第42课时——不等式的证明(2)

2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第42课时
课题：不等式的证明（2）
教学目标：了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点：证题思路的探求.
（一） 主要知识和方法：
1.反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 常用的换元有三角换元有：
已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知122
22=+b
y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知122
22=-b
y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； 3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝
试得出,要注意放缩的适度。

常用的方法是： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，22
131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ②将分子或分母放大（或缩小） ③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则
a a m
b b m
+<+” ④利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2x x -≥14
()x R ∈；20x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：
2
=>=()*,1k N k ∈>，
2
=<=()*,1k N k ∈> Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k
（程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理.
4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.
（二）典例分析：
问题1.求证：21
<++<()*n N ∈（多种证法）
问题2.()1设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：
()()()21f x f a a -<+；
()2求证：2231111
12212n n n -<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
问题3.已知332x y +=，求证：2x y +≤．
问题4.已知 1≤22x y +≤2，求证：
12
≤22x xy y -+≤3
问题5.在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222
n n n a αααα=++++ ，对正整数,m n 且m n >，求证：12
m n n a a -<．
问题6.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103
c -
<<．
（三）课后作业：
1.设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是
.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞
2.已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤
3.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中
.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-
4.设0,0,,111x y x y x y A B x y x y
+>>=
=+++++，则,A B 的大小关系是
5.,,
x x y R x y y
∈=-，则x 的取值范围是
6.求证：3
11112≤+--≤
-x x x
7.求证：
122x x x <-()0x ≠
8.求证：2221111223n
++++<
9.
||||||1||1||1||
a b a b a b a b +≤+++++
10.已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小
11.设,,a b c 为三角形的三边，求证：
3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-
12. （07临汾二模）设关于x 的实系数一元二次方程2110n n a x a x +-+=有两根n α，n β，且满足()()1120n n n n n αβαβ--+= ，1,2,3n =，…，11a =. ()1试用n a 表示1n a +；()2求数列{}n a 的通项公式；()3设1211n T a a =
++…1n a +， 求证：1≤2n T <()
*n N ∈
（四）走向高考：
13.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程
2(32)320
k k x k x k -++= 的两个根，且21k a -≤2(123)k a k = ，，，． ()1求1a ，2a ，3a ，7a ；()2求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
()3记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：1
6≤n T ≤5
24()n N ∈*．。