大学数学-课件-第二章行列式第五节

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基础考试高等数学之行列式精品PPT课件

性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）上去，行列式不变。
※ 行列式的性质，主要是用来计算行列式。其具体做法是：先将行列式化成上（下）三角行列式，再直接计算即得。
1110 例2、计算行列式 1 1 0 1
1011 0111
提示：直接化成上三角行列式。
§1.6 行列式按行（列）展开
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解。且
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中，Di是将D中的第 j 列换成bi 所得。
例1、解线性方程组：
x1 x2 x3 x4 1
2x1 3x2 x3 4x4 4x1 9x2 x3 16x4
5 25
8x1 27x2 x3 64xn 125
相应的有主对角线（实线）
副对角线（虚线）。
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a1a 12a 233a1a 22a 331a1a 32a 132 a1a 12a 332a1a 22a 133a1a 32a 231
主对角元：a1、 1 a22、a33
副对角元：a13、a22、a31
1、余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列划去后，留下的 n－1阶行列式叫做元素的余子式，记为 Mij ※ 余子式实际上是一个数。 2、代数余子式： Aij (1)ijMij
引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i
行所有元素除 aij 外都为零，那么此行
列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，
推论：行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

线性代数课件--第二章行列式

3
13 13
3 －2
2.1 行列式的定义
一般地，2阶矩阵A

a11 a21
a12 a22

,
对应的2阶行列式 a11 a12 是一个数， a21 a22
其值为代数和a11a22 a21a12。 n元一次方程组的解也可用行列式表示，
需引入n阶行列式的概念。
2.1 行列式的定义 2.1.2 n阶行列式的定义
aij

an1
an2
anj
※ aij的余子式: Aij的行列式det Aij
※ aij代数余子式: Αij=(-1)i j det Aij
a1n
a2n

ain

ann

2.1 行列式的定义
2 0 4
例如：设矩阵A

1 2
4 3
0 1

，
其a11的余子矩阵A11
将任意一个n阶矩阵A （aij）nn，对应一个数，称为A的行列式(determinant)，记为 :
a11 a12
a1n
det A a21 a22
a2n
注意：
an1 an2
ann
1）矩阵A是n n的数表，而行列式det A是一个数；
2) 矩阵可以有：行数m 列数n；
只有方阵才有行列式：行数=列数的矩阵有对应的行列式；
x2 x2
b1 的解为 b2
x1

b1a22 a11a22
b2a12 a21a12
,
x2

a11b2 a11a22
a21b1 a21a12

线性代数行列式课件

行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的方向和大小。通过行列式，我们可以计算出向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确定向量的方向和大小。此外，行列式还可以用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示了行列式与空间向量的关系。
END
THANKS
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一个重要的工具。该法则指出，如果一个线性方程组中的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其值是一个标量，表示n阶方阵的线性变换对单位体积的改变量。
行列式的性质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行列式值的负一倍。

高等数学第二章课件-行列式的计算

§2.5 行列式的计算
一、矩阵⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ⋯
⋮⋮⋮⋯⋯2
1
2222111211
().ij m n A a ×=简记为数称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.
定义
由数域　上
个数排成的行列的数表m n ×m n P 称为数域　上一个
矩阵,m n ×P
称为矩阵
矩阵A A的行列式
(2)(2)只有一行的矩阵
只有一行的矩阵(),
,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).
,
21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜
⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).
矩阵的相等
,1,2,,,1,2,,ij ij a b i m j n
===⋯⋯则称矩阵矩阵A A 与B 相等，记作，记作
A=B ．(),(),ij m n ij m n A a B b ××==设矩阵如果
2) 以P 中一个非零数c 乘矩阵的一行(列) ；.
k P ∈3) 把矩阵的某一行(列)的k 倍加到另一行(列) ，
1) 互换矩阵中的两行(列)的位置；二、矩阵的初等变换定义
数域P 上的矩阵的初等行上的矩阵的初等行(
(列)变换是指：
01(n
i b a ==−∑
每一行乘以加到下一行，直至第
λ
11n n a λλ−=++
n。

行列式课件

1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 (1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i... j...n为自然排列，为列下标排列 p1... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元素a ip i 与 a jp j 成： (1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 (1) 2 a1,n a2,n1...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0 4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n (1) 2 a1,n a2,n1...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。
定理1:对换一个排列中的任意两个元素，排列
改变奇偶性。证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
二、三阶行列式第一节全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a21 a22 a23 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33

行列式ppt

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
特点：1. n2个元素
2. 共有n!项代数和
a a ...a 3.每项为取自不同行不同列的元素构成 1p1 2 p2
npn
4.正负项的个数相等
5.当下标排列为偶排列时, 取正号当下标排列为奇排列时, 取负号
(1) ( p1 p2 ... pn )
例:写出4阶行列式中带 a12a34 的项
x 3 (2x 3 ) x 3
故 x3 的系数为 1.
Ch1 行列式 §4 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
又因为行列式D可表示为
D 1 t ap11ap2 2 apnn . 故 D DT .
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
ri rj
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.

大学数学高数微积分第二章行列式第五节课堂讲义

n n 矩阵也称 n 级方阵.
由一个 n 级方阵
a1 1
A
a2
1
a1 2
a2 2
a1n a2n
an1
an2
an
n
定义的一个 n 级行列式
a11 a12 a1n
a 21
a 22
a2n
,
a n1 a n 2 a nn
称为矩阵 A 的行列式，记作 | A |.
二、初等变换的定义
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变
成了另一个矩阵.
矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵
B 时，记为
A B.
三、行阶梯形矩阵
定义 7 满足下面两个条件的矩阵称为
行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素全为零的行)的标号;
定义 6 下面三种变换称为数域 P 上矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (2) 以 P 中一个数 k 0 乘以某一行中的所有元素(第 i 行乘以 k , 记作 ri k ); (3) 把某一行所有元素的 k (k P)倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
素, aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
例如
5×2
1 2 矩阵
1
2
4
3
3i
0
9 8 4 2
5 1
2 0
9
5
8
i
1

行列式及其性质PPT课件

上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成行列式，得

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列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数，使第一列除去第一个元素外就全都是零. 这就是说，经过一系列初等行变换后
a11 0 A J1 0
a1 n a12 a2 n a22 . 2 ann an
定义 5 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
叫做一个 m n 矩阵, 这 m n 个数叫做矩阵的元
素, aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
例如
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
３×４矩阵
2 1 3i 0 9 8i 5 1 3i 5
5× 2 矩阵
当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时它就称为这一数域 P 上的矩阵. 上述两个矩阵一个是有理数域上的矩阵，一个是复数域上的 .
n n 矩阵也称 n 级方阵. 由一个 n 级方阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
a11 a21 定义的一个 n 级行列式 an1
a12 a1n a22 a2 n , an 2 ann
称为矩阵 A 的行列式，记作 | A |.
二、初等变换的定义
定义 6 下面三种变换称为数域 P 上矩阵的
初等行变换:
(1) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(2) 以 P 中一个数 k 0 乘以某一行中的所有
元素(第 i 行乘以 k , 记作 ri k );
(3) 把某一行所有元素的 k (k P)倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作
ri +krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初
等列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵. 矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵
B 时，记为
A B.
三、行阶梯形矩阵
定义 7 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵:
1 3 0 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 3 0 0 1 3 0 1 0 0 0
的第竖台方第一线阶的一个每数元行个元段即素阶非素竖是全梯零为线非为形元非的零零矩零长行阵元度的每的个特行也为台就一数阶点是行阶只阶非后梯有梯零面线一线行的的行下
换使之成为行阶梯形矩阵.
单击这里开始
四、行列式的计算方法
现在回过来讨论行列式的计算问题. 一个 n 级
行列式可看成是由一个 n 级方阵 A 决定的，对于矩阵可以作初等行变换 , 而行列式的性质 2 , 6 , 7 正是
说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.
每个方阵 A 总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 J. 由行列式的性质 2，6，7 ，对方阵每
( ) ; , , : ,
.
定理3
每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵.
证明
设
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
设矩阵 A 的第一列的 n 个元素中至少有一个不为零，若 a11 = 0，则总能通过行交换，使第一
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素全为零的行)的标号; (2) 设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第一个非零元素所在的列号为 ti , i = 1, 2, …, r , 则 t1 < t2 < …<tr .
例如
1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 0 5
作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或
者差一非零的倍数，也就是 | A | = k | J | , k 0. 显然，行阶梯方阵的行列式都是上三角形的，因此
| J |的计算非常容易.
不难算出，用这个方法计算一个 n 级的数字
行列式只需做
次乘法和除法. 特别当
n 比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了. 另外，这个方法完全是机械的，因而可以用计算机
第五节
行列式的计算
主要内容
矩阵的定义初等变换的定义
行阶梯形矩阵
行列式的计算方法
一、矩阵的定义
在上一节中，我们学习了行列式的性质，利用行列式的性质可简化行列式的计算，特别是利
用运算
ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列式中许
多元素化为０. 计算行列式常用的一种方法就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角行列式,从而得到行列式的值. 为了便于叙述并考虑到以后的应用 , 我们引进矩阵及矩阵的初等行变换的概念.
按这个方法来进行行列式的计算.
例 2 任意输入一个行列式，用矩阵的初等行
变换把它变成上三角形行列式，并计算之.
单击这里开始
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对于 J1 中右下角的一块
a22 a n2
n a2再重复以上的作法.
阶梯形为止. 如果原来矩阵 A 中第一列的元素全为
零，那么就依次考虑它的第二列的元素，等等.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用矩阵的初等行变