中考数学练习试题 用坐标表示图形变换

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

江苏南通2018-2019年中考数学试题分类解析专项4：图形的变换专题4：图形的变换一、选择题1.〔江苏省南通市2002年3分〕如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD等于【】A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm【答案】B。

【考点】折叠的性质，勾股定理。

【分析】依照勾股定理求得AB的长，再依照折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长：∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm。

∵AE=6cm，∴BE=4cm。

设CD=x，那么在Rt△DEB中，42＋x2=〔8－x〕2，解得x=3〔cm〕。

应选B。

2.〔江苏省南通市2004年3分〕某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，那么该学校不应该购买的地砖形状是【】A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形【答案】C。

【考点】平面镶嵌〔密铺〕，多边形内角和定理。

【分析】依照密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可：A、正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，∴能密铺；B、正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，∴能密铺；C、正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，135°与60°不管怎么样也不能组成360°的角，∴不能密铺；D、正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，∴能密铺。

应选C。

3.〔江苏省南通市课标卷2005年2分〕“圆柱与球的组合体”如下图所示，那么它的三视图是【】【答案】A。

7.3图形的平移、对称(折叠)、旋转与位似1.[跨学科试题]下面四种化学仪器示意图中,是轴对称图形的是(B)2.(2021·江苏苏州)如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是 (B)3.如图,△OAB的边OB在x轴的正半轴上,O是原点,点B的坐标为(3,0),把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度,得到△CDE,连接AC,DB.若△DBE的面积为3,则图中阴影部分的面积为(D)B.1A.12C.2D.324.(2021·浙江嘉兴)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤,然后剪出图⑤中的阴影部分,则阴影部分展开铺平后的图形是(D)A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形5.如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是(A)A.1∶2B.1∶4C.1∶3D.1∶96.(2022·黑龙江大庆)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处.若∠1=56°,∠2=42°,则∠A的度数为(C)A.108°B.109°C.110°D.111°7.[HK版教材九上P110 C组复习题第1题改编]如图,在边长为1的正方形网格中,正方形ABCD和正方形OEFG是位似图形,点F的坐标是(1,1),点C的坐标是(4,4),则它们的位似中心的坐标是(-2,-2)或(4 3,43 ).【解析】分两种情况讨论:①当位似图形在位似中心同侧时,连接DG,AO交于一点M(-2,-2),该点即为位似中心;②当位似图形在位似中心异侧时,连接DE,AF交于一点N(43,43),该点即为位似中心.综上所述,位似中心的坐标为(-2,-2)或(43,4 3 ).8.正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D的位置,E,F分别是B,C的对应点.(1)画出平移后的△DEF;(2)在AB上找一点P,连接CP,使得线段CP平分△ABC的面积.解:(1)如图所示,△DEF即为所求.(2)如图所示,线段CP即为所求.9.(2022·合肥蜀山区二模)如图,平面直角坐标系中的△ABC的三个顶点坐标分别为A(-5,0),B(-1,-4),C(-1,0),M为线段AB的中点.(1)点M关于y轴的对称点M1的坐标为(3,-2).(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1);(3)再将点M1沿y轴正方向平移,在平移过程中,直接写出当平移的距离d在什么范围时,点M1在△A1B1C1的内部(不包括边界).解:(2)如图所示,△A1B1C1即为所求.(3)观察图形可知2<d<4.10.如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;,求CB'的长.(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos ∠BAC=45解:(1)四边形ACC'A'是菱形.理由:由平移的性质可得AA'=CC',且AA'∥CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CB'.由题意,得CD平分∠ACB',∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,∴AA'=AC,∴四边形ACC'A'是菱形.(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,cos ∠BAC=ABAC =45,∴AC=10,∴BC=√AC2−AB2=√102−82=6,∴B'C'=BC=6.由(1)得四边形ACC'A'是菱形,∴CC'=AC=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.11.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023.如果点A的坐标为(1,0),那么点B2023的坐标为(C)A.(1,-1)B.(0,-√2)C.(√2,0)D.(-1,1)【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴点B的坐标为(1,1).连接OB.由勾股定理,得OB=√2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=√2.∵每次将正方形绕点O逆时针旋转45°,∴点B1的坐标为(0,√2),点B2的坐标为(-1,1),点B3的坐标为(-√2,0),……,且规律是8次一循环.∵2023÷8=252……7,∴点B2023的坐标为(√2,0).12.[开放题]如图,在2×6的方格纸中,已知格点P,请按要求画格点图形(顶点均在格点上).(1)在图1中画一个锐角三角形,使P为其中一边的中点,再画出该三角形向右平移2个单位长度后的图形;(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形,使三边长都不相等,再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形.图1图2解:(1)如图1所示,△ABC和△A'B'C'即为所求.(答案不唯一)(2)如图2所示,△DEP和△D'E'P即为所求.(答案不唯一)图1图213.(2022·四川广元)在Rt△ABC中,AC=BC,将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°),得到线段CD,连接AD,BD.(1)如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转α,则∠ADB的度数为135°.(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α.①在图2中依题意补全图形,并求∠ADB的度数;②若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE.用等式表示线段AD,CE,BE之间的数量关系,并证明.图1图2解:(2)①依题意补全图形如图1.由旋转的性质知CD=CA=CB,∠ACD=α,∠BCD=90°+α,∴∠ADC=90°-α2,∠BDC=45°-α2,∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=45°.②√2CE=2BE-AD.证明:如图2,过点C作CG⊥CE,交EB的延长线于点G.∵BC=CD,CE平分∠BCD,∴CE垂直平分BD,∴BE=DE.由①知∠ADB=45°,∴∠EBD=45°,∴∠FEB=45°,∴∠G=45°,∴CE=CG,EG=√2CE.易知△ACE≌△BCG(SAS),∴AE=BG.∵EG=BE+BG=BE+AE=BE+DE-AD=2BE-AD,∴√2CE=2BE-AD.图1图2。

中考数学50个知识点专练35用坐标表示图形变换一、选择题1．(2011·广州)将点A (2,1)向左平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是( )A. (0,1) B ．(2，－1) C ．(4,1) D ．(2,3)2．(2011·泰安)若点A 的坐标为(6,3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ′，则点A ′的坐标是( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(－3，－6)D ．(3,6)3．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2,2)，点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个5．(2010·本溪)已知在坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0,0°＜A ＜180°)后行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线前行a .若机器人的位置是在原点，面对方向是y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2,30°]后所在位置的坐标是( )A ．(－1，－3)B ．(－1，3)C ．(－3，－1)D ．(－3，－1)二、填空题6．(2011·潜江)将点A (－3，－2)先沿y 轴向上平移5个单位，再沿x 轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是________．7．(2011·德州)点P (1,2)关于原点的对称点P ′的坐标为__________．8．(2011·济宁)如图，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形．如果△ABC 中任意一点M 的坐标为(a ，b )，那么它的对应点N 的坐标为____________.9．(2011·宿迁)在平面直角坐标系中，已知点A (－4,0)、B (0,2)，现将线段AB 向上平移，使A 与坐标原点O 重合，则B 平移后的坐标是________．10．(2011·江西)如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________．三、解答题11．(2011·大理)如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC 向下平移4个单位，得到△A ′B ′C ′，再把△A ′B ′C ′绕点C ′顺时针旋转90°，得到△A ″B ″C ′，请你画出△A ′B ′C ′和△A ″B ″C ′(不要求写画法)．12．(2011·广东)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(－6,1)，点B 的坐标为(－3,1)，点C 的坐标为(－3,3)．(1)将Rt △ABC 沿x 轴正方向平移5个单位得到Rt △A 1B 1C 1，试在图上画出图形Rt △A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；(2)将原来的Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到Rt △A 2B 2C 2，试在图上画出图形Rt △A 2B 2C 2.13．(2011·凉山)在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A ()－1，2，B ()－3，4，C ()－2，9.(1)画出△ABC ，并求出AC 所在直线的解析式；(2)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，并求出△ABC 在上述旋转过程中扫过的面积．14．(2010·连云港)如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转180°，试解释下列问题：(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；(2)求点C旋转过程中所经过的路径长；(3)设点B旋转后的对应点为B′，求tan∠DAB′的值．15．(2010·台州)类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3＋(－2)＝1.若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移||a个单位)，沿y轴方向平移的数量为b(向上为正，向下为负，平移||b个单位)，则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}＋{c，d}＝{a＋c，b＋d}．解决问题：(1)计算：{3,1}＋{1,2}；{1,2}＋{3,1}．(2)①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3,1}平移到A，再按照“平移量”{1,2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到C，再按照“平移量”{3,1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC.②证明四边形OABC是平行四边形．(3)如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．。

演练方阵图形的变换基础平移类型一：图形的平移☞考点说明：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移是图形变换的一种基本形式，平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的．【易】1.下列几个汽车的车标图案中，可以看做是由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】2.如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（）A．B．C．D．【易】3.下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【易】4.下列生活中的现象，属于平移的是（）A．升降电梯从底楼升到顶楼B．闹钟的钟摆的运动C．DVD片在光驱中运行D．秋天的树叶从树上随风飘落【中】5.如图，将图中的“小船”平移，使点A平移到点A′，画出平移后的小船．【难】6.花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了三种不同的图案，如图（1）、图（2）、图（3）所示，其中的阴影部分用于种植花草，试比较三种方案中用于种植花草部分的面积的大小，并用平移的知识说明理由．类型二：平移的性质及相关计算☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．【易】1.如图，将△ABC平移后得到△DEF，若∠A=44°，∠EGC=70°，则∠ACB的度数是（）A．26°B．44°C．46°D．66°【易】2.如图所示，将△ABC沿着XY方向平移一定的距离成为△MNL，就得到△MNL，则下列结论中正确的有（）①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNL．A．1个B．2个C．3个D．4个【易】3.已知△ABC的边BC在直线l上，且BC=5，现把△ABC沿着直线l向右平移到△DEF 的位置，若EC=2，则△ABC平移的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．1【中】4.如图，在△ABC中，BC=6，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，若A′B′恰好经过AC的中点O，则AA′的长度为．【中】5.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．25 D．26【中】6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC 沿直线BC 向右平移2个单位得到△DEF ，连接AD ，则下列结论：①AC ∥DF ，AC=DF ；②ED ⊥DF ；③四边形ABFD 的周长是16；④S 四边形ABEO =S 四边形CFDO ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【中】7.如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC=3，则△ABC 移动的距离是（ ）A ．23B ．33C ．26D ．263 类型三：坐标轴中的平移变换☞考点说明：根据平移前后点的坐标的变化特点可知：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．而平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．【易】1.如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC 平移到△DEF 的位置，下面正确的平移步骤是（ ）A ．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位【易】2.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，则平移后C点的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，﹣2）【中】3.已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣1，3）【中】4.在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）【中】5.如图，平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a，b的值分别为（）A．1，3 B．1，2 C．2，1 D．1，1【中】6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），若将△ABC平移后，点A的对应点A1的坐标为（1，2），则点C 的对应点C1的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（2，2）C．（3，1）D．（2，1）【难】7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对称点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【难】8.把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，已知A（4，3），B（3，1），B′（1，﹣1），C′（2，0）（1）求A′与C的坐标；（2）求△ABC的面积．【难】9.已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【难】10.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（3）连接AB1，B1C，△AB1C的面积=．【难】11.画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；利用网格点和三角板画图或计算：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．类型四：平移在几何证明中的应用☞考点说明：根据平移的基本性质可知：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．在几何综合问题中，平移能够提供边相等、角相等的条件，平移前后的图形大小完全相同，且对应边是互相平行的. 【中】1.如图．在△ABC中．∠ACB=90°，请解答下列问题：（1）如图①，①是边AB上的高．∠A与∠BCD有什么关系？说明理由．（2）如图②，将CD向右平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．（3）如图③．将CD向左平移至ED．∠A与哪个角相等？说明理由．【中】2.如图，等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF重合，设移动xs后，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2（1）当x=2，7时，y的值分别为多少？（2）求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．【难】3.如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN=120°．（1）若∠ADQ=110°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）【难】4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC．将△EDC演这个C方向平移得到△E1D1C1．（1）当点D1刚好落在斜边AB上如图1，求平移距离；（2）设E1D1与边BC交于点N，C1D1与边AB交于点M，当MN∥AC时，求平移的距离．【难】5.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN 上，且∠C=∠OAB=108°，点F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）求证：AB∥OC（2）求∠BOE的度数；（3）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（4）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．轴对称（翻折）类型一：轴对称图形及轴对称变换☞考点说明：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，而这条直线就是对称轴；若两个图形沿着某条直线折叠后能够重合，则这两个图形成轴对称.【易】1.下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（）A．上海自来水来自海上B．有志者事竞成C．清水池里池水清D．蜜蜂酿蜂蜜【易】2.下列图形中，是轴对称图形的有（）①线段；②角；③等腰三角形；④平行四边形；⑤长方形；⑥正方形；⑦圆．A．4个B．5个C．6个D．7个【易】3.如图所示的图形中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【易】4.京剧和民间剪纸是我国的两大国粹，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．下列四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【易】5.指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．【易】6.判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【中】7.如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（）A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01【中】8.下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（）A．6 B．7 C．8 D．9【中】9.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）（1）F，R，P，J，L，G，（）（2）H，I，O，（）（3）N，S，（）（4）B，C，K，E，（）（5）V，A，T，Y，W，U，（）A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M【中】10.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．【中】11.尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线m为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）．类型二：轴对称的性质及相关计算☞考点说明：根据轴对称的性质可知：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上；④对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【易】1.如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是（）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB、CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD=BC，OD=OC【易】2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=50°，∠C′=30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【易】3.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．15 cm【易】4.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【中】5.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF=α，则∠AOB=．类型三：坐标轴中的轴对称变换☞考点说明：根据平面直角坐标系中的点的对称的特点可知：如果两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数；如果两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【易】1.已知：如图，已知△ABC，（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标．【易】2.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．请在图中作出△ABC关于y轴对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标．【中】3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1B1C1（3）求△ABC的面积．【中】4.如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．【难】5.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3，0）且平行于y轴．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长．（用含a的代数式表示）（3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点P位置的变化而变化．类型四：折叠问题的处理☞考点说明：根据折叠的性质可知：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．【易】1.如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC一定是全等三角形【易】2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠BAD′的大小是（）A．30°B．45°C．50°D．60°【易】3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．【中】4.如图，在矩形ABCD 中BC=8，CD=6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上F 处，则DE 的长是（ ）A ．3B ．524C ．5D ．1689【中】5.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为34且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．32【中】6.如图，已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，使得点C 落在点E 的位置，BC=6；求线段BE 的长．【中】7.在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 边的中点，将△ADC 沿着AC 折叠，得到△AEC ．（1）如图1，求证：四边形ADCE 是菱形；（2）如图2，若BC=43AC ，菱形ADCE 的面积为24，求AB 边的长．【难】8.在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD ．（1）如图1，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD=6时，求AE 的值．（2）如图2，在AC 上取一点E ，使得CE=31AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF=CF ．【难】9.如图，长方形纸片ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，连接EF ，将∠BEF 对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．类型五：最短路径问题☞考点说明：最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．【易】1.已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【易】2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC与点D，EF垂直平分AB，交AC于F，在EF上确定一点P使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【中】3.如图，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于（）A．74B．74+3 C．74﹣3 D．3【中】4.如图，在半径为1的⊙O中，∠BAC=30°，点D是劣弧CB的中点，点P是直径AB上的一个动点，则CP+DP的最小值为（）A．2B．322C．3D．12【中】5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD的中点，点P是对角线BD 上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是（）A．3B．23C．332D．33【中】6.如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【难】7.已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．（1）求CD的长；（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．【难】8.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作AB=|x1﹣x2|；若A，B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离，如图，过A ，B 分别向x 轴、y 轴作垂线AM 1、AN 1和BM 2、BN 2，垂足分别是M 1、N 1、M 2、N 2，直线AN 1交BM 2于点Q ，在Rt △ABQ 中，AQ=|x 1﹣x 2|，BQ=|y 1﹣y 2|，∴AB 2=AQ 2+BQ 2=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为：（1）AB= ．（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A （1，﹣3），B （﹣2，1）之间的距离为 ；（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式()2222132+-++x x 的最小值．旋转类型一：旋转对称图形及旋转变换☞考点说明：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的定义可以判断旋转的角度及旋转后的图形．将基本的图形经过多次的旋转就能够设计出美丽的复杂图案.【易】1.将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（ ）A ．B ．C ．D ．【易】2.下列运动属于旋转的是（ ）A．扶梯的上升B．一个图形沿某直线对折过程C．气球升空的运动D．钟表的钟摆的摆动【易】3.下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（）A．B．C．D．【中】4.把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为（）A．30°B．45°C．60°D．72°【中】5.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．【中】6.如图是万花筒中的一个图案，其中菱形FJKG变成菱形FDAC，如果看成经过以F 点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的，那么x等于多少度？请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来．（A）60°；（B）120°；（C）180°；（D）以上答案都不对．类型二：中心对称及作图☞考点说明：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形绕着某一个点旋转180°后能够与另一个图形重合，这两个图形就是成中心对称关系.根据中心对称及中心对称图形的定义可以进行相关的作图.【易】1.已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（）A．AO=BO B．BO=EOC．点A关于点O的对称点是点D D．点D 在BO的延长线上【易】2.如图，四边形ABD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【易】3.下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【中】4.如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，ED是△ABC的中位线，E′D′是△A′B′C′的中位线，已知BC=4，则E′D′=（）A．2 B．3 C．4 D．1.5【中】5.已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并指出所有的对应点和对应线段．【中】6.在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．类型三：平面直角坐标系中的旋转变换☞考点说明：根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心连线所成的角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，因此可以利用这一性质，在平面直角坐标系（或网格）中进行相关的点的坐标的计算及作图.其中，旋转180°即为中心对称.【易】1.线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，将MN绕点M逆时针旋转90°得到线段M1N1，则点N的对应点N1的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，1）D．（﹣1，﹣3）【易】2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，﹣1）D．（1，0）【易】3.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣6，1），C （﹣1，1），将△ABC绕着原点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1，则点B的对应点B1的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（4，﹣3）C．（﹣1，﹣1）D．（6，﹣1）【中】4.已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转90°得AB，则点B的坐标为（）A．（5，1）B．（﹣3，2）C．（﹣1，5）D．（3，﹣2）【中】5.如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC 绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（22，22）类型四：旋转的性质及相关计算☞考点说明：根据旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．旋转前后的图形全等，则可以为几何的证明和计算提供相等的边和相等的角.【易】1.如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【易】2.如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上，下列结论错误的是（ ）A ．∠BCB′=∠ACA′B ．∠ACB=2∠BC ．∠B′CA=∠B′ACD ．B′C 平分∠BB′A′【中】3.如图，将△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ，再将△DBC 绕C 点逆时针旋转60°得到△FEC ，延长BD 交EF 于H ．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF 的面积为（ ）A ．123 B ．63 C ．33 D ．23【中】4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是BC 的中点，P 是A'B'的中点，连接PM ．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【中】5.如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．求证：EF=EH．【难】6.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结BC′，求BC′的长．【难】7.如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．。

第七章平面直角坐标系7.2坐标方法的简单应用7.2.2用坐标表示平移基础过关全练知识点1坐标系中点的平移1.(2022广东中考)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位后,得到的点的坐标是( )A.(3,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(1,-1)2.在平面直角坐标系中,将点P(-3,4)平移至原点,则平移方式可以是( )A.先向左平移3个单位,再向上平移4个单位B.先向右平移4个单位,再向上平移3个单位C.先向左平移3个单位,再向下平移4个单位D.先向右平移3个单位,再向下平移4个单位3.如图,在平面直角坐标系xO1y中,点A的坐标为(2,2).如果将x轴向上平移6个单位长度,将y轴向左平移4个单位长度,交于点O2,点A 的位置不变,那么在平面直角坐标系xO2y中,点A的坐标是( )A.(-6,4)B.(6,-4)C.(-4,-6)D.(6,8)知识点2坐标系中图形的平移4.如图,点A,B的坐标分别为(-3,1),(-1,-2),若将线段AB平移至A1B1的位置,点A1,B1的坐标分别为(a,4),(3,b),则a+b的值为( )A.2B.3C.4D.55.如图,△ABC经过一定的平移得到△A'B'C',如果△ABC上的点P的坐标为(a,b),那么这个点在△A'B'C'上的对应点P'的坐标为( )A.(a-2,b-3)B.(a-3,b-2)C.(a+3,b+2)D.(a+2,b+3)6.三角形ABC中一点P(x,y)经过平移后对应点为P1(x+4,y-2),将三角形ABC进行同样的平移得到三角形A1B1C1,若点A的坐标为(-4,5),则点A1的坐标为.7.【教材变式·P86T9变式】如图所示,四边形ABCO中,AB∥OC,BC ∥AO,A、C两点的坐标分别为(-√3,√5)、(-2√3,0),A、B两点间的距离等于O、C两点间的距离.(1)点B的坐标为;(2)将这个四边形向下平移2√5个单位长度后得到四边形A'B'C'O',请你写出平移后四边形四个顶点的坐标.8.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(4,0),C(3,3),D(1,4).(1)描出A、B、C、D四点的位置,并顺次连接A、B、C、D各点,组成一个封闭图形;(2)四边形ABCD的面积是;(3)四边形ABCD向左平移5个单位长度,再向上平移1个单位长度得到四边形A'B'C'D',在图中画出四边形A'B'C'D',并写出A'、B'、C'、D'的坐标.能力提升全练9.(2021重庆丰都期末,10,★★☆)将点P(m+2,2-m)向右平移2个单位长度得到点Q,且Q在y轴上,那么点P的坐标为( )A.(6,-2)B.(-2,6)C.(2,2)D.(0,4)10.【新素材·密码确定】(2022山东济宁兖州期末,5,★★☆)一组密码的一部分如图,为了保密,不同的情况下可以采用不同的密码.若输入数字密码(7,7),(8,5),对应的中转口令是“数学”,最后输出的口令为“文化”,按此方法,若输入数字密码(2,7),(3,4),则最后输出的口令为( )A.垂直B.平行C.素养D.相交11.【代数推理】(2022福建厦门思明湖滨中学期末,9,★★☆)在平面直角坐标系中,将A(n2,1)沿着x轴的正方向平移3+n2个单位后得到B点.有四个点M(-2n2,1)、N(3n2,1)、P(n2,n2+4)、Q(n2+1,1),一定在线段AB上的是( )A.点MB.点QC.点PD.点N12.【易错题】(2021湖北武汉江岸期末,14,★★☆)如图,第一象限内有两点P(m-4,n),Q(m,n-3),将线段PQ平移,使点P、Q分别落在两条坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标是.素养探究全练13.【抽象能力】如图,已知点A1(1,1),点A1向上平移1个单位,再向右平移2个单位,得到点A2;点A2向上平移2个单位,再向右平移4个单位,得到点A3;点A3向上平移4个单位,再向右平移8个单位,得到点A4,……,按这个规律平移得到点A n,则点A n的横坐标为.14.【抽象能力】(2022北京师大附中期末)对于平面直角坐标系xOy 中的图形G和图形G上的任意点P(x,y),给出如下定义:将点P(x,y)平移到P'(x+t,y-t)称为将点P进行“t型平移”,点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点;将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”.例如:将点P(x,y)平移到P'(x+1,y-1)称为将点P进行“1型平移”,将点P(x,y)平移到P'(x-1,y+1)称为将点P进行“-1型平移”.已知点A(1,1)和点B(3,1).(1)将点A(1,1)进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为;(2)①将线段AB进行“-1型平移”后得到线段A'B',点P1(2,3),P2(1.5,2),P3(3,0)中,在线段A'B'上的点是;②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点,则t的取值范围是.答案全解全析基础过关全练1.A将点(1,1)向右平移2个单位后,横坐标加2,所以平移后点的坐标为(3,1),故选A.2.D将点P(-3,4)的横坐标加3,纵坐标减4即可得原点的坐标(0,0),故可以先向右平移3个单位,再向下平移4个单位.3.B新坐标系如图所示,点A在新坐标系中的坐标为(6,-4),故选B.4.A∵点A,B的坐标分别是为(-3,1),(-1,-2),线段AB平移至A1B1的位置后,A1(a,4),B1(3,b),∴线段AB向右平移了4个单位,向上平移了3个单位,∴a=1,b=1,∴a+b=2,故选A.5.C点B的坐标为(-2,0),点B'的坐标为(1,2),横坐标增加了1-(-2)=3,纵坐标增加了2-0=2,∵△ABC上点P的坐标为(a,b),∴点P'的横坐标为a+3,纵坐标为b+2,∴点P'的坐标为(a+3,b+2),故选C.6.答案(0,3)解析∵三角形ABC中任意一点P(x,y)经过平移后对应点为P1(x+4,y-2),∴该点先向右平移了4个单位长度,又向下平移了2个单位长度,又-4+4=0,5-2=3,∴点A的对应点A1的坐标为(0,3).7.解析(1)∵C点的坐标为(-2√3,0),∴OC=2√3.∵AB∥OC,AB=OC,∴将A点向左平移2√3个单位长度得到B点,又∵A点的坐标为(-√3,√5),∴B点的坐标为(-√3−2√3,√5),即(-3√3,√5).(2)∵将四边形ABCO向下平移2√5个单位长度后得到四边形A'B'C'O',∴A'点的坐标为(-√3,-√5),B'点的坐标为(-3√3,-√5),C'点的坐标为(-2√3,-2√5),O'点的坐标为(0,-2√5).8.解析(1)如图..(2)四边形ABCD的面积是172(3)四边形A'B'C'D'如图.其中A'(-4,1)、B'(-1,1)、C'(-2,4)、D'(-4,5).能力提升全练9.B将点P(m+2,2-m)向右平移2个单位长度后得到的点Q的坐标为(m+4,2-m),∵点Q(m+4,2-m)在y轴上,∴m+4=0,即m=-4,则点P 的坐标为(-2,6),故选B.10.D输入数字密码(7,7),(8,5),对应的中转口令是“数学”,最后输出的口令为“文化”,可得平移规律为向左平移1格,向下平移2格,所以输入数字密码(2,7),(3,4),得最后输出的口令为“相交”,故选D.11.B∵将A(n2,1)沿着x轴的正方向平移3+n2个单位后得到B点,∴B(2n2+3,1),∴点B在点A右侧,且AB与x轴平行,AB上的点都距离x轴1个单位,因为点M(-2n2,1)距离x轴1个单位,当n≠0时,M 点在点A左侧,当n=0时,M点跟A点重合,所以点M不一定在线段AB上.点N(3n2,1)距离x轴1个单位,可看作将点A沿着x轴的正方向平移2n2个单位后得到的,不一定在线段AB上.点P(n2,n2+4)在点A 右侧,且距离x轴n2+4个单位,不在线段AB上.点Q(n2+1,1)距离x 轴1个单位,可看作将A(n2,1)沿着x轴的正方向平移1个单位后得到的,一定在线段AB上.所以一定在线段AB上的是点Q.故选B.12.答案(0,3)或(-4,0)解析设平移后点P、Q的对应点分别是P'、Q'.分两种情况:①P'在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,∴点P'的纵坐标为n+0-(n-3)=3,∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,∴点P'的横坐标为m-4+0-m=-4,∴点P平移后的对应点的坐标是(-4,0).综上可知,点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0).素养探究全练13.答案2n-1解析由题意知,点A1的横坐标为1=21-1,点A2的横坐标为3=22-1,点A3的横坐标为7=23-1,点A4的横坐标为15=24-1,……,则点A n的横坐标为2n-1.14.解析(1)将点A(1,1)进行“1型平移”后的对应点A'的坐标为(2,0),故答案为(2,0).(2)①如图,将线段AB进行“-1型平移”后得到线段A'B',点P1(2,3),P2(1.5,2),P3(3,0)中,线段A'B'上的点是P2.②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点,则t的取值范围是-3≤t≤-1或t=1.。

最新北京中考数学真题模拟题汇编专题17 图形的变化之解答题（14道题）参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2019•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）CG＝2BD，理由是：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（2019•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴，∴EF EC．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【答案】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．（1）依据题意补全图形；（2）当α＝20°时，∠ADC＝40°；∠AEC＝60°；（3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD，∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，由对称可知，AD＝AB，∴AD＝AC，∵∠BAP＝α＝20°，∴∠DAB＝40°，∴∠DAC＝40°+60°＝100°，∴∠ADC＝∠ACD，∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°，故答案为40，60；（3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α，∵AD＝AB＝AC，∴∠ADC，∠AEC＝60°，∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BCE＝α，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE，证明：在CD上截取BG＝BE，∵∠BEC＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BCE＝∠DAE＝α，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴CD＝2DE+CG，即CD＝2DE+AE．【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键．5．（2019•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．【答案】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝30°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°∴∠ABD＝∠ADB＝75°∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°∵∠EAF＝60°又∵∠EAF＝60°，∴∠F＝60°∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS）．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE﹣EF＝BD，∴2CE﹣AE＝BD【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．（2019•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，连接CF．∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝45°，∵点E、F关于直线BC对称，∴CE＝CF，∠FCB＝∠BCE＝45°，∴∠FCA＝45°，在△FCA与△ECB中，∴△FCA≌△ECB（SAS），∴AF＝BE；（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2，证明：∵△FCA≌△ECB，∴∠AFC＝∠BEC，∵∠AFC+∠CFG＝180°，∴∠CFG+∠CEG＝180°，∴∠ECF+∠EGF＝180°，∵∠ECF＝45°+45°＝90°，∴∠EGF＝90°，连接EF，∴GE2+GF2＝EF2，∵CE＝CF，∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，∴GE2+GF2＝2CE2．【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键．7．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB＝2，求AD的长．【答案】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形．∴AF＝DE，∠DEB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴AF BC，∵BC＝BD，AF＝DE，∴DE BD，∴∠DBE＝30°，∴∠D′BC＝120°+30°＝150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．（3）由题意AB＝AC＝2，∴BC＝2，∴AF＝BF＝DE，∴BE DE，∴AD，AD′＝2（）．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．8．（2019•石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG＝CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．由平移可知ED∥BC，ED＝BC．∴∠ADE＝∠ACB＝60°．∵∠GMD＝90°，如图1，∴DG＝2DM＝DE．∵DE＝BC＝AC，∴DG＝AC．∴AG＝CD．（3）线段AH与CG的数量关系：AH＝CG．证明：如图2，连接BE，EF．∵ED＝BC，ED∥BC，∴四边形BEDC是平行四边形．∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．∵GM垂直平分ED，∴EF＝DF．∴∠DEF＝∠EDF．∵ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF．∴∠BFE＝∠BFH．∵BF＝BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE＝BH＝CD＝AG．∵AB＝AC，∴AH＝CG．【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB＝FD；（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．【答案】（1）证明：如图1中，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，∴∠BAD＝90°，BA＝AD，∴∠FAD＝∠FAB＝45°，∵AF＝AF，∴△FAD≌△FAB（SAS），∴BF＝DF．（2）①解：结论：AH⊥BF．理由：如图2中，连接CD．∵∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝AB＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE，∴△ABH≌△DCE（SAS），∴∠BAH＝∠CDE，∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB，∴△CFD≌△CFB（SAS），∴∠CDF＝∠CBF，∴∠BAH＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAH+∠ABF＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AH⊥BF．②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．∵∠ANB＝90°，AO＝OB，∴ON AB＝1，在Rt△OBC中，OC，∵CN≥OC﹣ON，∴CN1，∴CN的最小值为1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．10．（2019•平谷区一模）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．【答案】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC+∠BCA＝60°，∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，即∠BCD＝120°﹣α．（2）BD＝AB+BC．如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE．∴△ADE≌△CDB（SAS）．∴BD＝BE．∴BD＝AB+BC．（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，∴，∴．【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．11．（2019•通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）连接AE．∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，∴[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．（2）结论：AF＝EF+CF．证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，∴∠ABC＝∠AFC＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF＝FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ACG＝∠BCF＝α，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG＝BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF＝EF，∴AF﹣AG＝GF，∴AF＝EF+CF．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2019•门头沟区一模）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P 作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．【答案】解：（1）补全图形（如图1）；理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠EOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POE＝∠PQF＝∠POQ，∴PO＝PQ．∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE OP．理由：如图1中，∵△EPO≌△FPQ，∴OE＝FQ．又∵OQ＝OF+FQ＝OF+OE，又∵OQ OP，∴OF+OE OP．（3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE OP．理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POA＝∠PQO＝∠POQ＝45°，∴PO＝PQ，∠POE＝∠PQE＝135°，∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，OE＝FQ．又∵OQ＝OF﹣FQ＝OF﹣OE，又∵OQ OP，∴OF﹣OE OP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．（2019•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，∴点A的坐标为（2，0）．∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）．（2）分a＞0和a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，如图1所示．∴25a﹣20a+3a﹣2≥2，∴a；②当a＜0时，如图2所示．∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣2＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，∴，∴a≤﹣2．综上所述：a的取值范围为a或a≤﹣2．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移：掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点A的坐标；（2）分a＞0和a＜0两种情况，利用数形结合找出关于a的一元一次不等式（或一元一次不等式组）．14．（2019•北京模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②补全图形如图2，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：如图3，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE，∴CE＝DE tanα，∴BC＝2CE＝2DE tanα，即BF﹣BP＝2DE tanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．。

专题15 图形变换（平移、旋转、对称）一．选择题1．（2022·山东威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：∠为入射角由图可得MN是法线，PNM因为入射角等于反射角，且关于MN对称∠由此可得反射角为MNB所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．2．（2022·湖南永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）① ② ③ ④A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；∴是中心对称图形的是：①②③；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．3．（2022·江苏无锡）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）A ．扇形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．矩形【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题关键．4．（2022·贵州遵义）在平面直角坐标系中，点(),1A a 与点()2,B b -关于原点成中心对称，则a b +的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】C【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得,a b 的值即可求解．【详解】解：∵点(),1A a 与点()2,B b -关于原点成中心对称，∴2,1a b ==-211a b ∴+=-=，故选C ．【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【详解】A 不是轴对称图形；B 、C 、D 都是轴对称图形；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．（2022·山东青岛）如图，将ABC 先向右平移3个单位，再绕原点O 旋转180︒，得到A B C ''' ，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．(2,0)B ．(2,3)--C ．(1,3)--D ．(3,1)--【答案】C【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，由图像可知A'（-1，-3），故选：C．【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．7．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位【答案】D【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【详解】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．8．（2022·广西）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（）A．（3，-3）B．（3，3）C．（－1，1）D．（－1，3）【答案】D【分析】根据图形的平移性质求解．【详解】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；故选：D．【点睛】本题主要考查图形平移的点坐标求解，掌握图形平移的性质是解题的关键．9．（2022·湖南郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．故答案为B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．10．（2022·广西贵港）若点(,1)A a -与点(2,)B b 关于y 轴对称，则-a b 的值是（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．2【答案】A【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．【详解】∵点(,1)A a -与点(2,)B b 关于y 轴对称，∴a =-2，b =-1，∴a -b =-1，故选A ．【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．11．（2022·江苏常州）在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（ ）A ．(2,1)-B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)--【答案】D【分析】直接利用关于x ，y 轴对称点的性质分别得出A ，2A 点坐标，即可得出答案．【详解】解：∵点1A 的坐标为（1，2），点A 与点1A 关于x 轴对称，∴点A 的坐标为（1，-2），∵点A 与点2A 关于y 轴对称，∴点2A 的坐标是（-1，﹣2）．故选：D ．【点睛】此题主要考查了关于x ，y 轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．12．（2022·北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．13．（2022·山东临沂）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称；熟练掌握知识点是解题的关键．14．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，线段11A B 是将ABC 绕着点()3,2P 逆时针旋转一定角度后得到的111A B C △的一部分，则点C 的对应点1C 的坐标是（ ）A ．(-2，3)B ．(-3，2)C ．(-2，4)D ．(-3，3)【答案】A 【分析】根据旋转的性质解答即可．【详解】解：∵线段11A B 是将ABC 绕着点()3,2P 逆时针旋转一定角度后得到的111A B C △的一部分，∴A 的对应点为1A ，∴190APA ∠=︒，∴旋转角为90°，∴点C 绕点P 逆时针旋转90°得到的1C 点的坐标为（-2，3），故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键．15．（2022·湖南）如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，2OA =，1OB =，OC =AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（ ）AB C D 【答案】C【分析】将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆，连接OD ，得到BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得90COD ∠=︒，从而求解．【详解】解：将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆，连接OD ，OB OD ∴=，60BOD ∠=︒，2CD OA ==，BOD ∴∆是等边三角形，1OD OB ∴==，∵222214OD OC +=+=，2224CD ==，222OD OC CD ∴+=，90DOC ∴∠=︒，AOB ∴∆与BOC ∆的面积之和为21112BOC BCD BOD COD S S S S +=+=+⨯= C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将AOB ∆与BOC ∆的面积之和转化为BOC BCD S S + ，是解题的关键．16．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到EDC △，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若BCD α∠=，则EFC ∠的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．1902α︒+B ．1902α︒-C ．31802α︒-D ．32α【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，BC =DC ，∠ACE =α，∠A =∠E ，则∠B =∠BDC ，利用三角形内角和可求得∠B ，进而可求得∠E ，则可求得答案．【详解】解：∵将ABC 绕点C 顺时针旋转得到EDC △，且BCD α∠=∴BC =DC ，∠ACE =α，∠A =∠E ，∴∠B =∠BDC ，∴1809022B BDC αα︒-∠=∠==︒-，∴90909022A E B αα∠=∠=︒-∠=︒-︒+=，∴2A E α∠=∠=，318018018022EFC ACE E ααα∴∠=︒-∠-∠=︒--=︒-，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．17．（2022·内蒙古赤峰）如图，点()2,1A ，将线段OA 先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段''O A ，则点A 的对应点'A 的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()0,4C ．()1,3-D ．()3,1-【答案】C 【分析】根据点向上平移a 个单位，点向左平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y +a ）⇒P （x +a ，y +b ），进行计算即可．【详解】解：∵点A 坐标为（2，1），∴线段OA 向h 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A 的对应点A ′的坐标为（2-3，1+2），即（-1，3），故选C ．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．18．（2022·黑龙江绥化）如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()2,5-D ．()5,2-【答案】A 【分析】如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，证明()A OB BOA AAS '∠ ≌，根据A 点坐标为()2,5，写出5AB =，2OB =，则5OB '=，2A B '=，即可写出点A 的坐标．【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，∴90A BO ABO ∠'=∠=︒，OA OA '=，∵18090A OB AOB A OA '∠+∠=︒-∠'=︒，90AOB A ∠+∠=︒，∴A OB A ∠'=∠，∴()A OB BOA AAS '∠ ≌，∴OB AB '=，A B OB '=，∵A 点坐标为()2,5，∴5AB =，2OB =，∴5OB '=，2A B '=，∴()5,2A '-，故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，证明A OB BOA '∠ ≌是解答本题的关键．19．（2022·海南）如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABC BC AB ∠=︒=，则点的坐标是（ ）A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)【答案】D 【分析】先过点C 做出x 轴垂线段CE ，根据相似三角形找出点C 的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的坐标．【详解】如图过点C 作x 轴垂线，垂足为点E ，∵90ABC ∠=︒∴90ABO CBE ∠+∠=︒∵90CBE BCE +=︒∠∴ABO BCE Ð=Ð在ABO ∆和BCE ∆中，90ABO BCE AOB BEC =⎧⎨==︒⎩∠∠∠∠ ，∴ABO BCE ∆∆∽，∴12AB AO OB BC BE EC === ，则26BE AO == ,22EC OB ==∵点C 是由点B 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D 同样是由点A 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A 坐标为(0，3)，∴点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图像的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图像左右、上下平移的距离是解题的关键．20．（2022·广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平移的特点分析判断即可．【详解】根据题意，得不能由平移得到，故A 不符合题意；不能由平移得到，故B 不符合题意；不能由平移得到，故C 不符合题意；能由平移得到，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了平移的特点，熟练掌握平移的特点是解题的关键．21．（2022·广西）如图，在ABC 中，4,CA CB BAC α==∠=，将ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到AB C '' ，连接B C '并延长交AB 于点D ，当B D AB '⊥时， 'BB的长是（ ）A B C D 【答案】B【分析】先证'60B AD ∠=︒，再求出AB 的长，最后根据弧长公式求得 'BB．【详解】解：,'CA CB B D AB =⊥ ，12AD DB AB ∴==，AB C '' 是ABC 绕点A 逆时针旋转2α得到，'AB AB ∴=，1'2AD AB =，在'Rt AB D ∆中，1cos ''2AD B AD AB ∠==，'60B AD ∴∠=︒，,'2CAB B AB αα∠=∠= ，11'603022CAB B AB ∴∠=∠=⨯︒=︒，4AC BC == ，cos304AD AC ∴=︒==2AB AD ∴==BB ∴'的长=60180AB π=，故选：B ．【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运算三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．22．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒=，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '' ，其中点A '与点A 是对应点，点B '与点B 是对应点．若点B '恰好落在AB 边上，则点A 到直线A C '的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．2【答案】C【分析】如图，过A 作AQ A C '⊥于,Q 求解4,AB AC == 结合旋转：证明60,,90,B A B C BC B C A CB '''''∠=∠=︒=∠=︒ 可得BB C '△为等边三角形，求解60,A CA '∠=︒ 再应用锐角三角函数可得答案．【详解】解：如图，过A 作AQ A C '⊥于,Q由90,30,2ACB A BC ∠=︒∠=︒=，4,AB AC ∴===结合旋转：60,,90,B A B C BC B C A CB '''''∴∠=∠=︒=∠=︒BB C '∴ 为等边三角形，60,30,BCB ACB ''∴∠=︒∠=︒60,A CA '∴∠=︒sin 60 3.AQ AC ∴=︒== ∴A 到A C '的距离为3．故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30︒的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．23．（2022·内蒙古通辽）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，故本选项符合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．24．（2022·四川内江）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B 错误；C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．25．（2022·广西河池）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，将Rt ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到Rt A B C ''' ．在此旋转过程中Rt ABC 所扫过的面积为( )A ．25π+24B ．5π+24C ．25πD ．5π【答案】A 【分析】根据勾股定理定理求出AB ，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．【详解】解：∵90ACB ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，∴10AB ==，∴Rt ABC 所扫过的面积为2901016825243602ππ⋅⋅+⨯⨯=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．26．（2022·上海）有一个正n 边形旋转90 后与自身重合，则n 为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90 一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90 是30 的3倍，则可以旋转得到．A. B. C. D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C ．【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．27．（2022·贵州毕节）矩形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，连接CF ．若4AB =，6BC =，则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．185【答案】D 【分析】连接BF 交AE 于点G ，根据对称的性质，可得AE 垂直平分BF ，BE =FE ，BG =FG =12BF ，根据E 为BC 中点，可证BE =CE =EF ，通过等边对等角可证明∠BFC =90°，利用勾股定理求出AE ，再利用三角函数（或相似）求出BF ，则根据FC =【详解】连接BF ，与AE 相交于点G ，如图，∵将ABE △沿AE 折叠得到AFE △∴ABE △与AFE △关于AE 对称∴AE 垂直平分BF ，BE =FE ，BG =FG =12BF∵点E 是BC 中点∴BE =CE =DF =132BC =∴5AE ===∵sin BE BG BAE AE AB ∠==∴341255BE AB BG AE ⋅⨯===∴12242225BF BG ==⨯=∵BE =CE =DF ∴∠EBF =∠EFB ，∠EFC =∠ECF∴∠BFC =∠EFB +∠EFC =180902︒=︒∴185FC ==故选 D 【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．二．填空题28．（2022·山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()0,2A ，()2,1B -．平移ABC 得到A B C ''' ，若点A 的对应点A '的坐标为()1,0-，则点B 的对应点B '的坐标是_____________．【答案】()1,3-【分析】根据点A 坐标及其对应点A '的坐标的变化规律可得平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小2，即可得到答案．【详解】 平移ABC 得到A B C ''' ，点()0,2A 的对应点A '的坐标为()1,0-，∴ABC 向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度，即平移后对应点的横坐标减小1，纵坐标减小2，∴()2,1B -的对应点B '的坐标是()1,3-，故答案为：()1,3-．【点睛】本题考查了平移坐标的变化规律，即左减右加，上加下减，熟练掌握知识点是解题的关键．29．（2022·广西贵港）如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若,25DE AC CAD ⊥∠=︒，则旋转角α的度数是______．【答案】50︒【分析】先求出65ADE ∠=︒，由旋转的性质，得到65∠=∠=︒B ADE ，AB AD =，则65ADB ∠=︒，即可求出旋转角α的度数．【详解】解：根据题意，∵,25DE AC CAD ⊥∠=︒，∴902565ADE ∠=︒-︒=︒，由旋转的性质，则65∠=∠=︒B ADE ，AB AD =，∴65ADB B ∠=∠=︒，∴180665550BAD ︒-∠=︒=︒-︒；∴旋转角α的度数是50°；故答案为：50°．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．30.（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B 到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．【答案】(4,8)-【分析】过B 作BC OA ⊥于C ，过B '作BD x ⊥轴于D ，构建OB D OBC '∆≅∆，即可得出答案．【详解】过B 作BC OA ⊥于C ，过B '作BD x ⊥轴于D ，∴90B DO BCO '∠=∠=︒，∴2390∠+∠= ，由旋转可知90BOB '∠=︒，OB OB '=，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，∵OB OB '=，13∠=∠，B DO BCO '∠=∠，∴OB D OBC '∆≅∆，∴B D OC '=，4OD BC ==，∵5AB AO ==，∴3AC ===，∴8OC =，∴8B D '=，∴(4,8)B '-．故答案为：(4,8)-．【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．31．（2022·四川泸州）点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．【答案】()2,3-【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点()2,3-关于原点对称的点的坐标是()2,3-故答案为：()2,3-【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ）．32．（2022·吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为__________度．（写出一个即可）【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒，0360α︒<<︒ ，∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．33．（2022·贵州铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】8 5【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，∴点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，∵MN+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE∵12CE×DO=12CD×DE，∴DO∴EO∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE ∥MF ，∴∠EDO =∠GMO ，∵CE 为线段DM 的垂直平分线，∴DO =OM ，∠DOE =∠MOG =90°，∴△DOE ≌△MOG ，∴DE =GM ，∴四边形DEMG 为平行四边形，∵∠MOG =90°，∴四边形DEMG 为菱形，∴EG =2OE GM = DE =1，∴CG ，∵DE ∥MF ，即DE ∥GF ，∴△CFG ∽△CDE ，∴FG CG DE CE =，即1FG ， ∴FG =35，∴MF =1+35=85，∴MN +NP 的最小值为85．故答案为：85．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．34．（2022·山东潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为___________．1【分析】判定△AB ′D ′是等腰直角三角形，即可得出AB AD ，再根据AB ′= AB ，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =∠DAB =90°，由操作一可知：∠DAB ′=∠D ′AB ′=45°，∠AD ′B ′=∠D =90°，AD =AD ′，∴△AB ′D ′是等腰直角三角形，∴AD =AD ′= B ′D ′，由勾股定理得AB ，又由操作二可知：AB ′=AB ，=AB ，∴AB AD ，∴A 4纸的长AB 与宽AD 1：1．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．35．（2022·山东潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75︒，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ''的坐标为___________．【答案】(1)+【分析】连接OB ，OB '由题意可得∠BOB '=75°，可得出∠COB '=30°，可求出B '的坐标，即可得出点B ''的坐标．【详解】解：如图：连接OB ，OB '，作B M '⊥y 轴∵ABCO是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB=∵绕原点O逆时针旋转75︒∴∠BOB'=75°∴∠COB'=30°∵OB'=OB=∴MB'MO∴B'(∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴B''(1)故答案为：(1)【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．36．（2022·湖南永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为______．【答案】()2,2-【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可．【详解】解：线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后的位置如图所示，∴旋转后的点A 的坐标为（2，-2），故答案为：（2，-2）．【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点的坐标是解题关键．三．解答题37．（2022·湖南）如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，AOB ∆的顶点坐标分别为(3,0)A ，(0,0)O ，(3,4)B ．(1)将AOB ∆沿x 轴向左平移5个单位，画出平移后的△111AO B （不写作法，但要标出顶点字母）；(2)将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的△222A O B （不写作法，但要标出顶点字母）；(3)在（2）的条件下，求点B 绕点O 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留)π．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)52π【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，O ，B 的对应点1A ，1O ，1B 即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，O ，B 的对应点2A ，2O ，2B 即可；（3）利用弧长公式求解即可．(1)解：如图，111A O B ∆即为所求；(2)解：如图，222A O B ∆(即△A 2OB 2）即为所求；(3)解：在Rt AOB ∆中，5OB ==，905253602l ππ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．38．（2022·湖北荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．(1)在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；(2)在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】对于（1），以AC为公共边的有2个，以AB为公共边的有2个，以BC为公共边的有1个，一共有5个，作出图形即可；对于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC为对角线的菱形只有1个，作出图形即可．(1)如图所示．。

中考数学《二次函数图像的几何变换》专项练习题及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x+2）2﹣22．将抛物线影响y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=-（x+2）2B．y=-x2+2C．y=-（x-2）2D．y=-x2-23．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到新的抛物线是（）A．y=5(x+2)2+3B．y=5(x−2)2+3C．y=5(x+2)2−3D．y=5(x−2)2−34．在平面直角坐标系内，将抛物线y=(x+2)2−3经过两次平移后，得到的新抛物线为y=(x−1)2−4.下列对这一平移过程描述正确的是（）A．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．下列平移中，不能使二次函数y=2x2+4x−6经过原点的是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移6个单位D．向上平移8个单位6．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+37．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y= 12x2沿射线OC平移得到新抛物线y= 12（x-m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0<m≤6C．0<m≤8 D．0<m≤2 或6 ≤ m≤88．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝3（x﹣2）2﹣5B．y＝3（x﹣2）2+5C．y＝3（x+2）2﹣5D．y＝3（x+2）2+59．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x−2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10．抛物线y＝12x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝12（x+1）2﹣2B．y＝12（x﹣1）2+2C．y＝12（x﹣1）2﹣2D．y＝12（x+1）2+211．将二次函数y=x2的图象如何平移可得到y=x2+4x+3的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位12．把抛物线y=(x+2)2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（）A．y=(x+2)2+2B．y=(x+1)2−2C．y=x2+2D．y=x2−2二、填空题13．将抛物线y=﹣x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为．14．抛物线y=-x2-2x+3可由抛物线y=ax2平移得到，则a的值是。

图形变换专项训练题（满分100分）一、单选题（每题2分，共24分）1．下列现象中，属于平移的是（）①小朋友在荡秋千；①打气筒打气时，活塞的运动；①钟摆的摆动；①瓶装饮料在传送带上移动．A．①①B．①①C．①①D．①①2.以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）．A．4个B．5个C．6个D．3个3.在平面直角坐标系中，将点P(-2，3)沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是()A．(-2，6)B．(1，2)C．(2，6)D．(1，3)4.如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）．A．2B．12C．1D．145.如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若①AOB=27°，则①BOC的度数是()A．18°B．27°C．45°D．72°6.如图，在ABC中，∠CAB=70°，现将ABC绕点A顺时针旋转一定角度后得到AB′C′，连接BB′，若BB′∠AC′，则∠CAB′的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°（4题图）（5题图）（6题图）7.在平面直角坐标系中，把直线y=2x+4绕着原点O顺时针旋转90°后，所得的直线l一定经过下列各点中的（）A ．（2，0）B ．（4，2）C ．（6，−1）D ．（8，−1） 8.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180，对应点为2P ，则点2P 的坐标为 （ ）A ．(2.8,3.6)B ． 2.8,6()3.--C ．(3.8,2.6)D ．( 3.8, 2.6)-- 9.如图，将边长为3的正方形绕点B 逆时针旋转30︒，那么图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．3 C ．33- D ．332- 10.如图，①ABO 是由①A′B′O 经过位似变换得到的，若点P′(m ，n)在①A′B′O 上，则点P′经过位似变换后的对应点P 的坐标为 ( )A ．(2m ，n)B ．(m ，n)C ．(m ，2n)D ．(2m ，2n)（8题图） （9题图） （10题图）11.如图，将含30°角的直角三角尺ABC 绕点B 顺时针旋转150°后得到∠EBD ，连接CD ．若AB=4cm ．则∠BCD 的面积为（ ）A ．43B ．23C ．3D ．2 12将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（11题图） （12题图）二、填空题（每题3分，共30分）13.已知点()(),23,A a B b -、关于x 轴对称，则a b + = ________ .14.如图是一个经过改造的台球桌面示意图(该图由相同的小正方形组成)，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入________号球袋．15.如图，把Rt①ABC (①ABC ＝90°)沿着射线BC 方向平移得到Rt①DEF ，AB ＝8，BE ＝5，则四边形ACFD 的面积是________．16.如图，Rt △AOB 的斜边OA 在y 轴上，且OA=5，OB=4．将Rt △AOB 绕原点O 逆时针旋转一定的角度，使直角边OB 落在x 轴的负半轴上得到相应的Rt △A′OB′，则A′点的坐标是_____．（14题图） （15题图） （16题图） 17.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC =______． 18.已知：如图A'B'//AB ，B'C'//BC ，且OA':A'A 4:3=，则ABC 与________是位似图形，位似比为________．19.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝_____cm ．（17题图） （18题图） （19题图）20如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数k y x=(k 为常数，0,0k x >>)的图像上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形'''AB O C ，若点O 的对应点'O 恰好落在此反比例函数的图像上，则OB OC的值是_______. 21.如图，在①ABC 中，①ACB =90°，AC =BC =2，将①ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到①A 'B ′C '，其中点B 的运动路径为BB '，则图中阴影部分的面积为_____．22.将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形．若∠EAB=40°，则∠CAD=____；将∠ABC 绕直角顶点A 旋转时，保持AD 在∠BAC 的内部，设∠EAC=x°，∠BAD=y°，则x 与y 的关系是_______．（20题图） （21题图） （22题图）三、解答题（23--25每题6分，26题8分，27--28每题10分）23.如图1，是由2个白色和2个黑色全等正方形组成的“L ”型图案，请你分别在图2，图3，图4上按下列要求画图：()1在图案中，添1个白色或黑色正方形，使它成轴对称图案；()2在图案中，添1个白色或黑色正方形，使它成中心对称图案；()3在图案中，先改变1个正方形的位置，再添1个白色或黑色正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案．24.如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）作出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标．（2）y 轴上有一点Q ，使AQ +CQ 的值最小，求点Q 的坐标．25.如图（1），已知①ABC的面积为3，且AB=AC，现将①ABC沿CA方向平移CA长度得到①EF A．（1）求①ABC所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若①BEC=15°，求AC的长．26.已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1）），AF=23求DE的长．（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2）），①AED的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG的长．27.四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF ①DE 交DE 的延长线于F ，连接BE ．（1）依题意补全图1；（2）直接写出①FBE 的度数；（3）连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．28.如图1，在Rt ABC △中，90,4,2B AB BC ∠=︒==，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当0α=︒时，AE BD ＝______；①当180α=︒时，AE BD ＝______； (2)拓展探究试判断当0360α︒<<︒时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决当CDE 绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长。

初三数学第二章图形与变换复习（NO：005）知识总结1、（2012浙江）如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为 102、（2012绍兴）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD ，点A 的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A 落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是（ B ）A ． 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B ． 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C ． 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D ． 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位3、（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为（ C ）．A ．(2，0)B ．(23，23) C ．(2，2) D ．(2，2)4、（2012年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD 的两边BC 、AB 分别在平面直角坐标系内的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC=23，若点A ′的坐标为（1，2），则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ B ）5、（2012聊城）如图，在方格纸中，△ABC 经过变换得到△DEF，正确的变换是（ B ） A ．把△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°，再向下平移2格 B ．把△ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°，再向下平移5格 C ．把△ABC 向下平移4格，再绕点C 逆时针方向旋转180° D ．把△ABC 向下平移5格，再绕点C 顺时针方向旋转180°6、(2012山东德州)由图中左侧三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是（ C ）A B DF（第6题）（A ） （C ） （D ）（B ）7、（2007潍坊）如图，两个全等的长方形ABCD 与CDEF ，旋转长方形ABCD 能和长方形CDEF 重合，则可以作为旋转中心的点有（ A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个8、（2008潍坊）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的顶点A的坐标为，若将OAB △绕O 点逆时针旋转60后，B 点到达B '点，则B '点的坐标是)23,33(第7题 第8题 第9题9、（2009潍坊）如图，已知Rt ABC △中，9030ABC BAC AB ∠=∠==°，°，，将ABC △绕顶点C 顺时针旋转至A B C '''△的位置，且A C B '、、三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是（ D ）cm ．A ．8B．C ．32π3D ．8π310、(2012广东汕头)如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是 80011、(2012贵州六盘水)两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图5水平放置.将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 30 度.第10题第11题 第12题12、（2012中考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠B ＝30º，AC ＝1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得 到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3 ＋3；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2012为止，则AP 2012＝【 】A ．2011＋671 3B ．2012＋671 3C ．2013＋671 3D ．2014＋671 3'B①② ③1P 2 P 3 … l又∵2012÷3=670…2，∴AP 2012=670（3+3）+（2+3）=2012+6713故选B ．13、（2012山东泰安）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转105°至OA B C '''的位置，则点B '的坐标为（2,2-）14、（2012广州）如图4，在等边△ABC 中，AB=6，D 是BC 上一点，且BC=3BD ，△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，则CE 的长度为 2 。

青岛版九年级（上）中考题单元试卷：第2章图形变换（09）一、选择题（共4小题）1．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．2．如图，是用围棋子摆出的图案（用棋子的位置用用有序数对表示，如A点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）A．黑（3，3），白（3，1）B．黑（3，1），白（3，3）C．黑（1，5），白（5，5）D．黑（3，2），白（3，3）3．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种二、填空题（共3小题）5．如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．6．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是．7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有种．三、解答题（共23小题）8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．9．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．10．如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）11．如图，已知△ABC和点O．（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）14．如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．15．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°（1）画出旋转之后的△AB′C′；（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．16．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．（1）把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．18．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．19．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；（2）将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°，得到四边形A1B2C2D2，画出旋转后的四边形A1B2C2D2，并写出点C2的坐标．20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）．（提示：一定要用2B铅笔作图）（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为．21．如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B （﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．22．如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是；点C2的坐标是；过C、C1、C2三点的圆的圆弧的长是（保留π）．23．在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；（2）设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．24．利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：（1）图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕0点按顺时针旋转90°；（2）完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于．25．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使P A1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）26．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A 2B2C2，并求出的值．27．如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；（3）在（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）28．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝BOA＝120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC＝，∠A′BC＝，OA+OB+OC＝．29．如图，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐标平面上三点．（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）请写出点B关于y轴对称的点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1内部，指出h的取值范围．30．如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个长度单位，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，1）．（1）先将Rt△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出Rt△A2B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点C1所经过的路径长．青岛版九年级（上）中考题单元试卷：第2章图形变换（09）参考答案一、选择题（共4小题）1．C；2．B；3．C；4．C；二、填空题（共3小题）5．；6．②；7．4；三、解答题（共23小题）8．；9．；10．；11．；12．π；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．5；21．；22．（1，4）；（1，﹣4）；π；23．；24．20；25．；26．；27．；28．30°；90°；；29．；30．；。

利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题我们知道几何图形中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形等，都有其独特的几何性质，在直角坐标系中，这些性质都可以用代数形式表示出来，从而可利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题．一、计算距离，找等腰三角形顶点例1 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋m与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D，抛物线对称轴交x轴于点E．问：直线DE右侧的抛物线上是否存在点P，使△PCD 为等腰三角形？分析易求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．由配方，得抛物线顶点为D(1，4)．当点P在直线DE右侧的抛物线上时，PC≠CD．若PD＝CD．则点P与点C关于直线DE对称，点P1坐标为(2，3)；若PC＝PD，设点P为(x，－x2＋2x＋3)．由PC2＝PD2，得x2＋3x＋1＝0．代入抛物线解析式求得点P2坐标为(，)．二、逆用勾股定理，找直角三角形的顶点例2如图2，直角坐标系中，已知点A(－1，0)，P(1，4)，如果点Q为x轴上一点，△APQ是直角三角形，求点Q的坐标．分析∠PAQ≠90°，而∠APQ、∠AQP都可能是直角．若∠APQ1＝90°，则PQ12＋AP2＝AQ12．设点Q2为(x，0)，则AQ1＝．PQ12＝(x－1)2＋16．又∴AP2＝22＋42＝20，∴(x－1)2＋16＋20＝(x＋1)2．∴x＝9，则点Q1坐标为(9，0)；若∠AQ2P＝90°，则点Q2坐标为(1，0)．三、利用对称性，求平行四边形的顶点例3 如图3，在直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径画圆，点P在⊙O上，且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x,y轴分别交于点A,B，P为AB中点．问：在⊙O 上是否存在点Q，使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点Q的坐标．分析作PC⊥OA，垂足为C，连结OP．则OP＝AP＝BP＝2．且∠AOP＝∠OAP＝45°．∴OC＝PC＝，点P坐标为(，)．如果OP是对角线，则作OQ1∥AP，交⊙O于点Q1，连结PQ1(图3(1))．由OQ1＝2，可知OQ1 AP．∴四边形Q1OAP是平行四边形．这时PQ1⊥OB，则点Q1与点P关于y轴对称，坐标为Q1(－，)；如果OA是对角线，则作OQ2 PA，交⊙O于点Q2，连结AQ2(图3(2))．由OQ2＝2，可知OQ2 PA．∴四边OQ2AP是平行四边形．这时∠AOP＝∠OAP＝∠AOQ2，因此点Q2与点P关于x轴对称，坐标为Q2(，－)．四、借助平移，分析图形特征求顶点例4 如图4，直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A(4，0)、C(0，－2)，直线y＝－x交边BC于点D．(1)二次函数图象经过点A,D,O，求它的解析式；(2)在这个二次函数图象上是否存在点M，使以O,D,A,M为顶点的四边形为梯形？分析(1)点D坐标为(3，－2)．所求的二次函数为；(2)如果DO为底边，则平移直线DO，使其经过点A，得直线AM1的解析式为：y＝代入二次函数，解出x1＝4(舍去)，x2＝－1．∴点M1坐标为(－1，)．这时，AD与M1O不平行，四边形ODAM1为梯形；如果AO为底边，则平移直线AO，使其经过点D，得直线DM2为：y＝－2(即直线BC)．同理求出点M2坐标为(1，－2)；如果AD为底边，则平移直线AD，使其经过点O，得直线OM3为y＝2x．同理求出点M3坐标为(7，14)．(图略．)。