2017届高考物理二轮专题突破专题四功能关系的应用1功能关系在力学中的应用检测题

功能关系在力学中的应用力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体运动的规律和相互作用的力学原理。

在力学问题中，功能关系是一种关系，指的是物理量之间的依赖关系。

通过建立功能关系，可以揭示物体之间的相互关系，解释物体运动的规律。

本文将介绍功能关系在力学中的应用。

一、位移和时间的功能关系：速度与加速度速度是描述物体位移随时间变化的物理量。

在力学问题中，可以通过建立位移和时间的功能关系来计算物体的速度。

位移是物体从一个位置移动到另一个位置的距离，用Δx表示。

时间是物体运动所经过的时间，用Δt表示。

速度的定义是位移的变化量除以时间的变化量，即v=Δx/Δt。

加速度是描述速度随时间变化的物理量。

在力学问题中，可以通过建立速度和时间的功能关系来计算物体的加速度。

速度的变化量除以时间的变化量即为加速度，即a=Δv/Δt。

通过建立位移和时间的功能关系，可以计算物体的速度；通过建立速度和时间的功能关系，可以计算物体的加速度。

这在力学问题中是很常见的应用。

二、速度和时间的功能关系：位移和加速度位移是描述物体从一个位置移动到另一个位置的距离。

加速度是描述速度随时间变化的物理量。

在力学问题中，可以通过建立速度和时间的功能关系来计算物体的位移。

速度的定义是位移的变化量除以时间的变化量，即v=Δx/Δt。

通过移项可以得到位移的计算公式：Δx=vΔt。

同样地，通过建立速度和时间的功能关系，可以计算物体的加速度。

速度的变化量除以时间的变化量即为加速度，a=Δv/Δt。

通过移项可以得到加速度的计算公式：Δv=aΔt。

通过建立速度和时间的功能关系，可以计算物体的位移；通过建立速度和时间的功能关系，可以计算物体的加速度。

这也是力学问题中常见的应用。

三、加速度和时间的功能关系：位移和速度位移是描述物体从一个位置移动到另一个位置的距离。

速度是描述物体位移随时间变化的物理量。

在力学问题中，可以通过建立加速度和时间的功能关系来计算物体的位移。

加速度定义为速度的变化量除以时间的变化量，即a=Δv/Δt。

专题四功能关系的应用第1讲：功能关系在力学中的应用一、知识梳理1.常见的几种力做功的特点(1)重力、弹簧弹力、静电力做功与无关.(2)摩擦力做功的特点①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和，且总为 .在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移，还有部分机械能转化为内能.转化为内能的量等于系统机械能的减少量，等于滑动摩擦力与的乘积.③摩擦生热是指滑动摩擦生热，静摩擦不会生热.2.几个重要的功能关系(1)重力的功等于的变化，即W G＝ .(2)弹力的功等于的变化，即W弹＝ .(3)合力的功等于的变化，即W＝ .(4)重力(或弹簧弹力)之外的其他力的功等于的变化，即W其他＝ΔE.(5)一对滑动摩擦力做的功等于的变化，即Q＝F f·l相对.规律方法1.动能定理的应用(1)动能定理的适用情况：解决单个物体(或可看成单个物体的物体系统)受力与位移、速率关系的问题.动能定理既适用于运动，也适用于运动；既适用于做功，也适用于做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用.(2)应用动能定理解题的基本思路①选取研究对象，明确它的运动过程.②分析研究对象的受力情况和各力做功情况，然后求各个外力做功的 .③明确物体在运动过程初、末状态的动能E k1和E k2.④列出动能定理的方程W合＝E k2－E k1，及其他必要的解题方程，进行求解.2.机械能守恒定律的应用(1)机械能是否守恒的判断①用做功来判断，看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功的代数和是否为 . ②用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其他形式的能.③对一些“绳子突然绷紧”“ ”等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示.(2)应用机械能守恒定律解题的基本思路 ①选取研究对象——物体系统.②根据研究对象所经历的物理过程，进行 、 分析，判断机械能是否守恒. ③恰当地选取参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态时的机械能. ④根据机械能守恒定律列方程，进行求解. 二、题型、技巧归纳高考题型1 力学中的几个重要功能关系的应用【例1】 (多选)(2016·全国甲卷·21)如图1所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连.现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点.已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2.在小球从M 点运动到N 点的过程中( )图1A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差高考预测 1 (2016·四川理综·1)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员.他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900J ，他克服阻力做功100J.韩晓鹏在此过程中( )A.动能增加了1900JB.动能增加了2000JC.重力势能减小了1900JD.重力势能减小了2000J高考预测2 如图2所示，用两根金属丝弯成一光滑半圆形轨道，竖直固定在地面上，其圆心为O 、半径为R .轨道正上方离地h 处固定一水平长直光滑杆，杆与轨道在同一竖直平面内，杆上P 点处固定一定滑轮，P 点位于O 点正上方.A 、B 是质量均为m 的小环，A 套在杆上，B 套在轨道上，一条不可伸长的细绳绕过定滑轮连接两环.两环均可看做质点，且不计滑轮大小与质量.现在A 环上施加一个水平向右的恒力F ，使B 环从地面由静止沿轨道上升.则( )图2A.力F 所做的功等于系统动能的增加量B.在B 环上升过程中，A 环动能的增加量等于B 环机械能的减少量C.当B 环到达最高点时，其动能为零D.当B 环与A 环动能相等时，sin∠OPB ＝R h高考题型二 动力学方法和动能定理的综合应用【例2】 (2016·全国丙卷·24)如图3所示，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接.AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R2.一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动.图3(1)求小球在B 、A 两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点.高考预测3 如图4所示，水平面O 点左侧光滑，右侧粗糙，有3个质量均为m 完全相同的滑块(可视为质点)，用轻细杆相连，相邻滑块间的距离为L ，滑块1恰好位于O 点左侧，滑块2、3依次沿直线水平向左排开.现将水平恒力F ＝1.8μmg 作用于滑块1，μ为粗糙地带与滑块间的动摩擦因数，g 为重力加速度.图4(1)求滑块运动的最大速度；(2)判断滑块3能否进入粗糙地带？若能，计算滑块3在粗糙地带的运动时间.高考预测4 如图5所示，把小车放在倾角为30°的光滑斜面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，不计滑轮质量及摩擦，已知小车的质量为3m ，小桶与沙子的总质量为m ，小车从静止释放后，在小桶上升竖直高度为h 的过程中( )图5A.小桶处于失重状态B.小桶的最大速度为12ghC.小车受绳的拉力等于mgD.小车的最大动能为32mgh高考题型三 综合应用动力学和能量观点分析多过程问题【例3】 (2016·全国乙卷·25)如图6所示，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56R的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内.质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R .已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin37°＝35，cos37°＝45)图6(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小； (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放.已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点.G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量.高考预测5 如图7所示，质量M ＝3kg 的滑板A 置于粗糙的水平地面上，A 与地面的动摩擦因数μ1＝0.3，其上表面右侧光滑段长度L 1＝2m ，左侧粗糙段长度为L 2，质量m ＝2kg 、可视为质点的滑块B 静止在滑板上的右端，滑块与粗糙段的动摩擦因数μ2＝0.15，取g ＝10m/s 2，现用F ＝18 N 的水平恒力拉动A 向右运动，当A 、B 分离时，B 对地的速度v B ＝1 m/s ，求L 2的值.图7高考预测6 如图8所示，质量m ＝0.1kg 的小球(可视为质点)，用长度l ＝0.2m 的轻质细线悬于天花板的O 点.足够长的木板AB 倾斜放置，顶端A 位于O 点正下方，与O 点的高度差h ＝0.4m.木板与水平面间的夹角θ＝37°，整个装置在同一竖直面内.现将小球移到与O 点等高的P 点(细线拉直)，由静止释放，小球运动到最低点Q 时细线恰好被拉断(取g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8).求：图8(1)细线所能承受的最大拉力F ；(2)小球在木板上的落点到木板顶端A 的距离s ； (3)小球与木板接触前瞬间的速度大小. 规律总结多个运动过程的组合实际上是多种物理规律和方法的综合应用，分析这种问题时注意要独立分析各个运动过程，而不同过程往往通过连接点的速度建立联系，有时对整个过程应用能量的观点解决问题会更简单.参考答案一、知识梳理1. (1)路径 (2)②总等于零 不为零 负值 相对位移2. (1)重力势能 －ΔE p (2)弹性势能 －ΔE p (3)动能 ΔE k (4)机械能 (5)系统中内能 规律方法1. (1)直线 曲线 恒力 变力 (2)②代数和2. (1)①零 ③物体间碰撞 (2)②受力 做功 二、题型、技巧归纳 【例1】 答案 BCD解析 因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2，知M 处的弹簧处于压缩状态，N 处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A 错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g ；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g ，则有两个时刻的加速度大小等于g ，选项B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C 正确；由动能定理得，W F ＋W G ＝ΔE k ，因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知W F ＝0，即W G ＝ΔE k ，选项D 正确.高考预测1 答案 C解析 由题可得，重力做功W G ＝1900J ，则重力势能减少1900J ，故C 正确，D 错误；由动能定理得，W G －W f ＝ΔE k ，克服阻力做功W f ＝100J ，则动能增加1800J ，故A 、B 错误.高考预测2 答案 D解析 力F 做正功，系统的机械能增加，由功能关系可知，力F 所做的功等于系统机械能的增加量，不等于系统动能的增加量.故A 错误；由于力F 做正功，A 、B 组成的系统机械能增加，则A 环动能的增加量大于B 环机械能的减少量，故B 错误；当B 环到达最高点时，A 环的速度为零，动能为零，但B 环的速度不为零，动能不为零，故C 错误；当PB 线与圆轨道相切时，v B ＝v A ，根据数学知识有sin∠OPB ＝R h，故D 正确.【例2】 答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析解析 (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒得E k A ＝mg ·R4①设小球在B 点的动能为E k B ，同理有 E k B ＝mg ·5R4② 由①②式得E k B ∶E k A ＝5∶1③(2)若小球能沿轨道运动到C 点，小球在C 点所受轨道的正压力F N 应满足F N ≥0 ④设小球在C 点的速度大小为v C ，由牛顿运动定律和向心加速度公式有F N ＋mg ＝m v 2CR2⑤由④⑤式得mg ≤m 2v 2CR⑥ v C ≥Rg2⑦全程应用机械能守恒定律得mg ·R 4＝12mv C ′2⑧解得v C ′＝gR2，满足⑦式条件，即小球恰好可以沿轨道运动到C 点.高考预测3 答案 (1)8μgL15(2)滑块3能进入粗糙地带 5L 2μg解析 (1)滑块2刚进入粗糙地带，滑块开始减速，此时速度最大，对所有滑块运用动能定理：F ·L －μmgL ＝12·3mv 21得v 1＝8μgL15(2)若滑块3能进入粗糙地带，设刚进入的速度为v 2，有F ·2L －μmg (1＋2)L ＝12·3mv 22得v 2＝2μgL5故滑块3能进入粗糙地带 此时3μmg －F ＝3ma故滑块3在粗糙地带的减速时间t ＝v 2a得t ＝5L 2μg高考预测4 答案 B解析 在整个的过程中，小桶向上做加速运动，所以小桶受到的拉力大于重力，小桶处于超重状态.故A 、C 错误；在小桶上升竖直高度为h 的过程中只有重力对小车和小桶做功，由动能定律得：3mg ·h ·sin30°－mgh ＝12(3m ＋m )v 2解得：v ＝12gh ，故B 正确；小车和小桶具有相等的最大速度，所以小车的最大动能为：E km ＝12·3mv 2＝38mgh ，故D 错误. 【例3】 答案 (1)2gR (2)125mgR (3)355gR 13m解析 (1)由题意可知：l BC ＝7R －2R ＝5R ①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得mgl BC sin θ－μmgl BC cos θ＝12mv 2B②式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得v B ＝2gR ③(2)设BE ＝x ，P 到达E 点时速度为零，此时弹簧的弹性势能为E p ，由B →E 过程，根据动能定理得mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12mv 2B ④ E 、F 之间的距离l 1为l 1＝4R －2R ＋x⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0⑥联立③④⑤⑥式得x ＝R ⑦ E p ＝125mgR⑧(3)设改变后P 的质量为m 1，D 点与G 点的水平距离为x 1、竖直距离为y 1，由几何关系(如图所示)得α＝37°.由几何关系得：x 1＝72R －56R sin α＝3R ⑨ y 1＝R ＋56R ＋56R cos α＝52R⑩设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t . 由平抛运动公式得：y 1＝12gt 2⑪ x 1＝v D t⑫联立⑨⑩⑪⑫得v D ＝355gR ⑬设P 在C 点速度的大小为v C ，在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g (56R ＋56R cos α)⑭ P 由E 点运动到C 点的过程中，由动能定理得 E p －m 1g (x ＋5R )sin α－μm 1g (x ＋5R )cos α＝12m 1v 2C ⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮得m 1＝13m高考预测5 答案 1m解析 在F 的作用下，A 做匀加速运动，B 静止不动，当A 运动位移为L 1时B 进入粗糙段，设此时A 的速度为v A ，则：对A ：由动能定理：FL 1－μ1(M ＋m )gL 1＝12Mv 2A ①B 进入粗糙段后，设A 加速度为a A ，B 加速度为a B ，对A ：由牛顿第二定律：F －μ1(M ＋m )g －μ2mg ＝Ma A ② 对B ：由牛顿第二定律：μ2mg ＝ma B ③ 由①得v A ＝2m/s④由②得a A ＝0⑤即A 以v A ＝2m/s 的速度做匀速直线运动直至A 、B 分离，分离时B 的速度为v B ，设B 在粗糙段滑行的时间为t ，则：对A ：x A ＝v A t ⑥ 对B ：v B ＝a B t ⑦x B ＝12a B t 2⑧又：x A －x B ＝L 2⑨ 联立解得：L 2＝1m⑩高考预测6 答案 (1)3N (2)1m (3)25m/s解析 (1)设细线拉断时小球的速度大小为v 0，由机械能守恒定律得：12mv 20＝mgl解得：v 0＝2gl在Q 点，由牛顿第二定律得F －mg ＝m v 20l解得F ＝3mg ＝3N(2)设小球在木板上的落点到木板顶端A 的距离为s ，由平抛运动的规律得：h －l ＋s ·sin θ＝12gt 2； s cos θ＝v 0t ，联立以上各式得：s ＝1m(3)设小物块与木板接触前瞬间的速度大小为v ，由机械能守恒定律得： 12mv 2＝mg (h ＋s ·sin θ)，联立以上各式得：v ＝25m/s.。

专题4 功能关系在力学中的应用考向预测能量观点是高中物理解决问题的三大方法之一，既在选择题中出现，也在综合性的计算题中应用，常将功、功率、动能、势能等基础知识融入其他问题考查，也常将动能定理、机械能守恒、功能关系作为解题工具在综合题中应用。

考查的重点有以下几方面：(1)(变力)做功和功率问题；(2)动能定理的应用；(3)机械能守恒的条件；(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合；(5)功能关系与能量守恒。

在功和功率的分析与计算部分，高考命题角度集中在功的定义式的理解及应用，机车启动模型的分析。

题目难度以中档选择题为主。

对动能定理应用的考查，高考命题角度多为应用动能定理解决变力做功及多过程问题，题目综合性较强，试题难度较大，题型包括选择题与计算题。

对机械能守恒定律应用的考查，高考命题选择题集中在物体系统机械能守恒及物体间的做功特点、力与运动的关系，计算题结合平抛、圆周运动等典型运动为背景综合考查。

试题难度以中档题为主。

对功能关系及能量守恒的考查，选择题命题重点在考查常见功能转化关系，难度中档；计算题常以滑块、传送带、弹簧结合平抛运动、圆周运动综合考查功能关系、动能定理、机械能守恒的应用。

高频考点：功、功率的理解与计算；机车启动问题；动能定理的应用；机械能守恒定律的应用；能量守恒定律。

知识与技巧的梳理考点一、功功率的分析与计算例 (2020届高三·天津五区县联考)如图所示，某质点运动的v-t图象为正弦曲线。

从图象可以判断( )A．质点做曲线运动B．在t1时刻，合外力的功率最大C．在t2～t3时间内，合外力做负功D．在0～t1和t2～t3时间内，合外力的平均功率相等【审题立意】本题结合v-t图象考查变力做功的计算及对功率、平均功率和瞬时功率的理解的理解。

解答此题首先要结合图象正确分析物体的受力情况和运动情况。

【解题思路】质点运动的v-t图象描述的是质点的直线运动，选项A错误；在t1时刻，v-t图线的斜率为零，加速度为零，合外力为零，合外力功率为零，选项B错误；由题图图象可知，在t2～t3时间内，质点的速度增大，动能增大，由动能定理可知，合外力做正功，选项C 错误；在0～t 1 和t 2～t 3时间内，动能的变化量相同，故合外力做的功相等，则合外力的平均功率相等，选项D 正确。

本次课涉及到的高考考点：功能关系在力学中的应用；本次课涉及到的难点和易错点： 1、功和功率的理解与计算问题2、动能定理的应用问题【考向与预测】 察考情 明考向 精准预测考向一 功、功率的理解与计算1.恒力做功的公式：W ＝Fl cos α2．功率(1)平均功率：P ＝W t＝F v －cos α (2)瞬时功率：P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角)3．机车的启动问题解决问题的关键是明确所研究的问题处在哪个阶段上，以及匀加速过程的最大速度v 1和全程的最大速度v m 的区别和求解方法．(1)求v 1：由F －F 阻＝ma ，可求v 1＝P F. (2)求v m ：由P ＝F 阻v m ，可求v m ＝P F 阻. 【典例1】 一质量为1 kg 的质点静止于光滑水平面上，从t ＝0时刻起，第1秒内受到2 N 的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N 的外力作用．下列判断正确的是( )．A ．0～2 s 内外力的平均功率是94WB ．第2秒内外力所做的功是54J C ．第2秒末外力的瞬时功率最大 D ．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是45【预测1】 某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m 的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为s ，且速度达到最大值v m .设这一过程中电动机的功率恒为P ，小车所受阻力恒为F ，那么这段时间内( )．A ．小车做匀加速运动B ．小车受到的牵引力逐渐增大C ．小车受到的合外力所做的功为PtD ．小车受到的牵引力做的功为Fs ＋12mv 2m【预测2】 放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )．A ．0～6 s 内物体的位移大小为30 mB ．0～6 s 内拉力做的功为70 JC ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等D ．滑动摩擦力的大小为5 N考向二 动能定理的应用【典例2】 如图所示，水平路面CD 的右侧有一长L 1＝2 m 的板M ，一物块放在板M 的最右端，并随板一起向左侧固定的平台运动，板M 的上表面与平台等高．平台的上表面AB 长s ＝3 m ，光滑半圆轨道AFE 竖直固定在平台上，圆轨道半径R ＝0.4 m ，最低点与平台AB 相切于A 点．当板M 的左端距离平台L ＝2 m 时，板与物块向左运动的速度v 0＝8 m/s.当板与平台的竖直墙壁碰撞后，板立即停止运动，物块在板上滑动，并滑上平台．已知板与路面的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与板的上表面及轨道AB 的动摩擦因数μ2＝0.1，物块质量m ＝1 kg ，取g ＝10 m/s 2.(1)求物块进入圆轨道时对轨道上的A 点的压力；(2)判断物块能否到达圆轨道的最高点E .如果能，求物块离开E 点后在平台上的落点到A 点的距离；如果不能，则说明理由．【预测3】 如图所示，水平轨道上轻弹簧左端固定，弹簧处于自然状态时，其右端位于P 点，现用一质量m ＝0.1 kg 的小物块(可视为质点)将弹簧压缩后释放，物块经过P 点时的速度v 0＝16 m/s ，经过水平轨道右端Q 点后恰好沿光滑半圆轨道的切线进入竖直固定的圆轨道，最后物块经轨道最低点A 抛出后落到B 点，若物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，R ＝1.6 m ，P 到Q 的长度l ＝3.1 m ，A 到B 的竖直高度h ＝1.25 m ，取g ＝10 m/s 2.(1)求物块到达Q 点时的速度大小；(2)判断物块经过Q 点后能否沿圆周轨道运动；(3)求物块水平抛出的位移大小．【预测4】 如图所示，在光滑水平地面上放置质量M ＝2 kg 的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切．一质量m ＝1 kg 的小滑块自A 点沿弧面由静止滑下，A 点距离长木板上表面高度h ＝0.6 m ．滑块在木板上滑行t ＝1 s 后，和木板以共同速度v ＝1 m/s 匀速运动，取g ＝10 m/s 2.求：(1)滑块与木板间的摩擦力；(2)滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功；(3)滑块相对木板滑行的距离及在木板上产生的热量．考向三 机械能守恒定律的应用【典例3】 (2013·浙江卷，23)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图图中A 、B 、C 、D 均为石头的边缘点，O 为青藤的固定点，h 1＝1.8 m ，h 2＝4.0 m ，x 1＝4.8 m ，x 2＝8.0 m ．开始时，质量分别为M ＝10 kg 和m ＝2 kg 的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A 点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C 点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D 点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)大猴从A 点水平跳离时速度的最小值；(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．【预测5】 如图所示，劲度系数为k 的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R 的圆环顶点P ，另一端系一质量为m 的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A 点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v ，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是( )．A.从A 到B 的过程中，小球的机械能守恒B ．从A 到B 的过程中，小球的机械能减少C ．小球过B 点时，弹簧的弹力为mg ＋m v 2RD ．小球过B 点时，弹簧的弹力为mg ＋m v 22R【预测6】 如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB 是长为R 的水平直轨道，BCD 是圆心为O 、半径为R 的34圆弧轨道，两轨道相切于B 点．在外力作用下，一小球从A 点由静止开始做匀加速直线运动，到达B 点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C ，重力加速度大小为g .求：(1)小球在AB 段运动的加速度的大小；(2)小球从D 点运动到A 点所用的时间．考向四 功能关系的应用力学中常见的功能关系【典例4】 (2013·江苏卷，9)如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出)．物块的质量为m ，AB ＝a ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W .撤去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零．重力加速度为g .则上述过程中( )．A ．物块在A 点时，弹簧的弹性势能等于W －12μmga B ．物块在B 点时，弹簧的弹性势能小于W －32μmga C ．经O 点时，物块的动能小于W －μmgaD ．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能【预测7】 有一块长木板P 放在固定斜面上，木板上又放物体M ，P 、M 之间有摩擦，斜面和木板间摩擦不计，以恒力F 沿斜面向上拉木板P ，使之由静止滑动一段距离x 1，M 只向上运动了x 2，且x 2<x 1.在此过程中，下列说法中正确的是( )．A ．外力F 做的功等于P 和M 机械能的增量B ．P 对M 摩擦力做的功等于M 机械能的增量C ．外力F 做的功等于P 和M 机械能的增量与P 克服摩擦力做的功之和D ．P 对M 摩擦力做的功等于M 对P 摩擦力做的功【预测8】如图所示，甲、乙两种粗糙面不同的传送带，倾斜于水平地面放置，以同样恒定速率v向上运动．现将一质量为m的小物体(视为质点)轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v，在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v.已知B处离地面的高度皆为H.则在物体从A到B的过程中()．A．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数相同B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等C．两种传送带对小物体做功相等D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等【真题与定位】做真题找规律准确定位1．(2010·新课标全国卷，16)(多选)如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图象为正弦曲线．从图中可以判断()．A．在0～t1时间内，外力做正功B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大C．在t2时刻，外力的功率最大D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零2．(2011·新课标全国卷，16)(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()．A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关3．(2013·山东卷，16)(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块、通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()．A．两滑块组成的系统机械能守恒B．重力对M做的功等于M动能的增加C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功4．(2013·广东卷，19)(多选)如图，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有()．A．甲的切向加速度始终比乙的大B．甲、乙在同一高度的速度大小相等C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度D．甲比乙先到达B处主要题型：选择题、计算题热点聚焦(1)功、功率的理解及定量计算，往往与图象相结合(2)动能定理的应用(3)机械能守恒定律的应用(4)滑动摩擦力做功情况下的功能关系问题【方法与技巧】 有方法 有技巧 胸有成竹技法四 计算题解题技巧审题技巧与策略在审题过程中，要特别注意以下几个方面：第一，题中给出什么．第二，题中要求什么．第三，题中隐含什么．第四，怎样把物理情景转化为具体的物理条件理解题意的具体方法是：1．认真审题，捕捉关键词. 如“最多”、“最大”、“最长”、“最短”、“刚好”、“瞬间”等．2．认真审题，挖掘隐含条件．3．审题过程要注意画好情境示意图，把物理图景转化为物理条件．4．审题过程要建立正确的物理模型．5．在审题过程中要特别注意题中的临界条件．【典例】 电动机通过一质量不计的轻绳用定滑轮吊起质量为8 kg 的物体．已知绳能承受的最大拉力为120 N ．电动机的输出功率可以调节，其最大功率为1 200 W ．若将此物体由静止开始用最快方式上升90 m(物体在吊高到接近90 m 时已开始以最大速度匀速上升)，试求所需最短时间为多少？(g 取10 m/s 2)【即学即练】 (2013·北京卷，23)蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F ＝kx (x 为床面下沉的距离，k 为常量)．质量m ＝50 kg 的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x 0＝0.10 m ；在预备运动中，假定运动员所做的总功W 全部用于增加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt ＝2.0 s ，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x 1.取重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力的影响．(1)求常量k ，并在图2－4－14中画出弹力F 随x 变化的示意图；(2)求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度h m ；(3)借助F －x 图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x 1和W 的值．(在1～10题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求．)1．用一水平拉力使质量为m 的物体从静止开始沿粗糙的水平面运动，物体的v －t 图象如图2－4－15所示．下列表述正确的是( )．A ．在0～t 1时间内拉力逐渐增大B ．在0～t 1时间内物体做曲线运动C ．在t 1～t 2时间内拉力的功率不为零D ．在t 1～t 2时间内合外力做功为12mv 2 2．(2013·株洲市重点中学联考)A 、B 两物体的质量之比m A ∶m B ＝2∶1，它们以相同的初速度v 0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v －t 图象如图所示．那么，A 、B 两物体所受摩擦阻力之比F A ∶F B 与A 、B 两物体克服摩擦阻力做的功之比WA ∶WB 分别为( )．A ．2∶1,4∶1B ．4∶1,2∶1C ．1∶4,1∶2D ．1∶2,1∶43．用竖直向上大小为30 N 的力F ，将2 kg 的物体由沙坑表面静止抬升1 m 时撤去力F ，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20 cm.若忽略空气阻力，g 取10 m/s 2.则物体克服沙坑的阻力所做的功为( )．A ．20 JB ．24 JC ．34 JD ．54 J4．光滑水平地面上叠放着两个物体A 和B ，如图2－4－17所示．水平拉力F 作用在物体B 上，使A 、B 两物体从静止出发一起运动．经过时间t ，撤去拉力F ，再经过时间t ，物体A 、B 的动能分别设为E A 和E B ，在运动过程中A 、B 始终保持相对静止．以下有几个说法正确的是( )．A ．EA ＋EB 等于拉力F 做的功B ．E A ＋E B 小于拉力F 做的功C ．E A 等于拉力F 和摩擦力对物体A 做功的代数和D ．E A 大于撤去拉力F 前摩擦力对物体A 做的功5．质量为1 kg 的物体静止于光滑水平面上．t ＝0时刻起，物体受到向右的水平拉力F 作用，第1 s 内F ＝2 N ，第2 s 内F ＝1 N ．下列判断正确的是( )．A ．2 s 末物体的速度是4 m/sB ．2 s 内物体的位移为3 mC ．第1 s 末拉力的瞬时功率最大D ．第2 s 末拉力的瞬时功率最大6．如图所示，足够长的水平传送带以稳定的速度v 0匀速向右运动，某时刻在其左端无初速地放上一个质量为m 的物体，经一段时间，物体的速度达到v 02，这个过程因物体与传送带间的摩擦而产生的热量为Q 1，物体继续加速，再经一段时间速度增加到v 0，这个过程中因摩擦而产生的热量为Q 2.则Q 1∶Q 2的值为( )．A ．3∶1B ．1∶3C ．1∶1D ．与μ大小有关7．在离水平地面h 高处将一质量为m 的小球水平抛出，在空中运动过程中所受空气阻力大小恒为F f ，水平距离为x ，落地速率为v ，那么，在小球运动过程中( )．A ．重力所做的功为mghB ．小球克服空气阻力所做的功为F f h 2＋x 2C ．小球落地时，重力的瞬时功率为mgvD ．小球的重力势能和机械能都逐渐减少8．(2013·大纲卷，20)如图所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m 的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g .若物块上升的最大高度为H ，则此过程中，物块的( )．A ．动能损失了2mgHB ．动能损失了mgHC ．机械能损失了mgHD ．机械能损失了12mgH 9．如图所示，穿在水平直杆上质量为m 的小球开始时静止．现对小球沿杆方向施加恒力F 0，垂直于杆方向施加竖直向上的力F ，且F 的大小始终与小球的速度成正比，即F ＝kv (图中未标出)．已知小球与杆间的动摩擦因数为μ，小球运动过程中未从杆上脱落，且F 0>μmg .下列说法正确的是( )．A ．小球先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动直到静止B ．小球的最大加速度为F 0mC ．恒力F 0的最大功率为F 20＋F 0μmg μkD ．小球在加速运动过程中合力对其做功为12m ⎝⎛⎭⎫F 0＋μmg μk 2 10．(2013·东北三校一模，20)如图所示，两根等长的细线拴着两个小球在竖直平面内各自做圆周运动．某一时刻小球1运动到自身轨道的最低点，小球2恰好运动到自身轨道的最高点，这两点高度相同，此时两小球速度大小相同．若两小球质量均为m ，忽略空气阻力的影响，则下列说法正确的是( )．A.此刻两根线拉力大小相同B ．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为2mgC ．运动过程中，两根线上拉力的差值最大为10mgD ．若相对同一零势能面，小球1在最高点的机械能等于小球2在最低点的机械能11．(2013·天津卷，10)质量为m ＝4 kg 的小物块静止于水平地面上的A 点，现用F ＝10 N 的水平恒力拉动物块一段时间后撤去，物块继续滑动一段位移停在B 点，A 、B 两点相距x ＝20 m ，物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g 取10 m/s 2，求：(1)物块在力F 作用过程发生位移x 1的大小；(2)撤去力F 后物块继续滑动的时间t .12．如图所示，质量为m＝0.1 kg的小物块置于平台末端A点，平台的右下方有一个表面光滑的斜面体，在斜面体的右边固定一竖直挡板，轻质弹簧拴接在挡板上，弹簧的自然长度为x0＝0.3 m，斜面体底端C 距挡板的水平距离为d2＝1 m，斜面体的倾角为θ＝45°，斜面体的高度h＝0.5 m．现给小物块一大小为v0＝2 m/s的初速度，使之在空中运动一段时间后，恰好从斜面体的顶端B无碰撞地进入斜面，并沿斜面运动，经过C点后再沿粗糙水平面运动，过一段时间开始压缩轻质弹簧．小物块速度减为零时，弹簧被压缩了Δx＝0.1 m．已知小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，设小物块经过C点时无能量损失，重力加速度g取10 m/s2，求：(1)平台与斜面体间的水平距离d1；(2)小物块在斜面上的运动时间t；(3)压缩弹簧过程中的最大弹性势能E p.。

第4讲 功能关系在力学中的应用(1～6题为单项选择题，7～10题为多项选择题)1. 如图2－4－19所示，质量为m 的物体在与水平方向成θ角的恒力F 作用下以加速度a 做匀加速直线运动，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ，物体在地面上运动距离为x 的过程中力F 做的功为( )．图2－4－19A ．μmgxB.m a ＋μg x1－μtan θC.m a －μg x1＋μtan θD.μmgx1＋μtan θ解析 以物体为研究对象，竖直方向有F sin θ＋mg ＝F N ，水平方向有F cos θ－μF N＝ma ，联立解得F ＝m a ＋μg cos θ－μsin θ，在此过程中F 做功W ＝Fx cos θ＝m a ＋μg x1－μtan θ，故正确选项为B. 答案 B2．小明同学骑电动自行车沿平直公路行驶，因电瓶“没电”，故改用脚蹬车匀速前行．设小明与车的总质量为100 kg ，骑行过程中所受阻力恒为车和人总重的0.02倍，g 取10 m/s 2.通过估算可知，小明骑此电动车做功的平均功率最接近( )．A ．10 WB ．100 WC ．300 WD ．500 W解析 由P ＝Fv 可知，要求骑车人的功率，一要知道骑车人的动力，二要知道骑车人的速度，前者由于自行车匀速行驶，由二力平衡的知识可知F ＝f ＝20 N ，后者对于骑车人的速度我们应该有一个估测，约为5 m/s ，所以由P ＝Fv 得，选项B 正确． 答案 B3. 光滑水平地面上叠放着两个物体A 和B ，如图2－4－20所示．水平拉力F 作用在物体B 上，使A 、B 两物体从静止出发一起运动．经过时间t ，撤去拉力F ，再经过时间t ，物体A 、B 的动能分别设为E A 和E B ，在运动过程中A 、B 始终保持相对静止．以下有几个说法：①E A ＋E B 等于拉力F 做的功；②E A ＋E B 小于拉力F 做的功；③E A 等于撤去拉力F 前摩擦力对物体A做的功；④E A大于撤去拉力F前摩擦力对物体A做的功．其中正确的是( )．图2－4－20A．①③B．①④C．②③D．②④答案 A4．物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止，以a、E k、s和t 分别表示物体运动的加速度大小、动能、位移的大小和运动的时间，则以下各图象中，能正确反映这一过程的是( )．解析物体在恒定阻力作用下运动，其加速度随时间不变，随位移不变，选项A、B错误；由动能定理，fs＝E k－E k0，解得E k＝E k0－fs，选项C正确，D错误．答案 C5. 如图2－4－21所示，一质量为m的滑块以初速度v0从固定于地面的斜面底端A开始冲上斜面，到达某一高度后返回A，斜面与滑块之间有摩擦．下列各项分别表示它在斜面上运动的速度v、加速度a、重力势能E p和机械能E随时间变化的图象，可能正确的是( )．图2－4－21解析 滑块上滑和回落过程中受到的摩擦力方向不同，加速度大小不等、方向相同，上升时的加速度a 1大于回落时的加速度a 2，故A 、B 错．摩擦力一直做负功，机械能一直减小，D 错．设滑块滑到最高点时的重力势能为E pm ，斜面倾角为θ，则上升过程E p ＝mg ·12a 1t 2·sin θ＝12mga 1sin θ·t 2，回落过程E p ＝E pm －mg ·12a 2(t －t 0)2·sin θ，其中t 0为滑块上滑的总时间，故C 图象为两段抛物线，正确． 答案 C6. 如图2－4－22所示，将一轻弹簧下端固定在倾角为θ的粗糙斜面底端，弹簧处于自然状态时上端位于A 点．质量为m 的物体从斜面上的B 点由静止下滑，与弹簧发生相互作用后，最终停在斜面上．下列说法正确的是( )．图2－4－22A ．物体最终将停在A 点B ．物体第一次反弹后有可能到达B 点C ．整个过程中重力势能的减少量大于克服摩擦力做的功D ．整个过程中物体的最大动能大于弹簧的最大弹性势能解析 物体最终处于静止状态，故受力平衡，由题知物体重力沿斜面的分力大于物体受到的沿斜面向上的滑动摩擦力，故物体最终将停在A 点以下，A 项错；根据能量守恒，物体在运动过程中受到滑动摩擦力作用，机械能减少，故物体第一次反弹后不可能到达B 点，B 项错误；根据能量守恒，物体在整个过程中重力势能的减少量等于克服摩擦力及克服弹簧弹力做的总功，故C项正确；整个过程中，物体处于平衡态时其动能最大，设物体处于平衡态时，弹簧的压缩量为x1，则根据动能定理有(mg sin θ－μmg cos θ)·(x AB＋x1)－ΔE p1＝E km，当物体位于斜面最低点时弹簧的弹性势能最大，设此时弹簧的压缩量为x2，根据动能定理有(mg sin θ－μmg cos θ)(x AB＋x2)－ΔE pm＝0，由于x2>x1，故ΔE pm>E km，故D项错．答案 C7．(2013·山东卷，16)如图2－4－23所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab 和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块、通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )．图2－4－23A．两滑块组成的系统机械能守恒B．重力对M做的功等于M动能的增加C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功解析两滑块释放后，M下滑、m上滑，摩擦力对M做负功，系统的机械能减小，减小的机械能等于M克服摩擦力做的功，选项A错误，D正确．除重力对滑块M做正功外，还有摩擦力和绳的拉力对滑块M做负功，选项B错误．绳的拉力对滑块m做正功，滑块m机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C正确．答案CD8．下列各图是反映汽车以额定功率P额从静止开始匀加速启动，最后做匀速运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )．解析 分析汽车启动过程可知，汽车先是牵引力不变的匀加速启动过程，加速度恒定，速度均匀增大，功率均匀增大；当功率达到额定功率时，功率不再变化，此后汽车为恒定功率启动，速度继续增大，牵引力减小，加速度减小，当牵引力等于阻力时，加速度减小到零，速度达到最大，然后匀速运动．结合各选项的图象可知，选项B 错误，A 、C 、D 正确． 答案 ACD9. 如图2－4－24所示，M 为固定在水平桌面上的有缺口的正方形木块，abcd 为半径是R 的34光滑圆弧形轨道，a 为轨道的最高点，de 面水平且有一定长度．今将质量为m 的小球在d 点的正上方高为h 处由静止释放，让其自由下落到d 处切入轨道内运动，不计空气阻力，则( )．图2－4－24A ．只要h 大于R ，释放后小球就能通过a 点B ．只要改变h 的大小，就能使小球通过a 点后，既可能落回轨道内，又可能落到de 面上C ．无论怎样改变h 的大小，都不可能使小球通过a 点后落回轨道内D ．调节h 的大小，可以使小球飞出de 面之外(即e 的右侧)解析 要使小球到达最高点a ，则在最高点小球速度最小时有mg ＝m v 2R，得最小速度v ＝gR ，由机械能守恒定律得mg (h －R )＝12mv 2，得h ＝32R ，即h 必须大于或等于32R ，小球才能通过a 点，A 项错；小球若能到达a 点，并从a 点以最小速度平抛，有R ＝12gt 2，x＝vt ＝2R ，所以，无论怎样改变h 的大小，都不可能使小球通过a 点后落回轨道内，B 项错，C 项正确；如果h 足够大，小球可能会飞出de 面之外，D 项正确． 答案 CD10．(2013·北京西城期末)如图2－4－25甲所示，物体以一定的初速度从倾角α＝37°的斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为 3.0 m ．选择地面为参考平面，上升过程中，物体的机械能E 机随高度h 的变化如图乙所示．(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.)则( )．图2－4－25A ．物体的质量m ＝0.67 kgB ．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.40C ．物体上升过程的加速度大小a ＝10 m/s 2D ．物体回到斜面底端时的动能E k ＝10 J解析 ΔE 机＝－μmg cos α·hsin α＝－μmgh cot α＝－20 J ，在最大高度时E p ＝mgh＝30 J ，可得m ＝1 kg ，μ＝0.5，A 、B 错．由动能定理－ma ·hsin α＝0－E k0＝－50 J得物体上升过程的加速度大小a ＝10 m/s 2，C 正确．上升和下滑过程的机械能损失相同，所以回到斜面底端时的动能为30 J －20 J ＝10 J ，D 正确． 答案 CD11．(2013·廊坊模拟)如图2－4－26所示，一质量为M ＝5.0 kg 的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h ＝0.8 m ，其右侧足够远处有一固定障碍物A .另一质量为m ＝2.0 kg 可视为质点的滑块，以v 0＝8 m/s 的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5 N 的恒力F .当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止．此时撤去恒力F ，当平板车碰到障碍物A 时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ＝0.5，圆弧半径为R ＝1.0 m ，圆弧所对的圆心角∠BOD ＝θ＝106°.取g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：图2－4－26(1)平板车的长度；(2)障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离；(3)滑块运动到圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小． 解析 (1)滑块与平板车间的滑动摩擦力F f ＝μmg ， 对滑块，由牛顿第二定律得：a 1＝F f m＝μg ＝5 m/s 2对平板车，由牛顿第二定律得：a 2＝F ＋F f M＝3 m/s 2设经过时间t 1，滑块与平板车相对静止，共同速度为v ，则：v ＝v 0－a 1t 1＝a 2t 1 滑块的位移：x 1＝v 0＋v2t 1平板车的位移：x 2＝v2t 1平板车的长度：l ＝x 1－x 2 解得：l ＝4 m.(2)设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为t 2，则：h ＝12gt 22，x AB ＝vt 2障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离：x AB ＝1.2 m. (3)对滑块，从离开平板车到C 点，由动能定理得：mgh ＋mgR ⎝⎛⎭⎪⎫1－cos106°2＝12mv 2C －12mv 2在C 点由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2CR，解得：F N ＝86 N.由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小为86 N. 答案 (1)4 m (2)1.2 m (3)86 N12．(2013·北京卷，23)蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段．最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段．图2－4－27把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F ＝kx (x 为床面下沉的距离，k 为常量)．质量m ＝50 kg 的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x 0＝0.10 m ；在预备运动中，假定运动员所做的总功W 全部用于增加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt ＝2.0 s ，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x 1.取重力加速度g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力的影响． (1)求常量k ，并在图2－4－27中画出弹力F 随x 变化的示意图； (2)求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度h m ；(3)借助F －x 图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x 1和W 的值． 解析 (1)运动员静止在蹦床上时受力平衡， 则mg ＝kx 0.代入数据得：k ＝5 000 N/mF －x 图象如图(2)运动员离开床后做竖直上抛运动，且腾空时间为2 s ，由h ＝12g (Δt )2得：最大高度h m ＝12g ⎝⎛⎭⎪⎫Δt 22＝12×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫222m ＝5 m (3)由图象可知弹簧弹力做功应为F －x 曲线下的面积，其规律为W ＝12k Δx 2.在运动员从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律得：12kx 21＝mg (h m ＋x 1)代入数据得：x 1＝1.1 m运动员所做的总功W ＋12kx 20＝mg (h m ＋x 0)代入数据解得W ＝2 525 J≈2.5×103J. 答案 (1)5000 N/m 示意图见解析 (2)5 m(3)1.1 m 2.5×103 J。

专题四功能关系的应用[专题定位] 本专题主要用功能的观点解决物体的运动和带电体、带电粒子、导体棒在电场或磁场中的运动问题.考查的重点有以下几方面：①重力、摩擦力、静电力和洛伦兹力的做功特点和求解；②与功、功率相关的分析与计算；③几个重要的功能关系的应用；④动能定理的综合应用；⑤综合应用机械能守恒定律和能量守恒定律分析问题.本专题是高考的重点和热点，命题情景新，联系实际密切，综合性强，侧重在计算题中命题，是高考的压轴题.[应考策略] 深刻理解功能关系，抓住两种命题情景搞突破：一是综合应用动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律，结合动力学方法解决多运动过程问题；二是运用动能定理和能量守恒定律解决电场、磁场内带电粒子运动或电磁感应问题.第1讲功能关系在力学中的应用1.常见的几种力做功的特点(1)重力、弹簧弹力、静电力做功与路径无关.(2)摩擦力做功的特点①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值.在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移，还有部分机械能转化为内能.转化为内能的量等于系统机械能的减少量，等于滑动摩擦力与相对位移的乘积.③摩擦生热是指滑动摩擦生热，静摩擦不会生热.2.几个重要的功能关系(1)重力的功等于重力势能的变化，即W G＝－ΔE p.(2)弹力的功等于弹性势能的变化，即W弹＝－ΔE p.(3)合力的功等于动能的变化，即W＝ΔE k.(4)重力(或弹簧弹力)之外的其他力的功等于机械能的变化，即W其他＝ΔE.(5)一对滑动摩擦力做的功等于系统中内能的变化，即Q＝F f·l相对.1.动能定理的应用(1)动能定理的适用情况：解决单个物体(或可看成单个物体的物体系统)受力与位移、速率关系的问题.动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用. (2)应用动能定理解题的基本思路 ①选取研究对象，明确它的运动过程.②分析研究对象的受力情况和各力做功情况，然后求各个外力做功的代数和. ③明确物体在运动过程初、末状态的动能E k1和E k2.④列出动能定理的方程W 合＝E k2－E k1，及其他必要的解题方程，进行求解. 2.机械能守恒定律的应用 (1)机械能是否守恒的判断①用做功来判断，看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功的代数和是否为零. ②用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其他形式的能.③对一些“绳子突然绷紧”“物体间碰撞”等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示.(2)应用机械能守恒定律解题的基本思路 ①选取研究对象——物体系统.②根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒. ③恰当地选取参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态时的机械能. ④根据机械能守恒定律列方程，进行求解.例1 (多选)(2016·全国甲卷·21)如图1所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连.现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点.已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2.在小球从M 点运动到N 点的过程中( )图1A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差解析 因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM <∠OMN <π2，知M 处的弹簧处于压缩状态，N 处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A 错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g ；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g ，则有两个时刻的加速度大小等于g ，选项B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C 正确；由动能定理得，W F ＋W G ＝ΔE k ，因M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知W F ＝0，即W G ＝ΔE k ，选项D 正确. 答案 BCD预测 1 (2016·四川理综·1)韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员.他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J ，他克服阻力做功100 J.韩晓鹏在此过程中( ) A.动能增加了1 900 J B.动能增加了2 000 J C.重力势能减小了1 900 J D.重力势能减小了2 000 J答案 C解析 由题可得，重力做功W G ＝1 900 J ，则重力势能减少1 900 J ，故C 正确，D 错误；由动能定理得，W G －W f ＝ΔE k ，克服阻力做功W f ＝100 J ，则动能增加1 800 J ，故A 、B 错误. 预测2 如图2所示，用两根金属丝弯成一光滑半圆形轨道，竖直固定在地面上，其圆心为O 、半径为R .轨道正上方离地h 处固定一水平长直光滑杆，杆与轨道在同一竖直平面内，杆上P 点处固定一定滑轮，P 点位于O 点正上方.A 、B 是质量均为m 的小环，A 套在杆上，B 套在轨道上，一条不可伸长的细绳绕过定滑轮连接两环.两环均可看做质点，且不计滑轮大小与质量.现在A 环上施加一个水平向右的恒力F ，使B 环从地面由静止沿轨道上升.则( )图2A.力F 所做的功等于系统动能的增加量B.在B 环上升过程中，A 环动能的增加量等于B 环机械能的减少量C.当B 环到达最高点时，其动能为零D.当B 环与A 环动能相等时，sin ∠OPB ＝Rh答案 D解析 力F 做正功，系统的机械能增加，由功能关系可知，力F 所做的功等于系统机械能的增加量，不等于系统动能的增加量.故A 错误；由于力F 做正功，A 、B 组成的系统机械能增加，则A 环动能的增加量大于B 环机械能的减少量，故B 错误；当B 环到达最高点时，A 环的速度为零，动能为零，但B 环的速度不为零，动能不为零，故C 错误；当PB 线与圆轨道相切时，v B ＝v A ，根据数学知识有sin ∠OPB ＝R h，故D 正确.例2 如图3所示，水平面O 点左侧光滑，右侧粗糙，有3个质量均为m 完全相同的滑块(可视为质点)，用轻细杆相连，相邻滑块间的距离为L ，滑块1恰好位于O 点左侧，滑块2、3依次沿直线水平向左排开.现将水平恒力F ＝1.8μmg 作用于滑块1，μ为粗糙地带与滑块间的动摩擦因数，g 为重力加速度.图3(1)求滑块运动的最大速度；(2)判断滑块3能否进入粗糙地带？若能，计算滑块3在粗糙地带的运动时间.解析 (1)滑块2刚进入粗糙地带，滑块开始减速，此时速度最大，对所有滑块运用动能定理：F ·L －μmgL ＝12·3mv 21得v 1＝8μgL15(2)若滑块3能进入粗糙地带，设刚进入的速度为v 2，有F ·2L －μmg (1＋2)L ＝12·3mv 22得v 2＝2μgL5故滑块3能进入粗糙地带 此时3μmg －F ＝3ma故滑块3在粗糙地带的减速时间t ＝v 2a得t ＝5L 2μg答案 (1)8μgL15 (2)滑块3能进入粗糙地带 5L 2μg预测3 如图4所示，把小车放在倾角为30°的光滑斜面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，不计滑轮质量及摩擦，已知小车的质量为3m ，小桶与沙子的总质量为m ，小车从静止释放后，在小桶上升竖直高度为h 的过程中( )图4A.小桶处于失重状态B.小桶的最大速度为12ghC.小车受绳的拉力等于mgD.小车的最大动能为32mgh答案 B解析 在整个的过程中，小桶向上做加速运动，所以小桶受到的拉力大于重力，小桶处于超重状态.故A 、C 错误；在小桶上升竖直高度为h 的过程中只有重力对小车和小桶做功，由动能定律得：3mg ·h ·sin 30°－mgh ＝12(3m ＋m )v 2解得：v ＝12gh ，故B 正确；小车和小桶具有相等的最大速度，所以小车的最大动能为：E km＝12·3mv 2＝38mgh ，故D 错误. 预测4 (2016·全国丙卷·24)如图5所示，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接.AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R2.一小球在A 点正上方与A 相距R4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动.图5(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点. 答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析解析 (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒得E k A ＝mg ·R4①设小球在B 点的动能为E k B ，同理有 E k B ＝mg ·5R4② 由①②式得E k B ∶E k A ＝5∶1③(2)若小球能沿轨道运动到C 点，小球在C 点所受轨道的正压力F N 应满足F N ≥0 ④设小球在C 点的速度大小为v C ，由牛顿运动定律和向心加速度公式有F N ＋mg ＝m v2C R2⑤由④⑤式得mg ≤m 2v2C R⑥ v C ≥Rg2⑦全程应用机械能守恒定律得mg ·R 4＝12mv C ′2⑧解得v C ′＝gR2，满足⑦式条件，即小球恰好可以沿轨道运动到C 点.解题方略多个运动过程的组合实际上是多种物理规律和方法的综合应用，分析这种问题时注意要独立分析各个运动过程，而不同过程往往通过连接点的速度建立联系，有时对整个过程应用能量的观点解决问题会更简单.例3 (2016·全国乙卷·25)如图6所示，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内.质量为m的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R .已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos 37°＝45)图6(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小； (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放.已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点.G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量.解析 (1)由题意可知：l BC ＝7R －2R ＝5R ①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得mgl BC sin θ－μmgl BC cos θ＝12mv 2B②式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得v B ＝2 gR ③(2)设BE ＝x ，P 到达E 点时速度为零，此时弹簧的弹性势能为E p ，由B →E 过程，根据动能定理得mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12mv 2B④E 、F 之间的距离l 1为l 1＝4R －2R ＋x⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0⑥联立③④⑤⑥式得x ＝R ⑦ E p ＝125mgR⑧(3)设改变后P 的质量为m 1，D 点与G 点的水平距离为x 1、竖直距离为y 1，由几何关系(如图所示)得α＝37°.由几何关系得：x 1＝72R －56R sin α＝3R ⑨ y 1＝R ＋56R ＋56R cos α＝52R⑩设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t . 由平抛运动公式得：y 1＝12gt 2⑪ x 1＝v D t⑫联立⑨⑩⑪⑫得v D ＝355gR ⑬设P 在C 点速度的大小为v C ，在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g (56R ＋56R cos α)⑭ P 由E 点运动到C 点的过程中，由动能定理得E p －m 1g (x ＋5R )sin α－μm 1g (x ＋5R )cos α＝12m 1v 2C ⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮得m 1＝13m答案 (1)2 gR (2)125mgR (3)355gR 13m预测5 如图7所示，质量M ＝3 kg 的滑板A 置于粗糙的水平地面上，A 与地面的动摩擦因数μ1＝0.3，其上表面右侧光滑段长度L 1＝2 m ，左侧粗糙段长度为L 2，质量m ＝2 kg 、可视为质点的滑块B 静止在滑板上的右端，滑块与粗糙段的动摩擦因数μ2＝0.15，取g ＝10 m/s 2，现用F ＝18 N 的水平恒力拉动A 向右运动，当A 、B 分离时，B 对地的速度v B ＝1 m/s ，求L 2的值.图7答案 1 m解析 在F 的作用下，A 做匀加速运动，B 静止不动，当A 运动位移为L 1时B 进入粗糙段，设此时A 的速度为v A ，则：对A ：由动能定理：FL 1－μ1(M ＋m )gL 1＝12Mv 2A ①B 进入粗糙段后，设A 加速度为a A ，B 加速度为a B ，对A ：由牛顿第二定律： F －μ1(M ＋m )g －μ2mg ＝Ma A ② 对B ：由牛顿第二定律：μ2mg ＝ma B ③ 由①得v A ＝2 m/s④ 由②得a A ＝0⑤即A 以v A ＝2 m/s 的速度做匀速直线运动直至A 、B 分离，分离时B 的速度为v B ，设B 在粗糙段滑行的时间为t ，则： 对A ：x A ＝v A t ⑥ 对B ：v B ＝a B t ⑦x B ＝12a B t 2⑧又：x A －x B ＝L 2⑨ 联立解得：L 2＝1 m⑩预测6 如图8所示，质量m ＝0.1 kg 的小球(可视为质点)，用长度l ＝0.2 m 的轻质细线悬于天花板的O 点.足够长的木板AB 倾斜放置，顶端A 位于O 点正下方，与O 点的高度差h ＝0.4 m.木板与水平面间的夹角θ＝37°，整个装置在同一竖直面内.现将小球移到与O 点等高的P 点(细线拉直)，由静止释放，小球运动到最低点Q 时细线恰好被拉断(取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).求：图8(1)细线所能承受的最大拉力F ；(2)小球在木板上的落点到木板顶端A 的距离s ； (3)小球与木板接触前瞬间的速度大小. 答案 (1)3 N (2)1 m (3)2 5 m/s解析 (1)设细线拉断时小球的速度大小为v 0，由机械能守恒定律得：12mv 20＝mgl解得：v 0＝2gl在Q 点，由牛顿第二定律得 F －mg ＝m v20l解得 F ＝3mg ＝3 N(2)设小球在木板上的落点到木板顶端A 的距离为s ，由平抛运动的规律得：h －l ＋s ·sin θ＝12gt 2； s cos θ＝v 0t ，联立以上各式得：s ＝1 m(3)设小物块与木板接触前瞬间的速度大小为v ，由机械能守恒定律得： 12mv 2＝mg (h ＋s ·sin θ)，联立以上各式得：v ＝2 5 m/s. 专题强化练1.质量为m 的物体，自高为h 、倾角为θ的固定粗糙斜面顶端由静止开始匀加速滑下，到达斜面底端时的速度为v .重力加速度为g .下列说法正确的是( )A.物体下滑过程的加速度大小为v 2sin θhB.物体下滑到底端时重力的功率为mgvC.物体下滑过程中重力做功为12mv 2D.物体下滑过程中摩擦力做功为12mv 2－mgh答案 D解析 由v 2＝2a hsin θ，得a ＝v 2sin θ2h，故A 错误；物体下滑到底端时重力功率P ＝mgv sinθ，故B 错误；重力做功W ＝mgh ，由于有摩擦力做功mgh ＋W ＝12mv 2.故C 错误，D 正确.2.如图1所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab ，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a 处套一质量为m 的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a 处在同一水平线上的O 点，O 、b 两点处在同一竖直线上.由静止释放圆环后，圆环沿杆从a 运动到b ，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是( )图1A.圆环的机械能保持不变B.弹簧对圆环一直做负功C.弹簧的弹性势能逐渐增大D.圆环和弹簧组成的系统机械能守恒答案 D解析由几何关系可知，当环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小.所以在环从a到C的过程中弹簧对环做正功，而从C到b的过程中弹簧对环做负功，所以环的机械能是变化的.故A、B错误；当环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小，所以弹簧的弹性势能先减小后增大.故C错误；在整个的过程中只有重力和弹簧的弹力做功，所以圆环和弹簧组成的系统机械能守恒.故D正确.3.(多选)如图2所示，斜面与足够长的水平横杆均固定，斜面与竖直方向的夹角为θ，套筒P套在横杆上，与绳子左端连接，绳子跨过不计大小的定滑轮，其右端与滑块Q相连接，此段绳与斜面平行，Q放在斜面上，P与Q质量相等且为m，O为横杆上一点且在滑轮的正下方，滑轮距横杆h.手握住P且使P和Q均静止，此时连接P的绳与竖直方向夹角为θ，然后无初速度释放P.不计绳子的质量和伸长及一切摩擦，重力加速度为g.关于P描述正确的是( )图2A.释放P前绳子拉力大小为mg cos θB.释放后P做匀加速运动C.P达O点时速率为2gh－cos θD.P从释放到第一次过O点，绳子拉力对P做功功率一直增大答案AC解析释放P前，对Q分析，根据共点力平衡得，F T＝mg cos θ，故A正确；释放后对P分析，知P所受的合力在变化，则加速度在变化，做变加速直线运动，故B错误；当P到O点时，Q的速度为零，对P和Q系统研究，mg(hcos θ－h)cos θ＝12mv2，解得v＝2gh －cos θ，故C 正确；P 从释放到第一次过O 点，速度逐渐增大，拉力在水平方向的分力在减小，则拉力的功率不是一直增大，故D 错误.4.(多选)一足够长的传送带与水平面的夹角为θ，以一定的速度匀速运动.某时刻在传送带适当的位置放上具有一定初速度的物块(如图3a 所示)，以此时为t ＝0时刻记录了物块之后在传送带上运动的速度随时间的变化关系.如图b 所示(图中取沿斜面向上的运动方向为正方向，其中两坐标大小v 1>v 2).已知传送带的速度保持不变.则下列判断正确的是( )图3A.若物块与传送带间的动摩擦因数为μ，则μ>tan θB.0～t 1内，传送带对物块做正功C.0～t 2内，系统产生的热量一定比物块动能的减少量大D.0～t 2内，传送带对物块做的功等于物块动能的减少量 答案 AC解析 在t 1～t 2内，物块向上运动，则有 μmg cos θ>mg sin θ，得μ>tan θ，故A 正确；由题意知，物块先向下运动后向上运动，则知传送带的运动方向应向上.0～t 1内，物块所受摩擦力沿斜面向上，则传送带对物块做负功，故B 错误；物块的重力势能减小，动能也减小都转化为系统产生的内能，则由能量守恒得知，系统产生的热量大小一定大于物块动能的变化量大小.故C 正确；0～t 2内，传送带对物块做功等于物块机械能的变化量，故D 错误. 5.(多选)如图4所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道与光滑水平面相切，质量均为m 的小球A 、B 与轻杆连接，置于圆轨道上，A 位于圆心O 的正下方，B 与O 等高.它们由静止释放，最终在水平面上运动.下列说法正确的是( )图4A.下滑过程中重力对B 做功的功率先增大后减小B.当B 滑到圆轨道最低点时，轨道对B 的支持力大小为3mgC.下滑过程中B 的机械能增加D.整个过程中轻杆对A 做的功为12mgR答案 AD解析 因为初位置速度为零，则重力的功率为0，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小.故A 正确；A 、B 小球组成的系统，在运动过程中，机械能守恒，设B 到达轨道最低点时速度为v ，根据机械能守恒定律得： 12(m ＋m )v 2＝mgR ，解得：v ＝gR ，在最低点，根据牛顿第二定律得： F N －mg ＝m v 2R 解得：F N ＝2mg ，故B 错误；下滑过程中，B 的重力势能减小ΔE p ＝mgR ，动能增加量ΔE k ＝12mv 2＝12mgR ，所以机械能减小12mgR ，故C 错误；整个过程中对A ，根据动能定理得：W ＝12mv 2＝12mgR ，故D 正确. 6.如图5所示，长1 m 的轻杆BO 一端通过光滑铰链铰在竖直墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，绕过滑轮的细线一端悬挂重为15 N 的物体G ，另一端A 系于墙上，平衡时OA 恰好水平，现将细线A 端滑着竖直墙向上缓慢移动一小段距离，同时调整轻杆与墙面夹角，系统重新平衡后轻杆受到的压力恰好也为15 N ，则该过程中物体G 增加的重力势能约为( )图5A.1.3 JB.3.2 JC.4.4 JD.6.2 J答案 A解析 轻杆在O 点处的作用力方向必沿杆，即杆会平分两侧绳子间的夹角.开始时，AO 绳子水平，此时杆与竖直方向的夹角是45°；这时杆中的弹力大小等于滑轮两侧绳子拉力的合力.当将A 点达到新的平衡，由于这时轻杆受到的压力大小等于15 N(等于物体重力)，说明这时两段绳子夹角为120° 那么杆与竖直方向的夹角是60°；设杆的长度是L .状态1时，AO 段绳子长度是L 1＝L sin 45°＝22L ， 滑轮O 点到B 点的竖直方向距离是h 1＝L cos 45°＝22L ，状态2，杆与竖直方向夹角是60°，这时杆与AO 绳子夹角也是60°(∠AOB ＝60°)，即三角形AOB 是等边三角形.所以，这时AO 段绳子长度是L 2＝L ；滑轮到B 点的竖直距离是h 2＝L cos 60°＝12L ，可见，后面状态与原来状态相比，物体的位置提高的竖直高度是h ＝(h 2－h 1)＋(L 2－L 1)＝(12L －22L )＋(L －22L )＝(32－2)L .重力势能的增加量E p ＝Gh ＝G ×(32－2)L ＝15 N×(32－2)×1 m≈1.3 J.7.(多选)如图6所示为一滑草场.某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8).则( )图6A.动摩擦因数μ＝67B.载人滑草车最大速度为2gh 7C.载人滑草车克服摩擦力做功为mghD.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g答案 AB解析 对滑草车从坡顶由静止滑下，到底端静止的全过程，得mg ·2h －μmg cos45°·h sin 45°－μmg cos 37°·h sin 37°＝0，解得μ＝67，选项A 正确；对经过上段滑道过程，根据动能定理得，mgh －μmg cos 45°·h sin 45°＝12mv 2，解得v ＝2gh7，选项B 正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh ，选项C 错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为a ＝mg sin 37°－μmg cos 37°m ＝－335g ，选项D 错误.8.如图7甲所示，用固定的电动机水平拉着质量m ＝4 kg 的小物块和质量M ＝2 kg 的平板以相同的速度一起向右匀速运动，物块位于平板左侧，可视为质点.在平板的右侧一定距离处有台阶阻挡，平板撞上后会立刻停止运动.电动机功率保持P ＝6 W 不变.从某时刻t ＝0起，测得物块的速度随时间的变化关系如图乙所示，t ＝6 s 后可视为匀速运动，t ＝10 s 时物块离开木板.重力加速度g ＝10 m/s 2，求：图7(1)平板与地面间的动摩擦因数μ； (2)平板长度L .答案 (1)0.2 (2)2.416 m解析 (1)在前2 s 内，整体匀速，则有：F 1＝F f1，P ＝F 1v 1，F f1＝μ(M ＋m )g ，代入数据，联立三式解得μ＝0.2.(2)6～10 s 内，小物块匀速运动，则有：F 2＝F f2，P ＝F 2v 2，2～10 s 的过程，由动能定理得，P Δt －F f2L ＝12mv 22－12mv 21，联立各式代入数据解得L ＝2.416 m.9.倾斜雪道的长为25 m ，顶端高为15 m ，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图8所示.一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v 0＝8 m/s 飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起.除缓冲过程外运动员可视为质点，过渡圆弧光滑，其长度可忽略.设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g ＝10 m/s 2).图8答案 74.84 m 解析如图建立坐标系，斜面的方程为y ＝x tan θ＝34x ①运动员飞出后做平抛运动x ＝v 0t ② y ＝12gt 2③联立①②③式，得飞行时间t ＝1.2 s 落点的x 坐标x 1＝v 0t ＝9.6 m 落点离斜面顶端的距离s 1＝x 1cos θ＝12 m落点距地面的高度h 1＝(L －s 1)sin θ＝7.8 m 接触斜面前的x 轴方向分速度v x ＝8 m/sy 轴方向分速度v y ＝gt ＝12 m/s沿斜面方向的速度大小为v ∥＝v x cos θ＋v y sin θ＝13.6 m/s 设运动员在水平雪道上运动的距离为s 2，由功能关系得mgh 1＋12mv 2∥＝μmg cos θ(L －s 1)＋μmgs 2解得s 2＝74.84 m.10.风洞飞行表演是一种高科技的惊险的娱乐项目.如图9所示，在某次表演中，假设风洞内向上的总风量和风速保持不变.质量为m 的表演者通过调整身姿，可改变所受的向上的风力大小，以获得不同的运动效果.假设人体受风力大小与正对面积成正比，已知水平横躺时受风力面积最大，且人体站立时受风力面积为水平横躺时受风力面积的18，风洞内人体可上下移动的空间总高度AC ＝H .开始时，若人体与竖直方向成一定角度倾斜时，受风力有效面积是最大值的一半，恰好使表演者在最高点A 点处于静止状态；后来，表演者从A 点开始，先以向下的最大加速度匀加速下落，经过某处B 点后，再以向上的最大加速度匀减速下落，刚好能在最低点C 处减速为零，试求：图9(1)表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小； (2)AB 两点的高度差与BC 两点的高度差之比； (3)表演者从A 点到C 点减少的机械能. 答案 (1)g 34g (2)3∶4 (3)mgH解析 (1)在A 点受力平衡时，则mg ＝k S2向上最大加速度为a 1，kS －mg ＝ma 1 得到a 1＝g向下最大加速度为a 2，mg －k S8＝ma 2得到a 2＝34g(2)设B 点的速度为v B 2a 1h AB ＝v 2B 2a 2h BC ＝v 2B 得到：h AB h BC ＝a 2a 1＝34或者由v －t 图象法得到结论. (3)整个过程的动能变化量为ΔE k ＝0 整个过程的重力势能减少量为ΔE p ＝mgH 因此机械能的减少量为ΔE ＝mgH或者利用克服摩擦力做功可也得到此结论.11.(2016·全国甲卷·25)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接.AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图10所示.物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g .图10(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围. 答案 (1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能.由机械能守恒定律知，弹簧长度为l 时的弹性势能为E p ＝5mgl ①。

专题四功能关系的应用第2讲：功能关系在电学中的应用一、知识梳理1。

静电力做功与无关.若电场为匀强电场，则W＝Fl cosα＝Eql cosα;若是非匀强电场，则一般利用W＝来求。

2。

磁场力又可分为洛伦兹力和安培力。

洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都 ;安培力可以做正功、负功，还可以不做功.3.电流做功的实质是电场对做功.即W＝UIt＝.4.导体棒在磁场中切割磁感线时,棒中感应电流受到的安培力对导体棒做功,使机械能转化为能.5.静电力做的功等于的变化，即W AB＝－ΔE p.规律方法1.功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题,抓住和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解。

2。

动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法。

二、题型、技巧归纳高考题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用【例1】（多选）如图1所示地面上方存在水平向右的匀强电场。

现将一带电小球从距离地面O点高h处的A点以水平速度v0抛出，经过一段时间小球恰好垂直于地面击中地面上的B点,B到O的距离也为h。

当地重力加速度为g，则下列说法正确的是（)图1A.从A到B的过程中小球的动能先减小后增大B.下落过程中小球机械能一直增加C.小球的加速度始终保持2g不变D。

从A点到B点小球的的电势能增加了mgh高考预测1 如图2所示,直角三角形ABC由三段细直杆连接而成，AB杆竖直,AC杆粗糙且绝缘，其倾角为30°,长为2L,D为AC上一点,且BD垂直AC，在BC杆中点O处放置一正点电荷Q。

一套在细杆上的带负电小球,以初速度v0由C点沿CA上滑，滑到D点速率恰好为零，之后沿AC杆滑回C点.小球质量为m、电荷量为q，重力加速度为g。

则（)图2A.小球上滑过程中先匀加速后匀减速B.小球下滑过程中电场力先做负功后做正功C.小球再次滑回C点时的速率为v C＝错误!D。

专题四功能关系的应用第2讲：功能关系在电学中的应用一、夯实基础1。

(多选）如图1所示，绝缘粗糙斜面体固定在水平地面上，斜面所在空间存在平行于斜面向上的匀强电场E,轻弹簧一端固定在斜面顶端，另一端拴接一不计质量的绝缘薄板.一带正电的小滑块，从斜面上的P点处由静止释放后，沿斜面向上运动,并能压缩弹簧至R点(图中未标出），然后返回，则（）图1A。

滑块从P点运动到R点的过程中,其机械能增量等于电场力与弹簧弹力做功之和B。

滑块从P点运动到R点的过程中，电势能的减小量大于重力势能和弹簧弹性势能的增加量之和C.滑块返回时能到达的最低位置在P点的上方D。

滑块最终停下时,克服摩擦力所做的功等于电势能的减小量与重力势能增加量之差2。

(多选）如图2所示，匀强电场的电场强度为E，方向水平向左,一带电量为＋q，质量为m的物体放在光滑水平面上，在恒力F 作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，经时间t力F做功60J，此后撤去力F，物体又经过相同的时间t回到出发点O，设O点的电势能为零，则下列说法正确的是( ）图2A.物体回到出发点的速度与撤去力F时的速度大小之比为2∶1B。

恒力F＝4qEC.撤去力F时，物体的电势能为45JD.在撤去力F之前的任一时刻，动能与电势能之比均为1∶33。

(多选）如图3所示,物体A和带负电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别是m和2m，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在水平面上。

另一端与物体A相连，倾角为θ的斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。

开始时，物体B在一沿斜面向上的外力F＝3mg sinθ的作用下保持静止且轻绳恰好伸直,然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度,且弹簧未超过弹性限度,则在此过程中（）图3A。

对于物体A、B、弹簧和地球组成的系统，电场力做功等于该系统增加的机械能B。

物体A、弹簧和地球所组成的系统机械能增加量等于物体B 电势能的减少量C。

B的速度最大时，弹簧的伸长量为3mg sinθRD.撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为错误!4.(多选）如图4所示，在一竖直平面内，BCDF段是半径为R 的圆弧挡板,AB段为直线型挡板(长为4R），两者在B点相切,θ＝37°，C、F两点与圆心等高，D在圆弧形挡板的最低点，所有接触面均光滑、绝缘，挡板处于场强为E,方向水平向左的匀强电场中，现将带电量为＋q、质量为m的小球从挡板内侧的A点由静止释放，小球沿挡板内侧ABCDF运动到F点后抛出,在这段运动过程中,下列说法正确的是（sin37°＝0。