专题15单调性问题【考点预测】知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性. 注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.【题型归纳目录】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．()()()f b f c f a >>B ．()()()f b f c f e >=C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f e f d f c >>【方法技巧与总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）.题型二：求单调区间例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f (x )满足()()()2212e 02x f x f f x x -'=-+，则f (x )的单调递减区间为（ ） A ．(-∞,0)B ．(1,+∞)C ．(-∞,1)D ．(0,+∞)例5．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(2)e ,0()2,0x x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的单调递减区间为__________．【方法技巧与总结】求函数的单调区间的步骤如下： （1）求()f x 的定义域 （2）求出()f x '.（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线.（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32391f x x mx mx =-++在()1,+∞上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．[]1,1-C ．[]1,3D ．[]1,3-例8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()()41x f x ax x e =+-在区间[]1,3上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．2,416e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．32,3616e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,416e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例9．（2022·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，3)，则b ＋c ＝（ ） A ．－12B ．－10C ．8D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是_______.例11．（2022·全国·高三专题练习）若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．例12．（2022·全国·高三专题练习）若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1，4)上不单调，则实数a 的取值范围是___________.例13．（2022·河北·高三阶段练习）若函数()2()e xf x x mx =+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则m 的取值范围是_________．例14．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a 的取值范围为________.例15．（2020·江苏·邵伯高级中学高三阶段练习）若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则实数a 的取值范围是________.【方法技巧与总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 题型四：不含参数单调性讨论例17．（2022·山东临沂·三模）已知函数()21ln ax f x x-=，其图象在e x =处的切线过点()22e,2e ．(1)求a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；例18．（2022·天津·模拟预测）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数()()ln 1x a x a f x x+++=(1)若函数()f x 在点()()e,e f 处的切线斜率为0，求a 的值．(2)当1a =时．设函数()()()xf x G x f x '=，求证：()y f x =与()y G x =在[]1,e 上均单调递增；例20．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数()()ln ln e1,,0x af x x a x a a +=+-+>->. 当1a =时，求()f x 的单调区间题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数例21．（2022·江西·二模（文））己知函数()ln 1(),()e 1x f x ax x a R g x x =++∈=-． 讨论()f x 的单调性；例22．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数()axf x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例23．（2022·广东·模拟预测）已知函数()ln(1)(),()22f x x mx m g x x n =--∈=+-R ． 讨论函数()f x 的单调性；情形二：函数为准一次函数例24．（2022·全国·模拟预测（文））设函数()1ln a xf x x+=，其中R a ∈. 当0a ≥时，求函数()f x 的单调区间；例25．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数()()2e 3x R f x ax a =-+∈ ，()ln e x g x x x =+（e 为自然对数的底数，25e 9<）． 求函数()f x 的单调区间；例26．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()21ln 12f x x x ax a x =-+-，其中0a .讨论()f x 的单调性；例27．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数()ln f x x x ax =-. 讨论()f x 的单调性；情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解例28．（2022·全国·模拟预测）已知函数[]21()2ln ln(1),02=-+-≠f x k x x kx k . 讨论()f x 的单调性；例29．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；例30．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++讨论f （x ）的单调性；例31．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数2()ln 1(,0)x f x x a R a a=-+∈≠．讨论函数()y f x =的单调性；例32．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数()()()322316R f x x m x mx x =+++∈.讨论函数()f x 的单调性；例33．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()()()21ln 2a f x x a x x a R =+--∈． 求函数()f x 的单调区间；例34．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈ (1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.2.不可因式分解型例35．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数2()4ln ,f x x x a x a =-+∈R ，函数()f x 的导函数为()'f x ． 讨论函数()f x 的单调性；例36．（2022·天津南开·三模）已知函数()()()211ln 2f x x ax ax x a R =+-+∈，记()f x 的导函数为()g x 讨论()g x 的单调性；【方法技巧与总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3．利用草稿图像辅助说明． 情形四：函数为准二次函数型例37．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数23ln 2()2,()2,e e x xx x f x ax ax g x ax a x =+-=++∈R ． 讨论()f x 的单调性;例38．（2022·全国·二模（理））已知函数()()2x e 2e xf x a ax =+++．讨论()f x 的单调性；例39．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数()e e x x f x ax -=--（e 为自然对数的底数），其中R a ∈．试讨论函数()f x 的单调性；例40．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--.讨论()f x 的单调性；题型六：分段分析法讨论例41．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()12211ln x f x a x x x a -+=+-++-（0a >，且1a ≠）求函数()f x 的单调区间；【方法技巧与总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．【过关测试】 一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥B ．22a -≤≤C ．2a ≥-D ．0a ≥或2a ≤-2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1()f x x x=-B ．122()xxf x ⎛+⎫⎪⎝⎭= C ．3()tan f x x x =+ D ．)()lnf x x =4．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =- C ．cos 2x y =D ．2ln2xy x-=+ 5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））“函数sin y ax x =-在R 上是增函数”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e x f x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e8．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（ ）A ．ln()1a b +>B ．ln()0-<a bC ．122a b +<D ．3222a b +< 二、多选题9．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+ B ．()f x 的单调递减区间为(),e +∞C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解 10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x +>成立的x 的值可以为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．311．（2022·全国·高三专题练习）下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝x ﹣（12）x B ．y ＝x +sin x C ．y ＝3﹣x D ．y ＝x 2+2x +112．（2022·广东·模拟预测）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 三、填空题13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．（2022·重庆八中模拟预测）写出一个具有性质①②③的函数()f x =____________.①()f x 的定义域为()0,+∞；②()()()1212f x x f x f x =+；③当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.15．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．16．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______．四、解答题17．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R k f x x k k x =--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性；(2)若函数()f x 在区间(1,e) 内无零点，求k 的取值范围．18．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()21ln 2f x x a x ax =--()0a >． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)=--x f x k x e x ，其中k ∈R.当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e x f x ax -=+.讨论()f x 的单调性；21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln e xx a f x +=.当1a =时，判断()f x 的单调性；22．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数2(x)e 2x x f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>.。
