江苏省邗江中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.sin585°的值为______ ．【答案】-【解析】解：sin585°=sin（720°-135°）=-sin135°=-．故答案为：-将所求式子中的角585°变形为720°-135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T= ______ ．【答案】【解析】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3.已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7= ______ ．【答案】11【解析】解：因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：11观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．4.函数在x∈R上的最小值等于______ ．【答案】-2【解析】解：∵f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴f（x）在x∈R上的最小值等于-2．故答案为：-2．利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin（x+），即可求得答案．本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题．5.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ______ ．【答案】【解析】解：sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ==∵tanθ=2∴=∴sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=故答案为：利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，属于基础题．6.若关于x的不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m= ______ ．【答案】【解析】解：由不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2-3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．由不等式2x2-3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2-3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．本题考查一元二次不等式的解法．7.不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为______ ．【答案】{x|-1＜x＜1}【解析】解：|2x-1|-|x-2|＜0移向得：丨2x-1丨＜丨x-2丨两边同时平方得（2x-1）2＜（x-2）2即：4x2-4x+1＜x2-4x+4，整理得：x2＜1，即-1＜x＜1故答案为：{x|-1＜x＜1}．首先分析题目求不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．8.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10= ______ ．【答案】60【解析】解：设公差为d（d≠0），则有，化简得：，因为d≠0，由 得到2a1+3d=0③， -③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a1=-3，所以方程组的解集为，则S10=10×（-3）+×2=60．故答案为：60设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a4是a3与a7的等比中项，S8=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可．此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．9.等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4= ______ ．【答案】15【解析】解：∵2a2-4a1=a3-2a2，∴2q-4=q2-2q，q2-4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15由题意知2a2-4a1=a3-2a2，即2q-4=q2-2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．10.已知函数f（x）=x2，（x∈[-2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[-2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，-4]∪[6，+∞）【解析】解：∵x∈，∴sin（2x+），则，，的值域为[3a-a2，a2+3a]而f（x）=x2，（x∈[-2，2]）的值域为[0，4]∵∀x1∈[-2，2]，总∃ ，，使得成立∴[0，4]⊆[3a-a2，a2+3a]则，解得a∈（-∞，-4]∪[6，+∞），故答案为（-∞，-4]∪[6，+∞）先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据∀x1∈[-2，2]，总∃，，使得成立得到函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题．11.设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n= ______ ．【答案】2n+1【解析】解：由条件得：b n+1====2b n且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n-1=2n+1．故答案为：2n+1．由题设条件得b n+1====2b n，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．12.有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是______ ．【答案】（1）（4）【解析】解：sin2+cos2=1，故（1）是假命题；当x=y=0时，sin（x-y）=sinx-siny，故（2）成立；∀x∈[0，π]，=sinx，（3）成立；sinx=cosy⇒x+y=不成立，故（4）不成立．故答案：（1）、（4）．由同角三角函数的关系知（1）是假命题；由三解函数的关系知（4）不成立．本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．13.在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为______ ．【答案】（，）【解析】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cos A＜．由正弦定理可得，∴b=2cos A，∴＜b＜，故答案为：（，）．由条件可得＜3A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cos A＜，由正弦定理可得b=2cos A，从而得到b的取值范围．本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得＜A＜，是解题的关键．14.已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k= ______ 时，f（a k）=0．【答案】16【解析】解：函数f（x）=sinx+tanx，∴f（-x）=sin（-x）+tan（-x）=-f（x），即函数是奇函数．∴函数f（x）的图象关于原点对称，∵项数为31的等差数列{a n}满足，，且公差d≠0．，∴中间数f（a k）=0，k=16，函数f（x）=sinx+tanx，可得f（-x）=-f（x），即函数是奇函数．因此函数f（x）的图象关于原点对称，即可得出．本题考查了函数的奇偶性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．【答案】解：（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos=-，∴=cosαcos+sinαsin=×（-）=；（2）sin2=+=+2sinαcosα=+2×（-）=．【解析】（1）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简计算求值．（2）利用倍角公式，降幂公式化简所求即可计算求值得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．【答案】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴a n=1+（n-1）•2=2n-1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，∴S22=S m S1，即，解得m=12．【解析】（1）由题意，得，由此可解得a n=1+（n-1）•2=2n-1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．17.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449）．【答案】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180-60°-60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，∠=∠，sin215°=°，可得sin15°=，即AB=°=，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【解析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【答案】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n-1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2-（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2-．（2）由（1）知a n=2n-，故S n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设T n=1++++…+，T n=+++…++，- 得，T n=1++++…+-=-=2--，∴T n=4-．∴S n=n（n+1）+-4．【解析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n-，故S n=（2+4+…+2n）-（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4-．从而导出数列{a n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．19.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B-A）=cos C．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【答案】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B，所以sin（C-A）=sin（B-C）．所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B-A）=cos C=，所以B-A=30°或B-A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sin B=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsin B==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【解析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B-A）=cos C可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20.设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得a n=2n-1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m=2k-1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m-1）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有＜，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得＜（或），这与上述结论矛盾！当3p-1=0，即时，得＜，解得＜．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，＜．【解析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．。

2015-2016学年第一学期期中教学情况调研高一年级数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合{}{}，，，201x x x B A ==-=则=B A ________________. 2、函数()x x y +=4-3lg 的定义域为___________________.3、已知函数()⎩⎨⎧><=1,log 1,23x x x x f x 则()=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ____________. 4、函数()x x x f 62-2+=在区间[-1,2]上的值域为___________.5、幂函数αx y =的图像经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222，，则()=4f ___________.6、设，，43log ,4log 6.0232.0===c b a 则c b a ,,从小到大排列后位于中间位置的为__________.7、定义集合运算：{}B y A x xy z z B A ∈∈==,,*,设{}{}2102,1，，，==B A ,则集合B A *的所有元素之和为____________.8、若函数()()222+-+=x m x x f 是偶函数，则函数()()222-++-=x m x x g 的单调递增区间是__________9、已知函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A,若点A 也在函数()41-=+x a x f 的图像上，则函数()x f 在区间[-1,2log 3上的最小值是________.10、已知函数()()1022<<-+-=a a x a x f x 的零点()()Z ∈-∈k k k x ,10，则k=____________.11、若函数()()R m mx x f ∈=2的图像上的任意一点都在函数()()R m mx x g ∈-=12的上方，则实数m 的取值范围是_________________.12、定义在R 上的函数()x f 在[0，∞+]上的图像如右图所示，则不等式()()012015<-x f x 的解集是________.13、已知函数(),32-=x x f 若,120+≤<b a 且()()32+=b f a f ，则1232++=b a M 的取值范围为_____________________.14、 下列几个命题： ①函数⎩⎨⎧<->=0,0,x x x x y 与2x y =是同一个函数； ②方程()032=+-+a x a x 的有一个正实数根，一个负实数根，则0<a ； ③若函数()x f 在区间()0,∞-上递增，在区间[)∞+，0上也递增，则()x f 必在R 上递增；④对定义在R 上的函数()x f ，若()()22-≠f f ，则函数()x f 必不是偶函数； ⑤若1x 是函数()x f 的零点，且n x m <<1，那么()()0<⋅n f m f ，其中正确说法的序号是___________;二、解答题：本大题共6小题，共58分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15、（本小题满分6分）设全集为R ，集合{}51>-<=x x x A 或，{}x x x B -≤-=452。

2015-2016学年度第二学期高一数学期中试卷（2016.04）一、填充题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．00sin15cos15= ▲ .2．已知等差数列}{n a 中，37a =，526a a =+，则6a = ▲ .3．在ABC ∆中，已知a =1，030A =，045B =，则b = ▲ . . 4．已知等差数列}{n a 中，55a =，则28a a +的值等于__ _▲_____．5．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若c o ssi n a b A B=，则A = ▲ ．6．已知数列{}n a 是等比数列，满足2453a a =，则6a = ▲ ．7、在ABC △中，若060A =，1a =，则sin sin sin a b cA B C++++的值为 ▲ ．8．001cos10sin10-＝_____▲ ___． 9．已知1tan()3αβ+=，tan 2α=-，则tan β的值为 ____▲____． 10．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_ ▲____.11．已知1sin()33πα-=,则cos(2)3πα+=__ _▲_____.12．已知ABC △中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C ＝____▲____.13．如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为__ _▲____m . 14．设n S 是数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，1a a =，且213n n S S n -+=（2,3,4,n =⋅⋅⋅）,若数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定的区域内作答．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题14分）已知02παβπ<<<<，1tan22α=，cos()10βα-=． （1）求sin α的值； （2）求β的值．16．（本小题14分）已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17．（本小题15分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距5(3海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东045，B 点北偏西060，这时，位于B 点南偏西060且与B 点相距C 点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B 点到D 点的距离BD ；（Ⅱ）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．18．（本小题16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且n S S n n 21+=-（2n ≥，*n N ∈），（1）求n S ；（2）是否存在等比数列{}n b 满足11b a =，23b a =，39b a =？若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，说明理由．19．（本小题16分）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sinC 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 20．（本小题１6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n=1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n c 满足122log 1n n c a =+，若12231111n n k c c c c c c +++⋅⋅⋅+< 恒成立，求实数k 的最小值．2015-2016学年度第二学期高一数学期中试卷参考答案（2016.04）一、填空题：1．14；2．13；34．10；5．4π；6．3 ；7；8．4-；9．7；10．23π；11．79-；12．43-；13．15；14．915(,)4414．解：由213(2)n n S S n n -+=≥（1），再将上式的n 取成n-1有2123(1)(3)n n S S n n --+=-≥（2）， （1）-（2）有163n n a a n -+=-（3n ≥），在（1）式中令n=1，得2122,a a =-由（3）式得到3423,182a a a a =+=-又由163n n a a n -+=-（3n ≥）得1269(4)n n a a n n --+=-≥，有26(4)n n a a n -=+≥，故该数列从第二项起间隔成等差，要使这个数列增。

2015-2016学年江苏省扬州中学高一(上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4｝，B=｛0,1，a},A∪B={0，1，4｝，则a=．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N=｛x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=．3．函数f(x）=的定义域为．4．已知f（x)=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=．5．函数的值域为．6．已知函数f(x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）=．7．函数y=|x﹣a｜的图象关于直线x=3对称．则a=．8．函数f（x）=的单调增区间为．9．函数f（x）=的最大值为．10．不等式（｜x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是．11．已知函数f(x）=在区间(﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在(0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f(x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x)＞1，若f(4）=5，则不等式f（3m﹣2)＜3的解集为．14．若∃x1,x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立,则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题,共计90分，请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。

15．已知集合A=｛｜a+1｜，3,5｝，B=｛2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1｝，当A∩B=｛2，3｝时，求A∪B．16．已知A={x|3≤x＜7}，B=｛x|2＜x＜10}，C={x｜x＜a}，全集为实数集R．(1)求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x）=﹣x2+2x（Ⅰ)求函数f（x)在R上的解析式；(Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2］上单调递增，求实数a的取值范围．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1(m∈R）．（1)若函数在区间［3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围;(2）函数在区间[﹣1，1］上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．19．设a为实数，函数f（x)=x｜x﹣a｜．(1）讨论f（x）的奇偶性；(2）当0≤x≤1时，求f（x)的最大值．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）｜≤M成立，则称f（x)是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界,已知函数f（x）=1+x+ax2（1)当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞,0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞,0）上是否为有界函数，并说明理由;（2)若函数f（x)在x∈［1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州中学高一(上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A=｛1，4},B=｛0，1，a},A∪B={0,1，4｝，则a=4．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知中集合A={1，4｝，B=｛0，1，a｝，A∪B={0，1,4}，可得：a∈A,再由集合元素的互异性，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4｝,B={0，1,a}，A∪B=｛0，1，4｝,∴a∈A，即a=1，或a=4，由集合元素的互异性可得:a=1不满足条件，故a=4,故答案为:4【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集，补集及其运算,难度不大，属于基础题．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3｝，N={x|﹣2＜x＜1},则M∩N={x|﹣1＜x＜1}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x｜﹣1＜x＜3｝，N={x|﹣2＜x＜1｝，∴M∩N=｛x｜﹣1＜x＜1}，故答案为：｛x|﹣1＜x＜1}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．函数f（x)=的定义域为（﹣∞，）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义只要满足8﹣12x＞0即可．【解答】解：要使函数有意义，须满足8﹣12x＞0，解得x＜，故函数f(x)的定义域为(﹣∞，）,故答案为:（﹣∞,）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．4．已知f(x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=0．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题;函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义，f（x)是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），代入解析式得到结果．【解答】解：由已知函数f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）=f(x)，即：(﹣x）2+b（﹣x）+1=x2+bx+1,即：2bx=0，因为x∈R时，此等式恒成立，所以,b=0故答案为：0．【点评】本题考查函数奇偶性,以及代数恒等式成立的问题．本题在得到2bx=0时，是对于x∈R 等式都成立．基本知识的考查．5．函数的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】令t=，则t≥0,则y=t﹣t2,结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令t=，则t≥0y=t﹣t2=∴函数的值域为(﹣］故答案为：（﹣]【点评】本题主要考查了换元法求解函数的值域，其中二次函数性质的应用是求解的关键6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2)=﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】解法一：x+1=2，可得x=1,代入f（x+1)=2x2﹣4x，可得答案;解法二：利用配凑法,求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；解法三:利用换元法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2,可得答案；【解答】解法一:∵函数f（x）满足：f(x+1）=2x2﹣4x，令x+1=2，则x=1，f（2）=2×1﹣4×1=﹣2．解法二：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x=2x2+4x+2﹣8（x+1）+6=2（x+1）2﹣8（x+1)+6，∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2)=2×22﹣4×2+6=﹣2．解法三：∵函数f（x）满足：f(x+1）=x2﹣2x仅t=x+1，则x=t﹣1则f（t）=2（t﹣1）2﹣4（t﹣1）=2t2﹣8t+6∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2)=2×22﹣4×2+6=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数的值,函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的各种方法是解答的关键．7．函数y=｜x﹣a｜的图象关于直线x=3对称．则a=3．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】由含绝对值符号函数对称性我们易得函数y=｜x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又由函数y=|x﹣a｜的图象关于直线x=3对称，我们易得a的值．【解答】解：∵y=｜x﹣a｜的图象关于直线x=a对称，又∵y=｜x﹣a|的图象关于直线x=3对称，故a=3；故答案：3．【点评】本题考查的知识点是含绝对值符号函数的对称性，熟练掌握是绝对值符号函数的对称性是解答本题的关键．8．函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的单调性之间的关系求函数的单调区间．【解答】解：设t=g（x）=﹣x2+4x，则y=在定义域上单调递增,由t=g(x）=﹣x2+4x≥0，解得x2﹣4x≤0，即0≤x≤4,又函数由t=g（x）=﹣x2+4x的对称轴为x=2，抛物线开口向下,∴函数t=g（x)=﹣x2+4x的单调增区间为［0，2］，单调减区间为［2，4]．∴函数f（x）=的单调增区间为［0，2]．故答案为:[0，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用,注意要先求函数的定义域．9．函数f(x)=的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】把解析式的分母进行配方，得出分母的范围，从而得到整个式子的范围，最大值得出．【解答】解：f（x）===，∵≥∴0＜≤，∴f（x）的最大值为,故答案为．【点评】此题为求复合函数的最值，利用配方法，反比例函数或取倒数，用函数图象一目了然．10．不等式（｜x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是(﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0可转化为或,根据“大于看两边,小于看中间"的原则，去掉绝对值符号，将问题转化为一个整式不等式组后,即可求了答案．【解答】解：∵(|x｜﹣1）（x﹣2)＞0∴或即或解得﹣1＜x＜1，或x＞2∴不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪(2，+∞）故答案为:(﹣1，1）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中根据“大于看两边，小于看中间"的原则，去掉绝对值符号，将原不等式转化为一个整式不等式，是解答本题的关键．11．已知函数f（x）=在区间(﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a｜a＞}．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x)解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x)的和的形式，由函数g（x)在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x)==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x)在(﹣2，+∞）为增函数，可得g(x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为:｛a|a＞｝．【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．12．设函数f(x)满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0,+∞）上为增函数，且f（1)=0，则不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x），化简不等式得．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）=0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围．最后综合可得原不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）,∴f（x）﹣f（﹣x）=f（x)+f（x)=2f（x），因此，不等式等价于，化简得或，①当x＞0时，由于在(0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）=0,∴由不等式f（x）≤0=f(1），得0＜x≤1；②当x＜0时，﹣x＞0，不等式f(x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x)≤0=f(1），解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．综上所述,原不等式的解集为［﹣1,0）∪（0，1］．故答案为：［﹣1，0）∪（0，1］【点评】本题给出函数的单调性和奇偶性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识,属于中档题．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2)=f（x1）+f(x2)﹣1成立,且当x＞0时，f(x）＞1，若f(4）=5,则不等式f（3m﹣2)＜3的解集为（﹣∞，)．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意证出f（0)=1，进而证出F(x）=f(x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义,结合题中的条件证出F(x)=f（x)﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2）,利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意,可得令x1=x2=0,则f(0+0)=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x,x2=x,则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f(x）﹣1=1，∴化简得：［f(x）﹣1］+[f（﹣x）﹣1］=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x)，即F（x)为奇函数．任取x1，x2∈R,且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1)+F(﹣x2)=［f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1］=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2］=［f（x1﹣x2)﹣1］=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f(x）＞1，可得x＞0时,F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1)＞F（x2）．∴F(x）=f（x）﹣1是R上的增函数,因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f(x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f(4）=5,∴f(4）=f(2）+f（2)﹣1=5，可得f(2）=3．因此,不等式f(3m﹣2）＜3化为f(3m﹣2)＜f（2）,可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．14．若∃x1,x2∈R，x1≠x2，使得f（x1)=f(x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞,2）．【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】若∃x1，x2∈R,x1≠x2,使得f（x1)=f(x2）成立,则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解:由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论:（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的,即对称轴在x=满足＜1，解得:a＜2（2）x≤1时，f(x）是单调的，此时a≥2，f（x)为单调递增．最大值为f(1）=a﹣1故当x＞1时,f（x)=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1)=a﹣1，因此f(x）在R上单调增，不符条件．综合得:a＜2故实数a的取值范围是(﹣∞,2）故答案为：（﹣∞,2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f(x)不是单调函数,是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷（新疆班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）已知复数z1=3+4i，z2=1+i，则z1﹣z2=．2．（5分）若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为．3．（5分）=．4．（5分）四面体共有条棱．5．（5分）半径为3cm的球的体积为cm3．6．（5分）若圆柱的底面半径为1cm，母线长为2cm，则圆柱的体积为cm3．7．（5分）不等式表示的区域面积为．8．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是．9．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是．10．（5分）已知点（1，1）和（0，1）在直线3x﹣2y+a=0的异侧，则a的取值范围为．11．（5分）两直线a，b和平面α，其中下列正确的命题是①若a∥b，a⊂α，则b∥α②若a，b与α所成角相等，则a∥b③若a⊥α，b⊥α，则a∥b④若a⊥α，b⊥a，则b∥α12．（5分）若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为．13．（5分）若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．14．（5分）棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.请在答题纸指定区域内作答.）15．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．（14分）设复数z1=2+ai（其中a∈R），z2=3﹣4i．（1）若a=1，求z1z2的值（2）若z1+z2是实数，求a的值．17．（15分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．18．（15分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB；（2）求三棱锥A1﹣AB1C的体积．19．（16分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PDC．20．（16分）如图：AD=2，AB=4的长方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）已知复数z1=3+4i，z2=1+i，则z1﹣z2=2+3i．【解答】解：z1﹣z2=3+4i﹣（1+i）=2+3i，故答案为：2+3i．2．（5分）若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为﹣2．【解答】解：z=（1+mi）（2﹣i）=2+m+（m﹣1）i，∵复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，∴2+m=0，即m=﹣2，故答案为：﹣2．3．（5分）=i．【解答】解：===i，故答案为i．4．（5分）四面体共有6条棱．【解答】解：根据题意做一个四面体，可知有6条棱．故答案为：6．5．（5分）半径为3cm的球的体积为36πcm3．【解答】解：半径为3cm的球的体积为：V==36π（cm3）．故答案为：36π．6．（5分）若圆柱的底面半径为1cm，母线长为2cm，则圆柱的体积为2πcm3．【解答】解：∵圆柱的底面半径r=1cm，母线长l=2cm，∴圆柱的体积V=πr2l=2πcm3．故答案为：2π7．（5分）不等式表示的区域面积为9．【解答】解：如图，画直线y=﹣x，y=x，x=3满足不等式组的平面区域为这三直线围成的三角形，区域面积为：×3×6=9．故答案为：98．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是﹣6．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：A（﹣2，﹣2），C （﹣2，2），由可得B（，）∵目标函数z=2x+y∴z A=﹣6，z B=2，z C=﹣2，故在A（﹣2，﹣2）处目标函数达到最小值﹣6．故答案为：﹣6．9．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是①③．【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，故①正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确当l∥m有α⊥β，故③正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，综上可知①③正确，故答案为：①③10．（5分）已知点（1，1）和（0，1）在直线3x﹣2y+a=0的异侧，则a的取值范围为（﹣1，2）．【解答】解：若点（1，1）和（0，1）在直线3x﹣2y+a=0的异侧，则（3﹣2+a）•（﹣2+a）＜0即（a+1）（a﹣2）＜0解得a∈（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．11．（5分）两直线a，b和平面α，其中下列正确的命题是③①若a∥b，a⊂α，则b∥α②若a，b与α所成角相等，则a∥b③若a⊥α，b⊥α，则a∥b④若a⊥α，b⊥a，则b∥α【解答】解：①若a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α，故不正确；②若a，b与α所成角相等，则a∥b或a，b相交、异面，故不正确；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b，正确‘④若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，故不正确．故答案为：③．12．（5分）若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为2π．【解答】解：圆锥的高位，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，圆锥的侧面积：×2π×2=2π故答案为：2π．13．（5分）若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：14．（5分）棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3π．【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r=，∴球的表面积是4×=3π故答案为：3π二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.请在答题纸指定区域内作答.）15．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．16．（14分）设复数z1=2+ai（其中a∈R），z2=3﹣4i．（1）若a=1，求z1z2的值（2）若z1+z2是实数，求a的值．【解答】解：（1）z1z2=（2+i）（3﹣4i）=6+4+（3﹣8）i=10﹣5i．（2）z1+z2=5+（a﹣4）i是实数，∴a﹣4=0，解得a=4．17．（15分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…（5分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…（7分）（2）（证法一）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．…（11分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（14分）（证法二）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，所以D1B∥平面ADC1．同理可证A1D1∥平面ADC1．因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，所以平面A1BD1∥平面ADC1．…（11分）因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．…（14分）18．（15分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB；（2）求三棱锥A1﹣AB1C的体积．【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，则BB1⊥AB，BB1⊥BC，（3分）又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，（6分）又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；（9分）（2）三棱锥A1﹣AB1C的体积19．（16分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：平面PEC⊥平面PDC．【解答】证明：（1）取PC中点G，连接FG、EG，在△PCD中由中位线可得FG∥CD且FG=CD，又AE∥CD且AE=CD，∴FG∥AE且FG=AE，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC；（2）由PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，可得△PAD为等腰直角三角形，再由F分别是PD的中点可得AF⊥PD，再由PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD，由底面ABCD是矩形可得CD⊥AB，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∴AF⊥平面PCD，∴EG⊥平面PCD，由EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PDC．20．（16分）如图：AD=2，AB=4的长方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连AC交BD于O，连MO则O为AC中点，因为M为PC中点，所以MO∥AP，又AP⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，则AP∥平面MBD．（2）当BN=时，平面PCN⊥平面PQB．证明如下：正△PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，又CN⊂平面ABCD，则PQ⊥CN又因为长方形ABCD中，由相似三角形得，则CN⊥BQ，∴CN⊥平面PQB，又∵CN⊂平面PCN，所以，平面PCN⊥平面PQB．。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为__________．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为__________．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的__________条件．4．在约束条件下，则的最小值是__________．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为__________．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为__________．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=__________．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为__________．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为__________．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=__________．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为__________．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为__________．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为__________．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是__________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为4．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】解一元二次不等式求出A，再根据交集的定义求出A∩Z，从而得出结论．【解答】解：集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}={x|﹣1＜x＜4}，∴A∩Z={0，1，2，3}，故A∩Z中元素的个数为4，故答案为 4．【点评】本题主要考查集合的表示方法，一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的充分不必要条件．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】当时，可得z2=﹣1，反之不成立．即可判断出．【解答】解：当时，z=cosθ+isinθ=i，则z2=﹣1，反之不成立．例如θ=（k∈Z）时，z2=﹣1．∴是z2=﹣1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了三角函数求值、复数的运算法则、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．在约束条件下，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离．【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离∴d=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为4．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|ω|的最小值．【解答】解：由题意得到，，（k∈Z）所以ω=8﹣12k，k∈Z，则k=1时，|ω|min=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为1或．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程可得k，再由切点在曲线上和切线上，满足方程，可得m和k．【解答】解：设切点为（m，n），y=x3﹣x2+x的导数为y′=3x2﹣2x+1，即有切线的斜率为k=3m2﹣2m+1，又n=km，n=m3﹣m2+m，解得m=0，k=1或m=，k=．故答案为：1或．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=1或2．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；综合法；推理和证明．【分析】先求出AB，再在△ABC中，由余弦定理可得BC2﹣3BC+2=0，即可得出结论．【解答】解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2﹣2×3×BC×，整理可得，BC2﹣3BC+2=0，∴BC=1或2．故答案为1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆心坐标，利用圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，建立方程，即可求得圆C的半径．【解答】解：由题意，设圆心坐标为（2，b）（b＞0），则=，∴b2+6b ﹣7=0∵b＞0，∴b=1∴圆C的半径为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m2，m），由P到坐标原点O的距离为，列式并解之得m=，得P的坐标为（3，±），再根据抛物线方程得它的焦点F坐标为（，0），利用两点的距离公式可以算出线段PF的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴抛物线的焦点为F（，0）设P（m2，m），得P到坐标原点O的距离为|PO|==，解之得m=∴P的坐标为（3，±），得线段PF的长为|PF|==故答案为：【点评】本题给出抛物线上一点到原点的距离，求该点到抛物线焦点的距离，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为．【考点】中点坐标公式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中点是，将其平方即可得出．【解答】解：先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，两边平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．设线段MN的中点纵坐标为b＞0，则b=，∴=，∴b=．故答案为．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合思想是解决问题的关键．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）＜g（），由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点．当x＞0时，令 h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，则h′（x）=4x﹣．令h′（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=．当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+m＜﹣ln2，由此可得 m＜﹣﹣ln2，故实数m的取值范围为，故答案为．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为6．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|•|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|•|PN|=a2+4﹣|OM|2=a2+4﹣x02﹣y02，代入横纵坐标的平方和后整理得答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵P在椭圆上，∴+=1，则y02=4（1﹣），∵|PF1|•|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=，即x02=，由对称性得|PM|•|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02=a2+4﹣﹣4+=6．故答案为：6．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1﹣x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．当a∈时，的最小值为3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，只须|m﹣5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（4，8]．【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．【专题】解三角形．【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…∴，∴tanA=2．…∴．…（2），即，…∵tanA=2，∴…，∴，解得．…∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）【点评】本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（﹣x）=﹣f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，利用导数的几何意义得出x1=﹣x2从而得到A，B关于原点对称．（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=a（﹣x）3﹣b（﹣x）=﹣（ax3﹣bx）=﹣f（x），…∴f（x）为奇函数．…设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，又f'（x）=3ax2﹣b，…∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2，∴，∴，又x1≠x2，∴x1=﹣x2，…又∵f（x）为奇函数，∴点A，B关于原点对称．…（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），∴，…又f（x）在A处的切线的斜率，∵直线l1，l2都与AB垂直，∴，…令，即方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，…∴△≥0⇒b2≥3，又，∴．综上．…（14分）【点评】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）求当时，代入函数y=﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t ＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），∵y'=﹣2x，∴k=﹣，∴直线方程为y=﹣x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，∴（t+）≤2，t2+2≤3，∴2﹣≤t≤1，∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），∴g'（t）=，当t=时，g'（t）=0，当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，g（t）≥g（）=，所以所求面积的最大值为6﹣．【点评】利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，b=，进而得到椭圆方程；（2）设P（x0，y0），代入椭圆方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半径公式可得|PF|，再由已知条件，计算即可得到所求值；（3）讨论当PM⊥x轴或y轴时，求得P的坐标，设Q（，t）或（﹣，t），由向量垂直的条件，计算可得t；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由直线和圆相切的条件，化简整理，设出Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理计算即可所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==，c=1，即有a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）设P（x0，y0），则+=1（0＜x0＜2），|PM|====x0，|PF|=a﹣ex0=2﹣x0，由|PM|•|PF|=，可得x0•（2﹣x0）=，解得x0=1（3舍去），即点P的横坐标的值为1；（3）当PM⊥x轴或y轴时，P（，），设Q（，t）或（﹣，t），由OP⊥OQ，可得•=0，即为3+t=0或﹣3+t=0，解得t=±2；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y+y0﹣kx0=0，由直线PQ与圆O相切，可得=，即为（kx0﹣y0）2=3+3k2，即2kx0y0=k2x02+y02﹣3﹣3k2，令Q（，t），由•=0，可得t=，则t2====12，解得t=±2．综上可得，点Q的纵坐标t的值为±2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的应用，向量垂直的条件：数量积为0，运算化简的能力，属于中档题．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论．【解答】解：（1）a=1时，，定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得 x=1，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2），x∈，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，当a＞0时，令f′（x）=0，则x=a，①若a＞e，则f′（x）＜0对x∈成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，②若1≤a≤e，则有所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，③若a＜1，则f'（x）＞0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，综上得：；（3）即考虑方程g′（x）=0有没有解，求导得，令g′（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，∴，即，令，则，∴h（x）在（﹣∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=1，又∵等号不能同时取到，∴方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，本题计算量较大，有一定的难度．。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为__________．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为__________．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的__________条件．4．在约束条件下，则的最小值是__________．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为__________．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为__________．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=__________．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为__________．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为__________．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=__________．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为__________．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为__________．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为__________．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是__________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高三（上）期中数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}，则A∩Z中元素的个数为4．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】解一元二次不等式求出A，再根据交集的定义求出A∩Z，从而得出结论．【解答】解：集合A={x|x2＜3x+4，x∈R}={x|﹣1＜x＜4}，∴A∩Z={0，1，2，3}，故A∩Z中元素的个数为4，故答案为 4．【点评】本题主要考查集合的表示方法，一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则是z2=﹣1的充分不必要条件．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】当时，可得z2=﹣1，反之不成立．即可判断出．【解答】解：当时，z=cosθ+isinθ=i，则z2=﹣1，反之不成立．例如θ=（k∈Z）时，z2=﹣1．∴是z2=﹣1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了三角函数求值、复数的运算法则、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．在约束条件下，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离．【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离∴d=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置．5．若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为4．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据：“左加右减”法则和条件，列出方程，进而由k的取值范围求出|ω|的最小值．【解答】解：由题意得到，，（k∈Z）所以ω=8﹣12k，k∈Z，则k=1时，|ω|min=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换法原则：“左加右减，上加下减”，注意左右平移时必须在x的基础进行加减，这是易错的地方．6．若直线y=kx是曲线y=x3﹣x2+x的切线，则k的值为1或．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程可得k，再由切点在曲线上和切线上，满足方程，可得m和k．【解答】解：设切点为（m，n），y=x3﹣x2+x的导数为y′=3x2﹣2x+1，即有切线的斜率为k=3m2﹣2m+1，又n=km，n=m3﹣m2+m，解得m=0，k=1或m=，k=．故答案为：1或．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解题的关键．7．在△ABC中，，B=60°，BC边上的高，则BC=1或2．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；综合法；推理和证明．【分析】先求出AB，再在△ABC中，由余弦定理可得BC2﹣3BC+2=0，即可得出结论．【解答】解：∵B=60°，BC边上的高，∴AB=3在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，把已知AC=，AB=3，B=60°代入可得，7=32+BC2﹣2×3×BC×，整理可得，BC2﹣3BC+2=0，∴BC=1或2．故答案为1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题．8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆心坐标，利用圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，建立方程，即可求得圆C的半径．【解答】解：由题意，设圆心坐标为（2，b）（b＞0），则=，∴b2+6b ﹣7=0∵b＞0，∴b=1∴圆C的半径为故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m2，m），由P到坐标原点O的距离为，列式并解之得m=，得P的坐标为（3，±），再根据抛物线方程得它的焦点F坐标为（，0），利用两点的距离公式可以算出线段PF的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴抛物线的焦点为F（，0）设P（m2，m），得P到坐标原点O的距离为|PO|==，解之得m=∴P的坐标为（3，±），得线段PF的长为|PF|==故答案为：【点评】本题给出抛物线上一点到原点的距离，求该点到抛物线焦点的距离，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．11．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为．【考点】中点坐标公式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中点是，将其平方即可得出．【解答】解：先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，两边平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．设线段MN的中点纵坐标为b＞0，则b=，∴=，∴b=．故答案为．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，数形结合思想是解决问题的关键．12．已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）＜g（），由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点．当x＞0时，令 h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，则h′（x）=4x﹣．令h′（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=．当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+m＜﹣ln2，由此可得 m＜﹣﹣ln2，故实数m的取值范围为，故答案为．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题．13．如图，椭圆C：+=1（a＞2），圆O：x2+y2=a2+4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|•|PF2|=6，则|PM|•|PN|的值为6．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF1|•|PF2|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|•|PN|=a2+4﹣|OM|2=a2+4﹣x02﹣y02，代入横纵坐标的平方和后整理得答案．【解答】解：设P（x0，y0），∵P在椭圆上，∴+=1，则y02=4（1﹣），∵|PF1|•|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=，即x02=，由对称性得|PM|•|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02=a2+4﹣﹣4+=6．故答案为：6．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈，，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．∴实数a取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1﹣x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．当a∈时，的最小值为3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，只须|m﹣5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（4，8]．【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．【专题】解三角形．【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…∴，∴tanA=2．…∴．…（2），即，…∵tanA=2，∴…，∴，解得．…∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…由正弦定理知：，可推得…（13分）∴．…（14分）【点评】本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力．17．（14分）已知a＞0，函数f（x）=ax3﹣bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（﹣x）=﹣f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，利用导数的几何意义得出x1=﹣x2从而得到A，B关于原点对称．（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l1，l2都与AB垂直，得到方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=a（﹣x）3﹣b（﹣x）=﹣（ax3﹣bx）=﹣f（x），…∴f（x）为奇函数．…设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，又f'（x）=3ax2﹣b，…∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2，∴，∴，又x1≠x2，∴x1=﹣x2，…又∵f（x）为奇函数，∴点A，B关于原点对称．…（2）由（1）知A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），∴，…又f（x）在A处的切线的斜率，∵直线l1，l2都与AB垂直，∴，…令，即方程3t2﹣4bt+b2+1=0有非负实根，…∴△≥0⇒b2≥3，又，∴．综上．…（14分）【点评】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．18．（14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF 是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】数学模型法；导数的综合应用．【分析】（1）求当时，代入函数y=﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t ＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），∵y'=﹣2x，∴k=﹣，∴直线方程为y=﹣x+；（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，∴（t+）≤2，t2+2≤3，∴2﹣≤t≤1，∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），令g（t）=（t3+4t+），∴g'（t）=，当t=时，g'（t）=0，当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，g（t）≥g（）=，所以所求面积的最大值为6﹣．【点评】利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．19．（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（1）求椭圆C的方程；（2）若|PM|×|PF|=，求点P的横坐标的值；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，b=，进而得到椭圆方程；（2）设P（x0，y0），代入椭圆方程，由勾股定理可得|PM|，由焦半径公式可得|PF|，再由已知条件，计算即可得到所求值；（3）讨论当PM⊥x轴或y轴时，求得P的坐标，设Q（，t）或（﹣，t），由向量垂直的条件，计算可得t；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由直线和圆相切的条件，化简整理，设出Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理计算即可所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==，c=1，即有a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）设P（x0，y0），则+=1（0＜x0＜2），|PM|====x0，|PF|=a﹣ex0=2﹣x0，由|PM|•|PF|=，可得x0•（2﹣x0）=，解得x0=1（3舍去），即点P的横坐标的值为1；（3）当PM⊥x轴或y轴时，P（，），设Q（，t）或（﹣，t），由OP⊥OQ，可得•=0，即为3+t=0或﹣3+t=0，解得t=±2；当直线PM的斜率存在且不为0，设直线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y+y0﹣kx0=0，由直线PQ与圆O相切，可得=，即为（kx0﹣y0）2=3+3k2，即2kx0y0=k2x02+y02﹣3﹣3k2，令Q（，t），由•=0，可得t=，则t2====12，解得t=±2．综上可得，点Q的纵坐标t的值为±2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查椭圆方程的应用，向量垂直的条件：数量积为0，运算化简的能力，属于中档题．20．（16分）已知函数，其中a为参数，，（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈时，求函数f（x）的最小值；（3）函数g（x）是否存在垂直于y轴的切线？请证明你的结论论．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将a=1代入函数f（x），求出其导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值；（3）问题转化为方程有没有解，通过研究左右两个函数的值域，从而得到结论．【解答】解：（1）a=1时，，定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得 x=1，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2），x∈，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，当a＞0时，令f′（x）=0，则x=a，①若a＞e，则f′（x）＜0对x∈成立，则f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，②若1≤a≤e，则有所以f（x）在区间上的最小值为f（a）=lna，③若a＜1，则f'（x）＞0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以，f（x）在区间上的最小值为f（1）=a﹣1，综上得：；（3）即考虑方程g′（x）=0有没有解，求导得，令g′（x）=0，则，即下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得a=1时f（x）的最小值为f（1）=0，∴，即，令，则，∴h（x）在（﹣∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max=h（2）=1，又∵等号不能同时取到，∴方程无解，即函数g（x）不存在垂直于y轴的切线．【点评】本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，本题计算量较大，有一定的难度．。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．(★★★★)sin585o的值为 - ．2．(★★★★)函数f（x）=2sin（3x+ ）的最小正周期T= ．3．(★★★★)已知等差数列{a n}中，若a 3+a 11=22，则a 7= 11 ．4．(★★★)函数在x∈R上的最小值等于 -2 ．5．(★★★★)已知tanθ=2，则sin 2θ+sinθcosθ-2cos 2θ= ．6．(★★★★)若关于x的不等式2x 2-3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m= ．7．(★★★★)不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为 {x|-1＜x＜1} ．8．(★★★)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10= 60 ．9．(★★★★)等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1=1，则S 4= 15 ．10．(★★★★)已知函数f（x）=x 2，（x∈-2，2），g（x）=a 2sin（2x+ ）+3a，x∈0，），∀x 1∈-2，2，总∃x 0∈0，，使得g（x）=f（x 1）成立，则实数a的取值范围是（-∞，-4∪6，+∞）．11．(★★)设a 1=2，，b n= ，n∈N +，则数列{b n}的通项公式b n=2 n+1．n+112．(★★★)有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin 2+cos 2= ；（2）∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；（3）∀x∈0，π，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y= ．其中假命题的序号是（1）（4）．13．(★★)在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为（，）．14．(★★★)已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a 1）+f（a 2）+…+f（a 31）=0，则当k= 16 时，f （a k）=0．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．(★★★★★)已知sinα= ，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin 2．16．(★★)已知等差数列{a n}中，首项a 1=1，公差d为整数，且满足a 1+3＜a 3，a 2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S 2为S 1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．17．(★★★)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75o，30o，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60o，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．18．(★★★)在数列{a n}中，a 1=1，a n+1=（1+ ）a n+ ．（1）设b n= ，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．(★★★)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B-A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S △ABC= ，求a，c．20．(★★)设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N *，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b 3；（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N *）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．。

2014-2015学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（∁U B）等于．2．（5分）集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为．3．（5分）函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是．4．（5分）若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a=．5．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是．①y=x与y=；②y=x与y=；③y=x2与s=t2；④y=与y=．6．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．7．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．8．（5分）如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=．9．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．10．（5分）如果指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在x∈[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a=．11．（5分）若3x=4y=m，=1，则实数m=．12．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2，给出如下结论：①f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；②f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；③当x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④当x1≠x2时，，那么当f（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）（其中a＜b＜c），则abc的取值范围是．14．（5分）已知实数a，b满足a3+3a2﹣6a=2，b3+3b2﹣6b=﹣10，则a+b=．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={3，4，4a2﹣6a﹣1}，B={4a，﹣3}，A∩B={﹣3}，求实数a的值及此时的A∪B．16．（14分）已知函数f（x）=，（1）当k=2时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数k的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=log a（其中a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）解不等式f（x）＞0．18．（16分）某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．19．（16分）已知函数f（x）=x2+，（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R都有成立；③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（其中λ＞0），（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．2014-2015学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（∁U B）等于{1} ．【解答】解：因为全集U={1，2，3，4}，B={2，3}，所以∁U B={1，4}，又集合A={1，2}，所以A∩（∁U B）={1}，故答案为：{1}．2．（5分）集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的子集个数为4．【解答】解：集合A={x∈N|0＜x＜3}={1，2}，则其子集有22=4个，故答案为4．3．（5分）函数f（x）=lg（2﹣x）+的定义域是[1，2）．【解答】解：函数定义域要满足，即，解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），故答案为：[1，2）4．（5分）若函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，则实数a=5．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax在（﹣∞，5]上递减，在[5，+∞）上递增，∴x=5为函数的对称轴，∵函数f（x）=x2﹣2ax∴x=a为函数的对称轴，∴a=5故答案为：55．（5分）下列各组函数中，表示相同函数的是③．①y=x与y=；②y=x与y=；③y=x2与s=t2；④y=与y=．【解答】③解：①不是同一函数，函数解析式不同，y=；②不是同一函数，函数定义域不同，y=x定义域为R，定义域为{x|x≠0}；③是同一函数，只是表示函数的自变量、函数值的字母不同，而对应法则，定义域相同，所以为同一函数；④不是同一函数，函数定义域不同，的定义域为[1，+∞），的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故答案为：③．6．（5分）已知函f（x）=，则f（f（））=．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．7．（5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过，∴，解得a=﹣，∴，故f（4）==．故答案为：．8．（5分）如果函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在的区间是（n，n+1），则正整数n=2．【解答】解：∵f（x）=lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3），∴n=2．故答案为2．9．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）10．（5分）如果指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在x∈[0，1]上的最大值与最小值的差为，则实数a=或．【解答】解：由题意，若0＜a＜1，则有a0﹣a=，解得，a=；若a＞1，则有a﹣a0=，则a=，故答案为：或．11．（5分）若3x=4y=m，=1，则实数m=36．【解答】解：∵3x=4y=m，∴x=log3m，y=log4m，∴=log m3，=log m4，∴=2log m3+log m4=log m36=1，∴m=36，故答案为：3612．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2，给出如下结论：①f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；②f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；③当x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④当x1≠x2时，，那么当f（x）=lgx时，上述结论中正确结论的序号是①③．【解答】解：∵f（x）=lgx，对于①，f（x1•x2）=lg（x1•x2）=lgx1+lgx2=f（x1）+f（x2），故①正确；对于②，f（x1+x2）=lg（x1+x2）≠lgx1•lgx2=f（x1）•f（x2），故②错误；对于③，∵f（x）=lgx为区间（0，+∞）上的增函数，∴当x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故③正确；对于④，当x1≠x2时，由图可知，，故④错误．故答案为：①③．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）（其中a＜b＜c），则abc的取值范围是（5，9）．【解答】解：∵a，b，c互不相等，∴不妨设a＜b＜c，作出函数f（x）的图象如图：则由图象可知0＜a＜1，1＜b＜5，则由f（a）=f（b），得e|lna|=e|lnb|，即﹣lna=lnb，即lna+lnb=lnab=0，∴ab=1，即abc=c，由10﹣x=1，解得x=9，∴5＜c＜9，∴abc=c∈（5，9），故答案为：（5，9）14．（5分）已知实数a，b满足a3+3a2﹣6a=2，b3+3b2﹣6b=﹣10，则a+b=﹣2．【解答】解：令f（x）=x3+3x2﹣6x，∴f（a）﹣2=0，f（b）+10=0，∴f′（a）﹣2′=3a2+6a﹣6=0，f′（b）+10′=3b2+6b﹣6=0，令g（x）=3x2+6x﹣6，∴a+b=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={3，4，4a2﹣6a﹣1}，B={4a，﹣3}，A∩B={﹣3}，求实数a的值及此时的A∪B．【解答】解：由题意得4a2﹣6a﹣1=﹣3，解得a=1或，当时，A={3，4，﹣3}，B={2，﹣3}，满足要求，此时A∪B={2，3，4，﹣3}；当a=1时，A={3，4，﹣3}，B={4，﹣3}，不满足要求，综上得：，A∪B={2，3，4，﹣3}．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=，（1）当k=2时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当k=2时，由题意得2x2﹣12x+10≥0，即（x﹣1）（x﹣5）≥0，即x≥5或x≤1，∴定义域为{x|x≥5或x≤1}；（2）由题意得不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对一切x∈R都成立，当k=0时，，满足要求；当k≠0时，，解得0＜k≤1．综上可得：实数k的取值范围是[0，1]．17．（14分）已知函数f（x）=log a（其中a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）解不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）由，得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1），又，∴f（x）为奇函数；（2）a＞1时，由，得，得﹣1＜x＜0；0＜a＜1时，由，得，得0＜x＜1．综上得，a＞1时，x∈（﹣1，0）；0＜a＜1时，x∈（0，1）．18．（16分）某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．【解答】解：（1）由题设知，当5≤x≤8时，设Q=ax+b，则，∴∴Q=﹣x+25，同理得，当8＜x≤12时，Q=﹣x+13，…（4分）所以Q=…（6分）（2）月利润为f（x）=Q•（x﹣5）﹣10．由（1）可知，f（x）=，即…（9分）=；所以当x∈[5，8]时，x=，f（x）最大当x∈（8，12]时，x=9，f（x）=6．最大所以当x=9时，f（x）取得最大值6．答：该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．…（14分）19．（16分）已知函数f（x）=x2+，（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m﹣+9恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x2，（x≠0）为偶函数；…（2分）当a≠0时，f（1）=1+a，f（﹣1）=1﹣a，故f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）无奇偶性．综上得：当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）无奇偶性．…（5分）（2），任取0＜x1＜x2≤2，则=，∵0＜x1＜x2≤2∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜16，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，2]上递减．…（9分）（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，2]上是递减，同理可得f（x）在区间[2，+∞）上递增，所以f（x）min=f（2）=12，…（12分）所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2，即，即1≤m＜5．…（16分）20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R都有成立；③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（其中λ＞0），（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．【解答】解：（1）由题意得f（0）=0，即c=0．…（1分）∵对于任意x∈R都有，∴对称轴为，即，即a=b．∴f（x）=ax2+ax，∵方程f（x）=x仅有一根，即方程ax2+（a﹣1）x=0仅有一根，∴△=0，即（a﹣1）2=0，即a=1．∴f（x）=x2+x．…（4分）（2）g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=①当时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为，若，即0＜λ≤2，函数g（x）在上单调递增；若，即λ＞2，函数g（x）在上单调递增，在上递减．②当时，函数g（x）=x2+（1+λ）x﹣1的对称轴为，则函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当0＜λ≤2时，函数g（x）增区间为，减区间为；当λ＞2时，函数g（x）增区间为、，减区间为、．…（9分）（3）①当0＜λ≤2时，由（2）知函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．…（12分）②当λ＞2时，则，而g（0）=﹣1＜0，，g（1）=2﹣|λ﹣1|，（ⅰ）若2＜λ≤3，由于，且=，此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．综上所述，当0＜λ≤3时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．…（16分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（5*14=70）1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=．2．函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．3．已知4a=2，lgx=a，则x=．4．函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为．5．已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=．6．计算﹣lg2﹣lg5=．7．集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是．8．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是．9．函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为．10．已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=．11．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．12．f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是．13．已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是．14．已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a≤8}．（I）当a=0时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．17．（14分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．18．（16分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（5*14=70）1．（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，故答案为：{x|﹣1≤x＜1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2015•广州一模）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数f（x）的解析式，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数定义域的应用问题，是基础题目．3．（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．4．（2016秋•广陵区校级期中）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为[1，10] ．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，利用二次函数的性质求得函数的最值，从而求得函数的值域．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10，故该函数值域为[1，10]，故答案为[1，10]．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．5．（2016秋•广陵区校级期中）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性的性质，化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=8a+2b+1=﹣（﹣8a﹣2b+1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力．6．（2015秋•安吉县期末）计算﹣lg2﹣lg5=3．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算法则以及导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：=4﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算能力．7．（2016秋•广陵区校级期中）集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是0或1．【考点】集合的表示法．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据集合A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可【解答】解：根据集合A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2+2x﹣1=0只有一个根，①a=0，x=，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即（﹣2）2﹣4a×1=4﹣4a=0解得a=1．所以a=0或a=1．故答案为：0或1．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及一元二次方程的根的情况的判断，属于基础题8．（2016秋•广陵区校级期中）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，可得[1，2]为其减区间的子集，进而得a的限制条件，由反比例函数的性质可求a的范围，取其交集即可求出．【解答】解：因为函数f（x）=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，所以﹣=a≤1①，又函数g（x）=在区间[1，2]上是减函数，所以a＞0②，综①②，得0＜a≤1，即实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查函数单调性的性质，函数在某区间上单调，该区间未必为函数的单调区间，而为单调区间的子集．9．（2016秋•广陵区校级期中）函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】令真数等于1，求出相应的坐标，可得答案．【解答】解：令x﹣2=1，则x=3，f（3）=2log a（3﹣2）+3=3，故函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3），故答案为：（3，3）．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．10．（2016秋•广陵区校级期中）已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=x2﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法求解即可．【解答】解：函数f（x﹣1）=x2﹣2x，令x﹣1=t，则x=t+1那么f（x﹣1）=x2﹣2x转化为f（t）=（t+1）2﹣2（t+1）=t2﹣1．所以得f（x）=x2﹣1故答案为：x2﹣1．【点评】本题考查了解析式的求法，利用了换元法．属于基础题．11．（2015秋•白山校级期中）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f （3﹣2x），求x的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数f（x）的奇偶性及在[0，+∞）上的单调性，可把f（x﹣1）＞f（3﹣2x）转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式，从而可以求解．【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）⇔f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）⇔|x﹣1|＞|3﹣2x|，两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0，解得，所以x的取值范围为（）．故答案为：（）．【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查．解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”，转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解．12．（2016秋•广陵区校级期中）f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是c＞a＞b．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对于偶函数，有f（x）=f（|x|），在[0，+∞）上是减函数，所以，只需比较自变量的绝对值的大小即可，即比较3个正数|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小，这3个正数中越大的，对应的函数值越小．【解答】解：f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，故f（x）在[0，+∞）上是减函数，∵a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），∵log47=log2＞1，∵=﹣log23=﹣log49＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|＞0，∴f（0.20.6）＞f（log47）＞f（），即c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查偶函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．13．（2015春•淮安期末）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用对数的真数大于0，可得A=（0，1），对已知不等式两边除以x，运用参数分离和乘1法，结合基本不等式可得不等式右边+的最小值，再解m的不等式即可得到m的范围．【解答】解：由函数y=lg（﹣1）可得，﹣1＞0，解得0＜x＜1，即有A=（0，1），对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，由+=（+）（1﹣x+x）=+2++≥+2=．即有m2+2m＜，由于m＞0，解得0＜m＜，故答案为：（0，）．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．14．（2016•湖南校级模拟）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是（﹣4，﹣2）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b=0恰有6个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根，且当f（x）=k（0＜k＜2），关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．【解答】解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af （x）+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0中，有：4+2a+b=0，b=﹣4﹣2a，且当f（x）=k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a=0，a=﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）（2016秋•广陵区校级期中）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a ≤8}．（I）当a=0时，求（∁R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】（1）利用函数有意义求得A，解指数不等式求得B，再根据补集的定义求得∁R A，再利用两个集合的交集的定义求得（∁R A）∩B；（2）若A∪B=B，A⊆B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=lgx+}=（0，2]，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞）当a=0时，＜2x≤8，∴﹣2＜x≤3，∴B=（﹣2，3]，则（∁R A）∩B=（﹣2，0]∪（2，3]；（2）B={x|＜2x﹣a≤8}=（a﹣2，a+3]．∵A∪B=B，∴A⊆B，∴，∴﹣1≤a≤2．【点评】本题主要考查不等式的解法，集合的补集、两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．16．（14分）（2013秋•滑县期末）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f （x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由条件可得二次函数的图象的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根据f（﹣2）=﹣16，求得a的值，可得f（x）的解析式．（2）分当t≥1时和当0＜t＜1时两种情况，分别利用函数f（x）的单调性，求得函数的最大值．【解答】解：（1）∵已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2，故函数的图象的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根据f（﹣2）=9a+2=﹣16，求得a=﹣2，故f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x．（2）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，故最大值为f（t）=﹣2t2+4t，当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t+1]上是减函数，故函数的最大值为f（1）=2．综上，f max（x）=．【点评】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．17．（14分）（2016秋•广陵区校级期中）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a ≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数的值域．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）把代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域；（2）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax2﹣x+1在上得单调性及ax2﹣x+1＞0对恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．【解答】解：（1）当时，恒成立，故定义域为R，又∵，且函数在（0，+∞）单调递减，∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]；（2）依题意可知，i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：a≥2；ii）当0＜a＜1时，同理必须ax2﹣x+1在上递减，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：．综上，实数a的取值范围为．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了复合函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，属中档题．18．（16分）（2016秋•广陵区校级期中）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求f（π）的值；（2）结合函数奇偶性和周期性的性质即可求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．【解答】解：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（π）=f（π﹣4）=﹣f（4﹣π）=﹣（4﹣π）=π﹣4；（2）若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，则f（﹣x）=﹣x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），即f（x）=x，﹣1≤x≤0，即当﹣1≤x≤1时，f（x）=x，若1≤x≤3，则﹣1≤x﹣2≤1，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）=﹣x+2，即当﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式为f（x）=；（3）作出函数f（x）在﹣4≤x≤4时的图象如图，则函数的最小值为﹣1，若m＜﹣1，则方程f（x）=m（m＜0）无解，若m=﹣1，则函数在﹣4≤x≤4上的零点为x=﹣1，x=3，则﹣1+3=2，若﹣1＜m＜0，则函数在﹣4≤x≤4上共有4个零点，则它们分别关于x=﹣1和x=3对称，设分别为a，b，c，d，则a+b=﹣2，b+d=6，即a+b+c+d=﹣2+6=4．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数奇偶性的性质，以及函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键．19．（16分）（2016秋•广陵区校级期中）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．20．（16分）（2014秋•扬中市校级期末）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f（1）=，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）=，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。

江苏省扬州市邗江中学【精品】高一上学期期中数学试题（新疆预科班）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={|12}x x -<<，{|20}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ） A ．{|10}x x -<< B ．{ C ．{|22}x x -<< D ．{|2x x 或<- 2x ≥}2．函数()lg(31)f x x =-的定义域为（ ）A ．RB ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3+∞3．如果幂函数()f x 的图象经过点,则(4)f 的值等于 （ ）A ．16B ．2C ．116D ．124．在(0,1)内单调递增的函数是（ ）A ．y =B ．221y x x =-++C ．0.5log y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5．如果二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ）A ．a =2，b =4B ．a =2，b =－4C ．a =－2，b =4D ．a =－2，b =－4 6．函数241,[1,5]y x x x =-+∈的值域是（ ）A ．[1]6，B ．[31]-，C ．[36]-，D ．[3,)-+∞7b =（0a >且1a ≠），则（ ）A ．2log 1a b =B ．1log 2a b =C ．12log a b =D ．12log b a = 8．三个数2log 0.7a =，20.3b =，0.32c =的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<9．设1232,2,log (1), 2.(){x x x x f x -<-≥=则f (f (2))的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则3()2f -与25(2)2f a a ++的大小关系是（ ）A ．235()(2)22f f a a ->++B ．235()(2)22f f a a -<++C ．235()(2)22f f a a -≥++D ．235()(2)22f f a a -≤++11．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =+，则当0x >时，()f x =（ ） A ．(1)x x - B ．(1)x x + C ．(1)x x -- D ．(1)x x -+12．若2log 31x =，则39x x +的值为 （ ）A ．3B ．52 C ．6 D ．12二、填空题13．若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()U C M N =_________14．已知2()1f x x x =++，则(1)f x +=_____________15．函数()()()1f x x x a =++为偶函数，则a =_______.16．设A ,B 是非空集合，定义{}=,x A B x x A B A B *∈⋃∉⋂且，已知A ={}{}02,=0,x x B y y ≤≤≥则A =B *____________三、解答题17．设全集U =R ，集合{}{}11,02A x x B x x =-≤≤=<<.（1）求A B（2）求C R A18．计算：（1）861552()a b ÷（2）333322log 2log log 89-+ 19．设函数21()log 1x f x x （1）求函数的定义域（2）讨论函数的奇偶性（3）求函数的值域20．已知函数25,(1)(),(11)2,(1)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩（1）求[(3)]f f -，（2）画出函数的图像（3）若1()2f x =，求x 的值 21．已知4()41x x a f x +=+是奇函数， （1）求常数a 的值；（2）求f (x )的定义域和值域；（3）讨论f (x )的单调性并证明.22．已知2(),[,1]f x x x x t t =+∈+，（1）当t =1时，求函数()y f x =的值域（2）若()f x 的最小值为()g t ，写出()g t 的表达式；参考答案1．A【解析】因为集合集合A={x|-1＜x ＜2}，B={x|-2≤x ＜0}，所以A∩B={x|-1＜x ＜0}，故选A ．2．D【解析】()lg(31)f x x =-须满足3x-1>0,即其定义域为1(,)3+∞． 3．B【解析】试题分析：设幂函数的表达式为，由题意得，，则，所以幂函数的表达式为有．故选. 考点：幂函数的概念及其表达式，待定系数法.4．B【解析】【分析】逐一判断每一个选项的函数的单调性得解.【详解】A. y =在（0,1）内单调递减，所以该选项不符合题意；B. 221y x x =-++，在（0,1）内单调递增，所以该选项符合题意；C. 0.5log y x =，在（0,1）内单调递减，所以该选项不符合题意；D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在（0,1）内单调递减，所以该选项不符合题意； 故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B【分析】由题得12b a-=且71a b =-+，解方程组即得解. 【详解】 由题得1271b a a b ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，解之得a =2，b =－4.故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．C【分析】先求出函数的对称轴方程，再求出函数的值域.【详解】 由题得函数的图象的对称轴为422x ，所以当2x =时，min 4813y =-+=-.当5x =时，max 252016y =-+=.故函数的值域为[36]-，. 故选：C【点睛】本题主要考查二次函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．A【详解】b =即12a b =，所以1log 2a b =，即2log 1a b =， 故选A.考点：指数式与对数式．8．A【分析】利用函数的性质求出,,a b c 的范围，即得解.【详解】由题得22log 0.7log 10a =<=，2=0.090.3(0,1)b ∈=，0.30221c =>=.所以a b c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．B【分析】先求出(2)f ，再求f (f (2))的值得解.【详解】由题得23(2)log (21)1f =-=，所以f (f (2))11(1)21f -===.故选：B【点睛】 本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．C【解析】试题分析：因为，且函数在上是减函数，所以，又因为是偶函数，所以，所以，故选C.考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用，由二次函数的的顶点式可得，根据题意可知和不在同一单调区间，所以需利用奇偶性，对称到同一区间即可比较大小，故有，只需利用不等关系即可得到.11．A【分析】 设0x >，则0x -<，利用()()f x f x =-可得当0x >时的解析式.【详解】设0x >，则0x -<，故()()()()()11f x f x x x x x =-=--+=-，选A .【点睛】对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用()()f x f x =--或()()f x f x =-来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为x .12．C【解析】由32log 1x =，可得：3x 2log =∴33223939246log log x x +=+=+=故选C13．{4}【分析】先求M N ⋃,再求()U C M N 得解. 【详解】由题得{1,2,3}MN =， 所以(){4}U C M N =.故答案为：{4}【点睛】本题主要考查集合的并集和补集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．233x x ++【分析】直接代入即得解.【详解】由题得22(1)(1)1133f x x x x x +=++++=++.故答案为：233x x ++【点睛】本题主要考查求复合函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．1-【分析】根据f(-x)=f(x)即得a 的值.【详解】由题得f （-x ）=f(x),所以（-x+1）(-x+a)=(x+1)(x+a),所以（a+1）x=0对于x ∈R 恒成立，所a+1=0,所以a=-1.故答案为-1【点睛】（1）本题主要考查偶函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)偶函数满足f （-x ）=f(x)对定义域内的每一个值都成立. 16．(2+)∞，【分析】先求出,A B A B ⋃⋂,即得解.【详解】由题得[0,),[0,2]A B A B =+∞=.所以A =B *(2+)∞，. 故答案为：(2+)∞，【点睛】本题主要考查集合的并集和交集计算，考查集合的新定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．（1）={|01}A B x x <≤；（2）C =(,1)(1,)R A -∞-+∞.【分析】（1）直接利用交集的定义求A B ；（2）利用补集的定义求C R A . 【详解】（1）由题得={|01}A B x x <≤.（2）由题得C =(,1)(1,)R A -∞-+∞.【点睛】 本题主要考查集合的交集和补集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．（1）15；（2）2 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则计算化简；（2）利用对数运算法则计算得解.【详解】（1）原式=86434433155555555211()555a b a b a b --÷⋅÷==； （2）原式=333333248log 4log log 8=log log 923299⨯-+==. 【点睛】本题主要考查指数幂和根式的运算，考查对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．（1）(1,1)-；（2）奇函数；（3）(,)-∞+∞.【分析】（1）解不等式101x x ->+即得函数的定义域；（2）利用函数的奇偶性定义判断得解；（3）先求出21(0,)1x ，再求函数的值域即可. 【详解】（1）由题得10,(1)(1)0,111x x x x x->∴+-<∴-<<+，所以函数的定义域为(1,1)-. （2）由（1）得函数的定义域关于原点对称. 2211()log log ()11x x f x f x x x +--==-=--+,所以函数是奇函数.（3）1(1)22=1111x x y x x x 是(1,1)-上的减函数，又2(1,)1x ，∴21(0,)1x 所以函数的值域为(,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查函数的奇偶性的判定和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）4；（2）见解析；（3）9,222x =--【分析】（1）先求出(3)f -，再求[(3)]f f -的值；（2）画出分段函数每一段的图象即得解；（3）分三种情况讨论解方程即得方程的解.【详解】（1）(3)352f -=-+=，所以[(3)](2)4f f f -==.（2）函数的图象如图所示：（3）当1x ≤-时，195,;22x x +=∴=-当11x -<<时，21,2x x =∴=; 当1x ≥时，112,24x x =∴=（舍去）.所以92x =-【点睛】 本题主要考查分段函数求值和分段函数的图象的作法，考查解分段函数的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）1a =-；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）函数()f x 在R 上为增函数．证明见解析.【分析】（1）利用奇函数的定义()()f x f x -=-，即可求得a 值；（2）先把函数()f x 变形为412()14141x x x f x -==-++，再求函数()f x 的值域，()f x 的定义域易求得；（3）设12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小，再利用函数的单调性的定义可作出判断．【详解】（1）因为4()41x x a f x +=+是奇函数， 所以()()f x f x -=-，即444141x x x x a a --++=-++，也即1441441x x x x a a ++=-++， 所以(14)(4)1041x x x a a a +++=+=+， 所以1a =-．（2）由（1）知，412()14141x x x f x -==-++， 其定义域为R ．因为40x >，所以20241x<<+，211141x -<-<+， 即1()1f x -<<．所以函数()f x 的值域为(1,1)-．（3）所以函数()f x 在R 上为增函数．证明：设12x x <，则121222()()(1)(1)4141x x f x f x -=---++ 122121222(44)4141(41)(41)x x x x x x -=-=++++． 因为12x x <，所以1244x x ，1410x +>，2410x +>， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在R 上为增函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．22．（1）[2,6]；（2）22332,2131(),4221,2t t t g t t t t t ⎧++<-⎪⎪⎪=--≤≤-⎨⎪⎪+>-⎪⎩. 【分析】（1）先判断函数的单调性，再利用单调性求函数的值域；（2）对t 分三种情况讨论即得解.【详解】（1）当t =1时，2(),[1,2]f x x x x =+∈，抛物线的对称轴为12x =-， 所以函数此时在[1,2]上单调递增，所以min ()(1)112f x f ==+=，max ()(2)426f x f ==+=.所以此时函数()y f x =的值域为[2,6].（2）当12t >-时，2min ()()f x f t t t ==+； 当112t t ≤-≤+即3122t -≤≤-时，所以min 1111()()2424f x f =-=-=-； 当112t +<-即32t <-时，所以22min ()(+1)(1)132f x f t t t t t ==+++=++.所以22332,2131(),4221,2t t t g t t t t t ⎧++<-⎪⎪⎪=--≤≤-⎨⎪⎪+>-⎪⎩. 【点睛】本题主要考查二次函数的值域的求法，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2015-2016学年上学期高一数学期中试卷（有答案）银川一中201/2016学年度(上)高一期中考试数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题分，共计60分)。

1．若集合，则=（）A．B．．D．2．已知A、B均为集合U={1,3,,7,9}的子集，且A∩B={3},( )∩A={9},则A=（）A {1,3}B {3,7,9} {3,,9} D {3,9}3．已知为正实数,则()A BD4．函数的定义域是（）A（- ，1）B（1，+ ）（-1,1）∪（1，+ ）D（- ，+ ）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．．D．6 若函数f(x)= + 与g(x)= 的定义域均为R，则（）A f(x)与g(x)均为偶函数B f(x)为奇函数，g(x)为偶函数f(x)与g(x)均为奇函数D f(x)为偶函数，g(x)为奇函数7 已知则（）A B D8．已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．B．．D．9．设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[-1，2] B．[0，2] ．[1，+ ）D．[0，+ ）10．若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是（）11．设函数f(x)=lga|x|在(-∞,0)上是增函数,则f(a+1)与f(2)的大小关系是()A f(a+1)=f(2)B f(a+1)&lt;f(2)f(a+1)&gt;f(2)D 不确定12．在=2x，=lg2x，=x2，这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是（）A．0个B．1个．2个D．3个二、填空题(每小题分，共20 分)13．已知，则14 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a的值为_________1 已知lg73=a，lg74=b，用a，b表示lg4948为．16．已知是R上的增函数,则a的取值范围为三、解答题：(满分70分)17(本小题满分10 分)计算:（1）；（2）18 (本小题满分12 分)已知集合A={x|2-1&lt;x&lt;3+2},B={x|x≤-2或x≥}是否存在实数,使A∩B≠ ?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由19 (本小题满分12 分)如图,幂函数=x3-7(∈N)的图象关于轴对称,且与x轴,轴均无交点,求此函数的解析式及不等式的解集20 (本小题满分12 分)已知函数f(x)=lga(3+2x),g(x)=lga(3-2x)(a&gt;0,且a≠1)(1)求函数=f(x)-g(x)的定义域(2)判断函数=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明21 (本小题满分12 分)已知指数函数f(x)=ax(a&gt;0,且a≠1)(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式(2)解不等式:g(x)≤lga(2-3x)22 (本小题满分12 分)已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．高一期中考试数学试卷参考答案一、选择题：题号12346789101112答案BDDBDADBB二、填空题(每小题分，共20 分)13．2314 -1116．≤a&lt;6三、解答题：17 本题满分10分）(1)解:原式=(2)解:原式===18【解题指南】可先求A∩B= 时的取值范围,再求其补集,即为使A∩B≠ 的的取值范围【解析】当A∩B= 时(1)若A= ,则2-1≥3+2,解得≤-3,此时A∩B=(2)若A≠ ,要使A∩B= ,则应用即所以- ≤≤1综上所述,当A∩B= 时,≤-3或- ≤≤1,所以当&gt;1或-3&lt;&lt;- 时,A∩B≠19【解析】由题意,得3-7&lt;0,所以&lt;因为∈N,所以=0,1或2因为幂函数的图象关于轴对称,所以3-7为偶数,因为=0时,3-7=-7,=1时,3-7=-4,=2,3-7=-1故当=1时,=x-4符合题意,即=x-420 (1)使函数=f(x)-g(x)有意义,必须有解得- &lt;x&lt; 所以函数=f(x)-g(x)的定义域是(2)由(1)知函数=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称f(-x)-g(-x)=lga(3-2x)-lga(3+2x)=-[lga(3+2x)-lga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数=f(x)-g(x)是奇函数21 【解析】(1)由题意知g(x)=lgax(a&gt;0,且a≠1) (2)当a&gt;1时,lgax≤lga(2-3x),得0&lt;x≤ ,所以不等式的解集为同理,当0&lt;a&lt;1时,不等式的解集为综上,当a&gt;1时,不等式的解集为(0, ];当0&lt;a&lt;1时,不等式的解集为22 解：（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2则∵=2x在R上单调递增，且x1＜x2∴，，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2=0，即a=1，…（8分）（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）①由a=1得，∵2x+1＞1，∴，∴，∴故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x2），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴x＜2﹣x2，解得﹣2＜x＜1，故x的取值范围为（﹣2，1）．。

XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

考试时间为120分钟。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。

{0}∈A C。

{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。

0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。

{1} B。

{1，2} C。

{2} D。

{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。

y＝x−1 B。

y＝x−1 C。

y＝1/(x−1) D。

y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。

f（x）与g（x）均为偶函数 B。

f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。

f（x）与g（x）均为奇函数 D。

f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。

a<b<XXX<c<a C。

c<a<b D。

c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。

f（a）>f（2a）B。