第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三
角恒等变换
1. 函数y ＝sin 2
x －sin2x 的最小正周期为_________． 答案：π
解析：y ＝sin 2
x －sin2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＝12－sin2x －12cos2x ＝12－52sin(2x ＋φ)，
其中φ为参数，所以周期T ＝2πω＝2π
2
＝π.
2. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x 的最大值为________. 答案：2＋3
4
解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cosxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝32
cos 2
x ＋12sinxcosx ＝32×
1＋cos2x 2＋14sin2x ＝34＋34cos2x ＋14sin2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，函数有最大值为
34＋12＝2＋3
4
. 3. 若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2
α＋sin2α
＝________．
答案：103
解析：3sin α＋cos α＝0
cos α≠0
tan α＝－13，1
cos 2
α＋sin2α
＝cos 2
α＋sin 2
αcos 2
α＋2sin αcos α＝1＋tan 2
α1＋2tan α＝10
3
. 4. 当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos 2
x
cosxsinx －sin 2x
的最小值是__________．
答案：4
解析：f(x)＝1－tan 2
x ＋tanx ＝1－⎝
⎛⎭⎪⎫tanx －122＋
14，当tanx ＝1
2时，f(x)的最小值为4. 5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝________．
答案：34
解析：由sin α＋cos αsin α－cos α＝1
2
，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又tan2
α＝2tan α1－tan 2
α＝－61－9＝34
. 6. 函数f(x)＝sinx ＋3cosx 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．
答案：1
解析：f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，5π6，
∴ y min
＝2sin 5π
6
＝
1.
7. 已知钝角α满足cos α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π4＝________． 答案：－3
解析：因为cos α＝2cos 2α2－1＝－35，所以cos 2α
2＝15.又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
所以cos α2＝55，sin α2＝255，tan α2＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π4＝tan α2＋1
1－tan
α2＝－3.
8. 设△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，向量m ＝(3sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，3cosA)，若n·m ＝1＋cos(A ＋B)，则C 的值为________．
答案：23π
解析：m·n ＝3sinAcosB ＋3cosAsinB ＝3sin(A ＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC.又
cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cosC ，故3sinC ＝1－cosC ，即3sinC ＋cosC ＝1，即2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1
2，由于π6＜C ＋π6＜7π6，故只有C ＋π6＝5π6，即C ＝2π3.
9. 设α、β(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝1
2
，求cos β的值．
答案：－16
65
解析：∵ tan α＝2×121－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝4
3>1，
∴ π4<α<π2，∴ sin α＝45，cos α＝35
.
又β∈(0，π)，π4<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513<12，∴ π
2
<α＋β<π，cos(α＋β)
＝－1213，于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665
.
10. 已知函数f(x)＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋sinx ·cosx ，x ∈R . (1) 求f(x)的最大值及取得最大值时的x 的值； (2) 求f(x)在[0，π]上的单调增区间．
解：(1) f(x)＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＋1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －2π32＋12sin2x ＝1＋12(sin2x －cos2x)＝
22
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. 当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，f(x)的最大值为2
2
＋1.
(2) 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，即k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
，k ∈Z .又0≤x≤π，
