高考数学总复习第3章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换课时训练(含解析)

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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三
角恒等变换

1. 函数y＝sin2x－sin2x的最小正周期为_________．
答案：π

解析：y＝sin2x－sin2x＝1－cos2x2－sin2x＝12－sin2x－12cos2x＝12－52sin(2x＋φ)，

其中φ为参数，所以周期T＝2πω＝2π2＝π.
2. 函数y＝sinπ2＋xcosπ6－x的最大值为________.
答案：2＋34
解析：y＝sinπ2＋xcosπ6－x＝cosxcosπ6－x＝32cos2x＋12sinxcosx＝32×
1＋cos2x2＋14sin2x＝34＋34cos2x＋14sin2x＝34＋1
2
sin2x＋π3，所以当sin2x＋π3＝1时，

函数有最大值为34＋12＝2＋34.
3. 若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α＝________．
答案：103
解析：3sinα＋cosα＝0cosα≠0tanα＝－13，1cos2α＋sin2α＝
cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝10
3
.

4. 当0＜x＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx－sin2x的最小值是__________．
答案：4
解析：f(x)＝1－tan2x＋tanx＝1－tanx－122＋14，当tanx＝12时，f(x)的最小值为4.

5. 若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝________．
答案：34
解析：由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又tan2
α＝2tanα1－tan2α＝－61－9＝34.
6. 函数f(x)＝sinx＋3cosx在区间0，π2上的最小值为________．
答案：1
解析：f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3.∵ x∈0，π2，∴ x＋π3∈π3，5π6，∴ y
min
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＝2sin5π6＝1.
7. 已知钝角α满足cosα＝－35，则tanα2＋π4＝________．
答案：－3
解析：因为cosα＝2cos2α2－1＝－35，所以cos2α2＝15.又α∈0，π2，所以cosα2＝55，

sinα2＝255，tanα2＝2，所以tanα2＋π4＝tanα2＋11－tanα2＝－3.
8. 设△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，
若n·m＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．

答案：23π
解析：m·n＝3sinAcosB＋3cosAsinB＝3sin(A＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC.又
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故3sinC＝1－cosC，即3sinC＋cosC＝1，即2sin




C＋
π

6

＝1，即sinC＋π6＝12，由于π6＜C＋π6＜7π6，故只有C＋π6＝5π6，即C＝2π3.

9. 设α、β(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tanα2＝12，求cosβ的值．
答案：－1665

解析：∵ tanα＝2×121－122＝43>1，
∴ π4<α<π2，∴ sinα＝45，cosα＝35.
又β∈(0，π)，π4<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513<12，∴ π2<α＋β<π，cos(α＋β)
＝－1213，于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665.
10. 已知函数f(x)＝sin2x－π6＋cos2x－π3＋sinx·cosx，x∈R.
(1) 求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值；
(2) 求f(x)在[0，π]上的单调增区间．

解：(1) f(x)＝1－cos2x－π32＋1＋cos2x－2π32＋12sin2x＝1＋12(sin2x－cos2x)＝
2
2

sin2x－π4＋1.

当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8，k∈Z时，f(x)的最大值为22＋1.
(2) 由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，即kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z.又0≤x≤π，
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故所求f(x)的增区间为0，3π8，7π8，π.
11. 已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.
(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；
(2) 若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．

解：(1) 因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2x·sin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋
cos4x)＝22sin4x＋π4，
所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.
(2) 因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1.
因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4.
所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.