是正方体ABCD
－A1B1C1D1的棱DD1的中点, 给出下列四个命 题: ①过M点有且只有一条直线与直线AB, B1C1都 相交；
误.
答案: 3
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第七章
立体几何
4.如图所示, 在四面体A－BCD中, E、F分别是
AC、BD的中点, 若CD＝2AB＝2, EF⊥AB, 则
EF与CD所成的角等于__________.
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第七章
立体几何
解析: 如图所示, 取 H 为 DA 的中点, 连接 EH、FH, 则 FH∥AB, FH⊥EF.在 Rt△EFH 1 中, HE＝1, HF＝ , 2 ∴∠EHF＝60° , 即 EF 与 CD 所成的角为 30° .
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第七章
立体几何
【解析】
对于①, 显然正确.
对于②, 假设AD与BC共面, 由①正确得AC与
BD共面, 这与题设矛盾, 故假设不成立, 从而
结论正确.对于③, 如图, 当AB＝AC, DB＝DC, 使二面角A—BC—D的大小变化时, AD与BC 不一定相等, 故不正确.
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第七章
立体几何
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第七章
立体几何
同理, 设直线D1F与DC的延长线交于点H, 则 H∈平面α.
又∵点G、B、H均属于平面AC, 且由题设条件
知E为AA1的中点且AE∥DD1, 从而 AG＝AD＝AB,
∴△AGB为等腰直角三角形, ∴∠ABG＝45°,
同理∠CBH＝45°,又∵∠ABC＝90°, 从而点 B∈平面α, ∴D1、E、F、B共面.
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立体几何
图形语言
公理
符号语言
若A、B、C三点不共 线, 则A、B、C三点确
2
定一个平面α使A∈α,
B∈α, C∈α
公理 3
若A∈α, A∈β, 则 α∩β＝l, 且A∈l __________________
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立体几何
文字语言
平行 公理4 平行于同一条直线的两条直线_______
等角 空间中, 如果两个角的两条边分别对
定理 应平行, 那么这两个角相等或互补
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第七章
立体几何
图形语言
符号语言 a∥c 若a∥b, b∥c, 则_________ 若AO∥A′O′,
公理4
等角 定理
B′O′ BC∥_________, 则∠AOB
＝∠A′O′B′, ∠AOC 和∠A′O′B′互补
锐角或直角 的_____________就是异面直线a, b所成的角. 直角 如果两条异面直线所成的角是__________, 则 称这两条直线互相垂直. 范围:
________________ .
0，π 2
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第七章
立体几何
(4)空间直线和平面的位置关系有三种: 直线在平面内 ________________、直线和平面相交、 直线与平面平行 _________________. (5)空间两平面的位置关系有两种: 两平 面平行和两平面相交.
平行直线 _______________ 共面直线 相交直线 _____________ 异面直线: 不同在________一个平面内 任何
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第七章
立体几何
②异面直线所成的角 过空间任意一点P分别引两条异面直线a, b的
平行线l1, l2(a∥l1, b∥l2), 这两条相交直线所成
第七章
立体几何
§7.3
空间图形的基本关系
及公理
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第七章
立体几何
教材回扣夯实双基
基础梳理
1.空间图形的基本关系 (1)点和直线的位置关系有两种: 点在直线上 _______________和点在直线外. (2)点和平面的位置关系有两种: 点在平面内
和点在平面外.
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立体几何
(3)直线和直线的位置关系 ①位置关系的分类
源自文库
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第七章
立体几何
(2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF, G 是 FA 的中点知, 2 BE 綊 GF, 所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH, 所以 EF∥CH, 故 EC、FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上, 所以 C、D、F、E 四点 共面.
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第七章
立体几何
思考探究 若aα, bβ, 则a, b就一定是异面直线吗？
提示: 不一定, 可能存在平面 γ, 使 a γ, b γ.
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第七章
立体几何
2.空间图形的公理及等角定理
文字语言 公理 1 两点 如果一条直线上的_________在一个平
面内, 那么这条直线上___________都在 所有的点 在平面内 这个平面内(即直线_____________)
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第七章
立体几何
变式训练
1.如图所示的正方体或四面体, P、Q、R、S分
别是所在棱的中点, 则这四个点不共面的一个
图是( )
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第七章
立体几何
解析: 选D.在A图中分别连接PS、QR, 易证 PS∥QR, ∴P、S、R、Q共面.
如图所示, 在B图中过P、Q、R、S可作一正六
边形, 故四点共面；