【复习必备】(广东专版)2020高考数学二轮复习 客观题限时满分练(一)文

题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。

复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。

2020年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．[﹣2，2）D．（0，2）2．已知复数z=是纯虚数，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且满足等式S7=a5+a6+a8+a9，则的值为（）A．B．C．D．4．学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（）A．B．C．D．5．已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该几何体的体积等于（）A．11πB．5πC．π D．3π6．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E为CD的中点，则•的值是（）A．B．5 C． D．68．某程序框图如图所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57 C．120 D．2479．已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（）A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．1710．已知直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则y=f（x）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=+kπ，k∈Z}B．{x|x=+kπ，k∈Z}C．{x|x=+kπ，k∈Z}D．{x|x=+kπ，k∈Z}11．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为（）A．（，1）∪（1，e﹣1） B．（，1）∪（1，e﹣1]C．（，1）∪（1，e﹣1）D．（，1）∪（1，e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程是_______．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且满足：2S n=a n+1﹣1，则a3+a4+a5=_______．15．三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，则三棱锥D﹣ABC的体积为_______．16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，C的准线和对称轴交于点M，点P是C上一点，且满足|PM|=λ|PF|，当λ取最大值时，点P恰好在以M、F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为_______．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=，ccosB=（2a﹣b）cosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的周长的最大值．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，BA⊥AD，BC∥AD，M是PC的中点，且AB=AD=AP=2，BC=4．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求三棱锥M﹣PBD的体积．19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净，如表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的统计表：x 1 2 3 4 5y 58 54 39 29 10（Ⅰ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；（Ⅱ）若用解析式=cx2+d作为蔬菜农药残量与用水量x的回归方程，令ω=x2，计算平均值和，完成如下表格，求出与x回归方程．（c，d精确到0.01）ω 1 4 9 16 25y 58 54 39 29 10ωi﹣y i﹣（Ⅲ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据≈2.236）．（附：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣．）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，左、右顶点分别为A、B，P是椭圆上一点，记直线PA、PB的斜率为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，以M、N为直径的圆经过原点，且线段MN的垂直平分线在y轴上的截距为﹣，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=alnx﹣x2，g（x）=（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）a=2时，有f（x）≤g（x）恒成立，求整数λ的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，割线PAB交于圆O于A、B两点，PO交于圆O于C，D在AB上，且满足CD2=DA•DB．（Ⅰ）求证：OD⊥CD；（Ⅱ）若PA=6，AB=，PO=12，求PC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为的直线l经过点P（4，2）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．2020年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．[﹣2，2）D．（0，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≥0，解得：x≤﹣2或x≥1，即B=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），∵A=（0，2），∴A∩B=[1，2），故选：B．2．已知复数z=是纯虚数，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=3．故选：A．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且满足等式S7=a5+a6+a8+a9，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意，等差数列{a n}中，有S7=a5+a6+a8+a9，=4a7，进而由等差数列前n项和公式可得S7==7a4，则易求的值．【解答】解：∵S7==7a4，a5+a6+a8+a9=4a7，∴7a4=4a7，∴=．故选：A．4．学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数，由此能求出这两位同学参加同一个体育项目的概率．【解答】解：甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数m=3，∴这两位同学参加同一个体育项目的概率p==．故选：B．5．已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该几何体的体积等于（）A．11πB．5πC．π D．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体．∴该几何体的体积=×3﹣π×12×1=3π，故选：D．6．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线，由此能求出a的取值范围．【解答】解：设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k（x+2），则=，解得k=，∴切线方程为（x+2），由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在（x+2）中，取x=2，得y=，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞4，或a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E为CD的中点，则•的值是（）A．B．5 C． D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将表示为，代入•，展开后利用向量数量积运算得答案．【解答】解：∵E为CD的中点，∴=，又ABCD为菱形，且AB=2，∠DAB=60°，∴•====．故选：B．8．某程序框图如图所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57 C．120 D．247【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出K＞4时，变量S的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环k S循环前/1 1第一圈是 2 4第二圈是 3 11第三圈是 4 26第四圈是 5 57第五圈否故选B．9．已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（）A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．17【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出a的值即可．【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为5，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B截距最小，由，解得，即B（2，﹣1），同时B也在直线ax+y+5=0，即2a﹣1+5=0，解得a=﹣2，故选：B．10．已知直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则y=f（x）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=+kπ，k∈Z}B．{x|x=+kπ，k∈Z}C．{x|x=+kπ，k∈Z}D．{x|x=+kπ，k∈Z}【考点】正弦函数的图象．【分析】根据直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的最值以及最值条件，求得y=f（x）取得最小值时x的集合．【解答】解：∵直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，∴2•+φ=kπ+，求得φ=，故f（x）=sin（2x+），故当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故当y=f（x）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}，故选：C．11．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．【解答】解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为（）A．（，1）∪（1，e﹣1） B．（，1）∪（1，e﹣1]C．（，1）∪（1，e ﹣1）D．（，1）∪（1，e﹣1]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根可转化为函数f（x）=与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解．【解答】解：∵方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，∴函数f（x）=与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，作函数f（x）=与直线y=mx+1的图象如下，，易知直线y=mx+1恒过点C（0，1），且点A（1，e），B（3，e）；故=k AC==e﹣1，=k BC==；f′（x）=e x，f′（0）=e0=1；故=1；故结合函数的图象可知，＜m＜1或1＜m≤e﹣1，故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程是y=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）==，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为k=0，切点为（1，），即有切线的方程为y﹣=0，即为y=．故答案为：y=．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且满足：2S n=a n+1﹣1，则a3+a4+a5=117．【考点】数列递推式．【分析】化简可得a n+1=2S n+1，从而依次求数列的前5项即可．【解答】解：∵2S n=a n+1﹣1，∴a n+1=2S n+1，∴a1=1，a2=2×1+1=3，a3=2×（1+3）+1=9，a4=2×（1+3+9）+1=27，a5=2×（1+3+9+27）+1=81，故a3+a4+a5=9+27+81=117，故答案为：117．15．三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，则三棱锥D﹣ABC的体积为16．【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知得棱锥D﹣ABC的四个顶点在以AC=4、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，∴三棱锥D﹣ABC的四个顶点在以AC=4、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5∴AC2+BC2+AD2=（2×5）2，即48+16+AD2=100，解得AD=6，∴三棱锥D﹣ABC的体积：==16．V D﹣ABC故答案为：16．16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，C的准线和对称轴交于点M，点P是C上一点，且满足|PM|=λ|PF|，当λ取最大值时，点P恰好在以M、F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为+1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PM|=λ|PF|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PM|=λ|PF|，∴|PM|=λ|PN|，则=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PM|﹣|PF|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故答案为： +1．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=，ccosB=（2a﹣b）cosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的周长的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角C 的大小；（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出a +b 的范围即可求△ABC 的周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵ccosB=（2a ﹣b ）cosC=2acosC ﹣bcosC ， ∴ccosB +bcosC=2acosC ，即sinCcosB +sinBcosC=2sinAcosC ， 即sin （B +C ）=2sinAcosC ， 则sinA=2sinAcosC ， 得cosC=，即C=；（Ⅱ）∵c 2=a 2+b 2﹣2abcosCc=，∴a 2+b 2﹣ab=3， 即（a +b ）2=3ab +3， ∵a +b ≥2， ∴ab ≤（）2，∴（a +b ）2=3ab +3≤（a +b ）2+3，得（a +b ）2≤12，则a +b ≤2，当且仅当a=b=时取等号， ∴△ABC 的周长的最大值是3． 18．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平面，BA ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是PC 的中点，且AB=AD=AP=2，BC=4． （1）求证：DM ∥平面PAB ； （2）求三棱锥M ﹣PBD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取PB 的中点N ，连结AN ，MN ，则MN，又ADBC ，故四边形MNAD 是平行四边形，于是MD ∥AN ，所以MD ∥平面PAB ； （2）分别求出棱锥P ﹣ABCD ，棱锥P ﹣ABD ，棱锥M ﹣BCD 的体积，则V M ﹣PBD =V P ﹣ABCD ﹣V P ﹣ABD ﹣V M ﹣BCD ． 【解答】解：（1）取PB 的中点N ，连结AN ，MN ， ∵M ，N 是PC ，PB 的中点， ∴MN，又ADBC ，∴四边形MNAD 是平行四边形，∴MD ∥AN ，又MD ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ， ∴MD ∥平面PAB ．（2）∵PA ⊥平面ABCD ， ∴V P ﹣ABD ===，V P ﹣ABCD ===4． ∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离h==1．∴V M ﹣BCD ===．∴V M ﹣PBD =V P ﹣ABCD ﹣V P ﹣ABD ﹣V M ﹣BCD =4﹣=．19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净，如表是用清水x （单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表： x 1 2 3 4 5 y 58 54 39 29 10 （Ⅰ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 的相关性；（Ⅱ）若用解析式=cx 2+d 作为蔬菜农药残量与用水量x 的回归方程，令ω=x 2，计算平均值和，完成如下表格，求出与x 回归方程．（c ，d 精确到0.01）ω 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10ωi ﹣y i ﹣（Ⅲ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据≈2.236）． （附：线性回归方程=x +中系数计算公式分别为：=， =﹣．）【考点】线性回归方程．【分析】（I）以x为横坐标，以y为纵坐标描点，根据散点图的特点判断正相关还是负相关；（II）先计算表格中的数据，使用回归系数公式求出y关于ω的回归方程，再用x2替换回归方程中的ω；（III）令y＜20解不等式即可．【解答】解：（I）作出散点图如图：由散点图可知变量x与y负相关．（II）==11，==38．填写表格如下：ω 1 4 9 16 25y 58 54 39 29 10﹣10 ﹣7 ﹣2 5 14y i﹣20 16 1 ﹣9 ﹣28∴=（﹣10）×20+（﹣7）×16+（﹣2）×1+5×（﹣9）+14×（﹣28）=﹣751，=100+49+4+25+196=374．∴c=≈﹣2.01，d=38﹣（﹣2.01）×11=60.11．∴=﹣2.01ω+60.11=﹣2.01x2+60.11．（III）令＜20，得﹣2.01x2+60.11＜20，解得x＞≈4.5．∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水洗一千克蔬菜．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，左、右顶点分别为A、B，P是椭圆上一点，记直线PA、PB的斜率为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，以M、N为直径的圆经过原点，且线段MN的垂直平分线在y轴上的截距为﹣，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=1，设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，计算可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆x2+2y2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设P（m，n），可得+=1，即=﹣，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），即有k1k2=•=﹣=﹣，解得a=，b=1，可得椭圆的方程为+y2=1；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆x2+2y2﹣2=0，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，判别式为16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）＞0，即有1+2k2＞m2，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，由题意OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，即为（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，即（1+k2）•+km（﹣）+m2=0，化简可得3m2=2+2k2，①又MN的中点为（﹣，），由MN的垂直平分线经过点（0，﹣），可得垂直平分线的方程为y=﹣x﹣，代入中点坐标可得=﹣•（﹣）﹣，化简可得5m=1+2k2，②由①②解得m=（负的舍去），k=±，检验判别式大于0成立，直线l的方程为y=±x+．21．已知函数f（x）=alnx﹣x2，g（x）=（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）a=2时，有f（x）≤g（x）恒成立，求整数λ的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，求出导函数的零点，由函数零点对定义域分段，结合导函数的符号可得原函数的单调区间；（Ⅱ）当a=2时，由f（x）≤g（x），得2lnx﹣x2≤（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2，分离参数λ，得在x∈（0，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=，两次求导可得g（x）max∈（1，2）．由此求得整数λ的最小值为2．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，令f′（x）=0，得x=（舍去负值），当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减；（Ⅱ）当a=2时，由f（x）≤g（x），得2lnx﹣x2≤（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2，即（x2+2x）λ≥2lnx+2x+2．∵x＞0，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．令g（x）=，则．令h（x）=﹣2lnx﹣x，∵，∴h（x）在（0，+∞）上递减，且x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→﹣∞．∴h（x）在（0，+∞）必存在唯一零点，不妨设h（x0）=0，即2lnx0=﹣x0．∴当x∈（0，x0）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减．因此，=．∵，，∴，1．即g（x）max∈（1，2）．依题意有λ≥2，即整数λ的最小值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，割线PAB交于圆O于A、B两点，PO交于圆O于C，D在AB上，且满足CD2=DA•DB．（Ⅰ）求证：OD⊥CD；（Ⅱ）若PA=6，AB=，PO=12，求PC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）延长CD，交圆O于E，证明D是CE的中点，即可证明：OD⊥CD；（Ⅱ）延长PO交圆O于F，由割线定理得PC•PF=PA•PB，代入数据求PC的长．【解答】（Ⅰ）证明：延长CD，交圆O于E，由相交弦定理得CD•DE=DA•DB，∵CD2=DA•DB，∴CD=DE，∴D是CE的中点，∴OD⊥CD；（Ⅱ）解：延长PO交圆O于F，由割线定理得PC•PF=PA•PB，设圆O的半径为r，则（12﹣r）（12+r）=6×（6+），∴r=8，∴PC=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为的直线l经过点P（4，2）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的参数方程为：，化简即可得出（t为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：t2+t+4=0．由于A，B两点在点P的同侧，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．【解答】解：（I）直线l的参数方程为：，即（t为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为：（x ﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2+t+4=0．∴t1+t2=﹣．∵A，B两点在点P的同侧，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到|x+1|+|x﹣a|＞|a+1|＜2，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥5，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，x≤﹣2，﹣1＜x＜2时，x+1﹣x+2≥5，x∈∅，x＞2时，x+1+x﹣2＞5，x＞3，∴x∈{x|x≤﹣2或x≥3}；（Ⅱ）∵|x+1|+|x﹣a|＞|（x+1）﹣（x﹣a）|=|a+1|，∴|a+1|＜2，∴﹣3＜a＜1．2020年9月8日。

满分练(一) 阅读理解+七选五(限时:40分钟)Ⅰ.阅读理解A(福建厦门二模)ACenturyInCirculationTHIS YEAR’S ANNUAL CLASSICS COLLECTION is particularly special given it is the magazine’s 100th anniversary year.Peeling back the covers of the thousands of editions,published in numerous countries,and dating back to the first issue in February 1922,is always a task we enjoy doing.This collection offers a wide range of different subjects.Each one we hope will inform,delight,amuse and perhaps even confound(使惊讶) our readers:from stepping inside the French artistPierre-Auguste Renoir’s inner circle of friends(‘Renoir’s Invitation To A Party’,page 90),to finding peace from depression in a solitary walk on the beach(‘The Day At The Beach’,page 110)and meeting a cat who held a family together as they began to fall apart(‘A Pretty Good Teacher,For A Cat’,page 22).My favourite article,‘Exploits Of Charles’(page 104),is written by a mother about the increasingly odd behaviour of a little boy in her young son’s kindergarten class.What a handful thi s young Charles proves to be.Hispoormother!,she thinks to herself.I’m certain you’ll enjoy this amusing and relatable account of a small boy adjusting to his new classmates and teacher.With an endless supply of wonderful stories,surprising insights and ex periences to share,Reader’sDigest remains a place to find fresh perspectives—and a great read.Happy reading!LOUISE WATERSONEditor-in-Chief1.Where can we read about a cat?A.On page 90.B.On page 110.C.On page 22.D.On page 104.2.Which article attracts Louise most?A.Renoir’sInvitationToAPartyB.TheDayAtTheBeachC.APrettyGoodTeacher,ForACatD.ExploitsOfCharles3.What is this text?A.Readers’ review.B.Editor’s note.C.Authors’ reflection.D.Publisher’s acknowledgement.B(安徽池州一模)Miss Baugh taught seventh-grade social studies.She was the kind of teacher that perhaps everyone has had at least once:scary.In class,she always taught us to take school seriously.She had been teaching for a long time and I was as afraid of her as anyone,including the boys who were typically naughty in the back row.But I also had a life outside of school and had just discovered cheap objects for pranks.One such prop(道具) had two parts:an ink bottle painted to look as though it had overturned,and a piece of shiny black metal shaped like a pool.Of all the people I could have tricked,uneiss Baugh.At the beginning of the class,I opened her book and placed the props on one of the pages.Then I waited for the fun.When Miss Baugh saw the bottle and the spilled ink,she let out a little cry and looked for something to wipe up the ink with.The trick had succeeded beyond my expectations.But then I suddenly knew I had no control over what would happen neiss Baugh tried to remove the ink with a paper towel,she discovered it was just a piece of black metal.She picked it up,her eyes sweeping the classroom with a deadly gaze.Then came the question:“Who did this?”After some hesitation,I raised my hand.Miss Baugh fie,and my classmates.And then,most unexpectedly,she laughed.“Well,it certa inly fooled me!” she said.She returned the props to me,andfor a few seconds a sweet little aged lady appeared right where Miss Baugh stood.We got back to having a class.But something had changed for me.I began to realize that,if someone like Miss Baugh had a warm heart beneath that crusty surface,then other crusty people would probably do,too.That may have been the most valuable lesson I learned.4.Which words best describe Miss Baugh according to paragraph 1?A.Serious and experienced.B.Easy-going and selfless.C.Naughty and demanding.D.Scary and narrow-minded.5.What does the underlined word “pranks” probably mean in paragraph 2?A.Bets.B.Experiments.C.Tricks.D.Strategies.6.What can we learn from paragraph 4?A.Miss Baugh’s stare wasn’t as terrifyi ng as before.B.The author was given away and finally raised his hand.C.Miss Baugh burst into laughter and gave the props back.D.A little aged lady entered the classroom to give a lecture.7.What valuable lesson did the author learn?A.Crusty people can be easily changed.B.Crusty people may be friendly to others.C.Crusty people are difficult to get along with.D.Crusty people are sensitive to others’ feelings.C(广东茂名二模)Do you often compare yourself to other people?Comparisons can help to make decisions and motivate you but they can also pull you into a comparison trap.Whether it’s the number of goals you’ve scored at football or how many books you’ve read,it’s easy to compare yourself to someone else.Scientists say it’s a natural behaviour that helps humans learn from each other,live happily together and achieve more.Although comparing can be good for you,it’s not always helpful and you can find yourself stuck in a comparison trap.Thisis when you always measure yourself against others and base your feelings on how well they seem to be doing.Becky Goddard-Hill is a child therapist (someone who helps children understand their feelings) and author of CreateYourOwnConfidence.She says that comparisons can make us feel good and bad about ourselves.“Comparing up” means seeing someone doing better than you and using that to inspire yourself to aim higher and try harder.However,Goddard-Hill says,“Sometimes it can make you feel rubbish about yourself and knock your confidence.”“Comparing down” is when you see so meone who seems like they’re not doing as well as you.This might make you feel you’re doing well,says Goddard-Hill,but it can also stop you wanting to improve.If your feelings depend on what other people aredoing,“Surround yourself with cheerleaders,” su ggests Goddard-Hill.Notice how people make you feel and spend time with friends who celebrate your strengths rather than compare themselves to you.If you follow social media accounts that make you feel youare failing in any way,unfollow them.“Find ones th at make you laugh or show you lovely places instead,” she says.Finally,focus on your own achievements and how you can improve.“The best person you can compete with is yourself,” says Goddard-Hill.8.How does a comparison trap affect us?A.It makes us focus on our own behaviour.B.It stops us from learning from each other.C.It prevents us from living happily together.D.It bases our feelings on others’ achievements.9.What’s true about “Comparing up” and “Comparing down”?A.Both of them usually enhance our confidence.B.Both of them have advantages and disadvantages.C.The former is positive while the latter is negative.D.The former makes us feel good while the latter makes us feel bad.10.What does Goddard-Hill suggest?A.Aiming to be our best.B.Trying to be the best.C.Trying to be a cheerleader.D.Valuing someone else’s achievements.11.In which section of the magazine can you find the passage?A.Achievement.B.Entertainment.C.Health.D.Politics.D(安徽安庆二模)Homemade biodiesel (生物柴油) helps you speed past the gas station towards fuel independence.Our expert outlines processing used cooking oil in a small DIY plant.If you’re guiding your household towards a moreself-sufficient lifestyle,maybe you’d like to add do-it-yourself fuel to your list of goals.Biodiesel can be created from waste vegetable oil or animal fats,which you can collect free from restaurants,or you can grow soybeans (大豆) to press your own oil.Process the oil with a couple of chemicals to produce homemade fuel that can run any device—including pickups,cars,and home heating systems.First,find a reliable source of raw material.Try sourcing used cooking oil from restaurants,functional food companies.If you’re planning to sell your biodiesel,begin by analyzing the available raw material supply,and make plans to size your operation accordingly.Next,build your plant,sized to your raw material supply.A small family operation can fit in the corner of a garage,within the footprint of a single parking space.Allow enough space for a water heater,a tank for storing your incoming feedstock,and a tank for washing your fuel.For starters aim to line up enough feedstock to meet your family’s fuel requirements.If you’re collecting used cooking oil fromrestaurants,eaterial you gather will be water and bits of fried food.Water is not your friend when making biodiesel,so you’ll need to remove it by heating the oil and allowing the contaminants (污染物) to settle to the bottom before you pour the oil of the top.You’ll have to make a plan for getting rid of the oily wastewater.Home biodiesel production is not without risks.Making your own fuel will require great attention to detail and safety.Now you know the basics of how to make biodiesel,but you’ll need to research carefully before you begin production.12.Where can you get the materials of biodiesel?A.Oil plants.B.Varied restaurants.C.Abandoned garages.D.Local companies.13.What is the author’s attitude to the use of biodiesel?A.Tolerant.B.Positive.C.Unwilling.D.Opposed.14.What can we infer about biodiesel production from the last two paragraphs?A.It needs enough water.B.It goes without any risks.C.It requires little attention.D.It needs to be improved.15.What is the tee research on biodiesel.B.An eportance of biodiesel.D.One way to make biodiesel.Ⅱ.七选五(安徽淮南二模)Raising children is limitlessly rewarding but no doubt challenging.Here are some tips for raising a happy,healthy and responsible child.1 Studies find that kids who have televisions in their bedrooms are more likely to be overw eight.When a TV is in a child’s bedroom,you have no control over what he’s watching,and you don’t have any opportunities for family bonding time—when everyone lies onto the sofa to watch a favorite show.Get them used to doing chores from an early age.We all know a parent who still makes her high school daughter’s lunch every day.2 By the time your two-year-old begins talking,he’s old enough to start helping around the house.3 If you really want to teach your teen about money,then stop handing over t he credit card and the “allowance”.Instead,put your kid on a budget,open a checking account for him or her,and letyour teen really learn how to manage money.Tell your kid that all clothing,movies,entertainment,fast food,and cell phone bills will come out of his or her checking account which you fund. 4 Just make sure you also set up a savings account for your teen and insist that at least one third of any savings or money from you be put away.Imagine the future with your children. 5 By age ten,kids are old enough to start looking ahead and figure out the value of an education.Studies find that teens who can imagine themselves with a future are less likely to do those things that destroy a future.A.Get the TV out of the bedroom.B.Don’t find yourself i n this situation!C.Teach them how checking accounts work.D.Start an activity that you can do with your teen.E.If your son or daughter has a job,then cut back the amount.F.You reduce the risk that your child will engage in such behavior.G.It’s never to o early to begin talking to your child about his or her future.答案：满分练(一) 阅读理解+七选五Ⅰ.A[语篇解读]本文是一篇应用文。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。

化州市2020年第二次高考模拟考试 数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案DADBCBBBCCDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)45(14) 1 (15) 21 (16) 34 三、解答题：本大题共7小题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2sin 3B A =，所以23b a =．所以3a =------------------------------2分 所以222222()33cos 22323b b ac b B b ac b +-+-===． -----------------6分（Ⅱ）因为2a =，所以3b c ==又因为3cos 3B =，所以6sin 3B =．----------------------------8分 所以116sin 23222ABCS a c B =⋅⋅=⨯=． --------------12分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AO 中点为E ，连,DE BE ，如图因为,AD DO AB BO ==， 所以,DE AC BE AC ⊥⊥，且=DE BE E ， -------------------3分又DE BE ⊆，平面BDE ，EODCBA所以AC ⊥平面BDE ， ------------------------------4分 又因为BD ⊆平面BDE ，所以AC BD ⊥。

------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE AC ⊥，又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面=ABC AC ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以三角形BDE 为直角三角形， ------------------------------7分又因为,ADO ABO ∆∆为等腰直角三角形，斜边AO =所以=4BO DO =，DE =BE = 所以在Rt BDE ∆中，可得4BD =， 所以BDO ∆是边长为4的等边三角形，取DO 中点为F ，连BF ，可知BF =，-------------------------9分所以将BDO ∆绕DO 旋转一周，所得旋转体是以2为高的两 个公共底面的圆锥。

考点二十 坐标系与参数方程解答题1．在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解 (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2， |MN |＝|ρ1－ρ2|＝2， ∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.2．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ＋1，y ＝t －1(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程并说明各曲线名称； (2)判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系？若相交，求出弦长． 解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2t ＋1，y ＝t －1消去t 得x －2y －3＝0，所以曲线C 1的普通方程为x －2y －3＝0，是斜率为12的直线．由ρ＝4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，配方得(x －2)2＋y 2＝4，即曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，是以(2,0)为圆心，2为半径的圆． (2)由(1)知，曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝|2－0－3|5＝55<2， 所以曲线C 1与曲线C 2相交，弦长为222－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝2955.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)求曲线C 的普通方程，及直线l 的参数方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长． 解 (1)曲线C 的参数方程化成普通方程为x 24＋y 23＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以l 的直角坐标方程为x －y －3＝0，其倾斜角为π4，过点(3，0)，所以直线方程化成参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4(t 为参数，且t ∈R )．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 23＝1，得7t 2＋66t －6＝0，Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384>0，设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867.故直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为867.4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.5．(2019·河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线C ：ρ＝2sin θ上任一点，点P 满足OP →＝3OM →.设点P 的轨迹为曲线Q .(1)求曲线Q 的平面直角坐标方程；(2)已知曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线l ：⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝t (t 为参数)相交于A ，B 两点，求|OA |＋|OB |的值．解 (1)设P (ρ，θ)，∵OP→＝3OM →，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，θ，代入曲线C ，得ρ3＝2sin θ，即曲线Q 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，∵ρ2＝6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝6y ，∴x 2＋(y －3)2＝9， ∴曲线Q 的平面直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9. (2)曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N 的方程为 x 2＋(y －4)2＝9.l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝22t ，两方程联立得t 2－42t ＋7＝0， ∴t 1＋t 2＝42，t 1t 2＝7，∴|OA |＋|OB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝4 2.6．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解 (1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.解答题1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中， |OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ， 所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos ∠AOB 的值．解(1)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t得，其普通方程为y ＝x ＋2，∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2. 又∵圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5， 将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)将直线l ：ρsin θ＝ρcos θ＋2，与圆C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ联立，得(4cos θ＋2sin θ)(sin θ－cos θ)＝2， 整理得sin θcos θ＝3cos 2θ， ∴θ＝π2或tan θ＝3.不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan θ＝3. 于是，cos ∠AOB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝31010.3．(2019·湖北4月调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α是参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫0<β<π2与曲线C 1交于O ，A 两点，与曲线C 2交于O ，B 两点，求|OA |＋|OB |取最大值时tan β的值．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α得x 2－22x ＋y 2＝0，将⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入得ρ＝22cos θ， 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22cos θ. 由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，将⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入得x 2＋y 2＝4y ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)设点A ，B 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ2，θ)，将θ＝β⎝ ⎛⎭⎪⎫0<β<π2分别代入曲线C 1，C 2的极坐标方程得ρ1＝22cos β，ρ2＝4sin β，则|OA |＋|OB |＝22cos β＋4sin β＝26⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β·63＋cos β·33＝26sin(β＋φ)，其中φ为锐角，且满足sin φ＝33，cos φ＝63， 当β＋φ＝π2时，|OA |＋|OB |取最大值，此时β＝π2－φ，tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝cos φsin φ＝6333＝ 2. 4．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ(t 为参数，0≤φ<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，l 与C交于不同的两点P 1，P 2.(1)求φ的取值范围；(2)以φ为参数，求线段P 1P 2中点M 的轨迹的参数方程． 解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x 2＋y 2可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1，得t 2－4t sin φ＋3＝0. (*) 由Δ＝16sin 2φ－12>0得|sin φ|>32. 又0≤φ<π，所以φ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3.(2)由(1)中的(*)可知t 1＋t 22＝2sin φ， 代入⎩⎨⎧ x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ得⎩⎨⎧x ＝2sin φcos φ，y ＝－2＋2sin 2φ， 整理得P 1P 2中点M 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝sin2φ，y ＝－1－cos2φ⎝⎛⎭⎪⎫φ为参数，π3<φ<2π3.5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α<π)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的坐标为(1,0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求1|MA |＋1|MB |的值．解 (1)曲线ρ2＝21＋sin 2θ，即ρ2＋ρ2sin 2θ＝2， ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1.(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋2y 2＝2并整理得(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0，∴t 1＋t 2＝－2cos α1＋sin 2α，t 1·t 2＝－11＋sin 2α，∴1|MA |＋1|MB |＝|MA |＋|MB ||MA |·|MB |＝|AB ||MA |·|MB |＝|t 1－t 2|－t 1·t 2，∵|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α(1＋sin 2α)2＋41＋sin 2α＝221＋sin 2α，∴1|MA |＋1|MB |＝221＋sin 2α 11＋sin 2α＝2 2.6．(2019·江西省名校5月联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t (t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值． 解 (1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，得y 2＝4x ，所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得12t 2－2t ＋1－4a ＝0，由Δ＝(－2)2－4×12×(1－4a )>0，得a >0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|P A |＝2|PB |得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2(1－4a )，解得a ＝136；当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2(1－4a )，解得a ＝94，综上，a ＝136或94.。

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题文本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B． C． D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.绝密★启用前2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为，所以．………………………………………………1分化简得．………………………………………………2分即．………………………………………………………………………3分因在中，，则．……………………………4分从而．…………………………………………………………………………… 5分由正弦定理，得．所以． (6)分（2）由（1）知，且，所以．……………………………………………………7分因为，所以．……………………………………9分即．所以．……………………………………………………………………………………………10分所以．所以△的面积为． (12)分18．（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．…………………………………1分因为为的中点，所以．……………2分在△中，，为的中点，所以．………………………………………3分因为，所以平面．………4分因为平面，所以．………………………………………………………………5分（2）解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………6分在△中，，，，因为，所以．……………………………………………………………7分【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】由（1）有，且，平面，平面，所以平面．…………………………………………………………………………………8分在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．…………………………………………………………………9分在△中，，，所以．………………………………………………………10分设点到平面的距离为，因为，即．……………………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………………6分过点作于点．…………………………7分由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．…………………………………8分在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分在△中，，，，因为，所以．…………………………………………………………10分【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】在△中，根据等面积关系得．…………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．…………………………………2分（ⅱ）…………3分…………………………………4分．…………………………………………………………………………5分因为，，所以． (6)分由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强． (7)分（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】……………………………10分所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．……………………………………11分所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………………12分【结论没写%扣1分】20．解：（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，………………………………………………………………………1分即 (2)分因为点在抛物线上，所以，即．………………………………………………………………………3分所以点的轨迹的方程为．…………………………………………………………………4分（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………5分设点，则．………………………………………………………6分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………7分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………8分如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．…………………………9分因为．所以．………………………………………………………………10分即，解得或．……………………………………………………………11分故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．…………………………………………………6分设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………7分设点，则．………………………………………………………8分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………9分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………10分若点满足要求，则满足．因为．……11分所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分21．（1）解：当时，，函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分且．……………………………………………………………………………2分设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………3分所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………………4分即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………………5分因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．…………………………………………………6分（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分当时，，………………………………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分即当时，所以在上单调递增．……………………………………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分证法2：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．……………………………………………8分可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分则．所以，即在定义域上单调递增．…………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分解法2：因为直线的参数方程为（为参数），则有……………………………………………………………2分所以直线的直角坐标方程为．………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分因为，可设该方程的两个根为，，则，．……………………………………………………7分所以．…………………………………………………………8分整理得，故．…………………………………………………………………………………9分因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分②当时，直线的方程为．所以，………………………………………………………………8分整理得．解得．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分当时，，解得．当时，，解得．…………………………………………………………4分综上可知，不等式的解集为．……………………………………5分（2）解法1：由，得．则．…………………………………………………………………………………6分令，则问题等价于因为……………………………………………………………………9分．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分解法2：因为，………………………………………………6分即，则．……………………………………………7分所以，…………………………………………8分当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分。

2020年广东省佛山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，1，2，，则A. 1，B.C.D. 2，2.复数z满足，则A. 1B.C.D. 23.下列命题中假命题的是A. ，B. ，C. ，D. ，4.等差数列中，其前n项和为，满足，，则的值为A. B. 21 C. D. 285.已知非零向量，，满足，且，则与的夹角是A. B. C. D.6.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.变量x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数m等于A. B. C. 1 D. 28.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则A. 4B. 6C. 8D. 109.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为如图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：同比，环比下列结论中不正确的是A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低10.已知，，则A. B. 或1 C. D. 或111.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C、已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的有双纽线经过原点O；双纽线C关于原点O中心对称；；双纽线C上满足的点P有两个．A. B. C. D.12.已知正四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥的高为2，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三班，则高三班包揽冠亚军的概率为______．14.数列满足，若，则______．15.已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，，为曲线C左右焦点．若，且满足，则双曲线的离心率为______．16.已知函数的图象关于原点对称，则______；若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．求角B的大小；若角B的平分线交AC于点D，求的面积．18.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技佛山智造全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．如表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量件与相应的生产总成本万元的四组对照数据．x57911y200298431609工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型：；模型：其中模型的残差实际值预报值图如图所示：根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；市场前景风云变幻，研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下：销售单价分组万元频数1064若以这个月销售单价的平均值定为今后的销售单价同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结合你对的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润．19.已知椭圆C：的离心率为，且过点．求椭圆C的方程；过坐标原点O的直线与椭圆交于M，N两点，若椭圆上点P，满足，试证明：原点O到直线PM的距离为定值．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，设平面平面．证明：；若平面平面PCD，求四棱锥的体积．21.已知函数，其中．当时，求证：过原点O且与曲线相切的直线有且只有一条；当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；设点M的极坐标为，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，若，求的值．23.已知函数，．若，求实数a的取值范围；证明：对，恒成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，1，2，，．故选：B．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为复数z满足，；则；故选：A．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：根据对数函数的值域可知，当时，，所以A正确；根据指数函数的值域可知，对一切实数，，所以B正确；由正弦函数的图象可知，存在，，取，不等式即可成立，所以C正确；由二次函数，指数函数的图象可知，存在，不成立，如取，，所以D不正确．故选：D．根据指数函数，对数函数的性质，容易判断AB的真假，通过正弦函数，以及二次函数，指数函数的图象可以判断CD的真假．本题主要考查指数函数，对数函数的性质应用，正弦函数，二次函数，指数函数的图象应用，以及特称命题，全称命题的真假判断，属于基础题．4.答案：C解析：解：，，，，解得，，，故选：C．利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.答案：A解析：解：设非零向量，的夹角为，，且，，即，解得；又，，即与的夹角是．故选：A．根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出向量、夹角的余弦值，即可求出夹角的大小．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题目．6.答案：B解析：解：根据函数的部分图象，结合五点法作图，可得，，求得，，故选：B．由题意根据正弦函数的图象特征，结合五点法作图，求出的值．本题主要考查正弦函数的图象特征，五点法作图，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：．故选C．8.答案：D解析：解：抛物线C：的准线方程为，点在准线上，即，抛物线的方程为即．设点B的坐标为，，对求导可得，，直线AB的斜率为，由、可知，，解之得，或舍负，点，由抛物线的定义可知，．故选：D．由点在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为，，通过对抛物线方程求导，可得点B处切线的斜率，也就是直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解．本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：由折线图知：从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；在B中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；在C中，从2019年每月的同比增长率看，2019年全年居民消费价格比2018年涨了，故C正确；在D中，从2019年每月的同比增长率看，2019年2月份的居民消费价格全年最低，故D错误．故选：D．根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：C解析：解：，，可得：，，，，可得．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简已知等式可得，结合范围，可求，可得的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．11.答案：B解析：解；根据双纽线C的定义可得，，将，代入，符合方程，所以正确；用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，正确；根据三角形的等面积法可知，，即，亦即，正确；若双纽线C上点P满足，则点P在y轴上，即，代入方程，解得，所以这样的点P只有一个，错误．故选：B．先根据双纽线定义求出其方程，再根据各命题的信息逐个判断即可得出其真假．本题主要考查新定义的应用，以及通过方程研究曲线的简单几何性质，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图，设正四棱锥的底面边长为2a，则底面ABCD所在圆的直径为，又正四棱锥的高为2，侧棱长为，斜高为，则，由正弦定理可得：侧面所在圆的直径为．该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，，解得．设正四棱锥的外接球的半径为R，则，解得．球O的表面积为．故选：A．由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，由四棱锥的高及五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同求解a，再由勾股定理求解球的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三班，获得冠亚军的两名学生的基本事件总数，高三班包揽冠亚军包含的基本事件个数，则高三班包揽冠亚军的概率为．故答案为：．获得冠亚军的两名学生的基本事件总数，高三班包揽冠亚军包含的基本事件个数，由此能求出高三班包揽冠亚军的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：2解析：解：数列满足，可得，，所以，所以数列的奇数项相等，若，则．故答案为：2．利用数列的递推关系式，推出数列的奇数项之间的关系式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查．15.答案：解析：解：点P在双曲线C的右支上，且满足，即有O为外接圆的圆心，即有，由双曲线的定义可得，，所以，则，，由，即，即有，，故答案为：．点P在双曲线C的右支上，且满足，即有O为外接圆的圆心，即有，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键．16.答案：解析：解：函数的图象关于原点对称，即为奇函数，由，即，可得，则，作出的图象，如右图．由，时，，解得；时，，解得或，则关于x的不等式在区间上恒成立，可得，，，由可得恒成立，由在递减，可得y的最大值为，即有；由可得恒成立，由在递增，可得y的最大值为，即有，再由在递减，可得y的最小值为，即有，可得，综上可得b的范围是．故答案为：，．由题意可得为奇函数，可得，解方程可得a的值；画出函数的图象，由，解方程，可得或，，结合图象和题意，以及不等式恒成立问题解法，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数恒成立问题解法，注意数形结合思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.答案：解：由已知：，在中，由余弦定理得，解得，．由余弦定理得．又因为，．由知，，．在中，．由正弦定理得，，得．所以的面积．解析：先利用余弦定理求出b，c的值，然后再用余弦定理求出B；先在三角形ABD中，利用余弦定理求出A，然后结合两角和与差的三角公式求出，再利用正弦定理求出AD，最后利用面积公式求出面积．本题考查正余弦定理的应用及面积公式，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识以及学生的运算能力，属于中档题．18.x 5 7 9 11y 200 298 431 60920 21模型的残差图如图所示．模型更适合作为y关于x的回归方程，因为：理由1：模型这4个样本点的残差的绝对值都比模型的小；理由2：模型这4个样本的残差点落在的带状区域比模型的带状区域更窄；理由3：模型这4个样本的残差点比模型的残差点更贴近x轴．这20个月销售单价的平均值为，设月利润为Z万元，由题可知，，当时，万元，当月产量为12件时，预测当月的利润为295万元．解析：模型更适合作为y关于x的回归方程．先根据模型：逐一算出四组数据的残差，并整理成表，再作出残差图，然后对比模型与，从残差的绝对值大小、残差点分布的带状区域的宽窄或残差点离x轴的远近进行理由阐述即可；先根据频数分布表算出这20个月销售单价的平均值，设月利润为Z万元，则，再把代入，求出Z的值即可得解．本题主要考查残差的概念与性质、频数分布表中平均值的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：解：解：设椭圆的半焦距为c，由题设可得，结合，解得，，所以椭圆出的方程为：；证明：当直线PM的斜率不存在时，依题意可得：直线MN的方程为或，从而可得直线PM的方程为或，此时原点到直线PM的距离为；当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为：，设，，由题设知，联立，可得：，则，，．，整理得又原点O到直线PM的距离．故原点O到直线PM的距离为定值．解析：由题设列出含a与b的方程组，解出即可得椭圆C的方程；根据直线PM的斜率是否存在进行讨论，联立直线PM与椭圆的方程，得到坐标之间的关系式，求出原点O到直线PM的距离，即可证明结论．本题主要考查椭圆标准方程的求法及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．20.答案：证明：底面ABCD是平行四边形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB，平面平面，而平面PCD，，则；解：连接AC，BD交于点O，则O是AC，BD的中点，连接PO，，，，．又，平面ABCD．过点P作，作，连接EF．，，．，．，则EF过点O．平面平面PCD，，则，．四棱锥的体积．解析：由底面ABCD是平行四边形，得，可得平面PAB，结合平面平面，得到，由平行公理可得；连接AC，BD交于点O，则O是AC，BD的中点，证明平面再求解三角形求得PO 与底面积，则四棱锥的体积可求．本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的应用，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.答案：证明：函数，其中．，曲线上任意一点处的切线方程为，此切线过原点O当且仅当，即，，当时，则方程有且只有一个解，曲线在原点处的切线过原点O，综上所述，当时，过原点O且与曲线相切的直线有且只有一条，即直线．解：令，则，若，则，故F在上单调递增，因此，当时，，若，则，当时，，，令，则，从而当时，，，于是：若，则，故在上单调递增，因此当时，，进而，故F在上单调递增，因此当，，若，则存在，使得，当时，，，故在上单调递减，因此当时，，进而，故F在上单调递减，因此，当时，，综上所述实数a的取值范围为解析：根据导数的几何意义即可证明，构造函数，求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出a的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，所以该曲线为以为圆心，2为半径的圆．转换为直角坐标法方程为转换为极坐标方程为．设，，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，所以，，由于，所以，则，整理得．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由，得．当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，此不等式无解；当时，不等式化为，解得．综上，原不等式的解集为或；证明：要证明对，恒成立，需证明对，恒成立，即．，证，即．，原命题成立．解析：由，得然后分，，三类转化为关于a的不等式组求解；要证明对，恒成立，即，也就是，利用绝对值的不等式变形后再由基本不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用放缩法证明不等式，是中档题．。

客观题限时满分练(六)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x ＜3}，N ＝{x |x 2－4x －5＞0}，则M ∩(∁R N )＝( ) A ．[－1，8) B ．(0，5] C ．[－1，5) D ．(0，8) 解析：集合M ＝{x |0＜x ＜8}，N ＝{x |x ＞5或x ＜－1}， ∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以M ∩(∁R N )＝(0，5]． 答案：B2．已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：z ＝a 1－2i ＋i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，因为复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数， 所以－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.答案：D3．已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：0＜a ＝20.9＜2，c ＝log 123＝－log 23＜0.又b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3233＝9＞8，则b ＞2.故b ＞a ＞c . 答案：C4．(2018·邯郸质检)下列说法中正确的是( ) A ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R ，2x＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0＜0 C ．命题“若a ＞b ＞0，则1a ＜1b”的逆命题是真命题D ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”成立的充分不必要条件解析：对于选项A ，由a ＞1，b ＞1，易得ab ＞1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定为特殊命题，所以命题p ：∀x ∈R ，2x＞0的否定为¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a ＜1b，则a ＞b＞0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a ＞b ”并不能推出“a 2＞b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．答案：A5.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O 内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( )A ．275B ．300C ．550D ．600解析：依题意，设AB ＝1，故阴影部分的面积S 1＝2×34×12＝32，圆O 的面积S 2＝π×12＝π， 故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×32π≈550.答案：C6．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ； ③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是( )A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③解析：对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B.对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．答案：A7．在数列{a n }中，a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，a 1＝2， 令n ＝1，得2a 1＝a 2，所以a 2＝4； 令n ＝2，得3a 2＝2a 3，所以a 3＝6. 答案：B8．(2018·广州质检)已知锐角△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( )A.21B.17C.29 D ．5所以c sin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3.又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理得，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，所以(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案：A9．(2018·全国大联考)若执行下面的程序框图，则输出的结果为( )A ．180B ．182C ．192D ．202 解析：循环一次后，S ＝2，m ＝2. 循环两次后，S ＝7，m ＝3. 循环三次后，S ＝20，m ＝4. 循环四次后，S ＝61，m ＝5.循环五次后，S ＝182，m ＝6.不满足S ＜120？退出循环体，输出S ＝182. 答案：B10．(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3cos(ωx －π2)－cos ωx (0＜ω＜3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向右平移2π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以π3ω－π6＝k π(k ∈z )，ω＝3k ＋12.又0＜ω＜3，取ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6，当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin(x 2－π3－π6)的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数．答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，3]解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]， 当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]．所以f (x )的值域是[－2，6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6. 所以－1≤a 2－2a ≤3，解得－1≤a ≤3. 答案：C12．(2018·东莞调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，若FP →＝3FQ →，则双曲线的离心率为( )A.62 B.52 C. 3 D.102解析：不妨设F (－c ，0)，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y ＝ab (x ＋c )，与y ＝－b ax 联立，得x Q ＝－a 2c ，与y ＝b a x 联立得x P ＝a 2cb 2－a2，因为FP →＝3FQ →，所以a 2c b 2－a 2＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ＋c .所以a 2c 2＝(c 2－2a 2)(2c 2－3a 2)，两边同除以a 4，得e 4－4e 2＋3＝0，则e 2＝3或e 2＝1， 又e ＞1，知e ＝ 3. 答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．) 13．若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝________．解析：原式可化为：2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，两边同时平方得，4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 解得sin 2θ＝－23.答案：－2314．某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，则该几何体的体积等于________．解析：由三视图知，该几何体是由一长方体、一半球与一个圆锥构成的组合体．V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π. V 圆锥＝13·π×12×1＝π3，故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝12＋π.答案：π＋1215．(2018·青岛质检)已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1，表示的平面区域内，已知两点A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________．又k AB ＜2，所以点C 到AB 所在直线的距离最大， 易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)．所以C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝ 2.故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1.答案：116．圆心在抛物线y ＝12x 2(x ＜0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为___________________________________．解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12a 22＝r 2(a ＜0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝1.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1。

2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的） 1 ( 5分)已知集合U {1 , 2, 3, 4, 5}, A {2 , 3, 5}, B {2 , 5}，则( ){3}A •A BB .«UB {1 , 3, 4} C .A UB {2， 5} D . A | B 2. ( 5 分) 若(x i)iy 2i ,x , yR ，则复数x yi 的虚部为 ()A . 2B .1 C . iD . 13. ( 5 分) 已知函数 f (x)在点(1 , f（1））处的切线方程为x 2y2 0」f(1) f(1)()A . 3B .1C .1D . 0224. ( 5 分)函数f (x)As in(x )(A0, 0,| |2）的图象如图所示，则f (§)的值为（ ）1 — _ A •B • 1C . . 2D • 325. （ 5分）下列命题错误的是 （ ）A •“ x 2 ”是“ x 2 4x 4 0 ”的充要条件1 一2 一B .命题“若m … ，则方程x x m 0有实根”的逆命题为真命题4 C .在 ABC 中，若“ A B ”，贝si nA si nB ”D •若等比数列｛aj 公比为q ，则“ q 1”是“ ｛a n ｝为递增数列”的充要条件6・（5分）《易g 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两 幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理， 被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源. 河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（）00-00-00-07. （ 5分）“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前 300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相257 C . 258 251n 303时，则输出的m 是（C . 101D . 2028 . ( 5 分)x已知双曲线—a2每 1（a 0,b 0）的离心率为 b其一条渐近线被圆(x m)2 y 24(m0）截得的线段长为2，则实数m 的值为（C .9. ( 5 分) 已知函数 f （x ）是定义R 上的偶函数，当 x 0时，f(x)1（-）x 2 .则使不等式f(x 1)4成立的x 取值范围是（,1)(3, )(1,3) C . (0,2) (,0) (2 ,1 e x 10. (5 分)函数 f (x)( x )gcos 1 ex 在［5 , 5］的图形大致是（2x 1 已知函数f (x) e x -------------- ，对于函数f (x)有下述四个结论:x 1①函数f(x)在其定义域上为增函数;② 对于任意的a 0,都有f (a ) 1成立；③ f (x)有且仅有两个零点；④ 若y e x 在点(x o , e xO )(x o 1)处的切线也是y Inx 的切线，贝U x 必是f(x)零点. 其中所有正确的结论序号是( )A .①②③B .①②C .②③④D .②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题卡的相应位置) 13. (5 分)已知向量 a ( 4,2) , b (1, 1)，若 b (a kb)，则 k ________________ . 14. (5分)为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫， 假设该厂第一年需投入运营成本 3万元，从第二年起 每年投入运营成本比上一年增加 2万元，该厂每年可以收入 20万元，若该厂n(n N*)年后， 年平均盈利额达到最大值，则 n 等于 ______ .(盈利额 总收入 总成本)15. (5分)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面 AEC 截 该正方体所得截面面积为： ______J -xrJ/ Si11. （5 分） 已知三棱锥 P ABC 中, 平面PAB平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为AC 5, BC 4，且A . 16B . 28C . 24D . 3212. （5 分） B . DPA）APB 21 . .2 216. （5分）过点P（1,-）作圆x y 1的切线I，已知A , B分别为切点，直线AB恰好经2过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB方程为 _;椭圆的标准方程是 _ .（第一空2分，第二空3分）三、解答题：（共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17. （12分）在ABC中，角A , B , C的对边分别为a , b , c ,已知B 2C , 3b 4c . （1 ）求cosC ; （2 ）若c 3，求ABC的面积.18. （12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在［85 , 115）为一等品，大于115为特等品•现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件.A配方的频数分布表质量指标值分组[75 , 85)[85 , 95)[95 , 105)[105, 115)[115, 125)频数8a36248（1 ）求a , b的值；（2）试确定A配方和B配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）。