江苏省2020学年高一数学上学期期末考试试题

江苏省苏州市2021-2021学年上学期高一期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】集合A、B的公共元素是2，进而可得到集合A、B的交集。

【详解】集合A、B的公共元素是2，则AB＝{2}.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。

2.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于0，列出不等式求解即可。

【详解】由题意，，解得，故函数的定义域为.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。

3.若角的终边经过点,则的值为____【答案】-2【解析】由三角函数的定义可得，应填答案。

4.已知向量＝(3，5)，＝(4，1)，则向量的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】由即可得到答案。

【详解】由题意，.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于基础题。

5.已知＝，且是第四象限角，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】由是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。

【详解】因为是第四象限角，所以，则，则.【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。

6.下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_________．①；②；③；④．【答案】①【解析】【分析】对四个函数逐个分析，①满足题意；②是单调递增函数；③定义域不是R；④不是递减函数。

【详解】①，故的定义域是R且在定义域上为减函数；②，为定义域上的增函数，不满足题意；③，定义域为，不满足题意；④，在定义域上不是单调函数，不满足题意。

故答案为①.【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、一次函数与分段函数，属于基础题。

7.设，若，则 .【答案】【解析】当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍去），综上故填．8.已知函数的零点(n，n＋1)，，则n的值是_________．【答案】1【解析】【分析】分析可得函数是上的增函数，，，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。

第一学期江苏省期末考试模拟试卷（二）高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）}3A =<{}210B x x =-≤A B = A ． B ． C ． D ． 102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭192x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知，则“是“”的（ ）x ∈Rx 22x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则 A ．甲方案实惠 B ．乙方案实惠 C ．哪种方案实惠需由两次油价决定 D ．两种方案一样实惠4．若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）．()()2lg 45=--f x x x (),1t t +t A ． B ． C ． D ． ()(),12,-∞⋃+∞()(),25,-∞-+∞U (][),12,-∞+∞ (][),25,-∞-+∞U 5．已知，，，则的大小关系为（ ） 13e a =ln 2b =3log 2c =,,a b c A ．B ．C ．D ．a cb >>a bc >>b c a >>c b a >>6．函数的图象可能是（ ）()cos sin 2f x x x =+A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若对任意的实数x ，恒有(2()ln e 1xf x x =-+成立，则实数a 的取值范围为（ ）()2(1)2f ax x f x -+-+<A ． B ． C ． D ．()0,∞+[)0,∞+()1,+∞[)1,+∞8．已知函数在R 上满足，且时，()f x ()()0f x f x -+=0x >对任意的，都有13π3π()(|sin ||2sin |)sin ()2222f x x x αααα=++++-≤≤x ∈R恒成立，则实数的取值范围为（ ）(()f x f x -≤αA ．B ．C ．D ．[0,]ππ2π,[]33-π7π[,66-π4π[,33-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知，且，则（ ） 00，x y >>30x y xy ++-=A ．的范围 B ．的范围是 xy (0,1]x y +[2,3]C ． D ．的最小值是43x y +>2x y+3-10．已知函数，则（ ）()22,1+3,1x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩A ． B ．若，则或2f f ⎡⎤=⎣⎦()1f x =-2x =3x =-C ．的解集为 D ．，则 ()2f x <()[),01,-∞⋃+∞()R,x a f x ∀∈>3a ≥11．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在()()sin 0g x x ωω=>5πω()f x ()f x 上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）[]0,2πA ．的图象关于直线对称()f x 2x π=B ．在上，方程的根有3个，方程的根有2个 ()0,2π()1f x =()1f x =-C ．在上单调递增()f x 0,10π⎛⎫⎪⎝⎭D ．的取值范围是ω1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩A ． ()164f =B ．关于的方程有个不同的解 x ()()*21n f x n =∈N 23n +C ．在上单调递减()f x []()*2,21n n n +∈N D ．当时，恒成立.[)1,x ∞∈+()2xf x ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为___________. 12cm 28cm 14．已知函数，若方程的实根在区间()()25,2lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩()1f x =()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有可能值是______． 15．已知幂函数在上单调递增，函数，任意()()22421mm f x m x -+=-()0,∞+()23xg x t =-时，总存在使得，则的取值范围_______．[)11,5x ∈[)21,5x ∈()()12f x g x =t 16．已知函数对任意和任意都有()222219a f x x m m ax x x ⎛⎫⎛⎫=++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m R ∈1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是___________.()2f x ≥四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知，且．4cos 5α=-tan 0α>(1)求的值；tan α(2)求的值．π2sin(π)sin 2cos(2π)cos()αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+- 18．（12分）已知全集．[0,5],{|121}A B x m x m ==+≤≤-(1)若，求2m =A B ⋂(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． x A ∈x B ∈m 19．（12分）给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．已知函数是______． ()()()2121x x m mf x m x +-=∈-R （1）求的值； m （2）求不等式的解集． ()32f x x<20．(12分)2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂,空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时(y )(x )变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某04x (16)18y x =--410x <…15.2y x =-一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. 4()(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下(14)a a ……来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.精确到取 (0.1 1.4) 21．（12分）已知函数在上为奇函数，，.)()log af x mx =R 1a >0m >(1)求实数的值；m (2)指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；()f x(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，x ∈R ))2250f x t f x t +++-≤a 使最小值为，若存在求出的值.()142t t g t a +=-23-a 22．（12分）已知函数.||12()e ,()e x a bx f x f x -==(1)若，是否存在a ，使为偶函数，如果存()()()(122f x f x f x bf x =++-R b ∈，()y f x =在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；(2)若，判断在上的单调性，并用定义证明； 2,1a b ==()()()12g x f x f x =+(,1)-∞(3)已知，存在，对任意，都有成立，求a 的取值范0b >[]00,1x ∈[]0,1x ∈()()1201f x f x -<围.参考答案：1．A【分析】求解不等式，明确集合的元素，根据集合交集运算，可得答案.，则，即，由，则，即3<09x ≤<{}09A x x =≤<210x -≤12x ≤， 12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 102A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A. 2．A【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】由解得或22x >x>x <所以“是“”的充分不必要条件， x 22x >故选：A 3．A【分析】设两次加油的油价分别为，且.将两次加油的平均油价分别用表示a 0b >a b ¹,a b 出来，作差即可比较大小.【详解】设两次加油的油价分别为，且. a 0b >a b ¹甲方案：设每次加油总金额为，则平均油价； W 22211W abx W W a b a b a b===+++乙方案：设每次加油量为，则平均油价. N 22aN bN a by N ++==则，()()()()2242222x b ab a b a b ab a b a b a a y b -+--+-==+-=++因为，，且， a 0b >a b ¹所以，，， 0a b +>()20a b ->所以，.0x y -<所以，，甲方案实惠． x y <故选：A. 4．D【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围． m 【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为2()lg(45)f x x x =--(,1)t t +，因为，在上单调()(),15,-∞-+∞ 245(5)(1)y xx x x =--=-+()(),15,x ∈-∞-+∞ ()5,+∞递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，(),1-∞-lg y x =所以在上单调递增，在上单调递减， 2()lg(45)f x x x =--()5,+∞(),1-∞-要使函数在上单调，2()lg(45)f x x x =--(,1)t t +，或，解得，或，即，5t ∴…11t +-…5t …2t -…(][),25,t ∈-∞-+∞U 故选：． D 5．B【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案； ,b c 【详解】，，103e e 1=>=a ln 2ln e 1b =<=33log 2log 31c =<=最大，∴a ，， 3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg 3lg e lg 3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ∴b c >，∴a b c >>故选：B 6．D【分析】利用函数的奇偶性，的值及在区间，上函数值的正负情况，排π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭除错误选项即可得解．【详解】， ()cos()sin(2)cos sin 2f x x x x x -=-+-=-则，，()()f x f x -≠()()f x f x -≠-故是非奇非偶函数，故排除A 、B ，()cos sin 2f x x x =+；当时，，；当ππcos sin π022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πx ∈()cos sin 20f x x x =>+时，，，结合图象可排除C ． π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2π,2πx ∈()cos sin 20f x x x =+<故选：D ．7．C【分析】首先令，然后判断的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化()()1g x f x =-()g x 为，再利用的奇偶性和单调性得对于任意的实()()21g ax x g x -<--+()g x 2210ax x -+>数恒成立，最后解二次函数恒成立问题即可.x【详解】令，()()((21e 11ln ln e 1e 1x x x g x f x x x -=-=--=-++由于， ()(()1e e 1ln ln e 11e x x xxg x x x g x ----⎛-=--=+=- ⎝++所以得为奇函数.()g x 又因为在上单调递减，所以在上单调递减.()g x ()0,x ∈+∞()g x R x ∈已知对于任意的实数，恒有，x ()()212f ax x f x -+-+<整理得：，()()()2111[11]f ax x f x f x --<--++=--+-即，由于为奇函数， ()()21g ax x g x -<--+()g x 得，由于在上单调递减，()()21g ax x g x -<-()g x R x ∈得对于任意的实数恒成立， 21ax x x ->-x 即对于任意的实数恒成立. 2210ax x -+>x 当时，不恒成立，故，0a =210x -+>0a ≠当时，有，解得. 0a ≠()2Δ240a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩1a >故选：C 8．D【分析】设，按、分别探讨函数的性质，借助图象关系及已sin [1,1]t α=∈-0t ≥0t <()f x 知列出不等式，求解作答.【详解】令，当时，， sin [1,1]t α=∈-0x >13()(|||2|)22f x x t x t t =++++若，则当时，，当时，，， 0t ≥0x >()3f x x t =+0x <()()3f x f x x t =--=-(0)0f =函数的图象是由的图象向右平移(y f x =-()y f x =显然的图象总在的图象的上方，即恒成立，因此()y f x =(y f x =-(()f x f x -≤，sin 0t α=≥若，当时，，因为奇函数，函数在R 上的图象，0t <0x ≥,0(),23,2x x t f x t t x t x t x t -≤<-⎧⎪=-≤<-⎨⎪+≥-⎩()f x ()f x 如图，把的图象向右平移的图象，要，()y fx =(y fx =-R x ∀∈恒成立，(()f x f x -≤当且仅当射线经平移后在射线及下方，于是得3(2)y x t x t =-≤3(2)y x tx t =+≥-，33t t --≤0t≤<综上得，即，解得，t ≥sin α≥π3π22α-≤≤π4π33α-≤≤所以实数的取值范围为.απ4π[,33-故选：D【点睛】关键点睛：由一个函数经左右平移得另一函数，两个函数式为不等式的两边的不等式恒成立问题，作出原函数图象，借助图象分析求解是解决问题的关键. 9．ACD【分析】对于A，B 选项可由基本不等式及其推论判断正误； 对于C ，D 选项，先由可得，后利用基本不等式可得选项正误. 30x y xy ++-=31xy x -=+【详解】对于A ，由基本不等式，有，当且仅2033x y xy =++-≥+-当时取等号.解不等式，注意到，x y=230+-≤00，x y >>则，当时取最大值1.故A 正确.0101xy <≤⇒<≤1x y ==对于B ，由基本不等式，两不等式均当且仅当时取等x y +≥()24x y xy +≤x y =号.则，当且仅当时取等号，解不等式()20334x y x y xy x y +=++-≤++-x y =，注意到，()2304x y x y +++-≥00，x y >>得，此时.又，故，2x y +≥1x y ==00，x y >>0xy >则.综上.故B 错误. 3033x y xy x y xy ++-=⇒+=-<)23,x y ⎡+∈⎣对于C ，因，， 00，x y >>30x y xy ++-=则，则. ()30313x y xy x x y ++-=⇒=-+<03x <<又由，可得. 30x y xy ++-=()3131xx y x y x -+=-⇒=+故， ()16411241641553111x x x y x x x x x x -+-+=+=+=++-≥-=+++当且仅当，即或时取等号.因，故取不到等号.1611x x +=+3x =5x =-03x <<则.故C 正确. 43x y +>对于D ，由C 分析可知：()82162821333111x x x y x x x x x x -+-+=+=+=++-≥=+++当且仅当，即时取等号.得的最小值是.故D 正确.811x x +=+1x =-2x y +3故选：ACD 10．ABD【分析】对于A ，根据解析式先求，再求，对于B ，分和两种ff f ⎡⎤⎣⎦1x <1x ≥情况求解，对于C ，分和两种情况解不等式，对于D ，求出函数的值域进而即得. 1x <1x ≥【详解】对于A ，因为，所以，所以A 正230f =-+=()02f f f ⎡⎤==⎣⎦确；对于B ，当时，由，得，得；1x <()1f x =-21x +=-3x =-当时，由，得，，得或（舍去）； 1x ≥()1f x =-231x -+=-24x =2x =2x =-综上，或，所以B 正确；2x =3x =-对于C ，当时，由，得，解得； 1x <()2f x <22x +<0x <当时，由，得，解得或(舍去)；1x ≥()2f x <232x -+<1x >1x <-综上，的解集为，所以C 错误；()2f x <()(),01,-∞⋃+∞对于D ，当时，，当时，，所以的值域为， 1x <23x +<1x ≥232x -+≤()f x (3),-∞因为，，所以，所以D 正确， R x ∀∈()a f x >3a ≥故选：ABD. 11．CD【分析】根据函数的零点的个数，求出参数的范围，再判断函数的单调性、对称性和方ω程根的个数.【详解】由题意，， ()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+由题意，不一定是函数的对称轴，所以A 错误；2x π=当时，得，故；[0,2]x πÎ[,2]555x πππωωπ+∈+5265ππωππ≤+<，所以D 正确. 1229510ω≤<因为，则的根分别可由或或5265ππωππ≤+<()1f x =52x ππω+=552x ππω+=求出，共有3个根； 952x ππω+=当时，的根分别可由或求出，共2115252πππωπ≤+≤()1f x =-352x ππω+=752x ππω+=个根； 当时，的根分别可由或或112625ππωππ<+<()1f x =-352x ππω+=752x ππω+=求出，共3个根；所以B 错误； 1152x ππω+=当时，得， (0,)10x π∈(,)55105x ππωππω+∈+由，得，所以，此时在上单调递1229510ω≤<1149[,)10525100ωππππ+∈1052ωπππ+<()f x (0,)10π增，所以C 正确. 故选：CD.【点睛】本题重点考查三角函数的图象与性质，难度较大，做题时注()sin()f x A x ωϕ=+意利用整体法判断：即通过将作为整体，借助的图象和性质来进行判断. x ωϕ+sin y x =12．ACD【分析】求的值判断选项A ；当时验证结论是否正确去判断选项B ；由在()6f 1n =()f x 上的解析式去判断选项C ；分析法证明不等式去判断选项D.[]()*2,21n n n +∈N 【详解】选项A ：.判断正确； ()()()1111642(10)2444f f f ===-=选项B ：画出部分图像如下：()fx当时，由，可得或1n =()21f x =131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩由，可得或；由，可得131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩52x =32x =311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩4x =即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误； 1n =()21f x =选项C ：当时，， *3()n k k =∈N [][]2,216,61n n k k +=+若即，则 []2,21x n n ∈+[]6,61x k k ∈+()[]622,3x k --∈则，为减函数；()()[]313131111621(6)(16)222k k k f x f x k x k x k ---=-+=--=-++当时， 31()n k k =+∈N [][]2,2162,63n n k k +=++若即，则 []2,21x n n ∈+[]62,63x k k ∈++[]62,3x k -∈则，为减函数； ()()[]33311161(62)(36)222k k k f x f x k x k x k =-=---=-++当时， 32()n k k =+∈N [][]2,2164,65n n k k +=++若即，则 []2,21x n n ∈+[]64,65x k k ∈++[]622,3x k --∈则，为减函数；()()[]313131111621(64)(56)222k k k f x f x k x k x k +++=--=---=-++综上，在上单调递减. 判断正确；()f x []()*2,21n n n +∈N 选项D ：当时，可化为， [)1,x ∞∈+()2xf x ≤2()f xx≤同一坐标系内做出与的图像如下： 2y x=()f x等价于 ()*11222n n n-≤∈N 即，而恒成立. 判断正确. ()*1112n n n-≤∈N ()1*2n n n -≥∈N 故选：ACD【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 13．4或1【分析】根据题意设出扇形的圆心角，半径与弧长，通过扇形的周长与面积的公式，列方程可求得半径与弧长，进而可求出圆心角.【详解】设圆心角为，半径为，弧长为，则，αr l 212182l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得或， 2,8r l ==4,4r l ==所以或1. 4lrα==故答案为：4或1. 14．－3，－2或1【分析】先由求出，再变形得到()2512x x -=≤-x =3k =-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到()1lg 2(2)x x x+=>-两根分别在与内，从而确定k 的所有可能值.()2,1--()1,2【详解】①由方程，解得：，()2512x x -=≤-x =因为， ()3,2--故；3k =-②由于方程即方程，分别作出左右两边函数的图()lg 21(2)x x x +=>-()1lg 2(2)x x x+=>-象，从图象上可得出：方程在区间内有一个实根． ()1lg 2x x+=()2,1--故方程在区间内有且仅有一个实根．此时， ()lg 21x x +=()2,1--2k =-下面证明：方程在区间内有一个实根，()lg 21x x +=()1,2函数，在区间和内各有一个零点，⇔()()lg 21f x x x =+-()2,1--()1,2因为时，，故函数在区间是增函数， ()1,2x ∈()lg 20x +>()()lg 21f x x x =+-()1,2又，，()1lg310f =-<()22lg410f =->即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个()()120f f <()()lg 21f x x x =+-()1,2零点，即方程在区间内有且仅有一个实根， ()lg 21x x +=()1,2此时.1k =故答案为：－3，－2或1．15．1733⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】根据题意得到，再计算值域为，得到，()2f x x =()[)21,25f x x =∈()525g ≥计算得到答案.()11g ≤【详解】幂函数则或()()22421mm f x m x -+=-()2110m m -=∴=2m =当时，在上单调递减，舍去； 2m =()2f x x -=()0,∞+故，当时：()2f x x =[)1,5x ∈()[)21,25f x x =∈故； ()57523253g t t =-≥∴≤()112313g t t =-≤∴≥综上所述：1733t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，故答案为：1733⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查了幂函数，函数值域，将存在问题和恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键. 16． 13(,[,2-∞⋃+∞）【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为()f x m 对任意恒成立，令，可化为222419a x ax x x ⎛⎫≥ ⎪⎝-⎭++-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1t x x =+min 5a t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭或，即可求出.max 9a t t ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭【详解】()22222222119292a a f x x x m m m ax m ax x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪+-++++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222222119922a a x ax x ax x x x m x m ⎛⎫=⎛⎫⎛⎫+++++++⎝-+ ⎪⎝+ ⎪⎝⎭ ⎪⎭⎭因为对任意和任意都有恒成立，m R ∈1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x ≥所以对任意222222248011992a a x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫++++++++- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫-≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎝⎦⎪⎭⎭恒成立， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦整理可得对任意恒成立，222419a x ax x x ⎛⎫≥ ⎪⎝-⎭++-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即或，对任意恒成立， 22192a x ax x x ++--≤-22192a x ax x x ++--≥1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即或对任意恒成立，22171x x a x x ++≤+221111x x a x x++≥+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，则， 1t x x =+52,2t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则或对任意恒成立，5a t t ≤+9a t t ≥+52,2t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦所以或，min 5a t t ⎛⎫≤+⎪⎝⎭max 9a t t ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭因为，即，5t t +≥5t t =t =min 5t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又在单调递减，所以， 9y t t =+52,2t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦max 9913222t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以或. a ≤132a ≥故答案为：. 13(,[,2-∞⋃+∞）17．(1)；34(2). 54【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值.【详解】（1）∵，，∴为第三象限角．4cos 5α=-tan 0α>α∴，3sin 5α==-∴. sin 3tan cos 4ααα==（2）原式2sin cos cos cos αααα+=+ 1tan 2α=+. 315424=+=18．(1)； {3}(2). 3m ≤【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解；2m =B （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取B A B =∅B ≠∅m 值范围.【详解】（1）当时，，又， 2m ={}3B =[0,5]A =所以=；A B ⋂{3}（2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， x A ∈x B ∈B A ①当时，；B =∅211,2m m m -<+∴<②当时，由真包含于得（等号不能同时成立），B ≠∅B A 21121510m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，23m ∴≤≤综上所述，. 3m ≤19．（1）；（2） 12m =()1,+∞【分析】（1）若选①：利用周期性，可得，求解即可； ()()()123f f f ==若选②：利用奇函数的性质，可得，求解即可；()()110f f -+=若选③：利用偶函数的定义，可得在定义域上恒成立，求解即可． ()()f x f x -=（2）利用（1）中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可．【详解】解：（1）函数，的定义域为， 21()()(21)x x m mf x m R x ⋅+-=∈-()f x ()(),00,-∞⋃+∞若选①：是周期为1的函数，则， ()f x ()()()123f f f ==即，无解，不合题意； 31711621m m m +++==m若选②：为奇函数，则， ()f x ()()110f f -+=即，方程无解，不合题意；120m m ++-=若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，()f x ()()f x f x -=即，2121(21)(21)x x x x m m m mx x --⋅+-⋅+-=---整理可得，解得， 210m -=12m =此时为偶函数； ()f x 所以 12m =（2）由，可得， 3()2f x x<2132(21)2x xx x +<-①，即，解得； 02132(21)2x x x >⎧⎪+⎨<⎪-⎩0213(21)x xx >⎧⎨+<-⎩1x >②，即，此时无解． 02132(21)2x x x <⎧⎪+⎨>⎪-⎩()021321x xx <⎧⎪⎨+<-⎪⎩x 综上所述，不等式的解集为． (1,)+∞20．(1)8 (2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为，由()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经小时后，浓度为()610x x ≤≤，化简利用基本不等式求解.()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以其浓度为，()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得，此时， 04x ≤≤64448x-≥-0x ≥04x ≤≤当时，，解得，此时， 410x <≤2024x -≥8x ≤48x <≤综上，08x ≤≤所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时； （2）设从第一次喷洒起，经小时后，()610x x ≤≤其浓度为， ()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----因为，[][]144,8,1,4x a -∈∈所以， 161444414a x a a a x -+--≥-=--当且仅当，即161414ax x -=-14x =-所以其最小值为，4a --由，解得， 44a --≥244a -≤≤所以a 的最小值为. 24 1.6-≈21．； (2)减函数；(3). 32【分析】（1）因为为奇函数，所以恒成立，据此可求出的值； ()f x ()()0f x f x +-=m（2）由（1）可求出，根据复合函数)()log log aaf x ==a 的单调性可判断的单调性；()f x（3）根据题意，结合（1）对原不等式变形可得，)()225f x t f t x ++≤又根据，整理得， ()f x 225x t t x ++≥225t t x x -≤-的最小值，再解关于的不等式，x x +t 对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.()142t t g t a +=-a（1）因为函数在上为奇函数，所以恒成立， ()f x R ()()0f x f x +-=即恒成立， ))()220log log l 21og aaa mx m x x m +=⎡⎤-+=⎣⎦所以，又，所以 220m -=0m >m （2）由（1）知)()log log a af x ==是减函数，又，R 1a >所以在上为减函数；)()log af x =R （3）因为对任意都有,x ∈R ))2250f x t f x t +++-≤所以对任意都有，x ∈R ))()2225f x t f x t f t x ≤=++--由在上为减函数；)()log af x =R所以对任意， x ∈R 225x t t x ++≥所以对任意都有，x ∈R 225t t x x --，π2sin 24x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭所以即，解得 2252t t --≤-2230t t --≤13t -≤≤因为， ()()1242222t t t t g t a a +==--⨯令，则， 2t n =182n ≤≤令，它的对称轴为， ()22h n an n =-()10,1n a=∈当，即时， 1102a <<2a >在上是增函数，()22h n an n =-1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()min 121243ah n h ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭解得舍去， ()42,3a =∉+∞当即时， 1112a≤<12a <≤此时，()min 1123h n h a a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭解得，所以.(]31,22a =∈32a =【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到t 的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，()142t t g t a +=-对数学能力要求较高. 22．(1)答案见解析； (2)单调递减，证明见解析；(3).()()()1ln e 1,ln e 1b ba ∈-++【分析】（1）将代入证明为偶函数即可．0,1a b ==()y f x =（2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据单调性的定义代入作差，即可2,1a b ==证明为单调递减函数．12()()()g x f x f x =+（3）将问题转化为在上，由题设有，讨论[]0,0,1x x ∈()()1max 20max [1]f x f x -<()20max e bf x =、分别求，列不等式求解即可．12a ≤12a >()1max [1]f x -(1)存在使为偶函数， 此时，证明如下： 0,1a b ==()y f x =()e e e x x x f x -=++因为的定义域为，且， ()y f x =R ()e e e e e e ()x x x x x x f x f x ----=++=++=所以为偶函数． ()y f x =(2)且，则在上为减函数212()()()ee x x g xf x f x -=+=+1x <2()e e x xg x -=+(),1-∞证明如下：任取，且，()12,,1x x ∈-∞12x x < ， ()()()()211221121222212e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x g x g x -⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭()1221122e e e e e e e x x x x x x -=-⋅由，则，， 121x x <<21e e 0x x >>21122e e e e x x x x +>=所以，即，则在上为减函数.()()120g x g x ->()()12g x g x >()y g x =(),1-∞(3)由，则， ()()1201f x f x -<()()1201f x f x -<对任意，存在使成立，即，[]0,1x ∈[]00,1x ∈()()1201f x f x -<()()1max 20max [1]f x f x -<当时为增函数，则，0b >2()e bx f x =()20max e b f x =当时 ，则有，可得， 12a ≤()()111max 1e a f x f -==1e 1e b a ->-()1ln e 1b a >-+当时，，则有，可得， 12a >()()11max 0e a f x f ==e e 1b a >-()ln e 1b a <+因为，则， 0b >()1ln e 1ln 22b +>>=所以. ()()()1ln e 1,ln e 1b b a ∈-++【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为在上，对于[]0,0,1x x ∈()()1max 20max [1]f x f x -<讨论参数a 分别求出最值． ()1max [1]f x -。

高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）{}{}1,2,3,2A B x N x ==∈≤∣A B ⋃=A. B. C. D.{}2,3{}0,1,2,3{}1,2{}1,2,32.命题“”的否定是（ ）0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭A. B.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭C. D.0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）3π6πB. C. D.13π23π43π4.，不等式恒成立，则的取值范围为（）x R ∀∈2410ax x +-<a A.B.或4a <-4a <-0a =C.D.4a ≤-40a -<<5.已知，则（ ）0.50.5e ,ln5,log e a b c -===A.B.c a b <<c b a <<C.D.b a c <<a b c <<6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()f x R ()()4f x f x =+()11f -=-（）()()20202021f f +=A. B.0 C.1D.21-7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+,,a b c ,,a b c ）A.B.c b a <<b a c <<C.D.a c b <<c a b <<8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ()()sin f x A x ωϕ=+）A.B.122y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21y f x =+C.D.122x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）()0,∞+A. B.21y x =+3y x =C. D.23y x =3xy -=10.若，则下列不等式正确的是（ ）110a b <<A. B.a b <a b<C. D.a b ab +<2b a a b +>11.若函数，则下列选项正确的是（ ）()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.最小正周期是πB.图象关于点对称,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.在区间上单调递增7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.图象关于直线对称12x π=12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令x ∈R []x x []y x =，以下结论正确的是（ ）()[]22f x x x =-A.()1.10.8f -=B.为偶函数()f x C.最小正周期为()f x 12D.的值域为()f x []0,1第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）5log 25+=14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.（1），若则12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >（2）()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两xOy Ox ,αβP Q 点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.,P Q 34,55αβ+16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则()2log ,04,2cos ,482x x f x t R x x π⎧<<⎪=∃∈⎨≤≤⎪⎩()f x t =1234,,,x x x x 的取值范围是__________；的取值范围是__________.1234x x x x 1234x x x x +++四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10.0分）求值：（1）22log 33582lg2lg22+--（2）251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18.（本小题12.0分）已知全集，集合，集合.U R ={}2120A x x x =--≤∣{}11B x m x m =-≤≤+∣（1）当时，求；4m =()U A B ⋃ （2）若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 19.已知函数的部分图象如图.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，()f x 6π得到函数的图象，当时，求值域.()g x ,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 20.（本小题12.0分）已知函数()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.()1,052f παα=-<<sin cos ,sin cos αααα⋅-21.（本小题12.0分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要500m 500m ⨯建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.S 22.（本小题12.0分）已知函数.()1ln1x f x x -=+（1）求证：是奇函数；()f x （2）若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为(),1,αβ∞∈+αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m 高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题参考答案）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求.B A B ⋃【详解】因为，所以.{}{}1,2,3,0,1,2A B =={}0,1,2,3A B ⋃=故选：B2.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“”为全称命题，0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭按照改量词否结论的法则，所以否定为：，0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭故选：D3.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.326ππ=12233ππ⋅⋅=故选：B4.【答案】A【解析】【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】，不等式恒成立，x R ∀∈2410ax x +-<当时，显然不恒成立，0a =所以，解得：.0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩4a <-故选：A.5.【答案】A【解析】【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.【详解】因为，0.500.50.50e e 1,ln5lne <1,log e log 10a b c -<===>==<=所以，c a b <<故选：A.6.【答案】C【解析】【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.()()4f x f x =+【详解】是奇函数，，()f x ()()()00,111f f f ∴==--=又是周期函数，周期为4.()()()4,f x f x f x =+∴.()()()()2020202101011f f f f ∴+=+=+=故选：C.7.【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.【详解】函数的零点转化为与()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+e ,ln ,sin x y y x y x ===的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，y x =-,,a b c 在坐标系中画出与的图象如图：e ,ln ,sin x y y x y x ===y x =-可知，0,0,0a b c <>=满足.a cb <<故选：C.8.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把()1y f x =+的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，()1y f x =-12所以如图的图象所对应的解析式为.()21y f x =+故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.【详解】对于A ：22()11y x x =-+=+函数是偶函数，在上是增函数，故A 正确；∴21y x =+()0,∞+对于：B 33()y x x =-=- 函数是奇函数，故错误；∴3y x =B 对于：C 2233()y x x=-= 是偶函数，在上是增函数，故C 正确；23y x ∴=()0,∞+对于：D 33x x y ---== 是偶函数，在上是减函数，故错误.3xy -∴=()0,∞+D 故选：AC10.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于，则，故错误；110a b <<0b a <<a b <正确；正确；，正确0a b ab +<<a b <2222,2a b a b ab b a b a ab ab a b ++=>=∴+>故选：BC D.11.【答案】BC【解析】【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,A 2π令，2,3246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈当时，，所以图象关于点对称，正确；2k =3x π=,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 因为，解得，当时，，所2,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭1k =7,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以在区间上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B C.12.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反A B 1.1x =-例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的C ()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ()f x 102x ≤<()f x 值域即可.【详解】对于A ，，故A 正确.()[]1.1 2.2 2.2 2.230.8f -=---=-+=对于，取，则，而，B 1.1x =-()1.10.8f -=()[]1.1 2.2 2.2 2.220.2f =-=-=故，所以函数不偶函数，故B 错误.()()1.1 1.1f f -≠-()f x 对于，则，故C 正确.C [][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，D C ()f x 12要求的值域，只需求时的值域即可.()f x 102x ≤<()f x 当时，则，0x =()[]0000f =-=当时，，102x <<()[]()222020,1f x x x x x =-=-=∈故当时，则有，故函数的值域为，故错误.102x ≤<()01f x ≤<()f x [)0,1D 故选：A C.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.【答案】6【解析】【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.，5log 25426+=+=故答案为：614.【解析】【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >()f x R 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=()f x 【详解】令，()2x f x =则为上增函数，满足条件（1）.()2x f x =R 又()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++==⨯=故()()()1212f x x f x f x +=即成立.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=故答案为：等均满足题意()()()(2,3,4x x x f x f x f x ===)15.【答案】1【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开3443sin ,cos ,sin ,cos 5555ααββ====()sin αβ+求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别Ox ,αβ,P Q ,P Q 为34,55所以是锐角，可得，3sin ,5αα=4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，βQ 45所以是锐角，可得，4sin ,5ββ=3cos 5β=所以，()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.αβ+故答案为：1.16.【答案】①.②.()32,354⎝⎭【解析】【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把()f x 12,x x 34,x x 和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.1234x x x x +++1234x x x x 【详解】做出函数的图像如下：()2log ,042cos ,482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；()f x (]0,1()0;f x []1,4在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.()f x []4,82-若方程有4个不同的解：，则()f x t =1234,,,x x x x 02t <<不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<<是方程的解，则，即；12,x x 2log (04)x t x =<<2122log log x x =-121x x =是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.34,x x ()2cos 482x t x π=≤≤3412x x +=故，()()212343433312636x x x x x x x x x ==-=--+由得即345x <<()233263635x <--+<12343235x x x x <<1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当时，单调递减，1114x <<()112m x x x =++则1116514124x x <++<故答案为：①；②()32,354⎝⎭四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解：；()()22log 33582lg 2lg243lg5lg22lg27lg5lg27162+--=+---=-+=-=（2）解：251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭sin 4cos 3tan 3634ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11sin cos tan 1063422πππ=+-=+-=18.解：（1）集合，{}34A x x =-≤≤∣当时，或，4m ={}35,{3U B x x B x x =≤≤=<∣∣ 5}x >所以或；(){4U A B x x ⋃=≤∣ 5}x >（2）由题可知或，{3U A x x =<-∣ 4}x >由可得或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或，4m <-5m >故的取值范围为或.m {4mm <-∣5}m >19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，()f x 2-0A >2A =周期，则，452,,03123T πππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2ω=从而，代入点，得，()()2sin 2f x x ϕ=+5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭5sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，即，52,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=-+∈又，则.2πϕ<3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()f x 故可得；2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象6π()g x 故可得；()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,,,sin 66366x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-∴-∈--∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 的值域为.()2sin 2,6x g x π⎛⎫⎡⎤-∈∴ ⎪⎣⎦⎝⎭2⎡⎤⎣⎦20.解（1）()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos cos cos tan ααααααα-=+⋅-，sin cos αα=+故；()sin cos f ααα=+（2）由，()1sin cos 5f ααα=+=平方可得，221sin 2sin cos cos 25αααα++=即.242sin cos 25αα⋅=-所以，12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，2πα-<<sin 0,cos 0αα<>所以，sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-21.解：（1）由已知，其定义域是.30003000,xy y x =∴=()6,500，()()()46210S x a x a x a=-+-=-，150026,332y a y a x +=∴=-=- ，其定义域是.()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6,500（2），15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =()506,500x =∈此时，.max 50,60,2430x y S ===答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m,60m x y ==22.（1）证明：由函数，可得，()1lg 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭101x x ->+即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.101x x -<+11x -<<()1,1-再根据，可得是奇函数.()()11lg lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭()f x （2）由（1）知，其定义域为.()1ln 1x f x x -=+()(),11,∞∞--⋃+.因为在上为增函数，()2ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()211u x x =-+()1,∞+在上为增函数，当，时，()f x ()1,∞+[]3,5x ∈()ln2ln2ln3f x -≤≤-对任意都有成立，，即，[]3,5x ∈()3f x t >-ln23t ->-3ln2t <-的取值范围是.t (),3ln2∞--（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,∞+又因为函数在上的值域为.()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩所以1,121,12m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程的两实根，,αβ112x m mx x -=-+问题等价于放程在上有两个不等实根，211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,∞+令，对称轴()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则，即解得.()2011124Δ14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩0,20,522,9m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<。

2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末模拟（六）数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =->，{}B x x x ==-，则A B ⋂=（ ）A ．()0,2B ．(2,+)∞C ．(),0-∞D ．(],0-∞【答案】C 【分析】解出集合A 中的不等式和集合B 中的方程即可. 【详解】因为{}()()220,02,A x x x =->=-∞⋃+∞，{}(],0B x x x ==-=-∞所以A B =,0故选：C 【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.2．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为A ．200,10x R x ∃∈+<B ．200,10x R x ∃∈+≤ C ．2,10x R x ∀∉+≤D ．2,10x R x ∀∈+≤【答案】B 【分析】利用全称命题的否定是变量词，否结论即可得到p ⌝.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题2:,10p x R x ∀∈+>的否定为200:,10p x R x ⌝∃∈+≤.故选：B【点睛】主要考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题是解题的关键，属于简单题. 3．若“223x m >-”是“14x -<<”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]1,2-【答案】A【分析】根据题设条件得到()()21,423,m -⊆-+∞，解不等式2231m -≤-，即可得到m 的取值范围. 【详解】∵223x m >-是14x -<<的必要不充分条件∴()()21,423,m -⊆-+∞∴2231m -≤-，解得11m -≤≤．【点睛】本题主要考查了利用必要不充分条件求参数的范围，属于基础题.4．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．1y x =B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg y x = 【答案】D【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断． 【详解】因为1()y f x x ==，1()()f x f x x -==--，所以1y x =为奇函数，不符合题意； 因为()x y f x e -==，则()()x f x e f x -=≠±，故()f x 不是偶函数因为2()1y f x x ==-+，()22()11()f x x x f x -=--+=-+=，所以21y x =-+为偶函数，但是21y x =-+在0,上单调递减()lg y f x x ==，()lg lg ()f x x x f x -=-==，则lg y x =为偶函数，且0x >时，lg y x =单调递增 故选：D ．【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.5．设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<，∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<，∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<，∴33log 0.5log 10<=，即0c <∴a b c >>，故选：A ．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题6．已知函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，1)B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．[)0,1D ．(][)-01∞⋃+∞，，【分析】由题意知2210ax ax ++≠恒成立，讨论0a =和0a ≠时，从而求出实数a 的取值范围．【详解】函数257()21x f x ax ax +=++的定义域是R ， 即2210ax ax ++≠恒成立；当0a =时，10≠，满足题意；当0a ≠时，2440a a ∆=-<，解得01a <<；综上知，实数a 的取值范围是[0，1)．故选：C ．7．为了得到函数2lg 10x y -=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】D【解析】将所得函数解析式变形为()2lglg 2110x y x -==--，然后利用函数图象的平移法则可得出结论. 【详解】()2lg lg 2110x y x -==--，为了得到函数2lg 10x y -=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题. 8．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．{}|31x x -<<-B ．1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1{|3x x <或1}x >D ．{|3x x <-或1}x >- 【答案】B【分析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<，根据韦达定理求得b a，c a ，在关于x 的不等式20cx bx a ++>的两边同除以a ，得210c b x x a a ++<，即可求得答案. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<，∴a<0，且1，3是方程20ax bx c ++=的两根，根据韦达定理可得：13b a +=-，13c a ⨯=， ∴4=-b a ，3c a =， 在关于x 的不等式20cx bx a ++>的两边同除以a ， 得210c b x x a a++<， ∴不等式变为23410x x -+<， 解得：113x <<∴不等式20cx bx a ++>的解集为：1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ）A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确；因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确；2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论，其中正确的有（ ）A ．2xy y <B ．22x y >C ．(0)y y m m x x m+<>+ D ．11x x y <- 【答案】BCD【分析】由已知，根据题意，可对选项利用不等式的性质一一判断即可完成作答.【详解】对于A 选项，由于,x y 为正实数，且x y >，两边乘以y 得2xy y >，故A 选项错误． 对于B 选项，由于,x y 为正实数，且x y >，所以22x y >，故B 选项正确．对于C 选项，由于,x y 为正实数，且x y >，所以()()()0y x m x y m m y x +-+=-<，则()()y x m x y m +<+，所以y y m x x m+<+成立，故C 选项正确． 对于D 选项，由于,x y 为正实数，且x y >，所以0x x y >->，取倒数得110x x y <<-，故D 选项正确．故选：BCD ．11．下列说法正确的是（ ）A ．若x y xy +=(x >0，y >0)，则x +y 的最小值为4B ．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为3π，则面积为6π C ．若8log 3,p =3log 5,q =，则3lg513pq pq=+ D ．定义在R 上的函数()31x m f x -=-为偶函数，记0.52(log 3),(log 5),(2)a f b f c f m ===，则a <b <c【答案】ABC【分析】对于A ，直接利用基本不等式求解即可；对于B ，直接根据扇形的面积公式求解；对于C ，利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解；对于D ，利用偶函数()()f x f x -=，可得||||x m x m +=-，解得0m =，可得()f x ，再利用函数的性质即可比较大小．【详解】对于A ：因为2()44x y x y xy x y ++=≤⇒+≥(x >0，y >0)，当且仅当==2x y 时取等号，则x +y 的最小值为4，故正确；对于B ，扇形的半径为1，圆心角的弧度数为=3πα，面积为S ，2111223S r πα∴==⨯⨯6π=． ∴该扇形的面积为6π，故正确； 对于C ：833log 3832lg lg p lg lg ===，332lg plg ∴=．35log 53lg q lg ==， 53323(15)lg qlg pqlg pq lg ∴===-，3513pq lg pq∴=+，故正确；对于D ：定义在R 上的函数||()31(x m f x m -=-为实数）为偶函数，()()f x f x ∴-=，||||x m x m ∴+=-，0m ∴=．||()31x f x ∴=-．所以函数()f x 在[)0,∞+上单增，0.522(log 3)(3)(3)a f f log f log ∴==-=，又22035log log <<所以22(0)(3)(5)c f a f log b f log =<=<=；c a b ∴<<，故错误.故选：ABC ．12．我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为 {S A x x S =∈，且}x A ∉．类似地，对于集合A ，B ，我们把集合{x x A ∈，且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．据此，下列说法中正确的是（ ）A ．若AB ⊆，则A B -=∅B ．若B A ⊆，则A B A -=C ．若A B ⋂=∅，则A B A -=D ．若A B C =，则A B A C -=- 【答案】ACD【解析】利用集合的新定义逐一判断即可.【详解】由差集的定义可知，对于选项A ，若A B ⊆，则A 中的元素均在B 中，则A B -=∅，故选项A 正确；对于选项B ，若B A ⊆，则B 中的元素均在A 中，则A A B B A -=≠，故选项B 错误；对于选项C ，若A B ⋂=∅，则A 、B 无公共元素，则A B A -=，故选项C 正确；对于选项D ，若A B C =，则A A B C A C -==-，故选项D 正确；故选：ACD ．三、填空题13．函数214x y a +=-的图像恒过点___________；【答案】132⎛⎫- ⎪⎝⎭，- 【分析】当210x +=时，043y a =-=-是定值，从而可求出函数图像恒过的定点【详解】当210x +=时，043y a =-=-是定值，此时12x =-，=3y -，所以函数214x y a +=-的图像恒过点132⎛⎫- ⎪⎝⎭，-， 故答案为：132⎛⎫- ⎪⎝⎭，- 14．函数y ___________.【答案】[)3,+∞【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：220log (2)0x x ->⎧⎨-≥⎩,解得3x ≥,故函数的定义域为:[)3,+∞. 故答案为：[)3,+∞.15．若0a >，0b >，且24a b +=，则ab 的最大值是______．【答案】2【分析】由于a 、b 为正值，且2+a b 为定值4，因此可以运用基本不等式先求出进而求出ab 的最大值．【详解】解：∵0a >，0b >，24a b +=∴42a b =+≥∴2ab ≤，当且仅当2a b =时取等号，即2a =，1b =时取等号故答案为：2．【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级()M 是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的______倍（精确到1）．【答案】32【解析】有对数运算得010M A A =，进而得7.5M =时，地震的最大振幅为7.51010A A =⋅，6M =时，地震的最大振幅为62010A A =⋅， 故1232A A ≈ 【详解】解：由题意00lg lg lg A M A A A =-=，即010M A A =，则010M A A =⋅，当7.5M =时，地震的最大振幅为7.51010A A =⋅；当6M =时，地震的最大振幅为62010A A =⋅， 所以37.57.56 1.512621*********A A -====32≈. 故答案为：32．【点睛】本题考查数学知识的迁移应用，考查运算求解能力，解题的关键在于根据对数运算得010M A A =⋅，进而根据相应震级计算.是中档题.四、解答题17．已知集合2111x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，(){}2220B x x m x m =+--<． （1）当1m =时，求A B ⋃；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}21A B x x ⋃=-<<；（2）[]2,4m ∈-．【解析】（1）先求出集合A ，B ，再根据并集定义即可求出；（2）由题可得B A ⊆，再讨论2m -和1的大小可求出. 【详解】解：（1）由 2111x x +<-，得 201x x +<-，所以{}21A x x =-<<． (){}()(){}2220120B x x m x m x x x m =+--<=-+<．当1m =时，112B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． 所以{}21A B x x ⋃=-<<．（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆． 若12m ->，不符合题意； 若12m -=即2m =-时，B =∅，符合题意； 若12m -<，则12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以212m -≤-<，解得24m -<≤． 综上，[]2,4m ∈-．【点睛】结论点睛：本题考查根据必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．18．已知P ＝{x |﹣2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1﹣m ≤x ≤1+m }．（1）若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．【答案】(1)[]0,3;(2)不存在【分析】(1)由题意知S P ⊆再列出不等式，即可求得m 的取值范围；(2) 易知P S =，列出等式，求m 即可.【详解】(1)x P ∈是x S ∈的必要条件,且集合S 为非空集合，2111011m m m m -≤-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≤+⎩，得03m ≤≤, 所以m 的取值范围[]0,3.(2) 若x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =,所以123,1109m m m m -=-=⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩，这样的m 不存在. 【点睛】本题考查的是元素与集合的关系，集合与集合的关系以及充分必要条件，掌握不等式的计算和必要条件及充要条件的判断方法是解题的关键,是基础题.19．（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值；（2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值；（3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值； 【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为 【详解】试题分析：（1）根据基本不等式的性质可知，进而求得的最大值．（2）将方程变形为代入可得然后利用基本不等式求解．（3）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可试题解析：（1）,当且仅当,时取等号，故的最大值为（2），当且仅当即时取等号故答案为（3）当且仅当,即时,上式成立,故当时,函数的最大值为.【解析】基本不等式20．已知:(1)(2)0p x x +-，q ：2260x mx m +-+>．（1）当x R ∈时q 成立，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(－3，2)；（2）107(,)33-. 【分析】（1）由∆<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；（2）把p 是q 的充分不必要条件转化为由A B ，进而求出实数m 的取值范围．【详解】解：（1）244240m m +-<，260m m ∴+-<，32m ∴-<<， ∴实数m 的取值范围为：(3,2)-．（2）:12p x -，设{|12}A x x =-，2{|260}B x x mx m =+-+>， p 是q 的充分不必要条件，A B ∴①由（1）知，32m -<<时，B R =，满足题意；②3m =-时，2{|690}{|3}B x x x x x =-+>=≠，满足题意；③2m =时，2{|440}{|2}B x x x x x =++>=≠-，满足题意；④3m <-或m>2时，设2(2)6x m f x mx +-+=，()f x 对称轴为x m =-，由A B 得1(1)0m f -<-⎧⎨->⎩或2(2)0m f ->⎧⎨>⎩， ∴1370m m >⎧⎨-+>⎩或23100m m <-⎧⎨+>⎩， ∴713m <<或1023m -<<-， ∴1033m -<<-或723m << 综上可知：10733m -<< 21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩； (2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元， 因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩， 所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩. （2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号， 当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.22．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[)0,t ∈+∞．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ．且最高点与最低点间的距离为10cm ．（1）求小球相对平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系； （2）小球在0s t 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围．【答案】（1）π5sin π4h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t ≥；（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）首先根据题意得到1052A ==，2π2T ω==，从而得到π5sin π4h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t ≥． （2）根据题意，当14t =时，小球第一次到达最高点，从而得到011495044T t T +≤<+，再根据周期为2，即可得到119810044t ≤<. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10cm ，所以1052A ==． 因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以周期为2， 即2π2T ω==，所以πω=． 所以π5sin π4h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t ≥． （2）由题意，当14t =时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在0s t 内经过最高点的次数恰为50次， 所以011495044T t T +≤<+． 因为2T =，所以119810044t ≤<， 所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （注：0t 的取值范围不考虑开闭）。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞02．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b210．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2 12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为．（参考数据：log52≈0.43）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，故选：D．2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．故选：D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人解：设同时爱好这两项的人最少有a人，作出韦恩图：∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，∴22﹣a+a+28﹣a＝45，解得a＝5．故选：B．5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＜c＜a．故选：D．6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+解：由表格中数据作出散点图：由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，故选：C．7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sin x＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sin x+1）|≤1，即﹣1≤f（2sin x+1）≤1，即f（0）≤f（2sin x+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sin x+1≤3，即﹣≤sin x≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b2解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；故选：BC．10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，log xn y m＝＝＝log x y，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝A sin（ωt+φ）+B（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），由题意，h max＝6，h min＝﹣2，∴，解得，∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．h＝，故D错误；令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．故选：ABC．12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝﹣2．解：f（1）＝21+2＝4，所以．故答案为：﹣2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．．解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，）．解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝﹣；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为8．（参考数据：log52≈0.43）解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P＝P0•e kt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，即k＝﹣，由0.25%P0＝P0•e kt，得0.0025＝﹣，∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．故整数n的最小值为12﹣4＝8．故答案为：；8．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；可得tan＝﹣，原式＝＝﹣．若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，原式＝＝﹣．若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，原式＝＝．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，即，解得：2＜a≤4，综上所述：a的取值范围（2，4]．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，当且仅当，即x＝2时取等号，所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R），令t＝sin x，（﹣1≤t≤1），则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），①当时，即a≤﹣4，f（a）＝，所以无解．②当时，即﹣4＜a≤4，f（a）＝，即a2+8a+12＝0，所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），③当时，即a＞4时，，所以a＝，（舍去），综上所述：a＝﹣2．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，当sin x＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x在上为增函数，所以，所以在恒成立，即对恒成立，即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，所以，故，解得，所以a的最小值为；（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，即，可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，，1°当，即时，符合题意；2°当，即a≠﹣2且时，要满足题意，则有或，解得；综上可得，a的取值范围为．。

2022－2023学年度高一年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1．已知集合}{{}6,4,2,0,41=<<-=B x x A ，则B A 的子集个数为（）A ．1B ．2C ．4D ．82．已知角α的终边在第四象限，则点(tan ,cos )P αα在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知扇形AOB 的周长为cm 8，圆心角rad 2=∠AOB ，则扇形AOB 的面积（）2cm ．A ．1B ．2C ．4D ．64．冰箱,空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250e t Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= ．试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失．（693.02ln ≈）A ．267B ．277C ．287D ．2975．“π2ϕ=-”是“函数()sin 2y x ϕ=+在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增”的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．已知函数()⎩⎨⎧≥+-<+-=,0,,0,12x a x x ax x x f 在其定义域上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．0≥a B ．1≤a C ．10<<a D ．10≤≤a7．关于x 的不等式()01642≤+++-x b a x 的解集为单元素集，且0,0>>b a ，若不等式21122t t a b+≥--恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．31≤≤-t B ．13≤≤-t C ．1-≤t 或3≥t D ．3-≤t 或1≥t 8．定义域为R 的函数()x f 为偶函数，()1+x f 为奇函数，且()x f 在区间[]10，上单调递减，则下列选项正确的是（）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<31log 2320222f f f B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<2331log 20222f f f C ．()20222331log 2f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．()202231log 232f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．下列函数中满足“对任意()∞+∈,0,21x x ，都有()()02121>--x x x f x f ”的是（）A ．()12-=x x fB ．()xx f 1=C ．()x x x f +=22D ．()2log f x x=-10．下列命题为真命题的是（）A ．“2R ,10x x x ∀∈++>”的否定为“2R ,10x x x ∃∈++<”B ．若函数()x f 的定义域为R ,则“()0f =0”是“函数()x f 为奇函数”的必要不充分条件C ．函数()23-=x y 与函数3-=x y 是同一个函数D ．若方程()012=+--a ax x 在区间[]3,2上有实数解，则实数a 的取值范围为[]21，11．下列命题为真命题的是（）A ．若22c bc a >，则b a >B ．若0>>b a ，0>m ，则b am b m a >++C ．若c b a >>>0，则bcc a ->-2D ．若b a >>0，则ab b a 11+>+12．设函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()x f 的最小正周期为2πB ．5π018⎛⎫⎪⎝⎭，是()x f 的一个对称中心C ．()f x 向左平移π9个单位后为偶函数D ．先将函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的32倍，纵坐标不变，得到函数()x f 的图象．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知tan 2α=-，则221sin sin cos 2cos αααα-+的值为▲．14．集合{}2,1,22a a a A --+=，若A ∈4，则=a ▲．15．已知幂函数()αx x f =（α为常数）过点()2,4，则()()a f a f -+-53的最大值为▲．16．已知函数()()x bx x a x f ln 12++=，若()0≤x f 恒成立，则实数b 的取值范围是▲．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）设全集R U =,集合}{a x x A <<-=1，{}|2|4B x x =-≤．(1)当4a =时，求()U A B ð;(2)从下面三个条件中任选一个，求实数a 的取值范围．①A B A = ，②B B A = ；②()U A B =∅ ð．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）(1)化简：()()()πcos sin tan 2π23cos πcos π2ααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)已知关于x 的方程0252=+-a x x 的两个根为θsin 和θcos ，求sin cos θθ-的值．19．（本小题满分12分）某同学用“五点法”作函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x2π3-π3x ωϕ+0π2π3π22π()sin x ωϕ+0101-0()f x 01-0（1）求函数()f x 的解析式及函数()f x 在[]0π，上的单调递减区间；（2）若存在2π,π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0≤-m x f 成立，求m 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数()2log f x x =．（1）解关于x 的不等式121x f x +⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭；（2）求函数()()416ax g x f f x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，1[,16]2x ∈的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()e e 2x xa f x -⋅+=为偶函数，其中e 是自然对数的底数，e 2.71828= ．（1）证明：函数()x f y =在[)∞+，0上单调递增；（2）函数()()()x f x f m x g -⋅=2，0m >，在区间[]2ln 0，上的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围．22．（本小题满分12分）定义在R 上的奇函数(),10,,1,x x x f x a x --<<⎧=⎨-≤-⎩其中1,0≠>a a ，且()1e f =，其中e 是自然对数的底数，e 2.71828= ．（1）当0≥x 时，求函数()x f 的解析式；（2）若存在012≥>x x ，满足()()21e f x f x =，求()21x f x ⋅的取值范围．2022－2023学年度高一年级第一学期期末教学质量调研数学答案一、单项选择题：1.C2.B3.C4.B5.A6.D7.A8.B二、多项选择题：9.AC10.BD11.ACD12.BCD三、填空题：13.8514.215.216.[)+∞-,1四、解答题17．解：（1）当4=a 时，(][),14,U A =-∞-⋃+∞ð.....................................................................................1'[]6,2-=B ................................................................................................................................2'则[][]2,14,6U A B =-- ð....................................................................................................4'(2)选①，则B A ⊆,........................................................................................................................5'当φ=A 时，1-≤a ，...................................................................................................................7'当φ≠A 时，即1->a ，有6≤a ，从而61≤<-a .......................................................................9'综上：6≤a ...............................................................................................................................01'注：选②③结果也相同，按照选①的标准给分18．解（1）原式)cos (sin )tan )(cos (cos ααααα----=.............................................................................................................3'1cos sin sin cos ==αααα.........................................................................................................................5'(3)由题意可知25cos sin =+θθ，a =θθcos sin ....................................................................6'又1cos sin 22=+θθ，则81cos sin =θθ.................................................................................8'43cos sin 21)cos (sin 2=-=-θθθθ..............................................................................................01'23cos sin ±=-θθ.......................................................................................................................21'19.解：（1）由表格可知A=1⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-23032πϕπϕπw w 则⎪⎩⎪⎨⎧==321πϕw 故)321sin()(π+=x x f ..................................................................................................................................4'当[]π,0∈x 时，⎦⎤⎢⎣⎡∈+65,332πππx 所以)(x f 的单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3...........................................................................................................6'（2）由题意min)(x f m ≥当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππ32,x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+0,632ππx ..........................................................................................8'所以当π-=x 时，21)(min -=x f ................................................................................................01'21-≥m .........................................................................................................................................21'20.解：（1）不等式可化为：211log 2≤-+x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>-+411011x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧<≥-<>13511x x x x 或或解得135-<≥x x 或，所以不等式的解集为()5,1,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ .....................................................4'（2）)4(log 16log )(22x xx g a ⋅⋅==)2)(log 4(log 22a x x +-当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈16,21x 时，[]4,1log 2-∈=x t 则)2)(4()(a t t t g +-=..................................................................................................................................6'若2-<a ，则)(t g 在[]4,1-单调递减，则)(t g 的最小值为0)4(=g .............................................7'若2-≥a ，当a -≥-21，即3≥a 时，)(t g 在[]4,1-单调递增，则)(t g 的最小值为)21(5)1-(a g -=............................................................................................................................9'当a -<-21，即32<≤-a 时，)(t g 在[]a --2,1单调递减，在[]4,2a -单调递增，则)(t g 的最小值为2)2()2(+-=-a a g .......................................................................................................11'综上：当2-<a 时，0)4()(min ==g t g 当32<≤-a 时，2min )2()2()(+-=-=a a g t g 当3≥a 时，）（a g t g 215)1-()(min -==................................................................................21'21.解：(1)由于)(x f 是偶函数，则)()(x f x f =-，代入化简得1(e e )0x x a ---=（）故1=a ....................................................................................................................................2'当1=a 时，e e ()2x xf x -+=设任意的021≥>x x ，则112212e e e e ()()22x x x x f x f x --++-=-1212121e 1e e 2e ex x x x x x +-=-（）当021≥>x x 时，12e e 0x x ->，12e 10x x +->，则0)()(21>-x f x f 即)()(21x f x f >，故函数)(x f y =在[)∞+，0上单调递增......................................................6'(2)22e e e e ()22x x x xg x m --++=⋅-令e e x x t -=+，则⎦⎤⎢⎣⎡∈25,2t 则t t m 21-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈25,2t 上有解...........................................................................................01'又⎦⎤⎢⎣⎡∈-1017,12t t ，故m 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡11710，........................................................................21'22.解：(1)(1)e,()f f x = 是奇函数(1)e f a ∴-=-=-，则e a =..........................................................................................................1'当10<<x 时，01<-<-x ，xx f -=-)(又)(x f 是奇函数，则x x f =)(.....................................................................................................2'当1≥x 时，1-≤-x ，()e xf x -=-又)(x f 是奇函数，则()e x f x =..................................................................................................3'因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)0(=f .......................................................................4'故,01()e ,1x x x f x x ≤<⎧=⎨≥⎩....................................................................................................................5'（3）若1021<<≤x x ，则由21()e ()f x f x =，有21e x x =，且110ex <<从而有212121()e x f x x x x ⋅=⋅=10e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.............................................................................................7'若2110x x ≤<≤，则由21()e ()f x f x =，有21e e x x =，而2e e x ≥，1e ex <所以等式不成立.................................................................................................................................9'若211x x <≤，则由21()e ()f x f x =，有211e e x x +=，即112+=x x ，且11≥x 从而有21121211()e e e x x x f x x x +⋅=⋅=≥..........................................................................................11'综上：)(21x f x ⋅的取值范围为)210e ,e ⎛⎫⎡+∞ ⎪⎣⎝⎭，...........................................................................21'。

江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是（）A．A∩B＝{3}B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8}D．∁U B＝{1，2，7}2．已知a，b∈R，那么“3a≤3b”是“log a＞log b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）A．2200km B．1650km C．1100km D．550km4．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5B．6C．7D．85．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．46．设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．17．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足的a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．C．D．8．定义：正割secα＝，余割cscα＝．已知m为正实数，且m•csc2x+tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为（）A．1B．4C．8D．9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（）A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C．2cos215°﹣1D．10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（）A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）C．y＝x2+2D．11．函数f（x）＝3sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A．f（x）的最小正周期为πB．是f（x）的最小值C．f（x）在区间上的值域为D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象12．若6b＝3，6a＝2，则（）A．＞1B．ab＜C．a2+b2＜D．b﹣a＞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题： 1~8 CCBD ABDD 二、多项选择题：9.BD 10. AB 11. BC 12.BCD 三、填空题：13．4- 14．2 15．45 16．1(,1]2- 四、解答题17解：（1）由题意知，43sin ,cos 55αα==， ..................................................2分故 432sin 2cos 551043sin cos 55αααα+⨯+==--. ........................................................... 4分 （2）由ππ(,)22αβ+∈-，31)sin(-=+βα,得322)31(1)(sin 1)cos(22=--=+-=+βαβα ........................6分 所以，αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos ⋅++⋅+=-+=..........8分314()535+-⨯=分18解：)3,2(),1,1(-=-=k AC AB（1）当3=k 时，)3,1(=AC ，)4,0(=+AC AB .............................................3分44022=+=............................................5分（2）假设存在实数k ，满足AB 与AC 的夹角为045.因为k k AC AB -=⨯+-⨯-=⋅531)2()1(，13432(2222+-=+-==k k k ）， .......................................8分所以，AC AB =45cos即22134252=+-⋅-k k k ....................................10分 解得2=k所以存在实数2=k ，使AB 与AC 的夹角为045. .............................................12分19．解：（1）依题意得，,4ABD CBD π∠=∠=延长MN 交BC 于点H .因为//MN AB ，且四边形ABCD 为正方形，所以NMB ABM θ∠=∠=，.4HNB CBD π∠=∠=…….1分在BMH Rt 中，sin 2sin .BH BM θθ==cos 2cos .MH BM θθ== ………………………3分在BNH Rt 中，因为4HNB CBD π∠=∠=，所以2sin .NH BH θ==所以2(cos sin ).MN MH NH θθ=-=-……………………4分 所以1π()2sin (cos sin )((0,)).24S MN BH θθθθθ==-∈………………………6分 （2）由（1）得，()2sin (cos sin )S θθθθ=- sin 2(1cos 2)θθ=--sin 2cos 21)14θθπθ=+-=+- ……………………………9分因为4πθ∈（0，），所以32+444πππθ∈（，），所以当max 2+==() 1.428S πππθθθ=，即时， ……………………………11分答： ()S θ1百米平方，此时.8πθ= ……………………………12分20解：方法一（1）在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB = 2CD ，所以AO = 2OC ，ABCDMNθ（第19题）HH=()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD =⋅…………2分 222=()()=()33AD DC AD AB AD DC AB +⋅--⋅ 28(424)33=-⨯=-； ………………………5分 (2) 令=AM AB λ, ()AM BD AB BD AB AD AB λλ⋅=⋅=⋅- 28163AB λλ=-=-=-则16λ=，即1=6AM AB ， ……………6分 22()cos 45o AN MN AN AN AM AN AN AM AN AN AM ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯2212cos 4563o AN AN AB AN AN =-⨯⨯⨯=- ……………8分令AN t =，则 0t ≤≤，221(18AN MN t t ⋅==-， 所以当26AN = AN MN ⋅有最小值118-. ………………………12分方法二（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系；则 (0,0),(4,0),(2,2),(0,2);A B C D 则4,2BD =-（），由相似三角形易得44(,).33O设(,0),M λ则44,33OM λ=（--），……………2分 448)(4)(240333OM BD λλ⋅=⨯-+⨯=-+=（--).得23λ=.则203AM =（,），28(4)02.33AM BD ⋅=⨯-+⨯=-…………………5分 （2）设(,),N a a 显然02a ≤≤，222211(,)(,)22()33618AN MN a a a a a a a ⋅=⋅-=-=--………………10分所以当16a=时， AN MN ⋅有最小值118-.……………………………12分（第20题）21解：（1）由222a -≤得6a ≤，所以a 的取值范围(,6]-∞；………………………2分 （2）2()(2)1||h x x a x a x a =--++--22(1)21,(3)1,x a x a x a x a x x a ⎧--++≥⎪=⎨--+<⎪⎩①若32a a -≤即3a ≤-， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+递减，且min ()()31h x h a a ==+，当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++最小值为2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 此时有2131(5)74a a +>--+，所以21()(5)74a a ϕ=--+；………………5分 ②若3122a a a --<<即31a -<<-时， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++在12a x -=时取得最小值为 2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 若21a -<<-，则2211(5)7(3)144a a --+>--+，此时21()(3)14a a ϕ=--+，若32a -<≤-，则2211(5)7(3)144a a --+≤--+，此时21()(5)74a a ϕ=--+；……9分 ③若12a a -≥即1a ≥-， 当x a≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时，2()(1)21h x x a x a =--++递增()()31h x h a a >=+， 此时有2131(1)14a a +>--+，所以21()(3)14a a ϕ=--+；综上，221(3)1,24()1(5)7, 2.4a a a a a ϕ⎧--+>-⎪⎪=⎨⎪--+≤-⎪⎩，………………………12分22解：（1）当0k =时，函数2()log (21)x f x =+定义域为R ，任取12x x <，121222()()log (21)log (21)x x f x f x -=+-+12221log 21x x +=+，因为12x x <，所以1212(21)(21)220x x x x +-+=-<，所以1202121x x <+<+，12210121x x+<<+， 所以12221log 021x x+<+， 所以12()()f x f x <，故函数()f x 在R 上单调递增；………………………3分（2）（i ）因为函数()f x 是偶函数，所以22log (21)log (21)x x kx kx -+-=++，即2221log log (21)2x x x kx kx +-=++， 即22log (21)(1)log (21)x x k x kx +-+=++， 所以(1)k x kx -+=恒成立， 所以12k =-；（用特殊值求出k 值，若不进行验证的扣1分）………………………5分 （ii ）由题意得22111log (21)log (2)222x x x a a x +-=⋅-+， 所以2221log (21)log (2)log 22x x x a a +=⋅-+，所以121422x x x a a +=⋅-⋅，即14(1)2102x x a a ⋅-+⋅-=，设2x t =，则t 与x 一一对应，原方程化为21(1)102a t a t ⋅-+-=，…………7分设21()(1)12h t a t a t =⋅-+-，因为112=(2)022x x a a a ⋅-->，所以122x a -与符号相同，①当0a >时，122x t =>，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(,)2+∞上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向上，(0)10h =-<，13()022h =-<，136(+)02h a a=>， 当0a >时，所以方程在1(,)2+∞上只有一个正根；………………………9分②当0a <时，1022x t <=<，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(0,)2上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向下，(0)10h =-<，13()022h =-<，则21(1)4021112022a a a a ⎧∆=++=⎪⎪⎨+⎪<<⎪⎩，解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩，所以10a =-- 故当0a >或10a =--………………………12分。

2019-2020学年江苏省南通市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】根据对数函数的性质，只需20x +>，即可求解. 【详解】()()lg 2f x x =+Q , 20x ∴+>,解得2x >-，所以函数的定义域为(2,)-+∞， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，属于容易题. 2．sin 225︒的值为（ ）A ．2-B ．2C ．D 【答案】A【解析】把225o 变为18045+o o ，利用诱导公式()sin 180sin αα+=-o化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果. 【详解】()sin 225sin 18045sin 452︒=︒+︒=-︒=-，故选A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3．函数23cos()56y x π=-的最小正周期是（ ）A ．25π B ．52πC ．2πD ．5π【答案】D【解析】分析：直接利用周期公式求解即可. 详解：∵23cos 56y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25ω=，∴2π5πT ω==．故选D点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数cos()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由x k ωϕπ+=可得对称轴方程；由2x k πωϕπ+=+可得对称中心横坐标.4．若向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，则实数m 的值为（A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据向量共线可得()2a mb k b a -+=r r r r，化简即可求出m 的值.【详解】因为向量,a b r r 不共线，且a mb +r r与()2b a -r r 共线，所以()2a mb k b a -+=r r r r ，即2b a mb ka k +=-r r r u u r，所以12m kk=⎧⎨=-⎩，解得12m =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线，属于容易题. 5．若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β=（ ） A ．17-B ．17C ．67D ．76【答案】B【解析】利用角的变换()βαβα=+-，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为()βαβα=+-，所以11tan()tan 123()]=11+tan()t tan t an 716an[αβααβααβαβ-+-+-==+⋅+=, 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于容易题. 6．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【解析】∵cos(2)cos[2()]36y x x ππ=+=+，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数cos2y x =的图像向左平移6π个单位． 选B ．7．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．163D ．±3【答案】B【解析】试题分析：3sin 5θ==，解得3m =. 【考点】三角函数的定义. 8．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于（） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】221122263S r r r παπ==⨯=⇒=扇形弧长263l r ππα==⨯=故答案选C 【点睛】本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 9．若02a π<<，3sin()35πα-=，则sin α的值（ ）A ．B ．310C D ．310-【答案】B【解析】利用角的变换()33ππαα=--,代入两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 因为02a π<<，3sin()35πα-=， 所以032ππα<-<，故4cos()35πα-=，所以sin sin[()]sin cos()sin()cos 333333ππππππαααα=--=---431552=-⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正弦公式，属于中档题.10．已知正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v ，则EB EC ⋅=u u u v u u u v（） A ．13- B ．12-C ．23-D ．-1【答案】C【解析】化简2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r ，分别计算3ED =，1DB DC ==，代入得到答案. 【详解】2EB EC ()()()ED DB ED DC ED ED DB DC DB DC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅u u u v u u u u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r v u u u r u u u r正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE 2ED =u u u v u u u v13AD ED DB DC =⇒===222EB EC (133ED DB DC ⋅=+⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v故答案选C 【点睛】本题考查了向量的计算，将2EB EC ED DB DC ⋅=+⋅u u ur u u u u u u v r u u u v u u u r 是解题的关键，也可以建立直角坐标系解得答案.11．如果函数y ＝f(x)在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f(x)是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0C ．[0，1]D ．[1【答案】D【解析】由题意，求213()22f x x x =-+的增区间，再求()13122f x y x x x==-+的减区间，从而求缓增区间. 【详解】 因为函数213()22f x x x =-+的对称轴为x ＝1， 所以函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当x≥1时，()13122f x x x x=-+， 令13()122g x x x =-+(x ≥1)，则222133'()222x g x x x-=-=，由g′(x)≤0得1x ≤≤即函数()13122f x x x x=-+在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为[1,3]， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目. 12．已知3()|sin |2f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q L ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=u u u u r u u u u rL ，则15n n ++L 的值为（ ）A ．1532B ．45C ．452D ．1534【答案】C【解析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴260A O C ︒∠=，32//A D A C Q ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥u u u u r u u u u r．则2222()cos 6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，1545352n n ++==L 答案选C 【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA u u u u r ，OD uuu r是关键二、填空题13．已知向量()2,1a =r ，(),2b x =-r ，若//a b r r ，则a b +=r r___________.【答案】()2,1--【解析】根据向量平行可得b r，由向量坐标运算即可求解.【详解】//a b r r Q ,2(2)x ∴⨯-=,解得4x =-，(4,2)b ∴=--r，(2,1)(4,2)(2,1)a b ∴+=+--=--r r，故答案为：()2,1-- 【点睛】本题主要考查了平行向量，向量的坐标运算，属于容易题. 14．若幂函数()f x 的图象过点()4,2，则()8f =______.【答案】【解析】设()af x x =，将点()4,2代入函数()y f x =的解析式，求出实数a 的值，即可求出()8f 的值. 【详解】设()a f x x =，则()442af ==，得12a =，()12f x x∴=，因此，()128822f ==.故答案为22. 【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.15．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.【答案】2 【解析】【详解】12x y OA OC -=⋅u u u r u u u r 12x y OB OC -+=⋅u u u r u u u r 2()22cos ,x y OA OB OC OD OC OD OC +=+⋅=⋅=<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值为216．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，下列结论中： ①函数()f x 关于8x π=-对称；②函数()f x 关于(,0)8π对称；③函数()f x 在3(,)88ππ是增函数，④将2y x =的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ． 【答案】①②③【解析】把()f x 化成()()sin f x A wx ϕ=+的型式即可。

2023—2024学年第一学期期末检测高一数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1命题“V xe R , si nx� I"的否定为（）A.3xER , sin x>IB.3xER, sinx�lC. VxER, sinx>ID.VxER, si nx<l2.下列四个函数中，与y=2x 有相同单调性和奇偶性的是（）A.y = 2xB.y =x 3C.y=e"D.y=sin xl x-l3若全集U = R , A= {xl�<x< l},B = {x|－—<0}，则（幻A)nB=（2 x ）A .(0,1)B.(0,½)C.（吟］D.[0,1]4“数摺聚清风，一抢生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，析扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA=20cm,乙A0B=l20°,M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A。

BA.50冗cm 2B. JOO 兀cm 2C. 150兀cm 2D.200冗cm 25若实数m ,n 满足2"'=3"= 6,则下列关系中正确的是（）IlA—+－ = 1m n1 2 B.—+－= 2 m n2IC.—+－＝ 2 m nI 2 ID .—+－ = -m n2l亢6.若P,cos a �一，q： a三一，则P是q的（）23A充分不必要条件B必要不充分条件C.充分必要条件D既不充分也不必要条件7.某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的祛码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的怯码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金()A.小千20克B不大千20克 C.大千20克D不小千20克(o,�)8若a,/3E I O,－且满足sina cosa+sin/3COS/3 ＞2cosacos/3，设t= tan a tan/3，／ x = ,（）则下列判断正确的是()A.f(sina) <f (sin/3）B.f (co s a)< f(co s/3）C f(sina)<f(cos/3） D.f(cosa)<f(sin/3）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有(31tA -—是第二象限角4B.tan 225° = lC小千90°的角一定是锐角 D.sin2>010下列命题为真命题的有（）A若a,beR,则矿＋b2� 2aba+m a B若a>b > O, m>O,则＞－b+m b1 lC若a<b<O,则－＞ － D.若ac2> b c2,则a>ba b II.已知函数f(x)=sinx-A.f(x)为奇函数2sin2x ，则下列结论正确的有（B. f(x)是以7t为周期的函数C.f(x)的图象关千直线x=：对称0.XE（叶］时，f(x)的最大值为丈[_2212如图，过函数f(x) = log e x (c >1)图象上的两点A,B作X轴的垂线，垂足分别为M(a,0),N(b,O) Cb>a>l)，线段BN与函数g(x) = log m x < m >c>1)的图象交千点C,且AC与X轴平行下列结论正确的有（）yA.点C 的坐标为(b,l o g c a)B 当a=2,b=4, c=3时，m 的值为9C.当b=a 2时，m =2c 2D 当a=2,b=4时，若x 1,x 2为区间(a,b)内任意两个变量，且X 1<X 2,则矿(x,)<b 瓜）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知角a 的终边经过点(1,-2)，则tan a-cos a 的值为14若x >Ly>I, xy =I O ,则l g x l gy 的最大值为x 2-x + I, 0 < x ::, 1l5 已知定义域为R 的奇函数f(x)，当x>0时，f （x)＝{l ，若当x e [ m,O )时，f (x ,x >I （） 2x-l3 的最大值为－一，则m 的最小值为416定义域为D 的函数f (x)．如果对千区间I 内(I三D)的任意三个数x 1,xz,入＾3'当X 1<X 2 < X 3时，有f（动－f(x i )� f (x 3)-f（凸）＜ 3 ,那么称此函数为区间I 上的＂递进函数“，若函数J(x)=x 悍2是区（） 入，2-x 1x, -x 2间[1,2]为＂递进函数”，则实数a的取值范围是X 四、解答题（本大题共6小题，计70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17化简求值：8 ;I(J)31og,2＋（司十lg5-lg½II(2)若豆＋X 一了＝石，求x气产的值18.已知tana=3求值：C 1)cos (a ＋勹－s n（专叫2si n (a ＋兀）＋cos (2兀－a )(2)2s n 2 a+ s n a c os a . 1 1119已知函数f (x)= l o g 主(4-x)＋忑了的定义域为集合A,函数g(x)=m✓云了s(xE[-½万－］）的值城为B.(I)当m=I时，求AuB:(2)若XE A是XE B的必要不充分条件，求实数m的取值范围（三），co>O20 已知f(x) = sinf(x)的单调增区间：(I)若f(x i)=I.f伈）＝－1'且伈－叫＝－ 兀m m 2 ，求函数亢（） (2)若f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的图象关千Y轴对称，当Q取最小值时，方程f(x)=m3在区间［琴］上有解，求实数m的取值范围．1-5-'21 已知函数f(x)＝一一—.g(x)= acos x+✓I了五百＋』了示言，其中a<O1+5x(I)判断并证明.f(x)的单调性；冗7t飞2]，求t的取值范围，并把g(x)表示为I的函数h(t);(2) ©设t＝打亢言＋打二言，XE[-�,f(x i)= g(x2)成立，求实数a的取值范围＠若对任意的X1E [-1,0]，总存在X2E[ 亢亢飞］使得22已知函数f(x) = log2 (2"'+m)-� X 2(I)若f(x)为定义在R上的偶函数，求实数rn的值；(2)若沁X E[ 0, 2], f (X) + rn � 1恒成立，求实数m的取值范围2023—2024学年第一学期期末检测高一数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1命题“Vxe R, sinx� I"的否定为（）A.3xeR, sinx>IB.3xeR, sinx�lC VxeR, sinx>l D.'i/xeR, sinx<l【答案l A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得【详解】根据全称命题的否定为特称命题，则命题”'r:f x e R, sin x:,; I" 的否定为“3xe R, sin x>1''故选： A2下列四个函数中，与y=2x有相同单调性和奇偶性的是(A. y= 2x【答案】B［解析】B. y =x3C. y=e-'【分析】直接根据基本初等函数的奇偶性和单调性判断【详解】明显函数y=2x为奇函数，且在R上单调递地；对千AC:函数y=2x与y=e.｀均为指数函数，且为非奇非偶函数：对千B:y =x3为奇函数，且在R上单调递娟；：对千D:y=sinx为奇函数，但其在R上不是单调函数故选： B.D.y = sinxl x-l3若全集U=R,A={xl�<x<l},B={x|－—<0}，则（幻A)nB=< )2 xA.(0,1) B （吟）C.（畛］ D.[0,1]【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合B ={x l O<x<l }，结合集合的运算，即可求解x -1【详解】由不等式一—<0'解得O <x<L 所以集合B ={x l O<x<l },又由A={xi½勺<l}，可得沁A={x|勹2或x 之1},所以（c\;A)ns ={x l O<x叶｝＝｛畔］故选：C 4“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，析扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA=20cm,乙AOB=120°,M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是()AB。

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。